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Física Teorica 2
CLASE 8. SUMA DE MOMENTO ANGULAR Y DE SPIN
J. E. Miraglia
Departamento de Física. Facultad de Ciencias Exactas
y Naturales. Universidad de Buenos Aires. Argentina.
(Dated: May 3, 2017)
Abstract
EL MOMENTO ANGULAR. Potencial central y momento angular de un electron. Definición.
Propiedades de los momentos angulares: conmutadores. Autoestados de L^2 y L_z : Armonicos
esféricos: Operadores escaleras. Representación matricial. Una aplicación: la molecula diatómica
rotante.
SPIN 1/2
SUMA DE MOMENTOS ANGULARES. Autoestados de L^2 y L_z
SUMA DE SPINES 1/2. Autoestados de S ^2 y S_z
MOMENTO ANGULAR TOTAL. Autoestados de J ^2 y J_. Una aplicación: .átomo de
hidrógeno.
APENDICE 1
APENDICE 2
==========================
MATERIAL ADICIONAL
APENDICE 1. ARMÓNICOS CÚBICOS Y REALES.
.
Falta: de todo
PACS numbers:
1
I. EL MOMENTO ANGULAR
A. Potencial central y momento angular de un∂ electron.
Recordemos primero los pasos que dimos para resolver la ecuación de Schrodinger para
un potencial central, y como surgió el momento angular (hago cut and paste). Partiendo de
la ecuación de Schrodinger
HΨ =
[−
2
2µ∇2−→r + U(−→r )
]Ψ = EΨ, (1)
y haciendo
Ψ(−→r ) = Rnl(r)Yml (θ, ϕ) =
unl(r)
rY ml (θ, ϕ),
Enlunl(r)Yml (θ, ϕ) =
[− ℏ
2
2µ
d2
dr2+
L2
2µr2+ U(r)
]unl(r)Y
ml (θ, ϕ), (2)
L2 = −ℏ2[∂2
∂θ2+
1
tan θ
∂
∂θ+
1
sin2 θ
∂2
∂ϕ2
]. (3)
Dijimos que las autofunciones de L2 y Lz eran los armónicos esféricos Y ml (θ, ϕ)
L2Y ml (θ, ϕ) = l(l + 1)ℏ2Y m
l (θ, ϕ) (4)
LzYml (θ, ϕ) = mℏY m
l (θ, ϕ) (5)
l es un número entero y m = −l,−l+1, ....l− 1, l. De esta manera llegabamos a la ecuaciónradial
Enlunl(r) =
[− ℏ
2
2µ
d2
dr2+
l(l + 1)ℏ2
2µr2+ U(r)
]unl(r) (6)
B. Definicion
A pesar de haber introducido L2 en términos de las coordenadas esféricas, -que resultan
mas convenientes- podemos escribirl L en términos de coordenadas cartesianas
−→L = −→r × −→p = r × ℏ
i
−→∇r =
ex ey ez
x y z
ℏ
i∂∂x
ℏ
i∂∂y
ℏ
i∂∂z
(7)
= exLx + eyLy + ezLz (8)
2
en coordenadas cartesianas y esféricas (CT662)
Lx =ℏ
i
(y ∂∂z− z ∂
∂y
)= iℏ(sinϕ ∂
∂θ+ cosϕ
tan θ∂∂ϕ
),
Ly =ℏ
i
(z ∂∂x− x ∂
∂z
)= iℏ(− cosϕ ∂
∂θ+ sinϕ
tan θ∂∂ϕ
),
Lz =ℏ
i
(x ∂∂y− y ∂
∂x
)= ℏ
i∂∂ϕ
,
(9)
donde hemos hecho la transformación rutinaria
x = r sin θ cosϕ, r ∈ [0,∞]y = r sin θ sinϕ, θ ∈ [0, π]z = r cos θ, ϕ ∈ [0, 2π]
. (10)
Definimos
L2 =−→L · −→L = L2x + L2y + L2z (11)
Obviamente, son hermíticos
L†x = Lx, L†y = Ly, L†z = Lz, ⇒ L2† = L2 (12)
C. Propiedades de los momentos angulares. Conmutadores
Los operadores L2 y Lz conmutan con el Hamiltoniano
[L2, H] = [Lz, H] = 0, (13)
y tienen las siguientes relaciones entre sus componentes (trademarks)
[ L2, Lx] = 0, [ L2, Ly] = 0, [ L2, Lz] = 0,
[ L2,−→L ] = 0,
[ Lz, Lx] = iLy, [ Ly, Lz] = iLx, [ Lx, Ly] = iLz
(14)
(chequear la ultima)Ver diagrama de Venn.
Se definen los Operadores escaleras (ladder operators)
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
L± = Lx ± iLy, L†+ = L− L†− = L+
Lx =L++L−
2Ly =
L+−L−2i
[ Lz, L±] = ±S±, [ L2, L±] = 0, [ L+, L−] = 2Lz
(15)
3
que operan sobre Y ml (r) así
L±Yml (r) =
√l(l + 1)−m(m± 1)Y m+1
l (r), (16)
Hay algo diferente en relacion al momento de spin, y es la conmutacion con las coordenadas
posición y momento. Los conmutadores con las coordenadas son
[ Lz, x] = iy, [ Lz, y] = −ix, [ Lz, z] = 0,
[ Lz, x2] = 2ixy, [ Lz, y
2] = −2iyx [ Lz, z2] = 0,
[ L2z, x] = iLz, y, [ L2z, y] = −i
Lz, x, [ L2z, z] = 0,
(17)
A, B= AB + BA = anticonmutador. (18)
y sus relaciones cíclicas (levi-Civita)
δxyz = δyzx = δzxy = 1,
δxzy = δzyx = δyxz = −1(19)
Los conmutadores con los momentos son
[ Lz, Px] = iPy, [ Lz, Py] = −iPx, , [ Lz, Pz] = 0,
[ Lz, P2x ] = iPxPy, [ Lz, P
2y ] = −iPyPx [ Lz, P
2z ] = 0,
[L2z, Px] = iLz, Py
, [L2z, Py] = −i
Lz, Px
[L2z, Pz] = 0,
(20)
y sus relaciones cíclicas. De lo anterior resulta que
[ Lz/x/y, r2] = [ Lz/x/y, P
2] = 0. (21)
D. Autoestados de L2 y Lz : Armonicos esféricos
La expresion de lo armónicos son
Y ml (θ, ϕ) =
eimϕ√2π(−1)m√(2l + 1) (l −m)!
4π(l +m)!P|m|l (θ, ϕ) (22)
P|m|l (θ, ϕ) son los polinomios asociados de Legendre. (usamos el Edmonds p. 24) y los
primeros esféricos son
4
FIG. 1:
Y 00 (θ, ϕ) =
1√4π
, Y 00 (x, y, z) =
1√4π
,
Y 01 (θ, ϕ) =
√34πcos θ, Y 0
1 (x, y, z) =√
34πzr,
Y ±11 = ∓
√38πsin θ e±iϕ, Y ±1
1 (x, y, z) = ∓√
38πx+iyr
Y 02 (θ, ϕ) =
√516π
(2 cos2 θ − sin2 θ
), Y 0
2 (x, y, z) =√
516π
3z2−r2r
,
Y ±12 (θ, ϕ) = ∓
√158πcos θ sin θ e±iϕ, Y ±1
2 (x, y, z) = ∓√
158π(x+iy)z
r
Y ±22 (θ, ϕ) =
√1532πsin2 θ e±2iϕ, Y ±2
2 (x, y, z) =√
1532π
x2−y2±2ixyr
(23)
En la segunda columna están expresados en coordenadas cartesianas, según (10). Hay
otra alternativa mas popular en cartesianas y reales: los llamados armónicos cúbicos (ver
apéndice).
Los armónicos esféricos son ortonormales
∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
dθ sin θ
︸ ︷︷ ︸∫dΩ
Ym∗
1
l1(r)Y m2
l2(r) = δl1 l2δm1 m2
(24)
Algunas propiedades de los armónicos esféricos son
Y m∗
l (r) = (−1)mY −ml (r) (25)
Y ml (−r) = (−1)lY m
l (r), o equivalentemente (26)
Y ml (π − θ, π + ϕ) = (−1)lY m
l (θ, ϕ) (27)
5
El producto de 2 armónicos es otro armónico
Y m1
l1(r)Y m2
l2(r) =∑
lm
Dm1 m2 ml1 l2 lY
m ∗l (r) (28)
Dm1 m2 ml1 l2 l =
√(2l1 + 1)(2l2 + 1)(2l3 + 1)
4π
l1 l2 l
m1 m2 m
l1 l2 l
0 0 0
(29)
∫dr Y m1
l1Y m2
l2(r)Y m3
l3= Dm1 m2 m3
l1 l2 l3(30)
Las ppales leyes de adición son
l∑
m=−lY m∗
l (r)Y ml (r) =
2l + 1
4π, (31)
∞∑
l=0
Y m∗
l (r)Y ml (r) =
δ(cos θ1 − cos θ2)2π
eim(ϕ1−ϕ2) (32)
l∑
m=−lY m∗
l (θ1, ϕ1)Yml (θ2, ϕ2) =
2l + 1
4πPl(cos ω), con (33)
cosω = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos(ϕ1 − ϕ2) (34)
E. Representación matricial
En la base por ejemplo | lm〉 〈l′m′| cualquier operador tiene una representación
L2 =∑
m,m′| lm〉 l(l + 1)ℏ2δl l′δm m′ 〈l′m′| , (35)
Lz =∑
m,m′| lm〉m ℏδl l′δm m′ 〈l′m′| (36)
por ejemplo para l = 1 tenemos
L2 = 2ℏ2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, Lz = ℏ
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
(37)
6
lo de siempre un operador es diagonal en su propia base. Los otros operadores son
L− = ℏ√2
0 0 0
1 0 0
0 1 0
L+ = ℏ
√2
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Lx =ℏ√2
0 1 0
1 0 1
0 1 0
Ly =
ℏ√2
0 −i 0
i 0 −i
0 i 0
(38)
En esta base los autoestados son obviamente ket de ocupacion, esto es
| 1 1〉 =
1
0
0
, | 1 0〉 =
0
1
0
, | 1 − 1〉 =
0
0
1
, (39)
Todas la ecuaciones que hemos visto la podemos rehacer con matrices. Podemos hacer
operaciones que serían complicadas de otra manera. Por ejemplo podemos hacer facilmente
L2+ = ℏ22
0 0 1
0 0 0
0 0 0
, L3+ =
(ℏ√2)2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
= 0 (40)
F. Una aplicación: la molecula diatómica rotante
Hagamos una aproximación muy sencilla consideremos una molécula diatómica
(H2,N2, O2). su energía de rotación clasica es simplemente
E =L2
2I(41)
L es el momento angular e I es el momento de inercia I ∼ 2MR2. Si lo cuantificamenos
tenemos un Hamiltoniano H = L2/2I, cuyas autofunciones son los Y ml
HY ml =
L2
2IY ml =
l(l + 1)ℏ2
2IY ml = ElY
ml (42)
el espectro rotacional para cada nivel vibracional será desde abajo
7
"
.. .. .. ..
D (l = 2) E = 3ℏ2 5 (m = −2,−1, 0, 1, 2)P (l = 1) E = ℏ2 3 (m = −1, 0, 1)S (l = 0) E = 0ℏ2 1 (m = 0) no degenerado
(43)
Debido a que I es muy grande los niveles rotacionales son muy pequeños:los vibratorios son
muchos mas importantes
II. SPIN 12
Ya lo vimos la clase pasada. Recordar que no tiene representaciones espaciales, entonces
no aplican las ecuaciones (17) y (20), Pero sí el equivalente de las trademarks (14)
[ S2, Sx] = 0, [ S2, Sy] = 0, [ S2, Sz] = 0,
[ S2,−→S ] = 0,
[ Sz, Sx] = iSy, [ Sy, Sz] = iSx, [ Sx, Sy] = iSz
(44)
y los conmutadores escaleras (15)
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
S± = Sx ± iSy, S†+ = S− S†− = S+
Sx =S++S−
2Sy =
S+−S−2i
[ Sz, S±] = ±S±, [ S2, S±] = 0, [ S+, S−] = 2Sz
(45)
donde hice simplemente cut and paste y reemplace L por S
Para demostrar las trademarks (44) y los conmutadores escaleras (45), se recurren
a las representaciones matriciales que vimos
Sx =ℏ
2
0 11 0
, Sy =
ℏ
2
0 −i
i 0
Sz =
ℏ
2
1 0
0 −1
S2 = 3ℏ4
1 00 1
S+ = ℏ
0 10 0
S− = ℏ
0 01 0
(46)
Así por ejemplo
[ S+, S−] = ℏ2
0 10 0
0 01 0
−
0 01 0
0 10 0
= 2ℏSz (47)
8
FIG. 2:
y obviamente
S2± = S3± = ... = Sn± = 0 (48)
III. SUMA DE MOMENTOS ANGULARES
Consideremos un átomo con 2 electrones sin spin -por ahora-con con momentos angulares−→L 1 y
−→L 2.
H = H1 +H2 + V12(r12), (49)
−→r 12 = −→r 1 −−→r 2, r12 =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 (50)
Obviamente−→L 1 opera sobre las variables EΩ1 = θ1, ϕ1 correspondiente −→r 1, (51)−→L 2 opera sobre las variables EΩ2 = θ2, ϕ2 correspondiente −→r 2,
Los operadores momentos de cada partícula y satisface lo correspondiente a cualquier angu-
lar. Consideremos la suma −→L =
−→L 1 +
−→L 2, (52)
una cantidad que se va a conservar[−→L ,H
]= 0, (53)
9
ya que los torques externos son nulos. La forma de demostrarlo requiere alguna manipulación[−→L ,H
]=
[−→L 1,H1 +H2 + V12
]+
[−→L 2, H1 +H2 + V12
]=
[−→L 1 +
−→L 2, V12
]. (54)
En el Apendice 1 mostramos que
[−→L 1 +
−→L 2, V12
]= 0
Entonces por efecto de V12, no se conserva L1 ni L2 pero si L, tal cual uno espera, en total
analogía con la mecanica clásica. Obviamente L2 también conmuta con H ya que
0 =[L2, H]=−→L[L, H]+[L, H]−→L = 0 + 0. (55)
Valen las mismas trademarks ecuaciones (14) y (44)que se vieron para una
partícula. Y de la misma manera se puede definir los ladder operators (15) y
(45). Es lo mismo!
Yademás puedo escribir
[L±, L1z] = ∓ℏ L1±, [ Lz, L1±] = ±ℏL1±,[ L±, L1x+] = 0, [ L±, L2x+, ] = 0
(56)
y sus relaciones cíclicas . Vale las siguientes relaciónes (chequear!)
2−→L 1 ·
−→L 2 = 2L1z · L2z +
−→L 1+ ·
−→L 2− +
−→L 2+ ·
−→L 1− (57)
L2 = L21 + L22 + 2L1z · L2z +−→L 1+ ·
−→L 2− +
−→L 2+ ·
−→L 1− (58)
Antes de continuar es importante demostrar que L21 y L22 se conservan. En el Apendice 2 se
demuestra que son efectivamente constante de movimiento ya que conmutan con L2
[L2, L21
]=[L2, L22
]= 0 (59)
A. Autoestados de L2y Lz
Estamos interesados en encontrar la autofunciones
|l1l2; lm〉 ≡ |l1l2lm〉 ≡ |lm〉
10
que verifiquen
L21 |l1m1〉 = l1(l1 + 1)ℏ2 |l1m1〉
L22 |l2m2〉 = l2(l2 + 1)ℏ2 |l2m2〉
L2 |l1l2lm〉 = l(l + 1)ℏ2 |l1l2lm〉Lz |l1l2lm〉 = mℏ |l1l2lm〉 .
(60)
Nos conviene trabajar obviamemente en la base de L1 y L2 (no necesariamente: se puede
trabajar en la base hiperesférica) que forman una base completa en θ1, ϕ1 y θ2, ϕ2 , osea EΩ1 × EΩ2
1 =∑
l1m1
|l1m1〉 〈l1m1| ⊗∑
l2m2
|l2m2〉 〈l2m2| , ó (61)
=∑
l1m1
∑
l2m2
|l1l2m1m2〉 〈l1l2m1m2| , (62)
luego como siempre puedo escribir
|l1l2lm〉 =1︷ ︸︸ ︷∑
m1m2
|l1l2m1m2〉 〈l1l2m1m2| |l1l2lm〉 (63)
=∑
m1m2
|l1l2m1m2〉C l1 l2 lm1 m2 m (64)
=∑
m1m2
|l1m1〉 ⊗ |l1m1〉C l1 l2 lm1 m2 m (65)
C l1 l2 lm1 m2 m = 〈l1l2m1m2| |l1l2lm〉 = Clebsch Gordan (Edmonds p.38) (66)
Se los puede relacionar a los coeficientes 3j de Wigner
C l1 l2 lm1 m2 m = (−1)l1−l2−m
√2l + 1
l1 l2 l
m1 m2 −m
(67)
Este coeficiente es la piedra fundamental para una enorme cantidad de manipulaciones en
esta área. Actualmente se los cálcula según el programa de algebra que se utiliza. Por
ejemplo en Mathematica, se escribe
ClebschGordan[l1,m1, l2,m2, l,m], (68)
si lo quiero con 32 figuras se ingresa
N [ClebschGordan[1, 1, 2,−1, 3, 0], 32] = 0.44721359549995793928183473374626..
11
FIG. 3:
Hay dos propiedades muy importantes
〈l1l2lm|l1l2l′m′〉 = δl l′δm m′ , (69)
= 0 lmin = |l1 − l2| < l < l1 + l2 = lmax. (70)
= 0 l < lmin, y l > lmin (71)
De la ecuación (69)
δl l′δm m′ = 〈l1l2lm||l1l2l′m′〉
= 〈l1l2lm|1︷ ︸︸ ︷∑
m1m2
|l1l2m1m2〉 〈l1l2m1m2| |l1l2l′m′〉
=∑
m1m2
|〈l1l2m1m2|l1l2l′m′〉|2 (72)
que es una condición de clausura. Hay muchísimas mas relaciones de interés, siempre hay
una para cualquier necesidad
12
IV. SUMA DE SPINES 12
Consideremos 2 electrones con spines. Sean−→S 1 y
−→S 1 los operadores de spin de cada
partícula y satisface lo correspondiente a un momento angular
S1z ↑1= +12ℏ ↑1, S2z ↑2= +1
2ℏ ↑2,
S1z ↓1= −12ℏ ↓1, S1z ↓2= −1
2ℏ ↓2;
S21 ↑1= ℏ2 34 ↑1 S22 ↑2= ℏ2 34 ↑2S21 ↓1= ℏ2 34 ↓1 S22 ↓2= ℏ2 34 ↓2,
usamos aquí la notación ↑=∣∣12,+1
2
⟩y ↓=∣∣12,−1
2
⟩porque acá es mas conveniente .A veces
se usa para indicar ↑ o ↓ . Se sigue la misma rutina que para momento angular.
Se define el spin total del sistema
−→S =
−→S 1 +
−→S 2 (73)
S2 =
(−→S 1 +
−→S 2
)2= S21 + S22 + 2
−→S 1 ·
−→S 2 (74)
Obviamente[−→S 1,
−→S 2
]= 0, ya que pertenecen a espacios distintos.
Valen las mismas trademarks ecuaciones (44) que se vieron para una
partícula. Y de la misma manera se puede definir los ladder operators (45).
Es lo mismo!
En particular
S± |s m〉 = √
s(s+ 1)−m(m± 1) |s ±m〉 (75)
Como siempre, hay que tener algunos cuidados, por ejemplo
[ Sz, S1z] = [ Sz, S2z] = 0 (76)
pero NO comuta con S2, o sea
[ S2, S1z] = 2i(S1xS2y − S1yS2x
)! (77)
[ S2, S2z] = 2i(S2xS1y − S2yS1x
)! (78)
A. Autoestados de S2y Sz
Cuando se suman los 2 spines podemos encontrar una base común de autovectores (lo
que CT llama: C.S.C.O= Complete Set of Commuting Operators, p1004) definidos por
13
C.S.C.O = S21 , S22 , S2, Sz (79)
con sus correspondientes observables (ya que son hermíticos). Los autovectores serán de-
notados como ∣∣∣∣1
2,+1
2, S,MS
⟩= |S,MS〉 (80)
y sus autovalores correspondientes son:
S21 |S,MS〉 = 34ℏ2 |S,MS〉
S22 |S,MS〉 = 34ℏ2 |S,MS〉
S2 |S,MS〉 = S(S + 1)ℏ2 |S,MS〉Sz |S,MS〉 =MSℏ |S,MS〉
(81)
Tal como la suma de cualquier momento angular los valores de s estarán entre :
smax = s1 + s2 =1
2+1
2= 1, (82)
smin = |s1− s2| =∣∣∣∣1
2-1
2
∣∣∣∣=0 (83)
El primero se llama triplete porque tiene 3 componentes |1,−1〉 , |1, 0〉 , |1, 1〉 , y el otrosimplete |0, 0〉 . los autovectores se pueden expresar en la base producto como es usual
|S,MS〉 =∑
m1,m2
∣∣∣∣1
2,m1
⟩ ∣∣∣∣1
2,m2
⟩⟨1
2,m1
∣∣∣∣⟨1
2,m2
∣∣∣∣ S,MS〉︸ ︷︷ ︸
Clebsch Gordan
(84)
y resultan
singleteχ0 0 = |0, 0〉 =
↑1↓2 − ↓1↑2√2
(85)
triplete
χ1 1 = |1,−1〉 =↑1↑2χ1 0 = |1, 0〉 = ↑1↓2+↓1↑2√
2
χ1 −1 = |1,+1〉 =↓1↓2
(86)
Una propiedad muy importante es que |0, 0〉 es antisimétrico ante el intercambio de 1↔ 2,
mientras que el triplete es simétrico. Se satisfacen las ecuaciones correspondiente al C.S.C.O
singlete
S21 |0, 0〉 = S22 |0, 0〉 = 0ℏ2 |0, 0〉S2 |0, 0〉 = 0ℏ2 |0, 0〉
(87)
14
triplete
S21/2 |1,−1〉 = 34ℏ2 |1,−1〉 , S21/2 |1,−1〉 = 3
4ℏ2 |1,−1〉 ,
S21 |1,−1〉 = 34ℏ2 |1,−1〉 , S21 |1,−1〉 = 3
4ℏ2 |1,−1〉 ,
Sz |1,±1〉 = ±1ℏ |1,±1〉 Sz |1, 0〉 = 0ℏ |1, 0〉S2 |1,±1/0〉 = 2ℏ2 |1,±1/0〉
(88)
V. MOMENTO ANGULAR TOTAL
Se define el momento angular total a−→J tal que
−→J =
−→L +
−→S (89)
que adiciona los momentos angulares orbitales y espinorial.−→J satisface el equivalente
de todas las trademarks conocidas ec(14)
[ Jx, Jy] = iJz, [ Jy, Jz] = iJx, [ Jz, Jx] = iJy,
[ J2,−→J ] = 0,
[ J2, Jx] = 0, [ J2, Jy] = 0, [ J2, Jz] = 0,
De la misma manera se definen los operadores escaleras que satisfacen exactamente las
mismas identidades a−→L y
−→S que satisfacen las mismas relaciones
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
J± = Jx ± iJy J†+ = J− J†− = J+
Jx =J++J−2
, Jy =J+−J−2i
[ Jz, J±] =∓ iJ∓, [ J2, J±] = 0, [ J+, J−] = 2Jz
Otras expresiones que pueden ser de interés son (chequear!)
J+J− =1
2
(J2 − Jz
(Jz − ℏ))
(90)
J−J+ =1
2
(J2 − Jz
(Jz + ℏ))
(91)
J2 = 2J+J− + J2z − ℏJz (92)
J2 = 2J−J+ + J2z + ℏJz (93)
Opera sobre el ket |jm〉
J+J− |jm〉 =ℏ2
2(j(j + 1)−m (m− ℏ)) |jm〉 (94)
J−J+ |jm〉 =ℏ2
2(j(j + 1)−m (m+ ℏ)) |jm〉 (95)
15
Como siempre
J± |j m〉 = ℏ√1
2(j(j + 1)−m (m± 1)) |j m± 1〉 (96)
Autoestados de J2y Jz
Los autoestados de J2y Jz lo escribimos como |j m〉 a j lo llamamos momento
angular (total) y a m la proyección z del momento angular. Las ecuaciones de eigenvalores
las escribimos
L2 |lml〉 = l(l + 1)ℏ2 |lml〉S2 |sms〉 = s(s+ 1)ℏ2 |sms〉J2 |jmj〉 = ℏ
2
2j(j + 1) |jm〉
Jz |jmj〉 = ℏ
2mj |jmj〉
(97)
A. Una aplicación: átomo de hidrógeno
Como un ejemplo hagamos una aplicación al atomo de hidrógeno, esto es cuando el
momento orbital entero l del electrón se acopla a ssu propio espín 1/2 de la propia partícula.
En este caso los valores de j y de m resultan semienteros
j =
l + 12
mj = −l − 12, −l + 1
2, ...., l − 1
2, l + 1
2
l − 12
mj = −l + 12, ..., l − 1
2,
(98)
La solución es determinar los coeficientes de Clebsch Gordan en la base
1 =∑
ml
|lml〉 〈lml| ⊗∑
ms
|sms〉 〈sms| , (99)
|jmj〉 =∑
mlms
〈lml| |lsjmj〉 〈sms| |lsjmj〉︸ ︷︷ ︸Clebsch Gordan
|lml〉 |sms〉 = |ls; jmj〉
En particular vamos a considerar un átomo de hidrógeno en el estado 2p (l = 1) con
spin (s = 12). tenemos 6 estados posibles
j = 1 + 1/2 = 3/2 mj ∈ −j, j = −3/2 , −1/2, +1/2 , +3/2
j = 1− 1/2 = 1/2 mj ∈ −j, j = −1/2 , +1/2 ,
(100)
16
los 6 estados son |l, s; j,mj〉 son
|1, 1/2; 3/2,+3/2〉 =√3
3
∣∣Y 11
⟩↑ +
0︷ ︸︸ ︷√0
3
∣∣Y 21
⟩↓ (101)
|1, 1/2; 3/2,+1/2〉 =√2
3
∣∣Y 01
⟩↑ +√1
3
∣∣Y 11
⟩↓ (102)
|1, 1/2; 3/2,−1/2〉 =√1
3
∣∣Y −11
⟩↑ +√2
3
∣∣Y 01
⟩↓ (103)
|1, 1/2; 3/2,−3/2〉 =√0
3
∣∣Y −21
⟩
︸ ︷︷ ︸0
↑ +√3
3
∣∣Y −11
⟩↓ (104)
|1, 1/2; 1/2,+1/2〉 = −√1
3
∣∣Y 01
⟩↑ +√2
3
∣∣Y 11
⟩↓ (105)
|1, 1/2; 1/2,−1/2〉 = −√2
3
∣∣Y −11
⟩↑ +√1
3
∣∣Y 01
⟩↓ (106)
donde denotamos con
〈r |Y ml 〉 = Y m
l (r) = 〈θ, ϕ |Y ml 〉 = Y m
l (θ, ϕ) (107)
↑= |1/2,+1/2〉 , (108)
↓= |1/2,−1/2〉 (109)
Podemos chequear que |j,mj〉 son ortonormales. Los coeficientes salen del código en cuestión,
17
por ejemplo, los coeficientes de las ecs (105) y (106) de Mathematica resultan
ClebschGordan[1,+1, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2] = 0 (110)
ClebschGordan[1, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2] = −(1/Sqrt[3])
ClebschGordan[1,−1, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2] = 0
ClebschGordan[1,+1, 1/2,−1/2, 1/2, 1/2] = Sqrt[2/3]
ClebschGordan[1, 0, 1/2,−1/2, 1/2, 1/2] = 0
ClebschGordan[1,−1, 1/2,−1/2, 1/2, 1/2] = 0
ClebschGordan[1,+1, 1/2, 1/2, 1/2,−1/2] = 0
ClebschGordan[1, 0, 1/2, 1/2, 1/2,−1/2] = 0
ClebschGordan[1,−1, 1/2, 1/2, 1/2,−1/2] = −Sqrt[(2/3)]
ClebschGordan[1,+1, 1/2,−1/2, 1/2,−1/2] = 0
ClebschGordan[1, 0, 1/2,−1/2, 1/2,−1/2] = 1/Sqrt[3]
ClebschGordan[1,−1, 1/2,−1/2, 1/2,−1/2] = 0
Recordemos que la notación es ClebschGordan[l1,m1, l1,m1, l,m].
VI. APENDICE 1
Consideremos una componente la Lz por ejemplo
Lz = L1z + L2z =
(x1
∂
∂y1− y1
∂
∂x1
)+
(x2
∂
∂y2− y2
∂
∂x2
), (111)
LzV12 − V12Lz = x1∂V12∂r12
∂r12∂y1
− y1∂V12∂r12
∂r12∂x1
+ V12Lz
+x2∂V12∂r12
∂r12∂y2
− y2∂V12∂r12
∂r12∂x2
− V12Lz
=∂V12∂r12
(x1
∂r12∂y1
− y1∂r12∂x1
+ x2∂r12∂y2
− y2∂r12∂x2
)(112)
18
sabiendo que
∂r12∂x1
= −∂r12∂x2
,
∂r12∂y1
= −∂r12∂y2
,(113)
entonces
LzV12 − V12Lz =∂V12∂r12
((x1 − x2)
∂r12∂y1
− (y1 − y2)∂r12∂x1
)
=∂V12∂r12
((x1 − x2)
2
2r12(y1 − y2)− (y1 − y2)
2
2r12(x1 − x2)
)
= 0. (114)
Y así con las otras componentes Lx y Lz. Porlo que
[L, V12
]= 0 (115)
VII. APENDICE 2
Aqui vamos a demostrar que
[L2, L21
]=[L2, L22
]= 0 (116)
la demostración es muy simple, partimos de la identidad (58)
[L2, L21
]=
[L21 + L22 + 2L2z · L1z +
−→L 2+ ·
−→L 1+ +
−→L 2− ·
−→L 1− , L21
](117)
y usando las conocidas relaciones
[2L1z · L2z, L21
]= 0[−→
L 2+ · L1±, L21]=
[−→L 2+ · (L1x ± iL1y), L21
]= 0
se prueba (116). Lo mismo con L22.
19
===================================================
MATERIAL ADICIONAL===================================================
VIII. APENDICE 1. ARMÓNICOS CÚBICOS Y REALES.
Cuando los átomos están en estructuras cartesianas o sea cuando el potencial no es mas
central, se usan los cubic harmonics.
Para l = 1, tenemos
Y x1 = c1x, Y y
1 = c1y, Y z1 = c1z, con c1 =
√3
4π
1
r(118)
que esán relacionados a los esféricos con una rotación (no unitaria debido al jacobiano de la
transformación)
Y x1
Y y1
Y z1
= c1
1/√2 0 −1/
√2
i/√2 0 i/
√2
0 1 0
Y −11
Y 01
Y 11
ó (119)
Y x1
Y y1
Y z1
= c−11
1/√2 −i/
√2 1
0 0 1
−1/√2 −i/
√2 0
Y x1
Y y1
Y z1
, (120)
Para l = 2 los armónicos cúbicos son algo mas complicado
Y xy2 = c2 xy, Y yz
2 = c2 yz, Y zx2 = c2 zx, (121)
Y x2−y22 = c2
x2−y22
, Y 02 = c2
2z2−x2−y22
=√
1516π
(2 cos2 θ − sin2 θ
)(122)
c2 =
√15
4π
1
r2(123)
Rara vez se usan armónicos cúbicos.para l 3.
Algunos químicos usan todavía los armónicos esféricos reales y lo definen asi
20
Sl,0 = Y 0l =
√2l + 1
4πPl(cos θ), (124)
Sl,m =
√m
2|m|
(Y−|m|l + (−1)m m
|m|Y|m|l
)m = 0 (125)
Sl,+1 =Y −11−Y 1
l√2
= Y 1l , Sl,−1 = i
Y −11+Y 1
l√2
,
Sl,+2 =Y −21+Y 2
l√2
= Y 2l , Sl,−2 = i
Y −21−Y 2
l√2
, .....(126)
y así sucesivamente. De esta manera queda
Sl,m>0 = N(l,m)Pl,m(cos θ) cos(mϕ) (127)
Sl,m<0 = N(l,m)Pl,|m|(cos θ) sin(|m|ϕ) (128)
21
