DocumentFT

Furijeova transformacija i primene

1 Uvod

U okviru ove skripte1 upoznacemo se sa osnovnim pojmovima Furijeove transformacijekao i njenom primenom u prirodnim naukama (npr. na analizu stacionarnih vremenskihserija). Kako se podrazumeva da su se studenti vec upoznali sa pojmom Furijeove trans-formacije (Matematika 4), teorijska razmatranja su izlozena veoma koncizno davajuciprednost primerima. Neki delovi ovi skripte su zasnovani na materijalima skripti prof. drDragutina Durovica dok je preostala koriscena literatura navedena na kraju.

1.1 Denicija Furijeove transformacije

Jednodimenziona Furijeova (integralna) transformacija2 funkcije h(t) moze se denisatikao:

H(f) =

Z 11

h(t)ei2ftdt; (1a)

dok je:

h(t) =

Z 11

H(f)ei2ftdf; (1b)

tzv. inverzna Furijeova transformacija. Postoji nekoliko konvencija u smislu denicijeFurijeove transformacije. Ukoliko zelimo da koristimo kruznu frekvenciju ! 2f tadaje uobicajeno da se Furijeova i njena inverzna transformacija denisu preko:

H(!) =

Z 11

h(t)ei!tdt; (2a)

i

h(t) =1

2

Z 11

H(!)ei!td!: (2b)

Obicno se, zbog simetrije, koristi i sledeca denicija:

H(!) =1p2

Z 11

h(t)ei!tdt; (3a)

i

h(t) =1p2

Z 11

H(!)ei!td!: (3b)

1Ova skripta namenjena je studentima astrozike koji slusaju kurs radio-astronomija.2Nekada se naziva i direktna Furijeova transformacija.

1

Funkcije h(t) i H(f) nazivacemo Furijeovim parovima3 i dalje cemo ih obelezavati sah(t), H(f). Na slici 1 su dati primeri Furijeovih parova4.

Slika 1: Neki Furijeovi parovi. (Preuzeto iz [7].)

Razliciti autori koriste razlicite denicije Furijeove transformacije. U nekoj literaturiFurijeova i njena inverzna transformacija se denisu suprotno gore navedenoj deniciji(suprotnost se ogleda u smislu znaka minus u eksponencijalnom clanu). Rezultati sesustinski ne menjaju tako da studenti mogu koristiti bilo koju od pomenutih konvencija.

3U principu, rec je o prelasku na drugi bazis, npr. prelaz iz koordinatne u impulsnu reprezentaciju ukvantnoj mehanici ili prelaz iz vremenskog u frekventni domen u analizi vremenskih serija.

4Bitno je istaci, kao sto ce biti reci u narednim poglavljima, da se Furijeova transformacija mozeodnositi i na bilo koju drugu nezavisnu promenljivu (koordinatu) ne samo vreme. Tako -de, Furijeovatransformacija se moze uopstiti na visedimenzioni slucaj.

2

1.2 Osobine Furijeove transformacije i primeri

Lako se mozemo ubediti u vazenje sledecih osobina Furijeovih parova (dokazati zavezbu):

h(at), 1jajHf

a

(4a)

1

jbjht

b

, H(bf) (4b)

h(t t0), H(f)ei2ft0 (4c)

h(t)ei2f0t , H(f f0) (4d)Parsevalova teorema: Ukupna snaga u signalu h(t) racunata u vremenskom domenu je

jednaka ukupnoj snazi racunatoj u frekventnom domenu:Z 11jh(t)j2dt =

Z 11jH(f)j2df: (5)

Ukoliko je poterbno odrediti koliko je snage sadrzano u intervalu frekvencija (f; f+df)obicno posmatramo frekvencije tako da se krecu u intervalu od 0 (nulta frekvencija) do1. Tada se moze denisati spektralna gustina (jednostrana):

Ph(f) jH(f)j2 + jH(f)j2; 0 f T:

5Iskoristimo, npr., konvenciju (2):

H(!) =

Z 11

h(t)ei!tdt = A

Z TT

ei!tdt

H(!) =A

i!

ei!T ei!T = 2A

!sin(!T );

gde je iskorisceno da vazi:

sin(x) =eix eix

2iKonacno imamo:

H(!) = 2AT sinc(!T ); sinc(x) =sin(x)

xVidi prvi i drugi crtez na slici 1 kao i sliku 2. Furijeova transformacija pravougaonika je sinkfunkcija.

3

-20 -10 0 10 20

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sinc(x)

x

Slika 2: Sink funkcija

4

P2 Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije:

h(t) =

8

-20 -10 0 10 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sinc

2

(x)

x

Slika 3: Sink kvadrat funkcija

4

P3a Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije: h(t) = cos(xt):

5

H(!) =

Z 11

h(t)ei!tdt =

Z 11

cos(xt)ei!tdt =1

2

Z 11

eixt + eixt

ei!tdt

H(!) =1

2

Z 11

ei(x+!)t + ei(!x)t

dt

Kako je Dirakova funkcija data preko:

(y) =1

2

Z 11

eisyds; (y) = (y)

konacno dobijamo:H(!) = ((! + x) + (! x))

Slika 4: Uz zadatak 3a.

4

5

P3b Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije: h(t) = sin(xt):

5

H(!) =

Z 11

h(t)ei!tdt =

Z 11

sin(xt)ei!tdt =1

2i

Z 11

eixt eixt ei!tdt

Slicno kao i u prethodnom primeru dobijamo (vidi sliku 4):

H(!) =1

2i

Z 11

ei(x+!)t ei(!x)t

dt

H(!) = i((! x) (! + x))

4


h(t) = Aeat2; a > 0:

5

H(!) =

Z 11

h(t)ei!tdt = A

Z 11

eat2ei!tdt

H(!) = A

Z 11

ea(t2 i!

at)dt = Ae

!2

4a

Z 11

ea(ti!2a)

2

dt

H(!) = Ae!2

4a

Z 11

ea(ti!2a)

2

d

t i!

2a

= A

r

ae

!2

4a

Gore je iskorisceno: Z 10

ea2x2dx =

p

2a; a > 0

Dakle, Furijeova transformacija Gausijana je, tako -de, Gausijan.

4


h(t) =cos t

t2 + a2; a > 0:

5

F (!) =

Z 11

cos t

t2 + a2ei!tdt

Iz:

cos t =eit + eit

2

6

sledi:

F (!) = F1(!) + F2(!) =1

2

Z 11

eit(!+1)

t2 + a2dt+

1

2

Z 11

eit(!1)

t2 + a2dt

Ovaj zadatak se najjednostavnije resava uz pomoc kompleksne analize (ponoviti matematiku4). Ponovimo, zato, nekoliko vaznih rezultata kompleksne analize bitnih za resavanje ovogzadatka:

1. Ako je funkcija f : D ! C analiticka na zatvorenoj, pozitivno orjentisanoj krivoj , kojaje granica oblasti D, onda vazi: I

f(z)dz = 2i

nXk=1

Resz=zk

f(z);

gde su zk singulariteti funkcije f unutar oblasti D.

2. Ako je z0 pol reda m (m 1) funkcije f(z) tada vazi:

Resz=z0

f(z) =1

(m 1)! limz!z0dm1

dzm1[(z z0)m f(z)] :

3. Ako je f(z) = Pm(z)Qn(z) , gde su Pm(z) i Qm(z) polinomi po z 2 C m-tog i n-tog stepena, iako je n m+ 2 sledi:

limR!1

Z

R+

f(z)dz = 0;

gde je R+ = Reit, t 2 [0; ].

Odredimo sada F1(!). Polovi (prvog reda) podintegralne funkcije su t = ai. Sa slike 5 jejasno da vazi: = R+ [ l, R > a, te da je:

I1 I

eiz(!+1)

z2 + a2dz =

Z

R+

( ) dz +Zl( ) dz

Na osnovu (1.) i (2.) sledi:I

eiz(!+1)

z2 + a2dz = 2i Res

z=ai

eiz(!+1)

z2 + a2= 2i lim

z!aieiz(!+1)

z2 + a2=

aea(!+1)

Uz pomoc (3.) mozemo procenitiR

R+

( ) dz. Sa jedne strane vazi:

0 Z

R+

eiz(!+1)

z2 + a2dz

Z

R+

dz

z2 + a2;

a sa druge, na osnovu (3.) imamo: Z

R+

dz

z2 + a2= 0

7

za R ! 1. Podsetimo se i da ako je kompleksan broj jednak nuli po modulu tada su murealna i imaginarna komponenta, tako -de, jednke nuli. Posto smo dobili da je

R

R+

( ) dz = 0za R!1 sada imamo da je:

limR!1

Zl( ) dz = lim

R!1

Z( ) dz;

odnosno:

F1(!) =

2aea(!+1)

Slicno se nalazi za F2(!):

F2(!) =

2aea(!1)

Konacno dobijamo:

F (!) =

aea! cosh a

Slika 5: Uz zadatak 5.

4

8

2 Konvolucija i korelacija

Konvolucija dve funkcije s(t) i h(t) je data preko:

y(t) =

Z 11

s()h(t )d = s(t) h(t): (7)Na slici 6 je gracki predstavljen princip konvolucije: funkcija h() se prevede u njenu

ogledalsku funkciju h() i zatim translira h(t ) kako bi zatim bila prevucena prekocitave funkcije s(). Ukoliko bismo h(t ) zaledili na bilo kojem mestu tokom procesaprevlacenja preko s() i pomnozili odgovarajuce vrednosti za ove dve funkcije dobilibismo jednu, korespondentnu, vrednost za y(t). Skup svih tako dobijenih vrednosti pred-stavlja konvoluciju dve date funkcije. Konvolucija se u nauci moze razumeti kao rezultatsprezanja dva zicka procesa.

Slika 6: Princip konvolucije. (Preuzeto iz [7].)

Teorema o konvoluciji: Furijeova transformacija konvolucije dve funkcije je jednakaproizvodu Furijeovih transformacija svake funkcije zasebno:

h(t) s(t), H(f)S(f): (8)

9

Teorema o konvoluciji je od velikog znacaja u nauci5.Korelacija dve funkcije s(t) i h(t) je denisana preko:

Corr(s; h) = z(t) =

Z 11

s()h( + t)d: (9)

Na osnovu teoreme o konvoluciji sledi:

z(t), H(f)S(f) = Z(f)) Corr(s; h), H(f)S(f): (10)Viner-Nisin-a teorema:

Corr(g; g), jG(f)j2 (11)

Primeri

P1 Odrediti konvoluciju f f , gde je:

f(x) =

8 D2

5Na slici 7 gracki je predstavljena nkcija f(x). Trazena konvolucija je data sa:

(f f)() =Z 11

f(x)f( x)dx

Gracki se konvolucija moze zamisliti kao prevlacenje jedne funkcije preko druge i racunanjepovrsine koja se nalazi ispod funkcije koja predstavlja njihov proizvod. Kako imamo dve istefunkcije, svejedno je koju cemo prevlaciti preko koje (generalno je svejedno mada u zavisnostiod konkretnog problema moze biti jednostavnije prevlaciti jednu umesto drugu funkciju).

Racunanje konvolucije za < 0 odgovara kretanju funkcije iz pocetnog polozaja (u ovomslucaju kada su funkcije prekolopljene) u levo, a za > 0 u desno (u principu mogli bismo daposmatramo stvari npr. tako sto jedna funkcija ide iz 1 i krece se samo desno). Kako je jasnoda je svejedno da li u razmatramo < 0 ili > 0 (resavanje je slicno, a funkcija koju cemo dobitikonvolucijom je simetricna u odnosu na = 0), razmatracemo samo slucaj > 0 (kretanje nadesno).

Slika 8 objasnjava racunanje konvolucije u nekoj tacki 0 < 6 D. Vidimo da se za izovog intervala ove dve funkcije preklapaju na intervalu od D2 + do D2 i za u tom intervaluracunamo konvoluciju kao povrsinu ispod krive koja predstavlja proizvod datih funkcija na tomintervalu. Za 2 (0; D) imamo: Z D

2

D2+

A2dx = A2(D )

5Detaljnije o konvoluciji i njenom znacaju u nauci vidi u [7], [22], i dr.

10

A-D/2 D/2

Slika 7: Pravougaonik (uz zadatak 1)

Slika 8: Uz postupak konvolucije (primer 1).

Vidimo da se za > D ove dve funkcije vise ne preklapaju pa je za te vrednosti vrednostkonvolucije jednaka nuli. Konacno dobijamo (slika 9):

f f =8

Slika 9: Konvolucija dva pravougaonika je trougao.

P2 Odrediti konvoluciju f f , gde je:

f(x) =

8 0 i zatim cemo simetricno preslikati funkciju za < 0. Kako funkcija f(x) (vidi sliku 10) denisana razlicito za razlicite intervale, racunanjekonvolucije cemo podeliti na nekoliko intervala za . Za 0 < 6 D imamo:

f f =Z 0D

A+

A

Dx

A+

A

D( x)

dx+

Z 0

A A

Dx

A+

A

D( x)

dx+

+

Z D

A A

Dx

A A

D( x)

dx = 7

6

A2

D23 + 2A2D

Razdvojili smo integral na tri dela kako na ta tri dela imamo razlicite poditnegralne funkcije(vidi slku 11).

Za D < < 2D imamo (vidi sliku 12):

f f =Z DD

A A

Dx

A+

A

D( x)

dx =

8

3A2D 2A2 + 1

6

A23

D2

12


Za > 2D vazi f f = 0. Simetricno je za < 0. Na kraju je neophodno ispitati osobinefunkcije (konveksnost/konkavnost). Resenje je predstavljeno na slici 13:

f f =

8>:76 A

2

D2j j3 + 2A2D; j j < D

83A

2D 2A2j j+ 16 A2j j3D2

; D 6 j j 6 2D0; j j > 2D

4

P3 Odrediti konvoluciju funkcija aE(x) i bE(x) ako su a; b; ; konstante a:

E(x) =

ex; x > 00; x < 0:

5

Po deniciji imamo:

aE(x) bE(x) = abZ 11

E(x)E( x)dx

13


Slika 13: Konvolucija dva trougla

Na slici 14 vidimo da se funkcije preklapaju na intervalu od 0 do :

aE(x) bE(x) = abE()Z 0E(x x)dx = abE()E( ) 1

14


aE(x) bE(x) = abE() E()

Odredimo sada i E(x) E(x):

E(x) E(x) = lim!0

E() E() =

d

dE() = E()

Na kraju, odredimo i E(x) E(x):

E(x) E(x) =Z 11

E( + x)E(x)dx

E(x) E(x) = R1

ex+exdx; > 0R1

0 ex+exdx; < 0:

E(x) E(x) = E() + E()+

4

15

P4 Odrediti konvoluciju funkcija f(x) = 2pex2 i g(x) = ejxj. Skicirati grak rezultujuce

funkcije.

5Po deniciji imamo:

(f g) (t) = 2p

Z 11

ex2ejtxjdx

jt xj =

t x; t > xx t; t < x

Na ovom mestu je lakse prevlaciti funkciju g(x) (u eksponentu je linearna zavisnost od x) - vidisliku 15.


(f g) (t) = 2p

Z t1

ex2e(tx)dx+

Z 1t

ex2etxdx

(f g) (t) = 2p

Z t1

ex2exetdx+

Z 1t

ex2exetdx

(f g) (t) = 2p

etZ t1

e(x2x)dx+ et

Z 1t

e(x2+x)dx

16

(f g) (t) = 2p

etZ t1

e(x2x+ 1

4)+ 1

4dx+ etZ 1t

e(x2+x+ 1

4)+ 1

4dx

(f g) (t) = 2p

et+

14

Z t1

e(x12)2dx+ et+

14

Z 1t

e(x+12)2dx

I1

Z t1

e(x12)2dx; y = x 1

2

I2 =

Z 1t

e(x+12)2dx; y = x+

1

2

)

(f g) (t) = 2p

"et+

14

Z t 12

1ey

2dy + et+

14

Z 1t+ 1

2

ey2dy

#

I3 =

Z t 12

1ey

2dy; z = y

)

(f g) (t) = 2p

"et+

14

Z t+ 12

1(1)ez2dz + et+ 14

Z 1t+ 1

2

ey2dy

#

(f g) (t) = 2p

"et+

14

Z 1t+ 1

2

ez2dz + et+

14

Z 1t+ 1

2

ey2dy

#Poznato je generalno:

2p

Z 1t

ex2dx =

2p

Z 10

ex2dx

Z t0ex

2dx

=

1 2p

Z t0ex

2dx = 1 erf(t)

Gore smo iskoristili da je: Z 10

ea2x2dx =

p

2a; a > 0

Sada konacno imamo:

(f g) (t) = et+ 141 erf

t+ 1

2

+ et+

14

1 erf

t+

1

2

Skiciranje. Odredimo prvo (f g) (0). Iz tablica specijalnih funkcija nalazimo da je erf(12)

0:52. Dobijamo: (f g) (0) 1:23. Odredimo sada prvi izvod funkcije: (f g)0 (t). Posle kracegsre -divanja dobijamo (i cinjence da ex2 ravnomerno konvergira):

(f g)0 (t) = et+ 14e(t

12)2 1 + erf

t+ 1

2

+ et+

14

1 erf

t+

1

2

e(t+ 12 )2

Gore je iskorisceno da vazi:

d

d

Z b()a()

f(x; )dx =

Z b()a()

@

@f(x; )dx+ f(b; )

db

d f(a; )da

d

17

Sada je jasno da vazi: (f g)0 (0) = 0. Postoji ekstremna vrednost u nuli. Jasno je, tako -de, daje funkcija diferencijabilna: (f g)0 (0) = (f g)

0(0+) = 0. Na kraju, odredimo drugi izvod

funkcije: (f g)00 (t). Nakon kraceg sre -divanja dobijamo:

(f g)00 (t) = et+ 14(2t+ 1)e(t 12 )2 + 1 erf

t+ 1

2

+

+et+14

(2t 1)e(t+ 12 )2 + 1 erf

t+

1

2

Iz uslova (f g)00 (t) = 0 dobijamo:

2et2 14 + et erfct+ 1

2

+ et erfc

t+

1

2

= 0;

gde smo sa erfc(x) oznacili erfc(x) = 1 erf(x). Jasno je da je za t = 0 funkcija konkavna(drugi izvod manji od nule). Za t = 1 funkcija je konveksna (drugi izvod veci od nule). Kako

je funkcija simetricna, konacno, mozemo skicirati njen grak (uraditi za vezbu). Oblik funkcije

moze da se oceni i samo logickim zakljucivanjem (bez trazenja izvoda) ali za lociranje prevojnihtacaka je neophodno nalazenje drugog izvoda.

4

18

3 Prakticni znacaj Furijeovih transformacija

Posmatrajmo proizvoljnu neprekidnu funkciju x(t) i uzmimo da je nezavisno promenljivavreme t. Furijeova transformacija od x(t) je, kao sto smo videli u prethodnim poglavljima:

X(f) =

Z 11

x(t)ei2ftdt;

dok je inverzna Furijeova transformacija data sa:

x(t) =

Z 11

X(f)ei2ftdf;

gde je f frekvencija. Ukoliko se frekvencija zameni ugaonom brzinom ! = 2f dobijamojednacine analogne (2a/b). Iz Ojlerove formule:

eikx = cos(kx) + i sin(kx) (12)

sledi:

X(f) =

Z 11

x(t) cos(2ft)dt+ i

Z 11

x(t) sin(2ft)dt = U + iV; (13)

gde je U tzv. kosinus transformacija, a V tzv. sinus transformacija.

Sada cemo pokusati da odgovorimo na pitanje o prakticnom interesu za transformacijux(t) u X(f).

Pretpostavimo da se u x(t) nalazi nekoliko (Q) slabih oscilatornih signala, potopljenihu intenzivniji sum, koji cemo predstaviti nekom nepoznatom funkcijom s(t):

x(t) =

QXj=1

Aj cos(2fjt) + s(t): (14)

Ako izvrsimo smenu:

cos(2fjt) =1

2

ei2fjt + ei2fjt

;

za Furjeovou transformaciju od x(t) se dobija:

X(f) =

QXj=1

Aj2

Z 11

ei2(f+fj)t + ei2(ffj)t

dt+

Z 11

s(t)ei2ftdt

Lako se moze uociti da prvi integral sa desne strane predstavlja zbir Dirakovih funkcija:

I1 =

QXj=1

Aj2

Z 11

[ei2(f+fj)t + ei2(ffj)t]dt =QXj=1

Aj2[(f + fj) + (f fj)]:

Ukoliko je, radi jednostavnosti, s(t) tzv. beli sum6 njegovom transformacijom se dobijakonstanta:

I2 =

Z 11

s(t)ei2ftdt = const:

6Ovaj tip suma ne zavisi od frekvencije. Pored belog suma javljaju se i 1=f (icker, pink) sum, 1=f2

(Braunov, crveni, random-walk) sum,...

19

Dakle, Furijeovom transformacijom funkcije x(t), koja sadrzi oscilatorne signale potopljeneu belom sumu, dobija se diskretna funkcija frekvencije X(f) koja se sastoji od zbiraDirakovih funkcija. Ako se sada ogranicimo samo na pozitivne frekvencije, koje imajuzicki smisao, dobijamo:

X(f) =

QXj=1

Aj2(f fj) + const:

Ako bismo u Dekartovom koordinatnom sistemu predstavili X(f), svakoj (ko)sinusoidnojkomponenti x(t) odgovarala bi jedna linija na f = fj koja pocinje sa konstantnog nivoaI2. Tako se, umesto slike neprekidne funkcije, dobija nesto nalik na linijski spektar, tzv.periodogram.

Na osnovu gornjeg izlaganja naslucujemo da bi Furijeova transformacija neprekidnefunkcije x(t), u kojoj nismo u stanju da vizuelno prepoznamo harmonijske komponente,mogla da omoguci da se x(t) razlozi po frekvenciji i tako analizira njena oscilatornastruktura. Me -dutim, posto su granice integracije beskonacne, gornje formule se ne moguodnositi na realno posmatrane funkcije.

Pretpostavimo sada da je x(t) zadato na intervalu t 2 [0; T ]. Mi mozemo denisatifunkciju:

x1(t) = h(t)x(t);

gde je:

h(t) =

1; t 2 [0; T ]0; t =2 [0; T ]:

Ocigledno, funkcija x1(t) je denisana na intervalu t 2 (1;1), pa se moze naci odgo-varajuca Furijeova transformacija:

X1(f) =

Z 11

h(t)x(t)ei2ftdt: (15)

Ako je H(s) Furijeova transformacija h(t), to je:

h(t) =

Z 11

H(s)ei2stds;

pa sledi:

X1(f) =

Z 11

x(t)ei2ft

Z 11

H(s)ei2stdsdt:

Kako se u drugom integralu vrsi integracija po promenljivoj s, to se prva podintegralnafunkcija moze uneti pod ovaj integral kao konstanta i tako dobiti:

X1(f) =

Z 11

Z 11

x(t)ei2(fs)tH(s)dsdt:

Posto je: Z 11

x(t)ei2(fs)tdt = X(f s);

20

konacno dobijamo:

X1(f) =

Z 11

X(f s)H(s)ds: (16)

Ovako denisanoX1(f) predstavlja konvoluciju funkcijaX(s) iH(s). Smenom promenljive,moze se lako pokazati da je:

X1(f) =

Z 11

X(u)H(f u)du:

Iz gornjih jednacina sledi zakljucak, da kad je x(t) zadato na konacnom intervalu t, inte-gral:

I =

Z T0

x(t)ei2ftdt;

ne predstavlja X(f) - Furijeovu transformaciju x(t), vec Furijeovu transformaciju funkcijex1(t) = h(t)x(t). Me -dutim, kao sto cemo kasnije videti, i to I = X1(f) sadrzi dovoljnojasne informacije o oscilatornoj strukturi x(t). U engleskoj terminologiji, h(t) je poznatokao boxcar function.

Radi ilustracije, uzecemo da je x(t) zadato na intervalu t 2 [T; T ] i da predstavljazbir sinusoidnih signala bez suma:

x(t) =Xj

[aj cos(2fjt) + bj sin(2fjt)] :

Ako denisemo:

I =1

T

Z TT

x(t)ei2ftdt =1

T

Z 11

h(t)x(t)ei2ftdt;

dobicemo (uz primenu Ojlerove jednacine):

I =1

T

Z TT

Xj

aj [cos(2fjt) cos(2ft) + i cos(2fjt) sin(2ft)] dt+

+1

T

Z TT

Xj

bj [sin(2fjt) cos(2ft) + i sin(2fjt) sin(2ft)] dt:

Sada mozemo iskoristiti trigonometrijske identitete:

cos() cos() =1

2[cos( ) + cos(+ )]

sin() cos() =1

2[sin( ) + sin(+ )]

sin() sin() =1

2[cos( ) cos(+ )]

Integrali sinusa u granicama [T; T ] su jednaki nuli, pa imamo:

I =Xj

aj2T

Z TT

[cos (2(fj + f)t) + cos (2(fj f)t)] dt+

21

+Xj

ibj2T

Z TT

[cos (2(fj f)t) cos (2(fj + f)t)] dt:

Integracijom konacno dobijamo:

I =Xj

aj

sin(2(fj + f)T )

2(fj + f)T+sin(2(fj f)T )2(fj f)T

iXj

bj

sin(2(fj + f)T )

2(fj + f)T sin(2(fj f)T )

2(fj f)T:

Ako je T mnogo vece od perioda P i Pj, koji odgovaraju frekvencijama f i fj, imenioc2(f + fj)T je veliki, pa se prvi sabirci uz aj i bj mogu zanemariti tako da I postaje:

I Xj

ajsin(2(f fj)T )2(f fj)T + ibj

sin(2(f fj)T )2(f fj)T

=

=Xj

(aj + ibj)R(); (17)

gde je R() sinc() sin, = 2(f fj)T . Kad god frekvencija f , kao nezavisno

promenljiva, tezi frekvenciji nekoj od oscilacija sadrzanih u x(t) (fj) realni deo I teziaj, a imaginarni deo ka bj, jer funkcija R() tezi jedinici. Podsetimo se da realni deo Isustinski odgovara kosinus transformaciji, a imaginarni sinus transformaciji. Sto god je Tvece u odnosu na periode P i Pj, ekstremum funkcije R() je uzi. Takozvana selektivnostFurijeovih transformacija - mogucnost razdvajanja ekstremuma bliskih frekvencija (fj; fk)- zavisi od sirine ekstremuma R() funkcija koje odgovaraju tim frekvencijama.

22

4 Diskretna Furijeova transformacija

4.1 Uzorkovanje

U praksi, mozemo samo da prikupljamo uzorke neke kontinualne funkcije odnosnosignala (njene vrednosti u diskretnim tackama). Uzorkovanje sa ekvidistantnim korakomT se obicno predstavlja proizvodom kontinualne funkcije koja se uzorkuje i tzv. cesaljfunkcije7 (set impulsnih funkcija sa korakom T ):

h(t) =1X

n=1(t nT ), H(f) = 1

T

1Xn=1

f n

T

; (18)

gde za impulsnu (Dirakovu ) funkciju vazi:

(t ) = 0 za t 6= ;Z 11

(t )dt = 1:

Na slici 16 je gracki predstavljen princip uzorkovanja i posledica teoreme o konvoluciji.Dok se u vremenskom domenu funkcije mnoze u frekventnom domenu je rec o konvoluciji.

Slika 16: Princip uzorkovanja. (Preuzeto iz [7].)

Teorema o uzorkovanju: Ako kontinualna funkcija h(t), uzorkovana sa ekvidistant-nim korakom T , zadovoljava uslov da je njena Furijeova transformacija H(f) = 0 za svefrekvencije u Najkvistovom intervalu 8 jf j fc, tada se funkcija moze potpuno rekon-struisati datim uzorcima. fc =

12T

se naziva Najkvistova frekvencija. U suprotnom cesvako H(f) 6= 0 van Najkvistovog intervala, biti pogresno preslikano u njega (aliasing).Na slici 17 je gracki prikazana negativna posledica uzorkovanja funkcije za koje ne vazeuslovi teoreme o uzorkovanju.

7Nekada se obelezava i saX(x).

23

Slika 17: Uz objasnjenje pojave pogresnog preslikavanja. (Preuzeto iz [10].)

4.2 Diskretna Furijeova transformacija

Teorija koja je ranije izlozena odnosi se na neprekidne funkcije h(t), koje se u tehnicinazivaju analogni signali. Me -dutim, s obzirom na prirodu astronomskog posmatranja,diskretne posmatracke serije su osnova nasih istrazivanja. Iz prakticnih razloga, cesto se ianalogni signali predstavljaju pomocu diskretnih serija. Gubitak tacnosti, koji je posledicadiskretizacije (ili digitalizacije), ne mora biti znacajan. Po Najkvistovoj teoremi imamoda ako je neprekidna funkcija h(t) zadata diskretno na seriji ekvidistantnih argumenatati i ako je elementarni interval (korak) dovoljno mali, h(t) se moze rekonstruisati izme -dususednih (ti; tj) sa proizvoljnom tacnoscu.

Pretpostavimo da neku kontinualnu funkciju h(t) mozemo uzorkovati na ekvidistantnimintervalima T . Uzorkovali smo N diskretnih vrednosti funkcije hk h(kT ) gde je k =0; 1; 2; :::; N 1. Na osnovu teoreme o uzorkovanju trazimo periodicne clanove na fn nNT

; n = N2; :::; N

2, sa granicama fc. Zelimo da ocenimo Furijeovu transformaciju

(konvencija 1) u slucaju konacnog broja diskretnih tacaka8:

H(fn) =

Z 11

hk(t)ei2fntdt

N1Xk=0

h(kT )ei2fnkTT

H(fn) TN1Xk=0

hkei2nk=N = THn;

8Logicno, diskretne su i funkcija i njena Furijeova transformacija. k broji uzorkovane vrednosti dok nbroji probne frekvencije.

24

gde Hn predstavlja tzv. diskretnu Furijeovu transformaciju9 (dalje DFT):

Hn =N1Xk=0

hkei2nk=N : (19a)

Lako se vidi da Hn ne zavisi od intervala uzorkovanja T . Inverzni DFT je dat:

hk =1

N

N1Xn=0

Hnei2nk=N : (19b)

Za diskretnu Furijeovu transformaciju mozemo pisati:

Hn =N1Xk=0

hk (cos(2fnkT ) + i sin(2fnkT )) = Uf + iVf ; (20a)

Uf =N1Xk=0

hk cos(2fnkT ); Vf =N1Xk=0

hk sin(2fnkT ): (20b)

Frekvencija f fp, kao nezavisno promenljiva, se cesto naziva probna frekvencija. Ovajatribut joj se daje zbog toga sto se pri analizi signala h(t) nepoznata fp proizvoljno varirada bi se otkrili pikovi. Kao sto je ranije receno, probna frekvencija mora biti manja odNajkvistove frekvencije. Ukoliko sa oznacimo ukupnu duzinu vremenske serije jasno jeda probna frekvencija mora biti veca od 1=. Veci periodi od mogu biti detektovanikao prisustvo sekularnog clana u podacima (npr. linearni trend). U prakticnoj primeniFurijeovih transformacija se nastoji da ukupna duzina vremenske serije bude bar desetakputa vece od najveceg pretpostavljenog perioda.

Korisno je, kao rezultat diskretne Furijeove transformacije, prikazati grak amplituda(amplitudni spektar) jHnj2 Af za razlicite probne frekvencije fp. Ukoliko razmatramopozitivne frekvencije (jednostrano) tada amplitude i faze za svaku probnu frekvencijufp > 0 mozemo izracunati preko:

Af =2

N

qU2f + V

2f ; f = arctg

UfVf

: (21)

4.3 Problemi diskretizacije i uslovi za primenu Furijeove trans-formacije

Ponovimo jos jednom da se mora voditi racuna o teoremi o uzorcima. Sa jednestrane postoji visokofrekventno ogranicenje u vidu Najkvistove frekvencije (sve frekven-cije moraju biti manje od Najkvistove odnosno svi periodi veci od minimalog dikranogNajkvistovom frekvencijom). Ako sa fu oznacimo frekvenciju uzorkovanja (fu =

1T) tada

iz Najkvistove teoreme sledi fp

1NT

.Diskretna Furijeova transformacija se moze koristi u analizi stacionarnih vremenskih

serija. U slucaju nestacionarnosti podesnije je koristiti metodu talasica. Tako -de, jednaod pretpostavki za primenu diskretne Furijeove transformacije jeste da je uzorkovanjeekvidistantno. Postojanje rupa i neravnomernosti u posmatrackoj seriji je cesta pojava uastronomiji (npr. oblacne posmatracke noci, itd.). U slucaju vremenskih serija sa znat-nim odstupanjima od ekvidistantnog uzorkovanja podesnije je koristiti tzv. Lombov pe-riodogram (ili njegove modikacije). Upotreba interpolacije i zatim primena Furijeoveanalize iako sasvim opravdana moze dovesti do pojava laznih pikova koji upravo odgo-varaju rupama u posmatranjima.

Jos jedan problem vezan za analizu diskretnih podataka jeste postojanje razlike u fazi.Kako je prakticno nemoguce da pocetna i krajnja tacka sa analiziranog intervala buduu istoj fazi, tako se javlja sirina pika10. Jedan od nacina da smanjimo sirinu pika jesteupotrebom odgovarajucih ltera. Mozemo npr. koristiti Haningov prozor i time pokusatida vestacki dovedemo pocetnu i krajnju tacku u istu fazu. To se postize konstrukcijomfunkcije cije vrednosti teze nuli na pocecima i krajevima posmatranog intervala i njenimmnozenjem sa nasom serijom.

10 Cinjenica da se stvarne ucestanosti sinusnih/kosinusnih komponenti koje su zaista prisutne u signalu,ne sadrze ceo broj puta u okviru datog intervala vremena vec su naglo odsecene na krajevima, doprinosisirenju linija koje opisuju te komponente u Furijeovom spektru (domen ucestanosti). Samim tim, dolazido gubitka znacajnih informacija, jer se ne zna da li je sirenje spektralnih linija nastalo usled opisanogefekta ili je u pitanju npr. amplitudna modulacija sa nosiocem na glavnoj ucestanosti, a sirenje oko oveucestanosti uslovljeno sirinom frekventnog opsega modulisuceg signala i dubinom modulacije.

26

Dodatak

Reprezentacija funkcija

Vektor F moze biti reprezentovan kao:

F =NXn=1

Fnin;

u bazisu (ortonormiranom skupu vektora) koji zadovoljava:

im in = m;n =

1; m = n0; m 6= n:

Tako -de vazi:Fm = F im:

Slicno, funkcija y(t) moze biti reprezentovana u nekom bazisu kao:

y(t) =NXn=1

Ynn(t):

U prostoru funkcija, moze se denisati skalarni proizvod dve funkcije x(t) i y(t) kao:

(x; y) =

Z ba

x(t)y(t)!(t)dt; (D 1:1)

na intervalu a < t < b, gde je y(t) kompleksno konjugovana vrednost od y(t) a !(t)metrika.

Sistem funkcija se naziva ortogonalnim na nekom intervalu a < t < b, ako su svakedve funkcije iz tog sistema ortogonalne me -dusobno na tom intervalu, odnosno ako jezadovoljeno:

n m =Z ba

n(t)m!(t)dt = knm;n:

Sistem je ortonormiran ako vazi da je kn = 1; 8n.Istorijski, prvi i najvazniji ortogonalni sistem funkcija je sistem:

1; cosx; sinx; cos 2x; sin 2x; :::; cosnx; sinnx; ::: (D 1:2)

na intervalu x 2 [; ] (tzv. Furijeova serija).Lako se mozemo uveriti da je ovaj sistem zaista ortogonalan. Uz deniciju skalarnog

proizvoda za dve realne funkcije x(t) i y(t), zadate na konacnom ili beskonacnom intervalu(a < t < b):

(x; y) =

Z ba

x(t)y(t)dt (D 1:3)

27

imamo11: Z

cosnx cosmxdx = 0 (m 6= n);Z

sinnx sinmxdx = 0 (m 6= n); (D 1:4)Z

cosnx sinmxdx = 0 (8 m;n = 0; 1; 2; :::):

Sistem (1.2) je ortogonalan i na intervalu x 2 [0; 2] i uopste na bilo kom intervalu duzine2 (osobina odre -denog integrala periodicnih funkcija12).

Sistem funkcija:1; cosx; cos 2x; :::; cosnx; ::: (D 1:5)

je ortogonalan na intervalu x 2 [0; ] kao i sistem funkcija:

sin x; sin 2x; :::; sinnx; ::: (D 1:6)

Pri tome, sistem funkcija (1.2) na tom intervalu nije ortogonalan.Svaku od funkcija iz (1.2) mozemo proizvoljno produziti (razvuci) duz x{ose tako da

dobijemo sistem funkcija:

1; cosx

l; sin

x

l; cos

2x

l; sin

2x

l; :::; cos

nx

l; sin

nx

l; :::; (D 1:7)

koji je ortogonalan na intervalu x 2 [l; l], pri cemu je l arbitrarno. Slicno mogu da serazvuku sistemi (1.5) i (1.6) kao i bilo koji ortogonalni sistem funkcija. Tako -de, ortogonalnisistem funkcija ostaje ortogonalan pri translacijama duz x{ose na tom (transliranom)intervalu.

Osobinu ortogonalnosti mogu imati i neki drugi sistemi funkcija. Ovde cemo navestijos i postupak konstrukcije sistema tzv. Lezandrovih polinoma na intervalu x 2 [1; 1].Pocicemo od sistema funkcija:

1; x; x2; x3; :::; xn; ::: (x 2 [1; 1]) (D 1:8)

Prve dve funkcije su me -dusobno ortogonalne:Z 11

1xdx = 0;

zato mozemo staviti P0(x) 1 i P1(x) x. Treca funkcija nije ortogonalna sa prvom, pacemo za P2(x) uzeti linearnu kombinaciju prve tri funkcije (D1.8), tj.:

P2(x) = ax2 + bx+ c;

11Pretpostavlja se da su funkcije x i y bilo konacne bilo beskonacne, ali integral (1.3) mora biti apsolutnokonvergentan.

12Za periodicne funkcije vazi f(x) = f(x ), gde je period.

28

gde koecijente a; b; c biramo tako da P2(x) bude ortogonalan sa vec izabranim poli-nomima P0(x); P1(x), tj.:Z 1

1(ax2 + bx+ c)1dx = 0;

Z 11(ax2 + bx+ c)xdx = 0:

Tako dobijamo:b = 0; a = 3c; tj: P2(x) = c(3x2 + 1):

Ovde je c { proizvoljna konstanta13. Obicno je biramo tako da bude P2(1) = 1. Dobijamoc = (1=2), tj.:

P2(x) =3

2x2 1

2:

Za konstrukciju P3(x) uzimamo kombinaciju prve 4 funkcije (D1.8), tj.:

P3(x) = ax3 + bx2 + cx+ d;

pri cemu se koecijenti a; b; c; d biraju tako da P3(x) bude ortogonalna sa vec konstru-isanim polinomima P0(x); P1(x) i P2(x). Uz dopunski uslov P3(1) = 1 nalazimo:

P3(x) =5

2x3 3

2x:

Po analogiji dalje mozemo konstruisati:

P4(x) =1

8(35x4 30x2 + 3); P5(x) = 1

8(63x5 70x3 + 15x); :::

Ovako konstruisani polinomi su me -dusobno ortogonalni na intervalu x 2 [1; 1].Postupak slican ovome moze da se na intervalu x 2 [1; 1] sprovede nad bilo kojim sis-

temom linearno nezavisnih funkcija, kao i na bilo kom intervalu, ako su integrali kvadratatih funkcija konvergentni na izabranom intervalu. Taj postupak se naziva ortogonalizaci-jom.

Primeri razlicitih ortogonalnih sistema u prostoru funkcija su: Furijeova serija, Lezandrovipolinomi, Lagerovi polinomi, Hermitovi polinomi, Cebisevljevi polinomi, sferni harmonici,itd.

13Iz skupa ravnopravnih objekata izaberemo jedan - izvrsili smo normiranje.

29

Literatura

[1] D. Adna -devic, Z., Kadelburg, Matematicka analiza II, (Matematicki fakultet,Beograd, 2008)

[2] G. J. Babu, E. D. Feigelson, Astrostatistics, (Chapman & Hall, 1996).

[3] R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, Inc., 1965.

[4] D. Durovic, Matematicka obrada astronomskih posmatranja, (ISRO "Privredno-nansijski vodic", Beograd, 1979).

[5] D. Durovic, Skripte za predmet Obrada astronomskih posmatranja, (1999)

[6] D. Durovic, Bull. Astron. Belgrade, 145, 17, (1992).

[7] P. Gregory, Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences, (CambridgeUniversity Press, 2005).

[8] A. Papoulis, The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill Book Company,Inc., 1962

[9] W. H. Press, G. B. Rybicki, ApJ, 338, 277, (1989).

[10] W. H. Press, G. B. Rybicki, Numerical Recipes in C: The Art of Scientic Computing,Second Edition (https://www.zyka.umk.pl/nrbook/bookcpdf.html).

[11] D. P. Radunovic, A. B. Samardzic, F. M. Maric, Numericke metode, Zbirka zadatakakroz C, Fortran i Matlab, (Akademska misao, 2005).

[12] D. Radunovic, Talasici, (Akademska misao, Beograd, 2005).

[13] K. Rohlfs, T. L. Wilson, Tools of Radio Astronomy (second completely revised andenlarged edition), (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996).

[14] S. W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, (Cal-ifornia Tehnical Publishing, 1997).

[15] D. Urosevic, J. Milogradov-Turin, Teorijske osnove radio-astronomije, (Matematickifakultet, Beograd, 2007).

[16] J. V. Wall, C. R. Jenkins, Practical Statistics for Astronomers, (Cambridge Univer-sity Press, 2003).

30

Documents

DocumentFT