FTN - Teorija redova

7/23/2019 FTN - Teorija redova

http://slidepdf.com/reader/full/ftn-teorija-redova 1/97

UNIVERZITET U NOVOM SADU

F A K U L T E T TEHNIČKIH N A U K A

Nevenka Adžić

Aleksandar Nikolić

T E O R IJ A R E D O V A sa primerima

NOVI SAD

O 0 0 7



Predgovor uz drugo izdanje

U istoriji matematike teorija redova zauzima značajno rnesto, njeni korenisežu još u antički period razvoja matematike, a intenzivno se razvija već

pola veka. Deo teorije redova koji je obrađen u ovorn udžbeniku. uoblieen je

pre više od sto godina. prvenstveno u radovima Lajbnica (Leibnitz), Košija

(Cauchv), Dalarnbera (D’Alembert), Dirihiea (Dirichlet), Furijea (Fourier),

Abela, ali i rnnogih drugih naučnika.

Udžbenik Teorija redova sa priinerima se pored brojnih knjiga, od ko-

jih. su samo neke navedene u literaturi, prvenstveno oslanja na 35- godišnjutradiciju predavanja i vežbi iz teorije redova na Fakultetu tehničkih nauka

u Novom Sadu. Pomenućeino akademika Vojislava Marića, profesore Irenu

Comić, Zvezdanu Radašin, Iliju Kovačevića, Milu Stojaković i asistente Mir-

janu Cvijanović i Veru Ungar, koji su u tom periodu dali najveći doprinos

razvoju nastave iz ove oblasti.

Udžbenik je namenjen studentima tehnike, pre svega mašinskog, građe-

vinskog i saobraćajnog odseka, ali mislimo da mogu da ga koriste i studentidrugih fakulteta koji se u toku stuđija susreću sa teorijom redova.

Tekst udžbenika je podeljen na dva poglavlja - brojni redovi i redovi

funkcija. U okviru redova funkcija su obrađeni Furijeovi redovi i primena

redova na rešavanje diferencijalnih jednačina. Obrađena teorija je ilustrovana

■kroz detaljno urađane priinere, a u drugom izdanju su na kraju svakog

poglavlja dodati i zadaci za samostalno rešavanje sa rezultatima.

Autori se zahvaljuju recenzentima Ireni Cornić, Jovanki Nikić i ZoraniLužanin na strpljivo i detaljno proučenom tekstu udžbenika, kao i korisnim

primedbama koje su značajno uticale na njegov krajnji izgieđ. Naravno, za

sve preostale greške odgovornost snose samo autori.

I



Predgovor trećem izdanju

Usled promena u nastavnim planovima i programima studija. kao i nji-

hovih uskladjivanja sa studiranjem po principima Bolonjske deklaracije, u

trećem izdanju udžbenika Teorija redova ne nalazi se gradivo vezano za

rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću stepenih redova i za teoriju Furi-

jeovih redova. Preostali deo teksta je uz manje ispravke štamparskih grešaka

istovetan tekstu drugog izdanja.

Autori



Sadržaj

I DEO

BROJNI REDOVI

1. Osnovni pojmovi i đefinicije ................................................................1

2. Osnovni uslovi konvergencije redova ............................................... 8

3. Osnovne operacije sa redovim a........................................................12

4. Redovi sa pozitivnim članovima ...................................................... 16

5. Uporedni kriterijumi konvergencije pozitivnih redova .......... 19

6. Redovi sa pozitivniin i negativnim članovima ........................... 37

7. Zadaci za samostalno vežbanje ........................................................ 50

II DEO

REDOVI FUNKCIJA

1. Definicija reda funkcija................................... 53

2. Konvergencija i osobine redova funkcija ...................................... 54

3. Stepeni redovi..........................................................................................66

4. Tajlorov i Maklorenov red .................................................................. 80

5. Zadaci za samostalno vežbanje ........................................................ 89



Osuovni pojmovi i deffnicije 1

I DEO

Brojni redovi

1 Osnovni pojmovi i definicije

Neka je a0, ax, a2, a3, . . . , an, . . . beskonačan niz realnih brojeva, a brojevi a*,

k £ K na neki način zavise od indeksa k, tj. — f(k). Ako je potrebno

sabrati konačno mnogo članova (brojeva) ovog niza, npr. prvih n + 1

n

+ gsi + a2+ . .. + an = E ak ■k—0

to se može uraditi bez većih poteškoća, osim ako se zahteva da se taj konačan

zbir predstavi jednim inatematičkim izrazom, što ne mora uvek biti inoguće.

Kao primer može da posluži zbir prvih n prirodnih brojeva" — A

n

l + 2 - r3 + . . . + n = ) k =k=l

(n + 1)2

ili zbir prvih n članova geometrijske progresije

l + q + q 2 + g3+ ■•• + 5n_1

n—1

k=i)

1 - qn

1 - q ’

što se u oba slučaja lako pokazuje primenom matematičke indukcije.

U matematici se vrlo rano pojavila potreba naiaženja zbira u korne je brojsabiraka (brojeva) veći ođ svakog unapred datog broja, drugim rečima da se



2 Glava I Brojni rcdovi

nađe zbir beskonačno mnogo brojeva. Taj problern se može prikazati i kao

zbir svih članovaposmatranog

beskonačnog niza brojeva a(j.ai,

a2,. . . . an, ... .

Očigledno je da se u toin slučaju ovaj zbir ne rnože izračunati dođavanjern

jednog po jednog sabirka, a pokazalo se da takav beskonačan zbir ne rnora

uvek irnati sve osobine konačnog zbira. Za razliku od konačnog zbira, ovde

se javljaju dva, ne uvek jednostavna problerna

• probiem konvergencije beskonačnog zbira, tj. da li beskonačan zbir

postoji '

• problem zbirljivosti beskonaćnog zbira, tj. ako beskonačni zbir pos-

toji. koliko iznosi.

Da bi se ti problemi razrešiii, neophodno je da se kao nov pojam, uvede

pojam zbira beskonačno mnogo brojeva. To ćerno uraditi na sledeći način:

Od brojnog niza a0, a-i, a , a3, . . . , an, . . . formiraćemo novi niz realnih bro-

jeva S'o, s‘i, s2, s3. . . . . sn ..., gde su

S'O — «o

S'i = ao T a-i

S'2 = a0 + ai + a-2

(i{) + q,\ + ... + an_2 + aR_in

a0+ ai + .. . + an_i + an = ak A;=0

Definicija: Granična vrednost niza brojeva s0, Si, s2, s:>,. . . . sn...

n

iim sr = iim a-kn—>oo n—>oc

k=0

u oznaci



Osnovni pojinovi i deSnicije 3

predstavlja zbir beskonačno mnogo brojeva. i naziva se beskonačan brojni

red ili, kraće, sanio red.

Broj ak se naziva opšti član reda i na osnovu njega se može pojedinačno

napisati bilo koji član reda, tj. da bismo znali kako izgleda red, dovoljno je

da iinarno njegov opšti član. Niz {*'„}, n — 0, 1,... naziva se niz pareijalnihoc n

(delimičnih) suma reda ak. Opšti član tog niza je sn = ak. k= 0 k= 0

Primer 1. Odredimo red ako je opšti član niza parcijalnih suma

Kako je

Sn — Sn- 1 = Qq + Qi + ■. •+ an-i + On — (ao + Oi + • ••+ On-l) — a n ;

to je opšti član reda

/On

1

n + 11 - - = 1

n j

1 1 1-----— 2 _l— _ —------ — ,n + 1 n n{n + L)

pa je red oblika30 1

V ---- ----- .n(n + 1)

Početna vrednost indeksa ne može biti n = 0, jer izraz an

predstavlja opšti član dobijenog reda nije definisan za n = 0.

in(n+l

- koji

Napominjemo da se u literaturi beskonačni brojni red ili red, često jed-

nostavno uvodi kao beskonačan zbir realnih brojeva, tj. kao izraz oblikaOC

Oo + Oi + .. . + on + ■•• = o„ .71 = 0

Kako smo red definisali kao graničnu vrednost niza parcijalnih suma,

pitanje postojanja zbira tog reda se svodi na pitanje postojanja granične

vrednosti niza parcijalnih suma. Ako ta granična vrednost postoji, tj. ako je

r.iz {sn}, n = 0,1,... konvergentan i konvergira ka s, tj.

lim sn = s ,n—»oo



Glava I Brojni redovi

kaže se da je red E an konvergentan ili da konvergira, i da je s njegov n=0

zbir (suma reda). Piše se OO^ ân &■n=0

Ovako uveden pojam konvergencije reda često se naziva konvergencija

u Košijevom smislu ili obična konvergencija i on je ekvivalentan po-

jmu zbirljivosti reda, tj. određivanju broja koji predstavlja zbir beskonačno

mnogo članova reda. ■

Napominjeino da ako se pojam konvergencije reda uvede na neki drugi

način, tada se konvergencija i zbirljivost reda ne moraju uvek poklapati.

Ako lim sn ne postoji (niz {sn}, n = 0, 1, . . . je divergentan), onda sen~>oc 0° # #

kaže da je red E an divergentan iii da divergira.77=0

Kod divergencije reda, u zavisnosti od vrste divergencije niza parcijalnih

suma, razlikujemo dva slučaja:

OC

ako ie lirn sn = +oo ili lim sn = -oo , kaže se da red E an

divergira ka + oc, odnosno —oc,

- ako je liminf sn - l , limsup sn = L i l ^ L , kaže se da divergen-'/(- >OC q q

ootan red E an oscilira izrneđu brojeva l i L koji mogu biti konačni ili

71=0 beskonačni.

Čitaoce takođe podseeamo da je svaki Košijev niz konvergentan. da je svaki

monoton i ograničen niz konvergentan, kao i da svaki podniz konvergentnog

niza takođe konvergira ka istoj graničnoj vrednosti. Ove tri činjenice ćemo

koristiti u daljem tekstu.

Napoininjemo da u savremenoj matematici postoji teorija divergentnih

redova kao posebna obiast matematičke analize, no u ovom kursu ćemo se

prvenstveno baviti konvergentnim redovima.Dosadašnje izlaganje ćemo ilustrovati kroz sledeće primere.



Osnovni pojinovi i definicije o

Primer 2. Ispitajmo kotivergenciju i, gdc je to moguće, nađiino sumu redova:

OO OC -1

(a) , ( & ) £ - / = ,k—1 V K

1

(a) Kako je sn — X) k — 1 + 2 + ... + nk—l

k —0 k(k + l)

n{n + 1)

2-, sledi da je

lim s„ — limn(n + 1)

“ / 6 nn —>oo n - t a c 2

+CX3 ,

pa red divergira ka +oo.

(6) Kako je opšti član niza parcijalnih suma

1 1

1+ V 2 + V 3 ^' " + + > n ' + ^

to je liin sn +oo. pa je dati red divergentan.TI-+OC ' 2 x 0

(c) Opšti član niza parcijalnih suma je

^2 qk = 1 + q + ... + qn 1 + qnk—O

1 ~ q, n + l

1 - q■,q žî-

Za \q\ < 1 izraz qn+1 teži nuli kada n teži beskonačnosti, za q > 1 izraz

qti+i se uvećava beskonačno sa n, a za q < — 1 niz {sn} oscilira između

+oo i —oo jer je lim s2n-1 = —oo, a lim s2n = + ;OC. Zato jeJ J n—too n -to o

lim sr1 - 9+CX)

za t; 1, red divergira ka + oc

ne postoji za q < - 1 , red divergira (oscilira).

Za q — 1 red postaje

V r = i + i

k- 0

+ 14- . . . =+ sn ~ n + 1,

pa iz iim sr, — lim (n + 1) — +oo sledi da red divergira ka +oc.TI— t C,© ’ v*7i—>00



6 Glava I Brojni redovi

Za q — —1 imamo

OC

^ ( — l)fc = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — =r- S 2n — 1 , S 2n+1 = 0 ,fc=0

pa lim s„ ne postoji, a red oscilira između 0 i 1, tj. divergira.71—><X>

(.d ) Opšti član niza parcijalnih surna je

n -f-1pa ie lim sn = 1. Red konvergira i njegova suma je s = 1.

n—>00

Naglašavarno da smo, kako se radi o konačnom zbiru, u izrazu za

sn smeli da ” pomeranjem zagrada” pregrupišemo sabirke, tj. da pri-

meniino osobirm asocijativnosti.

n

Ako pored oznake sn = E o,k za (konačan) zbir prvih n + 1 članova reda,

' fc=oOO 4 #

uvedemo i oznaku Rn — X) ak za preostali deo reda, tada možemo pisatik—nA-1

CO

'V ' dk — ClQ + (l i + • . + d n + a n + l + •- • + a n+ p + •• ~ s n + R n • — . "---- ------------- ' > ;_______ ___________"

oo oc oo

Izraz Rn = £ ak naziva se ostatak reda E ak. Ako red E ak konvergira A:= t i+ 1 k— 0 k~ 0

ka s, tada je

s — sn + Rn ■



Osnovni pojmovi i definicije 7

Ostatak Rn konvergentnog reda teži rmii kada n -+ oo jer, ako red konvergira

ka 5', tada je iim sn — s. pa iz71—>00 '

sledi

Rn S — Sr

lim Rn — lirn (s — sn) = s — s = 0 .n— >oo n—>oc

Važi i obrnuto, tj. ako ostatak Rn nekog reda teži nuli kada n —>oo, tada je

red konvergentan.OO

Za svako fiksno n 6 !X ostatak Rn nekog reda ak takođe je beskonačan k- o

brojni red

R , ®71+ 1 in + 2 + an+.'n-r-p £ k—n + l

a k

Ovaj brojni red dobijamo kada se izostavi prvih n + 1 članova, tj sn. Ako red X. y

T, ak konvergira (divergira) tada konvergira (divergira) i njegov ostatak-red•:=0 R„ i obrnuto. Zaista, ako sa rp označimo opšti član niza parcijalnih suma

jstatka Rn, tj.

:adaje

7p — a n + i -{- a n + o "i~. .. + a n-kp ,

,71+;d tj- ’ ra+p

odatle je

liin rp = lirn (a„+„p —t o o p —>O C ‘

sn) ■

OO

Ako red Y ak konvergira, onđa je lirri sn+p = s, k=o p^ ° °

pa je

R, s — s,,

r:- su s i sn određeni konačni brojevi, te je i zbir reda-ostatka Rn konačanšto pokazuje njegovu konvergenciju.




Očigledno je i obrnuto, tj. ako ostatak-red Rn konvergira, onda konvergiraOC

1 polazni red E ak. Naime, ako je lirri rv = Rn konacan broj: onda je 1k = 0 '

lim sn+v — R„ + sn konačan broj. p~±co ’ y

Slično se postupa i u slučaju divergencije.

Ovim sino pokazaii da prvih konačno rnnogo članova reda ne utiče na

njegovu konvergenciju, pa je pri ispitivanju konvergencije svejedno koji je

početni indeks u oznaci £ za red. U izlaganju teorije redova početni indeks

je najčešće 0 ili 1. Jasno je da se u slučaju konvergencije reda promenom

početnog indeksa zbir reda menja.U Primeru 2(d) smo videii da je E = U a ako se u redu za početni

fc= 1indeks umesto k = 1 stavi k = 2, a zatiin doda i oduzrne član a1; imarno

OC -j OO

£ kk+x)- £ k(r +x)

2 Osnovni uslovi konvergencije redova

Kao što smo već rekli, pitanje konvergencije reda £ ak se svodi na pitanje' fc=0

konvergencije niza {sn} (niz parcijainih surna). Analogno osnovnirn uslovima

konvergencije beskonačnih brojnih nizova definišu se i osnovni uslovi konver-

gencije beskonačnih brojnih redova.

Košijev potreban i dovoljan uslov konvergencije: Potrcban i dovoljanOO

uslov da red E an konvergira je da za svaki (proizvoijno rnali) broj & > 0n = 0

postoji prirodan broj n0= no(e), takav da je

jsn+p — svt| = jan+i + an+2 + •■■+ an=P\< £

za svako p > 0, p € IsTi za svako n > n0.OC

Princip monotonosti: Ako su svi članovi an, n = 0, 1,... reda ]+ ann = 0

nenegativni i svi članovi (monotono rastućeg) niza parcijalnih suma {s„} tog



Osnovni uslovi konvergencije 9

reda ograničeni (sa gornje strane) nekom pozitivnom konstantom koja neOC

zavisi od n, tada red an konvergira.71=0

Navedena dva uslova konvergencije redova nećemo dokazivati jer su odgo-

varajuća tvrđenja za nizove dokazana u nekim prethodnim kursevima iz ma-

tematike.

Iz Košijevog potrebnog i dovoljnog uslova konvergencije redova sledi daOO

za konvergentan red ]+ an važi71=0

lim (sn+p - sn) = lim (an+i + an+2 + .. •+ an+p) = 0 ,n—too y n-+oc

za svako p > 0, p 6 INT.

Za p — 1, razlika sn+p — sn postaje s„+1 — sn = an+1 i predstavlja opštiOO

ćlan reda )Tj <+, P& go™ji uslov postaje7i =0

lim (sn+1 - sn) = lim on+1 = 0 .n—oc n ôc

Ovim je dokazan osnovni

Potreban uslov konvergencije redova: Kod konvergentnog reda opšti

čian an teži nuli kada n teži beskonačnosti, tj.

lim an = 0 .n-+oc

To znači da ako opšti član reda ne teži nuli kada n teži beskonačnosti,

:-d je sigurno divergentan.

Ovaj važan potreban uslov se lako đokazuje i na osnovu definicije konver-OC ^ f

Zrntnog reda, jer ako red an konvergira, onda je~ " 71=0

lim sn = s i lim sn_i = s ,71—>-00 n—>OQ

± kako je an = sn - srt_i, to je

lim an = lirn (sn — s„_i) = s — s = 0.n—>oo 'ti—t oo



10 Glava 1 Brojni redovi

Kako je lim a„ = 0 sarno potreban uslov za konvergenciiu reda, obrnuto

ne mora da važi. ti. može da bude lim a7,' n —* o c

Tako je za harmonijski red

0, a da red ipak divergira.k—0

O C 1

En—1 n

1 i

2 + 3

1

n

zadovoljen uslov lim an = iim - = 0, ali red divergira. Da bismo to71—*OC n—±OQ 71

pokazaii, uočićemo da su svi članovi ovog reda pozitivni i formirati razliku ■

jS'n-i-p Sn | — T Q„+2 "t" . . •+ O-n-i-p\ — ®n+] T On+2 T •••T Q«n+p

1 1 1 1 __ ______________ j ______________ L _| ______________________ j--------------------- _

n T 1 n T 2 n + p — 1 n T p

Ako uzmemo p — n, a zatim svaki od brojeva 1, 2, . . . , n — 1 u imemocima

raziomaka majoriramo sa n, dobijamo

1 , 1 1 , 1\sn+P sn| n + i 1 n _|_2 + ' ' ‘ + n T n — 1 n + n

1 1 1 , 1 n 1> -------------- 1------------------r •••H---------:-------- i ;— > — — “ •

n + n n -+■n n + n n + n 2n 2

To znači da jsn+p - nije rnanje od proizvoijnog t počev od nekog n0(f)

za svako p > 0, jer je posmatrana razlika za p = n veća od | nezavisno od

n. Dakie, Košijev potreban i dovoljan uslov konvergencije nije ispunjen, što

znači da je harinonijski red ~ divergentan.

Dakle, kada pokažemo da opšti član nekog reda teži nuii kada n teži

beskonačnosti, možemo sarno zaključiti da red možda konvergira. Da bi

red sigurno konvergirao, opšti član mora da teži nuli dovoljno brzo. Priiner

harmonijskog reda je pokazao da izraz £ ne teži dovoljno brzo nuli da, bi

red konvergirao. Postavlja se pitanje koiiko je to dovoljno brzo, Na primer,

CC 1 1za red T ------ . čiii opšti član an = —;— očigledno brže teži nuli kada„=2 n inn ' J n lim

n -» oo od opšteg člana an = \ harmonijskog reda (za koji srrio pokazali da



Osnovni uslovi konvergencije 11

je đivergentan), to poveeanje brzine teženja nuli još uvek nije dovoljno, pa i

ovaj red divergira. Divergenciju ovog reda pokazaćemo kada budemo ispitali

konvergenciju reda čiji je opšti član an = ---- 3—, za svako 8 G R.' ' n In n

Primer 3 . Ispitajmo konvergenciju hiperharmonijskog reda

OC -1

y — . q g r ,na

Za a < 0 opšti član reda ne teži nuli kada n —» co, pa red divergira.

Kako su svi članovi datog reda pozitivni, po principu monotonosti, za

sve ostaie vrednosti broja a treba proveriti da li je niz parcijalnih suma

ograničen, tj. da li je sn < M. za n — 1, 2, . . . i M > 0.

Za 0 < o: < 1 je na < n. tj. -~r > -. n — 1, 2...... te sledi

Budući da niz parcijalnih suma harmonijskog reda nije ograničen, jer 'bi u

crotivnom harmonijski red konvergirao, tj. za svako pozitivno M postojiijvoljno veliko n tako da je £ £ > to znači da niz parcijalnih suma

k —1 .h:perharmonijskog reda nije ograničen, pa i u ovom slučaju on divergira.

Za a — 1 se dobija harmonijski red koji je divergentan.

Za a > 1 imarno da je

1 1 1 1 1 . 1 1 . 1«. — 1 —J------ i---------- 1- —i---------1 —j-------------- 1---------- j— —j---------- j— —j----------------h ... - ----------- .

2a 1 3Q " ' ' na ~ 2a 3a " ' na (2n)a (2n + l )a

članove dobijenog majorantnog reda grupišemo pa u svakoj zagrađi drugi

subirak majoriramo sa prvirn, tj. većim, dobijamo

14« (2n)a j

= 1 — ( l 2° V

+ Oct13a

J__\na )




tj-

Odatle se dobija

Sn < 1 + — — Sn )a —l

2«-is„ < ---- :---- - = M za n > 1

- 2«-1 - 1

što znači da je niz parcijalnih suma ograničen, pa, po principu monotonosti,

hiperharmonijski red konvergira.

Dakle, pokazali smo da

r00 l / konvergira za a > 1

T — : tn=i n'a \ divergira za a < 1

'u= o ' ( ^ j a j ? *

3 Osnovne operacije sa redovima

<5*0 . § p -

Pre nego što pređemo na dalje ispitivanje uslova pod kojim brojni red kon\ei

gira.definisaćemo

neke osnovne operacije sa redovima.Definisaćemo

kako seredovi rnnože realnim brojein, kako se dva reda sabiraju i množe i pokazaćemo

kakav je rezultat tih operacija u odnosu na konvergenciju.

M noženje reda realnim brojem : Red se innoži realnim brojem različitim

od nuie tako što se tim brojem pomnoži svaki član reda, tj.

OO CC

a Y j M or+ > "r 0 •

n=0 n=0

Teorema: Ako je red an. konvergentan sa zbirom s, tada je dobijeni redn=0

00 .

aan kovergentan sa zbiroin as.n —O

Dokaz: Ako je red £ konvergentan sa zbirom s i ako se svi njegovin—0 ,

članovi pomnože nekim brojem a, a ^ 0, tj.

O C '

a " 2 an — aao + afli + •■■+ aan + . . . ,n —O



Osnovne operacije 13

onda je za dobijeni red granična vrednost niza parcijalnih surna. datog opštim

članom s“ = aa0 + ota\ + ... + aan = a(a0+ + ... + an) = asn.

lim s“ = lim asn = a lim sn = a s .n -+ oc ' 4 n~>oc n —>oc

oc oc

Slično se dokazuje da iz divergencije reda an sledi da i red £ aann —0 n—0

divergira.O C O C

Sabiranje redova: Zbir redova an i £ K je red čiji su čianovi jednakin —0 n = 0

zbiru članova redova sabiraka, tj.

'/*; (an &n) ■n= 0

n n n

Za konačan broj sabiraka važi £ ak + Y 2 b = Y 2 (a + bk), dok zak=0 k=0 k=0

beskonačno mnogo sabiraka ta jednakost ne mora uvek da bude tačna. Kako

je zbir beskonačnog brojnog reda vezan za postojanje granične vrednosti, a

lim (An + B n) = lirn An + iirn Bnn—>oc n—>oo r?,—>oc

. aži samo kada postoie granične vrednosti iim An i lim Bn, to je reiacijan—>oc n—>oo

oc oo oo

X > n + E 6™= E K + Mn=0 n—0 n—0oc oc .

• v'i:a sarno ako redovi an i £ K konvergiraju, što tvrdi sledeća teorema,n—0 n=0

Teorema: Red £ (an + bn) je konvergentan sa sumom a + b ako su redovin = 0x o° . . . .

£ i £ bn konvergentni sa sumama a, odnosno b i tada je- = ; n = 0

oo oo oc

Ev a 'n +■ X) b n — X (a« +" •n=0 n = 0 n=0

Dokaz: Neka su £ an i £ bn konvergentni redovi sa surnama a, odnosno b.n = 0 n = 0

? : kažimo da je tada red’ O C

'j’ ](an + bnj 17= 0



14 Glava I Brojni rcdovi

konvergentan sa sumom a + b.

Za zbir prvih n + 1 sabiraka, tj. za opšti čian niza parcijalnih suma važi

n n n

X + ok) = y_y ak + X K- k=0 k=0 k=0

Iz uslova teoreme i osobine graničnih vrednosti sledi

n n n

lim y^(.ak + bi.) = lim Y ak + lim 'V' bk . k=0 k=0

+iHJ-oo oc oc

X i a n + ba) — /+ (+ + X bn = a + b.n—Q n~ 0 Ti=0

Ovim smo pokazaii da je zbir dva konvergentna reda konvergentan red.

Na osnovu dosadašnjeg razmatranja o operacijama sa redovima, zaključu-

jemo da je linearna kombinacija dva konvergentna reda ponovo konvergentan

red pri čemu je

O O O C O C

a X + / J}X + = X (aan + @bn) .71—0 n—0 7i—0

. OC'

Teorema: Red Jj, ( a n + bn) je divergentan ako je jedan od redova E an ioo n"° "=°

Y bn divergentan a drugi konvergentan.n -0

°C oc

Dokaz: Neka je E an konvergentan, a £ K divergentan red. Dokazuje-n —0 n -0 ’oc

mo da je E (an + bn) divergentan red. Pretpostavimo suprotno, tj. da jen—0 ' ‘

ocE (<+ + bn) konvergentan red. Tada je

OC

n—()

oo

n~- 0

i ( a n + bn) - a,

oc

- £ (n—0

oc

Xn=0

ari

Linearna kombinacija dva konvcrgentna reda (a = 1, 0 = —1) je konver-

gentan red, te je red £ 6« konvergentan, što je suprotno pretpostavci da



Osnovne operncijc 15

je £ K divergentan. To znači da je naša pretpostavka da je (an t bn)n= 0 n—0

oo

konvergentan red netačna, pa je (an + bn) divergentan red.77=0

Oviin smo pokazali da je zbir konvergentnog i divergentnog reda diver-

gentan red.OO 00

Važno je napomenuti da ako su E an i £ bn divergentni redovi, ondan—0 n—0

red E (an + bn) može biti konvergentan ili divergentan. Na primer, redovin=0

OO O C ^ 2

J 2 - i n su divergentni kao i njihov zbir Jj + n) = Aii, iako

n= l "77

=1 71=1

'71=1

oc oo

redovi jT 3 i Y 2 Arj; divergiraju, njihov zbir77=1 77=1

°° / 1 -1 V - + — Kr A- ‘ ' n n + 1 E +

1

n n + 1 E n(n + 1)77=1 ' " 1 77 = 1 N' " ‘ " 77—1

je konvergentan red što smo pokazali u Priineru 2 (d).OO OO OO

M noženje redova: Proizvod dva reda Y 2 an i bn je red Yj cn čiji je77=0 77 = 0 77=0

opšti član

cn — a(jbn + (iibn i an-\bi + anbo

tj. red

53 5Z akK-k77=0k —0

gde je poslednja suma u razvijenoin obliku

o c n

53 53 akK-k — a0b0 + (a0bi + a-i&o) + (o-o&2 + aib\ + + •■• •n=0k=0

0 0 n

Kako je za ispitivanje konvergencije proizvoda dva reda, tj. reda ]+ akbn-k' 77=0k —0

ootrebno još neko dodatno znanje, o torne će biti govora kasnije.

Košijev potreban i dovoljan uslov konvergencije redova se uglavnom ko-

risti u teorijskim naučnim istraživanjima lli u slučajevima kada se pitanje



16Glava I Brojni redovi

konvergencije ne može rešiti na neki drugi način, dok se u praksi, zbog svoje

složenosti, retko primcnjuje. Pažljiv čitalac je mogao da zapazi da u dosa-

dašnjem iziaganju, osim u Principu monotonosti, nigde nije pomenut znak

članova reda. To znači da sve prethodno navedene teoreme i osobine redova

važe za redove sa, po znaku, proizvoljnim članovima. U nastavku cemo, dok

se to drugačije ne naglasi, posmatrati saino redove sa pozitivmm clanovima

(pozitivni redovi) i za njih dati nekoiiko praktičmh dovoijnih uslova konver-

gencije koji se često nazivaju kriterijumi konvergencije.

4 Redovi sa pozitivnim članovima

U ovom odeljku ćemo posmatrati brojne redove čiji čianovi linaju staian znak.

Ako je znak pozitivan, takav red se naziva pozitivan red. Redovi čiji su

svi članovi negativni ne moraju se posebno ispitivati, jer se om mnozenjem

sa - l svode na pozitivne redove. Pozitivni redovi se, zahvaljujući svojimosobinama, koriste u ispitivanju konvergencije redova sa članovima koji msu

svi istog znaka. ^ __

Kako je niz parcijalnih surua pozitivnih redova monotono rastuci (lli

inonotono neopadajući), kod ovih redova, u odnosu na konvergenciju, mogu

nastupiti samo dva slučaja:

1. ako je niz parcijalnih suma ograničen sa gornje strane, na osnovu Prm-cipa monotonosti siedi da je red konvergentan sa konacnom sumom,

2. ako niz parcijalnih suma nije ograničen sa gornje strane, tada red di-

vergira (ka +oc).

Dakie, ne može nastupiti slučaj da niz parcijalnih suma ima više tačaka

nagomilavanja, tj. da red oscilujući divergira. Ako je neki pozitivan red konvergentan (divergentan), promenom re-

dosleda ili proizvoljnim grupisanjem, pa promenom redosleda takvih grupa



Redovi sa pozitivnim člauovima. 17

njegovih članova, kouvergencija (divergencija) se ne inenja. I; slučaju konver-

sencije, nijedan deo novodobijenog reda ne moze da teži ka beskonačnosti,

dok će u slučaju divergencije suma bar jednog od delova rasparčanog po-

laznog reda težiti beskonačnosti. O torne govori Dirihleova teorema.

Dirihleova teorem a: Promenom redosleda sabiraka u konvergentnoin po-

zitivnom redu čiji je zbir a, dobija se konvergentan red sa istim zDirom a.

Dokaz: Neka je pozitivan red XD an konvergentan sa sumom o, tj.n= 0

a = aq + a\ + ... + at. + ••• + an + . . . , an > 0, Vn — 0, 1, 2, . . .

Formirajrno novi red

C C

£ bn — bo+ h + .. ■+ bk + ■■■+ brn+ . . . , n—0

oo

rako da ie svako b . k = 0. 1, 2, . . . , jedno i samo jedno a, iz reda XI a n- Jasno‘ J ' n= 0

ie da je1 m

B m = ]T bk < a, za svako m = 0,1, 2,... , k= 0

ier se u B m ne nalaze svi čianovi iz reda X] an, već samo njih rn. Kako je niz

ć B m} monotono rastući (Bm+i = B m+ bm+1) i ograničen sa gornje strane sa

a. to po teoremi o monotonim nizovima postoji Rrn Bm i važi

lim B m = b < a.rn—toc

OO OG 1 ' * N/1

Polazeći od reda XI bn forinirajmo red XI an, tako da svaki njegov cian at,* n= 0 " _ ‘

; = 0,1, 2,... bude jedno i samo jedno b , te vazi

n oo

An= E aK < E b = 6• k= 0 rn=0

Kako je niz {An} monotono rastući niz, ograničen sa gornje strane sa b, to

postoji liin An = a, i važi

lim An = a < b.n—FOO




h b < a i a < b sledi b = a, čiine je teorerna dokazana.

Na osnovu Dirihieove teoreme, tj. na osobini promene redosleda sabiraka

kod pozitivnih konvergentnih redova, može se pokazati da je pioizvod dva

konvergentna pozitivna reda konvergentan red gjaje suma jednaka proizvodu

smna polaznih redova, tj. ako je an = a i J2 bn — b, tada je' 1 ' n=0

oc cc

x>=x>

oc n

53 53 akbn-k

n=0 fc= 0

cc ,Primer 4. Znajući da je suma geometrijskog reda E n^

° n—v

pokažimo kako se mogu izračunati sume redova

ž " +iT7, = 0

2n( 6 ) E

(n + l)(n + 2)

(a ) Po formuli za množenje redova imamo

OC -j

Z — r Q n

77,= 0 ^

OO -j

5 - / 9 n

7i,= 0 Z

o c n i

= V ' v — Z — d ok

n = o f c = 0

OC Ti 1

, 1 = y y i

O n - f c z L - / Z — - o n

n — 0 fe = Q “

o c i o o n 4 - 1

= £ ( " + ! )

71=0

. J - = y ^ = 2 - 2 - 4o n Z s 0 7i

Z Ti = 0 z

(b ) Koristeći rezultat đobijen pod (a) i pravilo množenja redova, iinamo

P53 oić :53 on

\n=0Zj W0

\

n + 1 n - k + 1" 2 Z-T

n=0k=09k On—k

oo i

53 9+ ’ ((7i + X) "b n +n=0 “

= X3^1 ( ? i + l)(n + 2)

71 =0

2 + 1)

1 ^ (n + l)(n + 2)

9 2 n w - '

Z "-0 V 'V:2n



Uporedni kriterijumi 19

Odatle sledi da je surna traženog reda

+ !)(» + 2) l e . 1 H n= 0

Napominjemo da. je (n + 1) + n + . . . + 2 4- 1 (konačna) suma prvih n + 1

prirodnih brojeva jednaka ,

5 Uporedni kriterijumi konvergencije

pozitivnih redova

Redovi sa pozitivnim članovima imaju osobinu da se mogu upoređivati, što

je od veiikog značaja za ispitivanje njihove konvergencije. Kao uporedni red

sa kojim se vrši upoređivanje datog reda koristi se neki poznati red, najčešće:

OO 1

- harrnonijski red — koji divergira,■ n—i n

#

hiperharmonijski red

a < 1

OO 1 . i — koji konvergira za a > 1 a divergira za /

, , _ i r ) a i

geometrijski red

q > 1 .

qn, q > 0 koji konvergira za q < 1 a divergira zan—0

N'jihovu konvergenciju (divergenciju) smo pokazali u prethodnim primerima.

Konvergencija pozitivnih redova se može ispitivati pomoću sledećih upo-

rednih kriterijuma:OO CO

U K l : Ako članovi pozitivnih redova a n i X) bn zadovoljavaju uslov n—0 n=0

an < b„. za svako n — 0,1, 2,

*ada:




(o) iz konvergencijc "većeg’ reda E bn sledi konvergencija ”manjeg” redav n— 0

oo

E On,n - 0

(b) iz divergendje "manjeg” reda J > „ sledi dvergencija ”većeg" reda

oo

E Qbn.

Kako prvih konačno mnogo članova reda ne utiče na njegovu konvergenciju,

uslov an < b„ ne inora da važi za svako n = 0,1, 2,..., vec je do\oljno da važi počev od nekog n0, tj. za Vn > n0.

Dokaz: (a) Iz uslova kriterijuma ak 0 , t o je k—0 n-U

0 < An 0 i ogramcensa

gornje strane sa b. Teorema o monotonim nizovima tvrdi da postoji konacna

granična vrednostQOic —~

lim An = lim ak = a'k ~ a - b'n->cc n d>co

Znači, red E « « konvergira.

Dokaz (b) je slićan dokazu pod (a), te ga izostavljamo.

Često je teško proveriti uslov an < bn za Vn = 0, 1, 2,... (J* Vn > n0), pa

se ovaj kriterijum daje u obliku koji je pogodniji za upotrebu.' oc oc „ .

UK2: Ako se članovi pozitivnih redova E an i E bn jednaKO ponasaju u

, , - „f: i:™ a'n — k K 0 K + ±oc. što se piše beskonacnosti. tj. lim - a , a / u, n /■ , *' n-+oc fj

aTI ~ b7l, kada n t oc1,



l'poredni kriterijumi 21

tada oba reda istovremeno ili konvergiraju ili divergiraju.(I

Dokaz: Iz uslova Urn y = K , K f- 0, K i- ±oo i detinicije granične

vrednosti iinamo da za svako e > 0 postoji n0 = n0 (e) tako da je

K < e, Vn > n0.

Odatle sledi

—e < — — K < e, Vn > n0 O K -- £ < < K + £, Vn > n0.bn bn

ili, pošto se radi o pozitivnim redovima,

(K - e)bn < an < (K + e)bn, Vn > n0.

Ako red £ bn konvergira, na osnovu osobine množenja redova realnim bro-n=0

jem, konvergira i red £ (K + s)bn gde su članovi bn porrmoženi konstantom

K + p . Na osnovu te einienice i iz desne strane nejednakosti, po upored-J OO OO

nom kriterijumu U K l , sieđi konvergencija reda an. Ako, pak, red £ <+.

konvergira, iz leve strane gornje nejednakosti, potpuno analogno, sledi kon-00

vergencija reda Vj bn.

Slično se zaključuje i da će iz divergencije jednog ođ datih redova slediti

divergencija drugog.

Napominjemo da za K = 0 imamo an < £ ■bn, pa po kriterijumu U K l ,OO . . . -i

iz konvergencije reda Vj bn sledi konvergencija Vj an i iz divergencije reda7 7 , - 0 n—0oc

an siedi divergencija reda I j bn.•:=0 'i*=°

Primer^j Ispitajmo konvergenciju sledećih redova:

00 xfn . , n + 3

< ' l u K .- > t ,-,—] 1 + rr =i v 1 + n3sin

'ai fn 1 oo i

Kako an — ------ - ~ —r kada n —> oc, a red ~r

1 4- nl m 71=1 n2a = § > 1), to dati red konvergira.

konvergira (jer je




(b) Kako je 0 < sin £ < 1 za svako n € 1N, to je

\

n + 3 . . . > „ _L kada n -+ oo. VI + n.3 sin \/T + n3 n*

Red E A divergira (a = | < 1), pa i dati red divergira.n=l n t

\ oc OC .

\ UK3: +ko članovi pozitivnih redova E an 1 E K, počev od nekog n0, tj. .

' n=0 n=0' Vn > n0 zadovoljavaju relaciju

+( + l Tl + l

a,n un

oo oy t t

tada iz konvergencije reda E K sledi konvergencija reda E an, a iz diver-" n=0

OO 4Cgenciie reda E an sledi divergencija reda E K-

• „=0 n=0 _ ' j 1

Dokaz: Ako uslov-nejednakost kriterijuma napišemo redom počev od nekogn, (n > n0), tj. za n + 1,' ‘> j1 + JJ, JJ = 1

an+i<

bn + 1

(In bn

a n = 2<

bn+2

an+i bn ^ 1

a,i.+p- 1

<

;

1 -

'

* 3 1

a n+ p—2 bn +p —2

an+p<

bn+p

a n+ p — 1 4 - i

Ako dobijene nejednakosti poinnožimo, dobićemo

0.n= 1 Č.j _•G'rt+l &n+2 Cln>-p—1 ćlft-j-p t 2 E + p - l E +p

a„ an+i an-rp- 2 Cn+p-i bn rt+i

Posle skraćivanja razlomaka ostaje

V + p -2 E + p - 1

O n + p , K r p • a n U r , — 1 9----- > —---, tj. an+p 2+ , °n-pp > P 1 >+ttr, bn an




Ako red E bn+p konvergira, tada konvergira i red E -r~-bn+p, Pa će iz posled- p= 1 ' ' ' p - i °n 1

oc oo

:ije nejednakosti i kriterijuma UKl , red an+p, tj. Y an konvergirati. Iz p = 1 71 = 0

o c OO

divergencije reda E an+p, na sličan način sledi divergencija reda E bn+p, tj.“ p= i ' ' p = i

E .=0

Upoređujući brojni red sa geometrijskim redom, dobijaju se Košijev ko-

renski i Dalamberov količnički kriterijum konvergencije pozitivnih redova.

UK4 Košijev korenski kriterijum:

jd nekog n0 __ ^

Ako je za pozitivan redOCE a„ počev

T I --0

\ < q < 1 za svako n > n0,

............ ' ' OC _gde je q fiksiran broj (0 < q < 1), tada red E an konvergira, a ako je, počev

‘ ' n—0 ----■—-od nekog n0 ..... .

za svako n > n0 ,

rada red E an divergira.n=0 ------

Ukoliko postoji granična vrednost lirn Tfaj, Košijev korenski kriterijum

ćemo formulisati i dokazati u drugačijem obliku, kada je nešto manje etikasan.OO

UK4’: Ako je za pozitivan red E ann=0

lim yUin = £,n->oc v

tada redkonvergira za l < 1

divergira za l > 1.

Za £ = 1 kriterijum ne daje odgovor.

Dokaz: Neka je

(«,) lim rfdf — £ < 1.v y 71-*OG V




Biramo tako malo e > 0, da je i £ + £ < 1 i t - e > 0. Sada iz (a) sledi da

postoji nQ= n0(e), tako da je

(6) \ y č ^ - l \ < e tj. 0 n0.

0 £ £+ £ 1

Slika 1

Uvedimo oznaku £4- s — q. Tada iz (6) sieai

0 < < q < 1 tj. an < qn, Vn > n0■

Kako geometrijski red g qn konvergira (o < 1), po kriterijumu U K l siedi7i=*-0

00da red E an konvergira.

Ako je0^ > 1, onda se za dovoijno veiiko n može izabrati e > 0 tako da je

q = f>-e > 1, pa iz £- s < <£ + e sledi1

1 < q < tfaj tj. qn < an-, Vn > n0.

1 l - s £ £ + e

Slika 2




Odatle, zbog divergencije geometrijskog reda £ qn ( q > 1), sledi diver-71 — 0

co

gencija reda an.n—0 . ___ .. ..

Ako lim t/ojj ne postoji, onda se posrnatra lim sup u an koji uvek postoji.n—to c v ' n—>oo

Primer 6. Ispitajmo konvergenciju sledećih redova:

W E A j , ((,) £o^.a>0, (c)-r z/ ,„1 n=l v

nfn-f-l) oo n 3

n4 ^ + 2, 0 4 - i v «

71=1 Vu ^ n >, a > 0.

(a) Kako je

lim ii/aZ = iimn-7-00 ’ « - > o o ^ V n + 2

/ / n - i \ " ("'+1)/ lim 1

n oo \ n + 2

- 3(n + 1)

7l-\-1

limn-+oc

/ d-2\ n+2

1 + - V n + 2y

to dati red konvergira.

(6) Kako je ___

n f n 2 4 - K n - ^ + n 1

lim Va n+2 = hm an{ri+2) — a, a > u,n—¥ oc ?i-+oc

to red konvergira za 0 < a < 1, a divergira za a > 1. Kako za a — 1

red glasi jf, 1 V2+2™7to je opšti član an = l, pa, kako opšti član ne težiriAl

nuli. red divergira.




Znaiući da ie lim (1 + - ) 7i = e, lako se viđi da je iim an = oc, te red J n-^ ooy n ' ' n—>oc

divergira.

Kriterijum U K 45 je manje efikasan od kriterijuma U K 4 , jer za l — 1

pitanje konvergencije ostaje otvoreno, dok je u kriterijumu U K 4 to pitanje

uvek rešeno.

U K 5 Dalamberov količnički kriterijum: Ako je za pozitivan red En~ 0

počev od nekog n0,

< q < 1 za svako n > n0 , an J

gde je q fiksiran broj (0 < q < 1), tada red an konvergira, a ako je počev' 77= 0

od uekog n0an-i-i

t ar1 za svako n > n0

t,ada red an divergira.7i — 0

^n-rlDalamberov kriterijum seUkoliko postoii granična vrednost lirn

° 7l->30 anmože formuiisati u drugačijem obiiku, ali je, kao i u slučaju Košijevog koren-

skog kriterijuma, tada nešto manje efikasan.

U K 5 ’: Ako je za pozitivari red ann~- 0

iimn—f-oo an

= t,

tada red w00 j konvergira za

zL a" ( j - •7i=o \ divergira za

Za t = 1 kriterijum ne daje odgovor.

Dokaz: Neka je

(g ) lima n-t-i l < 1,

t < 1

£ > i .




Biramo tako malo s > 0 da je £ + e < 1 i t — £ > 0. Sada iz (a) sledi da

postoji rio — no(e), tako da je

(&)a n+ 1

< e tj. 0 < £ — s <i-1

< £+ 5 < 1 . Vn > n0

f-tn

{) l - e l l + e l

Slika 3

Ako je £+ s = q, iz (6) sledi

^ < t? tj. ^ ±1 < q < 1, Vn > n0

Očigledno je da su sada zadovoljeni uslovi kriterijuma U K 3

(za bn — qn iCC

= g"+1 ), te iz konvergencije geometrijskog reda X) Qn (q < 1) sledi dari-0

red X) an konvergira za £ < 1.n=0

Za t > 1 možemo naći takvo t > 0, da je i q

~.Ti-r 1

= l - e > 1.

an-i-1

1 ć - £ + £

Slika 4

Sađa iz i < £ + e sleđi

1 < q < . Vn > n0 tj. 1 < , Vn > n0

n+1

7n n




Lako se vidi da su ponovo zadovoljeni uslovi kriterijuma UK3, tj. iz di-C C . ^ ^

vergencije geometrijskog reda E qn (q > 1) sledi da za £ > 1 red )L an" n=0 n= 0

divergira.

Ako iim ne postoji, onda se posmatra l im s u p - ^ koji uvek pos-an n=>-oo ar

toji.

Primer TJIspitajmo konvergenciju sledećih redova:

OC Jlu

(a) E — « > 0, (h)' ; n = 1 n n ' n= 1 n !

(a) Kako je

Urt+i r an+1(n + l)! iim — — — ii '

n

a,nl l i , ~ a ■lim , „ =•:,>=o (n + l ) n+1 an(nl) (” )”

to red konvergira za a < e, divergira za a > e, a za a — e Dalamberov

kriterijum ne daje odgovor.

(b) Ovde je

lirn -----

n^°° anmn

(n + l)6 n\

™(n-r 1)! nb

pa red konvergira za svako b G R.

limn—>oc

(n + 1

V n

6'

- 0,

Može se pokazati da je Košijev korenski kriterijum "jači" od Daiambero-

vog količničkog kriterijuma.

Teorema: Ako za pozitivan red E an važi da je lim — — = l, tada je in—0 n- toc dn

liin — L tj.n-t'oo v " ;

lim —'L-T = £ =+■ iim \fan — ( .n —>oc d n=>oc

Dokaz: Ako je lim — £, to za svako e > 0 postoji n0 — rio(s), tako dan —>oc a n '

je

0 < £- e < < £+ s , Vn > n0 .an



i'poredni kriterijumi 29

Ako ovu nejednakost napišemo za n0, n0+ 1 , . . . , n

£ - e < 1 < £+-

e - s < ^ < £ + .+io + l

ar,t — £ < < £ + £

an—1

1

množenjem dobijenih nejednakosti dobijarno

( _ ,\»-no < Qnu+1 . Q»o+2 . . ° n < (£ _j_£yi «o _Ono ®7io+ l ®n- 1

Posle skraćivanja razlomaka, a zatim množenja dobijene nejednakosti sa ano

imamo

(£ _ £yn-no < < ( + e)"-««,’Ttn

- ^)Tl"n°

(£ - 1 )

\n-noano < an < ano ■(£ + £)

anr, ... -~

( ~ £-)wo

Ako uvedemo oznaku

< an < (£ + e)' no

(*■r »o

< (ć + t )‘»o

ino

n0

(*■(a > 0)

i svaki faktor poslednje nejednakosti stepenujemo sa dobijamo

(£ - e)£/a < ifa) < (t + e) \fa, Vn > n0 .

Kako ie lim ija = 1 , po definiciji granične vrednosti iz prethodne nejed-71—►OO V

iiakosti sledi da je

lirn i/a) — £.n —t o c

Iz sledećeg primera siedi da obrnuto ne važi.

. , . , - , S 3 + ( - !) "Ispitajmo Konvergenciju reda 2 — — .71= 1 + '



30 Glava I Broini

Kako

limn—»oo an

lim3 + ( - l ) n+1

2 'n-r2 3 + ( - l ) n- lim2 n-»oo

3+ ( - l ) ” - 1

3 + ( - 1 ) ':

ne postoji, posrnatraćemo

Jim sup-----

- 1 ) T

TlH-1

- ♦iim sup — , x2 n—>oo 3 + ( — l ) r

1 1

2 ’ 2- 1

Po Dalamberovom količničkom kriterijumu pitanje konvergencije je neresen. ..

Ali, kako je

lim \fa7n — limU —>OG V Tl—OO

+3 + (—lj”\ j jm+i

1

2 ’

red po Košijevorn korenskom kriterijumu konvergira.

Koristeći poslednju teoremu možemo izračunati granične vrednosti nc-kih

nizova, kao što se vidi iz sleđećeg primera.

OC fl I \ f J l !Prim er 9. Koristeći red £ — • odredimo lim -----.

n—l nn' n °° nKako je

limdrj. (n + 1 )! nn

G"r>. (n + 1 );' i + l n:lim — ,,

n-+ oo (X 4 - I)n'' ‘ n >

na osnovu prethodne teoreme važi da je i lim = lim m.—Vrv . v n.—»rv

Pokazali smo da hiperharmonijski red + ~ konvergira za a > 1 . što

znači da, na primer, red + hr konvergira. Međutim, po Košijevom koren-n—1

skom i Dalamberovom količničkom kriterijumu to se ne može pokazati, jer

n y G„ nôo \n + \J

lim n+l lirn i . lim a'/gT = lim J 1 Vn



Up oredni kriterij u mi 31

pa ti kriterijumi ne daju odgovor. Za ovakve redove je efikasan Rabeov

kriterijum koji navodimo bez đokaza.OC

UK6 Rabeov kriterijum: Ako je J2 an pozitivan red i ako je počev od74 — 0

nekog n0 — ;....... ..|

; n [ — ----1 > k > 1, Vn > n0 ,; \an+i )

tada red Y2 an konvergira, a ako je počev od nekog n0,n=Q '

n anan+l

1 < 1, Vn > n0 ,

CC

tada red Y an divergira.n= 0

Ili u slabijem oblikuCC

UK6’: Ako je za pozitivan red J2 ann=Q

limTl—tOO

n&n-rl

= 1,

tada rea00 j konvergira za

E (U \ A. .n=Q \ divergira za

£> 1

£< 1 .

Za £ — 1 kriterijuin ne daje odgovor.00 -i '

Ako na red Y “V, čiju konvergenciju po Košijevom korenskom i Dalam-n = 1 n

berovom količničkom kriterijumu ne možemo potvrditi, primenimo Rabeov

kriterijum, dolazimo do rešenja pitanja konvergencije, jer je

iimn—>oc

( f f n -+ - 1 \= lim [ n ------ )

n-+oo ^ n / /= iim

n—TOO

2 n2 + n2 > 1,

pa je dati red konvergentan.




U mnogo slučajeva kada primena dosad navedenih kriterijuma nije jed-

nostavna ili kada ne daje odgovor da li je neki red konvergentan, efikasan

je Košijev integralni kritenjum u kome se konvergencija reda upoređuje sa

konvergencijom nesvojstvenog integrala prve vrste / f {x)dx. Podsetimo da

se nesvojstveni integrai prve vrste definiše kao granična vrednost

00 ^

J f(x)dx =f lirn J f(x)dx , T e R , X > 1 .

1 i

Za / f(x)dx se kaže da je konvergentan (da postoji) ako postoji ta granična1

vrednost, tj. ako je

r

lim [ f(x)dx — £, l e R .T-+oo J

Ako ta granična vređnost ne postoji ili je jednaka +oc ili —oo, kaže se da

posmatrani nesvojstveni integral divergira. Kako granična vrednost kojom

se definiše nesvojstveni integrai ili postoji ili ne postoji, to će i pitanje kon-

vergencije reda uvek biti rešeno.OC

U K 7 Košijev integralni kriterijum: Neka je E an pozitivan ređ i nekan —I

je funkcija f(x) ( f : jl.oc) —> R) neprekidna i rnonotono opadajuca nad

[1, oc) i f(n) = an, Vn = 1,2,.... Tada

(a) red E an konvergira ako konvergira uesvojstveni integrali / f(x)dx,

n- 1

OCl(h) red an divergira ako divergira nesvojstveni integral J f(x)dx.

' n - l 1

Dokaz: Podelimo interval [x\,xn] = [1,n] deobemm tačakama x 2 = 2,

x 3 = 3. .... xn-i = n - 1 na jednake deiove dužine d — 1. Posmatrajmo ge-

ometrijsku interpretaciju određenog integrala / f(x)dx kao površinu krivoiin-1

ijskog trapeza izineđu krive zadate funkcijom f(x), dela x-ose, i pravih x = 1

i x = n. Vrednost funkcije f(x) u svakoj deobenoj tački posmatranog inter-

vala je f ( i ) = <+, i = 1, 2, n.




Slika 5

Površina upisanih pravougaonika je Pu = o* • 1 = «*, i = 2,3,..., n . a

površina opisanih pravougaonika Po — 2 = 1, 2,.... n —1. Kako

je funkcija /(; x) po pretpostavci monotono opadajuća nad intervalom [1 . oc),

to je površina svih upisanih pravougaonika manja od površine krivolinijskogtrapeza, a površina svih opisanih pravougaonika veća od površine krivolini-

jskog trapeza, tj.

n

0*2H~Q'3 H" *• - Q>n ^ J f \X)d>X €l \ H~&2 H” ••*"h 1 ?

odnosno7c

sn - Oi < I f(x)dx < sn .-i .

1O C n .

Ako nesvojstveni integral j f(x)dx konvergira, tj. ako je J f\x)dx — t,i ' 1

n

tada iz sn - < f f(x)dx sledi

n



34 Glava I Brojni rt-dovi

i, kada n teži oc.

lim sn < ai + lim f(x)dx — o-i + £

To znači da je graničua vrednost inonotono rastućeg niza parcijalnih suma

{sn} konačna, tj. niz (sn} je konvergentan, te sledi konvergencija reda.' n n

Ako integral lim / f(x)dx divergira, tada iz nejednakosti / f(x)dx < sr, . :n—>cc i i

siedi i divergencija reda.

Napominjemo da tvrđenja (a) i (b) teoreme važe i u suprotnom smeru.OO n

Ako red £ an konvergira ka s, tada nejednakost sn - a.x < f f(x)dx < srt.-_.71— 1 1

kada n teži oc, daje

s —

n oo

Oi < lirn J f(x)dx — J f(x)dx < s ,

To znači da granična vređnost lim / f(x)dx postoji, tj. integral / f(x)dx° oo | i '

konvergira. Analogno zakijučujemo i u slučaju divergencije.

OC' OO

Iz nejednakosti s —a: < / f(x)dx < s i / f(x)dx = l sleđii i

00 oo

1 f(x)dx < s < J f(x)dx + O] tj. £ < s <£ + ax,

što daje intervai u kojern se naiazi zbir reda.

Ako je početni indeks sumiranja n = r+ > 1, onda se u integralnom^ OO

kriterijumu posmatra integral f f(x)dx.710

Prikazaćemo primenu ovog kriterijuma pri ispitivanju konvergencije već

pomenutih redova

OC 1

(a) E > ° ’n~-1 rr

OO1

E + V , d G E .n=2 n



Uporedni kri terijmni 35

(a) Kako je an = to je f(x j — — neprekidna, monotono opadajuća

funkcija nad [1 , oc) za a > 0 .

Za a 1 imaino

^X - lim / x ~adx = lim X xa T —>oo

1 1

-0:4-1

2'—>OC’ -j- 1

T 7 —Cfc-flliin , H

t -+oc \ —a + 1 -OL + 1

tj-

Za a — 1 je

r đx >a

i, za a > 1

a — 1 '

oo . za a < 1

o t ,,

— = lim [ — = lim lnx 1 = lim ( InT - Inl) = oo .X T--+COJ x T -y oo l Tôo

1 1

Tako dobijamo

00 i j konvergira za a > 1

(Tr! n° \ divergira za a < 1 .

Ovaj zaključak važi i za negativno a, jer je za a < 0 očigledno da posmatrani

red divergira. Interval u kojem se nalazi zbir datog reda je

a — 1

OC }

na ~ a — 1< E — <n = 1

(b) Kako je an to je f(x)

1 „ . » u JVU j Vu»y - g

n l r n t m %monotono opadajuća nad intervalom [2 , 0c), Zbog

1 , a > 1 .

. Gva funkcija je neprekidna i

dx

x !n './•ax

ll!2

di oo.

(lri2)0-i

za j3 + f

za 3 > 1

(smena Inr = t). to i dati red konvergira za 8 > 1 , a divergira za 3 < 1 .

O C 1

Prim er 10. Ispitajmo konvergenciju reda J2 — r-‘ n—l 1+71




Kako je an1

7 , io je f f 1

1 + n? ' ° x ' 1 + x2

monotono opadajuća nad intervalom jl,oo). Iz

Ova funkcija je neprekidna i

clx T

lin1 + X2 T ^ o oJ 1 + X 2 T -

= liin arctgirf = lim (arctgT- arctg 1 ) = +!l T->oo 2 4

sledi da dati red konvergira, i važi

r ' i 7T , 1 . .

7 < Y . 77— o < 7 + o ’ Jer Je 014 , 7 j 1 + n2 4 2 1 + l 2 2

Primer 11. Dokažimo da je

2<

TT+ 1

2

Kako je funkcija f(x)

intervaiom il.oc) i važi

neprekidna i monotono opadajuća nad

2 tdt

(t 2 + l )Vt2

dt

f? 2 lirn arctg t

1 —OG

to na osnovu nejednakosti koja daje interval zbira reda i činjenice da je ax= |

siedi tačnost nejedriakosti koja se dokazuje.

U prikazanirn primerima je monotonost funkcija j (x) bila očigledna, pa

je nismo posebno dokazivali. Ako riije jasno da li funkcija monotono opada,

to se u praksi često pokazuje na osnovu znaka prvog izvoda.

U prvom đelu ovog udžbenika smo dali neke osnovne pojmove i osobine

beskonačnih brojnih redova sa članovima proizvoljnog znaka, dok smo u nas-

tavku prikazaii teoriju redova čiji su članovi bili stainog (pozitivnog) znaka.

U siedećem delu ćemo se baviti ispitivanjem i uslovima raznih konvergencija redova koji se sastoje i od pozitivnih i od negativnih članova.



Redovi sa pozitivnim i negativniin čianovima 37

6 Redovi sa pozitivnim i negativnim

članovima

Beskonačni redovi sa, po znaku, proizvoljnim članovima imaju beskonačno

mnogo pozitivnih i beskonačno mnogo negativnih čianova. U suprotnom,

ako bi red iinao konačno mnogo negativnih članova koji ne moraju slediti

jedan za drugim, već u svorn redosledu rnogu biti pomešani i sa nekim poz-

itivnim članovima, tada bi. odbacivši sve te ’'mešane'’ članove, tj. dovoljan

konačan broj početnih članova, ipak dobili beskonačan red samo sa pozi-

tivniin članovima, pa je problem sveđen na ispitivanje pozitivnih redova.

Isti slučaj je ako proizvoljan red ima konaćno irmogo pozitivnih članova.

Kod redova sa beskonačno mnogo pozitivnih i negativnih članova ne postoji

mogućnost direktnog upoređivanja članova, pa je ispitivanje konvergencije

složenije. Za razliku od redova sa članovima stalnog znaka, kod redova lorrni-

ranih od članova proizvoljnog znaka se, pri njihovom ispitivanju, javljaju dve

vrste konvergencija apsolutna konvergencija i uslovna konvergencija.

Pokazivanjem jedne od ove dve konvergencije, smatra se da red formiran od

članova proizvoljnog znaka konvergira (obična konvergencija), tj. post-oji nje-

gov konačan zbir. Taj zbir u opštem slučaju nije jednostavno lzračunati.

Neka je, dakle, E an red sa pozitivnim i negativnim članovima.n—1

ooDefinicija: Ako red E iQn| konvergira, kaže se da je red E an apsolutno

n= 0 n - °konvergentan.

Definicija: Ako red E |«n! divergira (tj. red E an nbe apsolutno konver-71=0 n = ° „

OC p g

gentan), ali red E an konvergira (u običnom smislii), kaže se da red E an

n= o _ n ~®

konvergira uslovno i naziva se semikonvergentan red.

Pri ispitivanju apsolutne konvergencije reda mogu se pruneniti svi kriteii-

jumi za pozitivne redove tako što se an zameni sa |Ut i|- Kod primene Dalam-

berovog kriterijuina se traži lim kod Košijevog korenskog kriterijuma




se traži lim {/ja j. a kod Košijevog integralnog kriterijuma u nesvojstvenomn — V 1 ‘

00 . f‘ i \ 1 i

integralu / f(x)d x funkcija / (x) je određena sa t(n) = \an\.~ i ' ’Primer 12. Ispitajmo apsolutnu konvergenciju redova:

oc / ,n \ n n

n — 1

(a) Koristeći Košijev korenski kriterijum imamo

lim {y|an|= limn-xx> V 1 n| n—>oc

nliin

n

V V 2n - l ) +++ 2 ?r - 1 2

te je red apsolutno konvergentan.

(6 ) Koristeći Dalamberov kriterijum imarno

< 1

171+1 G! j(t'n-r 1 i t !®I

lirn I----- 1 = lim ------~r - , , — ^ .n —toc ( n - f 1 ); j a / n —foo n + 1

lim 0 < 1 .' ar

pa je red apsolutno konvergentan za svako a < 0 .

Apsolutna konvergencija je ”jača° od konvergencije u običnoin smislu, što

tvrdi sledeća teorema.

Teorema: Iz konvergencije reda Y \a n \ sledi konvergencija reda an, tj.' n=0 7i=0

ako je red Y an apsolutno konvergentan, 011 je konvergentan i u običnom71=0

smislu.

Dokaz: Iz nejednakosti za apsolutne vrednosti ja + 6| < |a| + \b\i jednakosti" OC

j« I+ \b\ = jjaj + jfejj primenjene na članove reda Y a n imamo' ' 1 71= 0

!g„ a n - 2 + •• + °-n+p < :!a•77+ 1 ia n + 2 j + •••+ jG,n + p I

Na osnovu gornje nejednakosti i Košijevog potrebnog i dovoljnog uslova kon-

vergencije (proizvoljnih) brojnih redova, sledi da ako je red Y \a n\ konver-° ' 71=0

gentan, tada je

!an+l| + \a n + 2 i ja„j-p|j < £, Vn > ri0(t), Vp > 0 ,



Redovi sa pozitivnim i negativnim člauovima. 39

pa je i

|a„+i -f an+2 + .. . + an+p\< e, V«. > nG{s), Vp > 0.O C

Odatle sledi (obićna) konvergencija reda Xn—0

Očigledno je da obrnuto ne mora da važi, tj. ako je red konvergentan (u

običnom smislu) on ne inora biti i apsolutno konvergentan.

Iz apsolutne konvergencije proizvoljnog brojnog reda, pored njegove kon-' OC

vergencija u običnom smislu, tj. zbirljivosti, sledi i konvergencija reda X] a+71= 0

koji je formiran sarno od svih pozitivnih članova (kojih, kao što srno videii,C C

ima beskonačno rnnogo) posmatranog reda i reda X)a~

formiranog samon—0

od svih apsolutnih vrednosti negativnih članova (takođe ih ima beskonačno

mnogo) posmatranog reda. Ispitivanje konvergencije ta dva reda se svođi na

ispitivanje konvergencije pozitivnih redova.OO

Neka je red X) an apsolutno konvergentan. Tada jen=0 1

oo oo

E H = - 1 E a" = s -n—0 n—0

Opšte članove nizova parcijalnih surna ova dva reda možemo zapisati

gde je sn zbir svih pozitivnih članova reda u parcijalnoj surni sn, a s~ zbir ap-

solutnih vrednosti svih negativnih članova reda posmatrane parcijalne sume

sn. Niz parcijalnih suma {s„} konvergira ka s, a monotono rastući i sa gornje

strane ograničen niz parcijalnih suma {+J konvergira ka s'. Kako je s'n < s'

za svako n, to je sn < s' i s~ < s' za svako n, tj. monotono rastući nizovi sn

i sn su ograničeni sa gornje strane, pa stoga I konvergentni. To znači da su

redovi X) an i X) an formirani samo od svih pozitivnih i samo od apsolutnih71=0 n = 0

OG

vrednosti svih negativnih članova posmatranog reda X an konvergentni.n—0

Očigledno je da ako redovi X +T i X an konvergiraju, posmatrani red71= 0 7i = 0

oc

X an konvergira apsolutno, a ako je jedan od njih konvergentan, a drugin=0



40 Glava 1 Brojni redovi

divergentaa, tada ne može konvergirati niti red formiran od apsolutnih vred-

nosti članova posmatranog reda, niti posmatrani red.OG OO

Ako su redovi £ a£ i £ a“ divergentni, iz pareijalnih surna sn i snn —0 n—0

ocse zaključuje da red £ an ne konvergira apsolutno. ali da može uslovno

n=0

konvergirati, tj. biti semikonvergentan." oo 00 . .

Neka je, sada, red £ an semikonvergentan, tj. nekared £ |an|divergira,n —0 n —0

00 .a red £ an konvergira. Tada je

n —0

lirri s' — +oc i lim sn = s .n-¥ oc u n-+oc

a odatle je lim (s' ± sn) -n—oo' "

s n ~ Sn “e s n 1 s n — s n ~ °n

- +oo. Sabiranjem i oduzimanjem jednakosti

dobija se

&'n = 2 s: 2 s:

pa je

lim s' n—toc

= hin (s'n + sn)n-+oc n

~ +OC'

lim s~n-±oo

= iim (s'n - sn)n-t oov u

= +OC

oo oc

što znači da su redovi £ a+ i £ a“ formirani od svih pozitivnih i od apso-n=0 n=0

lutnih vrednosti svih negativnih članova posmatranog reda divergentm.

Za redove sa članovima proizvoljnog znaka važe siedeće osobine:

- Kod apsolutno konvergentnog reda može se menjati poredak njegovih

članova, članovi se mogu proizvoljno grupisati i od tih grupa formirati

novi redovi, a da se pri tom ne menja zbir početnog reda niti njegova

apsolutna konvergencija.

- Zbir apsoiutno konvergentnog reda jednak je zbiru sume reda sastav-

ijenog od pozitivnih članova toga reda i surne reda sastavljenog od

negativnih članova toga reda.



Redovi sa pozitivnim i negativnim članovima 41

Kod semikonvergentnog reda redosled sabiraka je bitan. Promenom

redosleda sabiraka menja se zbir reda. čak se od konvergentnog reda

rnože napraviti divergentan i obrnuto, ili se može podesiti da suma reda bude proizvoljno izabrani broj.

Šta se dešava kada se u semikonvergentnom redu promeni redosled i izvrši

proizvoijno grupisanje njegovih članova, pokazuje primer reda

En= l

-i)’n

n + l 1 1 1 1= 1 — — — — _ - g —

2 3 4 5

Dati red nije apsolutno konvergentan, jer je red formiran od apsolutnih vred-OO , .. . . .

nosti njegovih članova harmonijski red E ± koji je divergentan. Da dati redn—l

konvergira uslovno, tj. da je semikonvergentan, pokazaćemo kasnije poseb-

nim kriterijumom.

Ako zbir datog reda obeležimo sa s i napišemo red sa istim članovima, ali

drugim redosledom i proizvoljno grupisanim, iinamo

i - l21 1

4 + 6

1 -

1

4 +

1

1

3

i r3 6 ,

1 1

" 1 0 ” 1 2

1 , 1

4 + 5

1

1 0

1

1 2

Dobili smo red čiji je zbir tj. jednakost s = |s, odakle sledi da je s — 0,

što očigledno za dati red E — nde tačno. Pogrešan zaključak da je71= 1

s — 0 poslediea je promene redosleda članova.

Primer 13. Izračunajmo sumu reda

OC

£71=0

n ( n - 1)

- 1 ) 2

2n

OC OO / 1 \Kako red E i«n| = E konvergira kao geometrijski red (q = ^), to je

71= 0 71= 0 . . . „osmatrani red apsolutno konvergentan, pa je dozvolj^n crmnisa.me članovr



42 GI hvh i Broini vi

reda, Tako je

En —0

- I V 1 +

f i

1 + 2

1 i 1 1! ” + 24 + P _ " '

_ i f i + i n i f i + r2 a V 27 2 4 V 2

3 i i 1

2 \ ~~ 2? ' O ~ 2 ®

1

2 1

6

5

Već smo rekli da je proizvod dva konvergentna pozitivna reda ponovo kon-

vergentan red čija je suma jednaka proizvodu suma polaznih redova. VekaC C 0 0

su redovi sa članovima proizvoljnog znaka £ an i V K apsolutno konver-n — 0

oo oc

gentni. Tada postoje njihove konačne sume o,n — a i Y K = b, a njihov n —0 n—0

proizvod je apsolutno konvergentan red i važi

^ 1 bn — 1 ^ aOn-k — Cl ■b .n—0 n—0 ri—Ok—0

Dokaz ove osobine se zasniva na moguenosti promene redosleda sabiraka kod

apsolutno konvergentnih redova.OO OC

Ako su redovi £ an i Y K konvergentni u običnom smislu sa zbiroviman=0 n=0

a i b, a jedan od njih je i apsolutno konvergentan, i tada je njihov proizvod

konvergentan red sa zbirom a • b. Konvergencija proizvoda takva dva reda. . 00 n

je sigurno uslovna, a može biti i apsoiutna. Dakle, red Y Y aOn-k je barn=0fc=0

semikonvergentan.

Prim er 14. Izračunajmo proizvod redova

OC 1 oo

y — iO n

n —0

E71 — 0

(-i r

Pozitivan red Y 1 je konvergentan geometrijski red i njegova suma ien= 0 ' '

OO 1E -l

Qnl

n=0

39



Redovi sa pozitivnim i negativnim članovhna 43

(-x-' ( 2 \n

Drugi posmatrani red £ v:k*- je apsolutno konvergentan i njegova suman —0 ' ‘

7 l ~ U

Po pravilu za množenje dva reda imamo

Kako je

i , n — 2 m 0 , n ~ 2 m — 1

to je

Kod ispitivanja konvergencije reda sa članovima proizvoljnog znaka prvo

proveravamo njegovu apsolutnu konvergenciju koja se svodi na lspitivanje

konvergencije pozitivnih redova. Ako konstatujemo da posrnatrani red nije

apsolutno konvergentan, proveravamo njegovu običnu konvergenciju da bi

utvrdili da li je red uslovno konvergentan. Ispitivanje uslovne konvergen-

eije nije, u opštein siučaju, uvek jednostavno. Ali, za specijalne redove

koji počinju bilo sa pozitivnim bilo sa negativnim čianom i čiji članovi naiz-

menično menjaju znak, postoji jednostavan knterijum za ispitivanje njihove

konvergencije - Lajbnicov kriterijum. Takvi redovi se nazivaju naizmenični

ili alternativni.

Definicija: Red oblika

Y X ~ - l ) n^ l a n = Oi — 0-2 + 03 — 04 + . . . + (l2n - 1 — a ‘ 2n + • •

iliO C

^ ( — l ) K a n — — O i + 0 2 — « 3 + 0-4 + . . . — a 2n—l + a 2n — •




gde je an > 0, Vn = 1,2 __ _ naziva se naizmeničan (alternativan) red.

Lajbnicov kriterijum konvergencije naizmeničnih redova: Ako u na-izmeničnom redu (— ili Š ( —l ) radn brojevi an (apsolutne vrednosti

n = ] J- _ „

čianova reda) čine rnonotono opadajući niz i ako apsoiutna vrednost opsteg

člana reda teži nuli kada n teži beskonačnosti, tj.

a.„ > an+i , Vn = 1 , 2 , . . . i jhn a„ = 0,

tada naizmeničan red konvergira i njegov zbir ima znak prvog člana.

Lajbnicov kriterijum važi i u siučaju kada je an > on+i, Vn > «o>

nejednakost ne inora biti zadovoljena za Vn = 1,2,..., već je dovoljno da

važi počev od nekog n0.

Dokaz: Posmatraćemo naizmeničan red

OO

( — 1 )n+ 1On = 0 -1 - 0 2 + 0 3 - - 0 4 + . . . + 0 2 n - l - °'2n + • • •

n—]

Iz niza pareijalnih suma i činjenice da je on —an+i > 0, Vn — 1,2, .. ., imaino

S l = O l

S 2 = tt;L- 0 2

S ‘ i = O l — o 2 + O3 — + —(o2 - 0 3 ) < S'i

s 4 = O i — t t 2 + 0 3 — t t 4 = S 2 + ( 0 3 — 0 4 ) > s 2

£ 5 = « 1 — t t 2 + 0 3 — O4 G'o — s 3 ~ (0 4 O 5 ) < S3

= tt i - a 2 + a-i — 0 4 + 0.5 — ttg = S 4 + ( o 5 — t tg ) > S 4

* ‘ 2 n - -1 = O i — 0 2 + l l i — 0 4 + O 5 + • • • — 0 2 n _ 2 + 0 2 n— 1 < '+n .

s 2n = O i — 0 2 + 0 3 — tt4 + 0 5 — Of, + . . . + 0 2 n _ i — 0-2n > ■

Ako brojeve Gi,a2 ,a3,,.. u nizu parcijalnih suma {sn} drugačije grupišemo.




imaćeino

i'i —a i

S‘ 2 = a-L - tt‘ 2 <sL

S3 — O- i — d ‘2 4” O3 = fi‘2 4" G3 > >52

S'4 = Gi — o,‘ 2+ 03 — a4 = «i —{a-2 — a%) — a4 < s>.

S5 = ( 1 1 — 0 ‘2 + 0'3 — a4 + a3 = S'2 (Q'2 a3) (a4 a3) + s2

s6 ■=ax - a2 + a3 - a4 + a3 — a6 = »i - (a2 - a 3) - (a4 - a 5 ) - a 6 <Si.

s2n_i = ai — a2 + a3 — a4 + a5 + . . . — a2 n _ 2 + a2„_i > s2

S'2n = Q'i —a-2 + a3 — o4 + a5 a6 + ■-•+ a2n-i a2n < s'i .

To je prikazano na sledećoj sliciGl

Slika 6

Vidimo da je 0 < s2„ < s2n-i) Vn = 1, 2 ,... i da je podmz {s2n} niza

parcijainih suma {.sn} monotono rastući niz ograničen sa gornje strane sa s1:

a podniz {s2n-i} mouotono opadajući niz ograničen sa donje strane sa s2, pa

po teoremi o monotonim nizovima postoje sledeće granične vrednosti




Dokazaćemo da je š — s. Iz a2n — s2n — «2n-i i J ™ ,a« — 0 slcdi

liin |s2n - 6‘2n-ln—>cc

lim |a9n! = 0 .n —>oo '

Sa druge strane je

lim |s2n -n —to o 1

s 2n— 1 lim S2nn—>oc

lim s2n- i i = |s - s|

Pa je

| s - s i = 0 š — s .

Stoga je naizmeničan red (—l)""t‘1 an k°ji počinje sa pozitivmm članom.n=l __

konvergentan i njegov zbir je pozitivan (znak prvog člana) i rnanji od prvog

člana.00 .

Ako posmatramo naizmeničan red E ( - l ) nan koji počinje negativnimn = 1

članom, tada Lajbnieov kriterijum i dalje važi, ali je zbir negativan (znak

prvog člana) i po apsolutnoj vrednosti rnanji od apsolutne vrednosti prvog

člana.

Ako se pri sabiranju kouvergentnog naizmeničnog reda koji počinje bilo

pozitivnim bilo negativnim članom, zaustavimo na n-tom clanu, tj. saberemo

prvih n (konačno mnogo) članova, ostatak Rn je u zavisnosti da li smo sabrali

paran ili neparan broj članova

Rn — —Un-t-2 4“ On+3 + ((an+l —an+2) + ( a n +3 “ an+<l) + ■• •)

Rn = - a n+i + a„+2 - an + 3 + ••• = - ((an+i - a„+2) + (an+3 ~ an+ +) + •••)•

Ostatak Rn je takođe konvergentan naizmeničan red i, kao takav, irria znak

svog prvog sabirka.

Teorema: Apsolutna vrednost |i?n| ostatka reda, tj. greška pri aproksimaciji

reda zbirom njegovih prvih n članova, manja je od apsolutne vrednosti prvog

izostavljenog člana, tj. apsolutne vrednosti prvog sabirka u Rn.

Dokaz: Pokazaćemo da teorema važi ako saberemo prvih bilo parno innogo




bilo neparno mnogo članova, odakle sledi da teorema važi za svako konačno

n = 1 , 2 , . . . .■00

Posmatraćemo konvergentan naizmeničan red E (—l)n+1a„ koji počinjen = 1

pozitivnim članom. Ako saberemo prvih 2m članova, tada je R2m > 0 i

R ‘ 2m = C L 2 r n + l ~ & 2 r o + 2 + « 2 r o + 3 — — a 2 r o + l ” ( a 2 r o + 2 — « 2 r o + 3 ) ” ■ • • ,

pa sledi

R'Im , ■'2ro+l tj. RL2n/,: - !•

Takođe je, ako saberemo prvih 2m — i članova, iž2ro-i < 0 i

R '2 m —l Cl‘ 2m, T n m+l 2 V ••• ®2m T ((Vlrri- [ + ro .+ 2 ) “f~ ••■•

pa sledi

R rn —1 > ®2m tj. ji?2ro—1 | < ! ®2m| ■

Odatle je za svako n = 1 , 2 , . . .

!s — sn\= ji?Ti! < jo.n!.

čirne je tvrđenje teoreme dokazano.

Za konvergentan naizmeničan red koji počinje negativnim članom dokaz

je istovetan.

Prim er 15. Ispitajmo konvergenciju redova

oo / -i \n

( a ) Yir

TVJ <*) £

71— 1n + 1 0

(a) Za p < 0 opšti član a

divergira.

„ = TAfA reda ne teži nuli kada n oc, te red / 1 yj P '

Za p > 1 red £ k+j = E ++ konvergira, tj. dati red apsolutno kon-n = 1 n = l

vergira, pa i konvergira (u običnorn smislu).

Za 0 < p < 1 dati red ne konvergira apsolutno. Iz

_ , . _ 1 1nr < n + i f <+ np ^ (n + l ):p, Yn = 1 , 2 , . . . .




sledi da čianovi reda po apsolutnoj vrednosti čine monotono opadajući

niz. Pored toga opšti član reda po apsolutnoj vrednosti teži nuli, ij.lini -i- = o. Kako su tirne zadovoljeni uslovi Lajbnicovog kriterijuma,

n p

zaključujemo da dati red uslovno konvergira.

OC(b) Kako red apsolutnih vrednosti članova E ^ divergira, a kako jev n —1

lim ar iim = 0 ii / f l + 1 y / n

<++ +n + 1 0 n + 1 1 n + 1 0

to red uslovno konvergira po Lajbnicovom kriterijumu.

- r -l ) " - 1

za n > 5 ,

Prim er 16. Određimo koliko članova reda E reba sabrati da bi71 = 1 n

suirra reda bila izračunata sa. greškom rrianjom od 1 0 3!

Kako je

OOL71=1

pri aproksimaciji

\ n - 1

n k—l

■1 )k —1

Ek ~ n - r 1

( - 1)k - 1

00 1 -l)" -1 A ( - l ) fc_1

i n ~ k i kn —1 k —lE

cnuiiio gresku

R E _ ( - 1

)" , ( - l )" +: , ( - 1

)

n + 2

n ^ kk —n + l

n + 1 n + 2 n + 3

- l ) n1 \n f_

'+ , V - l ) n

n + 1 n + 2 n + 3

Kako je greška aproksimacije po apsolutnoj vrednosti rnarrja od apsolutne

vrednosti prvog izostavljenog člaria, tj. \Rn\< |a7H-i!j to je

< W z a n > 103 - L

pa zaključujemo da treba sabrati 999 članova reda.




Kriterijumi za ispitivanje konvcrgeneije redova koji su do sada prikazani u

udžbeniku, predstavljaju osnovne i najčešće korišćene kriterijume. Međutim

u teoriji redova postoje i drugi kriterijumi, od kojih navodiino još dva koji se

takođe često koriste u praksi.OC OO

Abelov kriterijum: Red J2 o-nbn konvergira ako konvergira red E an in=l n=l

ako je {bn} monoton, ograničen niz.

oc ( _ ! ) "

Prim er 17. Ispitajino konvergenciju reda -----—\/n.n=i n + 2

Ako uzmemo da je an — jr, bn — \JTi, onda red kj an konvergiran—1

po Lajbnicovom kriterijumu, a niz {bn} je monotono opadajući za n > 3 i

konvergira ka 1 jer je lim yjn — 1, pa je {bn} i ograničen. Po Abelovom

kriterijumu dati red konvergira.

O C

Dirihieov kriterijum: Red + anbn konvergira ako je niz parcijalnih suman=l

n

A n = Y, ak ograničen i ako je niz {bn} rrionotono opadajući i teži rruli kada A:—1n —>oc.

P rim er 18. Ispitajmo konvergenciju redaO C

E7 . -2

1 . TITT

Ako uzmcmo da je an

nih surna

1

lnn ’fcađa za članove niza parcijal-

An — ' j 2 ak — 1 +k= 2

V 2 , _ n/2 y/2 , n T+ 0 - T - i - T ^ o + T + .. . n 1 , 2 , . . .

važi < An < 1 + Jj, tj. niz parcijalnih suma je ograničen, a niz

{bn} inonotono opada i teži riuii kada n —>■oo. Po Dirihleovom kriterijumu

zaključujemo da dati red konvergira.




7 Zadaci za samostalno vežbanje

1. Naći sumu reda koristeći niz parcijalnih suma.

>

OC

£i

(3ri — 2)(3n + lj

OO

b ) . £n - 1

2 n - 1

2?»

oo ___

c) ]T (VrT+2 - 2\/n + T + y/n)n=l

5 = 3

S = l - V 2

2. Na osnovu ponašanja opšteg člana reda pri n -+ oo ispitati konvergen

ciju redova.

\i a) £n—1

n

n + 1

Divergira

b)

oc

En

Divergiran=l yn\

■

\c)cx;

£n-U

\fn + 2

5 + n2Konvergira

d)

oo

£n=l

lnfn!)

nQ:Divergira za a < 2, rnožđa konvergira za a > 2

3. Primenom uporednog kriterijuma ispitati konvergenciju redova.

\ oo on

,\ai T „ Konvergira

00 lnn\b) E—

oo

Divergira

c) ^ j(^ n + l - v^n)n—1

Divergira

OO -jd) V" —(Vn? + n + 1 — Vn 2 — n + 1 )

: n

Divergira



Zadaci za samostalno vežbanje

eOG

V n—i

1

In(n!)Divergira

4. Ispitati konvergenciju redova.

^ 1/!- — n + 3

a; , n3 -f 2 nn=i

Divergira

00 r\ _LA/t7

b>s ; ; - !Konvergira

^ lim

C) ^ n ’ + SKonvergira.

Primenom Dalarnberovog količničkog kriterijuina ispitati konvergenciju

redova.

oc ™ , Ia) f ; ' '

; ^ nnKonvergira

, nf b)

n=l ' ‘

Konvergira

V (,i! ) 2

^ h (2 «)’-

Konvergira

Prirnenom Košijevog

dova.

korenskog kriterijuma ispitati konvergenciju re-

, ^ n - 2 "a) 2 ^ on

n=l °

Konvergira

30 / ?7a b>s ;n=lKonvergira za a < 1

Prirnenom Košijevog integralnog kriterijuma ispitati konvergenciju le

dova.

Divergira

OC

b) n= 1

Konvergira




8 . Dokazati

E71 — 1

1

+ - •(n2 + 1) 4 2

9. Primenom Lajbnicovog kriterijuma ispitati konvergenciju redova.

Konvergira^ ^ ( -1 r - nz ^ — q r r

00 2 n 4- 1 b) E ( - 1 )

n - 1

^ 5n — 6

-■) En—1

-l \7i-f -1

n(n + l)(n + 2 )

Divergira

Konvergira.

Koliko članova reda treba sabrati sa tačnošću od 0,01? n - 3

10. Primenom Košijevog proizvoda izračunati suine redova.

00 n + 1a) E n? Z—4 on

n — 1

5 = 4

, , “ .(» + l)(n + 2)

b) E 2nn=l

C - 0 I I h —

1

o ž (n: iy2 S = 1 2

71 = 1



Detinicija reda funkcija

II DEO

Redovi funkcija

1 Definicija reda funkcija

Poznato je da zbir dve ili više realnih funkeija definisanih nad nekim skupom

D C R predstavlja realnu funkciju definisanu nad istim domenom D. Po-

stavlja se pitanje: Šta se đogađa kada se sabere beskonačno rnnogo ovakvih

funkcija?Posmatrajmo realne funkcije fk{x), k = 1 , 2 , . . . definisane nad dome-

nom J 3 c E ( I > je najčešće neki otvoren, zatvoren ili poluotvoren interval

[a,b], (a, b), (a.b], (a, oc). ( - 0 0 , 6], ( - 0 0 , 0 0 ), itd.). Beskonačan zbir

OC

Y A (x ) - /l (X) + f2(x) + •••+ fn(z) + fnn(x ) + ...k= 1

se naziva red funkcija definisan nad domenom D. Kao i kod brojnih redova,zbir prvih n sabiraka

sn(x) = Y fkix )k = 1

nazivamo n-ta parcijalna suma reda funkcija, a izraz

Rn(x) = Y fk(X)k —n + l

predstavlja ostatak reda.



Glava II Rcdovi funkcija

2 Konvergencija i osobine redova funkcija

Za svako x = x0 <E D red funkcija postaje brojni red koji može konvergirati

ili divergirati. Interval I C D koji čine sve one vrednosti x0 za koje brojniOO

red E fk(x o) konvergira. nazivamo interval konvergencije reda funkcijak ~ i

OO

f k(x) i kažemo da ovaj red funkcija za svako x E I konvergira kak = 1 ‘

funkciji s(.r) koja se dobija kao

n

s(u-) = lim sn(x) = lim V] f k(x) , x G I ,v n —tOG n —¥oo L—*

k = 1

i koja se naziva zbir reda. Pri tome. za svako x E I možemo pisati

£ fk{x) = s(x) .k ~ 1

Granična vrednost kojom se definiše zbir reda kazuje da za svako x0 € I i

proizvoljno e > 0 postoji n0 koje zavisi od e, kao i od posmatrane tačke x0,

tako da važi|s ( j;0) — Sj.(x'o)| < c za svako n > n0 .

Iz jednakosti lim sn(x) = s(x) sledi da je

lim Rn(x) = lim (s(x) - sn(rr)) = 0 za svako x G /,

što možemo smatrati ekvivalentnom definicijom konvergencije reda funkcija.

Kod brojnih redova smo pokazali da ako brojni red konvergira, onda

njegov opšti član teži nuli. i\ra osnovu ovog zaključujemo da potreban uslov

za konvergenciju reda funkcija f k(x) nad intervalom I glasifc=i

lim fn(x) = 0 za svako x £ I .n—>oo '

Iz razmatranja iznetih u prvom delu udžbenika posvećenom brojnim re-

dovima sledi

Košijev potreban i dovoljan usiov konvergencije reda funkcija: Po-OC

treban i dovoljan uslov da recl fk(%) konvergira nad intervalom I je da zafc=i



Konvergencija i osobine redova funkcija < 55

svako e > 0 postoji uq = no(e). tako da važi

i+t+pO ) ( l ) | \fn+i(x)-\~. . . — f n+p(x ) \ s /& svako n > n0 , p > 1 .

Konvergencija reda funkcija o kojoj smo dosad govonli često se naziva

konvergencija u običnorn smisiu ili slaba konvergencija.OC;

Za red funkcija E /fc(a:) kažemo da konvergira apsolutno nad inter-fc-i

valom I ako za svako x £ I red funkcija E \fk(x)\ konvergira (u običnomfc=i

smislu).

’rimer "OfRed funkcij? OC

X>'n = 0

je definisan za svako x e E i z a bilo koju vrednost promenljive x predstavlja

geometrijski (brojni) red kod koga je količnik q — x. Poznato je da geometrij-

ski red konvergira k a ------- za |gj < 1, što znači da je interval konvergencije1 - q . .

posmatranog reda funkcija 1 — (—1, 1 ) i da je za ,6 £ (—1 , 1 )

1 y > 7:n—0 i

dok za x > 1 i x < - 1 posmatrani red divergira.

Primetimo da su svi članovi posmatranog reda, nad intervalom konver-

gencije I — ( —1 , 1 ), ograničene funkcije, tj. \xn\ < 1 , dok funkcija koja

pređstavlja zbir reda s(x) = ------ nije ograničena, tj.

Uć-Primer 2. Red funkcija

1 -

lim s‘(x) = +oc .X —) .1

E71=1

> 2 n + («-l

1 + X 2n ,y.2(a—1 ) X

je definisan za svako x £ 3R. Lako je videti da je n-ta pareijalna suma

posmatranog reda

X

2 n

1 + X 2n

1

2



Glava II Redovi funkcija

Kako je za \x\ < l, tj. x £ ( —1,1)

lim x2n = 0 .n—>oc

za |x| = l, tj. x = 1 i x = —1

lirn x2n = 1 ,

a za |a,-j > 1, tj. x £ (—oo, —1) U (1, +oc)

lim x2n = +oon—foc

X lim

Tl ÔC 1 + X -2 n

= 1,

to je

s(x) = lim sn(x

1

2

0

1

2

za x e (—1 , 1 )

za x = ± 1

za x G (—oo, —1) U (1, + oo).

Dakie, interval konvergencije posmatranog reda je I = (—0 0 , 0 0 ).

Primetimo da su svi članovi posrnatranog reda neprekidne funkcije za

svako x £ 1, dok zbir reda s(x) ima prekid prve vrste (konačan skok) u

tačkama z = —1 i x = 1 .

Iz prethodnih primera vidimo da konvergencija 11 običnom smislu ne

obezbeđuje da se neke važne osobine funkcija kao što su ograničenost i nepre-

kidnost (a samirn tim i diferencijabilnost i integrabilnost) prenesu automatski

sa čianova reda na zbir tog reda. U tom cilju ćemo uvesti pojam jedne ”jače”

konvergencije koju nazivamo uniformna konvergencija.OO

Red funkcija X) fk(x) konvergira uniformno ka s(x) nad intervalom /fc= 1 ' t

ako za svako x € I i proizvoijno e > 0 postoji ri0 koje zavisi samo od s (a ne

i od posmatrane tačke x ), tako da važi

|s(x) — s„(a:)j < e za svako n > n0 .

Ovaj uslov se ruože zapisati i u obliku

Ve > 0, =jn0 (c), Vx € I, \Rn(x)\ < e, Vn > n0.



Konvergencija i osobine redova funkcija

Može se pokazati da je ovaj uslov ekvivalentan sa zahtevom

lim max\Rn{x)\ — 0n - t o o i£ / ' 1

koji je praktičniji za primenu od saine definicije uniformne konvergencije.

Ako rieki red funkcija konvergira unifbrmno nad intervalom I, onda taj

red konvergira nad intervalom / i u običnom smislu, tj iz uniformne kon-

vergencije sledi konvergencija u običnom smislu. Interval I u kome

red funkcija uniformno konvergira, u opštem slučaju, je podskup intervala

nad kojim red konvergira u običnom smislu. (Naravno, u nekim slučajevima

ovi intervali su isti.)

Primer 3. Pokažimo da red

^ (x + k)(x + k + 1) x > 0

uniformno konvergira za svako x > 0.

Lako je videti da je

.7 ■+ k + 1 — x k 1 1

pa je1

x + n + 1

a zbir reda, za svako x > 0, je

, , 1s(x) = lim sn(x) = — — •v n->oo X + 1

Na osnovu toga vidimo da za svako x £ (0, oc) važi

a odavde siedi da je

1 1

R ji { C) j + < e za n > - 1 = nQ.



Glava II Redovi fmikcija0©/

Kako n0 — / - 1 ne zavisi od x već sarrio od s, to posmatrani red funkcija

uniforrnno konvergira nad intervalom / — (0, +oc).

Primer 4. U Primeru 2 smo pokazali da red funkcija

n—-1

f x2n

l + x2n 1 + x 2 ( n - l ) J

konvergira c& svako x e R ka funkciji s(x)

' 1

2 za x G ( — 1.1)s(x) = lim sTl + ’) = \ 0 za x — ±1

71—+COi

t 2za x e ( —oo, - 1) U (1, +oo)

koja, ima prekid prve vrste u taćkama m= — l im = l. Za svako x e (—1,1)

nejednakost' x 2n

i'+v2') — S(X) \— e

daje uslov

iz koga se vidi da što je vrednost za x bliža broju 1 to i vrednost za n rnora

postajati sve veća. Dakle, u okolini tačke x — 1 vrednost n za koju važi

posmatrani uslov ne zavisi samo od e već i od vrednosti promenljive x, što

znači da posmatrani red riije uniformno konvergentan u okoiini tačke x — l.

Na isti način se zakijučuje da red nije uniforrrmo konvergentan ni u okolinitačke x — - 1 , pa se upravo zbog toga u ovim tačkama i pojavljuje prekid za

funkciju ,s'(a’) koja predstavlja zbir datog reda.

Uniformna konvergencija narn kazuje da se za svaku proizvoljnu vrednost

e nad čitavim intervalom / sve funkcije sn(x), koje pređstavljaju članove niza

parcijalnih suma za svako n > n0, naiaze unutar pruge (s(r:) - e, s(x) + s),

tj. dela ravni oko f'unkcije s(x) širine 2e, dok kod konvergencije u običnom

srnislu širina intervala ( s (.t ) — e, s(.x') + e) u kojoj se naiaze svi čianovi niza

s„(x) za n > n0 se menja u zavisnosti od posmatrane tačke x € /. Sledeće



Konvergenci ja i osobine redova, funkcija - 5 9 -

dve slike ilustruju raziiku između uniformne konvergencije i konvergencije u

običnom smislu.

Siika 1

Siika 2



60 Glava II Redovi funkcija

Praktičan kriterijum za ispitivanje uniformne konvergencije redova fun-

kcija predstavlja Vajerštrasov kriterijum.

Vajerštrasov kriterijum: Ako za svako x E I vraži

!/n(-X')l < a n , W € N ,

gde su an realni brojevi koji ne zavise od x. a brojni red )T an konvergira.n = l

tada red funkcija /j /n(x-) uniformno konvergira nad intervalom I.71=1

Dokaz: Da bismo dokazali ovo tvrđenje pođimo od činjenice da brojni red(in konvergira, što znači da za svako e > 0 postoji rio = rio(e), tako da za

71=1

ostatak tog reda važi

y / a-k < t za svako n > n0.k—n -\-1

oo

Kako je j/fe(x)| < afe, A: € 1\T, to za posmatrani red funkcija X) fk{x). za' ' " fc=i '

svako x G /, važi

i-S>-n(.'X') j — E A (x') ^ E !/fc(x )i < E «* < * • A;=nH-l ’ ‘ * ' Ai=7i+1

Cinjenica da je za svako x (=. I

\Rn(x) \< e za svako n > n 0 ( c )

00znači da red J2 fk\x) uniforrnno konvergira nad intervalom I .

fc=u00

Iz dokaza sledi da pod navedenim pretpostavkama i red \fn(x )| uni-7 i = l

CO

formno konvergira za svako x G I, tj. ako red fn(x) uniformno konvergirart=l

za svako x G /, onda on i apsolutno konvergira nad intervalom /.

Primer 5. U Primeru 3 smo, primenom definicije, pokazali da red

1

fc=i " y ------- :--------------fe=1 + k)(x + k + 1)

x > 0



Konvergencija i osobine redova fnnkcija. m

uniformno konvergira za svako x > 0. Do ovog zaključka se rnože doći i

primenom Vajerštrasovog kriterijuma, jer je za x > 0

1 1 1

(x + k)(x + k + 1 ) ^ k(k + 1 ) ^ k2 ’

00 i -a brojni red I] A konvergira (a — 2 > 1 ).

k=1

U nastavku eemo pokazati da se neke važne osobine, kao što su neprekid-

nost, điferencijabilnost-, integrabilnost, pod izvesnim uslovima rnogu preneti

sa članova reda funkeija i na njegov zbir. Pri tome bitnu ulogu ima uniformna

konvergencija.

Znamo da ako su funkcije /*,(+), k — 1, 2,. . . ,n neprekicine nad nekimn

intervalom 1, onda je i zbir sn(x) = fh(x )> kao zbir konačno mnogo' ' fc=i’

neprekidnih funkcija, neprekidna funkcija nad I . dok za zbir beskonačno

mnogo neprekidnih funkcija lim sn(x) — s(x), koji definiše red funkcijav n—*oc ' v v

oo

fk(x), to ne mora da važi, što se vidi iz Primera 1. Za neprekidnost

fc=o‘ ' 'zbira s(,r) je bitna uniforrrma konvergencija reda što tvrdi naredna teorema.

OQTeorema o neprekidnosti reda funkcija: Ako red Y f k ( x ) uniformno

fc=ikonvergira ka funkciji s(a:) nad intervalom I i ako su fk(x), k — 1 , 2 ,... ne-

prekidne funkcije nad I, tada je s(x) neprekidna funkcija nad intervalom I.

Dokaz: Da bismo dokazali da je funkcija s(x) neprekidna nad intervalom I .

treba da pokažemo da za svako e > 0 postoji 5 = d(e), tako da je

s(x’) — s(cc)j < e za \x' — x\ < 5, x, x' E I .

Kako red f fk(x) uriiformno konvergira ka s/n) nad intervaiom 1, to zafc=i '

svako e > 0 postoji n0 koje zavisi samo od e (a ne i od x), tako da za svako

x, x' € I važi

R n ( x )\ < ^ za svako n > n$ ,

i



Glava II Redovi funkcija6^

i

\Rn{x')\ < - za svako n > n0.3

Budući da je an(x) neprekidna funkcija za svako x 6 I (kao zbir konačno

rnnogo neprekidnih funkcija), po defmiciji neprekidnosti je

^ za \x - x\ < 5 , x, x ' E I .

Na osnovu ovih nejednakosti dobijamo da je

|s(.iy) - s(x) \= isn(xr) + Rn(x) - sn(x) - Rn(x )I <

< jsn(.T/) — s.„(a;)| + \Rn(x') \+ |i?„(x)| < - + - + - = e

za \x' — x\ < 5, x,x' 6 I, što znači da je s(x) neprekidna funkcija nad

intervalom /.

Teorema o neprekidnosti reda funkcija ustvari znači da granični proces

(lim) i beskonačan zbir (Jj) mogu zameniti niesta, tj.

lim y~) = lim .

Može se pokazati da je uniformna konvergencija reda ka funkciji s(x)

samo dovoljan uslov za neprekidnost funkcije s(x), ali nije i potreban uslov.

Nairne, mogu se konstruisati primeri redova funkcija koji ne konvergiraju

uniformno, ali je njihov zbir ipak neprekidna funkcija.

Uniformno konvergentni redovi funkcija, imaju osobinu da se mogu inte-

graliti i điferencirati član po član, što pokazuju sledeće dve teoreme.OO

Teorema o integraciji reda funkcija: Ako red f k(x ), gde su funkcije

f k(x), k = 1 , 2 ,... neprekidne nad I, uniformno konvergira ka s(x) nad

intervalom I, tada za svako x0,x 6 / važi

f. r, / \ «

j s(t)dt = j lj2fk(t)J dt = I2j fk{i)dtX Q X Q ' ^ = 1 '



Konvergencija i osobine redova funkcija m...

Dokaz: Polazirno od činjenice da posmatrani red funkeija uniformno kon-

vergira nad intervalom 1 što znači da za svako s > 0 postoji n0 koje zavisi

samo od s, tako da je za svako t E /

\Rn(t ) ! < s za svako n > n0.

Ako uvedemo oznaku Ax -■x — x0, onda je

X

j Rn(t)dt%G

X X

< / \Rn(t)\dt. < s J dt = e(x X g xq

x0) — sAx za svako n > n0.

Kako je

X X X J. , n \

j Rn(t)dt = j ( s(t)- sn(t)) dt = J s(t)dt - J (v f k(t) j dt

x 0 X0 xo X 0 A =1

f 71 f = s(t) dt- fk(t)dt,

J k — l ' X Q K — * x o

(kod konačno rnnogo sabiraka operatori £ i J inogu promeniti redosled), to

prethodna nejednakost postaje

za svako n > n0.

Iz poslednje nejednakosti sledi da je

lim

X yi , ^

f s ( t )dt - Y f f k ( t ) d t

J JU—1 J X q k — l X q

= 0 .

što znači da ie f oc oo f

' £ Mt) t = Y. Mt)dt .

*0 *=1 k- lX0



Glava, II Redovi funkcija

Ovo ustvari znači da je (pod uslovima teoreme) integral unifbrmno kon-

vergentnog beskonačnog zbira (reda) neprekidnih funkcija jednak beskonač-nom zbiru (redu) integrala tih funkcija, tj. operatori )T i f mogu zameniti

mesta

/£=£/■

Usiov o uniformnoj konvergenciji posmatranog reda je dovoljan, ali nije

i potreban, jer postoje redovi funkcija koji nisu uniformno konvergentni a

mogu se integraliti član po član, što pokazuje sleđeći primer.

Primer 6 . Posmatrajmo red funkcija

Vidimo da je

odakle đobijamo

^ / nx (n — l)x N

^ { l + n2x2 1 + (n — l) 2x2/

(nx

N + = , . v 21 + n2x2

, x e (o, i ] .

s(x) = lirn sn(x) ' n—>00

= lirrinx

n- oo 1 + n2x2= 0

\Rn('-£-)\ — |*’ (V') Sn(x)\nz

1 + n2x2

Dakle, posmatrani red konvergira za svako x € [0 , 1 ], ali ne uniformno jer je

za x = -n

Rn

za svako n pa i za n -> oo, tj. kada x = / —»0.

Nad posmatranim intervalom [0 , 1 ] red se ipak može integraliti člau po

član, tj. integral zbira je jeđnak zbiru integrala, jer je

J 51 fk(x)dx = J s(x)dx = J 0-d.n k=1

0

o o



Konvergencija i osohine redova. funkcija

E fk(x)dx = Hm £ f k(x)dx = Um / ^ f k(x)đx *=lo ' ' fe=io ‘

1 ];

— lim sn(x)dx = lim I „ „n=cc, J ■' n->oc./ 1+ rrz-2 n^°° 2n

nxdx , ln(l + n2)lim — ~ ------- = 0 .

Teorema o diferenciranju redova funkcija: Ako red X fk(%) konvergirak= 1

ka funkciji sf+l nad intervalom / , pri čemu fk(x), k = 1 , 2 ,... imaju uepreki-OO

dan prvi izvod nad I i red X fk(x ) uniformno konvergira nad intervalom I,k= 1

tada je / o o

s'(x) = {J2fk(x) = J2fk(x)\k=1 /

Dokaz: Dokaz sledi iz činjenice da se na red f k(x ), pošto on uniformno k=1 _

konvergira, može primeniti integracija član po član nad nekim intervalom

\x0,x) C 1. te važi

J E f'kti) ) dt = E 1 / /* (* )* = Y.(fk(x) ~ /fc(j;o)),... / ft—1 Vr,, / fc = i

tj-

E /fc^') ~ E /fcô) = E /*(*) dt-ft=i fc=i zo Vft=l

/ ocDiferenciranjem ove jednakosti po x (budući da je ^X f k(x o)) — c' — 0)

dobijamo da je

\ft=iE/fcW =E/^)-

fc=i

Ovo drugim rečima znači da je (pod uslovima teoreme) izvod beskonačnog

zbira (reda) funkcija jednak beskonačnom zbiru (redu) izvoda tih funkcija,tj. operatori sumiranja (X)) i diferenciranja mogu zameniti mesta.




Treba obratiti pažnju na razliku u uslovirna koji omogućuju diferenciranje

i integraciju reda član po član. Kod integracije srno zahtevali da posmatranired funkcija konvergira uniformno, dok se kod điferenciranja zahteva samo

konvergencija u običnom smislu, aii pri tom red izvoda funkcija mora uni-

formno konvergirati.

Stepeni redovi

U ovom delu udžbenika bavićemo se jednom specijainom klasom redova

funkcija kod kojih je opšti član reda jedna od najjednostavnijih realnih fun-

kcija - stepena funkcija.

Red oblikaOC

^ an(x —a)n , a, an e R , n = 0 , 1 , 2 , . . .n — 0

naziva se stepeni red, a brojevi an koeficijenti stepenog reda.

Ako označimo x —a = x, vidimo da stepeni red rnože da se zapiše u90 '

obliku J2 anf n i uglavnom ćemo, ne ograničavajući opštost, posmatrati takve71 — 0 '

redove.■ . 30

Opšti član stepenog reda £ 'AA” Je stepena funkcija obiika f n(x) = anxn,n ~ 0

an E ]R.

lako su funkcije koje predstavljaju članove stepenog reda definisane (i ne-

prekidne) za svako x GH, stepeni red ne mora konvergirati za svako x G R.

On može da konvergira samo za x = 0 ili nad nekim konačnim intervalom,OC

kao što je to bio slučaj sa stepenim redom X) xn (koeficijenti ovog stepenog71 = 1

reda su an = 1), koji smo posmatrali u Priineru 1, gde srno pokazali da. ovaj

stepeni red konvergira za x £ ( - 1 , 1 ).

Probiein određivanja intervala konvergencije može se rešiti na osnovu

tvrđenja koje daje Abeiova teorema.

Abelova teorema: Ako red anxn konvergira za x = x0, tada on apso-n - 0

lutno konvergira za svako x za koje je |,xj < |x0|.



Stepeni redovi 67

Dokaz: U dokazu ove teoreme koristimo činjenicu da za x = xQposmatraniOO

stepeni red postaje brojni red anx 0 i da ovaj brojni red konvergira, izn = 0čega sledi da ie lim anx'\ = 0. Kako je svaki konvergentan niz ograničen, to

n —> oo u

postoji broj M > 0 takav da je

M'o! < M , n = 0,1, . . . .

Iz prethodnog sledi da je

!anx anXr[

• —n u ,r n

X Q

anx n-n0 I

X

Xo M ■

X

X Q

n 0 , 1 ,.

oo

Kako geometrijski redn — 0

n X XQ konvergira za X

310 < 1 , tj. za jU < j x 0 j, to

na osnovu uporednog kriterijuma konvergencije brojnih redova U K l i red

£ anxn konvergira apsolutno za j;cj < j x 0 j.n = 0

OC 0>C

Ako red E anx% divergira, onda red E ar>-n ne može konvergirati zan = 0 u—]

oc

\x\ > jn0j jer bi tađa, na osuovu Abelove teoreme, posmatrani red £ anxn' " _ n~l

morao konvergirati i za xQ. što je suprotno pretpostavci. Znači, ako stepeni

red £ avxn divergira u tački x = xQ. onda on divergira i za svako x za koje77 —0

je \x j > j oj.

OO* U slučaju da stepeni red £ anx niti konvergira za svako x C R, niti

n.=0 r . .

divergira za svako x ^ o, Abelova teorema nam omogućuje da skup pozi-

tivnih realnih brojeva podelimo na disjunktne skupove L i D, pri čemu

skup D sadrži sve brojeve za koje stepeni red divergira, a skup L sve brojeve

za koje red konvergira. Na ovaj način dobijamo broj R = supL = inf D sa

osobinorn da posmatrani stepeni red konvergira za svako x za koje je ju;j R,

a divergira za svako x za koje je |.xj > R. Broj R se naziva poluprečnikoo

konvergencije stepenog reda £ anxn, a intervai (—R.R) oblast konver-n=0

gencije. Često se u literaturi za oblast konvergencije upotrebljavaju i terininirazmak konvergencije ili interval konvergencije.



68 Glava II Rcdovi funkcija

f JXJ

Red E anxn ponekađ konvergira i za x •- R ili x = - R , što se posebnon = 0

proverava nekirn od kriterijuma za konvergenciju brojnih redova. Tada oblastkonvergencije sadrži i jednu ili obe krajnje tačke x = R, odnosno x = —R.

O C ’

Ako na stepeni red anxn primenimo Košijev korenski kriterijum, do-__ n — 0

bićemo da posmatrani red konvergira ako je

lim sup \/\anxn \< 1n->cx j v ’

lim sup \j\an\\x\ < 1

a divergira ako je

limsup f1\an\\x\ > 1 ,U —¥ O G V ' '

Prema tome, poluprečnik konvergencije je ona vrednost x = R za koju je

iimsup d\an\x = 1n — > o g

liinsup \j\an\R= 1 .n- -oc v

Na isti način, primenom Dalamberovog količničkog kriterijuma dobijamo da

se poluprečnik konvergencije može odrediti iz uslova

Tt+llim supn - + o o

R = 1.

Na ovaj način je dokazana

Teorema Koši-Adamara: Poluprečnik konvergencije stepenog reda Jjanx 71 — 0

lirn sup\an+i

Riim sup

n—>oo :

Ako nizovi | i {| <h L j} imaju samojednu tačku nagomiiavanja ko-

ja je istovremeno i granična vrednost odgovarajućeg niza, tada se poluprečnik

konvergencije određuje iz uslova

a n + i I _ _1

! _ R ’

.. nr, r 1lim \l\an\= —

7 1 - -T O C V I T l ' f >

ili limn-Acc ar,



Stepeni redovi 69

Ako je R — +oc, onda posmatrani stepeni red konvergira za svako x E R,

a ako je R = 0, onda posmatrani stcpeni red konvergira samo za x = 0.O C

Za red an(p: — a)n čiji je poluprečnik konvergencije jednak R, oblastn ~ 0

oc

konvergencije je intervai (a—R, a+R). Red an(x — a)n ponekad konvergira71= 0

i za x = a — R ili x = a + R, što se posebno proverava nekiin od kriterijuma

konvergencije brojnih redova i tada i ove tačke (jedna ili obe) pripađaju

oblasti konvergencije.

Primer 7. Pokažimo kako se primenom Teoreine Koši- Adamara određuje

oblast konvergencije na prirrierima sledećih stepenih redova

oo x n

O C , 1 x 1

(«) £ 1 * (71 = 1 V , U

oo

m £n = 0

oo

( c ) E

°° / 3 +(-i)n+iy 71 = 0 2 )

(d) Y l 7l]x" n—0

oo o n i / 0 \ n

£ T : -) o + 1 )'

(a) Poluprečrhk konvergencije određujemo iz uslova

1

R= lim

7 1 — > O Cn = limn~±oc n

n

lim n

n

— C ,




pa je R = f, Zamenom x = ±.x - u dati red dobijaju se dva brojna reda

čiji opšti članovi

- K r ( 4 rne teže rmli, pa posmatrani red funkcija konvergira za x G ( - i , i ) .

(h) Kako je

®n+lliinn-> oc j tt,

limn!

lim 1

-+0O(n + l) ! n->,x>n + 1= 0 ,

to je poluprečnik konvergencije R - +oc, pa posrnatrani red konvergira

za svako x E R.

(c) Da bismo odredili poluprečnik konvergencije, u ovorn slučaju je potre-

bno izračunati

1

Rlimsup y\an\= limsup

3 -1 )n + 1 3 + 1

9 —2

,

pa je R = Za x = ± | dobija se brojni red koji rnožemo prikazati

u obliku zbira reda sa parnirn stepenima koji konvergira i reda sa

neparnim. stepenima koji divergira

£n —0

' 3 + ( - ! ) 'i \ n i \n oc y x 2 k oo

+ = £ +£(+Dz/ fe=0 vz/ n

‘ žh-r ]

0

pa zaključujemo da posmatrani stepeni red divergira za x = ± | . Dakle,

oblast konvergencije posmatranog stepenog reda je interval (

(d .) Kako je

lim71—+OC

-4-1

(ln 71— Ji\lim (n + 1 ) = +oo,

to je poluprečnik konvergencije R = 0, pa posmatrani red konvergirasarno za x = 0. Za x = 0 suma reda je a0 = 1-



Stepeni redovi 71

(e) Poluprečnik konvergencije određujemo iz uslova

1R

limn —f oc

f''n+ 1 lirnn —>oc

n (3n + 1 + (-2)n+1)( r T + E l E T T ^ p )

l im ------

n~>oo fi -V i

• limn —»O C

3 — 2

1 += 1-3 = 3,

pa je i? = | i red konvergira u otvorenom intervalu ( — 1 — — 1 +

tj. z a i + ( - | , - | ) .

Za x = —| đobija se

OC

E71—1

3W+ (—2)n

n

Prvi sabirak predstavija alternativni brojni red za koji je u prvom delu

udžbenika pokazano da konvergira, dok za opšti član reda koji pred-

stavlja drugi sabirak važi

1

n

2\n /2 \ 71 , .- < - za svako n > 1 . 3J \ 3 J

Pošto geometrijski red konvergira, na osnovu uporednog kri-

°° 1 /2 \ n ,terijuma U K l zaključujemo da i brojni red — • ( - ] konvergira.

n=l71 KAJ Dakle, posmatrani red funkcija konvergira z a i = —

Za x — — | dobija se

vEplL2!!.I =f 1+v 1. f-2)"h i n ~ 3" h i n - 3j '

Prvi sabirak predstavlja harmonijski brojni red za koji je u prvom delu

udžbenika pokazano da divergira. Drugi sabirak, na osnovu prethodnog

razmatranja, predstavlja apsolutno konvergentan brojni red. Dakle,posinatrani red funkcija divergira za x — —




Zaključujemo da je oblast konvergencije posmatranog reda funkcija in-

terval -fli j

Oblast konvergencije stepenog reda o kojoj smo do sad govorili odnosila

se na konvergenciju u običnom smislu. Sledeee tvrđenje omogućiće nam da

odredimo interval u kome stepeni red konvergira uniformno.O C

Teorema o uniformnoj konvergenciji: Stepeni red Y anxn uniformnon ~ 0

konvergira u svakom zatvorenom intervalu [—6 , b] koji je sadržan u oblasti

konvergencije

Dokaz: Da bismo dokazali ovo tvrđenje, predstavirno opšti član stepenog

reda u obliku

f n(x) = anxn = anbn

odakle za svako x C [—b,b\, zbog \x\ < b, sledi da je

i fn(x)\ = \anxn\= ianxn ■ = \anbn\• >~\ < \an\bn .

OO

Po pretpostavci je h < R, te brojni red Yj anbn konvergira. Iz poslednje ne-n= 0

. . °° jednakosti, na osnovu Vajerštrasovog kriterijuma, dobijamo da red anxn

n —0

uniformrio konvergira nad posmatranim intervalorn [~b,b].

Jasno je da posmatrani stepeni red uniform.no konvergira i nad svakim in-O C

tervalom [a, 0\ C [~b,b). Ako brojni red Y anRn konvergira, onda možemon ~-0

. -> 00uzeti 8 = b = R., a ako red Y an(~R)n konvergira, onda rnožemo uzeti

' n = 0 '

c\ = —b = —R.

Na osnovu Teoreme o neprekidnosti zaključujemo da zbir stepenog reda

s(x) predstavlja neprekidnu funkciju za svako x iz intervala uni-

formne konvergencije.

Budući da stepeni redovi imaju veoma veliku praktičnu primenu, u nas-

tavku ovog đela ćemo se detaljnije pozabaviti operacijaina sa stepenim re-



Stepeni redovi 73

dovima, tj. pojasnićemo kako se osnovne operacije kao što su sabiranje re-

dova, množenje reda skalarom, množenje dva reda, mtegracija 1 diferenci-

ranje, o kojima smo već ranije govorili, pnmenjuju kod stepenih redova.

Posmatrajmo stepene redove Y2 an%'1 i 53 bnxn čiji su poluprečnici kon-n = 0 n = 0

vergencije R i pri čeinu je r =min{R,R-0}-

Sabiranje i množenje skalarom:

OC oc °°

a E anxn 4- 0 E bnxn — ^2(aan + @bn)xnn = 0 n = 0 n = 0

za svako x £ (—r, rj.

Proizvod stepenih redova: e St\

oo oc

E a - n X n Y b n ' x n

n —0 n—0

oc / n \

E E “n-*6*n=0 \^=0

za svako .r € (—r. r).

Integracija stepenog reda: Stepeni red se moze integraliti član po član,

tj. za svako x iz intervala uniformne konvergencije je

' CC \ /*

i; «.c I* =£ «.<*#=Ert+ 1

Vrt=0 n=0 ; n=0

anx

n 4- 1

pri čerrm dobijeni red ima isti poluprečnik konvergencije R kao i polaznistepeni red. Naime, polazeći od

1— lirri

Ort+l R = ! i ma n

R n—»oc- Cln7i—►OO

&71+ 1

vidimo da je poluprečnik konvergencije stepenog reda dobijenog integiacijoin

n + 2

R\ = lim

an71 + 1

oc I £™±1

' rc+2lim , ji- voc n + i a n + 1

= 1 • R = i? •




* Diferenciranje stepenog reda: Za svako x iz intervala uniformne konver-gencije stepeni red se može diferencirati član po član, tj. važi

( 00 \ ' c c oc

^ 2 OnXn = J 2 i anXny = nanXn~'[ ,

n—0 / n=0 n=l

pri čemu je poluprečnik konvergencije reda dobijenog diferenciranjem isti

kao i poluprečnik konvergencije polaznog reda. Naime. ako je poluprečnik

konvergencije polaznog reda

R = limn —too

an

|

onda je poluprečnik konvergencije reda dobijenog diferenciranjem

R\ = limn —>oc

nan

(n + l)an+ilim ----- -

n~>co n + \

T)

®ra+ 1= 1 ■R = R.

Napomenimo da se stepeni red poluprečnika konvergencije R može proiz-

voljan broj puta integraliti ili difereneirati, pri čemu svi tako dobijeni stepeni

redovi iinaju isti poluprećnik konvergencije R kao i polazni red.

Operacije sa stepenim redovima se najčešće koriste pri izračunavanju

zbira nekog stepenog ili brojnog reda, kao i za predstavljanje nekih ele-

mentarnih funkcija u obliku stepenog reda, što će biti ilustrovano narednim

primerima.

Primer 8 . Nađimo zbir stepenog reda

T i - i r - 1 x

n

Poluprečnik konvergencije posinatranog reda je

R = limra—»oo

lim = 1?i—>oo n



Stepeni redovi t o

te red konvergira za x £ (-1 ,1) . Kako se za x = 1 dobija altevnativni

(-1brojni red -— —

kojikonvergira, a za

x = -1 harinonijski red pomnožen

noo ,

sa (—1 ), tj. — — koji divergira, zaključujemo da je oblast konvergencije

n = 1n

posmatranog reda funkcija interval I = (—1,1]. Za svako x E I zbir datog

reda možemo naći na sledeći načiu: X

~~ rf.n oo f.

£ ( - i ) n_iy tn 'dt E + r 'n — 1

X

n

£ ( - i r ‘ r - ’ U = [ T , ( ~ t r 1 )dt-n — 1 / n vri— 1 /

Kako ie

£ ( - * r 1 = E ( - ‘ )‘ =k —0

1 + t

(geometrijski red sa kolienikorn q = - ć), to je

DC /fJl /

E ( - i r = = /dt

n- - Ln J 1 HHt

0

iri (1 + ir

Primer 9 . Prikažimo u obliku stepenog reda funkeiju

Kako je

/'(*) 1 + 2'2 l - ( - X 2 )

: t gd .

OC 30^ - o •

E i - " ' \7i V " /' i\n '2n j = 2 ^ ( - i j xn= 0 n—0

_2 1- ~ X ) :

pri čemu dobijeni red kon-

vergira za x2 < 1 , tj, \x\ < 1 , to je

X \

f (x)- /(o)- //+*= / (E(-ir2")*S o v ”=t' v oo 1 OC /_ 1 /(211+1

n=0




Dakie, zbog /(0) — arctgO = 0, dobijamo

(~l)nx2n+l arctga: = 2 _,

71= 02 n -j- 1

pri čemu navedena jednakost važi za x € (—1 , 1 ).

Primer 10. Odredimo zbir stepenog reda

]T)(n + 2 )(n + l )xn .

Poluprečnik konvergencije posmatranog reda je

R limrl ~ > O C

gn — limn-+oC'

(n + 2 )(n+ 1 )

(n + 3)(n -r 2)= lim

n—±oc

n + 1

n + 31 .

Za x = ±1 opšti član dobijenih brojnili redova ne teži nuli, pa ovi redovi

divergiraju. Dakle, posmatrani brojni red konvergira za svako x 6 (—1,1).

Uvođenjem srnerre n■+ 2 = k posmatrani. stepeni red se može zapisati u

obiikuOO

£ k{k - l) xk~2.fc=2

Vidimo da za opšti član ovog stepenog reda važi

k(k - l) xk~2 = (xfc)" ,

pa jeOO

E k ( k - fc=2

oc

D V - 2 = e + ) ' =

k ~2 (M( x ‘ X -

( 2 x - x 2 X 2

\ l ~ x j l(i - n d ~ !1 — X )3

Primer 11. Izračunajmo zbir brojnog reda





Glava II Redovi funkdja

G ± J r +ldt = l J ( ± f d d tx n—0 i x i \n = 0 /

0 n—0 0 1 - t/f

X X „ , , X 1 r t , 1 /■* - 1 + 1 , 1- —-— dt = - ---------- dt = -2; / 1 — t x J 1 — t x

0 0 0

= - (—x — ln(l — x))= ln ( l r x )

X X

1dt

Dobijeni rezultat predstavlja zbir posmatranog reda za svako x £ (—1,1),

x 7^ 0 , mada posmatrani red konvergira i za x = 0 i tada je njegov zbir

s-2 (0) = 0 (što dobijamo uvrštavanjem x = 0 u posmatrani red), Prema

tome, zbir drugog reda je

s2 (:r) =

ln(l — x)

x 0 ,

za x E ( —1, 0) U (0,1)

za x = 0

Primetimo da je dobijena funkcija s2(x) neprekidna za svako x e (—1 , 1 )

pošto se primenom Lopitalovog pravila dobija da je

v ln(l — x) \ — 1lim — 1 ------------ - = —1 —l im -------

x-^0 l X x-iO 1 — X-1 + 1 = 0 .

Zbir zadatog brojnog reda se dobija kada u posmatrani stepeni red zamenimo

x — Prema torne, traženi zbir je

— Si ( v ) + 3 s 2 ( t;) — 0 + 3 ( —1 — 2 In1

-3 + 6 ln2 .

Primer 1 2 . Izračunajmo zbir reda

OC

]T (n - 1 ) ( / ' 2 — x)n .n= 2

Ako uvedemo smenu x2 — x = t, dobijamo stepeni red

n= 2



Stepeni redovi

čiji je poluprečnik konvergencije

z? i • Gri H = h r n -----71—>00 f ! , iu'n-f1

r n - 1 .i i in ------

= l .71 —}-0C J l

Za X = ±1 dobijamo brojne redove čiji opšti članovi ne teže nuli, pa je obiast" 00 ,

konvergencije dobijenog stepenog reda T) (n — 1 )tn interval (—1 , 1 ).n = 2

To znači da zadati red £ (n - 1 ) ( ' 2 — x)n konvergira za \x2n='2

tj. za one vređnosti x-a za koje je - 1 < x2 — x < 1. Rešavanjem dobijenog

sistema nejednačina nalazimo da je interval konvergencije posmatranog redar 1 1 —V5 l-h\/5 j

“ \ 2 ‘ 2 )' Za x e L odnosno |t| < 1. zbir dobijenog stepenog reda nalazimo na

siedeći način

OC OC OC

X > - i) i- = *2 £ ( ’ >- i ) f - = e ') '

< i.

71= 2 n= 2 n= 2

(i - t)2 ■

Vraćanjem srnene t = x 2 — x = x(x — 1) doiazimo do traženog zbira

J](n - l )(x2 - x)T./;2(.r — l ) 2

(1 t I — X212 5

1 — V5 1 + \/5-------- < x < — -—

2 2

' Pre nego što pređemo na daija iziaganja o stepenim redovima, reći ćemo

par reči o tome kada su dva stepena reda jednaka.

Jednako st step en ih redova: Potreban i dovoljan uslov da dva stepena

reda X) anarn i X) bnxtl, čiji poluprečnici konvergencije su Ri i R%, buaun =0 n = 0 .

ideutički jednaka nad intervalom(— R, R), gde je R = min(iži, R<z), je da važi

an = bn , n = 0 , 1 , 2 , —

Dokaz: Ako je an = bn, za n = 0,1, 2 ,. . . očigledno je da je

£ £ bnx" 74= 0 71 = 0

/ 1 i svako x E (—R,R).




S druge strane, ako stepeni redovi £ anxn i £ bnxn konvergiraju ka istoi

tunkciji s(x) nad (-R,R), onda je njihova razlika identički jednaka nuli, tj.za svako x 6 (-R , R) je

OC OC OO

<P(X) = E - E = E K - - s(ar) - s(a:) = 0,n = 0 n=0 n = 0

odnosno

"80

- «o - &o + (ai - &i)x- + (a2 - b2)x2 + (a3 - b3)x 3 + . . . = 0 .

Kako 2; = 0 pripada oblasti konvergencije (- R, R), to je ip( 0) = a0- b 0=

0 , tj. a0= b0. Koristeći ovu činjenicu vidimo da je

ip(x) = (ax- bi)x + (a2 - b2)x2 + (a3 - 6 3 )x 3 + . . . = 0 .

Ovaj red se sme nad intervalom konvergencije diferencirati član po član, pa

je

(p (x) = (a% — bi) + 2(a2 — bn)x + 3(a3 — b3)x2+ .. . = 0 .

Za x — 0 je cp'(0) = a-i - bY= 0 , odakle dobijamo da je aj = 6 1 . Na isti način,

posle ponovnog diferenciranja, dobija se da je a2 = b2, itd.

Na ovaj način je dokazana jeđinstvenost razvoja funkcije u stepeni

red, tj. činjenica da se funkcija može prikazati u obliku stepenog reda saino

na jedan način.

4 Tajlorov i Maklorenov red

Tviđenje 0 jeđinstvenosti razvoja funkcije u stepeni red omogućuje nani da

rešimo jedan od najvažnijih probleina vezan za primenu stepenih redova, a

to je: Kada i kako se neka funkcija može prikazati u obliku stepenog reda, ili, kako se to često u praksi kaže, razviti u stepeni red?



Tajlorov i Maklorenov red 81

Pretpostavimo da stepeni red an(x —a)n konvergira ka funkciji f(x)n= 0

za jrc — a| < R , gde je R poluprečnik konvergencije posmatranog reda. Tada,

za svako x E (a — R. a + R) važi

OO

f(x) = ^2 an(x —a)n = a0+ai(x — a)+a 2 (x — a)2+a 3 (x — a)3+ a4,(x—a)A+ . .. .n = 0

Diferenciranjein ove jednakosti (pošto se za svako x iz oblasti konvergencije

stepeni red sme diferencirati član po član) dobija se

f (x) = fip T 2q2(x —a) + 3a$(x — af + 4q 4 x —a f T ■..

J (x J = 2cj + 2 •3a‘i(x —aj + 3 • —a) T ••■

f ”f(x) = 2 •3q3 T 2 •3 •4a4(x — a) T ...

Kako je x = a tačka iz oblasti konvergencije (a — R. a + R), to zamenjujući

x = a u gornje jednakosti dobijamo

f(a) = a0, f (a ) = a i , f"(a) = 2a2, f"(a) = 2-3a3 , . . . .

Odavde vidirno da je

fl 4 f(a ) f ' ( a) f " ( a)ao = j (a) , Qi = - 77- , a-2 = - 777- , a3 -

tj-/M(a)

ni

1! ’ 2!

, n = 0,1 ,2, . . . T T ) = f(x) .Uvrštavanjein ovako određenih koeficijenata u posmatrani stepeni red dobi-

jamo da je za svako x E (a — R, a T R)

f'(a / » f n \ c

f(x) = f(a) + — ~ ( x - a) T (x - a)2+ . . . + — ^ — (x - a)‘ 2! n\

ij-~ f n ) ( a ) ,

f ( x J = Y

:----

~ L ( x - a7 1 — 0

nl



82Glava II Redovi funkcija

Dobijeni red se zove Tajlorov red funkcije f(x) u okolini tačke a. Pre-ma tvrđenju o jedinstvenosti razvoja u stepeni red. Tajlorov red je jedini

stepeni red po stepenima od (x - a) koji određuje (konvergira ka) f(xj. Ako

se u okolmi neke tačke a fukcija f(x) može razviti u konvergentan Tajlorov

red poluprečnika R > 0, onda kažemo da funkcija pređstavlja analitičku

funkciju u tački a.

Ako posmatramo Iajlorov red u okolini tačke 0, tj. u prethodnu formulu

uvrstimo a = 0, dobijamo

f ( x) = f (0) + f'(0)x + . . , 1 ] ( 0 )

-x nl

_ V- / |n|(0)..„

n—0 nl

Ovaj red nazivamo Maklorenov ređ funkcije f(x). Poslednja jednakost

važi za sve vređnosti x za koje je \x\ < R. gde je R poluprečnik konvergencije

stepenog (Maklorenovogj reda.

U nastavku ovog dela odredićerno Maklorenove redove za neke od najčešće

korišćenih elementarnih funkcija, s tim što ćemo neke od tih redova odrediti

direktno (primenom formule). a neke primenom operacija diferenciranja i in-

tegracije na već dobijene Maklorenove redove. Naravno i u ovim slučajevima

bi bilo moguće posmatrane funkcije razviti direktno u njihov Maklorenov red.

Budući da se funkcija može pređstaviti stepenim redom na jedinstven

načm, mi smo u nekim od ranije navedenih primera već odredili Maklorenoveredove za neke funkcije. Prvo ćemo se podsetiti tih rezultata.

Racionalna funkcija f(x) = ------ :1 — X

U Pnmem 1 snio pokazali da se navedena funkcija dobija kao zbir ge-

ometnjskog reda, što znači da geometrijski red predstavlja Maklorerrov red




pri čemu ovaj razvoj važi za |.x| < 1 (poluprečnik konvergencije stepenog reda

u gornjoj jednakosti je i? = 1).

Logaritamska funkcija f(x) = ln(l + x):. 00

U Primeru 8 smo integracijom geornetrijskog reda (~~x)k7 koji pred- k—0

stavlja Maklorenov red funkcije f '(x) = , pokazali da je

ln(l + x) = Y ) ( - l )n —1

pri čemu ovaj razvoj Ij,.

Inverzna trigonometrijska funkcija f(x arctg.u: jc;

Koristeći geometrijski red £ (~x2)n, tj. E ( - i ) nx2n koji nredstavljart=o n=0 “ '

MvUrklorenov red funkcije f'(x) — -—;— u Primeru 9 smo integracijom đobili

da jt1 + X1

OC

= En - 0

_ ') j i x 2 n + l

^r T+T~

pri čemu navedena jeđnakost važi za x

Odredimo sada Maklorenove redove za još neke funkcije.

Eksponencijalna funkcija f(x) = ex:

■Ovu funkciju ćemo razviti u Maklorenov red direktno. Polazeći od

f ( x ) = V , f '(z) = eV . . . , + > ( x ) = e V

vidimo da je

/(0) = 1, /'(0) = 1, . . . , />”>(0) = 1 , . . .

Zamenjujući dobijene vrednosti za /(0), /'(0),..., /

se definiše Maklorenov red, dobijamo

(''0(0) u formulu kojom




Kako je poluprečnik konvergencije dobijenog stepenog reda

R = limn—>•O C

CLn .. (n + 1)!. - -----■;— = lirri (n + 1) = +oo ,Cbn + 1 I f i \ n — o c ' ' ’

to navedeni razvoj važi za svako x 6 R .

Trigonometrijska funkcija /(, x) = sin x:

Ovu funkciju ćemo razviti u Maklorenov red direktno. Polazeći od

f{x) = sinx, f {x) = cosx, f"{x) = - s inx ,

f "{x) = cos x, f w {x) = sinx. f (5){x) = cosx

vidirno da je

°) =0, f ( 0 ) = 1, /"(0) = 0, /"'(0)= -1, /W(0) = 0, /<“>(0)= 1,...

odakle zaključujemo da je

f m (0) = 0 i /(2*+i)(0) = ( - ! ) fc, * = 0,1,... .

Zamenjujući dobijene vrednosti u formulu kojom se definiše Maklorenov reddobijamo . --------------------------- ------ --------- -----—---------

sm x x

lT

x

ŠT 5!= g (~l)nx

n—0

\ n ‘2n+l

, _________________________ i2n- » ' l Xe £

Oblast Konvergencije dobijenog reda odredićemo'pomoćuâlamberovog ko-ličničkog kriterijuma. Vidimo da je

limTl —> 0 0

fn+l{x)

fn{x)Iim

Ti —KX )

-l)n+l{2 n + l)\x2n+3

3)lx2n+1-l)n{2n

lim --------- ---------- -n^°° (2n + 3) (2n + 2)

0 < 1

za svako x € R, pa nađeni razvoj važi nad celirn skupom R.

Trigonometrijska funkcija f[x) = cosx:




Kako je cosx — (sinx)', to Maklorenov razvoj za ovu funkciju dobijamo

naiazeći izvod Maklorenovog reda funkcije sin.x

cos x / OC

I E (\ n - 0

-1 } /(2n + 1)1

y r iy»(2n+ !):/»

Ž'o ' j (2n + 1)!

oo / ™2ri+l \ '

/ i \ n ‘2 n x

n = 0E (2n)!

Dobijeni red, kao i Maklorenov red funkcije siria;, konvergira za. svako x C E.,

pa dobijeni razvoj važi nad celirn skupom R.

Binomna funkcija f(x) = (1 + x)m, rn t):

" Ovu funkciju ćemo direktno razviti u Maklorenov red poiazeći od

" ------ f(x) = (l + xYT f( 0) = 1

f ( x ) — rn( 1 + x)m~l . f '( 0) = rn

f"(x) = m(rn - 1)(1 + x)m~2, f " ( 0) = rn(m -- 1)

f " (x) =m(rn - l)(m - 2)(1 + x)m~6, f " ( 0) = m(m - l)(m - 2)

= m(m — 1 )(m

/(fc)( 0) = m(m —

- 2) ••• (m - k + 1)(1 + a-)m“ ft,

1) (m — 2) •••(rn — k + 1)

Uvrštavajući /(()), /'(0), /"(0)..... /(*)(0),... u forinulu kojom je defini-

san Makiorenov red jT ^-=Mxk, dobijamoit=o



8 6Glava, II Iiedovi funkcija

Ako definišemo binomni koeficijenat za rri eQ, k e N U {0} kao

( m\ m(jn - 1 )(rn - 2) .. . (m —k + 1)

[ k ) = ----------- ------------ w ~ ------------— > 0 ! ^

tada dobijeni Maklorenov red za (1 + x)m, m eQ, rnožemo pisati u obliku

m x

rn

■. OO / .Dobijeni red (™)xk se naziva binomni red. Poluprečnik konvergencije

binomnog reda je

R = lirnfe->oo

= lirrik —±oc

Gfe+i |

k + l

limfc—¥O0

m (m - l ) — (m-k- (-1)' fej '

m(m-l)...(m-k-n)(m-k) (fe+ljl '

rn. , — limK k —>oo

Prmietimo da se; ako je m prirodan broj, u svakorn članu binornnog reda

počev od (m+ l)-og pa nadalje, pojavljuje faktor rn - m = 0, pa se na đesnoj

strani dobija konačan broj sabiraka, tj.

(1 + x)m = 1 + m

rn x

Vidimo, dakle, da za m 6 l\ binomni red predstavlja poznati binornni

obrazac.

Tajlorovi i Maklorenovi redovi navedenih elernentarnih funkcija imaju

veorrra velrku primenu u praksi, posebno kada je potrebno prikazati neku

slozenu funkciju u obliku stepenog reda, izračunati integrale za koje ne pos-

toje primitivne funkcije u konačnorn obiiku ili, pak, izračunati zbir nekog

brojnog reda koji je nastao uvrštavanjern konkretne vrednosti promenljive u

nekr od poznatih Maklorenovih redova. Sve ovo ćemo ilustrovati na nekoliko



Tajlorov i Maklorenov red 8 i

primera.

Primer 13. Predstavimo u obliku stepenog reda funkciju

1 -+- x2K t ) = lnJ— 2 ’ M<1•

Kako se data funkcija rnože prikazati u obliku

/( x) = In(l + x2} - ln(l — x2) ,

to koristimo Maklorenov razvoj za logaritamsku funkciju ln(l +x), pri čemu

ćemo promenljivu x zameniti sa z 2, odnosno —x2. Na taj način dobijarno

. : 2 \ n oo / ,r2yôc }{x) = In/i + ;P) - ln(l E M r 1i( 1 -+- x 2 ) — I rn ' 1 — x 2 )

' nt l ' ' ” rt. ,J 2n oc 2n oo ^2n oc 2n

+ n S 5 " “ « .Vi «

■ - E ( -n— i

E f - i r ' + r E

■30

V ( ( - i ) ”_1 + 1)z-—/ \ \ / /

n ~ 1

Budući da ie

x

> ~n

2n

T)n~ -1 za n = 2k ( - 1 ) ’n — i 1 za n = 2k fctI\T

t+

( - l ) " " 1 + 1 = 0 za n = 2A: i ( - l ) n_1 + 1 = 2 za n = 2fc - 1, k 6 1\ ,

na kraju dobijamo

/(r) = 2 £oo 4fr —2

fc-1 2+ -

odnosno, ako pomerimo indeks sumiranja uvođenjem smene A: = / + 1.

OC'

= 2^ E + ? x ‘

, . o 27ET

Primer 14. Izračunajmo integral 7(x) = j\/xexdx . x > 0 .




Primetirno da se ovaj integral ne može izračunati elementarnim metodama

(uvođenjern srnene iii parcijalnom integracijom). jer se njegova primitivna

funkcija ne može prikazati pornoću konačnog broja elernentarnih funkcija.

Da bisrno izračunali zadati integral, predstavićemo eksponencijalnu furr-

kciju u obliku Maklorenovog reda, pornnožiti ovaj red sa ^fx i zatim primeniti

mtegraciju član po član (što smemo učirriti jer Maklorerrov red funkcije ex,

a time i proizvod ovog reda i funkcije *sfx, uniformno konvergira za svaku

konačnu vrednost x > 0). Posmatrajući određeni integral kao f'unkciju gornje

grarrice, irnamo da je

dt

Jasrro je da dobijerri rezultat važi za svako x > 0.

Primer 15. Izračunajmo zbir reda

( - 1 ) ”

Poći ćerrro od Maklorenovog reda funkcije f (x) = arctgx

Zamenjujući x = dobijamo

odakle nalazimo traženi zbir



Zadaci za samostalno vežbanje 89

5 Zadaci za samostalno vežbanje

Konvergencija redova funkcija

1. Odrediti obiasti apsolutne i uslovne konvergencije sledećih redova

, 00 ( - l ) " - 1^*)"aj

n--l n, , °c nb E —

ra—1 X n

, OC 3"c) E

Apsolutno z a jxj 1

Apsolutno z a j;rj > 3n—0 X"

d) E1

oo

e) E

=i n i x + 2)”

Apsjoiutno za x G (—oo. —3) U (—1, + ' z c ) , u s lo v n o z a x = —3

lzirc)'n A p s o l u t n o z a x G (-. e ) , uslovno za x

n = l n

2. Koristeći Vajerštrasov kriterijum pokazati da siedeći redovi uniformno

konvergiraju u naznačenim intervalima

2£ cos nx a) E

n=l r i '

, X G (—oc. +oo)

, x sm nx , ,bj E —17=+- , G (-oo , + °°)•t V 7

n=i v n '

o° 1c) E ~y p ~ + , x G (-oc,+oo)

n=l x z + n°,, 2? cos nx , ,d) E —77;— , a; G {-oc,+ocj

n = 1 ni

oo ee) E

d) E

n— 1

oc 1

, x G (—oc, +oo)

n=i 2n_1 V T + nx ',r G (0, +oc)



90 Glava II Redovi funkcija.

Stepeni redovi

Odrediti oblast konvergencije z;a sledeće stepene redove

OO

a) E (n + l )xnn=0 ( - 1 , 1 )

oo q-nb) E ~

n=i n! ( —oo, oo)

oc T n

c) E -n=l n [ - 1 , 1 )

OOd ) £ + — =

n—i n(n + l ) y. [ - 1 , 1 ]

oo r/'rng ) ' *

' n= i (ra2 + 2 )(n + 3) [ - 1 , 1 ]

OO

f) E (~4)nx'2n71= 0 H > § )

oo 2 ” r "

g) Eri=o nz + 1 [~hš\

00 lri77h) E xn

7 1 = 2 n [ -1 ,1 )

OC / v 7 j2

0 £ ( + X ”n=0 v d ( - H )

Sledeće funkcije razviti u stepeni red po x i odrediti za koje vrednosti

x ti razvoji važe

a) f (x) = ex + e~ x 2 * e H

X), + o o )

b) f ( x ) = -— E / f i , x e (~V2, V2)71= 0 '

c> f (x >= +(rr + l ) 2

oo

E (--1)"+1(3 + 4n)xr>. X e71= 0 ( - 1 , 1 )

d) / (rr ) = e - *"*00 Or

E ( - l ) nx~ , x e ( o c , + o o )7i=0

s ,7 \ 12 - 5a; e) h x ) ~ , 9

b — 5x —x2E (l + rr” , x E

n=0 y 3 J (-1 ,1)



Zadaci za samostalno vežbanje 91

g) f(x) = arctgx

h) f(x) = (1 -f x2)arctgx

i) f(x) = ln1 -f .X'2

1 — x2

j) f(x) = (1 -fe1)2

1)00 / E u ir X e ( 1

2 ’ 1174—1OCE / -] \nxv i 2rt+l x e [-1. ij

n=0oo

x + 2 E ( -1 'iTl—1 x2n+ 1

4n2-l ’ x e [-1. 1]n—1

oc2 E ( n « 4’^ 2

/ 2n—1 ’ 2) E (-1 , 1)rt—1

4 + X) (2 ~r 2n)- j , x f (—oc, -fogn — 1 '

3. Odrediti oblast kohêrgencije i zbir sledećih redova

S = - infl - x)a) E

b) E

oc X V' —

n-1 n

X

=i 4n + 15 — ~arctgx + | in!4 1—x :

c)

c)2n- l ,j.2n—1

2Tl — 1'-v'. ( 1 uti-1 2ndi V x

U i 2n(2n — 1)OG

e) E r>2xn- 171=1

fi v' ( 2 n + 3)-x'2n

g) E

n=i n!OC X

n=i (n — l)(n — 2)x?

x G [-1,1)

x G f—1,1)

5 = a r c tg |~ - arctg2, x G [ - f , |]

S = xarctgx — InV’l + x2, x e [—1,1)

s -r fS S * ^ ( - 1 , 1 )

+ = (2x2 + 3)ez2, x € (—oo, +oo)

5 = V r In^1 + k! > 1

h) E X '

n—2Ti Tl — 2

S = i ( A # l t i( l - * ) + V + 2) , I 6 [-1 ,0 ) U (0, 1)

oo n3 _ 5 2 8 n + 1 , o ,i) E ------- 1----;-------- (x2+x



92 Glava II Redovi fun£:+

, °c rr x j E ~ 7 —

7-i=i n + 1 \ x + 1

S = ± i ln(x + 1 ) + x2 - 1. x E [—5 , 0) U (O .-ix

k) £oo n 2

1) £

i (n — l)\xr‘

(x - l )n

Le*, x £ [—oo, 0) U (0. —:

= 2 0 ~ 2 ~ — x) + —4n,=3 n2 - 2n

S = |(2x — x 2) ln(2 — x) + — x 6 [0. 2

4. Koristeći sume odgovarajućih stepenih redova odrediti suine brojnih

redova

a) £ ( - 1)

7 1 — 1

n=i n 2

b) £ hrt=i ri!

, °o 2"(n + l)c) £

5 = ln2

S = 2e

S - 3e2=o ni

d) £(-1) '

= 1 3n + 1 s = |( ln2 + *fi)



đcici za samostalno vcžbanje 93

Literatura

1 ] Adžić N., Marić V., Kovačević L, Ungar V., Matematička analiza II, FTN, Novi Sad, 1996.

2 ; Bertolino M., Matematika II, Naučna knjiga Beograd, 1975.

3 Čoinić L, Unga.r V., Teorija redova, FTN, Novi Sađ, 1996.

3 Mitrinovie D.S., Adamović D., Nizovi i Redovi, Naučna knjiga, Beograd,

1980.

' Pejović T., Matematička analiza. knj.III, Nauena knjiga, Beograd,

1972.

č Popović B., Maternatika za tehničke fakultete, Uvod u višu mate-

matiku, knj. 1., Naučna knjiga, Beograd, 1988.

Documents

FTN - Teorija redova