Početkom osamdesetih godina XX vijeka, naučnici Kahneman, Tversky, Klir, uočili su da teorija vjerovatnoće nije adekvatna za predstavljanje određenih vrsta neizvjesnosti.

Klir uvodi četiri različite vrste neizvjesnosti

Umjesto stroge rigoroznosti i preciznosti u rješavanju složenih problema treba da se dozvoli rad sa određenim stepenom nepreciznosti.

Ovakvo rješavanje

problema je u skladu sa ljudskim načinom

razmišljanja i zaključivanja

Umjesto cifara se koriste lingvistički opisi kao što su staro drvo, brzi automobil, bistra voda itd.

omogućavaju računaru, koji inače radi sa preciznim ciframa da radi sa neodređenostima

orijentisane ka čovjeku.

razvoj matematičke teorijske misli (fazi analiza, fazi topologija)

razvoj fazi logike

Fuzzy logika predstavlja proširenje klasične logike

Promijenljive imaju dvije vrijednosti tačno i netačno

U fazi logici zastupljene su

sve realne vrijednosti na

intervalu između 0 i 1

Promijenljive mogu da imaju

određeni stepen pripadnosti tačnom ili netačnom

On je posmatrao logike :

}1,1

2,...,1

1,0{},...,1,

2

1,0{},1,0{ 32

n

n

nLLL n

L1L

kod koje se na intervalu [0,1] nalaze racionalni brojevi

sa realnim brojevima na intervalu [0,1] [3]

predstavlja kolekciju različitih objekata sa istim svojstvima

dijeli sve elemente univerzalnog skupa u dvije kategorije: one koji pripadaju skupu i one koji ne pripadaju istompredstavlja

kolekciju elemenata sa sličnim svojstvima

granice nisu jasne i precizne

1:

0A

ako x Ax X x

inače

A X matematički se predtavlja funkcijom

: 0,1A X koja elementima iz univerzalnog

skupa X pridružuje vrijednosti

realnih brojeva u intervalu [0,1]

granice su oštre i dijele univerzalni skup na dva dijelaevidentan je postepeni prelazak od onih elemenata iz X koji su članovi fazi skupa do onih koji to nisu.

Što je vrijednost veća, veća je

pripadnost elementa fazi

skupu

A

predstvljamo kao skup uređenih parova

, Ax x xx

Za prebrojive

skupove možemo

pisati 1 2

11 2

...n

A A A A I

I I

x x x xA

x x x x

A

X

xA

x

Za neprebojive

funkcija pripadnost

i je diskretna

0,1 0,3 0,6 1 0,6 0,3 0,1

2 3 4 5 6 7 8A

Data je sa

svakom elementu iz univerzalnog skupa u imeniocu razlomka

pridružen je stepen pripadnosti tog elementa fuzzy skupu u brojiocu.

 

u teoriji fuzzy skupova

A B ,Xx A Bx x

]1,0[a

Matematički zapis

AA x X x

Koriste se za proširenje

klasičnih na fazi skupove

AA x X x Strogi α-nivo

skup

visina skupa (heigt) je

maksimalna vrijednost funkcije

(realan broj između 0 i 1) pripadnosti i obilježava se sa

hgt(A).

supremum (suport) je klasičan

podskup univerzalnog

skupa sa svojstvom .

sup 0Ap A x X x

jezgro (kernel) – je skup svih elemenata

za koje važi .

1A x Za fazi skup kod

koga važi hgt(A)=1 kaže

se da je normalizovan, a u suprotnom je subnormalizov

an.

Za fuzzy skup se kaže da je konveksan ako se α-presjeci ne sastoje iz više segmenata.

Oni moraju da čine zatvoreni

interval na univerzalnom

skupu.

STANDARDNI

KOMPLEMENT

STANDARDNI

PRESJEK

STANDARDNA

UNIJA

STANDARDNI

KOMPLEMENT

Fuzzy NE operacija

AOznačava se sa

1 AA x x Matematički izraz

STANDARDNI

PRESJEK

Fuzzy I operacija

min ,A B A Bx x x x

ili A B A Bx x x x

Matematički izraz

STANDARDNA

UNIJA

Matematički izrazFuzzy ILI operacija

A B A B A Bx x x x x x

max ,A B A Bx x x x

ili

Ako se pomenute operacije posmatraju u domenu min-max teorije, za njih važe sljedeće osobine: 

A B C A B C A B C A B C

A B C A B A C A B C A B A C

A A A A A A

C C CA B B A C C CA B B A

CCA A

A X X A A A X A A A B B C A C

ABBA KOMUTATIVNOST ABBA

ASOCIJATIVNOST

DISTRIBUTIVNOST

IDENPOTENCIJA

DE MORGANOVI ZAKONI

INVOLUTIVNOST

GRANIČNI USLOVI

TRANZITIVNOST Ako je i onda je

U fazi teoriji ne važe zakoni:

Zakon kontradikcije

Zakon isključenj

aCA A CA A X

T( starost) = mlad + star + veoma mlad + nije mlad + veoma star + veoma veoma mlad + prilično mlad + manje-više mlad + ........

Lingvistička varijablaTerm

skupSkup

lingvističkih

vrijednosti date

varijable

Svaki od termova u

T(starost) je oznaka fazzy

podskupa.promjenljivu čija su stanja

izražena fazzy skupovima za koje se vezuju

lingvistički izrazi

Fuzzy brojevi i fuzzy intervali moraju da zadovolje tri važna uslova, tj. moraju da budu:

Fuzzy parametri

Fuzzy parametri

Značenje fuzzy broja je „realan

broj oko a2”

Značenje fuzzy

intervala je „približan interval b2

do b4“

Fuzzy brojevi su specijalan slučaj fuzzy intervala kada je b2=b3.

Svaki fazi interval se može

uopšteno predstavit

i u kanoničkom obliku:

1 2

2 3

3 4

,

1 ,

,

0

A

A

A

f x kada x b b

kada x b bx

g x kada x b b

inače

Realna rastuća funkcija

Realna opadajuća funkcija

Veliki značaj fuzzy intervala je kod predstavljanja neodređenosti u podacima koji se dobiju mjerenjem određenih parametara jer se na taj

način greške nastale mjerenjem uzimaju u obzir.

AKO dio pravila se naziva još i hipoteza (premisa) pravila i sadrži uslov za

primjenu istog.

Na osnovu tvrdnje, donosi se zaključak koji

je definisan ONDA dijelom pravila.

JEDAN USLOVJEDAN ZAKLJUČAK

ULAZNA VARIJABL

A

IZLAZNA VARIJABL

A

fazifikacija zaključivanje

kompozicija defazifikacija

proces pretvaranja klasičnih

vrijednosti u fazi vrijednosti.

potrebno je

njima odgovarajuće

funkicje pripadnosti

Definisati fuzzy pravila

odlučivanja

ulazne i izlazne varijable

izabrati

FAZIFIKACIJA

SKUPPRAVILA

DEZIFIKACIJA

ODLUČIVANJE

Stepen konzistentnosti

predstavlja maksimalnu visinu presjeka između date činjenice (ili

fazi skupa) i ulazne (lingvističke)

varijable.

Samo ona pravila za koje je stepen konzistentnosti

veći od nule, koriste se za određivanje zaključka.

Svi fazi podskupovi dodijeljeni izlaznim varijablama u pojedinim pravilima kombinuju se u jedinstven fuzzy podskup za svaku izlaznu varijablu.

podrazumijeva standardnu

uniju zaključaka iz pojedinih

pravila zaključivanja – funkcija max

predstavlja opcioni korak kojim se iz rezultujućeg fuzzy skupa, dobijenog kompozicijom, izdvaja jedan klasičan, realan broj.

Ovom metodom se pronalazi centar

mase ili gravitacije rezultujuće fuzzy

funkcije pripadnosti izlazne varijable na

apscisi.

ES je inteligentni računarski program koji koristi znanje i mehanizme zaključivanja u rješavanju problema takve složenosti da je za njihovo

rješavanje potreban čovjek-ekspert."Principi zaključivanja

u fuzzy logici se mogu implementirati u

ekspertske sisteme.znanje i iskustvo

relevantnih eksperata je

sačuvano u formi računarskog programa.

Sistem za donošenje zaključaka

Baza znanja

Radna memorija

Korisnik

Inžinjer

znanja

Ekspert

Rezultatii

Ulazni podaci(baza podataka)

U bazi podataka se nalaze podaci koji su

prikupljeni od korisnika i koji se

koriste za donošenje zaključaka u sistemu

za donošenje zaključaka..

Ekspertsko znanje i

iskustvo je sadržano u bazi znanja

Vrši prikupljanje znanja od eksperta metodom intervjua

omogućava da se

korišćenjem baze znanja

ocjenjuju ulazne

vrijednosti iz baze

podataka

Unutar nje, pored funkcija koje se koriste, nalazi se i program za modeliranje fuzzy

sistema zaključivanja, FIS Editor (Fuzzy Inference System).

Editor fazi

funkcija pripadno

sti

Preglednik

površinePreglednik pravila

Editor fazi

pravila

program za modeliranje fazi sistema zaključivanja (Fuzzy

Inference System).

metod fuzzy zaključivanja

(standardno je Mamdani)

Iz menija edit mogiće je dodavati i uklanjati pojedine varijable, mijenjati

njihova imena, birati funkcije za fazi

operacije standardne unije, presjeka, funkcije

odsjecanja, kompozicije, birati

metode defazifikacije.

Standardno su podešene metode i funkcije prikazane u

donjem lijevom dijelu prozora.

Prikazivanje varijable je uvijek

podešeno na interval [0, 1] univerzalnog skupa, što se, naravno, može

mijenjati.

Grafički prikaz sistema

ulazne varijable povezane sa izlazom preko bloka fazi pravila na osnovu kojih se vrši zaključivanje.

Ulazne varijable Izlazne

varijabla

izgled prozora editora fuzzy

funkcija pripadnosti koji se dobije

dvostrukim klikom na ulaznu varijablu

VarijablaX.

Stanje varijable VarijablaX

Trouglaste fuzzy funkcije pripadnosti

Sve varijable se prikazuju na

intervalu [0, 10]

univerzalnog skupa.

Za bilo koju

izabranu funkciju

pripadnosti moguće

je definisati parametre

koji u potpunosti

definišu njen oblik.

VarijablaY ima stanja

„nedovoljno“ i „dovoljno“ sa trapeznim fazi

funkcijama pripadnosti.

Stanja izlazne varijable su

„loše“ i „dobro“, takođe sa

trapeznim fazi funkcijama pripadnosti.

editor pravila u kome se stanja pojedinih ulaznih varijabli mogu

međusobno kombinovati „i“ i „ili“ operacijama što za posljedicu ima

odgovarajuće stanje izlazne varijable.

Tri pravilaSa po dvije premise

I po jednim zaključkom

Preglednik pravila dopušta unos vrijednosti

za ulazne promjenljive na

osnovu čega vrši zaključivanje, a

na kraju i defazifikaciju vrijednosti.

u polje input prozora

unijete su dvije

vrijednosti

Zbog toga su odgovarajući fuzzy skupovi

izlazne varijable

odsječeni na minimalnoj vrijednosti

stepena konzistentnost

i.

Konačan fazi skup je dobijen

sumiranjem (max) svih

odsječenih fazi skupova izlazne

varijable.

Nakon defazifikacije,

dobija se vrijednost

izlazne promjenljive

6,1.

KOD PROFRAMA

Naredbom newfis se kreira novi

sistem fazi zaključivanja

„Primjer“.Dodavanje novih varijabli vrši se

naredbom addvar

Dodavanje njihovih funkcija

pripadnosti zadanih varijabli vrši se naredbom

addmf.

Indeks funkcije pripadnosti prve ulazne

varijable

Indeks funkcije pripadnosti druge ulazne varijable

Indeks funkcije pripadnosti izlazne

varijableTežine (obično 1)

If (VarijablaX is Nisko) or (VarijablaY is Nedovoljno) then (Izl.Var. is Loše)

Danijel Kaneman (rođen 5. marta 1934. godine) je izraelsko-američki psiholog i dobitnik je Nobelove nagrade za ekonomske nauke 2002.

godine. Poznat je po svom radu o presudi i odlučivanju, bihevioralnoj ekonomiji i hedonističkoj psihologiji .

Sa Emosom Tverskijem i drugima, osnovao je kognitivnu osnovu za zajedničke ljudske greške koje proizilaze iz heuristike i presude. Razvio je teoriju mogućnosti. Za svoj rad na ovoj teoriji dobio je

Nobelovu Memorijanu nagradu za ekonomiju 2002. godine. 2011. godine našao se na listi najboljih svetskih mislilaca. Iste godine objavljena je

njegova knjiga Razmišljanje brzo i sporo koja sažima veliki dio njegovih istrtaživačkih radova. Jedan je od osnivača kompanije Najveće

dobro.

Amos Tverski (16.3.1937-2.6.1996) bio je kognitivni i matematički psiholog, student kognitivnih nauka i sadnik Danijela Kanemana.

Bavio se pitanjima ljudske kognitivne pristrasnosti , kako ljudi prihvataju rizik i kako se nose s njim. Većina njegovih ranijih radova

odnosi se na teoriju mjerenja. Njegov rad sa Kanemanom fokusiran je na psihologiju predviđanja i

vjerovatnoću presude. Tverski i Kaneman zajedno su radili na razvijanju teorije mogućnosti koja ima za cilj da objasni iracionalne

ljudske ekonomske izbore i smatra se jednim od temelja biheviorelne ekonomije.

Džordž Klir (rođen je 1932. godine u Pragu u tadašnjoj Čehoslovačkoj) je češki-američki komjuterski naučnik i profesor sistemskih nauka u

Centru za inteligentne sistema na univerzitetu Binghamton u Binghamtonu, Njojork.

Poznat je po istraživanjima putanje- razbijanja kojim se bavio skoro četiri decenije. Njegovi raniji radovi su bili u oblasti sistema

modeliranja i simulacija, logičkog dizajna, arhitekture računara i diskretne matematike.

Od 1990-ih bavi se istraživačkim radom u oblasti inteligentnih sistema, generalizovane teorije informacija, rasplinute teorije skupova i fuzzy logike, teorije uopštenih mjera i tzv. “mekog”

(soft) računarstva.

1

2

3

1 2 3

1 2 2 3

1

1

3

32