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Fuente: http://www.cornelbierens.nl/columns/page-77

Más dE MiL años aNTEs dE PiTáGoras,

uN MéTodo Para ENcoNTrar

TErNas PiTaGóricashErNaNdo EchEvErri

32 Hipótesis, apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013

Más de mil años antes de Pitágoras, un método para encontrar ternas pitagóricas

Hernando EcheverriPh. D. Profesor asociado del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los [email protected]

la tablilla denominada Plimpton 322, datada entre 1900 y 1600 a. c., muestra que el autor debió conocer quince ter-nas pitagóricas, esencialmente distintas, más de mil años antes de Pitágoras. la tablilla probablemente procede de la ciudad sumeria de larsa, en Mesopotamia, poco antes de que fuera conquistada por Hammurabi de babilonia.

Zigurat de Ur, construido en el siglo XXI a. C. Templo a la diosa de la luna dentro del complejo administrativo de la ciudad de UrFuente: http://voiceoftheisticsatanism.com/2013/09/20/theistic-satanism-satanic-utopia-by-reverend-tom-erik-raspotnik/

Universidad de los Andes, Facultad de ciencias 33

Una terna pitagórica —llamada así por su conexión con el teo-remas de Pitágoras— consta de tres números enteros positivos, a, b, c, tales que a

2 + b 2 = c

2. la más conocida es 3, 4, 5, en la cual 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25), y de esta se desprenden otras multiplicando los tres números por un mismo entero, como 6, 8, 10 y 9, 12, 15, pero es difícil encontrar otras que no sean múltiplos de esta sin conocer un método. en el caso de esta tablilla, entre las quince ternas conocidas por el escriba, ningu-na es múltiplo de otra; algunas de las exhibidas son 319, 360, 481; 4961, 6480, 8161 y 12.709, 13.500, 18.541. ¿cómo se encontraron? en este artículo se trata de poner este descubri-miento en su contexto histórico.

aNTEcEdENTEs

los sumerios, que procedían de una familia lingüística diferente a los demás pobladores de Mesopotamia, fueron los que desa-rrollaron, hacia el 3500 a. c., las primeras ciudades de nuestro planeta; entre ellas Uruk, lagash, Ur, Kish y larsa, en la parte más meridional del valle situado entre los ríos tigris y éufra-tes. esta región pantanosa de llanura aluvial entre los dos ríos proporcionaba suficiente agua a las ciudades y las mantenía aisladas hasta cierto punto, por lo que se desarrollaron como ciudades-estado independientes que competirían constante-mente por dominar el territorio. en ellas surgieron los primeros sistemas de numeración y las primeras palabras escritas de la historia [1, 2, 3].

Figura 1. Mapa de MesopotamiaFuente: http://www.armenian-history.com/maps-collection/ancient-world-maps.html

los orígenes de los números y de la escritura en este valle del Medio oriente datan del octavo o noveno milenio a. c., cuando los agricultores utilizaban cuentas o fichas de barro cocido para re-gistrar cantidades diferentes de sus distintos productos. la forma de la cuenta dependía del producto y de su cantidad. Por ejemplo, una cuenta más grande o elaborada podía ser equivalente a un número dado de cuentas más pequeñas o sencillas [1, 3].

cuando se trataba de algún tipo de contrato, estas cuentas se encerraban en bolas de barro secadas al sol —bullae—, que se rompían en presencia de las dos partes en el momento de ejecutarse el contrato (figura 2). Podía tratarse del pagaré de una deuda o del documento de recibo de mercancía en los graneros de la ciudad. la garantía del contrato se avalaba con el sello de cada una de las partes en el exterior de la bola [1].

como el número de cuentas dentro de la bola no se podía ver a través de la envoltura sin romperla, pronto surgió la costum-bre de hacer improntas —cretulae— en la parte externa de la envoltura con las mismas cuentas que se guardarían dentro. Fi-nalmente se empezó a prescindir de las cuentas, puesto que el envoltorio expresaba el contenido con mayor facilidad, y desde entonces este se comenzó a hacer plano, como una tablilla de arcilla secada al sol con las marcas que sustituían las fichas. no obstante, las fichas se siguieron utilizando como sistema de con-tabilidad en el Medio oriente hasta el segundo milenio a. c. [1].


Muchas de las primeras tablillas de barro, grabadas con los jun-cos del pantano, muestran listas de bienes. en la tablilla de la figura 3, de principios del tercer milenio a. c. o finales del cuarto, cada artículo de la lista —aparentemente de raciones— tiene su representación pictórica y un número escrito con círculos y cuñas. cada cuña vale 6 círculos [3]. aunque parezca natural desde un punto de vista moderno, allí se nota un paso inmenso hacia la concepción abstracta de los números en la separación del símbolo para el número y el símbolo que representa el bien.

con el tiempo, los nómadas semitas vecinos de las ciudades sumerias fueron asimilando su cultura y pronto establecieron sus pueblos y cultivos más al norte, al tiempo que adoptaban el modus vivendi de los sumerios junto con su escritura y adap-taban esta cultura a la propia. Uno de los advenedizos, sargón (2334-2279 a. c.), llegó a ser copero del rey de Kish. lo depuso, y se convirtió en su sucesor, para luego formar el primer imperio de la humanidad, que se extendió por toda Mesopotamia hasta el mar Mediterráneo, desde el irán de hoy, en la orilla oriental del tigris, a lo que es Palestina en el occidente, y lo que es turquía por el norte. donde el valle se estrecha fundó su capital, la ciu-dad de akkad (o agade), que le dio el nombre al imperio acadio [1, 2]. de esta manera, la escritura y el arte en tablillas de greda

se esparcieron a otros pueblos hasta lo que hoy es siria. en la parte del sur de Mesopotamia convivieron los idiomas sumerio y acadio muy amalgamados hasta el final del tercer milenio a. c., cuando el acadio reemplazó al sumerio en el lenguaje hablado, aun cuando este siguió usándose en el culto, la literatura y las ciencias, principalmente en forma escrita.

durante este tiempo la escritura evolucionó a la forma que hoy conocemos con el nombre de cuneiforme. la necesidad de adaptarla al acadio, un idioma muy diferente al sumerio, obli-gó a que se volviera más fonética. ya para el 2300 a. c. era lo suficientemente funcional como para ser utilizada en los dos idiomas. la escritura cuneiforme se tornó enormemente com-plicada, con más de 600 caracteres que podían corresponder a varios sonidos, dependiendo del contexto. esta complejidad, que siguió creciendo, aseguraba que su uso fuera potestad ex-clusiva de los escribas, profesionales de las letras y los números que eran empleados por los templos y palacios para mantener y manejar la autoridad institucional. Para el segundo milenio a. c., tenían mucho prestigio, pues los escribas podían comunicarse con los dioses: escribían poemas, panegíricos, documentos le-gales y escritos matemáticos o científicos [4-8].

Figura 2. MS 4631. Bulla con 11 cuentas de barro cocido. Medio Oriente, 3700 a 3200 a. C. Colección Schøyen.Fuente: http://www.schoyencollection.com/math_files/ms4631.jpg

Figura 3. Tablilla de raciones del año 3000 a. C., de la ciudad sumeria de Uruk. Tablilla NBC 5828 de la Yale Babylonian Collection.Fuente: http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/NBC5828.html


EDUBA

su educación condujo desde muy temprano a la fundación de escuelas, llamadas edubas, o casas de tablillas. el currículo de las edubas, que llegó a ser muy elaborado, se conoce con mu-cho detalle. casi desde su inicio fue bilingüe (sumerio-acadio) y, a pesar de que el sumerio dejó de hablarse, su enseñanza con-tinuó. el énfasis en los números se ilustra en las muchas tabli-llas con problemas matemáticos que servían de ejercicios para los alumnos. los escribas y sus escuelas fueron fundamentales para darle continuidad a la cultura sumerio-acadia hasta bien entrada la helenización en el Medio oriente. a pesar de las gue-rras, invasiones y cambios de poder, su erudición siempre servía a los nuevos gobernantes para ganar respeto y legitimidad [4-8].

con la necesidad de escribir números cada vez más grandes, los sumerios habían inventado una serie de equivalencias que

EL sisTEMa sExaGEsiMaL

el imperio acadio, que había sucumbido en 2154 debido a in-vasiones de pueblos bárbaros circundantes luego de un largo periodo de sequía, dio paso a un resurgimiento de las ciudades sumerias unos cien años más tarde. la primera ciudad en vol-ver a dominar fue Ur, que mantuvo su poderío durante un siglo. de esa época —llamada Ur iii por los historiadores— datan las primeras tablillas con un sistema de numeración posicional sexagesimal propiamente dicho, aun cuando hay evidencia de algo parecido desde los últimos años del imperio acadio [3, 9].

este sistema, que evolucionó a partir de las equivalencias con los números 6 y 10, parece a primera vista una numeración aditiva con base 10, de palotes, , y cuñas, , que represen-tan la unidad y la decena, respectivamente. Pero si se mira con detenimiento y se compara con la escritura cuneiforme de la época, se cae en la cuenta de que la combinación de cuñas que componen, por ejemplo, el número cincuenta, , realmente forman un solo carácter. de esta manera, estamos hablando de una numeración cifrada en la que los números importantes tie-nen una cifra propia. Un análisis más cuidadoso nos depara una sorpresa: después del número 59 escrito viene el 60, , que se representaba con un solo palote, igual que el número uno. sesenta y uno y sesenta y dos se escribían y , con un espacio para que no se confundieran con el dos y

Figura 4. Tabla de equivalencia de símbolos numéricos.Fuente: http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/archaic.html

10 10 106 6

se muestra en la siguiente figura, en la que además del círculo y la cuña aparecen otros símbolos en los que las equivalencias se alternan entre 10 y 6, con los que se presagia la numeración posterior de Mesopotamia con base en el número 60 (figura 4).

Primero convivieron muchos sistemas de numeración con varios tipos de equivalencias, dependiendo de los productos, como hoy en día conviven en el sistema inglés de medidas: doce pulgadas en un pie y tres pies en una yarda, mientras que 16 onzas son una libra. Pero poco a poco, mientras los comerciantes conser-vaban la numeración antigua más sencilla, se fue imponiendo entre los escribas del palacio y del templo el sistema posicional con base 60, o sexagesimal, que fue un paso fundamental hacia la numeración moderna [3].

el tres, . los números continuaban de esta manera con 70, 80, 90, 100, hasta 119, representado por —60 más 59—, para continuar con 120, escrito , o dos veces sesenta. los múltiplos de 60 seguían con 180, , y 240, , etc., y los números se sucedían hasta 3599, —59 veces 60 más 59—, pero después seguía 3600, , de nuevo escrito con un solo palote, igual que el uno y el 60 [1, 2, 9].

este tipo de numeración, en la que los numerales toman diferen-tes valores dependiendo de su posición, se denomina sistema posicional. así, en los ejemplos de arriba, 119 es 1 x 60 + 59 y 3599 es 59 x 60 + 59; asimismo, 7199, , es 1 x 602 + 59 x 60 + 59. nuestro sistema decimal también es posicional, porque cuando escribimos 6666, el dígito 6 toma valores distintos, según su posición: el primero es seis mil (6 x 103), el segundo es seiscientos (6 x 102), el tercero es sesenta (6 x 10), y el cuarto, seis (6 x 100). la diferencia es que la base de nuestro sistema es 10, mientras que la del sistema sumerio-babilónico es 601.

1 los mayas también usaron un sistema posicional de numeración, solo que con base 20, y actualmente en las ciencias computacionales se usan sistemas con base 2 (binario) y con base 16 (hexagesimal).


en Mesopotamia, el sistema sexagesimal solo lo manejaba la pequeña minoría de los escribas, entre quienes tuvo gran aco-gida, primero porque la multiplicación se hacía más fácil, pues se podía usar un algoritmo parecido al que se usa hoy en día para multiplicar números arábicos. sin embargo, se necesitaban tablas de multiplicar por lo menos hasta 59. en efecto, se ha encontrado una multitud de estas tablas elaboradas con barro. los escribas debían aprendérselas de memoria [10, 11].

lo más atractivo era el manejo que se daba a las fracciones, tan ágil que los babilonios, en lugar de dividir, multiplicaban el número por el inverso del divisor. al inspeccionar una tabla de in-versos (figura 5), enseguida se reconoce que se parecen mucho a las fracciones de una hora, porque ½ = 30’, 1/6 = 10’, 1/8 = 7’30’’. la verdad es que aún utilizamos las fracciones sexage-simales babilónicas, tanto en las fracciones de tiempo como en las de ángulos, y hace menos de doscientos años un segundo se dividía en 60 terceros, y cada uno de estos en 60 cuartos, y así sucesivamente [11].

se han encontrado centenares de estas tablillas de inversos, donde se listan los inversos de los números de 2 a 81, pero solo aquellos que tienen desarrollo sexagesimal finito, a los que llamaremos regulares. además de aprenderse de memoria estas tablas “estándar” de treinta inversos regulares, los escribas tam-bién se entrenaban para calcular los inversos de números que no estuvieran en ellas.

no obstante, a la escritura de las fracciones le faltaba un símbo-lo para separar la parte entera de la fraccionaria, y por lo tanto, al multiplicar un número por su “inverso babilónico” el resultado puede no ser uno, sino otra potencia de 60. los computadores modernos incluyen este tipo de numeración, que se llama de punto flotante [11, 12, 13].

aun así, el sistema sexagesimal —al igual que el decimal— permitía ordenar números fraccionarios con gran facilidad. Por ejemplo, para saber cuál es mayor, entre 11/5 y 13/6, hay que hacer cálculos, en cambio, al ver su representación sexagesi-mal se sabe inmediatamente que 2:12 = 11/5 es mayor que 2:10 = 13/6. estas características de la numeración resulta-ron muy útiles para elaborar tablas. en efecto, en el periodo paleobabilónico se elaboraron muchas tablas, por ejemplo, de cuadrados y otras potencias, de raíces cuadradas y cúbicas. otras se usaban para encontrar tasas de precios de mercado, conversiones de unidades y razones entre medidas geométri-cas; la gran mayoría estaban relacionadas con los ejercicios numéricos de las edubas [10].

PEriodo PaLEobabiLóNico

Hacia el 2000 a. c. sumer volvió a ser invadida. esta vez, al reco-brar su libertad, un siglo más tarde, las ciudades sumerias que se destacaron fueron isin y larsa. sus reyes intentaron revivir un pa-

sado más tradicional y culto, pero los tiempos habían cambiado debido al comercio con la periferia, que se había ido civilizando. adicionalmente, babilonia, una ciudad fundada por los amoritas —otra tribu semita proveniente de arabia—, se desarrollaba donde se estrecha el valle entre el éufrates y el tigris. su ubica-ción entre las ciudades acadias del norte y las sumerias del sur le daba una ventaja comercial, y finalmente tomó el poder con Hammurabi (1792-1750), un rey astuto que reunificó Mesopota-mia. sin ser guerrero, como sus antecesores acadios, Hammu-rabi se dedicó a proveer una administración que pudiera brindar sustento y seguridad a su imperio. esa época entre el 2000 y 1600 a. c. se conoce hoy como periodo paleobabilónico [1, 2].

como muestra de la influencia de la casta de escribas, el ré-gimen optó por conservar el acadio como lenguaje oficial, y el sumerio, que ya no se hablaba, siguió como lenguaje religioso y erudito, ambos idiomas con la escritura cuneiforme. contando con los escribas se consolidó un código legal muy completo que organizaba el gobierno y la administración, y como se requería una buena gestión de recolección de impuestos y de contabili-dad, se estableció como oficial el sistema numérico sexagesimal que los escribas sumerios de Ur, isin y larsa ya utilizaban en observaciones astronómicas para organizar el calendario y pro-gramar las fiestas religiosas [1, 5, 6, 10].

la matemática del periodo paleobabilónico no se limitó a las ope-raciones con números sexagesimales: se encuentran tablillas que tratan problemas geométricos relacionados con el teorema de Pitágoras, así como otras para resolver una ecuación cuadrática o una ecuación cúbica. de esa época datan las tablillas de con-tenido matemático que se referencian a continuación [11, 12].

1. La medida de la diagonal de un cuadrado (tablilla ybc 7289)

esta tablilla y muchas otras demuestran que los babilonios co-nocían la relación pitagórica,2 aunque no tuvieran una prueba formal del teorema de Pitágoras, y su reconocimiento de un ángulo recto como condición para que se cumpla la relación podría aceptar un error de más o menos 10 o 15 grados [12]. la tablilla muestra un cuadrado con sus dos diagonales. so-bre una de ellas está escrito 1; 24 51 10 (1,41421296 en notación decimal), número que se aproxima a la raíz de dos. este número se multiplica por 30 —escrito sobre un lado del cuadrado—, de lo que resulta 42 25 35 (0,707106481 en natación decimal), escrito dentro del cuadrado. la escogen-cia del multiplicador 30 probablemente se hizo a propósito, ya que es el inverso de 2, y al efectuar la multiplicación se ob-tiene una aproximación de √2/2 , el inverso de √2 (figura 6).

2 el teorema de Pitágoras afirma que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa —el lado opuesto al ángulo recto—, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos. esta relación de cuadrados, a 2 b 2 c 2 , se llama relación pitagórica, y si esta se cumple entre los lados de un triángulo, el ángulo opuesto al lado c tiene que ser recto.


Figura 5. Tabla de inversos babilónicos regulares. MLC 1670 y su traducción [12]

Dos tercios de 1 es 40 15 El recíproco de 24 es 2 30

La mitad es 30 El recíproco de 25 es 2 24

El recíproco de 3 es 20 El recíproco de 27 es 2 13 20

El recíproco de 4 es 15 El recíproco de 30 es 2

5 El recíproco de 5 es 12 El recíproco de 32 es 1 52 30

El recíproco de 6 es 10 20 El recíproco de 36 es 1 40



El recíproco de 10 es 6 El recíproco de 48 es 1 15

10 El recíproco de 12 es 5 El recíproco de 50 es 1 12

El recíproco de 15 es 4 25 El recíproco de 54 es 1 6 40

El recíproco de 16 es 3 45 El recíproco de 1 es 1

El recíproco de 18 es 3 20 El recíproco de 1 4 es 56 15

El recíproco de 20 es 3 El recíproco de 1 21 es 44 26 40


2. solución de una ecuación cuadrática (tablilla ybc 6967)

Probablemente de la región de larsa, y elaborada hacia el año 1800 a. c., esta tablilla es característica de la época por su forma de enunciar un problema y proceder a resolverlo. el problema mismo también es representativo: se trata de encontrar un nú-mero que exceda a su inverso babilónico en siete (figura 7) [12].

aunque la solución no provee bosquejos, su descripción es bas-tante gráfica, pues utiliza un método típico de “cortar y pegar”, por lo que debe seguirse con los dibujos dados a continuación. se sobreentiende primero que se ha formado un rectángulo cu-yos lados son el número X y su inverso babilónico , con área X = 60 (1 00 en sexagesimal), donde se utilizan los símbolos X y para ayudar al lector moderno. el texto, traducido libre-mente, dice así (los números sexagesimales se han puesto entre paréntesis):

“Parta en mitad el 7, el excedente del número al recíproco, para obtener 3½ (3; 30). Multiplique 3½ por 3½ para obtener [un cuadrado de área] 12¼ (12; 15). añada 60 (1 00), el área [del rectángulo] que tenía, a 12¼ para obtener [un cuadrado de área] 72¼ (1 12; 15). ¿cuál es el lado del cuadrado obtenido? 8½ (8; 30). Ponga 8½ y súmele 3½, ponga 8½ y réstele 3½. Un número es 12 y el otro es 5. el número es 12 y el recíproco es 5”3 [12, p. 12].

3 en términos modernos, el método corresponde a completar un cuadrado.

Un aspecto interesante en la generalización de este problema es que su solución cumple la relación X + x – x +

2 2

2 2

= , donde x –

2

2

es el área del cuadrado pequeño, x +2

2

la del cuadrado grande, y X = 60n, puesto que se trata de inversos babilónicos. entonces, si n es par, por ejemplo n = 2k se tie-ne la relación pitagórica x – x +

2 2

2 2

(60k )2 + = . como este tipo de problemas era bastante común, los escribas debieron darse cuenta de este hecho, que es importante en la discusión de la siguiente tablilla [12].

Figura 6. YBC 7289. De la Colección Babilónica de la Universidad de Yale, su proveniencia es desconocida. Data entre 1800 y 1600 a. C. (8 x 8 cm)Fuente: http://www.math.ubc.ca/~cass/euclid/ybc/ybc.html

X = + 7

+ 3 12

área del rectángulo negro = 60

“Parta en mitad el 7”

(rectángulo punteado en azul)

“añada 60, el área que tenía, a

12 ¼” (el cuadrado rojo)

área del cuadrado grande =

60 + 12¼ = 72¼ cuyo lado es

8 ½. luego, = 8 ½ + 3½ =

12 y = 8 ½ − 3½ = 5.


quiNcE TErNas PiTaGóricas (PLiMPToN 322)

sin duda, esta es la tablilla matemática más controvertida. Mide 12,7 x 8,8 cm y está escrita en forma apaisada. Por sus caracte-rísticas, se piensa que fue encontrada en larsa, y ha sido datada entre los años 1800 y 1700 a. c., o sea, sería anterior a la domi-

Figura 7. Tablilla YBC 6967Fuente: [12]

Figura 8. Tablilla Plimpton 322, con dibujo del anverso de E. Robson. Corresponde al periodo paleobabilónico (siglos XIX a XVII a. C.), y probablemente se produjo en Larsa. Fue adquirida en 1922/1923 por George Plimpton, y donada a la Universidad de Columbia en 1936. Se publicó en 1945 [12, p. 5].

nación babilonia. el anverso es una tabla de números dividida en 4 columnas con títulos y 15 filas de números sexagesimales. al reverso tiene la misma división en columnas, como si se hubiera deseado continuar la tabla.


la transcripción más aceptada, en la que se corrigen unos po-cos errores que se cree cometió el escriba, es la siguiente:

A S D N

[(1) 59] 00 15 1 59 2 49 KI. 1

[(1) 56 56] 58 14 50 06 15 56 07 1 20 25 KI. 2

[(1) 55 07] 41 15 33 45 1 16 41 1 50 49 KI. 3

(1) 53 10 29 32 52 16 3 31 49 5 09 01 KI. 4

(1) 48 54 01 40 1 05 1 37 KI. [5]

(1) 47 06 41 40 5 19 8 01 [KI. 6]

(1) 43 11 56 28 26 40 38 11 59 01 KI. 7

(1) 41 33 45 14 3 45 13 19 20 49 KI. 8

(1) 38 33 36 36 8 01 12 49 KI. 9

(1) 35 10 02 28 27 24 26 40 1 22 41 2 16 01 KI. 10

(1) 33 45 45 1 15 KI. 11

(1) 29 21 54 2 15 27 59 48 49 KI. 12

(1) 27 00 03 45 2 41 4 49 KI. 13

(1) 25 48 51 35 6 40 29 31 53 49 KI. 14

(1) 23 13 46 40 28 53 [KI. 15]

[11-14]

el texto entre corchetes reemplaza escritura faltante. los unos entre paréntesis (1) al comienzo de cada fila no se sabe si pu-dieron o no haberse borrado del borde de la tablilla. los números en rojo han sido cambiados del original para que cumplan las propiedades que se observan en el resto de la tablilla. otras tablillas semejantes del mismo periodo sugieren que había una tablilla compañera pegada a la izquierda de esta, donde se ha-brían hecho algunos cálculos.4 la unión debió haber sido frágil, por lo cual la otra tablilla se perdió, pero hay vestigios de un pegante moderno que insinúa que posiblemente perduró hasta nuestro tiempo, aun cuando nada asegura que la tablilla que estuvo unida a esta en tiempos modernos haya sido la original. Por otra parte, las siguientes observaciones acerca de la tabla son aceptadas por todos los estudiosos:

1. los números de la columna A están en orden descendente. 2. cada número de la columna A es un cuadrado perfecto, ya

sea que tenga o no el 1 inicial. 3. los encabezamientos S y D aluden al lado corto y la diago-

nal de un rectángulo.4. en cada fila, S y D son dos números de una terna pitagóri-

ca, pues D 2 – S 2 es un cuadrado perfecto. con los enteros a = S, b = √D 2 S 2, c = D, se tiene que a 2 + b 2 = c 2.

4 además, pudo haber otras tablillas de “borrador” que eran alisadas tras efectuar las operaciones.

5. con excepción de la fila 11, los números de las columnas S y D de cada fila son primos relativos.

6. en cada fila, A = D 2/(D 2 – S 2 ) o S 2/(D 2 – S 2 ), según se crea o no que la primera columna comienza por un 1 [13, p. 3 traducción libre reorganizada].

robson [11, 12], que es quien más ha investigado la usanza del periodo del que proviene la tablilla, dice que en larsa los títulos muchas veces se escribían en sumerio, no porque se hablara allí, sino porque producía una escritura más corta. de derecha a izquierda, ella da las siguientes traducciones a los encabeza-mientos de las columnas: en la de la derecha, como en la mayo-ría de las tablillas de larsa, está escrito “su nombre”, abreviado por N en la transcripción. en la que sigue, “diagonal”, abreviado por D, y luego “lado más corto”, abreviado por S.

el encabezamiento de la columna de la izquierda, A, es más com-plejo, y lo traduce robson [11, 12] como “el cuadrado de la dia-gonal del que se le rasga 1 para que resulte el [cuadrado del] lado corto”.5 de este encabezado ella deduce que la tablilla tiene una relación con el problema de la tablilla ybc 6967, descrito arriba.

algunos han visto en esta tablilla una especie de tabla trigono-métrica en la que las columnas S y D son el cateto más corto y la hipotenusa de un triángulo, y la primera columna es la tan-gente cuadrada del ángulo (sin el 1), o la secante cuadrada (con el 1), donde los ángulos irían decreciendo en una columna de la tablilla compañera. Pero esta interpretación no tiene muchos adeptos, por ser anacrónica; la noción de ángulo en ese perio-do no era muy clara, y el uso de una tabla tal, por ejemplo en astronomía, no se daría sino unos mil años más tarde [11-14].

Mucho más importante y compleja es la pregunta sobre cómo se hizo. Fuera de la terna pitagórica exhibida en la línea 11, que es un múltiplo de la conocidísima 3, 4, 5, las otras no son tan evidentes, como 119, 120, 169 (1.a fila), 319, 360, 481 (6.a fila), y algunas consideran números relativamente grandes, como 4961, 6480, 8161 (fila 10.a) y 12.709, 13.500, 18.541 (fila 4.a). el método más conocido para encontrar ternas pita-góricas lo explica euclides en la proposición 29 del libro X de sus Elementos [15]. comienza por tomar dos números enteros positivos p y q, primos relativos, que no sean ambos impares, con p > q. los números de la tabla resultan así: S = p 2 – q 2, D = p 2 + q 2 , y el tercero de la terna pitagórica es √D 2 – S 2 = 2pq. Por esta razón, algunos han sugerido que las columnas de la tablilla faltante contenían los números p y q. sin embargo, los números de la columna que contuviera, ya sea a p o a q estarían en desorden, cuestión que no concuerda con la usanza en estas tablillas [11-14].

5 “the takiltum-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up” [11, 12].


otra explicación describe cómo se pueden generar las ternas a partir de la pareja de inversos babilónicos X y . en esta in-terpretación, primero se calculan d = x +

2 y x –2s = para luego

obtener los números de la tablilla dividiéndolos por el máximo común divisor de ellos (d, s ): D = d

(d, s ) y S = s (d, s ). adicional-

mente, la columna A sería o bien d 2, si comienza por 1, o si no, s 2. esta interpretación no solo exhibe un orden descendente o ascendente en los números X y , sino que también coincide con el nombre sumerio de la columna A, pues hace referencia a casos especiales del problema ybc 6967, en los cuales surgen ternas pitagóricas [11-14].

la figura 9 contiene columnas referentes a estas dos interpreta-ciones que podrían haber estado en la tablilla compañera.

Fila p q X X

1 12 5 2 24 25

2 1 04 27 2 22 13 20 25 18 45

3 1 15 32 2 20 37 30 25 36

4 2 05 54 2 18 53 20 25 55 12

5 9 4 2 15 26 40

6 20 9 2 13 20 27

7 54 25 2 09 36 27 46 40

8 32 15 2 08 28 07 30

9 25 12 2 05 28 48

10 1 21 40 2 01 30 29 37 46 40

11 2 1 2 30

12 48 25 1 55 12 31 15

13 15 8 1 52 30 32

14 50 27 1 51 06 40 32 24

15 9 5 1 48 33 20

Figura 9. Los números p y q utilizados para construir las ternas pitagóricas y los inversos babilónicos, X, X [14]

sin embargo, aunque parezcan diferentes, los dos métodos re-sultan equivalentes, pues para garantizar que X sea regular se escoge la razón de p y q de la misma fila, X = p /q o p q, con lo que = p q o q /p. así, x + p 2 + q 2

2 2pq= y x – p 2 – q 22 2pq= , donde la

diferencia de sus cuadrados es

de esta manera se obtiene la misma terna pitagórica que se obtiene con el método de euclides, pues al multiplicar por (2pq )2 resulta

(p 2 + q 2)2 – (p 2 – q 2)2 = (2pq )2

además, salvo una sola excepción (p = 2 05)6, todos los nú-meros p y q de la tabla aparecen en las tablillas estándar de inversos babilónicos. según abdulaziz [14], el autor de la tablilla recopiló las 38 posibles razones X = p

q ’ con p ≤ 125 (2 05), q ≤ 54 y p 2 – q 2 < 2pq. al ordenarlas en forma descendente, las primeras quince son las que aparecen en esta tablilla. Quizá la intención del escriba era continuar en el reverso de la tablilla, aunque no cabrían todas. esta y otras incógnitas surgen con cualquiera de las explicaciones.

a modo de ejemplo hacemos la aritmética sexagesimal de punto flotante para la fila 5, donde p = 9 y q = 4. Por el método de eu-clides vemos que S = p 2 – q 2 = 105 (65, en notación decimal) y D = p 2 + q 2 =1 37 (97, en notación decimal), como aparecen en la tablilla de Plimpton. entonces, √D 2 – S 2 = 2pq = 1 12 (72, en notación decimal), para completar la terna pitagórica. Por el otro método, para encontrar X y , se localizan en la tabla de recíprocos p = 6 40 y q = 15 (figura 5). entonces, X = pq = 2 15 y = pq = 26 40. de estos se calculan

al dividir estos números por su máximo común divisor, que es (s, d ) = 50, se vuelven a obtener S = 1 05 y D = 1 37. Por otra parte, d 2 = 1 48 54 01 40 y s 2 = 48 54 01 40, que correspon-den a la entrada de la columna A en la tablilla de Plimpton, con o sin el uno al frente7.

EPíLoGo

a no ser que aparezca la tablilla compañera a Plimpton 322, nunca se sabrá a ciencia cierta la forma como se encontraron las ternas pitagóricas. sin embargo, se sabe lo suficiente acerca de las edubas para poder decir que la tablilla probablemente fue escrita por un maestro de escribas que buscaba números “bonitos” para crear ejercicios. Por ejemplo, en los problemas como el de la tablilla ybc 6967 era importante escoger bien el enunciado para que las soluciones X y fueran regulares, es decir, tuvieran desarrollo sexagesimal finito [11, 12]. la tablilla también serviría en problemas que proporcionan dos lados de un triángulo rectángulo y requieren encontrar el tercero, muy comu-nes en las edubas en el contexto de un rectángulo y su diagonal.

6 2 05 es regular, puesto que su inverso babilónico, 28 48, tiene desarrollo finito.

7 Puede parecer arbitraria la forma como se le agrega 00 al final de 2 15, pero es para que X X no sea 603 sino 604, una potencia par de sesenta, y se cumpla la relación pitagóri-ca 604 x – x x – x

2

2 2 .

x + x –2 2– =

2 p 2 + q 22pq

p 2 – q 22pq–

2 22= 1

1 12 2

s = =(X – X ) (2 15 00 – 26 40 ) = 30 . (1 48 20) = 54 10 y

1 12 2

d = =(X + X ) (2 15 00 + 26 40 ) = 30 . (2 41 40) = 1 20 50

2


el interés último de las edubas en cuanto a las matemáticas fue el de adiestrar a los alumnos en las habilidades operacionales de la aritmética, y ese fue su aporte a la posteridad, pero eso no impidió que los escribas hayan tenido motivaciones más abs-tractas, como las que se aprecian en las tablillas analizadas. aun cuando la mayoría de los expertos en el tema coinciden en decir que pensar que hubiera una dedicación a temas de teoría de números es un anacronismo, no cabe duda de que los escribas del periodo paleobabilónico descubrieron propiedades curiosas de los números que cautivaron su atención, como las de ser regulares o formar ternas pitagóricas.

la numeración en sí fue su mayor contribución, si bien se de-moraron mucho en utilizar un símbolo como el cero para guar-dar una posición vacía. se ve la confusión que pudo causar un espacio en lugar de un símbolo en las filas 1, 5, 6 y 13 de la tablilla Plimpton 322. aunque se cree que se utilizó un tal símbo-lo antes, solo hay evidencia concreta desde el 311 a. c. de una tablilla en la que se escribe por 1 00 45. no obstante, los números con fracciones siguieron utilizando la notación de punto flotante, pues la cifra para el cero no se usaba en la termi-nación derecha de los números y no se tenía un símbolo para la coma —o punto— decimal [16].

también hay que recalcar la habilidad para hacer tablas, expe-riencia que luego serviría para elaborar cuadros y listas de as-tronomía. en efecto, los resultados de la astronomía cuantitativa avanzaron considerablemente a partir del periodo paleobabilóni-co, gracias a la continuidad de los escribas, que conservaron la lengua, la escritura y el sistema de numeración, a pesar de los cambios en las etnias y ciudades dominantes. en los siguientes quince siglos hubo varios cambios en el poder, que de los babi-lonios pasó a los casitas, de estos a los asirios, entre otros, y de nuevo a los babilonios; luego a los persas, antes de pasar a los macedonios, con alejandro Magno. asimismo, las ciudades de estos pueblos dominantes fueron tan importantes como assur, nínive, la babilonia de los jardines colgantes y Persépolis. en todas, los escribas impusieron su cultura.

su influencia persistió aún más tiempo en el sistema de repre-sentar fracciones, que fue utilizado por los astrónomos occiden-tales durante más de dos mil años. la astronomía cuantitativa de Mesopotamia tuvo gran influencia sobre la helenista, y sería Hiparco (ca. 190-ca. 120 a. c.) quien introdujera a alejandría la división de la circunferencia en 360 grados con fracciones se-xagesimales del grado —minutos, segundos, terceros, etc.—, reproduciendo el sistema sexagesimal de babilonia para las fracciones, pero con numerales griegos [17]. como las prime-ras traducciones al árabe del Almagest de Ptolomeo se hicieron antes de la introducción de la numeración decimal en el imperio árabe, posiblemente por esta razón los astrónomos de lengua árabe —que también fueron matemáticos muy notables— con-tinuaron utilizando fracciones sexagesimales aun en tratados que no eran de astronomía, como por ejemplo al escribir las soluciones de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. este ejemplo lo siguió el mismo Fibonacci, quien popularizó los números indo-arábicos en europa, al expresar la solución de la cúbica 10x + 2x 2 + x 3 = 20 como 1; 22 07 42 33 04 40, en notación sexagesimal, hacia el 1225 d. c. [18]. las tablas astronómi-cas elaboradas entre 1263 y 1272 por iniciativa de alfonso X el sabio —que les sirvieron a copérnico, tycho brahe y Kepler— también utilizaron esta nomenclatura.

el cambio hacia las fracciones decimales fue impulsado por si-mon stevin con su publicación La theinde (la décima) en 1585, que fue traducida al inglés en 1608 [19]. luego se consolidó con las tablas de logaritmos de napier (1614) y de briggs (1617). Pero el sistema sexagesimal continuó usándose en las medidas de ángulos y de tiempo, a pesar de los esfuerzos de quienes desarrollaron el sistema métrico (1793), que propusieron 100 grados como la medida del ángulo recto. Finalmente, en 1862, la british association for the advancement of science (baas) esta-bleció el segundo como medida patrón en el sistema cegesimal (cgs) de centímetro-gramo-segundo, y desde entonces las frac-ciones del segundo son decimales y no sexagesimales [20]. •


rEfErENcias

[7] Pérez largacha a. Historia antigua de egipto y del Próximo

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[8] Kramer sn. cradle of civilization. new york: time-life books;

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[15] Melville d. Ur iii Mathematics; http://it.stlawu.edu/~dmelvill/

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[16] http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/obsummary.html.

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[18] robson e. Words and pictures: new light on Plimpton 322. the

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[19] Phillips a. the numbers behind Plimpton 322; http://arxiv.org/

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[21] Joyce de. euclid’s elements book X, Proposition 29, lemma 1;

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Fuente: de... · tabilidad en el Medio oriente hasta el segundo milenio a. c. [1]. ... acadio muy amalgamados hasta el final del ... y los números se sucedían hasta