Sec ao 27 Func ao GamaAexpressaon! = 1 2 3 . . . n (1)est
adenidaapenasparavaloresinteirospositivosden.
Umaprimeiraextensaoefeitadizendo que0! = 1 . Mas queremos estender
a nocao de fatorial inclusive para valores n aointeiros den. Mais
precisamente,queremos denir,demaneira natural,uma fun cao
g(x)satisfazendog(n) = n! .E claro que seria muito f acil denir uma
tal g(x) arbitrariamente,s oque,
paraqueadenicaotenhaalgumautilidade,
temosquedescobrirumamaneiranaturaldefazeristo.Revisaodeduasf
ormulasdoCalculo.1
dc
baf(x) g(y) dx dy=
baf(x) dx
dcg(x) dy
2F ormuladeLeibniz:ddx
baF(x, y) dy=
baFx (x, y) dyNotequeddx
n
i=1F(x, yi) iy
=n
i=1Fx (x, yi) iy,poisaderivadadeumasomanitaeasomadasderivadas.
Passandoaolimitequandoosiy 0 ,obtem-seaf
ormuladeLeibniz.Porexemplo, dadaafuncaodeduasvari aveis F(x, y)=x2y
, denimosumanovafunc ao,deumavari avel,porf(x) =
10F(x, y) dy=
10x2y dy= x2
10dy=x22.Efacilcomprovarque f
(x) = 1 eque
10Fx (x, y) dy=
102 x y dy= x
.PontodepartidaparadiniraFuncaoGama.1Observemosque
+0erdr = er
+0= 1 .2Fazendoamudan cadevari avel r = s t , dr = t ds ,( t
> 0 xo),obtemos
+0es tds =1t, paratodo t > 0.3Derivandoemrelac
aoateutilizandoaf ormuladeLeibniztemos
+0s es tds =1t2, paratodo t >
0.4Derivandonovamenteemrelacaoat,obtem-se
+0s2es tds =1 2t3, paratodo t >
0.5Derivandosucessivasvezesemrelac aoat,encontramos
+0snes tds =n!tn+1, paratodo t > 0.6Finalmente,fazendo t = 1
,obtem-se
+0snesds = n!. (2)CONCLUSAO: Encontramos uma expressao
alternativa para o fatorial de n. Em
lugardoproduto(1)denfatores,ques
ofazsentidoparaninteiropositivo,ofatorialn!podeserexpressoatravesdaintegral(2),quefazsentidoinclusiveparavaloresn
aointeirosdavari avel. Emoutraspalavras,afunc aog(x) =
+0essxds,queest adenidainclusiveparavaloresnaointeirosdex,
etalque g(n) = n! ,paratodoninteiropositivo.
Eraexatamenteistooqueestavamos procurando. Atradic ao,
noentanto,consagrouumadenic aolevementediferentedesta.Denicao:
AFunc aoGama(deEuler) edenidapelaintegral(x) =
+0ettx1dt. (3)OBS:
Aproveitandoosmbolog(x)introduzidoprovisoriamenteacima, temos (x)
=g(x 1) . Logo(n) = (n 1)!, paratodoninteiropositivo.
(4)DomniodaFuncaoGama. A integral (3) converge para todox > 0 .
Portanto temos : (0, +) R.Paraveristoescrevemos(x) =
10ettx1dt +
+1ettx1dt.Asegundaintegral converge qualquer que sejax, pois
et0taorapidoquandot que, qualquer eventual crescimentode
tx1eneutralizado. J anaprimeiraintegral,para0 t 1
,afuncaoetcasobcontrole,0 < et 1,eaconvergenciaoun aodaintegrals
odependedofator tx1. Bastaentaoobservarque2(a)Para x > 0
,temos
10tx1dt =txx
t=1t=0=1x< ;(b)Para x = 0 ,temos
10tx1dt =
10t1dt =ln t
10= ;(c)Para x < 0 ,temos x 1 < 1 ,
10tx1dt
10t1dt = .Segue da que a integral que dene a Func ao Gama
converge para x > 0 e diverge parax 0,istoe,odomniodafunc
aoporeladenidaerealmente(0, +). MaisadianteodomniodaFunc
aoGamavaiserestendido.Proposicao:
12
=Demonstracao:Seguedadenicaoque
12
=
+0ett12dt.Fazendoamudan cadevari avel t = r2, dt = 2 r dr
,temos
+0ett12dt = 2
+0er2dr.Calculodaintegral
+0ex2dx :Ateaqui,
paratodas(oupraticamentetodas)asintegraisdenidasqueprecisamoscal-cular,
seguimos asistem aticade primeiroencontrar umaprimitivae depois
avaliar
adiferencaentreosvaloresdaprimitivanasduasextremidadesdointervalodeintegra
cao.No presente caso este caminho n ao sera seguido. Sabemos, desde
o C alculo 1, que a func aoex2, como toda func ao contnua, possui
uma primitiva, mas que esta primitiva n ao
podeserexpressaemtermosdasfun coeselementares.
Aalternativaeusarumtruquede-scoberto por Liouville. Chamamos de
I=
+0ex2dxa integral que queremos calcular.TemosI2=
+0ex2dx
+0ey2dy
=
+0
+0ex2ey2dx dy=
+0
+0e(x2+y2)dx
dy.TemosassimI2expressacomoumaintegralduplaemquearegiaodeintegra
caoeo1oquadrante.
Calculandoestaintegralduplaemcoordenadaspolares,I2= 20
+0er2r dr d =2
+0er2r dr =2er22
+0=4.3Logo I=2,isto e,
+0ex2dx =2.Seguedaque
12
=.PropriedadeFundamental: (x + 1) = x (x)
.Demonstracao:Peladenic ao, (x) =
+0ettxdt . Integrandoporpartescomu = txe dv= etdt ,(x + 1) =
ettx
t=+t=0+
+0x tx1etdt = x (x).Exemplo. Calcular
52
.
52
=
32+ 1
=32
32
=32
12+ 1
=32 12
12
=32 12 Observacao: Seguedapropriedadefundamentalque(x) =(x +
1)x.Fazendo x 0+,temos,entao,(x) (1)0+=10+= +,isto e,limx0+(x) =
+.Portantoogracode(x)
ecomonaguraabaixo.4Extensaododomnio:Inicialmente o domnio da Func
ao Gama e o intervalo(0, +) ,ou seja,o conjunto dos
xparaosquaisaintegralquedeneaFun caoGamaconverge.Af ormula (x +
1)=x (x) permite-nosdenir (x) tambempara x (1,0 ) .Defato, se x
(1,0 ) , ent ao x + 1 (0, 1) e, portanto, (x + 1) est adenido.
Fazsentido,ent ao,denir(x) =(x + 1)x.Como (x) > 0 e x < 0
para x (1,0 ) ,vemosquenestetrecho(x) < 0, parax (1, 0),limx0(x)
= limx1+(x) = .Acabamos,ent ao,deestendaraFunc
aoGamaparaumdomniomaiordoqueelaestavainicialmentedenida. Agoratemos
: (1, 0) (0, +) R,comomostraaguraabaixo.Agora que j a temos : (1,
0)(0, +) R, podemos dar mais um passo e denir(x)tambmparax (2,
1).Dado x (2, 1) , temos x + 1 (1, 0) . Portanto(x + 1) j aest
adenido.Denimos,damesmaformaqueacima, (x + 1)
=(x)x.Levandoemcontaossinaisdonumeradoredenominador,vemosque(x)
> 0, parax (2, 1)elimx1(x) = limx2+(x) = +.5Ogracodaextensao :
(2, 1) (1, 0) (0, +) Rest
amostradoabaixo.Continuandoesteprocesso,odomniodaFunc
aoGamapassaaserR {0, 1, 2, 3, . . .}.Abaixo,mostramosogr
acode(x)comestedomnioestendido.observe, queparax 6 , ogr acopassat
aopertodoeixodosXque, apesardafunc aotenderainnito,
ocomputadornaoenxergouistoedesenhoucomose(x)seanulasseem 6.6Obs:
Afunc ao1(x)est adenidaparatodo x Reseanulanospontos0, 1, 2, 3, . .
. ,poisneles(x)einnita. Emoutraspalavrasasingularidadequea fun cao
teria nestes pontos pode ser removida pondo o valor da func ao como
sendo 0. Ogr acodestafunc aoestamostradoabaixo.7
