Funes

Definio de funoRepresentao de funes Funo crescente e decrescente Funo linearPolinomial, racionais e algbricas

Nasceu em Leipzig, onde aos quinze anos entrou na universidade e aos dezessete obteve o grau de bacharel.

Leibniz, na verdade, foi um dos maiores formadores de notao, inferior apenas a Euler nesse ponto. No responsvel pela moderna notao para funo, mas a ele que se deve a palavra funo, praticamente no mesmo sentido em que usada hoje .

A HISTRIA CONTA

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716)

Imagem: Christoph Bernhard Francke /

Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich-Museum, Braunschweig / Public Domain.

*

Para que estudar as funes?

Em nosso dia-a-dia, estamos sempre comparando e relacionando nmeros, grandezas e formas.

Imagens: (a) Stefano Bolognini e (b) Derek Jensen (Tysto) / Public Domain.

Exemplos

Nmero de questes que acertei num teste, com a nota que vou tirar;

Velocidade mdia do automvel, com o tempo de durao de uma viagem;

Nmero de pes que vou comprar, com o preo a pagar.

Na padaria da Ana tem uma tabela para facilitar o trabalho do caixa:

Para fazer esta tabela, a dona Ana faz o seguinte clculo:

Preo a pagar = 0,20. n de pes.

Dizemos que o preo a pagar (y) funo do do nmero de pes (x), pois para cada quantidade de pes existe um nico preo y a pagar.

Y = 0,20.x

Imagem: Julie Kertesz from Paris neighbourhood, France / Creative CommonsAttribution 2.0 Generic.

N de pesPreo a pagar (R$)10,2020,4030,6040,8051,00

Exemplo

Que quantidade de tela necessrio para cercar um terreno quadrado de 5 metros de lado?

Considere x a medida do lado do terreno. A quantidade de tela necessria para cerc-lo igual ao permetro da figura.

Imagem: Derek Harper / Creative CommonsAttribution-Share Alike 2.0 Generic.

Ento:

Y = x + x + x +x

Y = 4x

Como x mede 5 metros: Y = 4.5

Y=20.

Conclumos que sero necessrios 20 metros de tela para cercar o terreno.

x

x

x

x

Dados A e B dois conjuntos de :

uma funo uma relao ou correspondncia que a cada elemento de A associa um nico elemento de B.

Definio de Funes

Seja f uma funo.

O conjunto de todos os que satisfazem a definio da f chamado domnio da f e denotado por .

O conjunto de todos os tais que

y = f (x), onde , chamado imagem da f e denotado por .

f

Domnio e Imagem

Ideia de funo

Ideia de funo

Exemplos:

O plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenadosde nmeros reais tal que:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

O plano cartesiano representado por duas retas numricas reais que se interceptam a um ngulo de 900.O plano cartesiano utilizado como sistema de referncia para localizar pontos em um plano.

Plano Cartesiano

Plano Cartesiano

Por que Cartesiano?

A cincia Cartesiana gozou de grande popularidade por quase um sculo, mas depois necessariamente cedeu lugar ao raciocnio matemtica de Newton.

Ironicamente, foi em grande parte a matemtica de Descartes que mais tarde possibilitou a denotada cincia cartesiana.

A forma de localizar pontos no plano foi imaginada por Ren Descartes, no sculo XVII.

Imagem: Frans Hals / Portrait of Ren Descartes, c. 1649-1700 / Louvre Museum, Richelieu, 2nd floord, room 27 Paris / Public Domain.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3

-2

-1

1

2

3

x

(Eixo das abscissas)

(Eixo das ordenadas)

y

Plano Cartesiano

A forma geral de um par ordenado :

(abscissa,ordenada)= (x,y)

A (2, 3)

B (-2, 4)

C (-3, -2)

D (1, -3)

E (2, 0)

F (0, -1)

A (2, 3)

B (-2, 4)

C (-3, -2)

D (1, -3)

E (2, 0)

F (0, -1)

Plano Cartesiano

Plano Cartesiano

O grfico de uma funo y = f (x) o seguinte subconjunto do plano x0y

Grfico de uma funo

1)

Grficos de funes

2)

Os exemplos

Esta funo definida por:

onde . Notemos que:

1)

chamado coeficiente angular

o coeficiente linear

Funo do 1 grau ou Afim

4) Uma funo afim pode ser determinada se dois de seus valores so conhecidos.

Exemplo: Dados temos

Logo .

Grfico da funo afim

5) O grfico uma reta que passa pelos pontos

ou seja, . Logo, se temos

Grfico de uma funo afim

Exemplo

Em uma certa cidade, os taxistas cobram R$2,50, a bandeirada, mais R$1,50 por quilmetro rodado. Como possvel para um passageiro determinar o valor da corrida?

Imagem: The Wordsmith / Creative CommonsAttribution-Share Alike 3.0 Unported.

Resoluo:

Podemos verificar que o valor cobrado sempre R$ 2,50, somado com R$1,50 e multiplicado pela quantidade de quilmetros rodados.

Considerando x a quantidade de quilometro e y o valor cobrado, temos:

Y = 1,50x + 2,50

XY02,51425,537

Grficos

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

(0, 2.5)

(1, 4)

1.(pag.58)Indique o coeficiente de x e o termo independente das funes abaixo:

Exerccios

5.(pag.58)Obtenha, em cada caso, a lei de formao cujo grfico uma reta que passa pelos pontos dados:

(2, -1) e (5,3)

(0,5) e (1/2,3)

(-4,0) e (0,-2)

Exerccios

6) Obtenha a lei da funo cujo grfico :

a) b)

4

2

-3 2

Seja

1. Se ento (constante)

2. Se e ento (linear)

Para temos a funo identidade.

Casos especiais

Funo Constante

Existe ainda um outro tipo de funo, cujo grfico uma reta e que apresenta determinada caracterstica pela qual denominada funo constante. Observe o exemplo a seguir:

Alguns trens costumam viajar com a velocidades praticamente constante. Se um trem viajar a uma velocidade constante de 50 km/h, o valor da velocidade (v) ser o mesmo para qualquer tempo (t) de viagem.

Assim podemos escrever:

V=50, para qualquer valor de t.

Esse tipo de funo chamado de funo constante e seu grfico uma reta paralela ao eixo x:

Imagem: Shinsirosimin / Creative CommonsAttribution-Share Alike 3.0 Unported.

60

40

20

0

20

-60 -40 -20 0 20 40 60

Explicando...

Toda funo linear afim, mas nem toda funo afim linear.

O grfico desta funo no passa pelo ponto (0;0), o que sempre acontece nos grficos das funes lineares.

2

1

0

-1

B

C

2 -1 0 1

Um veculo abastecido por meio de um dispositivo provido de dois relgios. Um deles marca o tempo de abastecimento em minutos e o outro, o volume de combustvel fornecido ao tanque do veculo em litros.

Construa o grfico cartesiano correspondente a situao (volume em funo do tempo).

Agora a sua vez de examinar o exemplo abaixo e descubra: linear ou apenas afim?

Tempo em minutos (t)Volume (litros)0355,51081510,520132515,5

1. Funo afim Constante:

Grficos dos casos especiais

2. Funo linear:

Grficos dos casos especiais

Funo Identidade:

Grficos dos casos especiais

A funo afim crescente em R quando:

a > 0

Ex: f(x) = 2x +1

Como a=2 a > 0, a funo crescente em R.

A funo afim decrescente em R quando:

a < 0

Ex: f(x) = -2x +1

Como a=-2 a < 0, a funo decrescente em R.

Funo Crescente e Decrescente

O valor de x para o qual f(x)= ax + b se anula, ou seja, f(x)= 0 denomina-se raiz ou zero da funo.

Ex: O zero da funo afim definida por f(x) = 2x-10 5, pois:

2x-10 = 0

2x = 10

x = 10/2

x = 5

Raiz ou zero da funo afim

Vejamos agora como fazer o estudo do sinal da funo analisando o grfico.

a > 0 funo crescente

Para x > 2, temos y > 0

Para x = 2, temos y = 0

Para x < 2, temos y < 0

Dispositivo prtico

+

-

2

Estudo do sinal pela anlise do grfico

x

y

X = 2

a < 0 funo decrescente

x

y

X = 2

Para x > 2, temos y < 0

Para x = 2, temos y = 0

Para x < 2, temos y > 0

Dispositivo prtico

-

+

2

O grfico abaixo ilustra a variao da temperatura (T), em graus Celsius, de uma chapa de metal em funo do tempo (t), em minutos. Responda:

Quando t=0 minuto, qual a temperatura da barra?Quando t=7 minutos, qual a temperatura da barra?Ao decorrer do tempo, a barra foi aquecida ou resfriada?A temperatura da chapa esteve por mais tempo positiva ou negativa?Essas grandezas variam linearmente?

20

10

0

0 1 2 3 4 5 6 7

(0, 20)

(7, -8)

Espero que voc tenha percebido que as funes so importantes e esto presentes em varias situaes do nosso dia-a-dia. Elas nos ajudam no s a entender o que acontece ao nosso redor, como tambm a interpretar fatos e fazer previses sobre o comportamento de grandezas que se relacionam por meio de funes.

R

:

fAB

x

R

()

Df

y

R

()

xDf

Im()

f

x

()

fx

(

)

entrada

Domnio

(

)

sada

Imagem

1

2

4

3

9

x

2

x

2

()

fxx

=

1

2

1

3

1

5

5

1

()

fx

x

=

0

1)()2

fxx

=

()Im()

Dff

==

R

2

2)()

fxx

=

()Im()[0,)

e

Dff

==+

R

1

3)()

fx

x

=

*

()Im()

Dff

==

R

4)()4

fxx

=-

{

}

();4

Dfxx

=

R

Im()[0,)

e

f

=+

2

1

5)()

1

fx

x

=

-

{

}

*

()1,1,Im()

Dff

=--=

RR

(,)

xy

90

}

,

/

)

,

{(

R

y

x

y

x

R

R

=

Origem

o

1 quadrante

(I)

o

2 quadrante

(II)

o

3 quadrante

(III)

o

4 quadrante

(IV)

(

)

{

}

(),();()

GfxfxxDf

=

varivel

independente

varivel

dependente

x

()

fx

0

1

2

y

x

2

yx

=

x

y

2

yx

=

1

0

1

-

4

1

1

().

fxaxb

=+

,

ab

R

()Im()

Dff

==

R

a

b

(1)12e(2)14

ff

==

(1)12

2.(2)14

abf

abf

+==

+==

()2.10

fxx

=+

2e10

ab

==

P(0,)eQ(/,0)

bba

==-

0e0

ab

>>

Q

P

y

x

.(0,0)

yaxbab

=+>>

(0),(/)0

fbfba

=-=

0

a

=

()

fxb

=

1

a

=

0

b

=

().

fxax

=

0

a

0

yb

=>

0

yb

=

.(0)

yaxa

=