O que é uma função?

A função é a abstração da abstração da abstração.

Explicando melhor, a 1º abstração que o estudante faz é trocar quantidade de objetos ( 2 lápis, 3 borrachas, 4 cadeiras, etc...), pelo número ( 2, 3, 4, ...) após esta etapa é solicitado ao estudante que passe a um novo nível de abstração. O estudante passa abstrair mais ainda com a incógnita da equação, o tradicional “x”. Avançando mais ainda nos estudos é colocado aos alunos uma nova fase da abstração matemática, o estudante deve ser capaz de encontrar algo em FUNÇÃO de outro algo, ou seja; em matemática dizemos encontre “y” em função de “x” . Já na nossa vida cotidiana encontramos situações tais como: A demanda de carne, pode depender do preço corrente que esta apresenta no mercado ou o preço total pago pela gasolina que colocamos no automóvel é uma função do número de litros comprados, etc....

Um pouco da história

Dois grandes matemáticos foram os percursores do estudo das funções: Gottgriend Wilhelm Leibnitz pode ser considerado como o primeiro matemático a estudar profundamente o assunto (1606 – 1716).

O segundo foi Leonhard Euler, sua formação foi abrangente, estudou Matemática, Teologia, Medicina e Astronomia. Foi o responsável pela adoção do símbolo f(x) para representar função ( 1707 – 1783).

1

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Vamos construir gráficos de função determinadas por leis de formação y = f(x). Para isso, em primeiro lugar, construiremos uma tabela onde aparecem valores de x e os correspondentes valores de y, da seguinte forma:

1. Atribuímos a x uma série de valores do domínio;2. calculamos para cada um deles o correspondente valor de y através da lei y = f(x).3. A partir desta tabela obtemos o gráfico da função da seguinte forma:

Representamos dois eixos perpendiculares com origem comum; Em um deles representamos valores de x, a este eixo costumamos chamar de

eixo das abscissas. No outro, serão representados os correspondentes valores de y = f(x); este eixo

é chamado de eixo das ordenadas; Cada par ordenado (x,y), sendo o primeiro elemento do par sempre o valor da

variável independente, x, e o segundo elemento o valor da variável dependente, determina o ponto P do plano, no sistema de eixos escolhidos.

Exemplo.

Seja o ponto P definido pelo par ordenado ( 2,4), onde x = 2 e y = 4.

Representando este ponto P no sistema cartesiano teremos:

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Função Constante

Seja b um número real. Uma função constante é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x) = b.

Exemplos: As funções f:R R definidas por:

a. f(x) = 1 b. f(x) = -7 c. f(x) = 0

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).

f(x) = 2

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Função Linear

Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=mx + n.

Exemplos: As funções f:R R definidas por:

a. f(x) = -3 xb. f(x) = 2 x

c. f(x) = x/2

d. f(x) = 2x + 4

e. f(x) = -3x - 1

O gráfico de uma função linear é uma

f(x) = x

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http://www.nosachamos.com/educacao/matematica/materias/funcoestipos.htm#Função%20Linear

Exemplo 2

f(x) = x –1 podemos representar como y = x –1.

O gráfico da função é:

Coeficiente linear e coeficiente angular da função linear ( reta).

Coeficiente linear

Indica onde o gráfico corta o eixo das ordenadas (y).

Se observarmos os exemplos anteriores poderemos concluir facilmente que é o valor de n da função f(x) = mx + n.

Assim seja as funções

a) f(x) = 3x + 2 o coeficiente linear é 2.b) f(x) = 3x o coeficiente linear é zeroc) f(x) = -2x –3 o coeficiente linear é –3.

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Coeficiente angular

Como o próprio nome indica, coeficiente angular esta relacionado ao ângulo, ou seja: determina a inclinação da reta.

Exemplo.

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Exemplo

Seja f(x) = 2x + 1

Construir o gráfico da função e determinar o seu coeficiente angular a partir do gráfico.

Exercícios práticos.

1) A média de pontos obtidos em um teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 1990 a média foi de 582, enquanto que em 1995, foi de 552 pontos.

a) Qual é a função que representa a média de pontos em relação ao tempo?b) Se a média se mantiver qual deverá se a média em 2005?

2) Na fabricação de um determinado artigo verificou-se que o custo total obtido é através de uma taxa fixa de $ 4.000,00, adicionada ao custo de produção que é de $ 50,00 por unidade. Determinar:

a) a função que representa custo total em relação à quantidade produzida;b) o gráfico dessa função;c) o custo de fabricação de 15 unidades.

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3) Seja f(x) = mx + n uma função. Sabe-se que f(-1) = 4 e a f(2) = 7. Qual o valor de f(8)?

Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau

Custo

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção ( ou simplesmente custo) depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo total ( ou simplesmente função custo), e a indicamos por C.

Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros, e outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por Cf. A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável, indicamos por Cv.

Assim podemos escrever: C = Cv + Cf

Verificamos também que, para x variando dento de certos limites ( normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada de custo variável por unidade.

Receita

Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao produto de x pelo preço de venda e a indicamos por R.

Lucro

A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. Assim, indicando a função lucro por L, teremos:

L(x) = R(x) – C(x).

Exemplo(a)

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O custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00 e o custo variável por unidade é $ 10,00. Então a função custo total é dada por:

Se o produto em questão for indivisível ( por exemplo, número de rádios), os valores de x serão 0, 1, 2, 3, 4, ..., e o gráfico será um conjunto de pontos alinhados (figura 1) . Caso o produto seja divisível ( como toneladas de aço produzidas), os valores de x serão reais positivos, e o gráfico será a semi reta da figura 2, pois trata-se de uma função do primeiro grau.

Quando nada for dito a respeito das características do produto, admitiremos que o mesmo seja divisível , sendo o seu gráfico uma curva contínua.

Exemplo (b).

Um produto é vendido a $ 15,00 a unidade a função receita será:

O gráfico dessa função será uma semi-reta passando pela origem ( pois trata-se de uma função do primeiro grau com coeficiente linear igual a zero). Assim, o gráfico dessa função é :

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Se colocarmos o gráfico da função receita exemplo (b) e o gráfico da função custo do exemplo (a) num mesmo sistema de eixos teremos o gráfico mostrado na figura 4 mostrada abaixo. Nessa figura, podemos observar que os gráficos interceptam-se num ponto N; nesse ponto a receita e o custo são iguais e conseqüentemente o lucro é zero. A abscissa desse ponto é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.

Observemos que:

Se x > ponto critico, então R(x) > C(x) e portanto L(x) > 0 ( lucro positivo)Se x < ponto critico, então R(x) < C(x) e portanto L(x) < 0 ( prejuízo)

Exemplo (c)

Suponhamos que a função custo seja C(x) = 5000 + 10x e a função receita sejaR(x) = 15x, qual é o ponto crítico ou ponto de nivelamento?

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Exercícios.

1) determine o ponto de nivelamento ( ou ponto crítico), e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso:

a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2xb) R(x) = 200 x e C(x) = 10.000 + 150xc) R(x) = ½ x e C(x) = 10 + ¼ x

2) Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, esboce seu gráfico e faça um estudo do sinal.

3) Um editora vende certo livro $ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é $ 10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $ 40,00. Qual o ponto de nivelamento?

4) Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de $ 8.000,00?

5) O custo fixo de fabricação de um produto é $ 1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $ 50,00. Se cada unidade for vendida por $ 7,00:

a) Qual o ponto de nivelamento?b) Se o produtor conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20 %, à custa do

aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento?

c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento ( em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30 %?

6) O custo fixo mensal de uma empresa é $ 30.000,00, o preço unitário de venda é $ 8,00 e o custo variável por unidade é $ 6,00.

a) Obtenha a função lucro mensal.b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30 %

do lucro.

7) O custo fixo mensal de uma empresa é $ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é $ 30,00, e o preço de venda é $ 40,00.Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de $ 2.000,00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35 % do lucro ?

8) Sabendo que a margem de contribuição por unidade é $ 3,00, o preço de venda é $10,00 e o custo fixo é $ 150,00 por dia, obtenha:

a) A função receita.b) A função custo total diário.c) O ponto de nivelamento.d) A função lucro diário.e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de $ 180,00 por dia.

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Obs: A diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade é chamada e margem de contribuição por unidade.

9) O preço de venda de um produto é $ 25,00. O custo variável por unidade é dado por:

a) Matéria prima: $ 6,00 por unidade.b) Mão-de-obra direta: $ 8,00 por unidade.

Sabendo-se que o custo fixo mensal é de $ 2.500,00:

a) Qual o ponto crítico ( ponto de nivelamento)?b) Qual a margem de contribuição por unidade?c) Qual lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mêsd) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar 1.000 para

1.500 unidades por mês?

10) Para uma produção de 100 unidades, o custo médio é $ 4,00, e o custo fixo, $ 150,00 por dia. Sabendo-se que o preço de venda é $ 6,00 por unidade, obtenha:

a) O lucro de 100 unidades vendidas.b) O ponto crítico (nivelamento)

11) Uma editora pretende lançar um livro e estima-se que a quantidade vendida será 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for $150.000,00 por ano, e o variável por unidade $ 20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não obter prejuízo?

Respostas esperadas

1)

2)

12

3) 500 unidades

4) 900 unidades

5) a) 50 unidade b) 40 unidades c) 75 %

6) a) L = 2x - 30000 b) LL = 1,4 x – 21000

7) 807,7 unidades

8) a) R = 10x b) C = 150 + 7x c) 50 d) L = 3x – 150 e) 110

9) a) 227, 3 unidades b) $ 11,00 c) $ 8 500,00 d) 64,7 %

10) a) 50 b) 75

11) $ 27,5

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Funções Demanda e Oferta do 1º Grau

A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo ( dia, mês, ano e outros).

A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço por unidade do produto, renda do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do próprio produto (p), verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chama-se função de demanda à relação entre p e x, indicada por p = f(x).

Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores ( nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, a um nível de preço p). Em geral, quando nos referirmos à função de demanda, estaremos nos referindo a um grupo de consumidores e chamaremos de função demanda de mercado.

Normalmente, o gráfico de p em função de x ( que chamaremos de curva demanda) é o de uma função decrescente, pois quanto maior o preço, menor a quantidade demandada. Cada função de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a configuração dessas outras variáveis, teremos nova função de demanda.

O tipo e os parâmetros da função de demanda são geralmente determinados por métodos estatísticos. Consideraremos neste item a função demanda do primeiro grau.

Exemplo. O número de sorvetes (x) demandados por semana numa sorveteria relaciona-se com

preço unitário (p) de acordo com a função de demanda p = 10 – 0,002x.Assim, se o preço por unidade for $ 4,00, a quantidade x de demanda por semana será

dada por:Solução:

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O gráfico de p em função de x é o segmento de reta da figura abaixo. Pois tanto p como x não podem ser negativos.

Solução:

Analogamente, podemos explicar o conceito de função oferta. Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado. A oferta é dependente de várias variáveis: preço do bem, preços dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada e outros. Mantidas constantes todas as variáveis exceto o preço do próprio bem, chamamos de função oferta à relação entre o preço do bem ( p) e quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x).

Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada. Tal gráfico é chamado de curva de oferta. Observemos que teremos uma curva de oferta para cada configuração das outras variáveis que afetam a oferta. Veremos neste item funções oferta do primeiro grau.

Exemplo .Admitamos que, para q quantidade que não excedam sua capacidade de produção, a

função oferta da sorveteria do exemplo anterior seja do primeiro grau. Suponhamos que se o preço por sorvete for de $ 2,10, a quantidade ofertada será 350 por semana, e, se o preço for de $ 2,40, a quantidade ofertada será de 1400. Vamos obter a função oferta:

Solução:

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Exemplo 2

Consideremos a função de demanda por sorvetes p = 10 - 0,002x e a função de oferta

. Determine ponto de equilíbrio e o gráfico das duas funções no mesmo

sistema cartesiano. Solução:

Exercício.

As funções de demanda e oferta de um produto são dadas por:Demanda: p = 100 – 0,5xOferta: p = 10 + 0,5 x

a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado?

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b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de $ 3,00 por unidade vendida, qual o novo ponto de equilíbrio?

Solução:

Exercícios:

1) Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é $ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for $ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo que a função de demanda seja do primeiro grau, obtenha essa função.

2) Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é $ 5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20 %, o número de unidades vendidas será de 50 % maior. Obtenha a função demanda admitindo-a como função do primeiro grau.

3) Quando o preço unitário de um produto é $ 10,00, cinco mil unidades de um produto são ofertadas por mês no mercado; se o preço for $ 12,00, cinco mil e quinhentas unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função oferta seja do primeiro grau, obtenha sua equação.

4) Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações:

a) oferta: p = 10 + x b) oferta: p = 3x + 20demanda: p = 20 –x demanda: p = 50 – x

Respostas esperadas.

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1) p = - 0,2 x + 30 2) p = - 0,01x + 7

3) p = 0,004x – 10

4) a) $ 15,00 b) $ 42,50

Depreciação Linear.

Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se depreciação.

Assim, o gráfico do valor em função do tempo é uma curva decrescente. Nesse item, vamos admitir que a curva de valor seja retilínea.

Exemplo:O Valor de uma máquina hoje é $ 10.000,00, e estima-se que daqui a 6 anos seja $

1.000,00.a) Qual o valor da máquina daqui a x anos?b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?

Solução:

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Exercícios.

1) O valor de um equipamento hoje é $ 2.000,00 e daqui a 9 anos será de $ 200,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?b) Qual o total da sua depreciação daqui a 3 anos?c) Daqui a quanto o valor da máquina será nulo?

2) Daqui a 2 anos o valor de um computador será de $ 5.000,00 e daqui a 4 anos será $ 4.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual o valor hoje?b) Qual o seu valor daqui a 5 anos?

3) Daqui a 3 anos, a depreciação total de um automóvel será de $ 5.000,00, e seu valor daqui a 5 anos será $ 10.000,00. qual seu valor Hoje?

4) Um equipamento de informática é comprado por $ 10.000,00 e após 6 anos seu valor estimado é de $ 2.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual a equação do valor daqui a x anos?b) Qual a depreciação total daqui a 4 anos?

Respostas esperadas:1) a) $ 1.400,00 b) $ 600,00 c) 10 anos2) a) $ 6.000,00 b) $ 3.500,003) $ 18.333,33

4)

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