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Sumário Equação Exponencial ................................................... 1
Equação Exponencial .......................................................................................................................................... 1
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1
Método da redução à base comum .................................................................................................................... 1
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1
Equação Exponencial ................................................... 1
Resolução por artifícios ....................................................................................................................................... 1
1º artifício – o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência. ...... 1
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................... 2
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL .............. 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 4
Gráficos com Translação .............................................. 4
Gráficos com reflexão ......................................................................................................................................... 4
CASO GERAL ................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
Conjunto-Imagem ............................................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
PROBLEMAS ................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL.......................................... 6
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 7
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7
Questões extras .................................................................................................................................................. 7
GABARITO ........................................................................................................................................................... 9
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 9
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 9
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 9
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01 Equação Exponencial
Equação Exponencial Uma equação exponencial é aquela cuja incógnita
aparece no expoente.
Exemplo 1
• 2𝑥 = 4
• (√3)𝑥
= 9
• 2𝑥 + 𝜋 = 3
• 5𝑥2= 7
Avaliando a primeira equação do exemplo acima,
observamos que
2𝑥 = 4 ⟺ 2𝑥 = 22 ⟺ 𝑥 = 2
Assim, vemos que é possível resolvermos essas
equações. No entanto, veremos a seguir que há
técnicas de resolução distintas para cada tipo de
equação exponencial.
Método da redução à base comum Um dos métodos para resolver equações exponenciais consiste em reduzir, quando possível, ambos os membros da igualdade a uma mesma base e utilizar a seguinte propriedade:
𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 (𝑎 ∈ ℝ+∗ 𝑒 𝑎 ≠ 1)
Exemplo 2
(1
3)
𝑥= 9 ⟺ (3−1)𝑥 = 32 ⟺ 3−𝑥 = 32 ⟺ 𝑥 = −2
Obs.1: Com o presente conhecimento, nem sempre
conseguimos igualar as bases.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Resolva, em ℝ, as equações:
a) 2𝑥 = 128
b) (√23
)𝑥
= 128
c) 3𝑥 = 1
d) 1252𝑥−1 = 0,04
e) 22𝑥+1 ∙ 4(3𝑥+1) = 8𝑥−1
f) 3𝑥2+2𝑥 = 243
DESAFIO: Resolva a equação exponencial
3𝑥 + 3−𝑥
3𝑥 − 3−𝑥= 2
Obs.2: Lembre-se que 𝑎0 = 1, ∀𝑎 ∈ ℝ∗.
AULA 02 Equação Exponencial
Resolução por artifícios Nem sempre o processo de igualar as bases é feito de
forma direta. Quando houver somas na base da
potência, pode-se tornar necessário aplicar um
artifício.
1º artifício – o primeiro artifício consiste em
colocarmos o termo comum, com incógnita, em
evidência.
Exemplo 1
2𝑥+2 − 3 ∙ 2𝑥−1 = 20
Para utilizar o primeiro artifício, faça o seguinte passo-
a-passo:
Base comum
Lembre-se que a propriedade apresentada
se aplica apenas aos casos nos quais se é possível
reduzir a equação a uma igualdade com apenas
duas potências de mesma base, uma de cada lado
da igualdade. Note que, no caso a seguir,
2𝑥 + 1 = 22
não é possível se fazer tal redução.
Uma boa ferramenta para igualar as bases
dos membros da equação é fatorar os números em
divisores primos. Utilize também as propriedades
relacionadas às potências.
TAREFA 1 – PSA 1, 2, 4, 6, 7 e 8.
Fração
No estudo de equações exponenciais,
evitaremos utilizar números na forma decimal.
Transforme-os em fração, pois o processo de igualar
as bases fica mais fácil nessa forma.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
1º) Identifique quem é o termo comum e faça-o
aparecer livre em cada parcela.
2𝑥+2 − 3 ∙ 2𝑥−1 = 20
⟺ 2𝑥 ∙ 22 − 3 ∙ 2𝑥 ∙ 2−1 = 20
⟺ 4 ∙ 2𝑥 −3
2∙ 2𝑥 = 20
2º) Coloque o termo comum em evidência.
⟺ 2𝑥 ∙ (4 −3
2) = 20
3º) Isole o termo com incógnita e iguale as bases.
Determine o resultado utilizando a propriedade.
⟺ 2𝑥 = 8
⟺ 𝑥 = 3
Obs.3: Utilize o primeiro artifício quando a equação
dada apresentar todas as incógnitas como expoentes
de números que podem ser reduzidos a uma mesma
base. Em geral, há somas e subtrações nos expoentes.
2º artifício – o segundo artifício consiste na criação, e
substituição, de uma variável auxiliar.
Exemplo 2
4𝑥 − 2𝑥 = 12
Para utilizar o segundo artifício, faça o seguinte passo-
a-passo:
1º) Identifique quem é o termo comum (por vezes faz-
se necessário fatorar alguma(s) base(s)) e faça ele
aparecer livre em cada parcela.
4𝑥 − 2𝑥 = 12
⟺ (2𝑥)2 − 2𝑥 = 12
2º) Crie uma variável auxiliar e faça a substituição
(𝑦 = 𝑎𝑥).
Tomando 𝑦 = 2𝑥, temos que
𝑦2 − 𝑦 − 12 = 0
3º) Resolva a equação na nova incógnita.
𝑦 = 4 ou 𝑦 = −3
4º) Retorne à variável original e determine seu valor.
2𝑥 = 𝑦
⟺ 2𝑥 = 4 𝑜𝑢 2𝑥 = −3
⟺ 𝑥 = 2
Obs.4: Lembre-se que 𝑎𝑥 é sempre positivo, se 𝑎 > 0 .
Obs.5: Utilize o segundo artifício quando, no processo
para evidenciar a base comum, aparecer potências da
mesma base em diferentes graus e com somas entre
elas.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Resolva, em ℝ, as seguintes equações.
a) 5𝑥+3 − 5𝑥+2 − 11 ∙ 5𝑥 = 89
b) 25𝑥 − 23 ∙ 5𝑥 = 50
AULA 03
O CONCEITO DE FUNÇÃO
EXPONENCIAL Uma função 𝑓: ℝ → ℝ+
∗ é denominada função
exponencial de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser
escrita como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1.
Exemplos:
1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = (1
2)
𝑥
2) 𝑦 = ℎ(𝑥) = √3𝑥
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.1. Identifique quais funções a seguir são exemplos
de função exponencial.
a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 7𝑥
b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = (2𝑥)𝑥
c) ℎ: ℝ → ℝ ; ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)2 − 𝑥2
d) 𝑖: ℝ → ℝ ; 𝑖(𝑥) =2𝑥+1−2𝑥
2𝑥
e) 𝑗: ℝ → ℝ ; 𝑗(𝑥) =2𝑥+2−2𝑥
3
3.2. Dada a função 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥, determine
a) 𝑓(2)
TAREFA 2 – PSA 10, 11, 13 e 16.
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b) 𝑓(−2)
c) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 8
d) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = −4
O GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Vamos começar o estudo do gráfico de uma função
exponencial por meio de dois exemplos:
Exemplo 1
Gráfico de 𝒇: ℝ → ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙.
Para construir o gráfico de f escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑥; 𝑦) −2 0,25 𝐴(−2; 0,25) −1 0,5 𝐵(−1; 0,5) 0 1 𝐶(0; 1)
1 2 𝐷(1; 2)
2 4 𝐸(2; 4) 3 8 𝐹(3; 8)
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, podemos construir o
seguinte gráfico:
Obs.1: Repare que 2𝑥 > 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Por isso,
o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das abscissas, por
mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre
com uma curva, dizemos que ela é assíntótica ao eixo
das abscissas.
Exemplo 2
Gráfico de 𝒈: ℝ → ℝ , 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = (𝟏
𝟐)
𝒙.
Para construir o gráfico de g escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝑥; 𝑦) 2 0,25 𝐴(2; 0,25)
1 0,5 𝐵(1; 0,5) 0 1 𝐶(0; 1)
−1 2 𝐷(−1; 2)
−2 4 𝐸(−2; 4) −3 8 𝐹(−3; 8)
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o
seguinte gráfico:
De um modo geral, o gráfico de uma função
exponencial f, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e
𝑎 ≠ 1, apresentará algumas características. São elas:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
𝟎 < 𝑎 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente
Passa pelo ponto (0, 1) Passa pelo ponto (0, 1)
Acima do eixo das abscissas
Acima do eixo das abscissas.
I. Todo o gráfico estará contido acima do eixo
das abscissas, pois, sendo 𝑎 > 0, temos
𝑎𝑥 > 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ.
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II. O gráfico sempre passa pelo ponto (0, 1), pois
𝑎0 = 1 para todo 𝑥 ∈ ℝ+∗ .
III. Se 𝒂 > 1, então o gráfico será crescente e se
𝟎 < 𝑎 < 1, então o gráfico será decrescente.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Construa, em um sistema de eixos
perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função
exponencial a seguir.
a) 𝑓: ℝ → ℝ+∗ ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥
b) 𝑔: ℝ → ℝ+∗ ; 𝑔(𝑥) = (
1
3)
𝑥
AULA 04
Gráficos com Translação Obs.1: Para auxiliar nos estudos dessa parte, você
deve fazer o download do app "geogebra". Ele é um
aplicativo gratuito.
Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das
funções a seguir.
a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥
b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = 3 + 2𝑥
c) ℎ: ℝ → ℝ ; ℎ(𝑥) = −1 + 2𝑥
Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓
transladado três unidades para cima e que o gráfico
de ℎ é o gráfico de 𝑓 transladado uma unidade para
baixo.
De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ →
ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝑎𝑥 , com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, será a
translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 em:
• B unidades para cima, se 𝑩 > 0,
• |𝑩| unidades para baixo, se 𝑩 < 0.
Nesses casos, a curva da função f será assintótica à
reta 𝒚 = 𝑩. Veja exemplo abaixo (𝑩 > 0).
Gráficos com reflexão Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das
funções a seguir.
a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 2𝑥
b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = (−3) ∙ 2𝑥
Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓
refletido pelo eixo 𝑥.
De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ →
ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐶 ∙ 𝑎𝑥 , com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, com 𝑪 <
0, será a reflexão pelo eixo x do gráfico da função
𝑔(𝑥) = |𝐶| ∙ 𝑎𝑥.
Veja o exemplo abaixo.
TAREFA 3 – Ler p. de 1 a 5 e fazer os PSA 14 e 15 (Cap. 3).
Como construir um gráfico no geogebra?
Para construir um gráfico no geogebra siga os
seguintes passos:
1. Clique no "campo de entrada"
2. Comece a escrita da função sempre com "y="
3. Depois do igual digite a função desejada,
lembrando que para escrever potência usa-se
o símbolo "^". (por exemplo, para escrever
𝑥3 escreve-se x^3)
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5
Obs.2: Com 𝐶 > 0 a curvatura do gráfico irá se
alterar, porém ele não será refletido.
CASO GERAL
Considere a função 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥, em
que 𝑎, 𝐵 e 𝐶 são constantes reais, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
Essa função pode ser considerada como um caso geral
para funções que envolvem exponencial. O gráfico
dessa função é gerado por translações e reflexões do
gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Utilizando translação e reflexão esboce o gráfico
das funções:
a) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2 + 3 ∙ 2𝑥
b) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 + 2𝑥
c) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 − 2𝑥
Conjunto-Imagem O conjunto-imagem da função exponencial 𝑓: ℝ →
ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝑎𝑘𝑥 é limitado pelo valor
assintótico da função, ou seja, se a função tem como
assíntota a reta 𝒚 = 𝑩, então seu conjunto imagem é
• 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 > 𝐵}
Ou
• 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ |𝑦 < 𝐵}
Para determinar em qual dos dois casos está a
situação, basta observar se o gráfico está ou não
refletido.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.2. Determine o conjunto-imagem das funções:
a) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2 + 3 ∙ 2𝑥
b) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 + 2𝑥
c) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 − 2𝑥
4.3. Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ, em que
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 5𝑥, com 𝑎 e 𝑏 constantes reais.
Sabendo que o conjunto-imagem da função 𝑓 é dado
por 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ |𝑦 > 3} e que 𝑓(2) = 53 é
correto afirmar que
a) 𝑎 + 𝑏 = 4
b) 𝑎 + 𝑏 = 5
c) 𝑎 − 𝑏 = −1
d) 𝑎 − 𝑏 = 0
e) 𝑎 ∙ 𝑏 = 4
AULA 05
PROBLEMAS Considere o caso geral da função exponencial 𝑓: ℝ →
ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥. Encontraremos vários
problemas que envolvem funções desse tipo para
descobrirmos os valores de B, C e k.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Um produto tem seu valor dado pela função
𝑃(𝑥) = 500 ∙ 2𝑘𝑥, em que x é o tempo em anos
contados a partir de 2003 (𝑥 = 0), e 𝑃(𝑥) é dado em
reais. Dado que em 2005 esse produto valia 1000
reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.
a) O valor do produto em 2003.
b) O valor do produto em 2007.
c) O ano em que o produto valerá 32000 reais.
Fórmula geral e gráfico
Observe que a fórmula geral da função exponencial
altera o gráfico da seguinte maneira:
𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝑎𝑘𝑥
REFLEXÃO
TRANSLAÇÃO
Resumidamente:
• 𝐶 > 0, não reflete.
• 𝐶 < 0, reflete (assíntota ).
• 𝐵 > 0, tranlada 𝐵 unidades para cima.
• 𝐵 < 0, translada |𝐵| unidades para baixo.
TAREFA 4 – Ler páginas 6 e de 11 a 15.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6
5.2. Para um refrigerador fechado, a sua temperatura
interna segue a lei 𝜃(𝑡) = 𝑘 ∙ (0,8)𝑡, em que 𝑡 é o
tempo em minutos, 𝜃 é a temperatura em graus
Celsius (° 𝐶) e k é uma constante real. Se após 1
minuto, a temperatura interna é de 20° 𝐶, a
temperatura interna após 3 minutos será de
A) 128 °𝐶.
B) 1,28 °𝐶.
C) 12,8 °𝐶.
D) 10,24 °𝐶.
E) 102,4 °𝐶.
5.3. Num período prolongado de seca, a variação da
quantidade de água, em litros, de certo reservatório é
dada pela função 𝑞(𝑡) = 𝑞0 ∙ 𝑏−𝑘𝑡, em que 𝑏 e 𝑘 são
constantes positivas, 𝑞(𝑡) é a quantidade de água
após t semanas e 𝑞0 é a quantidade inicial de água.
Sabe-se que 𝑞0 gramas dessa substância foram
reduzidas a 40% em 10 semanas. A que porcentagem
de 𝑞0 ficara reduzida a quantidade de água após 30
semanas:
A) 21,6%
B) 20%
C) 16%
D) 10%
E) 6,4%
Obs.2: Nem sempre é possível determinar todas as
constantes que aparecem na situação.
5.4. Em um experimento com uma colônia de
bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte
minutos após o início do experimento e, dez minutos
mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a
população da colônia cresce exponencialmente, de
acordo com a função 𝑃(𝑡) = 𝑃0 ∙ 𝑒𝑘𝑡, em que 𝑃0 é a
população inicial, 𝑘 é uma constante positiva e 𝑃(𝑡) é
a população t minutos após o início do experimento.
Calcule o valor de 𝑃0/100, desprezando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
Obs.3: A constante 𝑒 é um número irracional também
conhecido como “número de Euler”.
AULA 06
INEQUAÇÃO
EXPONENCIAL Antes de entrarmos no estudo de inequações
exponenciais vamos fazer uma análise que é válida
para qualquer função.
Considere uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Vamos
avaliar o seu comportamento quanto ao
crescimento/decrescimento
• Se f é crescente em todo seu domínio, então
para dois valores, 𝑥1 e 𝑥2, pertencentes a 𝐴,
temos que
𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 ⇔ 𝒇(𝒙𝟏) < 𝑓(𝒙𝟐)
Determinação das constantes
Em grande parte dos problemas que envolvem
função exponencial é solicitado (ou é necessário) que
se encontre os valores das constantes. Um dos
principais métodos para se determinar constantes é
substituir valores numéricos. Estes podem ser
encontrados
• No enunciado
• Em gráficos
• Em tabelas
Lembre-se que valores numéricos são objetos do tipo
𝑓(2) = 3, por exemplo. TAREFA 5 – PSA 16 a 20 (Cap. 3)
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7
• Se f é decrescente em todo seu domínio,
então para dois valores, 𝑥1 e 𝑥2, pertencentes
a A, temos que
𝒙𝟐 < 𝒙𝟏 ⇔ 𝒇(𝒙𝟐) > 𝑓(𝒙𝟏)
No estudo das funções exponenciais dividimos
as funções em dois casos de acordo com sua base real
a.
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
𝟎 < 𝑎 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente
Assim podemos concluir que
• Se 𝒂 > 1, então
𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐
• Se 𝟎 < 𝑎 < 1, então
𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.1. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir.
a) 2𝑥 > 8
b) 9𝑥 < 27
c) 0,2𝑥 <1
125
d) 3 ∙ 7𝑥 > 147
e) 2𝑥+2 − 2𝑥+1 + 2𝑥 > 96
f) 32𝑥 − 10 ∙ 3𝑥 > −9
EXTRA CAIU NO VEST 1. (ITA – 2013) A soma de todos os números reais x
que satisfazem a equação 8√𝑥+1 + 44 ∙ 2√𝑥+1 + 64 =
19 ∙ 4√ 𝑥+1. É igual a:
a) 8. b) 12. c) 16. d) 18. e) 20.
Questões extras
1) A soma das raízes da equação 1
100000⋅ 10𝑥 =
√10−6𝑥 é igual a
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
TAREFA 6 – Ler páginas de 1 a 4 e fazer os PSA 1 a 5, 9,
13 e 17. DESAFIO: 7, 8 e 12
Como resolver inequações exponenciais
O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de
inequações exponenciais:
1º) Reduza ambos os membros a uma base comum
2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏)
3º) Aplique a respectiva definição feita acima.
Note que para reduzir ambos os membros a uma base
comum, pode ser necessário fazer uso dos artifícios.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8
2) A raiz real da equação 3𝑥−1 + 3𝑥+1 + 3𝑥 = 351 é
(A) Um divisor de 3.
(B) Um múltiplo de 2.
(C) O inverso de 13.
(D) Igual a 15.
(E) Um número primo maior do que 3.
3) Se a equação 25𝑥+125
6= 5𝑥+1 admite como
soluções os números reais 𝑎 e 𝑏, então 𝑎𝑏 pode
ser igual a
(A) 1.
(B) 3.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 9.
4) O conjunto-solução, em ℝ, da equação 5𝑥 =
0,04, é igual a
a) {2}. b) {−2}. c) {25}. d) {−25}. e) ∅.
5) O conjunto-solução, em ℝ, da equação 22𝑥 =
12 + 2𝑥, possui
(A) Dois números reais opostos.
(B) Dois números reais cuja soma é igual a um.
(C) Um único número real cujo valor é maior que
dois.
(D) Um único número real cujo valor é igual a
dois.
(E) Um número negativo.
6) Em uma experiência observou-se que uma
substância se desintegra com o passar dos anos.
Sua massa 𝑀, existente após 𝑘 anos do início da
experiência, é dada por 𝑀 = 𝑀0 ⋅ (2,5)−𝑘
1000, em
que 𝑀0 representa uma massa inicial. Decorridos
1000 anos após o início da experiência, a
porcentagem de massa existente, em relação à
quantidade 𝑀0 é igual a
(A) 20%.
(B) 30%.
(C) 40%.
(D) 50%.
(E) 60%.
7) A massa de uma população de bactérias, ao final
de 𝑡 minutos, é dada pela lei 𝑓(𝑡) = 𝐶 ⋅ 4𝑘𝑡.
Sabendo que ao final de 1 minuto a massa dessa
população era 64 e que ao final de 3 minutos a
massa dessa mesma população era 256, calcule a
massa dessa população de bactérias ao final de 90
segundos.
8) O gráfico a seguir é uma representação cartesiana
do gráfico da função 𝑓: ℝ → ℝ, em que 𝑓(𝑥) =
𝑏 + 𝑎𝑥, com 𝑎, 𝑏 ℝ e 𝑎 > 0.
Dado que 1 é raiz de 𝑓 e a reta 𝑦 = −2 é uma
assíntota de 𝑓, o valor de 𝑎 + 𝑏 é igual a
(A) -2.
(B) -1.
(C) 0.
(D) 1.
(E) 2.
9) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 24𝑥+1 ⋅ 8−𝑥+3 =1
16
b) (1
5)
3𝑥: 252+𝑥 = 5
c) (√10)𝑥
⋅ (0,01)4𝑥−1 =1
1000
10) Resolva os seguintes sistemas:
a) {(
1
2)
𝑥+2𝑦= 8
(1
3) = 3𝑥+𝑦
b) {100𝑥 ⋅ √10𝑦 = 10
0,1𝑥 ⋅ 0,01𝑦
2 = 0,01
11) Resolva as seguintes equações
a) 5𝑥+3 − 5𝑥+2 − 11 ⋅ 5𝑥 = 89
b) 4𝑥+1 + 4𝑥+2 − 4𝑥−1 − 4𝑥−2 = 315
c) 2𝑥 + 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 =15
2
d) 100𝑥 − 1 = 9 ⋅ (10𝑥 + 1)
e) 4𝑥−1 − 33 ⋅ 2𝑥 + 8 = 0
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GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 7S b) 21S c) 0S
d) 1
6S
e) 6
5S
f) 1 6; 1 6S
2.1. a) 0S b) 2S
3.1. a, e
3.2. a) 4 b) 1
4 c) 3 d) Não existe
4.1. Gráficos
4.2. a) 2, b) 2, c) , 2
4.3. B
5.1. a) 500 b) 2000 c) 2015
5.2. C
5.3. E
5.4. 17
6.1. a) | 3S x x b) 3
|2
S x x
c) | 2S x x d) | 3S x x
e) | 5S x x
f) | 0 ou 2S x x x
CAIU NO VEST 1. D
QUESTÕES EXTRAS 1. E
2. B
3. A
4. B
5. D
6. C
7. 64 2
8. C
9. a)-14 b) -1 c) 2
3
10. a) (1; −2) b) (0; 2)
11. a) 0 b) 2 c) -1 d) 1 e) 3; -2