FUNÇÃOTERCEIRA PARTE

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Equipe de Ensino de Matemática

/MECC/UN/CAMP

Encerramos, neste número da revista, a publicação do primeirovolume do texto FUNÇÃO, da equipe da UN/CAMP. No pró-ximo número, daremos inicio à publicação do segundo volume,no qual uma análise mais detalhada das representações grafi-cas de funções leva à função polinomial de primeiro grau.

SITUAçOes N9s 26, 27, 28, 29, 30 e 31

Sem perder de vista os conceitos iniciaissobre funçAo, domrnio, campo de variaçAo econjunto-imagem, desenvolvem-se, nestassituações, algumas idéias sobre funções injeti-vas, sobrejetivas e bijetivas.

A fim de facilitar este estudo e, ao mes-mo tempo, oferecer uma alternativa para arepresentaçAo de funções de domrnio finito,introduzem-se, na situaçAo n9 26, os diagra-mas de flechas.

No final do texto, a construçAo de gráfi-cos de uma mesma funçAoe domrnios diferen-tes permite identificar as alterações provoca-das no gráfico de uma funçAo,quando se variao seu domrnio.

Fig. 17 B

SITUAÇAo N9 26

Sejam

A = {1, 2, 3, 4 I eB = I O, " 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

1) Construa uma tabela. associando a cada ele-mento de A o seu dobro em B.

2) Esta lei é uma função?3) Sendo função. determine seu domínio, seu

campo de variação. seu conjunto-imagem econstrua o seu gréfico.

Nas situações anteriores, as funçõesforam representadas através de tllbellls fi griJ-ficos. O diagrama de flechas da figura 17mostra uma outra maneira de se representaruma função: as flechas indicam que cada ele-mento do domínio A está associado à suaimagem no campo de variação B.

oZ::io>tI:W

Observe a figura 17 e responda às ques-tões seguintes :

4) Todo elemento de B é correspondente dealgum elemento de A?

5) Existem dois elementos diferentes em A como mesmo correspondente em B?

a.:otI:-«::;:;:

15

Nesta sltuaçAo, trabalha-se uma funçAoinjetiva e nAo sobrejetiva, portanto, nAo bijeti-va, cujo domrnio é o conjunto A = t 1, 2,3, 4 }, cujo campo de variaçAo é o conjuntoB = t O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Ie cujoconjunto-imagem é 1m = t2, 4, 6, 8} c: B.

O gráfico da funçAo é:

Chama-se INJ ETIVA toda funçAo que, aquaisquer dois elementos distintos do seudomrnio, associa imagens distintas no seucampo de variaçAo.

Chama-se SOBREJETIVA toda funçAocujo conjunto-imagem coincide com o seucampo de variaçAo.

Toda funçAo simultaneamente injetiva esobrejetiva, diz-se BIJETIVA

As denominações injetiva, sobrejetiva ebijetiva nAo sAo mencionadas no texto do alu-no visto que, a esta altura, lhe seriam poucosignificativas. Presentemente, estas idéiasserAo tAo somente trabalhadas vindo, maistarde, a ser designadas pelo seu nome especr-fico.

A observaçAo do diagrama de flechasfacilitará as respostas a08 itens 4 e 5 destasituaçAo.

SITUAÇAo N' 27

SejamI-2, -1, O, 1, 2 } e\ O, 1, 4 I

A -B

1) Construa uma tabela associando a cada ele-mento de A o seu quadrado em B.

2) Esta relação é uma função?

16

3) Sendo função. construa um 'diagrama de fle-chas. determine o seu domínio. seu campo devariação e seu conjunto-imagem.

4) O que você pode concluir. comparando oconjunto-imagem com o conjunto B?

5) Verifique se há elementos distintos em A com amesma imagem em B. Dê exemplos.

Trata-se de uma funçAo sobrejetiva e nAoinjetiva, portanto, nAo bijetiva, onde o domrnioé o conjunto A = 1-2, -1, O, 1, 21. O conjuntoB = 10, 1, 41 é, ao mesmo tempo, campo devariaçAo e conjunto-imagem.

A observaçAo do diagrama de flechasfacilitará as respostas aos itens 4 e 5.

oZ:Jo>a:w

oa:.«~

tLoe

oelo

z-'o>a:w

oa:«~

F tL

SITUAÇAo N' 28

Seja A o conjunto dos alunos de sua equipee B o conjunto das séries do 1Q grau.

1) A relação que associa cada aluno da equipe àsua série. é uma função de A em B?

2) Sendo função. construa um diagrama deflechas. escreva o seu domínio. o seu campode variação e o seu conjunto-imagem.

3) O que você pode concluir. comparando o con-junto-imagem com o conjunto B?

4) Elementos distintos de A têm o mesmocorrespondente em B? Explique.

Tem-se, nesta situaçAo, um exemplo defunçAo constante nAo injetiva e nAo sobrejeti-va, portanto, nAo bijetiva.

O domrnio é o conjunto A. formado pelosalunos da equipe; o campo de variaçAo é oconjunto B = I" série. 2' série, ... 8' sériele o conjunto imagem é 1m = \6' série I c: B.

O diagrama de flechas facilitará as res-postas aos itens 3 e 4

f.- 1--,,1

k--.

1-... o 1 ..x

SITUAÇAo N' 29

Um veículo roda 8 km com um litro degasolina. Seu tanque comporta 40 litros.

1) Complete a tabela da figura 18.

oz~o>IIW

c..:

2II,«~

Fig. 18

2) Se A é o conjunto dos números da primeiracoluna da tabela e B é o conjunto dos nú-meros da segunda coluna, a relação que asso-cia aos elementos de A. os elementos de B éuma função?

3) Sendo função, construa um diagrama deflechas, escreva o seu domínio, o seu campüde variação e o seu conjunto-imagem.

4) O que você pode concluir, comparando o con-junto-imagem com o conjunto B?

5) Verifique se há elementos distintos em A coma mesma imagem em B. O que você conclui?

6) Copie o diagrama construído no item 3, inver-tendo o sentido das flechas. Este novo diagra-ma representa uma função de B em A?

7) Faça o mesmo para as situações n9s 26, 27 e28. Você obteve funções de B em A? Explique.

Nesta situaçAo, tem-se um exemplo defunção injetiva e sobrejetiva, portanto bijetiva,

O conjunto

A = [0,0;0,5;1,0;1,5;2,0;4,0; 10,0;25,0;40,0]é o domfnio da função, e o conjunto

B = [0,4; 8; 12; 16; 32; 80; 200; 320] é, ao

mesmo tempo, seu campo de variação e seuconjunto-imagem. Um diagrama de flechasfacilitará as conclusões aos itens 4 e 5.

Os itens 6 e 7 pretendem explorar a exis-tência de uma funçAo inversa para a8 funçõesconsideradas a partir da situação n' 25.

Invertendo-se o sentido das flechas nodiagrama obtém-se, nesta situaçAo n' 29, umafunção de B em A, o mesmo nAo ocorrendonas situações n' 26 (onde elementos do novodomrnio B ficarAo sem correspondente nocampo de variação A) e n's 27 e 28 (onde ele-mentos do novo domhiio B terão mais que umcorrespondente no campo de variaçAo A).

oz::;o>IIWa..oII.«~

17

litros km Rodados

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

4,0

10,0

25,0

40,0

x

SITUAÇAo ,N' 30

Responda às perguntas seguintes analisandoa figura 19, na página ao lado.

Discuta as respostas com seus colegas.

1) Quais destes diagramas representam umafunção de A em B? Escreva a relação querepresenta cada uma destas funções, usandox para representar os números de A e y pararepresentar os números de B.

2) Escreva o domínio, o campo de variação e oconjunto-imagem para cada função do item 1.

3) Faça o gráfico cartesiano de cada uma dasfunções do item 1.

4) Apresente pelo menos uma justificativa paraos casos em que os diagramas não represen-tam uma função de A em B.

5) Compare o campo de variação e o conjunto-i-magem de cada função e indique os casosonde ocorreu 1m = B.

6) Entre as funções do item 1, identifiqueaquelas onde dois elementos quaisquer distin-tos de A têm sempre imagem distinta em B.

7) Dos diagramas do item 1, quais representamuma função de B em A quando invertemos osentido das flechas?

8) Dos diagramas citados no item 7, quais foramtambém mencionados nos itens 5 e 6?

9) Analise sua resposta ao item anterior e expli-que como deve ser uma função de A em Bpara que seja possível determinar a sua inver-sa de B em A.

Nesta situaçAo, aparecem todos os con-ceitos abordados no desenrolar do texto,numa globalizaçAo dos vérios ângulos sob osquais uma funçAQ pode ser analisada.

As perguntas propostas na situaçAo estAorespondidas a seguir:

18

1) diagrama 1 : y = x + 1diagrama 3 : y = 2xdiagrama 4 : y = x2diagrama 6 : y = 5diagrama 7 : y = 2xdiagrama 8 : y = O se x é par

1 se x é rmpardiagrama 9 : y = 3.

2) 1. Dom = A; 1m = B /2,3,41; campo devariaçAo = B3. Dom = A; 1m = /6, 101 B; campo devariaçAo = B4.,Dom = A; 1m = 8 = /1, 91; campo devariaçAo = B6. Dom = A; 1m = {51 B; campo devariaçAo = B7.Dom = A; 1m = B {4, 6,8, 10/; campode variaçAo = B8. Dom = A; 1m = 1°' 11 B; campo devariaçAo = B9. Dom = A; 1m = {O, 3, 6, 91 B; campode variaçAo = B.

3) Vide Qréficos ã pégina

4) diagrama 2: NAo representa uma funçAo deA em B, pois, 3 E A nA9 tem imagem emB.diagrama 5: NAo representa uma funçAo deA em B, pois, 4 E A tem duas imagens emB.diagrama 10: NAo representa uma funçAode A em B, pois, 5 E A nAo tem imagemem B e/ou 2 E A tem duas imagens em B.

5) diagrama 1 : y = x + 1diagrama 4 : y = Xl

diagrama 7 : y = 2x

6) diagrama 1 : y = x + 1diagrama 3 : y = 2xdiagrama 7 : y = 2xdiagrama 9 : y = 3x

7) diagrama 1 : y = x + 1diagrama 7 : y = 2x

8) diagrama 1 : y = x + 1diagrama 7 : y = 2x

9) A funçAo deve ser bijetiva, isto é, ter con-junto-imagem igual ao campo de variaçAoB e ser tal que, a quaisquer dois elementosdistintos do domrnio A, correspondam ima-gens distintas em B.

A

A

A

A

A

Fig. 19

B

B

B

B

B.

1

3

5

7

9

A

A

2

B

4

B

6

A

A

A

B

8

B

10

oz:Jo>c::w

cL

2B

c::-<I:~

19

SITUAÇAo N9 31

1) Construa num sistema de eixos o gráfico dafunção y = x + 1 cujo domínio é o conjunto~ dos números naturais. Qual é o conjunto-i-magem desta função 7

2) Num outro sistema de eixos, construa o gráfi-co de y = x + 1 usando, agora, o conjunto ldos números inteiros como domínio (não seesqueça de atribuir a x alguns valores inteirosnegativos). E agora qual é o conjuntoõimagemda função 7

3) Use um novo sisterr 'J de eixos para construiro gráfico da função y = x + 1, considerando,desta vez, o conjunto O dos números racionaiscomo domínio (procure atribuir a x valoresinteiros, fracionários e, dentre eles, algunsnegativos).

4) Escolha em cada um dos gráficos construídos,dois pontos bem próximos. Em qual dos gráfi-cos você pode marcar outros pontos entreesses que você escolheu 7

20

o

oz::;o>tr.w

a.:oa:-<!~

5) Compare os três gráficos construídos. Em qualdeles cada ponto tem vizinhos mais próximos 7Por quê 7

6) Qual é o conjunto-imagem da função do item37

Nesta situaçAo, o domrnio da funçAoy = x + 1 é gradativamente ampliado a fimde que se observe a conseqüente alteraçAo dogréfico. da funçAo.

Os itens 4 e 5 objetivam chamar aatençAo do estudante para a densidade doconjunto onde, entre dois números racionaisquaisquer, hé sempre outro número racional.o que nAo ocorre nos conjuntos nAo densos

1V

- -1

O 1 x

6V

- -1

O 1 x

3 Y

-1-

O 1 x

7Y

f- '-1

O 1 x

-

4Y

1

O 1 x

8Y

'- -1

O 1 x

9V

O 1 x

MICROSCÓPIODIDÁTICO m

FUNBC-C

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21

1) Dom = N 2) Dom = Z 3) Dom = o.

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