Um pouco da História dos Logaritmos

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.

Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.

O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica

b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …

os termos da progressão aritmética

1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...

então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

clique para ampliar.

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira; 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

como 8+5=13,

13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda. Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma simples operação de adição.

A fim de que os números da progressão geométrica estivessem bem próximos, para ser possível usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência

estabelecida, evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número

= 0,9999999, que é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele multiplicava cada potência

por 107. Então, se , ele chamava L de "logaritmo" do número N.

Assim, o logaritmo de Napier de é 0 e o de é 1.

Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 107.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema dos logaritmos.

Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.

Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.

Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.

Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.

Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a

passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:

Se você não tem a menor idéia do que seja um logarítmo, não se preocupe! Vamos começar, dando uma olhada na tabela abaixo:

Base

Expoente

Potência

Como se calcula a Potência

Comentários

Olhando esta linha você pode notar que quando temos como base 2 e expoente 3 podemos formar a potência 23 (lê-se assim: dois ao cubo ou então dois elevado a terceira potência).

2 3 23 2 x 2 x 2 = 8

Para calcular esta potência

basta fazer 2 x 2 x 2 que nos

dá como resultadoo número 8.

Logaritmos - Propriedades

Existem 3 propriedades dos logaritmos que são muito úteis para se resolver muitos dos problemas que enfrentaremos. Vejamos:

Logaritmo do produto

Logaritmo do quociente

Logaritmo da potência

Quando precisarmos calcular logaritmos de produto ou quociente ou potência, poderemos aplicar as regras que veremos agora.

Não esqueça: P.Q.P é Produto, Quociente ou Potência.

Logaritmo do Produto

Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um produto, digamos 8x4, ou seja log2(8.4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois somar. O resultado desta soma será o logaritmo de 8x4.

Vamos calcular log28 e log24.

Para calcularmos log2 (8.4), basta somarmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

Logaritmo do quociente

Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um quociente, digamos 8/4, ou seja log2 (8/4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois subtrai-los. O resultado desta subtração será o logaritmo de 8/4.

Vamos calcular log28 e log24.

Para calcularmos log2 (8/4), basta subtrairmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

Logaritmo da potência

Quando a gente precisar calcular Logaritmo de uma potência, digamos, 25 , ou seja log2 (25) é só a gente calcular o logaritmo de da base e depois multiplicar pelo expoente. O resultado desta operação será o logaritmo de 25.

Vamos calcular log22

Para calcularmos log2 (25), basta multiplicarmos o expoente 5 pelo logaritmo de 2 que acabamos de calcular:

Nomenclatura

Logaritmo decimal

Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10.

Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não escreve o 10, veja:

Log 100

Isto significa: "Logaritmo de 100 na base 10" Alguém poderia perguntar: E cadê a base ? Resposta: Quando o logaritmo é decimal, ou seja a base é 10 não é preciso escrevê-la pois todo mundo já sabe que vale 10.

Mas a gente não sabia ? Então agora nós já sabemos também !

"Isso é moleza !"

Mudança de base

Calcule log9 27 (logaritmo de 27 na base 9).Se tentarmos descobrir qual o expoente que elevará a base 9 para obtermos 27 veremos que é um pouco complicado...contudo existe uma maneira mais fácil: A mudança de base.

Como se faz isto ? Simples: calule o log de 27 na nova base e divida pelo log de 9 na nova base também. Veja ao lado:

O importante é a gente escolher uma base que possibilite calcular os logaritmos tanto do 27 como do 9 (base inicial). Ah! Essa nova base deverá ser a mesma para os dois. Veja ao lado!

log3 27

________ = 3/2

log3 9

Desta forma, log9 27 = 3/2

  Função logarítmica

         Toda função f : R -> R definida por f (x) = log ax, com a E R, 0 < a 1 e x E R, é denominada função exponencial de base a.

         Gráfico

o       Quando a > 1 crescente                                                                             Quando 0 < a < 1 decrescente

   Domínio: f (x) = log ax , pela definição temos:

                           x > 0  ,   a > 0   e   a 1

f(x) = log2 x

f(x) = log2 x

         Resolução de uma equação:

1) Observar a condição de existência (CE);

2) Resolver a equação;

3) Verificar se as soluções satisfazem a condição de existência:

Log ab = x b = ax 

Exemplo:

1) Resolver a equação log4 x = 2

Resolução: CE: x > 0

Log4 x = 2 x = 42 x = 16

Verificação: x > 0 16 > 0 (verdadeiro)

Resposta: S = { 16 }

2) Determinar o conjunto solução da equação logx(3x2 – x) = 2

Resolução: CE  

3x2 – x > 0 x>0 e x 1          

logx (3x2 – x) = 2      

3x2 – x = x2

2x2 – x = 0 x (2x – 1) = 0

 x´= 0

x´´=1/2

Verificação:

Para x = 00 – 0 > 0 (F)para x = ½3.1/4 – ½ > 0 (V)½ > 0  e ½ 1 (V)Resposta: S = {1/2}

         Estudo do sinal

Quando a > 1    log a x > 0    x > 1                 Quando 0 < a < 1 log a x < 0    x > 1

                             log a x = 0    x = 1                                                   log a x = 0    x = 1

                             log a x < 0    0 < x <1                                              log a x > 0   0 < x < 1

         Inequação logarítmica

         Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:

o        Quando a > 1 x2 > x1    log a x2 > log a x1   (conserva o sentido da desigualdade)

             Quando 0 < a < 1    x2 > x1    log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da desigualdade)

Exemplos:

1) Resolver a inequação log3(5x – 1) > log3 4

Resolução: Devemos inicialmente resolver a condição de existência:

5x – 1 > 0 x > 1/5 (I)

Como a base é maior que 1, a função é crescente (conserva o sinal)

5x – 1>4

x > 1 (II)

Tomando a intersecção entre os intercalos (I) e (II): x>1

Resposta: {x R| x > 1}

2) Resolver a inequação log1/2 (x – 3) log1/24

Resolução:

CE: x – 3 > 0 x > 3 (I)

Como a base é menor que 1 , temos que a função é decrescente.

4 x – 3

3 + 4 x

7 x (II)

tomando a intersecção de (I) e (II), 7 x > 3.

Resposta: S ={x R| 7 x > 3.}

http://www.passei.com.br/topico.php?file=matematica/f_logaritmica.html

http://www.portalsaofrancisco.com.br