Funcao Modular

Francisco Adriano Gomes Bezerra

02/05/09

A Matematica e a honra do espırito humano. (Leibniz)

Resumo

O presente texto consiste em um resumo teorico sobre funcao Modular, onde foramabordos os assuntos de modulo, equacao e inequacao modular e funcao modular.

1 Modulo

Definicao 1. Seja x ∈ R, o modulo ou valor absoluto de x e definido por:

|x| ={

x, se x ≥ 0−x, se x < 0

Onde: |x| representa o modulo do numero x.

Exemplo 1. Calculemos o modolo dos numeros: 2, −3, −4

5e −√2

Temos que:

|2| = 2 | − 3| = 3∣∣∣− 4

5

∣∣∣ =4

5| − √2| = √

2

Assim podemos concluir que:

1. O modulo de um numero nao negativo e igual ao proprio numero;

2. O modulo de um numero negativo e igual ao oposto dese numero.

1.1 Propriedades

Decorrem da definicao as seguintes propriedades:

1. |x| = x2, ∀x, y ∈ R2. |x + y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ R (desigualdade triangular)

3. |x · y| = |x| · |y|, ∀x, y ∈ R

1.2 Interpretacao Geometrica do Modulo de um numero

O valor absoluto de um numero a e, na reta, a distancia entre o ponto a e a origem. Isto e, |a|corresponde a distancia do ponto a ao ponto 0. Veja a figura 01.

1

Figura 1: modulo

2 Equacao Modular

Definicao 2. Toda equacao que contiver suas incognitas em modulo em qualquer membro serachamada de equacao modular.

I. Metodo de resolucao: Devemos considerar a propriedade

|x| = a ⇐⇒ x = a ou x = −a

Exemplo 2. Calculemos a equacao modular dada por |2x− 1| = 3.

resolucao:

Pela propriedade |2x− 1| = 3 gera duas equacoes, entao temos:

2x− 1 = 3 =⇒ 2x = 3 + 1

=⇒ 2x = 4

=⇒ x = 2 (1)

2x− 1 = −3 =⇒ 2x = −3 + 1

=⇒ 2x = −2

=⇒ x = −1 (2)

Logo a solucao e S = {2,−1}

II. Metodo de resolucao: Devemos considerar a propriedade

|x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y

Exemplo 3. Calculemos a equacao modular dada por |3x− 1| = |2x + 3|

resolucao:

2

Pela propriedade |3x− 1| = |2x + 3| gera duas equacoes, entao temos:

3x− 1 = 2x + 3 =⇒ 3x− 2x = 3 + 1

=⇒ x = 4 (3)

3x− 1 = −(2x + 3) =⇒ 3x− 1 = −2x− 3

=⇒ 3x + 2x = −3 + 1

=⇒ 5x = −2

=⇒ x = −2

5(4)

Logo a solucao e S =

{4,−2

5

}

III. Metodo de resolucao: Devemos considerar a propriedade

|x| = k ⇐⇒ k ≥ 0

Exemplo 4. Calculemos a equacao modular dada por |x + 1| = 3x + 2

resolucao:

Pela propriedade |x + 1| = 3x + 2 gera duas equacoes. Entretanto inicialmente devemosfazer o teste do metodo III, ou seja:

3x + 2 ≥ 0 =⇒ 3x ≥ −2

=⇒ x ≥ −2

3(5)

Agora resolvendo as equacoes, temos:

x + 1 = 3x + 2 =⇒ x− 3x = 2− 1

=⇒ −2x = 1

=⇒ x = −1

2(6)

x + 1 = −(3x + 2) =⇒ x + 1 = −3x− 2

=⇒ x + 3x = −2− 1

=⇒ 4x = −3

=⇒ x = −3

4(7)

Pelo que foi estabelecido em (5), temos que (7) nao comvem, por que? Logo a solucao e

S =

{− 1

2

}

3

3 Inequacao Modular

Definicao 3. Toda inequacao que contiver suas incognitas em modulo em qualquer membrosera chamada de inequacao modular.

I. Metodo de resolucao: Devemos considerar as propriedades

|x| < a ⇐⇒ −a < x < a ou |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a

Exemplo 5. Calculemos a inequacao dada por |2x− 1| < 3.

resolucao:

pela propriedade temos:

|2x− 1| < 3 =⇒ −3 < 2x− 1 < 3

=⇒ 1− 3 < 2x− 1 + 1 < 3 + 1

=⇒ −2

2<

2x

2<

4

2=⇒ −1 < x < 2 (8)

Logo a solucao e S = {x ∈ R| − 1 < x < 2}II. Metodo de resolucao: Devemos considerar as propriedades

|x| > a ⇐⇒ x < −a ou x > a ou |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ou x ≤ a

Exemplo 6. Calculemos a inequacao dada por |4x− 3| ≥ 5.

resolucao:

pela propriedade temos:

4x− 3 ≤ −5 =⇒ 4x ≤ −5 + 3

=⇒ 4x ≤ −2

=⇒ x ≤ −2

4

=⇒ x ≤ −1

2(9)

ou

4x− 3 ≥ 5 =⇒ 4x ≥ 5 + 3

=⇒ 4x ≥ 8

=⇒ x ≥ 2 (10)

Logo de (9) e (10) a solucao e S =

{x ∈ R|x ≤ −1

2ou x ≥ 2

}

4

4 Funcao Modular

Definicao 4. Denomina-se funcao modulo ou funcao modular toda funcao f : R −→ R definidapor f(x) = |x|.

• Caracterısticas

1. Domınio: Df = R2. Imagem: Imf = R+

3. Grafico

1 2

1

2

x

y

0−2 −1

Figura 2: funcao modular

Exemplo 7. Considere a funcao modular dada por f(x) = |x− 2|, construa seu grafico.

resolucao:

Inicialmente devemos fazer f(x) = 0.

x− 2 = 0 =⇒ x = 2 (11)

Agora considere a definicao de modulo:

|x− 2| ={

x− 2, se x ≥ 2−(x− 2), se x < 2

(12)

Portanto atribuindo valores a x deacordo com (12), temos os seguintes pontos, para:

x = 2 =⇒ y = x− 2

=⇒ y = 2− 2

=⇒ y = 0 (13)

5

x = 5 =⇒ y = x− 2

=⇒ y = 5− 2

=⇒ y = 3 (14)

x = −4 =⇒ y = −(x− 2)

=⇒ y = −(−4− 2)

=⇒ y = −(−6)

=⇒ y = 6 (15)

y

x

Figura 3: grafico de f(x) = |x− 2|

6

5 Exercıcios - Funcao Modular

1. (UVA-2003.1) O conjunto solucao |x + 3| ≤ |1− x| e o conjunto de numeros x tais que:

(a) {x ∈ R|x ∈ (−∞,−2)}(b) {x ∈ R|x ∈ (−∞,−3)}(c) {x ∈ R|x ∈ (−∞,−1)}(d) {x ∈ R|x ∈ (−∞, 0)}

2. (UVA-2008.2) Sabendo que as solucoes da equacao |x|2 − 6|x| − 16 = 0 sao raızes daequacao x2 −mx + n = 0 podemos afirmar que:

(a) m = 0 e n = 64(b) m = 0 e n = −64(c) m = 64 e n = −64(c) m = −64 e n = 64

3. (UFC - 2008) Dadas as funcoes f : R −→ R e g : R −→ R definidas por f(x) = |1− x2| eg(x) = |x| , o numero de pontos na intersecao do grafico de f com o grafico de g e iguala:

(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2 (e) 1

4. (UECE) Seja a funcao f : R −→ R definida por

f(x) =

{ |x|+ 3, se |x| ≤ 2|x− 3|, se |x| > 2

o valor de f(f(f(...f(0)...)))

(a) e 0.(b) pode ser 1.(c) e 3.(d) pode ser 3.(e) e impossıvel de ser calculado.

5. (Fuvest - SP) Qual o conjunto dos valores assumidos pela expressao:

a

|a| +b

|b| +c

|c| +abc

|abc|Quando a, b, c variam no conjunto de todos os numeros reais nao nulos?

(a) {−4, −3, −2, 0, 1, 2, 3, 4}(b) {−4, −2, 0, 2, 4}(c) {−4, 0, 4}(d) {4}(e) R

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Referencias

[1] IEZZI, Gelson & MURAKAMI, Carlos; Fundamentos de Matematica Elementar - Vol.1 -7 ed. - Sao Paulo: Atual, 1993.

[2] Bonjorno, J. Roberto & Giovanni, J. Ruy; De olho no vestibular - Vol.1 - Sao Paulo: FTD,1996.

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