LAS FUNCIONES
E
n matemticas, se dice que una magnitud o cantidad es funcin de
otra si el valor de la
primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por
ejemplo el rea A de uncrculo es funcin de su radio r: el valor del
rea es proporcional al cuadrado del radioA = r2 . Del mismo modo,
la duracin T de un viaje de tren entre dos ciudadesseparadas por
una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este
sedesplace: la duracin es inversamente proporcional a la velocidad,
d / v . A laprimera magnitud (el rea, la duracin) se la denomina
variable dependiente, y lacantidad de la que depende (el radio, la
velocidad) es la variable independiente .En anlisis matemtico, el
concepto general de funcin , aplicacin o mapeo se refierea una
regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un nico
elemento deun segundo conjunto (correspondencia matemtica ). Por
ejemplo, cada nmeroentero posee un nico cuadrado, que resulta ser
un nmero natural (incluyendoel cero):
... 2
+4, 1 +1, 0
0,
+1
+1, +2 +4, +3
+9, ...
Esta asignacin constituye una funcin entre el conjunto de los
nmeros enteros Z y el conjunto de los nmeros naturales N. Aunque
las funciones que manipulannmeros son las ms conocidas, no son el
nico ejemplo: puede imaginarse unafuncin que a cada palabra del
espaol le asigne su letra inicial:..
., Estacin
E, Museo
M, Arroyo
A, Rosa
R, Avin
A, ..
.
Esta es una funcin entre el conjunto de las palabras del espaol
y el conjunto de lasletras del alfabeto espaol. La manera habitual
de denotar una funcin
f es:f: A B
a f( a),
donde A es el dominio de la funcin f, su primer conjunto o
conjunto de partida; y Bes el codominio de f, su segundo conjunto o
conjunto de llegada. Por f( a) se denota laregla o algoritmo para
obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominioA ,
es decir, el (nico) objeto de B que le corresponde. En ocasiones
esta expresin essuficiente para especificar la funcin por completo,
infiriendo el dominio ycodominio por el contexto. En el ejemplo
anterior, las funciones cuadrado einicial, llmeseles f y g , se
denotaran entonces como: f: Z N
k k 2, o sencillamente f( k) = k 2 ;
g : V A
p Inicial de p ;
si se conviene V = {Palabras del espaol} y
A = {Alfabeto espaol}.
Una funcin puede representarse de diversas formas: mediante el
citadoalgoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada
elemento, mediante unatabla de valores que empareje cada valor de
la variable independiente con su imagen como las mostradas arriba,
o como una grfica que d una imagen de la funcin.El concepto de
funcin como un objeto matemtico independiente, susceptible deser
estudiado por s solo, no apareci hasta los inicios del clculo en el
siglo XVII .[1]Ren Descartes , Isaac Newton y Gottfried Leibniz
establecieron la idea de funcincomo dependencia entre dos
cantidades variables. Leibniz en particular acu lostrminos funcin,
variable, constante y parmetro. La notacin f(x ) fueutilizada por
primera vez por A.C. Clairaut y por Leonhard Euler en su obra,
Commentarii de San petersburgo en 1736. Inicialmente, una funcin
se identificaba aefectos prcticos con una expresin analtica que
permita calcular sus valores.Sin embargo, esta definicin tena
algunas limitaciones: expresiones distintas puedenarrojar los
mismos valores, y no todas lasdependencias entre dos
cantidadespueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet
propuso la definicin moderna defuncin numrica como una
correspondencia cualquiera entre dosconjuntos de nmeros, que asocia
a cada nmero en el primer conjunto un niconmero del segundo. La
intuicin sobre el concepto de funcintambin evolucion. Inicialmente
la dependencia entre dos cantidades seimaginaba como un proceso
fsico, de modo que su expresin algebraica capturaba la leyfsica que
corresponda a este. La tendencia a una mayor abstraccin se vio
reforzada amedida que se encontraron ejemplos de funciones sin
expresin analtica orepresentacin geomtrica sencillas, o sin relacin
con ningn fenmeno natural; ypor los ejemplos patolgicos como
funciones continuas sin derivada en ningnpunto .
Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl
Weierstrass , Georg Cantor ,partiendo de un estudio profundo de los
nmeros reales, desarrollaron la teora defunciones , siendo esta
teora independiente del sistema de numeracin empleado.[ cita
requerida ] Con el desarrollo de la teora de conjuntos, en los
siglos XIX y XXsurgi la definicin actual de funcin, como una
correspondencia entre dos conjuntos deobjetos cualesquiera, no
necesariamente numricos. [5] Tambin se asoci con otrosconceptos
vinculados como el de relacin binaria.Representacin grfica de la
velocidad de un cuerpo acelerado a 0,66 m/s 2 .Una funcin es un
objeto matemtico que se utiliza para expresar la dependencia
entredos magnitudes, y puede presentarse a travs de varios aspectos
complementarios.Un ejemplo habitual de funcin numrica es la relacin
entre la posicin y el tiempo enel movimiento de un cuerpo. Un mvil
que se desplaza con unaaceleracin de 0,66 m/s 2 recorre una
distancia d que est en funcin del tiempotranscurrido t. Se dice que
d es la variable dependiente de t , la variable independiente.Estas
magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento,
puedenconsignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte
en un instante en el quese conviene que el tiempo es t = 0 s.)
Las funciones inyectivas no repiten las imgenes: si b = f (a ),
ningn otro a' tienepor imagen a b , por lo que la anti-imagen de
este ltimo slo contiene al elemento a .Las funciones suprayectivas
recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede
estar vaca. La definicin de funcin suprayectiva asume que esta
tieneun codominio especificado previamente. De lo contrario, la
nocin de suprayectividadno tiene sentido. Cuando una funcinlgebra
de funciones Con las funciones puede realizarse unaoperacin de
composicin con propiedades similares a las de la multiplicacin.La
composicin g f acta sobre el objeto x transformndolo segn f,
ydespus transformando f( x ) mediante
g .
funciones
Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los
valores desalida de una de ellas como valores de entrada para la
otra., creando una nuevaEs decir, la composicin g f hace actuar
primero la funcin f sobre un elemento deA , y luego g sobre la
imagen que se obtenga: La condicin Im( f) C aseguraprecisamente que
este segundo paso se pueda llevar a cabo.
Ejemplos
La imagen de la funcin inverso g es R\ {0} puesto que todo nmero
real nonulo es el inverso de otro, y por tanto est contenido en el
dominio de la funcincubo f , que es R . La composicin f g : R \{0}
R acta entonces como f( g( x )) = f(1/x ) = (1/ x) 3 = 1/ x 3 .
Dadas las funciones reales h 1 : R R yh 2 : R R dadas por h 1( x )
= x2 y h2 ( x) = x+ 1, puede tomarse la composicin enambos rdenes,
h 1 h 2 y h 2 h 1 . Sin embargo, son funciones distintas, ya que:(h
1 h2 )( x ) = h1 ( h2 ( x)) = h 1( x + 1) = (x
+ 1) 2 = x2 + 2 x + 1, y
(h 2 h1 )( x ) = h2 ( h1 ( x)) = h 2( x2 ) = x 2 +
1
La funcin que clasifica los mamferos en gneros puede componerse
con lafuncin : G Or que clasifica los gneros de mamferos en rdenes
que forman elconjunto Or. La funcin asigna a cada mamfero su
orden:cada mamfero su orden:
Artculo principal: Funcin identidad En cualquier conjunto puede
definirse unafuncin identidad, que teniendo como dominio y
codominio al propio conjunto,asocia cada elemento consigo mismo.
Tambin se denota como I A. La funcinidentidad acta como un elemento
neutro al componer funciones, ya que no hacenada.
Es decir, dado un elemento x A , se tiene que:Artculo principal:
Funcin inversa Una funcin puede tener inversa, es decir,otra funcin
que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo
modoque un nmero multiplicado por su inverso
da 1.
No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas
que sean biyectivasposeen inversa: La notacin para funciones
inversas puedeser confusa. Para un elemento del codominio b, f 1 (
b ) puede denotar tanto laanti-imagen de b (un subconjunto del
dominio), como a la imagen de b por lafuncin inversa de f (un
elemento del dominio), en el caso de que f sea invertible.
Ejemplos.
La funcin exponencial h : R R , que asocia a cada nmero real su
exponencial, h( x) = e x , no es invertible, ya que no es
suprayectiva: ningn nmero negativopertenece a la imagen de h .
Existe una funcin que calcula el cambioentre dos divisas . En el
caso del cambio de rupias a quetzales (las monedas de la Indiay
Guatemala), la conversin est dada (en
2011) por:
Q (r ) = 0,15 r
Esta funcin de cambio tiene inversa, la conversin recproca de
quetzales a rupias:R (q ) = 6,65 q
La funcin cubo f (x ) = x 3 es invertible, ya que podemos
definir la funcin inversamediante la raz cbica, f 1 ( x ) = 3 x .
La funcin de clasificacin en gneros :M G no es invertible, ya que
no es inyectiva, y para cada gnero pueden existirvarios mamferos
clasificados en l. La funcin que asigna a cada da de lasemana su
siguiente tiene por inversa la funcin que asigna a cada da de la
semanasu antecesor:
Lunes Domingo, Martes Lunes,...,
Domingo Sbado
Artculo principal: Restriccin de una La funcin que asigna a cada
mujer delelectorado su voto es una restriccin de la funcin que a
cada miembro del electoradole asigna su voto.
La restriccin de una funcin dada es otra funcin definida en una
parte del dominiode la original, pero que acta igual que esta. Se
dice tambin que la primera es unaextensin de la segunda. La
restriccin de una funcin f: A B a unsubconjunto C A se denota por f
|C . Representacin de funcionesArtculo principal: Representacin
grfica de una funcinuna funcin Las funciones se pueden presentar
de
distintas maneras:
usando una relacin matemtica descrita mediante una expresin
matemtica:ecuaciones de la forma . Cuando la relacin es funcional,
es decirsatisface la segunda condicin de la definicin de funcin, se
puede definir unafuncin que se dice definida por la relacin, A
menos que se indique lo contrario, sesupone en tales casos que el
dominio es el mayor posible (respecto a inclusin) y queel codominio
son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el
dominionatural , de la funcin.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es
todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x , nmero entero, y
vale x ms dos unidades".
Como tabulacin : tabla que permite
representar algunos valores discretos de la
funcin.
Ejemplo:
Como pares ordenados: pares
ordenados, muy usados en teora de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),...
(x, x+2)}
Como grfica : grfica que permite visualizar las tendencias en la
funcin. Muyutilizada para las funciones continuas tpicas del
clculo, aunque tambin las haypara funciones discretas.
Ejemplo:
5 X
4 X
3 X
2 X
1 X
0 X
y / x -2 -1 0 1 2 3
Definicin formal.
Generalizaciones
Las funciones pueden definirse en trminos de otros objetos
matemticos, como los
conjuntos y los pares ordenados. En particular, una funcin es un
casoparticular de relacin binaria, luego su esta
definicin est basada en la que se adopte
para las relaciones. En el enfoque
extensivo se identifica una funcin con su
grfica :
Representar grficamente
funciones
LA REPRESENTCION GRAFICA DE LAS FUNCIONES
en gran cantidad de ocasiones en matemticas de bachillerato y
primeros cursos deuniversidad principalmente. Por eso es muy
importante tener claro cmo realizarlas. Sibien es cierto que
utilizando las aplicaciones de la derivada al estudio de funciones
juntocon algn que otro detalle podemos realizar de forma sencilla
esas representaciones en esartculo voy a explicar cmo podemos
hacerlo a partir de los coeficientes del polinomio yalguna cosilla
ms.
Representacin grfica de funciones polinmicas de grado 2Las
funciones polinmicas de grado 2 son del
tipo , con .Sus representaciones grficas son las famosas
parbolas . Hay dos posibles representacionesque dependen del signo
de . Son stas: Despus de conocer qu tipo de parbolatenemos hay que
ubicarla en el plano. La que veo como opcin ms razonable es
calcular elvrtice de la misma. Este clculo se realiza de
la siguiente forma:
Coordenada del vrtice:Coordenada del vrtice:Con estos datos en
muchos casos podemosdibujar laparbola. Si todava no lo tenemos
muy claro lo mejor es calcular un par depuntos dando a dos
valores, uno a la
izquierda de y otro a su derecha ysustituirlos en para calcular
suscoordenadas . Despus unimos el vrtice con
esos puntos con una curva y continuamos lamisma hacia el
infinito.
Representacin grfica de funciones
polinmicas de grado 3
Las funciones polinmicas de grado 3 son del
tipo , con
. Hay cuatro posiblesrepresentaciones grfica de este tipo de
funciones que dependen del signo de y de larelacin entre y . Por
tanto, para poder
representarlas debemos tener en cuenta suscoeficientes. Os dejo
una tabla con las cuatro
grficas posibles:Este tipo de funciones tienen un punto de
inflexin, es decir, un punto donde la
curvatura de la funcin cambia, esto es, lafuncin antes del punto
se curva de una forma
y pasa a curvarse de otra. El punto donde
ocurre ese hecho se calcula de la siguiente
forma:
Coordenada del punto de inflexin:
Coordenada del punto de inflexin:
Para obtener ms informacin sobre el la
representacin de la funcin tambin es til
calcular los puntos de corte con el eje
resolviendo la ecuacin . Una
funcin de este tipo puede tener uno, dos o
tres cortes con el eje .
Las funciones que cumplen que
cortan al eje en slo un punto. En este caso
habr que tener muy en cuenta el punto de
inflexin para poder representarlas de forma
correcta.
Las funciones que cumplen que
pueden tener uno, dos o tres puntos de corte
pero su representacin es la misma. En el caso
de que obtengamos dos soluciones reales (dos
puntos de corte por tanto) obliga a que una de
ellas aparezca dos veces (por ejemplo, para
ocurre eso). En ese
punto la funcin toca al eje y cambia de
monotona, es decir, si antes creca en ese
punto pasa a decrecer y viceversa. El punto de
inflexin no ser tan relevante para stas
aunque siempre puede calcularse para
asegurar ms la representacin.
Por todo esto la representacin grfica de las
funciones polinmicas de grado tres
comenzar viendo la relacin entre y
(con lo que sabremos la forma de la grfica )
y seguir calculando las soluciones reales de la
ecuacin (con lo que conoceremos
cuntos puntos de corte tiene la funcin
con ele eje ). En ese momento elegimos la
representacin correspondiente a la funcin
que tengamos y hacemos que la funcin pase
por esos puntos dndole la forma que nos
indica la tabla, teniendo en cuenta el detalle
del punto de inflexin en el caso en el que sea
necesario. Sin olvidar, claro est, que si con
todo esto no nos vemos capaces de realizar
INSTITUTO NACIONAL DE EDUCACION DIVERSIFICADA SAN
RAYMUNDONOMBRE:RONY ANTONIO RAYMUNDO ESTRADA
GRADO: 4TO COMPUTACION
SECCION:B
MATERIA:MATEMATICAS
TEMA
FUNCIONES GRAFICAS
