Funcion de Demanda Marshall Ian A y a

TEORÍA DE LA DEMANDA - CURSO 2002

Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi y Máximo Rossi

CONTENIDO:

(1) Las preferencias del consumidor. Función de utilidad y curvas de indiferencia. Tasa marginal de sustituciónentre bienes.

(2) La restricción presupuestaria.

(3) Derivación de la curva de demanda.

(4) La demanda marshalliana.

(5) La demanda ingreso compensada de Hicks. El teorema de Euler.

(6) Elasticidad. Elasticidad precio (demanda perfectamente inelástica, inelástica, unitaria, elástica, infinitamenteelástica). Elasticidad cruzada (bienes sustitutos, independientes, complementarios). Elasticidad ingreso (bienesnormales, superiores o de lujo, necesarios, independientes, inferiores).

(7) La demanda del consumidor individual y la demanda de mercado.

(8) Estática comparativa: cambios sobre la curva de demanda y cambios de la curva de demanda.

(9) Gasto de los consumidores e ingreso de los productores.

(10) Impuestos y subsidios.

(11) El teorema de la envolvente.

(12) Problema de maximización de la utilidad del consumidor. Las funciones marshallianas de demanda y lafunción de utilidad indirecta. La identidad de Roy.

(13) Problema de minimización del gasto. Las funciones hicksianas de demanda y la función de gasto. El lemade Shephard.

(14) Problemas de estática comparativa. Considerando funciones hicksianas de demanda. Considerandofunciones marshallianas de demanda. La ecuación de Slutsky: relación entre la demanda de Marshall y la deHicks.

(15) Relación entre elasticidades. La ecuación de slutsky en forma de elasticidades. Propiedades de lasfunciones marshallianas y hicksianas de demanda utilizando elasticidades.

(16) Anexo 1: La tasa marginal de sustitución entre bienes y la función Cobb-Douglas

(17) Anexo 2: La demanda ingreso compensada de Slutsky.

LAS PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR

Supuesto fundamental: el consumidor es racional.

Ante dos conjuntos de bienes y servicios ϰ1 y ϰ2:

(1) ϰ1 ρ ϰ2 El consumidor prefiere ϰ1 a ϰ2

ϰ2 ρ ϰ1 El consumidor prefiere ϰ2 a ϰ1

ϰ1 ≡ ϰ2 Al consumidor le son indiferentes ϰ1 y ϰ2

(2) El consumidor tiene que elegir una de esas tres posibilidades y sólo una.

(3) Las preferencias son transitivas: Si ϰ1ρ ϰ2 y ϰ2 ρ ϰ3 ϰ1ρ ϰ3

————–

Así, el individuo puede ordenar sus preferencias ordinalmente. Dicho ordenamiento se puede representar através de una función de utilidad: U = Uϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn

Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi 1

FUNCIÓN DE UTILIDAD Y CURVAS DE INDIFERENCIA

Si se restringe la función de utilidad a una función de dos variables, U = Uϰ1 ,ϰ2 , y dicha función toma un valordeterminado, queda determinada una curva que representa distintas combinaciones de ϰ1 y ϰ2 que reportan elmismo nivel de utilidad.

GRÁFICA 1

El lugar geométrico de las combinaciones de ϰ1 y ϰ2 que representan para el individuo el mismo nivel de utilidad,conforma una curva de indiferencia.

GRÁFICA 2

En el punto A se tiene una determinada combinación de ϰ1 y ϰ2 que representa un determinado nivel de utilidad.

En los puntos del primer cuadrante, se tiene una utilidad mayor porque se consume más de ϰ1 y más de ϰ2. Poren contrario, en el tercer cuadrante, se consume menos de ϰ1 y menos de ϰ2; por lo que se obtiene una utilidadmenor. En el segundo y cuarto cuadrante hay puntos que implican una utilidad mayor a la de A y otros puntos unautilidad menor, pero también hay puntos con los mismos niveles de utilidad que en A y son, por lo tanto, los queconforman la curva de indiferencia.


Propiedad: Las curvas de indiferencia no se cortan.

GRÁFICA 3

A ρ C Porque en A se consume la misma cantidad de ϰ1 pero más cantidad de ϰ2.

B ≡ C Por estar sobre la misma curva de indiferencia.

B ≡ A Por estar sobre la misma curva de indiferencia.

Si AρC y B ≡ C AρB

Contradicción: B ≡ A por estar sobre la misma curva de indiferencia.

MAPA DE INDIFERENCIA

Un sistema de preferencias se representa a través de la función de utilidad, que es una familia de curvas deindiferencia.

GRÁFICA 4

Una curva de indiferencia es siempre parte de un mapa de indiferencia, donde cada curva otorga un nivel deutilidad diferente.


GRÁFICA 5

El nivel de satisfacción es mayor cuanto más alejada del origen esté la curva de indiferencia.

TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN ENTRE BIENES (TMSB)

Se diferencia totalmente la función de utilidad: U = Uϰ1 ,ϰ2

∂U =∂Uϰ1 ,ϰ2

∂ϰ1∂ϰ1 +

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ2

∂ϰ2

Sobre la misma curva de indiferencia la variación total de la utilidad es cero, ya que a lo largo de la curva deindiferencia el individuo tiene la misma utilidad:

∂U =∂Uϰ1 ,ϰ2

∂ϰ1∂ϰ1 +

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ2

∂ϰ2 = 0 ∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ1

∂ϰ1 = − ∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ2

∂ϰ2

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ1

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ2

= −∂ϰ2∂ϰ1

= UMa1

UMa2= TMSB

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ i

: UMa i Utilidad marginal de ϰ i i = 1,2

—————

LA TMSB Y LAS CURVAS DE INDIFERENCIA

La TMSB mide el intercambio entre ϰ1 y ϰ2 para mantenerse en el mismo nivel de satisfacción, o sea, sobre lamisma curva de indiferencia.


GRÁFICA 6

Si para mantenerse en el mismo nivel de utilidad y poder consumir más de un bien, se tiene que consumirnecesariamente menos del otro bien, entonces, las curvas de indiferencia son convexas hacia el origen; pero hayinfinitas formas de curvas de indiferencia.

OTRAS FORMAS DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA

GRÁFICA 7

En este caso existe un bien y un mal. Para que se consuma más del mal se debe poder consumir más del bien,hay una recompensa.

GRÁFICA 8


Para cualquier nivel de ϰ1 se consume el mismo nivel de ϰ2. En este caso, ϰ1 es un bien irrelevante para elconsumidor.

GRÁFICA 9

En este caso, el bien que es irrelevante es ϰ2, para una misma cantidad de ϰ1 se consume cualquier cantidad deϰ2.

GRÁFICA 10

En el tramo (I) ϰ1 es un bien; en el tramo (II) es indiferente; y en el tramo (III) es un mal.

———————–

La TMSB es la que da la inclinación de la curva de indiferencia representativa del sistema de preferencias delindividuo. Por ejemplo: si la pendiente es positiva habrá un bien y un mal; si es negativa habrá dos bienesparcialmente sustitutos; si es nula habrá un bien que es irrelevante.

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

RESTRICCIONES LINEALES

Supuestos:

(1) Dos bienes o servicios: ϰ1 y ϰ2

(2) Los precios de estos bienes están dados: p1 y p2, respectivamente

(3) El consumidor tiene un ingreso nominal de m

m ≥ p1ϰ1 + p2ϰ2


GRÁFICA 11

mp2

es la cantidad de ϰ2 que el consumidor puede obtener con su ingreso.

mp1

es la cantidad de ϰ1 que el consumidor puede obtener con su ingreso.

La unión de estos dos puntos representa la recta de restricción, donde se consume todo el ingreso en laadquisición de ϰ1 y ϰ2. Todos los puntos limitados por la restricción y los dos ejes son consumibles dado elingreso m. En un punto como A, el ingreso nominal será mayor al consumo de ϰ1 y ϰ2. En cambio, en un puntocomo B, el consumidor gasta el total de su ingreso en el consumo de ϰ1 y ϰ2.

Pendiente de la restricción presupuestaria:− m

p2mp1

= −p2p1

es la relación de precios.

Estática comparativa:

(1) Cambios en el ingreso nominal manteniendo todo lo demás constante:

GRÁFICA 12

El cambio en el ingreso no afecta la relación de precios, por lo que no cambia la pendiente de la restricción. Peroal aumentar el ingreso la restricción se desplaza hacia arriba, produciéndose un aumento en el ingreso real porel monto representado por el área rayada.


(2) Cambios en p1 manteniendo todo lo demás constante:

GRÁFICA 13

Dada la pendiente de la restricción: −p2p1

:

a) Si p1 disminuye, la restricción se hace más plana, aumentando el ingreso real.

b) Si p1 aumenta, la restricción se hace más empinada, disminuyendo el ingreso real.

Nótese que el punto A no cambia, dado que no cambia m ni p2.

(3) Cambios en p2 manteniendo todo lo demás constante:

GRÁFICA 14

Dada la pendiente de la restricción: −p2p1

:

a) Si p2 disminuye, la restricción se hace más empinada, aumentando el ingreso real.

b) Si p2 aumenta, la restricción se hace más plana, disminuyendo el ingreso real.


Nótese que el punto B no cambia, dado que no cambia m ni p1.

RESTRICCIONES NO LINEALES

Este tipo de restricciones están asociadas a mercados donde no existe buena información, ya sea porregulaciones que hacen que la competencia no exista, o por falta de transparencia del mercado. Esto hace que nohaya precios únicos para ϰ1 y ϰ2, coexistiendo distintos precios en el mercado.

EJEMPLOGRÁFICA 15

Si se trabaja más de 8 horas, aumenta el ingreso, ya que las horas extra se pagan más.

DERIVACIÓN DE LA CURVA DE DEMANDA

La curva de demanda es la relación entre la cantidad y el precio transados (ceteris paribus)

GRÁFICA 16


E es el punto de equilibrio del consumidor dados m 0 ,p1 ,p2 y su función de utilidad, hallándose en el punto detangencia de su restricción presupuestal y la curva de indiferencia más alejada del origen posible que se puedaalcanzar (es decir, donde la pendiente de estas dos curvas sea igual). Se verá cómo se llega al mismo cuandose vea el problema de maximización de la utilidad del consumidor.

Observación: Si las curvas de indiferencia son cóncavas hacia el origen, el equilibrio del consumidor se da en unpunto donde se consume un único bien, siempre y cuando la restricción sea lineal. Si la restricción es no lineal,no tiene por qué cumplirse esto.

GRÁFICA 17

Si cambia p1, tal que p10 > p1

1, la restricción cambia, y dependiendo del sistema de preferencias, el consumidorencontrará su nuevo punto de equilibrio.

GRÁFICA 18

El nuevo punto de equilibrio se dará sobre la nueva restricción, pero su emplazamiento depende del sistema depreferencias.


(1) Supongamos que el nuevo punto de equilibrio es E’

GRÁFICA 19

A y B son puntos de demanda y al unirlos se obtiene la curva de demanda de ϰ1, dados m 0 y p2. Así, la curva dedemanda tendría pendiente negativa: a menor precio mayor cantidad demandada.


(2) ¿Qué hubiese pasado si en vez de en E’, el consumidor se hubiese ubicado en E”?

GRÁFICA 20

En este caso, la curva de demanda tendría pendiente positiva: a mayor precio mayor cantidad demandada.


(3) ¿Y si se hubiese ubicado en E”’?GRÁFICA 21

En este caso, la curva de demanda tendría pendiente nula: no importa cuál sea el precio, siempre se demanda lamisma cantidad.

LA DEMANDA MARSHALLIANA

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x1

= p1λ

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x2

= p2λ

m 0 = ϰ1p1 + ϰ2p2

ϰ1M = fp1 ,p2 ,m 0 ϰ2

M = fp1 ,p2 ,m 0

De esta forma, se obtienen los determinantes de la demanda de un bien.


Las funciones de demanda del consumidor muestran las cantidades óptimas de cada uno de los bienes enfunción de los precios y del ingreso del consumidor.

GRÁFICA 22

La demanda es una lista de cantidades que se comprarían a distintos precios del bien, para el precio de los otrosbienes y el ingreso nominal dados. Otra cosa distinta es la cantidad demandada: Al precio p1

1 la cantidaddemandada es ϰ1

1, pero la demanda la constituyen todos los puntos de la curva.

La demanda que considera el ingreso nominal del individuo se le llama DEMANDA MARSHALLIANA UORDINARIA.

La demanda Marshalliana toma el ingreso nominal, pero al variar el precio de un bien, cambia el ingreso real.Por lo tanto, hay un efecto precio y un efecto ingreso.

Existen varios emplazamientos posibles para la curva de demanda Marshalliana:

GRÁFICA 23

Cuando la curva de demanda Marshalliana tiene pendiente positiva, ante un aumento en el precio del bien,aumenta la cantidad demandada. O sea que habría una relación directa entre el precio y la cantidad transados.


Propiedad de la demanda Marshalliana

La demanda Marshalliana es homogénea de grado cero en precios y en ingreso.

ϰ1M = fp1 ,p2 ,m 0

ϰ 2M

fkp1 ,kp2 ,km0 =

ϰ 1M

fp1 ,p2 ,m 0

Gráficamente:GRÁFICA 24

A = km0

kp2= m 0

p2

Al no variar ninguno de estos puntos, el emplazamiento de la curva no cambia.

B = km0

kp1= m 0

p1

La restricción no cambia porque no cambian A ni B. De esta forma, el punto de equilibrio no cambia. Por lo tanto,la curva de demanda tampoco debería cambiar.

Analíticamente:

maxUϰ1 ,ϰ2 s.a. km0 = kp1ϰ1 + kp2ϰ2 maxℒ = Uϰ1 ,ϰ2 + λkm0 − kp1ϰ1 − kp2ϰ2

∂ℒ∂ϰ1

=∂Uϰ1 ,ϰ2

∂x1− λkp1 = 0

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x1p1

= λk (1)

∂ℒ∂ϰ2

=∂Uϰ1 ,ϰ2

∂x2− λkp2 = 0

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x2p2

= λk (2)

∂ℒ∂λ

= km0 − kp1ϰ1 − kp2ϰ2 = 0 km 0 − p1ϰ1 − p2ϰ2 = 0k≠0 m 0 − p1ϰ1 − p2ϰ2 = 0 (3)

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x1p1

=

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x2p2

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x1

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂x2

= p1p2

Se llega a la misma condición de equilibrio.

La demanda Marshalliana es homogénea de grado cero.


LA DEMANDA INGRESO COMPENSADA DE HICKS

Hicks utiliza un método para mantener el ingreso real constante en vez del nominal.

GRÁFICA 25

Se debe descomponer el efecto sustitución o precio del efecto ingreso.

En un primer momento, se consumen ϰ2E y ϰ1

E para la relación de precios implícita en esa restricciónpresupuestal. Luego, p1 disminuye, manteniéndose constantes p2 y m. En la nueva restricción presupuestal, varióla pendiente, es decir que cambió la relación de precios: p1 es relativamente más barato. En esta situación, segúnMarshall, el consumidor puede ubicarse sobre la nueva restricción presupuestal consumiendo:

(1) menos de ϰ1 y más de ϰ2

(2) lo mismo de ϰ1 y más de ϰ2

(3) más de ϰ1 y más de ϰ2

(4) más de ϰ1 y lo mismo de ϰ2

(5) más de ϰ1 y menos de ϰ2

GRÁFICA 26


GRÁFICA 27

El cambio total en el consumo de ϰ1 es: ϰ1E ′

− ϰ1E , dado el cambio en p1 ceteris paribus.

Hicks coincide con Marshall, pero expresa que al utilizarse el ingreso nominal, se contradice la definición dedemanda: cómo varía la cantidad demandada cuando varía el precio manteniéndose constantes las demásvariables. En el análisis de Marshall permanecen constantes p2 y el ingreso nominal, pero varía el ingreso real aldisminuir p1.

Hicks define el ingreso real constante: Cuando un precio disminuye, el individuo siente que es más rico.Entonces, se debe manejar el ingreso nominal del individuo de modo tal de mantenerlo en el mismo nivel deutilidad que antes, o sea, de forma que se mantenga en la misma curva de indiferencia; pero con una relación deprecios distinta. Para esto se debe encontrar una recta paralela a la nueva restricción presupuestal segúnMarshall y tangente a la curva de indiferencia U 0 .

GRÁFICA 28


Hicks descompone el cambio total de Marshall en dos componentes: puro efecto sustitución y efecto ingreso.

Cambio total

ϰ1M − ϰ1

E =

Efecto precio

ϰ1H − ϰ1

E +

Efecto ingreso

ϰ1M − ϰ1

H

El efecto precio o sustitución constituye la verdadera curva de demanda porque el otro efecto se da por unaumento del ingreso real.Para Marshall, en cambio, la demanda era afectada por todo el cambio.

Propiedad de la demanda ingreso compensada:

x1Hp1 ,p2 ,U es homogénea de grado cero en precios.

El teorema de Euler: si y = fx1 ,x2 es homogénea de grado cero i=1

n

∑ ∂y∂x i

x i = 0

Aplico Euler: p1∂x1

H

∂p1+ p2

∂x1H

∂p2= 0

Divido por x1H : p1

x1H∂x1

H

∂p1+ p2

x1H∂x1

H

∂p2= 0

x 1 ,p 1H + x 1 ,p 2

H = 0

ELASTICIDAD

La elasticidad mide la relación que existe entre dos variables, una dependiente y otra independiente. En el casoconcreto de la demanda Marshalliana, se tiene la relación entre ϰ1 ó ϰ2 (variables dependientes) y p1 ó p2

(variables independientes), ceteris paribus.

En general: ϰ = fy1 ,y2 ,y3

= dlogϰdlogy i

=1ϰ dϰ1y i

dy i

=dϰϰ

dy iy i

Variación porcentual de ϰ ante cambios porcentuales de y i.

Elasticidad: La elasticidad mide el cambio porcentual en la cantidad dado por la variación porcentual en elprecio.


ELASTICIDAD PRECIO (PROPIO): ϰ 1 ,p 1

Se busca encontrar una relación entre el cambio en el precio de un bien y su cantidad demandada.

ϰ1 = fp1 ,p2 ,m 0

ϰ 1 ,p 1 = dlogϰ1

dlogp1=

dϰ1ϰ1

dp1p1

=ϰ1∗

p1∗ = dϰ1

dp1

p1ϰ1

El valor de la elasticidad depende de la pendiente.

(1) ϰ 1 ,p 1 = 0 Perfectamente inelástica: al variar p1 la cantidad demandada no cambia.

GRÁFICA 29

(2) −1 < ϰ 1 ,p 1 < 0 Inelástica

GRÁFICA 30

(3) ϰ 1 ,p 1 = −1 Unitaria: los cambios porcentuales en las variables deben ser iguales en valor

absoluto y de signo opuesto.


GRÁFICA 31

(4) −∞ < ϰ 1 ,p 1 < −1 Elástica

GRÁFICA 32

(5) ϰ 1 ,p 1 = −∞ Infinitamente elástica: al precio p11 la demanda de ϰ1se hace infinita, pero si el

precio sube la cantidad demandada se hará nula.

GRÁFICA 33

—————–

ϰ11 : cambio porcentual en ϰ1 (es un operador semi-logarítmico)


——————La elasticidad precio y la demanda lineal

GRÁFICA 34

La elasticidad precio de la demanda depende de la existencia de sustitutos y de la participación en elpresupuesto de gasto del consumidor.

La demanda de elasticidad constante

Son aquellas que cumplen: x1 = Ap x1p1

ELASTICIDAD CRUZADA: ϰ 1 ,p 2

Se busca encontrar una relación entre el cambio en el precio de un bien y la cantidad demandada de otro bien.

ϰ 1 ,p 2 = dlogϰ1

dlogp2=

dϰ1ϰ1

dp2p2

=ϰ1∗

p2∗ = dϰ1

dp2

p2ϰ1

(1) ϰ 1 ,p 2 > 0 Bienes sustitutos: si aumenta el precio de ϰ2 , aumenta la cantidad demandada de ϰ1.

(2) ϰ 1 ,p 2 = 0 Bienes independientes: los cambios en el precio de uno, no afectan la cantidad

demandada del otro.

(3) ϰ 1 ,p 2 < 0 Bienes complementarios: si aumenta el precio de uno, disminuye la cantidad

demandada del otro (se consumen conjuntamente)


ELASTICIDAD INGRESO: ϰ 1 ,m

ϰ 1 ,m = dlogϰ1

dlogm=

dϰ1ϰ1

dmm

=ϰ1∗

m ∗ =

ut. marginaldϰ1

dm.

1/ ut.media

mϰ1

(1) ϰ 1 ,m > 0 Bienes normales: la demanda aumenta cuando aumenta el ingreso (m)

1.1- ϰ 1 ,m > 1 Bienes superiores: ϰ1 crece más que proporcionalmente al aumento de m.

1.2- ϰ 1 ,m < 1 Bienes necesarios: ϰ1crece menos que proporcionalmente al aumento de m.

(2) ϰ 1 ,m = 0 Bienes independientes: cambios en el ingreso no afectan la cantidad demandada.

(3) ϰ 1 ,m < 0 Bienes inferiores: ante aumentos en el ingreso, cae la cantidad demandada.

(*) El hecho de que un bien sea inferior o no, depende del nivel de ingreso que se esté considerando.

Bienes de lujo y necesarios: una relación interesante

Se forman las restricciones presupuestarias para dos niveles de ingreso:

p1x11 + p2x2

1 = m 1

p1x10 + p2x2

0 = m 0

Se restan ambas y se obtiene: p1Δx1 + p2Δx2 = Δm

Se multiplica y se divide los precios por: x ix i

y se divide ambos miembros por m.

p1x1m

Δx1x1

+ p2x2m

Δx2x2

= Δmm

Se divide ambos miembros por: Δmm

p1x1m

Δx1x1

Δmm

+

p2x2m

Δx2x2

Δmm

=ΔmmΔmm

Se define: k i =p ix im como la proporción del bien i en el gasto del individuo.

k1

Δx1x1Δmm

+ k2

Δx2x2Δmm

= 1

La media ponderada de las elasticidades ingreso es uno, donde los ponderadores son la proporción sobre elgasto.


Los bienes de lujo, que tienen una elasticidad ingreso mayor que uno, deben contrarrestarse con bienes quetengan una elasticidad ingreso menor que uno, por lo que las elasticidades ingreso serán en promedioalrededor de uno.

LA DEMANDA DEL CONSUMIDOR INDIVIDUAL Y LA DEMANDA DE MERCADO

ϰ1M = f p1 ,p2 , . . . . . ,pn ,m Demanda Marshalliana

ϰ1H = f p1 ,p2 , . . . . . ,pn ,m ∗ Demanda de Hicks (m ∗ ingreso real constante)

AGREGACIÓN: DEMANDA DE MERCADO

Sea x1i p1 ,p2 ,m la demanda del bien 1 realizada por el individuo i.

La demanda de mercado será:

x1p1p2 ,m 1 , . . . ,m n =i=1

n

∑ x1i p1 ,p2 ,m i

Se puede suponer la demanda agregada como la demanda de un consumidor representativo que tiene uningreso que es la suma del ingreso de todos los individuos.

La función de demanda agregada tiene la forma:

x1p1 ,p2 ,M, donde M es la suma del ingreso de todos los consumidores.

Según este supuesto, la demanda agregada de la economía es igual a la demanda de un individuo que seenfrenta a los precios (p1 ,p2) y que tiene un ingreso M.

GRÁFICA 35


Interpretación geométrica y la suma de curvas de demanda lineales:

La demanda agregada es la suma horizontal de las curvas de demanda.

Dado un precio, se suman las cantidades demandadas por cada individuo.

Supongamos dos curvas de demanda lineales:

D 11p1 = 20 − p1

D 12p1 = 10 − 2p

GRÁFICA 36

ESTÁTICA COMPARATIVA

(1) Movimientos sobre la misma curva: cambio en el gasto real en el bien 1

GRÁFICA 37

PUNTO A: Al precio p1A se demanda una cantidad de ϰ1

A . El rectángulo rayado representa el gasto real de losconsumidores en el bien 1.


PUNTO B: Como la curva de demanda es negativamente inclinada, si aumenta el precio de p1A a p1

B , entoncesdisminuirá la cantidad demandad de ϰ1

A a ϰ1B ; y el gasto real de los consumidores en el bien 1 pasará a estar

representado por el rectángulo punteado.

Lo que ocurre con el gasto real de los consumidores en el bien 1 al variar su precio, depende de la elasticidad dela curva de demanda:

ϰ 1 ,p 1 = 0 Si dp1 > 0 dp1ϰ1 > 0Si dp1 < 0 dp1ϰ1 < 0

−1 < ϰ 1 ,p 1 < 0 Si dp1 > 0 dp1ϰ1 > 0Si dp1 < 0 dp1ϰ1 < 0

ϰ 1 ,p 1 = −1 dp1ϰ1 = 0

−∞ < ϰ 1 ,p 1 < −1 Si dp1 > 0 dp1ϰ1 < 0Si dp1 < 0 dp1ϰ1 > 0

dp1ϰ1: Variación del gasto

En síntesis: Gasto: R = p1ϰ1

dRdx1

= dp1

dx1.x1 + p dR

dx1= p 1 − 1

| ϰ 1 ,p 1 |

(2) Cambios de la curva de demanda:

GRÁFICA 38

Se producen movimientos sobre la misma curva de demanda de ϰ1 cuando varía el precio de ese bien: p1. Deesta forma cambiará la cantidad demandada, pero la demanda continúa siendo la misma.


2.1- Cambio en el precio de otro bien (p2):

Para determinar qué ocurre con la demanda de un bien cuando varía el precio de otro bien, hay que ver si esosbienes son: sustitutos, independientes o complementarios. Por lo tanto, habrá que observar la elasticidadcruzada.

* Si son independientes ( ϰ 1 ,p 2 = 0), los cambios en p2 no afectan la demanda por ϰ1 .

GRÁFICA 39

*Si son sustitutos ( ϰ 1 ,p 2 > 0), los cambios en p2 sí afectarán la demanda por ϰ1 .

GRÁFICA 40


*Si son complementarios ( ϰ 1 ,p 2 < 0) los cambios en p2 afectarán la demanda por ϰ1 .

GRÁFICA 41

2.2- Cambios en el ingreso (m):

En este caso, hay que observar la elasticidad ingreso y determinar si los bienes son: inferiores, independientes,necesarios, o de lujo.

(a) ϰ 1 ,m < 0 El bien 1 es un bien inferior

GRÁFICA 42


(b) ϰ 1 ,m = 0 El bien 1 es un bien independiente del ingreso los cambios en el ingreso no afectarán lademanda por dicho bien no cambiará el emplazamiento de la curva de demanda.

(c) ϰ 1 ,m > 0 El bien 1 es un bien normal

(c.1) 0 < ϰ 1 ,m ≤ 1 Es un bien necesario.GRÁFICA 43

(c.2) ϰ 1 ,m > 1 Es un bien de lujo.GRÁFICA 44


GASTO DE LOS CONSUMIDORES E INGRESO DE LOS PRODUCTORES

IT = p1ϰ1 Ingreso total

Esto era el gasto de los consumidores. Ahora lo veremos como el ingreso total de los productores.

ITϰ1

= p1ϰ1 ϰ1

= p1 = IMe Ingreso medio

∂IT∂ϰ1

=∂p1ϰ1 ∂ϰ1

= IMa Ingreso marginal

GRÁFICA 45

El rectángulo de vértices: (p1E ,E,ϰ1

E , 0̸) define tanto el gasto de los consumidores como el ingreso de losproductores. Y se puede observar que su monto depende de: ϰ 1 ,p 1

IMa = ∂IT∂ϰ1

=∂p1ϰ1 ∂ϰ1

= p1 +∂p1∂ϰ1

ϰ1 = p1 1 + ∂p1∂ϰ1

ϰ1p1

= p1 1 + 1 ϰ 1 ,p 1

ϰ 1 ,p 1 ≤ 0 1 ϰ 1 ,p 1

≤ 0 IMa ≤ p1 IMa ≤ IMe

(1) Si ϰ 1 ,p 1 = 0 IMa = −∞(2) Si −1 < ϰ 1 ,p 1 < 0 IMa < 0(3) Si ϰ 1 ,p 1 = −1 IMa = 0(4) Si −∞ < ϰ 1 ,p 1 < −1 IMa > 0(5) Si ϰ 1 ,p 1 = −∞ IMa = IMe = p1

IMPUESTOS Y SUBSIDIOS

La demanda es, desde otro punto de vista, la solicitud de bienes que enfrentan los productores.

La demanda es el precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar por una determinada cantidadde producto.

En un mercado sin distorsiones, la demanda de los consumidores coincide con la demanda que enfrentan losoferentes.


IMPUESTOS

Hay dos tipos de impuestos:

(1) IMPUESTO ESPECÍFICO: se paga una cantidad fija de pesos por unidad de producto.

GRÁFICA 46

La curva de demanda de los consumidores no se traslada. Pero sí cambia la demanda que enfrentan losoferentes: antes coincidía con la demanda de los consumidores y ahora está representada por la recta punteada.

(2) IMPUESTO AD.VALOREM: se paga por un porcentaje del valor (por ejemplo: IVA).

GRÁFICA 47

Al introducir un impuesto de β%, la demanda de los consumidores se mantiene incambiada, pero la demandaque enfrentan los oferentes se traslada, quedando representada por la recta punteada.

La recaudación está altamente relacionada, positiva o negativamente, con la elasticidad de la demanda. Si lademanda es relativamente inelástica se generará una recaudación mayor a que si la demanda es relativamenteelástica. Esto es así porque cuando la demanda es elástica hay muchos bienes sustitutos, y si se grava conimpuestos un bien y sus sustitutos no, entonces se recaudará poco porque los consumidores comprarán menosdel bien gravado y más de sus sustitutos.


SUBSIDIOS

Los subsidios pueden verse como impuestos a tasas negativas.

GRÁFICA 48

En ambos casos, la demanda que enfrentan los oferentes se traslada (ya que antes coincidía con la demanda delos consumidores que se mantiene incambiada), quedando representada por la curva punteada. El área rayadarepresenta la trasferencia de la tesorería hacia los oferentes, la cual será mayor a medida que la curva dedemanda sea más inelástica.

TEOREMA DE LA ENVOLVENTE

maxy = fϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,αs.a. gϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α = 0

maxℒ = fϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α + λgϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α

∂ℒ∂ϰ i

=∂fϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α

∂ϰ i+ λ

∂gϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α∂ϰ i

= 0

∂ℒ∂λ

= gϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α = 0

ϰ i = ϰ i∗α

λ = λ ∗α

Si se sustituye ϰ i∗ y λ ∗ en la función objetivo, se obtiene la solución óptima.

φα = f ϰ1∗α,ϰ2

∗α, . . . . ,ϰn∗α,α

∂φ∂α

= ∑ ∂fϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α∂ϰ i

∂ϰ i∗

∂α+∂fϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α

∂α

∂φ∂α

Cambio en la función óptima cuando cambia el parámetro

Si se sustituye ϰ i∗ y λ ∗ en la restricción, da cero.


g ϰ1∗α,ϰ2

∗α, . . . . ,ϰn∗α,α = 0

∑ ∂gϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α∂ϰ i

∂ϰ i∗

∂α+∂gϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α

∂α= 0

∑ λ∂gϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α

∂ϰ i

∂ϰ i∗

∂α+ λ

∂gϰ1 ,ϰ2 , . . . . ,ϰn ,α∂α

= 0

Sumo: ∂φ∂α

+

0∂g∂α

No cambia el resultado

∂φ∂α

= ∑ ∂f∂ϰ i

∂ϰ i∗

∂α+ ∂f∂α

+ ∑ λ ∂g∂ϰ i

∂ϰ i∗

∂α+ λ ∂g

∂α

∂φ∂α

= ∑

∂ℒ∂ϰ i

=0

∂f∂ϰ i

+ λ ∂g∂ϰ i

∂ϰ i∗

∂α+ ∂f∂α

+ λ ∂g∂α

∂φ∂α

= ∂f∂α

+ λ ∂g∂α

Derivada del lagrangiano con respecto a α

∂φ∂α

= ∂ℒ∂α

Por lo tanto, se puede hallar la variación del valor óptimo cuando cambia el parámetro directamente derivando ellagrangiano respecto a dicho parámetro.

MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD DEL CONSUMIDOR

El consumidor maximizará su utilidad sujeto a su restricción presupuestaria.

maxUϰ1 ,ϰ2s. a. p1ϰ1 + p2ϰ2 = m

maxℒ p 1 ,p 2 ,m = Uϰ1 ,ϰ2 + λm − p1ϰ1 − p2ϰ2 tal que λ ≥ 0

∂ℒ∂ϰ1

= ∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ1

− λp1 = 0 λ =

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ1p1

(1)

∂ℒ∂ϰ2

= ∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2

− λp2 = 0 λ =

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2p2

(2)

∂ℒ∂λ

= m − p1ϰ1 − p2ϰ2 = 0

(1)(2) Condición de equilibrio

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ1

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2

= p1p2

o

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ1

= p2p1


p2p1

=

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ1

TMSB= −∂ϰ2

∂ϰ1

De esta forma, el punto de máxima satisfacción se da donde las pendientes de la restricción y de la curva deindiferencia más alejada posible del origen, sean iguales. O sea que el punto de equilibrio del consumidor se daen el punto de tangencia de estas dos curvas.

GRÁFICA 49

—————

Otra forma de ver la condición de equilibrio:

(1) (2) λ =

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ1p1

=

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2p2

Condición de equilibrio

La utilidad marginal por peso gastado en el bien 1 tiene que ser igual a la utilidad marginal por peso gastado enel bien 2. Si esto no fuera así, el individuo gastaría más en la compra del bien que le proporcionara una mayorsatisfacción, o sea el que tuviera mayor utilidad marginal por peso gastado, y adquiriría menos del bien que leproduciera menor satisfacción. Con esto, iría disminuyendo la utilidad marginal del primero y aumentaría la deeste último, hasta que se igualasen.

Interpretación económica de λ:De esta forma, λ es la utilidad marginal por peso gastado en cada uno de los dos bienes. Por lo tanto, podríaverse a λ como la utilidad marginal del dinero.

De las condiciones de primer orden se originan las siguientes funciones:

1) Las funciones solución: ϰ iMp1 ,p2 ,m;i = 1,2 , conocidas como funciones marshallianas de demanda.

2) La función valor óptimo: Ψp1 ,p2 ,m = Uϰ1p1 ,p2 ,m,ϰ2p1 ,p2 ,m , vista como la función de utilidad indirecta.


Las funciones marshallianas de demanda señalan lo que el consumidor comprará dados los precios p1 ,p2 y elingreso m. La función de utilidad indirecta indica cuál es el nivel de utilidad alcanzado.

IDENTIDAD DE ROY

Relación entre las funciones marshallianas de demanda y la función de utilidad indirecta

x iMp1 ,p2 ,m = −

∂Ψ∂p i∂Ψ∂m

i = 1,2

Aplicando el teorema de la envolvente con respecto a p1 ,p2 se tiene:

∂α∂p i

= −λx i = −λx iMp1 ,p2 ,m = ∂Ψ

∂p ii = 1,2

∂α∂m

= λ = ∂Ψ∂m

A partir de estas dos relaciones se llega a:

x iMp1 ,p2 ,m = −

∂Ψ∂p i∂Ψ∂m

i = 1,2

Las derivadas del segundo término están evaluadas en (p1 ,p2 ,m)

La identidad de Roy muestra que se pueden deducir las funciones marshallianas de demanda una vez conocidala función de utilidad indirecta, derivando y aplicando la identidad de Roy.

PROPIEDAD DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA

Ψtp1 ,tp2 ,tm = Ψp1 ,p2 ,m Ψ es homogénea de grado cero.

Demostración:

Como x iM es homogénea de grado cero, se cumple: p1x1 + p2x2 = m / tp1x1 + tp2x2 = tm

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ1

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2

= p1p2

/∂Uϰ1 ,ϰ2

∂ϰ1

∂Uϰ1 ,ϰ2∂ϰ2

= tp1tp2

x iMp1 ,p2 ,m = x i

Mtp1 ,tp2 ,tm

Uϰ1tp1 ,tp2 ,tm,ϰ2tp1 ,tp2 ,tm = Uϰ1p1 ,p2 ,m,ϰ2p1 ,p2 ,m


PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN DEL GASTO

En el problema de minimización del gasto los parámetros son los precios y el nivel de utilidad prefijado.

minp1x1 + p2x2 s.a. Ux1 ,x2 = U ℒ x 1 ,x 2 ,λ = p1x1 + p2x2 + λ U − Ux1 ,x2

∂ℒ∂x1

= p1 − λ ∂Ux1 ,x2∂x1

= 0 λ = p1

∂Ux1 ,x2∂x1

(1)

∂ℒ∂x2

= p2 − λ ∂Ux1 ,x2∂x2

= 0 λ = p2

∂Ux1 ,x2∂x2

(2)

∂ℒ∂λ

= U − Uϰ1 ,ϰ2 = 0 (1)(2)

∂Ux1 ,x2∂x1

∂Ux1 ,x2∂x2

= p1p2

Las condiciones de primer orden permiten encontrar las siguientes funciones:

1) x iHp1 ,p2 ,U funciones Hicksianas de demanda

2) La función de valor óptimo: ep1 ,p2 ,U = p1x1Hp1 ,p2 ,U + p2x2

Hp1 ,p2 ,U es la función de gasto.

La función de gasto da el gasto mínimo que tiene que realizar el consumidor para alcanzar el nivel de utilidad Udados los precios p1 y p2 .

LEMA DE SHEPHARD

∂ep1 ,p2 ,U∂p i

= x iHp1 ,p2 ,U i = 1,2

PROPIEDADES

(i) x iHp1 ,p2 ,U es homogénea de grado cero en precios

(ii) ep1 ,p2 ,U es homogénea de grado uno en precios


PROBLEMAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA

Utilizando las demandas hicksianas:

Primero veámos que la función de gasto del consumidor es cóncava en precios:

GRÁFICA 50

Se considera la siguiente matriz: S =

∂x 1H

∂p 1

∂x 1H

∂p 2

∂x 2H

∂p 1

∂x 2H

∂p 2

Aplicando el lema de Shephard, se tiene: S =

∂ 2 e∂p 1

2∂e

∂p 1∂p 2

∂e∂p 1∂p 2

∂ 2 e∂p 2

2

Como la función de gasto del consumidor es cóncava, la matriz S es semidefinida negativa. Por consiguiente,los elementos de la diagonal principal son negativos.

∂x1H

∂p1≤ 0 y

∂x2H

∂p2≤ 0

Δp i produce una reducción de la demanda hicksiana del bien i.

Como las funciones de demanda hicksianas son homogéneas de grado cero en precios, se puede aplicar elteorema de Euler:

p1

≤ 0∂x1

H

∂p1+p2

∂x1H

∂p2= 0

p i>0 ∂x1

H

∂p2≥ 0


p1∂x2

H

∂p1+ p2

≤ 0∂x2

H

∂p2= 0

p i>0 ∂x2

H

∂p1≥ 0

Si hay tres bienes para cada bien i alguno de los elementos que no están en la diagonal principal seránmayores o iguales a cero.

Utilizando las demandas marshallianas:

Para ver los efectos de estática comparativa utilizando funciones de demanda marshallianas, veremos la ecuaciónde Slutsky, que relaciona las funciones de demanda marshalliana con las hicksianas.

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

En el óptimo se tiene: x1M p1 ,p2 ,ep1 ,p2 ,U = x1

Hp1 ,p2 ,U

Derivamos respecto a p2:

∂x1M p1 ,p2 ,ep1 ,p2 ,U

∂p2+∂x1

M p1 ,p2 ,ep1 ,p2 ,U∂m

∂ep1 ,p2 ,U∂p2

=∂x1

Hp1 ,p2 ,U∂p2

Por el lema de Shephard se tiene:

x2Hp1 ,p2 ,U = ∂ep1 ,p2 ,U

∂p2

∂x1M p1 ,p2 ,ep1 ,p2 ,U

∂p2+ x2

Hp1 ,p2 ,U ∂x1M p1 ,p2 ,ep1 ,p2 ,U

∂m=

∂x1Hp1 ,p2 ,U

∂p2

Sea ep1 ,p2 ,U = m ; donde U = Ψp1 ,p2 ,m

En el óptimo: x2H = x2

M

∂x1Mp1 ,p2 ,m

∂p2+ x2

Mp1 ,p2 ,m ∂x1Mp1 ,p2 ,m

∂m=

∂x1H p1 ,p2 ,Ψp1 ,p2 ,m

∂p2

Esta es la conocida ecuación de Slutsky. Reordenando:

∂x1Mp1 ,p2 ,m

∂p2=

∂x1H p1 ,p2 ,Ψp1 ,p2 ,m

∂p2− x2

Mp1 ,p2 ,m ∂x1Mp1 ,p2 ,m

∂m

En general: ∂x iM.∂p j

= ∂x iH.∂p j

− x jM. ∂x i

M.∂m

El efecto total que un cambio de p j ejerce sobre la demanda marshalliana del bien i puede descomponerse endos partes:


(1) ∂x iH.∂p j

: Efecto sustitución sobre la demanda marshalliana del bien i producido por un cambio en p j

(2) −x jM. ∂x i

M.∂m

: Efecto ingreso sobre la demanda marshalliana del bien i debido a un cambio en p j

Del análisis anterior se tenía que:

1) Para: i = 1,2,. . . ,n ∂x iH.∂p i

≤ 0

2) Para: i = 1,2,. . . ,n, donde i ≠ j ∂x iH.∂p j

puede ser tanto positivo como negativo si n > 2.

Si i ≠ j el efecto total es la suma de un efecto sustitución de signo indeterminado y de un efecto ingreso tambiénde signo indeterminado.

Si i = j el efecto total precio propio es la suma de un efecto sustitución negativo y de un efecto ingreso de signoindeterminado. El signo del efecto ingreso depende de que el bien i sea inferior o no. Hay tres posiblesresultados:

(a) Si el bien i no es inferior, el efecto ingreso es negativo, lo cual refuerza el efecto sustitución negativo, lo queproduce un efecto total negativo.

(b) Se llega al mismo resultado si el bien i es inferior, lo que da un efecto ingreso positivo; pero este efecto espequeño y queda superado por el efecto sustitución negativo, volviendo a producirse un efecto total negativo.

(c) El bien i es fuertemente inferior, causando un efecto ingreso positivo grande que pesa más que el efectosustitución, produciéndose un efecto total positivo.

RELACIÓN DE ELASTICIDADES

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY EN FORMA DE ELASTICIDADES:

SLUTSKY: ∂x iM

∂p j= ∂x i

H

∂p j− ∂x j

M ∂x iM

∂m

Multiplico todo por:p jx i

ijM

p jx i

∂x iM

∂p j=

ijH

p jx i

∂x iH

∂p j− p j

x ix j

M ∂x iM

∂mmm

Las dos primeras expresiones son elasticidades, y puedo convertir la última multiplicando por mm

ijM

p jx i

∂x iM

∂p j=

ijH

p jx i

∂x iH

∂p j−

k j

p jm x j

M

im

∂x iM

∂mmx i

ijM = ij

H − k j im

Donde k j es la participación del gasto en el bien j sobre el ingreso m.


OTRA FORMA DE VER EL PROBLEMA DE ESTÁTICA COMPARATIVA:

+−0

ϰ 1 ,p 1M =

−

ϰ 1 ,p 1H −

+−0

k1 ϰ 1 ,m

∂ϰ1∂p1

= ∂ϰ1∂p1

+ ∂ϰ1∂m

∂m∂p1 p 1 /ϰ 1

Multiplico por

ϰ1,p1M

p2 ,m

∂ϰ1∂p1

p1ϰ1

=

U=U 0

ϰ1,p1H

∂ϰ1∂p1

p1ϰ1

+ ∂ϰ1∂m

∂m∂p1

p1ϰ1

1m

m

ϰ 1 ,p 1M = ϰ 1 ,p 1

H +

ϰ1,m

∂ϰ1∂m

mϰ1

k 1

ϰ 1

∂m∂p1

p1m

—————–

m n = m 0 + Δp1ϰ1 Δm = Δp1ϰ1 ΔmΔp1

= ϰ1 ∂m∂p1

= ϰ1

ϰ1p1m = k1 ∂m

∂p1

p1m = k1

——————

Se resta porque la compensación que se hace es de signo contrario a la variación del precio.

ϰ 1 ,p 1M = ϰ 1 ,p 1

H −k1 ϰ 1 ,m

De esta forma, el signo de la elasticidad de la demanda Marshalliana está determinada por la elasticidadingreso:

ϰ 1 ,p 1M < 0 ϰ 1 ,m ≥ 0 Bien normal o independiente.

ϰ 1 ,p 1M ≥ 0 ϰ 1 ,m < 0 Bien inferior.

Pero además ϰ 1 ,m debe ser suficientemente negativo para compensar luego −k1 ϰ 1 ,m a ϰ 1 ,p 1H . Si no se

compensa, aún tratándose de un bien inferior, se cumplirá ϰ 1 ,p 1M < 0

ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEMANDA MARSHALLIANA

(1) UTILIZANDO LA HOMOGENEIDAD DE LA DEMANDA MARSHALLIANA:

x1Mp1 ,p2 ,m es homogénea de grado cero en precios e ingreso.

Aplicando Euler:∂x1

M

∂p1p1 +

∂x1M

∂p2p2 +

∂x1M

∂mm = 0

Dividiendo todo por ∂x1M : ∂x1

M

∂p1

p1x1

+∂x1

M

∂p2

p2x1

+∂x1

M

∂mmx1

= 0 11M + 12

M + 1mM = 0

De igual manera, se cumple: 21M + 22

M + 2mM = 0


(2) UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA: m = p1x1M + p2x2

M

(a) Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a m:

∂x1M

∂mp1 +

∂x2M

∂mp2 = 1

Multiplico y divido ambos términos por m, además, el primero por x1 y el segundo por x2 :

p1x1m

∂x1M

∂mmx1

+ p2x2m

∂x2M

∂mmx2

= 1 k1 1m + k2 2m = 1

La suma ponderada de la elasticidad ingreso de todos los bienes es igual a uno. Se cumplirá que si 1m esrelativamente alta 2m será relativamente baja.

(b) Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a precios: p1x1M + p2x2

M = m

Diferenciando con respecto a p1 : x1M + p1

∂x1M

∂p1+ p2

∂x2M

∂p1= 0

Divido todo por m:x1

M

m + 1m p1

∂x1M

∂p1+ 1

m p2∂x2

M

∂p1= 0

1m p1

∂x1M

∂p1+ 1

m p2∂x2

M

∂p1= − x1

M

m

Multiplico todo por p1 : p1m p1

∂x1M

∂p1+ p2

m p1∂x2

M

∂p1= − p1x1

M

m

Multiplico y divido el primer término por x1 y el segundo por x2 :

p1x1m

p1x1

∂x1M

∂p1+ p2x2

mp1x2

∂x2M

∂p1= − p1x1

M

m k1 11M + k2 21

M = −k1

ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEMANDA HICKSIANA

(1) UTILIZANDO LA PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD DE LA DEMANDA HICKSIANA:

x1H p1 ,p2 ,U es homogénea de grado cero en precios.

Aplicando Euler:∂x1

H

∂p1p1 +

∂x1H

∂p2p2 = 0

Dividiendo todo por ∂x1H : ∂x1

H

∂p1

p1x1

+∂x1

H

∂p2

p2x1

= 0 11H + 12

H = 0

De igual manera, se cumple: 21H + 22

H = 0


(2) UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN:

U x1H ,x2

H = U

Diferenciando con respecto a p1: ∂U∂x1

∂x1H

∂p1+ ∂U∂x2

∂x2H

∂p1= 0

Del lagrangiano se tiene: ℒ = p1x1 + p2x2 + μ U − Ux1 ,x2

∂ℒ∂x1

= p1 − μ ∂U∂x1

= 0 p1μ = ∂U

∂x1

Sustituyo: p1μ

∂x1H

∂p1+ p2

μ∂x2

H

∂p1= 0

Multiplico por μ: p1∂x1

H

∂p1+ p2

∂x2H

∂p1= 0

Divido todo por m: 1m p1

∂x1H

∂p1+ 1

m p2∂x2

H

∂p1= 0

Multiplico todo por p1 : p1m p1

∂x1H

∂p1+ p2

m p1∂x2

H

∂p1= 0

Multiplico y divido el primer término por x1 y el segundo por x2 :

p1x1m

p1x1

∂x1H

∂p1+ p2x2

mp1x2

∂x2H

∂p1= 0 k1 11

H + k2 21H = 0


ANEXO 1

LA TMSB Y LA FUNCIÓN COBB-DOUGLAS

U = Uϰ1 ,ϰ2 = Aϰ1α ϰ2

1−α

A es un escalar

ϰ1 ,ϰ2 son bienes

0 < α < 1

∂U =∂Uϰ1 ,ϰ2

∂ϰ1∂ϰ1 +

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ2

∂ϰ2 = 0 Por estar sobre la misma curva de indiferencia

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ1

∂ϰ1 = − ∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ2

∂ϰ2

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ1

∂Uϰ1 ,ϰ2 ∂ϰ2

= −∂ϰ2∂ϰ1

= UMa1

UMa2= TMSB

UMa1 = ∂U.∂x1

= Aαx1α−1 .x2

1−α

UMa2 = ∂U.∂x2

= A 1 − α x1α.x2

−α

UMa1

UMa2=

A.αx1α−1 .x2

1−α

A. 1 − α x1α.x2

−α = AA

. α1 − α

. x21−α+α

x1α−α+1

= α1 − α

. x2x1

TMSB = α1 − α

. x2x1


ANEXO 2

LA DEMANDA INGRESO COMPENSADA DE SLUTSKY(*)

(*) Nota: esta parte no fue dada en clase, por consiguiente es opcional.

Slutsky define el ingreso real constante de modo que con la nueva relación de precios el individuo puedaconsumir lo mismo que antes en términos de bienes.

GRÁFICA 51

Al caer el precio de ϰ1, se le quitará ingreso nominal al consumidor, de modo tal que con la nueva relación deprecios continúe consumiendo lo mismo que antes.

Para encontrar el nuevo punto de equilibrio S, se debe trazar una recta paralela a la nueva restricción segúnMarshall que pase por el punto inicial E, y de esta forma se encuentra la nueva curva de indiferencia.

Efecto total

ϰ1M − ϰ1

E =

Efecto precio

ϰ1S − ϰ1

E +

Efecto ingreso

ϰ1M − ϰ1

S

Tanto para Hicks como para Slutsky, el efecto precio o sustitución es la curva de demanda. La diferencia entreestos autores es la definición de ingreso real constante. En Hicks el individuo se mantiene en el mismo nivel deutilidad, mientras que en Slutsky el individuo consume lo mismo que antes en términos de bienes.


Elasticidad: relación entre la de Marshall y la de Slutsky

∂ϰ1∂p1

= ∂ϰ1∂p1

+ ∂ϰ1∂m

∂m∂p1

Multiplico por

p 1 /ϰ 1

ϰ1,p1M

∂ϰ1∂p1

p1ϰ1

=

ϰ1,p1S

∂ϰ1∂p1

p1ϰ1

+ ∂ϰ1∂m

ϰ1∂m∂p1

p1ϰ1

m = m + Δp1ϰ1 m − m = Δp1ϰ1 ΔmΔp1

= ϰ1 ∂m∂p1

= ϰ1

ϰ 1 ,p 1M = ϰ 1 ,p 1

S − ∂ϰ1∂m

mϰ1

ϰ1m ϰ1

p1ϰ1

ϰ 1 ,p 1M = ϰ 1 ,p 1

S −

ϰ1,m

∂ϰ1∂m

mϰ1

k 1

ϰ1m p1

+−0

ϰ 1 ,p 1M =

−

ϰ 1 ,p 1S −

+−0

k1 ϰ 1 ,m Lo mismo que ocurría con Hicks

De esta forma, el signo de la elasticidad de la demanda Marshalliana está determinada por la elasticidadingreso:

ϰ 1 ,p 1M < 0 ϰ 1 ,m ≥ 0 Bien normal o independiente.

ϰ 1 ,p 1M ≥ 0 ϰ 1 ,m < 0 Bien inferior.

Pero además ϰ 1 ,m debe ser suficientemente negativo para compensar luego −k1 ϰ 1 ,m a ϰ 1 ,p 1S . Si no se

compensa, aún tratándose de un bien inferior, se cumplirá ϰ 1 ,p 1M < 0


Documents

Funcion de Demanda Marshall Ian A y a