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© UdeC - DIEFunción de Transferencia en Sistemas Continuos
Problema Introducir la F. de T. de un sistema.
La salida de un S.L.D. que está representado por una ecuación diferencial está dada por,
1 11 ( ) 1 ( )
0 0 0 0 0
0 0 0
(0 ) (0 )
( ) ( )
m m i n ii i k k i k k
i i i
i i k i k
n n ni i i
i i i
i i i
b s b s u a s y
y s u s
a s a s a s
− −− − + − − +
= = = = =
= = =
= − +∑ ∑∑ ∑∑
∑ ∑ ∑0
0
( ) ( ) T.C.I.
mi
i
i
ni
i
i
b s
y s u s
a s
=
=
= +∑
∑
Def.: Se define la Función de Transferencia (F. de T.) a la función h(s) como el factor en la ecuación
de y(s) que multiplica la entrada u(s), considerando c.i. nulas. Por lo tanto,
1
0 1 1 0 1
1
1 1 0
0 1
( )( )
( )( )
( )
mmi
m m ii
i m m i
n nn ni n
i i
i i
s zb sb s b s b s b n s
h ss a s a s a d s
a s s p
−= − =
−−
= =
++ + + +
= = = =+ + + + +
∑ ∏
∑ ∏L
L.
Def.: Los polos de h(s) son las raíces del denominador d(s).
Def.: Los ceros de h(s) son las raíces del numerador n(s).
Def.: El valor de la respuesta en S.S. para entrada escalón de un sistema se conoce como ganancia dc.
En un sistema continuo se determina como,
0 0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( )1/ lim ( ) (0)t s s s sy t sy s sh s u s sh s s h s h
→∞ → → → →= = = = = .
y(s) = c(sI – A)-1bu(s) + du(s) = c( )
{ }
s
s
−−I A
I A
Adj
detbu(s) + du(s), Otra forma de definir la F. de T.
de un S.L.D. es utilizando la
representación en ecuaciones
de estado, h(s) = c(sI – A)-1b + d = c
( )
{ }
s
s
−−I A
I A
Adj
detb + d, h(0) = c( A)-1b + d
Capítulo V - Función de Transferencia 1 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
Jl s⋅ ω⋅ km
va km ω⋅−
L s⋅ R+⋅ d ω⋅− Tl−= Tomando T.de L.
Despejando ia de la 1era ecuación y
reemplazando el resultado en la 2daωkm
Jl L⋅
1
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅ va⋅1−
Jl
sR
L+
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅ Tl⋅+=
Ordenadohwva s( )
km
Jl L⋅
1
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅:= hwTl s( )1−
Jl
sR
L+
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅:=
Ceros no hay z1R−
L:=
Polos p1
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−+
2:= p1
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−+
2:=
p2
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−−
2:= p2
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−−
2:=
z1 24−= p1 3.151−= p2 21.442−=
Función de Transferencia de Sistemas Eléctromecánicos
Problema Obtener la F. de T. de un sistema electromecánico.
Caso I Motor de Corriente Continua.
Parámetros Modelo
d 0.08:= R 1.2:= va Ltia
d
d⋅ R ia⋅+ km ω⋅+=
km 0.6:= L 50 103−
⋅:= Jl 0.135:=Jl
tωd
d⋅ km ia⋅ d ω⋅− Tl−=
F. de T., la salida es la velocidad ωωωω
El campo de la máquina es
a tensión constanteva L s⋅ ia⋅ R ia⋅+ km ω⋅+= Jl s⋅ ω⋅ km ia⋅ d ω⋅− Tl−=
Capítulo V - Función de Transferencia 2 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
p2 21.442−=p1 3.151−=z1 0.593−=
p2
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−−
2:=p2
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−−
2:=
p1
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−+
2:=p1
R
L
d
Jl
+
−R
L
d
Jl
+
2
4km
2d R⋅+
Jl L⋅⋅−+
2:=Polos
no hayCerosz1
d−
Jl
:=
hiaTl s( )km
Jl L⋅
1
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅:=hiava s( )1
L
sd
Jl
+
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅:=
Ordenadoia1
L
sd
Jl
+
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅ va⋅km
Jl L⋅
1
s2 R
L
d
Jl
+
s⋅+
km2
d R⋅+
Jl L⋅+
⋅ Tl⋅+=
va L s⋅ ia⋅ R ia⋅+ km
km− ia⋅ Tl+( )−
d Jl s⋅+⋅+=
Despejando ω de la 2da ecuación y
reemplazando el resultado en la 1era
Tomando T.de L.Jl s⋅ ω⋅ km ia⋅ d ω⋅− Tl−=va L s⋅ ia⋅ R ia⋅+ km ω⋅+=
F. de T., la salida es la corriente ia
Capítulo V - Función de Transferencia 3 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5ia A - w, rad/s - torque de carga
Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI0
0
:=D t x,( ) A
x0
x1
⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+:=
u t( ) va t( ):=p t( ) Tl t( ):=e
0
1−
Jl
:=b
1
L
0
:=A
R−
L
km
Jl
km−
L
d−
Jl
:=
va t( ) 3 Φ t 1−( )⋅:=Tl t( ) 0.5 Φ t 6−( )⋅:=n 0 nf..:=nf 500:=tf 10:=
Simulación. Se aplica una tensión de armadura. No hay ventilación ni carga.
hiaTl 0( ) 1.316=hiava 0( ) 0.175=x2 ω=x1 ia=
hwTl 0( ) 2.632−=hwva 0( ) 1.316=Variables de Estado
Capítulo V - Función de Transferencia 4 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
τL
R:=kp 2
ki
m
i0
l1 x0− a+⋅
⋅1
R⋅:=
aζ
d
2 m⋅k
m
ki
m
i02
l1 x0− a+( )2⋅−⋅
:=
a
ωnk
m
ki
m
i02
l1 x0− a+( )2⋅−:=
a
∆x kp1
s2
2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2
+
⋅1
τ s⋅ 1+⋅ ∆e⋅=
La F. de T. es,
∆x2
s2 d
ms⋅+
k
m
ki
m
i02
l1 x0− a+( )2⋅−
+
ki
m⋅
i0
l1 x0− a+⋅
1
R
sL
R⋅ 1+
⋅ ∆e⋅=∆v s ∆x⋅=∆i∆e
s L⋅ R+=
Ordenando
s ∆v⋅ 2ki
m⋅
i0
l1 x0− a+⋅ ∆i⋅
ki
m
i02
l1 x0− a+( )2⋅
k
m−
∆x⋅+d−
m∆v⋅+=
s ∆x⋅ ∆v=
s ∆i⋅R−
L∆i⋅
1
L∆e⋅+=
Tomando T. de L.
b
1
L
0
0
:=A
R−
L
0
2ki
m⋅
i0
l1 x0− a+⋅
0
0
ki
m
i02
l1 x0− a+( )2⋅
k
m−
0
1
d−
m
:=
k
x3tx
d
d= v=x2 x=x1 ia=
Modelo LinealVariables de Estado
+
-
y(t)
m
R
e(t)
i(t)
L
kd
x(t)
a
l1
tv
d
dg−
ki
m
i2
l1 x− a+⋅+
k
ml0 x−( )⋅+
d
mv⋅−=
tx
d
dv=
ti
d
d
e
L
R
Li⋅−=Modelo.
Sistema de levitación magnética.Caso II
Capítulo V - Función de Transferencia 5 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIEFunción de Transferencia en Sistemas Discretos
Problema Introducir la F. de T. de un sistema.
La salida de un S.L.D. que está representado por una ecuación de diferencias está dada por,
1 1
0 0 0 0 0
0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
m m i n ii i k i k
i i i
i i k i k
n n ni i i
i i i
i i i
b z b s u kT a z y kT
y z u z
a z a z a z
− −− −
= = = = =
= = =
= − +∑ ∑∑ ∑∑
∑ ∑ ∑0
0
( ) ( ) T.C.I.
mi
i
i
ni
i
i
b z
y z u z
a z
=
=
= +∑
∑
Def.: Se define la Función de Transferencia (F. de T.) a la función h(z) como el factor en la ecuación
de y(z) que multiplica la entrada u(z), considerando c.i. nulas. Por lo tanto,
1
0 1 1 0 1
1
1 1 0
0 1
( )( )
( )( )
( )
mmi
m m ii
i m m i
n nn ni n
i i
i i
z zb zb z b z b z b n z
h zz a z a z a d z
a z z p
−= − =
−−
= =
++ + + +
= = = =+ + + + +
∑ ∏
∑ ∏L
L.
Def.: Los polos de h(z) son las raíces del denominador d(z).
Def.: Los ceros de h(z) son las raíces del numerador n(z).
Def.: El valor de la respuesta en S.S. para entrada escalón de un sistema discreto se conoce como
ganancia dc. En un sistema discreto se determina como,
1 1 1 1
1 1 1lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) (1)
1k z z z z
z z z zy kT y z h z u z h z h z h
z z z z→∞ → → → →
− − −= = = = =
−.
y(z) = c(zI – A)-1bu(z) + du(z) = c( )
{ }
z
z
−−I A
I A
Adj
detbu(z) + du(z), Otra forma de definir la F. de T.
de un S.L.D. es utilizando la
representación en ecuaciones
de estado, h(z) = c(zI – A)-1b + d = c( )
{ }
z
z
−−I A
I A
Adj
detb + d, h(1) = c(I - A)-1b + d
Capítulo V - Función de Transferencia 6 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
u k( ) 0=Parámetros
aa1 1−:= aao 1−:= bbo 1:= xo
0
1
:=
Parámetros
Ad
0
aao−
1
aa1−
:= bd
0
bbo
:=
Función de Transferencia, la salida es y(k) cd 1 0( ):= Función de Transferencia, la salida es y(k+1) cd 0 1( ):=
h z( ) cd z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ bd⋅= h z( )
z
z2
z− 1−=→ h z( ) cd z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−
⋅ bd⋅= h z( )z
z2
z− 1−=→
cd 1 identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ bd⋅ 1−→ cd 1 identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−
⋅ bd⋅ 1−→
¿ la salida CV ? ¿ la salida CV ?
Caso III Obtener la F. de T. de un sistema discreto
Sistema de
Segundo
Orden.
y k 2+( ) aa1 y k 1+( )⋅+ aao y k( )⋅+ bbo u k( )⋅=
Variables de Estado.
x1 k( ) y k( )= x1 k 1+( ) x2 k( )=
x2 k( ) y k 1+( )= x2 k 1+( ) aao− x1 k( )⋅ aa1 x2 k( )⋅− bbo u k( )⋅+=
La
Población
de Conejos
y kT 2T+( ) y kT T+( )− y KT( )− 0=
x1 kT( ) y kT( )= x1 kT T+( ) x2 kT( )=C.I. y 0( ) y0= 1=
x2 kT( ) y kT T+( )= x2 kT T+( ) x1 kT( ) x2 kT( )+=
y T( ) yT= 1=
entrada
Capítulo V - Función de Transferencia 7 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
ωn1
L C⋅:= ζ
1
2R⋅
C
L⋅:=
Variables de Estado.
x1 v=tx1
d
d tv
d
d= x2=
x2tv
d
d=
tx2
d
d t tv
d
d
d
d= 2− ζ⋅ ωn⋅
tv
d
d⋅ ωn
2v⋅− ωn
2e⋅+= 2− ζ⋅ ωn⋅ x2⋅ ωn
2x1⋅− ωn
2u⋅+= u e=
Simulación e t( ) Φ t( ):= u t( ) e t( ):= tf 6:= nf 500:= n 0 nf..:=
D t x,( )
0
ωn2
−
1
2− ζ⋅ ωn⋅
x0
x1
⋅0
ωn2
u t( )⋅+:= CI
0
0
:= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=
0 1 2 3 4 5 60
1
2Corriente
Ecuación Diferencial Orden n - n Ecuaciones de Estado
Problema Disponer de un método para escribir ecuaciones de estado a partir de una ecuación diferencial de orden n.
Circuito RLC y fuente e(t). Parámetros
+
-
+ v(t)
R
e(t) i(t)
L
C
-
k
d
F(t)
m
x(t)
d 3:= m 1.5:= k 20:=
Modelo del circuito. R d:= L m:= C1
k:=
L C⋅t t
vd
d
d
d⋅ R C⋅
tv
d
d
⋅+ v+ e= ecuación diferencial
t tv
d
d
d
d2 ζ⋅ ωn⋅
tv
d
d⋅+ ωn
2v⋅+ ωn
2e⋅= k 1:=
Capítulo V - Función de Transferencia 8 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
x2 kT T+( ) x1 kT( ) x2 kT( )+= y T( ) yT= 1=
Parámetros
Tm 1:= tf 10:= kf tf Tm1−
⋅:= k 0 kf..:= aa1 1−:= aao 1−:= bbo 0:= xo
0
1
:=
ParámetrosSimulación
Ad
0
aao−
1
aa1−
:= bd
0
bbo
:= xd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅
0
k 1−
j
Adk j− 1−
bd⋅∑=
+,
:=
0 2 4 6 8 100
50
100Salida
0 2 4 6 8 100
2
y(kT+T)/y(kT) = x2(kT)/x1(kT)
1 5+
2
Ecuación de Diferencias Orden n - n Ecuaciones de Diferencias
Problema Disponer de un método para escribir ecuaciones de diferencias
a partir de una ecuación de diferencias n.
Sistema de
Segundo
Orden.
y k 2+( ) aa1 y k 1+( )⋅+ aao y k( )⋅+ bbo u k( )⋅=
Variables de Estado.
x1 k( ) y k( )= x1 k 1+( ) x2 k( )=
x2 k( ) y k 1+( )= x2 k 1+( ) aao− x1 k( )⋅ aa1 x2 k( )⋅− bbo u k( )⋅+=
La
Población
de Conejos
y kT 2T+( ) y kT T+( )− y KT( )− 0=
x1 kT( ) y kT( )= x1 kT T+( ) x2 kT( )= C.I. y 0( ) y0= 1=
x2 kT( ) y kT T+( )=
Capítulo V - Función de Transferencia 9 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
Función de Transferencia
s i s( )⋅ io−( ) R
Li s( )⋅+
1
Le s( )⋅=
L
Rs⋅ i s( )⋅ i s( )+
1
Re s( )⋅=
i s( )
e s( )
1
R
1
L
Rs⋅ 1+
⋅=
Constante de Tiempo Ganancia
τL
R:= k
1
R:= e exp 1( ):=
Respuesta Total.
i t( ) io expt−
τ
⋅ Φ t( )⋅ k 1 expt−
τ
−
⋅ Φ t( )⋅+:= ir t( ) io expt 1−( )−
τ
⋅ Φ t 1−( )⋅ k 1 expt 1−( )−
τ
−
⋅ Φ t 1−( )⋅+:= Respuesta Total
Retardada 1 s.
tf 6:= nf 500:= t 0 0.01, tf..:=
0 1 2 3 4 5 60
2
4
Corriente
k
k 1 e1−−( )⋅i t( )
ir t( )
τ
t
Sistemas de Primer Orden
Problema Interiorizarse de los Sistemas de Primer Orden.
+
-
R
e(t)
i(t)
L
Ecuaciones
Diferencia-
les
Circuito RL y
fuente e(t).
Parámetros Modelo del circuito.
R 0.25:= L 0.2:= e R i⋅ Lti
d
d⋅+= ecuación diferencial io 0:=
ti
d
d
R
Li⋅+
1
Le⋅= ao
R
L:= bo
1
L:=
Transformada de Laplace
Capítulo V - Función de Transferencia 10 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
Ct t
vd
d
d
d
⋅
e R Ctv
d
d⋅
⋅− v−
L=
L C⋅t t
vd
d
d
d
⋅ R C⋅tv
d
d
⋅+ v+ e= ecuación diferencial vo 2:= vo_p 0:= io 0:=
Transformada de Laplace (con C.I. nulas) Función de Transferencia
L C⋅ s2
⋅ v s( )⋅ R C⋅ s⋅ v s( )⋅+ v s( )+ e s( )=v s( )
e s( )
1
L C⋅ s2
⋅ R C⋅ s⋅+ 1+=
v s( )
e s( )1
1
L C⋅
s2 R
Ls⋅+
1
L C⋅+
⋅=
Función de Transferencia Generalizada
h s( ) kωn
2
s2
2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2
+
⋅= k 1:= ωn1
L C⋅:= ζ
1
2R⋅
C
L⋅:=
Respuesta a Entrada Escalón.
v t( ) k 11
1 ζ2
−
eζ− ωn⋅ t⋅
⋅ sin ωn 1 ζ2
−⋅ t⋅ acos ζ( )+
⋅−
⋅:=
Sistemas de Segundo Orden
Problema Interiorizarse de los Sistemas de Segundo Orden.
+
-
+ v(t)
R
e(t) i(t)
L
C
-
k
d
F(t)
m
x(t)
Ecuaciones
Diferencia-
les
Circuito RLC y fuente e(t). Parámetros
d 3:= m 1.5:= k 20:=
R d:= L m:= C1
k:=
Modelo del circuito.
Ctv
d
d⋅ i= e R i⋅ L
ti
d
d⋅+ v+=
Ct t
vd
d
d
d
⋅ti
d
d=
Capítulo V - Función de Transferencia 11 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIERespuesta escalón para varios valores de ζ. ζ 0.274=
v t ζ,( ) k 11
1 ζ2
−
eζ− ωn⋅ t⋅
⋅ sin ωn 1 ζ2
−⋅ t⋅ acos ζ( )+
⋅−
⋅:=
tf 6:= nf 500:= t 0 0.01, tf..:=
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2Voltaje
k
v t 0.1,( )
v t 0.274,( )
v t 0.5,( )
v t 1.2,( )
tRespuesta escalón para varios valores de ωn. ωn 3.651=
v t ωn,( ) k 11
1 ζ2
−
eζ− ωn⋅ t⋅
⋅ sin ωn 1 ζ2
−⋅ t⋅ acos ζ( )+
⋅−
⋅:=
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5Voltaje
kv t 12,( )
v t 3.651,( )
v t 2,( )
v t 1,( )
t
Capítulo V - Función de Transferencia 12 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
s y s( )⋅ ao y s( )⋅+ bo u s( )⋅= Polo en: sp ao−:= Ganancia:bo
ao
Caso
discreto.y k 1+( ) aao y k( )⋅+ bbo u k( )⋅=
z y z( )⋅ aao y z( )⋅+ bbo u z( )⋅= Polo en: zp aao−:= Ganancia:bbo
1 aao+
i) Si el sistema continuo tiene un polo ubicado en sp, debe existir un polo equivalente en el plano z
dado por ps T
pz e= .
ii) Si el sistema continuo tiene un cero ubicado en sz, debe existir un cero equivalente en el plano z
dado por zs T
zz e= .
iii) Se debe cumplir la condición de ganancia dc h(s)|s = 0 = h(z)|z = 1, o bien, 0
1
( ) |1
( ) |
s
z
h s
h z
=
=
= .
Parámetros Discretos
Tm 0.25:= aao exp ao− Tm⋅( )−:= bbo 1 aao+( )bo
ao
⋅:=
Ecuación Diferencial -> Ecuación de Diferencias
Problema Transformar una ecuación diferencial en ecuaciones de diferencias.
Caso I Sistema de Primer Orden.
+
-
R
e(t)
i(t)
L
Caso
continuo. ti t( )
d
d
R
Li t( )⋅+
1
Le t( )⋅= R 0.25:= L 0.2:= io 2−:= e t( ) Φ t( ):=
ty t( )
d
dao y t( )⋅+ bo u t( )⋅= ao
R
L:= bo
1
L:= u t( ) e t( ):= e t( ) R i t( )⋅ L
ti t( )
d
d⋅+=
Capítulo V - Función de Transferencia 13 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
+
-
R
e(t)
i(t)
L
0 1 2 3 4 5 6 7 82
0
2
4
Corriente
0
yd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅
0
k 1−
j
Adk j− 1−
bd⋅∑=
+,
:=u k( ) Φ k( ):=xo io:=bd bbo:=Ad aao−:=
k 0 nf..:=nf
tf
Tm
:=y k( ) aao− y k 1−( )⋅ bbo u k 1−( )⋅+=Simulación
Discreta
Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI io:=D t x,( ) ao− x0
⋅ bo u t( )⋅+:=n 0 nf..:=nf 600:=tf 8:=Simulación
Continua
Capítulo V - Función de Transferencia 14 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
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bbo kp 1 p1−( )⋅ 1 p2−( )⋅:=aao p1 p2⋅:=aa1 p1− p2−+:=
p2 exp ζ− ωn⋅ ωn ζ2
1−⋅−
Tm⋅
:=p1 exp ζ− ωn⋅ ωn ζ
21−⋅+
Tm⋅
:=Tm 0.25:=
Parámetros Discretos
y z( ) z p1−( )⋅ z p2−( )⋅ kp 1 p1−( )⋅ 1 p2−( )⋅ u z( )⋅=
z2y z( )⋅ aa1 z⋅ y z( )⋅+ aao y z( )⋅+ bbo u z( )⋅=
y k 2+( ) aa1 y k 1+( )⋅+ aao y k( )⋅+ bbo u k( )⋅=
v k 2+( ) aa1 v k 1+( )⋅+ aao v k( )⋅+ bbo e k( )⋅=
Caso discreto.
h s( ) kp
ωn2
s2
2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2
+
⋅=y s( ) s ζ− ωn⋅ ωn ζ2
1−⋅+
−
⋅ s ζ− ωn⋅ ωn ζ
21−⋅−
−
⋅ kp ωn
2⋅ u s( )⋅=
s2y s( )⋅ 2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅ y s( )⋅+ ωn
2y s( )⋅+ kp ωn
2⋅ u s( )⋅=
Caso II Sistema de Segundo Orden.
Caso continuo.
+
-
+ v(t)
R
e(t) i(t)
L
C
-
k
d
F(t)
m
x(t)
L C⋅t t
vd
d
d
d⋅ R C⋅
tv
d
d
⋅+ v+ e= d 3:= m 1.5:= k 20:=
t tv
d
d
d
d2 ζ⋅ ωn⋅
tv
d
d⋅+ ωn
2v⋅+ kp ωn
2⋅ e⋅= R d:= L m:= C
1
k:=
kp 1:= ωn1
L C⋅:= ζ
1
2R⋅
C
L⋅:=
t ty t( )
d
d
d
d2 ζ⋅ ωn⋅
ty t( )
d
d⋅+ ωn
2y t( )⋅+ kp ωn
2⋅ u t( )⋅=
Capítulo V - Función de Transferencia 15 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
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¡ Algo falla !
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3Voltaje
k 0 nf..:=nf
tf
Tm
:=yd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅
0
k 1−
j
Adk j− 1−
bd⋅ ud j( )⋅∑=
+,
:=
xo
0
0.332
=ud k( ) uc k Tm⋅( ):=xo
0
Zal
nf
Tm
tf
⋅ 1,
:=bd
0
bbo
:=Ad
0
aao−
1
aa1−
:=
x2 k 1+( ) aao− x1 k( )⋅ aa1 x2 k( )⋅− bbo u k( )⋅+=x2 k( ) v k 1+( )=
x1 k 1+( ) x2 k( )=x1 k( ) v k( )=
Simulación Discreta
Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI x0:=D t x,( ) Ac
x0
x1
⋅ bc uc t( )⋅+:=
n 0 nf..:=nf 640:=tf 8:=
uc t( ) Φ t( ) Φ t 4−( )+:=x0
0
0
:=bc
0
ωn2
:=Ac
0
ωn2
−
1
2− ζ⋅ ωn⋅
:=
tx2
d
d2− ζ⋅ ωn⋅ x2⋅ ωn
2x1⋅− ωn
2u⋅+=x2
tv
d
d=
tx1
d
dx2=x1 v=
Simulación Continua
Capítulo V - Función de Transferencia 16 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIEEc. de Estado Continuas -> Ec. de Estado Discretas
Problema Encontrar un equivalente discreto a las ecuaciones de estado diferenciales.
Sea el sistema continuo dado por,
x&(t) = Ax(t) + bu(t), y(t) = cx(t) + du(t),
que tiene por estados a,
00
( ) ( ) ( ) ( )t
t t t d= + − τ τ τ∫x Φ x Φ Bu ,
si la c.i. es arbitraria en t = t0, entonces,
0
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
tt t t t t d= − + − τ τ τ∫x Φ x Φ Bu ,
si el instante t0 es kT y el instante t es kT + T, entonces,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kT T
kTkT T kT T kT kT kT T d
++ = + − + + − τ τ τ∫x Φ x Φ Bu ,
si la entrada se mantiene constante en el intervalo de integración, entonces,
{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( )kT T
kTkT T T kT kT T d kT
++ = + + − τ τ∫x Φ x Φ B u ,
sea kT + T - τ = T - σ entonces dτ = dσ, 0
kT T T
kT
+τ → σ , por lo que,
{ }0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
kT T T kT T d kT+ = + − σ σ∫x Φ x Φ B u ,
o equivalentemente,
{ }( )
0( ) ( ) ( )
TT TkT T e kT e d kT−σ+ = + σ∫A A
x x B u .
Luego, para el sistema discreto descrito por las ecuaciones de estado,
x(kT + T)= Ax(kT) + bu(kT),
se encuentra por inspección que las matrices A y b, pueden ser definidas por,
{ }( )
0,
TT Te e d−σ= = σ∫A A
A b B .
Con esto se logra un sistema discreto equivalente al sistema continuo. Se debe tener presente que esta
equivalencia es exacta en la medida que u(t) sea constante entre intervalos de muestreo. Esto es válido
para toda señal compuesta por escalones que pueden cambiar de amplitud en los instantes de muestreo.
Capítulo V - Función de Transferencia 17 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
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tx2
d
d2− ζ⋅ ωn⋅ x2⋅ ωn
2x1⋅− kp ωn
2⋅ u⋅+=
Ac
0
ωn2
−
1
2− ζ⋅ ωn⋅
:= bc
0
ωn2
:= xo
0
0
:= uc t( ) Φ t 1−( ) Φ t 4−( )+:=
Modelo Discreto en Ecuaciones de Diferencias Tm 0.25:=
T eigenvecs Ac( ) 1−:= ΦT t( )
exp eigenvals Ac( )0 t⋅( )0
0
exp eigenvals Ac( )1 t⋅( )
:= Φc t( ) T1−
ΦT t( )⋅ T⋅:=
Ad Φc Tm( ):= Ad
0.668
2.275−
0.171
0.327
= bd
0
Tm
τΦc Tm τ−( ) bc⋅( )0
⌠⌡
d
0
Tm
τΦc Tm τ−( ) bc⋅( )1
⌠⌡
d
:= bd
0.332
2.275
=
Simulación del Modelo Continuo en Ecuaciones de Estado tf 8:= nf 640:= n 0 nf..:=
D t x,( ) Ac
x0
x1
⋅ bc uc t( )⋅+:= CI xo:= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=
Problema Trasnformar una representación en ecuaciones de estado en discretas.
Caso I Sistema de Segundo Orden.
Caso continuo.
+
-
+ v(t)
R
e(t) i(t)
L
C
-
k
d
F(t)
m
x(t) L C⋅
t tv
d
d
d
d⋅ R C⋅
tv
d
d
⋅+ v+ e= d 3:= m 1.5:= k 20:= kp 1:=
t tv
d
d
d
d2 ζ⋅ ωn⋅
tv
d
d⋅+ ωn
2v⋅+ kp ωn
2⋅ e⋅= R d:= L m:= C
1
k:= ωn
1
L C⋅:= ζ
1
2R⋅
C
L⋅:=
Modelo Continuo en Ecuaciones de Estado
x1 v=tx1
d
dx2=
x2tv
d
d=
Capítulo V - Función de Transferencia 18 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIESimulación del Modelo Discreto en Ecuaciones de Diferencias ud k( ) uc k Tm⋅( ):=
yd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅
0
k 1−
j
Adk j− 1−
bd⋅ ud j( )⋅∑=
+,
:= nfd
tf
Tm
:= k 0 nfd..:=
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3Voltaje
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3Voltaje
cd 1 0( ):= Ad
0.668
2.275−
0.171
0.327
= bd
0.332
2.275
=
h z( ) cd z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ bd⋅=
h z( ).331936 z⋅ .279732985005+
z2
.994861 z⋅− .606529985005+:= h s( ) kp
ωn2
s2
2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2
+
⋅=
Capítulo V - Función de Transferencia 19 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
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i0 if1:= x0 xf:= v0 0:=
Modelo Lineal io i0:= xo x0:= vo v0:= eo ef1:=
A
R−
L
0
2ki
m⋅
i0
l1 x0− a+⋅
0
0
ki
m
i02
l1 x0− a+( )2⋅
K
m−
0
1
d−
m
:=b
1
L
0
0
:= c 0 1 0( ):=
Simulación Sistema. ∆uc t( ) Φ t( )− t( ) Φ t( )⋅+ t 2−( ) Φ t 2−( )⋅− Φ t 2−( )−:= tf 4:= lf 2001:= l 0 lf..:=
D t x,( ) A x0
x1
x2( )T⋅ b ∆uc t( )⋅+:= CI 0 0 0( )
T:= Zp rkfixed CI 0, tf, lf, D,( ):=
0 1 2 3 44
2
0
2
4Di, Dx
0
0 1 2 3 41
0
1De
0
Caso II Sistema de levitación magnética.
R 1:= L 50 103−
⋅:= g 9.8:= K 24.5:= l1 0.5:=
m 0.250:= ki 3 103−
⋅:= a 0.02:= d 1.5:= l0 0.3:=
+
-
y(t)
m
R
e(t)
i(t)
L
kd
x(t)
a
l1
Condiciones Iniciales y Entradas.
la corriente if1 para tener la bola a 30 cm desde el piso en t = 0 es,
xf30
100:= if1
1
ki
ki g m⋅ l1⋅ g m⋅ xf⋅− g m⋅ a⋅+ K xf⋅ l1⋅+ K l0⋅ l1⋅−
K l0⋅ xf⋅ K l0⋅ a⋅− K xf2
⋅− K xf⋅ a⋅++
...
⋅
⋅:=
las c.i. son,
por lo que la tensión ef1 a aplicar es, ef1 if1 R⋅:= ef1 13.404=
Capítulo V - Función de Transferencia 20 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIE
0 1 2 3 44
2
0
2
4Dx continuo y discreto
0
0 1 2 3 4
0
Di continuo y discreto
0
0 1 2 3 4
0
De continuo y discreto
0
∆xd k( ) if k 0= ∆xo, Adk
∆xo⋅
0
k 1−
j
Adk j− 1−
bd⋅ ∆ud j( )⋅∑=
+,
:=∆xo
0
0
0
:=k 0 mf..:=mf
tf
Tm
:=
∆ud k( ) Φ k Tm⋅( )− k Tm⋅( ) Φ k Tm⋅( )⋅+ k Tm⋅ 2−( ) Φ k Tm⋅ 2−( )⋅− Φ k Tm⋅ 2−( )−:=
Simulación de Ecuaciones de Estado Discretas Equivalentes y Comparación.
cd 0 1 0( )=cd c:=
bd
0.993
0.017
0.11
=bd
0
Tm
τΦc Tm τ−( ) b⋅( )0
⌠⌡
d
0
Tm
τΦc Tm τ−( ) b⋅( )1
⌠⌡
d
0
Tm
τΦc Tm τ−( ) b⋅( )2
⌠⌡
d
T
:=Ad
6.738 103−
×
5.485 103−
×
6.589− 103−
×
0
0.166
3.77−
0
0.071
0.257−
=
Ad Φc Tm( ):=Tm 0.25:=Φc t( ) eigenvecs A( )
exp eigenvals A( )0t⋅( )
0
0
0
exp eigenvals A( )1t⋅( )
0
0
0
exp eigenvals A( )2t⋅( )
⋅ eigenvecs A( )1−
⋅:=
Ecuaciones de Estado Discretas Equivalentes.
Capítulo V - Función de Transferencia 21 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214
© UdeC - DIEEntrada continua con Sample/Hold.
delTm t( )1
Tm
Φ t( ) Φ t Tm−( )−( )⋅:= Tm 0.25= N 19:= ∆ur t( )
0
N
i
∆uc i Tm⋅( ) delTm t i Tm⋅−( ) Tm⋅∑=
:=
Simulación para encontrar la C.I.
D t x,( ) A x0
x1
x2( )T⋅ b ∆ur t( )⋅+:= CI 0 0 0( )
T:= Zp rkfixed CI 0, tf, lf, D,( ):=
0 1 2 3 4
0
De continuo, con S/H y discreto
0
0 1 2 3 4
0
Di continuo y discreto
0
0 1 2 3 44
2
0
2
4Dx continuo y discreto
0
Capítulo V - Función de Transferencia 22 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214