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El Astrolabio

FUNCIÓN

LINEALEnseñanza y aprendizaje

F o t o g r a f í a : L a u r a P u l i d o D i s e ñ o : N a t a l i a B e

d o y a H e r n á n d e z G i m n a s i o C a m p e s t r e


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Investigación y Ciencia del Gimnasio Campestre

SUMMARY

This research aims to develop a DidacticEngineering related to the concept ofLinear Function, based on the DidacticSituations Approach. In this paper, wepresent the preliminary phase that in-cludes the historical and epistemologicalanalysis, didactic and cognitive about thelinear function concept.

Key words: Didactic SituationsApproach, Didactic Engineering,linear function.

INGENIERÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA

DE LA FUNCIÓN LINEAL: ANÁLISIS PRELIMINAR

Martha Lucía Acosta, Anneris Joya Vega

Profesoras Departamento de Matemáticas, Gimnasio Campestre Correspondencia para las autoras:[email protected],

ajoya@campestre edu.co

Recibido: 23 de septiembre de 2013 Aprobado: 18 de octubre de2013

RESUMEN

Esta investigación tiene como objetivodesarrollar una ingeniería didáctica acer-ca del concepto de función lineal en elmarco de la Teoría de las situaciones di-dácticas. En este artículo, se presenta elmarco metodológico y el correspondienteanálisis preliminar que incluye un análisishistórico-epistemológico, didáctico ycognitivo del concepto de función lineal.

Palabras clave: Teoría de las Si-tuaciones Didácticas, IngenieríaDidáctica, función lineal.

REVISI N DE TEMAo


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INTRODUCCIÓN

Debido a las múltiples aplicaciones delconcepto de función lineal en diferentes

contextos reales, y a la posibilidad de co-nectarlo con otras disciplinas, considera-mos importante plantear nuevas formasde enseñar este concepto, aprovechandolas herramientas tecnológicas que elcolegio ofrece para los estudiantes. Loanterior, teniendo en cuenta que estasherramientas hacen parte del plan deestudios y que hay políticas instituciona-les que sugieren la necesidad de su uso.Por otra parte, la Didáctica de las Mate-

máticas es una disciplina cientíca quetiene como objeto de estudio los fenóme-nos que se dan en el sistema didáctico.La Didáctica de las Matemáticas permitedescribir las relaciones entre las compo-nentes del sistema didáctico: saber, estu-diante y profesor, con el n de identicarlas características determinantes en laevolución de los conceptos matemáti-cos que contribuyan en la producción,implementación y control de accionestendientes a abordar la problemática delaprendizaje de conceptos matemáticos,para este caso, el concepto de funciónlineal.

En particular, consideramos pertinenteinvestigar sobre el concepto de función,pues como arman González y Martín(2003) este concepto ha sido objeto denumerosas investigaciones en el campode la Didáctica de la Matemática, des-de enfoques muy diversos. Se puedennombrar tanto estudios basados en laevolución histórica del concepto, comoaquellos que abordan su evolución en loslibros de texto (Markovits y otros citadopor González y Martín, 2003), otros cen-trados en las dicultades que conlleva(Ruiz, 1984), en su comprensión (Tall

y Vinner, 1981; Dreyfus y Vinner, 1982,1989), o en sus formas de representa-ción (Sierra, González, y López, 2000).Existen además numerosos artículos que

proponen innovaciones para su ense-ñanza. Nos proponemos, como objetivode investigación, diseñar una ingenieríadidáctica para la enseñanza de la funciónlineal a estudiantes de sexto y séptimogrado. Para ello, realizamos un análisisdel concepto de función lineal desde laperspectiva histórico-epistemológica,didáctica y cognitiva. Esta etapa prelimi-nar se presenta en este artículo para pos-teriormente, proponer una secuencia de

actividades que constituya la situacióndidáctica y el correspondiente análisisa posteriori.

ESTADO DEL ARTE

A continuación, presentamos algunasinvestigaciones relacionadas con el con-cepto de función en el campo de la Di-dáctica de las Matemáticas, que aportanelementos teóricos y metodológicos parael desarrollo de la Ingeniería Didáctica.Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) mues-tran los resultados de un estudio realiza-do con seis estudiantes sobre ecuacioneslineales con dos variables, cuando elloshan desarrollado previamente una con-cepción acerca de las ecuaciones comoigualdades numéricas y las letras comonúmeros por descubrir. Esta investiga-ción está inscrita en el marco teórico ymetodológico de la Teoría de Situaciones(Brousseau, 1986) y de la Ingeniería Di-dáctica (Artigue, 1988). El problema deinvestigación radicó en identicar lascondiciones de apropiación del Álgebraelemental en alumnos de la escuelamedia. En el estado del arte, Panizza,Sadovsky y Sessa (1996) consideraron losaportes de varios autores tanto en la ca-


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racterización de la ruptura que supone elpasaje de la Aritmética al Álgebra (Verg-naud,1997; Kieran,1989; Chevallard,1982) como en la caracterización de la

actividad algebraica dada entre otros porGrugeón (1995) y Janvier (1996).

Luego del análisis de las entrevistas, losautores estructuraron el trabajo sobredos ejes: el tratamiento que hacen losalumnos del objeto y la relación que ellosestablecen entre las soluciones de laecuación y las soluciones de los sistemaslineales. Como conclusión de la investi-gación se observó que la ecuación lineal

con dos variables no es reconocida por losalumnos como un objeto que dene unconjunto de innitos pares de números.Además, se concluyó que es necesarioavanzar en el conocimiento de la rela-ción que existe entre el aprendizaje dela noción de incógnita y el de la nociónde variable para entender la complejarelación entre la aritmética y el álgebra.Sierpinska (citado por García y Montiel,2008, pp. 12-26) realizó dos estudiosacerca del concepto de función. En elprimero, presenta un análisis episte-mológico del concepto a partir de larevisión histórica, que busca identicarlas diferencias entre el saber cientícoy el saber enseñado y propone cincoobstáculos epistemológicos asociados aeste concepto:• Los objetos variables son aceptadosen ciencias naturales o en aplicaciones,pero no en las matemáticas puras.

• Las magnitudes son entidades cuali-tativamente deferentes de los núme-ros; la proporcionalidad es diferentede la igualdad.

• Existe una fuerte creencia en el po-der de las operaciones formales con lasexpresiones algebraicas.

• Lo más importante de la Matemáticaes proveerse de un cálculo poderosoque permita a los cientícos resolversus problemas.

• Los objetos geométricos son toma-dos implícitamente como un todo quecontiene en él mismo sus longitudes,su área y su volumen.

De la misma manera, en este estudioSierpinska (citado por García y Montiel,2008) caracteriza las concepciones delos estudiantes en: concepción primitiva,concepción de razón o proporción, visiónsintética, tabla numérica, expresionesalgebraicas, visión analítica de la curvay relación funcional.

González y Martín (2003) realizaron unestudio acerca de las dicultades y con-cepciones de un grupo de estudiantes deprimer año de Bachillerato. La investiga-ción se centró en realizar un diagnósticode las dicultades que evidencian losestudiantes en la conversión entre lossistemas gráco y simbólico de la repre-sentación de fracciones. Se realizó esteestudio, en primer lugar, para identi-car las dicultades de los estudiantesy así intentar mejorar su proceso deaprendizaje mediante una instrucciónque atienda a éstas y, en segundo lugar,para hacer evidente la importancia de lautilización de las nuevas tecnologías enla enseñanza de las matemáticas.

Los resultados de esta investigaciónmuestran que los estudiantes tienendicultades para relacionar los coecien-tes de las ecuaciones algebraicas de lasfunciones con su representación gráca;tienden a usar la representación tabularpara establecer esta relación, procedi-miento que los induce a cometer errores.


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De igual manera evidencian errores alrelacionar la expresión algebraica deuna función con la representación grá-ca y tienden a usar el mismo tipo de

justicación en todas sus respuestas. Lasinvestigadoras concluyen que los errores,debidos a los cálculos que evidencian losestudiantes, están asociados al manejoque hacen de la función desde el puntode vista operativo, es decir, como unproceso y no desde un punto de vistaestructural, como un objeto.

Ruíz (1989) realizó un estudio sobre lasconcepciones de los estudiantes acerca

del concepto de función. A partir de larevisión epistemológica, del análisis detextos escolares y de la elaboración yaplicación de un cuestionario identicóy caracterizó las concepciones de losestudiantes, algunas inconsistencias enel aprendizaje de este concepto y al-gunos obstáculos didácticos asociados.La investigadora halló inconsistenciasentre la denición y los ejemplos dadospor los estudiantes, entre el aspecto de-

clarativo de sus respuestas y el aspectoargumentativo de las mismas, referidasal reconocimiento de una misma funciónen diferentes representaciones, entre larelación fórmula y función, y nalmente,inconsistencias entre las representacio-nes grácas y algebraicas de una mismasituación presentada en un contexto devariación. Como conclusiones generalesse señalan algunos aspectos importantespara la enseñanza de este concepto que

pueden ser considerados posteriormen-te en la etapa de la construcción de lasecuencia de enseñanza:

• Hacer estudio analítico de la varia-bilidad de fenómenos asociados alcambio, que les permita a los estu-

diantes encontrar una signicaciónen un contexto real.

• Asociar el concepto de función asituaciones de dependencia que die-ron origen a este concepto, como lomuestra la génesis histórica.

• Promover el paso de la concepciónproceso del concepto de función ala concepción objeto, mediante lare-contextualización de aspectosque modelen el objeto función, detal manera que la enseñanza no selimite a la ejercitación repetitiva deprocedimientos.

• Estudiar, por medio de la IngenieríaDidáctica, el papel de las diferentesvariables que entran en juego parafacilitar la evolución de las concep-ciones de los estudiantes y la supe-ración de los obstáculos didácticoso epistemológicos en el aprendizajedel concepto de función.

MARCO TEÓRICO

La presente investigación se enmarca en

la Didáctica de las Matemáticas france-sa que, de acuerdo con Valero (1997),es considerada como una escuela. Loanterior debido a que la comunidad deinvestigadores que se asocian a ella pro-ducen conocimientos que aportan tantoa los fundamentos teóricos que explicanlos fenómenos didácticos, como a lametodología que sustenta las accionesde los profesores en el aula.

En la comunidad de investigadores y pro-fesores de la escuela francesa se puedenidenticar las siguientes características(Valero,1997, p. 2):

• La didáctica sistematiza las prácticasde la enseñanza de las matemáticas


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pues da un carácter metódico a laacción del profesor.

• Los fenómenos se conciben desdeuna perspectiva sistémica pues sellevan a cabo dentro de un sistemadidáctico, compuesto por el profe-sor, el estudiante, el conocimientomatemático y las relaciones que sedesarrollan entre ellos.

• La visión del aprendizaje y de la ense-ñanza se sustenta en la teoría episte-mológica piagetiana, entendiendolocomo una interacción entre el sujetoy un medio que le permite al sujetorealizar acciones conducentes a laconstrucción de un conocimientomatemático puesto en juego.

• La construcción conceptual sobreel sistema didáctico se basa en lasaproximaciones propuestas por Verg-naud, Chevallard y Brousseau, que seconsideran complementarias.

La metodología usada es la IngenieríaDidáctica implementada tanto por los in-

vestigadores para producir conocimientoacerca del sistema didáctico, como porlos profesores para producir realizacio-nes didácticas en la clase.

En particular, para el desarrollo de estainvestigación, tomamos como fundamen-tos teóricos las siguientes construccio-nes conceptuales usadas por Brousseau(1986) en su Teoría de las SituacionesDidácticas: El conocimiento debe pasarpor lo que llaman los epistemólogos unatransposición didáctica, que consiste enaislar “ciertas nociones y propiedadesdel tejido de actividades en donde hantomado su origen, su sentido, su moti-vación y su empleo”, (Brousseau, 1986,p.36) con miras a facilitar la enseñanzade dicho conocimiento.

El trabajo del matemático, como pro-ductor del conocimiento, consiste endespersonalizar, descontextualizar ydestemporalizar los resultados. A su vez,

el trabajo del alumno consiste en haceruna reproducción de la actividad cientí-ca en la que actúe, pruebe, construyamodelos, conceptos y teorías. El trabajodel profesor, por su parte, consiste en re-contextualizar y repersonalizar los cono-cimientos producidos por el matemático,simulando una microsociedad cientícaen su clase y dando a sus alumnos losmedios para encontrar el saber culturalque se les quiere comunicar.

MARCO METODOLÓGICO

De acuerdo con Artigue (1998), la In-geniería Didáctica es una metodologíaque aporta tanto a la investigación enDidáctica de las Matemáticas, comoal mejoramiento de las acciones en elaula de clase para la enseñanza de undeterminado concepto matemático. Enrelación con el primer aspecto, esta me-todología de investigación cuestiona lapoca coherencia que puede darse cuandose concibe una misma secuencia de ense-ñanza para dos grupos a través de aproxi-maciones metodológicas diferentes, paraluego realizar comparaciones cuantitati-vas de los resultados obtenidos por losestudiantes. En relación con el segundoaspecto, la Ingeniería Didáctica centrasu estrategia en la toma de decisionesque hace el maestro-investigador paradiseñar el proceso de enseñanza, prácti-ca en la que tiene en cuenta, entre otroselementos, una teoría del aprendizaje,una teoría de la enseñanza y, además,los aspectos del concepto matemáticoque es pertinente enseñar, de tal maneraque pueda hacer predicciones acerca delaprendizaje esperado.


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Dentro del enfoque de la Teoría de lasSituaciones Didácticas (Brousseau, 1998),la Ingeniería Didáctica se constituye enuna propuesta metodológica que busca,

por una parte, brindar una herramientapara lograr que los profesores formulensecuencias didácticas planicadas, pro-ducto de la reexión cuidadosa acercadel concepto matemático que se pone enjuego y, por otra parte, estudiar, desde laperspectiva del investigador, el impactode estas secuencias didácticas sobre elSistema Didáctico a partir de su aplica-ción y evaluación. La Ingeniería Didácticaaborda dos cuestiones esenciales para la

Didáctica de las Matemáticas: las rela-ciones entre la investigación y la acciónen el sistema de enseñanza y el papelque conviene darle a las realizacionesdidácticas en clase, dentro de las me-todologías de la investigación didáctica(Michele Artigue,1998).

Acerca de la primera cuestión, plantea-da por Artigue (1998), Chevalard (1982)precisa como problemática central dela Ingeniería Didáctica la acción sobreel sistema de enseñanza: “definir elproblema de la Ingeniería Didáctica esdenir, en su relación con el desarrolloactual y el porvenir de la didáctica de lasMatemáticas, el problema de la accióny de los medios para la acción, sobre elsistema de enseñanza” (citado por Arti-gue, 1998, p.34).

Sobre la segunda cuestión, Chevalard(1982) añade que las metodologías que

se basan en cuestionarios, test y entre-vistas deben ser complementadas conel estudio acerca del sistema didáctico,en tanto este sistema es el objeto deinvestigación de la Didáctica de las Mate-máticas. En este mismo sentido, proponeel estudio tanto sobre la enseñanza que

se da a partir de la producción de unasecuencia didáctica teóricamente ela-borada y nutrida por otros estudios dela Didáctica de las Matemáticas, como

sobre su impacto en el sistema didácticoy sobre la posibilidad de optimizar las re-laciones que se dan entre los diferentesactores de este sistema.

La metodología de la Ingeniería Didácti-ca, a diferencia de otros estudios en loscuales se comparan de forma estadísticael rendimiento de grupos experimentalescon un grupo control, privilegia la vali-dación interna mediante la contrastación

entre el análisis a priori y el análisis aposteriori.

El proceso de la Ingeniería Didácticaconsidera cuatro etapas: análisis preli-minar, análisis a priori, experimentacióny análisis a posteriori.

Análisis preliminares: El análisis preli-minar considera tres dimensiones funda-mentales (Artigue, 1998)

• La dimensión epistemológica asociadaa las características del saber mate-mático en juego.

• La dimensión cognitiva asociada a lascaracterísticas cognitivas del públicoal cual se dirige la enseñanza.

• La dimensión didáctica asociada a lascaracterísticas del funcionamientodel sistema de enseñanza.

El análisis preliminar es un aspecto fun-damental tanto en la concepción de laSituación Didáctica como en el análisis aposteriori, por la signicación didácticaque aporta, que permite fundamentar lasinferencias que se establecen a partir delas observaciones registradas en la fase


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de experimentación. Del estudio rigurosode los trabajos de Brousseau (1986) y deDouady (1995), Artigue (1998) identicóalgunos elementos utilizados por estos

investigadores en el análisis preliminar,estos son:

•El análisis epistemológico de los con-tenidos contemplados en la enseñanza.

•El análisis de la enseñanza tradicionaly sus efectos.

•El análisis de las concepciones de losestudiantes, de las dicultades y obs-táculos que determinan su evolución.

•El análisis del campo de restriccionesdonde se va a situar la realización di-dáctica efectiva.

Por supuesto, todo lo anterior, se realizateniendo en cuenta los objetivos parti-culares de la investigación.

Análisis a priori: En esta etapa se tienenen cuenta cuatro aspectos. Inicialmentese identican las variables, luego se se-leccionan los contenidos que formaránparte de la secuencia didáctica, se reali-za la secuencia y, nalmente, se describela forma en que se espera el estudianteaborde la secuencia de enseñanza. Comoresultado de esta fase, se genera unconjunto de hipótesis cuya validación sepondrá en juego mediante la confron-tación que se realiza entre el análisisa priori y el a posteriori. Artigue (1998)señala que el análisis a priori se presentageneralmente desde dos aspectos: unadescripción de las características de lasituación a-didáctica que se trabajarácon los estudiantes y una predicción delas posibles actuaciones de éstos.

Experimentación: En esta etapa, elprofesor pone en juego la secuencia

didáctica en el aula y el observadorregistra información pertinente sobrelo que observa en cada uno de los ele-mentos del sistema didáctico, como, por

ejemplo, las actuaciones del profesor ydel estudiante, así como cada uno delos problemas de la secuencia dicáctica. Análisis a posteriori: En esta etapa elinvestigador contrasta la informaciónprevista en el análisis a priori con lainformación registrada en la etapa deexperimentación, tanto para determinarsu nivel de comprensión en relación conla actuación de cada uno de los elemen-

tos del sistema didáctico, como paradeterminar si el diseño de la secuenciadidáctica tuvo el impacto esperado en elaprendizaje de los estudiantes.

INGENIERÍA DIDÁCTICA - ANÁLISIS

PRELIMINAR

El análisis preliminar para esta Ingenie-ría Didáctica se desarrolla desde tresdimensiones, histórica-epistemológica,

didáctica y cognitiva.

Análisis histórico-epistemológico de la

noción de función lineal

En su tesis doctoral L´etude des concep-tions de la notion de continuité d´une fonction chez éléves et les professeursde la n de secondarie au Maroc, El Boua-zzaoui (1998) hace referencia a los tresestatus del conocimiento establecidospor Chevallard (1982):

• Nociones proto-matemáticas, quelos matemáticos usan pero no nom-bran ni denen.

• Nociones para-matemáticas, que tie-nen un nombre y han sido objeto denegociación pero no están denidasmatemáticamente.


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Pitágoras encontró que hay una relaciónnumérica entre los sonidos y la longi-tud de una cuerda. La relación entrela porción vibrante de una cuerda y la

cuerda entera la expresó en términosde razones. La teoría pitagórica de lasproporciones como técnica evidencia eluso de proporcionalidad entre cantidadesconmensurables, en ello se puede notarel uso de la función lineal como herra-mienta para analizar cuantitativamenteun fenómeno de cambio. Otro aspecto enel que se encuentra implícita la funciónes en el estudio de los pitagóricos sobrenúmeros gurados, en el sentido en que

se trabajan regularidades, patronesnuméricos y progresiones aritméticas.Sobre números gurados trabajaron tam-bién Pseusipo y Filipo (platónicos) e Hip-sicles y Teón de Esmirna quienes hicierondescripciones bastante desarrolladas delas relaciones entre los tipos de númerosgurados. Nicómano de Gerasa (s. I d.C),en su Introducción a la aritmética, hizoun cambio radical al escribir resultadosgenerales sobre estos números en forma

de proposiciones rigurosamente demos-tradas. En la edad media trabajaronsobre números figurados Diofanto deAlejandría (s. III d.C) y Boecio.

En el contexto de las representaciones,aunque a Hiparco de Nicea (180-125 a.C)se le atribuye la invención de un sistemade referencias en términos de longitudy latitud, es a Nicolás de Oresme (1323-1382) a quien se le atribuyen las primeras

representaciones grácas geométricascomo forma de representar la variación.Esta representación permitió estudiar elmovimiento en términos geométricos.En particular, Oresme trazó la grácade velocidad en función del tiempo paraun móvil animado por una aceleración

uniforme, gráca que corresponde a unafunción lineal. Franciscus Vieta (1540-1603) fue el primer matemático que usóel cálculo literal, es decir el cálculo con

letras que representan no sólo incógnitassino también datos. Vieta es consideradoel inventor del álgebra simbólica. AunqueVieta no hizo su aporte directo al objetofunción lineal, es importante su aportepues introduce la forma de representa-ción simbólica que permitió representarclases de funciones (parámetros). GalileoGalilei (1564 – 1642) introdujo lo numé-rico en las representaciones grácas deOresme y expresó las leyes del movi-miento en términos de proporcionalidaddirecta e indirecta. En este sentido, lafunción lineal empieza a asociarse a lanoción de dependencia entre magnitudesmás que a la de variación.

Con Descartes (1592-1650) y Fermat(1601-1665) se introduce la idea de ecua-ción algebraica como una representaciónde la dependencia entre dos cantidades

Claudio Tolomeo. Tomado de http://www.summagallicana.it/

lessico/t/Tolomeo%20Caludio.htm


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variables y empieza a reconocerse lafunción como dependencia, como unarelación que se expresa en forma ana-lítica. Descartes y Fermat desarrollaronmétodos para las tangentes basados en la

razón entre la diferencia de los valoresde la función entre dos valores próximosy la diferencia de sus abcisas. Esta esbásicamente la idea de pendiente enecuaciones lineales. Descartes introdujoun sistema de coordenadas que consisteen jar la posición de un punto en elplano por medio de dos coordenadas, quecorresponden a la distancia a dos líneasperpendiculares entre sí. Estos aportes,que relacionaron la geometría con el

álgebra, inuyeron notablemente en eltrabajo matemático de ahí en adelanteprevaleciendo el pensamiento funcional.

Estado matemático

Gotfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), nacido en Alemania, introdujo por

primera vez el término función asociadoaún a lo geométrico, pero independientede la variación entre magnitudes físi-cas. Bernoulli (1700-1782) independizó

totalmente el término función, dandola primera denición de función comoexpresión analítica. Además, propusouna notación para la característica y elargumento de una función.

Así mismo, Leonard Euler (1707-1783)precisó aún más la noción de función,deniendo constante y variable. Eulerfue el primero en utilizar la notación f(x)para designar la variable dependiente.

Además, clasicó las funciones en con-tinuas y discontinuas.

Lobachevsky (S.XIX) formuló la deniciónde función en términos de dependencia,denominando función de x a un númeroque está dado para toda x y que cambiegradualmente junto con x. Por su parte,G. Peano propuso reducir el concepto defunción a la noción de relación. Russel yWhitehead desarrollaron la teoría de las

relaciones. Haussdorf, en 1920, introdu-ce el concepto de función a la teoría deconjuntos, deniendo la función como latriada (X,Y, f) donde f es un subconjuntodel producto cartesiano (X x Y).

En las deniciones modernas de función,las nociones de variación y de depen-dencia pasan a ser desplazadas por lade correspondencia. La denición defunción posterior la dio Godement (1966)quien la denió como una terna f=(G,

X, Y) en la cual X es el dominio, Y el co-dominio y G, denominado el grafo de lafunción, es el conjunto de los pares (x,f(x)) que verican la función. El conceptode función sigue actualmente evolucio-nando y adaptándose a los cambios deparadigmas.

Pierre de Fermat.

Tomado de http://www.portalplanetasedna.com.ar


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ca del concepto de función, muestranclasicaciones de las formas como losestudiantes se aproximan al concepto ypor tanto dan cuenta de sus procesos de

aprendizaje. En particular, para el desar-rollo de esta investigaciones tenemos encuenta las tipologías de concepcionesacerca del concepto de función propues-tas por González y Martín (2003) y porRuiz (1984) en su tesis doctoral.

González y Martín (2003) arman que elanálisis histórico-epistemológico real-izado por Sfard (1991) acerca de las dif-erentes deniciones y representaciones

muestra que la noción de función puedeconcebirse de dos formas: estructural-mente (como un objeto) u operaciona-lmente (como un proceso). Los autoresanalizan cómo la transición desde laconcepción “proceso” a la concepción“objeto” relacionada con el conceptode función, es lenta y difícil. Para lograresta transición se requieren tres fasespropuesas por Sfard que permiten la evo-lución del continuo proceso-objeto: inte-

riorización, condensación y reicación. Por otra parte, Ruíz (1989) en su estudiosobre las concepciones de los estudian-tes acerca del concepto de función,identicó y caracterizó las siguientesconcepciones que evidenciaron los estu-diantes: algoritmo de cálculo, expresiónalgebraica, gráca, ideograma, corres-pondencia entre conjuntos numéricos ytransformación.

Es importante tener en cuenta que unaconcepción puede ser un obstáculo parala emergencia de una nueva concepciónen una situación problema. Esta nuevasituación problema debe generar unconicto que lleve a adaptar la antiguaconcepción al nuevo dominio o, a poner

en juego una nueva concepción. Poresto, “es necesario que un problema seaverdaderamente importante, que tengaun carácter decisivo en relación con las

preocupaciones del momento, para queél se interese y provoque la construcciónde un nuevo conocimiento” (El Bouaz-zaoui, 1998, s.p).

PROYECCIÓN

Hasta este punto de la investigación,cuyo objetivo consiste en diseñar unaingeniería didáctica para la enseñanza dela función lineal a estudiantes de sexto

grado, se ha desarrollado el análisis pre-liminar que constituye la primera fase dela metodología de la ingeniería didáctica.Consecuentemente, en el siguiente añose usará este análisis para proponer lasecuencia didáctica y se aplicará a estu-diantes de sexto grado. Finalmente, seformularán conclusiones que aporten alplan de estudios de matemáticas en elColegio, para favorecer los procesos deenseñanza y aprendizaje del concepto

de función.

LISTA DE REFERENCIAS

Artigue, M. (1998). Ingeniería didáctica. Universi-dad de los Andes. pp 33-59.

Boyer, C. (2001). Historia de las Matemáticas. Ma-drid. Alianza editores.

Brousseau, G. (1986). Fundamentos y métodos dela Didáctica de la Matemática. Trabajos de Mate-mática No. 19 Serie B. Facultad de Matemática As-tronomía y Física, (versión castellana). UniversidadNacional de Córdoba.

Brousseau, G. (1998). Théorie des Situations Didac-tiques, Grenoble, La Pensée Sauvage.

Chevallard, Y. (1982). Sur l’ingénierie didactique.Ecole d’Eté de Didactique des Mathématiques.Orleáns, Juillet 1982.

Dreyfus, T. & Vinner, S. (1982). Some aspects ofthe function concept in college students and junior


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127


high school teachers. In A. Vermandel (Ed.), Pro-ceedings of the Sixth International Conference forthe Psychology of Mathematics. Education Antwerp,Belgium: Universitaire Instelling, pp. 12-17.

Dreyfus, T. & Vinner, S. (1989). Images and deni-tions for the concept of function. Journal for Re-search in Mathematics Education, 20, pp. 356-366.

García, G., Serrano, C. y Espitia, L.E. (1997). Haciala noción de función como dependencia y patronesde la función lineal. Cuadernos didácticos Colcien-cias - Universidad Pedagógica Nacional. Colombia.

Douady, R. (1995). La ingeniería didáctica y la evo-lución de su relación con el conocimiento. En PedroGómez (Ed.), Ingeniería didáctica en educaciónmatemática. Un esquema para la investigación yla innovación en la enseñanza y el aprendizaje delas matemáticas. México: Una empresa docente,

Grupo Editorial IberoaméricaEl Bouazzaoui, H. (1998). Tesis doctoral: “L´etudedes conceptions de la notion de continuité d´une fonction chez éléves et les professeurs de la nde secondarie au Maroc. Traducción realizada porMyriam Vega Restrepo.

García-Zatti, M. y Montiel, G., (2008). Resignican-do la linealidad en una experiencia de educación adistancia en línea. Revista Electrónica de Investi- gación en Educación en Ciencias 3(2), 12-26.

González, T. y Martín, E. (2003). Dicultades yconcepciones de los alumnos de educación secun-daria sobre la representación gráca de funciones

lineales y cuadráticas. (Consultado el 20 de febrerode 2013). www.iberomat.uji.es/carpeta/comunica-ciones/77_teresa_gonzalez_2.doc

Grugeon, B. (1995). Étude des rapports institu-tionnels et des rapports personnels des élèves àl’algèbre élémentaire dans la transition entredeux cycles d’enseignement: BEP et Première B.Universidad de París VII.

Janvier, C. (1996). Modeling and the initiation intoAlgebra. Approaches to Algebra, Bednarz et al.(eds.).Holanda: Kluwer Publishers, pp. 225-236

Kieran, C. (1989). The early learning of algebra:

A structural perspective. In S. Wagner & C. Kieran(Eds.), Research issues in the learning and teachingof algebra (pp. 35-56). .

Newman, J. (1997) Enciclopedia Sigma. Tomos 1 y2 .Edic. Grijalbo S.A.Barcelona.

Panizza, M., Sadowsky, P. & Sessa, C. (1996). Laecuación lineal con dos variables: entre la unicidady el innito. Enseñanza de las Ciencias, 1999, 17 (3).

Ruiz, L. (1984). Concepciones de los alumnos deSecundaria sobre la noción de función. Análisisepistemológico y didáctico. Tesis doctoral. Univer-sidad de Granada.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathema-tical conceptions: reections on processes andobjects as different sides of the same coin. Educa-tional Studies in Mathematics 22, pp. 1-36.

Sierra, M., González, M. y López C. (2000). Concep-ciones de los alumnos de bachillerato y COU sobrelímite funcional y continuidad. Revista Latinoame-ricana de Investigación en Matemática Educativa

(RELIME) Vol 3. 1

Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept Image andConcept Denition in Mathematics with particular

reference to Limits and Continuity . www.fractus.uson.mx/Papers/CERME4/.../biza.pdf . Consultado

el 4 de abril de 2013.Valero, P. (1997). Una visión de la didáctica de lasmatemáticas francesa algunos conceptos y méto-dos. Seminario de formación de profesores sobre laDidáctica de la Matemáticas Francesa. Universidadde los Andes.

Vergnaud, G. (1997). Towards a cognitive theoryof practice. In A. Sierpinska & J. Kilpatrick (Eds.).Mathematics education as a research domain: Asearch for identity, an ICMI study, The Netherlands:Kluwer Academic Publishers. Vol. 2, pp. 227-2240.

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