FUNCIÓN RACIONAL

Lucas Picos

ASINTOTAUna de las formas de estudiar el comportamiento de una función cuando sus valores tienden a infinito o en aquellos puntos en los que la función no está definida (puntos aislado) es comparar la función con una recta, así diremos que una recta es una asíntota de una función cuando la gráfica de la función y la recta permanecen muy próximas. Dependiendo de como sea la recta tenemos tres tipos de asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas.

Pero cual es la definición de una función Racional?Es la función de la forma

R xp xq x

( )( )( )

donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas y q(x) es distinto de cero.

El dominio consiste de todos los números reales excepto aquellos para los cuales el denominador, q(x) es 0.

Polinomio: Es la suma de varios monomios

Monomio: expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos

Dominio: Es el conjunto de valores para los que una función está definida

Codominio: De una función es el conjunto que participa en esa función.

YXf : Y

Pero que es Función?Es el término usado para indicar la relación

o correspondencia entre dos o más cantidades.

Ejemplo:Encuentra el dominio de las siguientes funciones racionales:

Números Reales: incluyen a los números racionales (como: 31, 37) como a los números irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales.

DefiniciónSi x tiende a (x ) ó x -, y el valor de R(x) se acerca a un número fijo L, entonces la línea y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de R.

y = L

y = R(x)

x

Asíntota horizontal

Asíntota: Es una función cuya representación gráfica es en forma de

línea recta o parábola y que su trayectoria es de aproximación a una

curva.

Asíntota Horizontal: Se llama asíntota horizontal. El valor (número Real) al que tiende F(x) al crecer (o decrecer) indefinidamente la x.

y = L

y = R(x)y

x

x

y = L

y = R(x)

y

x

Si x se acerca a un número real c, y el valor de |R(x)| , “se acerca a infinito”, entonces la línea x = c es una asíntota vertical de la gráfica de R.

y

x

Asíntota Vertical x = c

xAsíntotas Vertical: son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.

Infinito: Da referencia a una cantidad sin límite o final, contrapuesto al concepto de finitud.

Finito: Es un grupo con un número finito de elementos.

Definición

Si una asíntota no es ni horizontal ni vertical se se llama asíntota oblicua.

y

x

Asíntota Oblicua

Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación:

nmxY x

xfm

)(lim

x

Para valores de x cada vez mayores (en valor absoluto), los puntos de la recta y los de la gráfica de la función están cada vez más próximos.

El Teorema de las Asíntotas Verticales

Asíntota : Se le dice a una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.

Una función racional, , en forma reducida, tiene una asíntota vertical en x = r, si x – r es un factor del denominador q(x); o sea, q(r )= 0 .

La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf olimx->a- f(x) = inf.

OJO: Para que x = r sea una asíntota vertical q(r) = 0 pero p(r) ≠ 0.

EjemploEncuentra las asíntotas verticales de la gráfica de cada función racional, si existen.

2

3(a) ( )

1R x

x

3

( 1)( 1)x x

La gráfica tiene asíntotas verticales en : x = - 1 y en x = 1

2

3(b) ( )

12

xR x

x x

3

( 3)( 4)

x

x x

1

4x

La gráfica tiene una asíntota vertical en x = - 4

2

5(b) ( )

1

xR x

x

2 1 0x x i R

La gráfica tiene no tiene asíntotas verticales

2

4(c) ( )

12

xR x

x x

4

( 3)( 4)

x

x x

1

3x

La gráfica tiene tiene una asíntota vertical en x = 3

Teorema de las asíntotas horizontales y oblicuas - Considere la función racional

R xp xq x

a x a x a x ab x b x b x bn

n

n

n

m

m

m

m( )

( )( )

1

1

1 0

1

1

1 0

1. Si n < m, entonces la línea y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de R.

2. Si n = m, entonces la línea y = an / bm es una asíntota horizontal de la gráfica de R.

en donde el grado del numerador es n y el grado del denominador es m.

3. Si n = m + 1, entonces la línea y = ax + b es una asíntota oblícua de la gráfica de R, donde ax + b es el cociente de la división entre p (x) y q (x).

4. Si n > m + 1, la gráfica de R no tiene asíntotas lineales ni horizontales ni oblícuas.

Asíntotas Horizontales : Nos indica a que tiende la función cuando la x es mus grande o muy pequeña, además son rectas paralelas al eje OX. Se escriben y= valor de la asíntota. Asíntotas Oblicuas: Una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.

2

3 2

3 4 15(a) ( )

4 7 1

x xR x

x x x

La asíntota horizontal es: y = 0

2

2

2 4 1(b) ( )

3 5

x xR x

x x

La asíntota horizontal es; y = 2/3

EjemploEncuentra la asíntota horizontal u oblicua de la gráfica de la función, si existe.

La asíntota oblicua es; y = x + 62 4 1

(c) ( )2

x xR x

x

2

2

6 2 4 1

- 2

6 1

- 6 12

13

xx x x

x x

x

x