Universidad de La FronteraIngenierıa Informatica 12 de diciembre de 2010Gabriel Seguel, Eduardo Calfunanco, German Retamal

CALCULO

CON

LATEX

Funciones

Profesor: Victor Vargas

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Funciones

En matematicas, una funcion f es una relacion entre un conjuntodado x (el dominio) y otro conjunto de elementos y (el codominio) de formaque a cada elemento x del dominio le corresponde un unico elemento delcodominio f(x). Se denota por:

f : x→ y

En este caso y se llama IMAGEN del elemento x. Para definiruna funcion existen varias formas:

1.- Describiendo caracterısticas de la funcion o enunciando la funcion.2.- Por formulas matematicas.

Ejemplo:Si x = {numeros naturales } = {1,2,3,4}Si y = {numeros naturales } = {a,b,c,d}

Podemos definir la funcion f de manera que cada elemento deldominio le corresponda su cuadrado en el codominio.

Graficamente:

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La grafica de la funcion se escribe como conjunto de puntos.

f(x) = {(x, y)(y = f(x))}

En calculo representamos graficamente, en el plano cartesiano los puntosde la funcion.Y un ejemplo de una funcion grafica:

TIPOS DE FUNCIONES

1.- Funcion Constante: f(x)= k, donde k es un numero. (Paralelaal eje x, o la altura de y = k)

Su Grafica:

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2.- Funcion Identidad: f : R → R tal que f(x) = x, su grafica esuna recta diagonal que bisecta el primer y el tercer cuadrante.

Su Grafica:

3.-Funcion Cuadratica: f : R → R tal que f(x) = ax2 + bx + c,su grafica tiene forma de parabola.

Su Grafica:

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4.-Funcion Cubica: f : R→ R tal que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

Su Grafica:

5.-Funcion N-esima: f : R→ R tal que f(x) = xn.Su grafica tiene forma de parabola si n es par. Si n es impar secomportara como Funcion Cubica.

Su Grafica:

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6.-Funcion Lineal: f : R→ R tal que f(x) = ax + b.

Su Grafica:

7.-Funcion Polinomial: f : R → R tal que f(x) = a0 + a1x +a2x

2...anxn. Su grafica tiene forma de parabola si n es par. Si n es impar se

comportara como Funcion Cubica.

Su Grafica:

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8.-Funcion Exponencial:a.- f : R→ (o,∞) tal quef(x) = ex.

b.- f : R→ (o,∞) tal quef(x) = ax a < 0.

Su Grafica:

9.-Funcion Logarıtmica: f : (0,∞) → R tal que f(x) = logb(x)donde b < 0.

Su Grafica:

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Funcion sobreyectiva: Una funcion f : x → y es sobreyectiva, siesta aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen Imf = y, oen palabras mas sencillas, cuando cada elemento de y es la imagen de comomınimo un elemento de x.

Graficamente:

Funcion inyectiva: Una funcion f : x → y es inyectiva si a cadavalor del conjunto x (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjuntoy (imagen) de f Es decir, a cada elemento del conjunto x le corresponde unsolo valor de y tal que, en el conjunto x no puede haber dos o mas elementosque tengan la misma imagen.

Graficamente:

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Funcion biyectiva: Una funcion f : x → y es biyectiva, si es almismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

Graficamente:

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PARIDAD DE UNA FUNCION

Las funciones se pueden clasificar segun su paridad, estas pueden serpares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridadsatisfacen una serie de relaciones particulares de simetrıa, con respecto a in-versas aditivas. Las funciones pares e impares son importantes en muchasareas del analisis matematico, especialmente en la teorıa de las series de po-tencias y series de Fourier. Deben su nombre a la paridad de las potenciasde las funciones de potencia que satisfacen cada condicion:La funcıon xn

a.- Es una funcion par si n es un entero par,b.- Es una funcion impar si n es un entero impar.

Funciones pares: Sea f(x) una funcion de valor real de una variable real.Entonces f es par si se satisface la siguiente ecuacion para todo x en eldominio de f :

f(x) = f(−x)

Desde un punto de vista geometrico, una funcion par es simetrica conrespecto al eje y, lo que quiere decir que su grafica no se altera luego de unareflexion sobre el eje y.Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto,x2,x4,cos(x).

Funciones impares: Sea f(x) una funcion valor real de una variable real.Entonces f es impar si se satisface la siguiente ecuacion para todo x en eldominio de f :

−f(x) = f(−x)

Desde un punto de vista geometrico, una funcion impar posee unasimetrıa rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decirque su grafica no se altera luego de una rotacion de 180 grados alrededor delorigen.Ejemplos de funciones impares son el valor absoluto,x,x3,seno(x).

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Propiedades:

a.- La unica funcion que es tanto par e impar es la funcion constante que esidenticamente cero (o sea f(x) = 0 para todo x).b.- La suma de una funcion par y una impar no es ni par ni impar, a menosde que una de las funciones sea el cero.c.- La suma de dos funciones par es una funcion par, y todo multiplo de unafuncion par es una funcion par.d.- La suma de dos funciones impares es una funcion impar, y todo multiploconstante de una funcion impar es una funcion impar.e.- El producto de dos funciones pares es una funcion par.f.- El producto de dos funciones impares es una funcion par.g.- El producto de una funcion par y una funcion impar es una funcion impar.h.- El cociente de dos funciones pares es una funcion par.i.- El cociente de dos funciones impares es una funcion par.j.- El cociente de una funcion par y una funcion impar es una funcion impar.k.- La derivada de una funcion par es una funcion impar.l.- La derivada de una funcion impar es una funcion par.m.- La composicion de dos funciones pares es una funcion par, y la composi-cion de dos funciones impares es una funcion impar.n.- La composicion de una funcion par y una funcion impar es una funcionpar.o.- La composicion de toda funcion con una funcion par es par (pero no viceversa).p.- La integral de una funcion impar entre −A y +A es cero (donde A esfinito, y la funcion no posee ninguna asıntota vertical entre −A y A).q.- La integral de una funcion par entre −A y +A es el doble de la integralentre 0 y +A (donde A es finito, y la funcion no posee ninguna asıntota ver-tical entre −A y A).

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ALGEBRA DE FUNCIONES

Si dos funciones f y g estan definidas para todos los numeros reales,entonces es posible hacer operaciones numericas reales como la suma, resta,multiplicacion y division (cociente) con f(x) y g(x).

Suma de funciones: Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, la sumade f(x) + g(x), denotada por f(x) + g(x), es otra funcion definida por(f + g)(x) = f(x) + g(x). El dominio de f(x) + g(x) es la interseccion de susrespectivos dominios.Ejemplo 1: Dadas dos funciones definidas en los reales por, f(x) = +

√16 + x2

y g(x) = 2x2 − 3, determinar f(x) + g(x).Resp.: (f + g)(x) = +

√16 + x2 + 2x2 − 3

Resta de funciones: Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, la difer-encia de f(x) y g(x) denotada por, f(x)− g(x), es otra funcion definida por(f − g)(x) = f(x)− g(x). El dominio de f(x)− g(x) es la interseccion de susrespectivos dominios.Ejemplo 2: Dadas dos funciones, f(x) = x

x−2, y g(x) = 5x − 1, definidas en

los reales, determinar f(x)− g(x).Resp.: f(x)− g(x) = x

x−2− (5x− 1)

f(x)− g(x) = x−(x−2)(5x−1x−2

f(x)− g(x) = x−(5x2−11x+2)x−2

f(x)− g(x) = x−5x2+11x−2x−2

f(x)− g(x) = −5x2+12x−2x−2

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Producto de funciones: Dadas dos funciones f(x) y g(x), deno-tada por f(x) ∗ g(x), es otra funcion definida por, (f ∗ g)(x) = f(x) ∗ g(x),el dominio de f(x) ∗ g(x) es la interseccion de sus respectivos dominios.Ejemplo 3: Dadas dos funciones f(x) = (x2 − 9) y g(x) = 1

x−3,definidas en

R, determinar f(x) ∗ g(x).Resp: f(x) ∗ g(x) = (x2 − 9)( 1

x−3)

f(x) ∗ g(x) = x2−9x−3

f(x) ∗ g(x) = (x−3)(x+3)x−3

f(x) ∗ g(x) = x− 3

Division de funciones: Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el co-

ciente de f(x) y g(x), denotado por f(x)g(x)

, es otra funcion definida por, fg(x)

= f(x)g(x)

, y g no puede ser igual a 0 por que tendriamos una indeterminacion.

Ejemplo 4: Dadas las funciones f(x) = ±√

x− 1 y g(x) = 1x2−4

, definidas en

R, determinar fg(x) e igualmente su dominio:

Resp: f(x)g(x)

=√

x−11

x2−4

f(x)g(x)

= (√

x− 1)(x2 − 4)Luego:f(x) =

√x− 1

x− 1 ≥ 0x ≥ 1Dominio f(x) = [1, +∞)

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Y Dominio de g(x)g(x) = 1

x2−4

x2 − 4 = 0x2 = 4x = ±2Dominio g(x) = x ∈ R ∧x 6= ±2

FUNCION INVERSA

Se define que una funcion f es una funcion uno a uno, si y solo sicada elemento del rango de f esta asociado con exactamente a un elementode su dominio x. En general, una funcion f es uno a uno si cada elementodel recorrido de la funcion es imagen de un unico elemento del dominio.

Es precisamente esta propiedad la que se requiere para que la regla de inver-sion sea una funcion. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa deuna funcion, determinar si la funcion dada es uno a uno.

Graficamente una funcion es uno a uno si solo si ninguna recta horizon-tal corta su grafica mas de una vez.

Definicion: Sea f una funcion uno a uno, con dominio x y recorrido y. Lainversa de f es una funcion g con dominio y y recorrido x; para lo cual:

f(g(x)) para cada x en y

g(f(x)) para cada y en x

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TRASLACIONES DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una funcion.

La funcion y = f(x + h) es la funcion f(x) trasladada h unidades en hori-zontal. Si h > 0 el desplazamiento es hacia la izquierda y si h < 0 es haciala derecha.

La funcion y = f(x) + k es la funcion f(x) desplazada k unidades envertical. Si k > 0 el desplazamiento es hacia arriba y si k < 0 el desplaza-miento es hacia abajo.

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FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE

1.- Una funcion f(x) es estrictamente creciente si dados dos pun-tos, x1 y x2 del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f(x1) < f(x2)

EJEMPLO:

2.- Una funcion f(x) es estrictamente decreciente si dados dospuntos, x1 y x2 del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2)

EJEMPLO:

3.- Una funcion f(x) es creciente si dados dos puntos, x1 y x2 deldominio de f , con x1 < x2, se tiene que f(x1) ≤ f(x2)

4.- Una funcion f(x) es decreciente si dados dos puntos, x1 y x2del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f(x1) ≥ f(x2)

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