Funciones1. Decide en qu casos estamos en presencia de una funcin, determina su dominio y escribe,cuando sea posible, su frmula. A cada nmero se le asocia:a. El doble de su cubo menos el triple de su cuadrado.b. Su inverso.c. El nmero 8.d. l mismo.e. La raz cuadrada positiva del mismo disminuido en 4 unidades.f. La hipotenusa de un tringulo rectngulo, uno de cuyos catetos es la cantidad dada.g. La hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles cuyo cateto es la cantidad dada.h. El nmero de alumnos de tu clase cuya altura es menor que la cantidad dada.i. La cifra de las unidades de una expresin decimal.j. La suma de l mismo con el inverso de su cuadrado.k. El rea de un polgono regular inscrito cuyo lado es el nmero dado.l. El rea de un hexgono regular cuyo lado es el lados dado.2. El rea A de un cuadrado es funcin de la longitud del lado x.a. Escribir la expresin matemtica de dicha funcin.b. Cul es su dominio de definicin?c. Construir una tabla de valores para 0 < x < 4, incrementando el valor de x de 0'5 en0'5 y representar A(x) en esa regin.d. Hallary A(-3).e. Culeslaimagende1.000?Paraquvalordelladodelcuadradoelreavale?f. Para qu valores del lado el rea est comprendida entre 10 y 100?3. El manual del usuario de un refrigerador incluye una grfica indicando el consumo diariode energa en funcin de la temperatura interior, que se controla mediante el termostato(suponiendo que la cocina tiene una temperatura estable de 20/)a. Cul es el consumo a 5/ C?b. A qu temperatura se gastan 2'5 kwh al da?c. Para qu temperatura el consumo es inferior a 2 kwh?d. Cul es el dominio de definicin de esta funcin?e. Cul es su recorrido?4. lvaro va cada tarde al instituto. Pasa primero por la panadera y luego se detiene en lasiguiente esquina a esperar a un compaero. Por fin, despus de las clases, vuelve a casa.Aqu tienes la grfica de su recorrido:a. Qu distancia hay de la casa al instituto?b. Y a la panadera?c. Cunto tarda en comprarse un bollo?d. Tiene que esperar mucho su compaero?e. Cunto duran las clases?f. Si las clases comienzan alas cuatro de la tarde, dnde estaba a las 3'22; 3'36; 3'54horas?g. Lleva la misma velocidad a la ida que a la vuelta? Estudia las diversas velocidadesen cada trayecto.h. Creesquelvarocaminadeprisa?Culeslavelocidadalaquetvasnormalmente?i. Haz una grfica del recorrido que t haces de casa al instituto cada da. Cuenta conlas paradas que haces habitualmente.5. Sobre la funcin f(x) representada en la figura, se pide:a. Cules son su dominio y su recorrido?b. Determinar f(-1) y f(5)c. Anti-imagen de 3 y de 2.d. Ecuacin de la funcin.e. Enqusubconjuntodeldominiotienelafuncin signo positivo?f. Existe algn a tal que f(a) = a?6. Sobre las funciones de la figura adjunta se pide:a. En qu subconjunto de los nmeros reales es f(x) > 1?b. Para qu valores de x se cumple f(x) = g(x)?c. En qu puntos se anula la funcin f(x)? Y g(x)?d. En qu intervalo es f(x) > g(x)?7. Escribir la expresin matemtica de la funcin cuya grfica aparece en la figura:8. Asociar a cada enunciado su grfica correspondiente:a. Unos ladrones asaltan un banco. Cuando emprenden la fuga, simultneamente la polica, yaavisada, comienza su persecucin. Al llegar a un punto, los ladrones se apartan del camino yesperan a que la polica pase, retrocediendo despus.b. Losladronescomienzancomoenelapartadoanterior,perodespusnoseparanysonalcanzados por la polica antes de llegar a la frontera situada a 30 Km.c. Empiezan como en el apartado b), pero despus no son alcanzados antes de la frontera.d. Comienzan como en a), pero luego los ladrones no se paran y son alcanzados por la policaantes de media hora.e. Unos ladrones asaltan un banco. A los 5 minutos de darse a la fuga, la polica emprende supersecucin, alcanzndoles antes de llegar a la frontera.f. Comoenelapartadob),peronosonalcanzados,yaquelapolicavaporuncaminoequivocado.9. Enlaguadelusuariodeunmodelodeautomvilseadviertequeelconsumodegasolinaesfuncin de la velocidad, segn se refleja en la siguiente grfica:a. Es ms rentable conducir a 25 Km/h que a 100 Km/h?b. A qu velocidad debe conducir el ahorrador nato?c. A qu velocidades se consume menos de 7 litros10. En las instrucciones de un medicamento se establece que la dosis del mismo, expresada enmgr, est en funcin del peso del paciente, segn se indica en la grfica:a. Qudosishayqueadministraraunapersona de 75 Kgr?b. Es este medicamento peligroso para losobesos?c. Est contraindicado para los bebes?11. En una U.C.I. hay un aparato que registra continuamente la temperatura de un enfermo. Lagrfica de la figura corresponde a un perodo de 24 horas:a. Hubo algn descenso de temperatura durante la madrugada? Entre qu horas?b. A qu hora la temperatura del enfermo fue de 37/C?c. Enunmomentodadoelpacientesufriunparocardacoconunbruscodescensodetemperatura. A qu hora se inici? Cundo comenz a recuperarse?d. Aparte del problema cardaco, tuvo el enfermo algn otro momento de peligro?12. Esta es la grfica de tres participantes en una carrera de 300 metros lisos:Si eres el comentarista deportivo que narra la prueba, relatar los incidentes de la carrera.13. Inventa una grfica para esta historia:Cuando el bar abri sus puertas, la gente fue acudiendo poco a poco; a la salida de un cinecercano se llen el local en pocos minutos. A las 11 un alboroto en la calle produjo que la mitadde la gente saliera a ver qu ocurra, una vez apaciguados los nimos, volvieron a ocupar susasientos. A partir de entonces los clientes se fueron marchando poco a poco. Cuando el relojmarcaba la una de la madrugada el dueo avis a los que quedaban para cerrar.Funciones lineales14. El entrenador de un corredor de fondo est tomndole tiempos. En los primeros 16 segundosobtiene la siguiente tabla:Tiempo (en segundos) 0 2 4 6 10 12 16Espacio recorrido (metros) 0 12 24 36 60 72 96a. Escribir la funcin f que nos da el espacio recorrido en funcin del tiempo.b. Si el corredor parte del Km 3 de una carretera con la misma velocidad constante, cul seraahora la nueva funcin?15. La bajada de bandera de un taxi cuesta 200 ptas y cada Km recorrido, 42 ptas.a. Cul es la expresin de la funcin que nos da el coste de una carrera?b. Cuntos Km hizo un cliente que pag 494 ptas?16. Unaempresadealquilerdeautomvilesofrecedosfrmulasdiferentesdealquilerdeundeterminado tipo de coche:A: Lo alquila por 4.000 ptas al da con kilometraje ilimitado.B: Lo alquila por 1.000 ptas al da y 8 ptas el Km.Queremos hacer un viaje de 10 das.a. Sihacemos2.000Kmenlos10dascuntonoscostarempleandocadaunadelasfrmulas?b. Si no sabemos cuntos Km vamos a hacer, realizar un estudio para averiguar la frmula msbeneficiosa.c. Dibujar la grfica para ambos casos para un viaje de 10 das e interpretarla.17. Sesabequea32mdeprofundidadbajotierra,latemperaturaaumentaungrado.Sienlasuperficielatemperaturaesde10/,encontrarunafuncinquenosrelacionelosmetrosdeprofundidad con la temperatura. Cul es su grfica?. Si un agua termal sale a 79/. de quprofundidad proviene?18. ElpreciodeunviajeentrendependedelosKmrecorridos.As,recorrer57Kmenundeterminado tipo de tren nos cuesta 285 ptas y si recorremos 68 Km, nos cuesta 340 ptas.a. EncontrarlafuncinpolinmicaquenosrelacionalosKmrecorridosconelcostedelbillete.b. Representar grficamente esta funcin. c. Cunto costar hacer un viaje de 300 Km? d. Si el billete cuesta 400 ptas, cuntos Km tiene el recorrido?19. Un caracol se desliza desde el extremo de un tallo 10 cm cada minuto. Expresar la distanciacaracol - extremo en funcin del tiempo y hacer su grfica.20. Dos paseantes salen simultneamente de dos pueblos A y B que estn separados por 10 Km. Elprimero, en direccin a B, lleva una velocidad de 2 Km/h El segundo, en direccin a A, correa 4 Km/h. Determinar en qu instante y a qu distancia de A se encuentran.21. Un chico sale de su casa en un vehculo a 100 Km/h, olvidando un documento. Un cuarto dehora ms tarde, su padre inicia, desde el mismo domicilio, la persecucin a 150 Km/h Cuntotiempo tardar en alcanzarlo? A qu distancia del domicilio familiar?22. Unos ladrones asaltan un banco. Un coche de la polica, situado a 5Km de dicho banco, sale almismo tiempo en su persecucin. Suponiendo que los ladrones se dirigen a la frontera y que elcaminohaciaallesnico,sernalcanzadosporlapolicaantesdellegaralafrontera,sabiendo que sta se encuentra a 42'5 Km del banco y que las velocidades de la furgoneta de losladrones y del coche de la polica son, respectivamente, de 80 y 90 Km/h de media?23. Enpruebasdeunadietaexperimentalparagallinas,sedeterminquelepesomedioP(engramos)deunagallinafue,segnlasestadsticas,unafuncinlinealdelnmerodedasddespus de que se inici la dieta, donde. Suponer que el peso medio de una gallinaal inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 das despus fue de 675 gramos.a. Determinar P como una funcin lineal de d.b. Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10.24. Un paciente con cncer recibir terapias mediante frmacos y radiacin. Cada centmetro cbicode medicamento que se usar contiene 200 unidades curativas, y cada minuto de exposicin ala radiacin proporciona 300 unidades curativas. El paciente requiere 2400 unidades curativas.Si d centmetros cbicos de la droga y r minutos de radiacin son administrados, determinar unaecuacin que relacione d y r.25. Para regular su temperatura en relacin con el calor ambiental, las ovejas aumentan su ritmorespiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye. Supn que unaoveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160, y aqullas con unalongitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125. Supnque r y l estn relacionados linealmente.a. Determina una ecuacin que relaciones r con l.b. Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm.26.Unos bilogos americanos han encontrado que el nmero de chirridos por minuto hecho por losgrillos de cierta especie est relacionados con la temperatura. La relacin es casi lineal. A 68F,los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto. A 80F son alrededor de 172 por minuto.a. DeterminaunaecuacinquedlatemperaturaFahrenheittenfuncindelnmerodechirridos c por minuto.b. Sisecuentaloschirridosenslo15segundos,cmopuederpidamenteestimarlatemperatura?27. Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida, la frecuencia cardaca delgatof(enlatidosporminuto)disminuye.Bajocondicionesdelaboratorio,ungatoaunatemperaturade37C tuvounafrecuenciacardacade220,yaunatemperaturade32Cunafrecuencia cardiaca de 150. Si f est relacionada linealmente con T, en donde T est entre 26 y238,.a. Determina una ecuacin para f en funcin de Tb. Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28C.c. Dibuja la grfica de la funcin.d. En qu mes alcanza la mxima cotizacin. Calcula el porcentaje de beneficios que habrobtenido.28. Laeconomadeungranalmacndezapatosserigeporlassiguientesfuncionesdeofertaydemanda:;. Hallar el precio y la cantidad deequilibrio. Representarlo grficamente. 5.000 ptas y 2.000 pares de zapatos.29. Una agencia inmobiliaria de una zona turstica dispone de apartamentos para alquilar. La funcindemanda de estos apartamentos obedece a un modelo lineal. La agencia observa que si el precio,p, de alquiler mensual por apartamento es de 100.000 pesetas, sta alquila 100 apartamentos,mientras que si el alquiler mensual es de 125.000 pesetas, entonces alquila 50 apartamentos.dObtener la funcin demanda f (p) e indicar a partir de qu precio la agencia no alquila ningnapartamento.Funciones cuadrticas30. Selanzaunapiedraverticalmentehaciaarribaconunavelocidadde20m/sg.Laaltura(enmetros) a la que se encuentra la piedra transcurridos t segundos desde su lanzamiento, viene dadapor h(t) = -5t+ 20t.2a. Cul es la altura mxima alcanzada por la piedra?b. Cunto tiempo tarda en llegar al suelo?c. Si la piedra se lanza hacia arriba y cae en el hueco de un ascensor y ste inicia el ascenso auna velocidad constante de 5 m/sg en el mismo instante en que se lanza la piedra, en qumomento choca la piedra con el ascensor?31. Consideremostodoslosparesdenmerosrealescuyasumaes100.Paraculdeelloselproducto de estos dos nmeros es mximo?32. Laecuacindelaalturadeunabaladecanenfuncindeltiempot,vienedadapor. Cundo baja? Cundo sube? Cuando alcanza el mximo de altura?Cuando cae?33. Un seor guarda el 30 de Septiembre 200 Kgr de uvas, para venderlas en Navidad. El precio,directamente desde la via, es de 40 ptas/Kgr. Sabe que cada da que pasa, pierden 1 Kgr, perosuprecioaumenta1pta/kgr.Comonodisponedellocaladecuadoparasuconservacin,suexperiencia le dice que a los 160 das las uvas se estropean totalmente. Cundo deber llevarlas uvas a vender al mercado para obtener un beneficio mximo?a. Construir la funcin que relaciona el tiempo que debe conservar las uvas en la cmara y elbeneficio obtenido por su venta.b. Cul es el dominio y la imagen de esta funcin?c. Hasta qu da el beneficio aumenta? A partir de cual disminuye?d. En qu das obtendr menos dinero por vender las uvas?e. Cobra lo mismo si las vende a los 70 que a los 90 das? Por qu?f. Qu significado tiene el eje de simetra de la parbola?34. Enundaderebajas,lasventasdecamisasdeungrancentrocomercialsiguelaley:. Obtener qu precio origina el ingreso mximo.(Nota: I = np, es decir).35. El nmero de personas atacadas cada da por una determinada enfermedad viene dada por lafuncin, donde x representa el n de das transcurridos desde que sedescubri la enfermedad. Calcula:a. Cuntas personas enferman el quinto da?b. cundo deja de crecer la enfermedad?c. Cundo desaparecer la enfermedad?36. Un agricultor ha recogido 10 Tm de fruta que almacena deteriorndose a razn de 50 Kg/da. Elprecio de venta actual es de 200 pta/Kg, pero aumenta 2 pta/Kg cada da. Qu cantidad de frutaqueda a los x das?. A qu precio se vende el Kg en ese momento?. Cuntos das ha de esperarpara vender y obtener el mximo beneficio?37. La cotizacin en bolsa de las acciones de la empresa va a seguir en 2001, aproximadamente laevolucin siguiente, donde t es el tiempo en meses. Enqu mes la cotizacin ser mxima?38. La funcin de oferta y demandade unidades de CD-ROM en un complejo comercial vienendadas por:o dsiendo p el precio por unidad CD-ROM en miles de pesetas y los valores de fy de fvienendados en cientos de unidades CD-ROM.a. Determinarelprecioylacantidaddeequilibrio(nmerodeunidadesCD-ROMqueelcomplejo est dispuesto a ofertar y los compradores a comprar y el precio de cada una deestas unidades). p = 11926 ptas y 3156 unidades CD-ROMb. Si el complejo oferta 4500 unidades, a qu precio las vender y cuntas vender?14.000 pesetas y 2.080 unidades c. Para un precio de 6000 pesetas por unidad, qu situacin se produce en el mercado?Los compradores demandan ms unidades que las ofertadas, siendo esta diferencia de 5.200 - 500 = 4.780.d39. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad R (x) en milesde pesetas viene dada por:Siendo x la cantidad invertida en miles de pesetas.a. Deducir razonadamente qu cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dichoplan.b. Qu rentabilidad obtendr?Funciones a trozos40. La tasa de un aparcamiento es de 125 ptas por cada media hora o fraccin, hasta un mximo dedos das, al cabo de los cuales una gra retira el coche. El precio P es pues funcin del tiempot de estancia. Medimos t en minutos.a. Escribir la expresin matemtica de la funcin P(t).b. Dibujar su grfica en el intervalo (0,180).c. Especificar su dominio y recorrido.41. Enciertocolectivodefamilias,elgastomensualenocioG(x),enmilesdepesetas,estrelacionadoconelingresomensual,x,tambinenmilesdepesetas,atravsdelasiguientefuncin:a. Estudiarladiscontinuidaddelgasto.Elgastoenociodeunafamiliaessensiblementedistinto si sus ingresos son ligeramente inferiores o superiores a las 100.000 pesetas?b. Justificar que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos.c. Justificarqueningunafamiliarealizaungastoenociosuperioralas15.000pesetasmensuales.42.a. Qu significa que la pendiente de una carretera es del 20% o del 14%? Qu relacin tieneesta pendiente con el trmino matemtico pendiente de una recta?b. Dibujaelperfildeunacuestadeformaque,durantelos100primerosmetrostieneunapendiente del 12%, los 200 metros siguientes del 60% y los 50 ltimos del 100%. Cul essu ecuacin?43. En una copistera tienen la siguiente tarifa para hacer fotocopias de un mismo original:Cantidad Precio por copiaDe 1 a 5 10 ptasDe 6 a 20 8 ptasDe 21 a 50 6 ptasMs de 50 4 ptasConstruir un grfico y estudiar la relacin entre la cantidad de fotocopias que hacemos de unmismo original y lo que debemos pagar por ellas.Funciones de proporcionalidad inversa y racionales44. La siguiente tabla muestra el tiempo de llenado de una piscina en funcin del nmero de grifosque se abren:N de grifos (x) 2 3 4 5 6Tiempo en horas (y) 12 8 6Completar la tabla y encontrar la funcin que se ajusta a la misma.45. La funcinnos da el nmero de pulsaciones por minuto de una personaque est aprendiendo a teclear en un ordenador en funcin del nmero de clases particulares, deuna hora, a las que asiste.a. Cuntas pulsaciones por minuto dar al cabo de 3, 5 y 20 clases recibidas?b. Cuntas horas debe practicar para dar 300 pulsaciones por minuto?c. Representar la grfica.NOTA: L. Thurstone, experto en mtodos cuantitativos en el aprendizaje, propuso la funcinpara describir el nmeros de xitos que una persona poda conseguir despus de x sesiones de prcticas.46. Un mdico dispone de dos horas para pasar consulta. Ha decidido dedicar ese tiempo por iguala los pacientes que acudan.Estudiar la relacin entre el nmero de pacientes y el tiempo que le dedica a cada uno. Hallar laexpresin de esta relacin y esbozar su grfica.47. Robert Boyle (siglo XVII), estudi el comportamiento de los gases, en especial la modificacinde su volumen cuando vara la presin que se aplica sobre ellos. Manteniendo la temperatura constante hemos medido en el laboratorio los volmenes que ocupaun determinado gas a cada presin y los resultados quedan reflejados en la siguiente tabla:PRESIN (atmsferas) 0'1 0'2 0'5 1 2 10 15VOLUMEN (litros) 244'4 122'2 48'88 24'44 12'22 2'44 1'63a. Representar grficamente la relacin volumen-presin.b. Encontrar la relacin entre ambas variables y expresarla en lenguaje matemtico.c. Si la presin fuera de 4 atmsferas cul sera el volumen ocupado por el gas? Resolver estacuestin sobre la grfica y por medio de la expresin matemtica obtenida. Cul parecemejor procedimiento? Por qu?d. Calcular ahora la presin necesaria para que el gas de la experiencia ocupe un volumen de500 litros. 48. Enunainvestigacinrealizadaconranas(selascargabaconpequeospesosyselashacasaltar), se determin que la velocidad de contraccin muscular de su pata disminua con la carga.En concreto, su velocidad de contraccin puede medirse aproximadamente con la funcin:a. Cul es la velocidad de contraccin de una rana que se la carga con 10 gr? Y con 50 gr?(2'66 cm/seg)(0'58 cm/seg)b. Dibujar la grfica de V(p). A qu tiende V(p) cuando la carga es muy grande?(a 0'06)Funciones exponenciales y logartmicas49. Unadelasbacteriasdemsrpidocrecimientoeslaescherichiacoli,cuyonmeropuededuplicarse cada 15 minutos.a. Hallar la frmula que explique este proceso de crecimiento.b. Cuntas bacterias habr por cada unidad inicial al cabo de 8 horas? (4.294967)50. Elnmerodepersonasafectadasporunaepidemiadegripevienedadopordondetindicaelnmerodesemanastranscurridasdesdelamanifestacin de esta enfermedad. Se pide:a. Cuntas personas haban contrado la gripe en el momento de su manifestacin? (125)b. Cuntas al tercer da? (227) Y a las dos semanas? (1908)c. Sinoseaplicaningunavacuna,cuntosdasdebenpasarparaque10.000personascontraigan la gripe? (25 das)51. El radio se descompone radiactivamente. La cantidad de sustancia radiactiva presente despus0de t aos viene dada por la frmula, don Ces la cantidad inicial de radio.a. Qu cantidad de radio queda de una muestra de 500 gr al cabo de 1.000 aos? (331'8 gr)b. Cul es el periodo de semidesintegracin de este elemento qumico? (1690'6 aos)52. El istopo Galio-67 se usa para el diagnstico de tumores malignos; su vida media es de 46'5horas. Si se parte de 80 mgr de Galio-67, cuntos miligramos quedarn despus de :a. 2 das? (39'13 mgr)b. 8 das? (4,48 mgr)53. Para un hueso se calcul que se haba desintegrado entre el 92% y el 95% del Carbono-14. Si elperiodo de semidesintegracin del C-14 es de 5.730 aos, qu edad aproximada tena el hueso?(entre 21.048 y 24.964 aos)54. El pH de una solucin es una medida de su acidez. Un pH bajo, indica una solucin cida (el deljugo de limn es menor que 3), y un pH alto indica una solucin bsica. El agua neutra tiene unpH de 7.El pH de una solucin est relacionado con la concentracin de iones de hidrgeno segn lafrmula don Hrepresenta los iones de hidrgeno por litro.+En una persona, se ha determinado que la concentracin de iones de hidrgeno en su sangre esaproximadamente H= 3'98 x 10moles/litro. Calcular el pH de su sangre (7'4)+ -8(En personas sanas oscila entre 7'2 y 7'6).55. La poblacin de un estado es, en millones de habitantes,, donde t es eltiempo en aos. Calcular la poblacin actual y la poblacin lmite.56. Una empresa fabrica tapones de plstico para una mquina embotelladora. En la fabricacin enserieelcostedecadatapndependedelnmerodetaponesdelaseriesegnlafuncin donde x representa centenares de tapones y f(x) euros.a. Calcular el coste de produccin de un tapn, si no se produce ms que uno.b. Calcular el nmero de tapones que ha de producir para que el coste por tapn sea mnimo.Funciones trigonomtricas57. La extensin E (en millones de km ) de nieve en el hemisferio norte, en funcin del tiempo t2(medido en semanas, de 1 a 52 a partir del 1 de enero), viene dada por:a. En qu semana predice esta frmula la mnima extensin de nieve? (31)b. Cul es esa extensin mnima? (4 millones de km )258. Hallar el perodo de las funciones:a. b.