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FUNCIONES Introducción En este curso, comenzaremos recordando algunos de los conceptos estudiados en el curso anterior, y profundizaremos un poco más en otros.

Así, el Análisis se dividirá, fundamentalmente, en dos grandes partes: el cálculo diferencial, algunos de cuyos conceptos ya estudiaste en primero, y el cálculo integral, en el que nos centraremos en el cálculo de áreas. Al estudiar los modelos funcionales, nuestro objetivo es conocer las funciones y asociar a determinadas situaciones de las ciencias sociales el modelo funcional más apropiado. Pero en muchas situaciones no basta con conocer cuál es el mejor modelo funcional, sino que también nos interesa interpretar los posibles cambios que se producen en las funciones.

Te planteamos unos ejemplos: • En la UNICEF se considera que el número de nuevos niños infectados diariamente por el SIDA

es de 1.500. • Los precios subieron durante el primer semestre el 2’1 %.

• El número de trabajadores de la hostelería aumentó durante el verano un 35 %, pero el número de empleados en ese sector al acabar el verano cayó un 22 %.

• Según algunas fuentes, la tasa de población mundial aumentará en este siglo un 5 %. Estas frases y otras muchas que puedes encontrar en los medios de comunicación hablan de cambio y, el lenguaje técnico utiliza palabras como aumentó, subieron, disminuyó, tasa, cayó,...... En Matemáticas (y en otras Ciencias) se utilizan los conceptos de tasa de variación media, tasa de variación instantánea, derivada, para conocer, analizar, medir e interpretar cómo son los cambios. En resumen, la palabra clave es cambio.

Veremos cómo un concepto geométrico, el de área de una superficie plana bajo la gráfica de una función, está relacionado con el concepto matemático de integral definida, y que este concepto, mira por donde, está a su vez relacionado con el de derivada de una función. De hecho, se trata de "operaciones inversas"; es decir, para hallar el área bajo la gráfica de una función, f, es necesario encontrar otra función, F cuya derivada sea la función de la que queremos calcular el área. Es decir,

F ' = f. Así que ánimo y....

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TEMA 5: MODELOS FUNCIONALES. LÍMITES. TASA DE VARIACIÓN. Este tema es en gran medida un recuerdo de los contenidos que ya has debido ver el curso anterior; no obstante, y dada su importancia, vamos a comenzar casi desde el principio. Comenzaremos recordando los modelos funcionales; el objetivo fundamental es que reconozcas los diferentes modelos: fórmulas, gráficas, .... Continuaremos con el concepto formal de límite, así como con el cálculo de límites; nuestro objetivo fundamental no es calcular límites sin más, sino asociar los límites a situaciones lo más reales posible. Acabaremos el tema hablando de la tasa de variación media como anticipo del concepto de tasa de variación instantánea.

MODELOS DE FUNCIONES

1 ¿QUÉ DEBO SABER?

1.1 Fórmulas Los tipos de funciones que conoces hasta ahora se ajustan a los siguientes modelos:

Primer grado y = mx + n Recta (Proporc. directa) y = mx Recta que pasa

por el origen

Segundo grado y = ax2 + bx + c Parábola Función polinómica

y = anxn + an−1xn−1 + …+ a1x + a0

Tercer grado y = ax3 + bx2 + cx + d Cúbica

Función de proporcionalidad inversa Hipérbola con

asíntotas: x = 0, y = 0

Función de proporcionalidad inversa (trasladada)

Hipérbola con asíntotas:

x = p, y = q

Función Exponencial y = ax Exponencial

Función Logarítmica y = loga x Logarítmica

Irracional algebraica (con raíces)

Por ejemplo:

Parábola Arco de

circunferencia

En la actividad siguiente, veremos diferentes modelos , sus fórmulas y sus gráficas.

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1.2 Gráficas Las gráficas de algunos ejemplos correspondientes a las funciones mencionadas serían:

1: y = 2x 2: y = 2x – 3

3: y = x2–4 4: y = x3 + 2x2 – x – 2

5: y = 6: y =

7: y = 2x 8: y = log2 x

9: y =

10: y =

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Actividades resueltas Laura y Octavio han recibido un gran lote de teléfonos móviles de última generación. Como del lote anterior se quedaron bastantes sin vender, deciden utilizar la base de datos que tienen de sus clientes para preguntarles si les interesaría un nuevo teléfono móvil. A los primeros 50 clientes se los ofrecen a 100 € y se los comprarían todos; cuando a los siguientes clientes se los ofrecen a 105 €, sólo los comprarían 49; en el momento en el que el precio sube a 110 €, sólo les interesa a 48 clientes. En resumen, por cada 5 € de subida pierden una potencial venta. a) ¿A qué precio les interesa vender? b) ¿Qué ingresos pueden obtener como máximo? Resolución Al no mencionarse en el enunciado la necesidad de dar la fórmula de la función, es posible que no se dé. En cualquier caso es:

G = (100 + 5·x) · (50 – x) con x: número de veces que se sube el precio.

Surge una función polinómica de 2º grado. Es interesante recordar la interrelación:

Gráfica ↔ Enunciado ↔ Tabla ↔ Fórmula

En este caso, nos están pidiendo que demos el vértice de la parábola. Es bastante positivo buscar el vértice por diferentes caminos: • Mediante la tabla

• Mediante la gráfica • Buscando dos puntos simétricos:

En la tabla. Resolviendo la ecuación de 2º grado auxiliar

• Recordando la fórmula del vértice Por cualquiera de los caminos, el vértice se encuentra en (15,6125). Por tanto:

a) Le interesa vender a 35 euros (50 – 15) b) Obtendrá 625 euros.

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Actividades propuestas 1. En la primavera de 1999 ya había en España tres operadores de telefonía: Telefónica, Retevisión

y Uni2. En casa de Violeta Rigurosa había normas muy estrictas sobre la utilización del teléfono (nunca en hora punta). En un panel, Violeta tenía clavado un papel con los precios de las llamadas interprovinciales a partir de las 10 de la noche:

Telefónica Retevisión Uni2

Establecimiento de llamada 15 15 0

Pesetas/minuto 10’44 9 10

a) ¿Cuántos minutos debería tener una conversación para interesar llamar con un operador o con otro?

b) Escribe la expresión de la función que nos daría el coste de cada llamada en función del tiempo de duración, teniendo en cuenta que hay que añadir un IVA del 16%?

2. En un centro de planificación familiar, la ginecóloga responsable reparte su hora de consulta de forma equitativa entre todas las pacientes que tenían cita previa. La gráfica correspondiente es:

a) ¿Cuál es la función que nos da el tiempo para cada paciente en función del número de

pacientes? b) ¿Es correcto unir los puntos de la gráfica?

c) ¿Cuánto tiempo podrá dedicar a cada paciente si hay 25 pacientes citadas? 3. Para disuadir a los ciudadanos de cometer excesos con el consumo de agua, un ayuntamiento de

una localidad mediterránea decidió un aumento drástico de la tarifa. La tasa mensual fijada fue de 0’5 euros por m3 para los primeros 12 m3 consumidos, 1 euros por m3 por los 12 m3 siguientes y 5 euros por m3 de ahí en adelante. Expresa la factura mensual de agua de un residente de esta ciudad en función de la cantidad de agua consumida y traza una representación gráfica de dicha función.

4. Un comercial de tarjetas de crédito tiene un sueldo fijo mensual de 1000 euros más una comisión que viene dada por la expresión 53x − 0’01x3, donde x representa el número de tarjetas “vendidas”.

Si el comercial tiene mensualmente un gasto general de 200 euros más otro de 5 euros por tarjeta contratada, calcula el número de tarjetas que debe conseguir contratar para que su ganancia sea máxima. ¿A cuánto asciende dicha ganancia?

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TENDENCIAS EN LAS FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

En el lenguaje cotidiano, la palabra límite significa término, confín, final, etc. Tiene un sentido claramente físico, geográfico. En Matemáticas tiene un significado análogo, de lugar hacia el que se dirige una función (o una sucesión) en un determinado punto o en el infinito. Un ejemplo te ayudará a entender su significado. Los psicólogos, basados en la experiencia, han determinado que el conocimiento y el aprendizaje puede medirse con ayuda de funciones y que ese aprendizaje concreto tiene un límite. Así, cuando una persona aprende una destreza, el número de éxitos puede conseguir después de x sesiones de práctica puede medirse por la función

, c > 0

que presenta la peculiaridad de que, al hacerse x muy grande, f(x) tiende al valor fijo a.

Por ejemplo, si la destreza consiste en aprender mecanografía, tal función puede venir dada por:

donde x indica el número de clases recibidas (x ≥ 0) y f(x) las pulsaciones por minuto tras esas clases. En concreto: f(1) = 33, f(10) = 128, f(50) = 255, f(500) = 337. Sin embargo, por muchas clases que dé una persona nunca conseguirá las 350 pulsaciones por minuto: 350 es el límite de f(x).

2 UNA ACTIVIDAD PARA RECORDAR

Juan ha tenido una idea para obtener dinero para la fiesta de fin de curso. Cada persona que quiera participar, deberá preparar diariamente 25 bocadillos que dejarán un beneficio de 1 euro cada uno. De la venta (en un puesto montado en el patio) se encargarán cuatro personas que no tendrán que preparar bocadillos. Las ganancias se repartirán por igual entre los que preparan y los que venden. Alberto quiere apuntarse, pero su intención es ganar (ya que anda mal de dinero para el viaje) a lo largo de los 100 días que va durar la venta 2400 euros. • ¿Crees que lo podrá conseguir? Resolución Podríamos construir una tabla que nos diera una información lo suficientemente clara para poder contestar a la pregunta; pero nuestro objetivo es trabajar por medio de una función.

Si llamamos: x: número de personas que preparan bocadillos, y: cantidad que recibe cada uno

La función que nos da la cantidad que recibe cada uno en función del número de personas que preparan bocadillos es:

y =

De forma “coloquial” nos preguntamos que pasará conforme el número de personas vaya aumentando; de forma técnica, nos están pidiendo:

= 2500

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3 EL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

En la actividad anterior, has tenido que calcular el límite de una función Recuerda que este límite puede ser finito o infinito, y que ya hemos visto límites de forma más o menos intuitiva:

3.1 Definiciones Dada la función y = f(x), decimos que:

• si al dar a “x” valores cada vez más cercanos a “a”, pero mayores que “a”, las

imágenes toman valores cada vez más cercanos a “k”.

• si al dar a “x” valores cada vez más cercanos a “a”, pero menores que “a”, las

imágenes toman valores cada vez más cercanos a “k”.

• si al dar a “x” valores cada vez más cercanos a “a”, las imágenes toman valores

cada vez más cercanos a “k”.

• ⇔ y

3.2 Ejemplos

a) = (–1)2 + 2 = 3

b)

c) ⇒ ∃

d) Dada la función:

Actividad propuesta 5. Calcula los siguientes límites:

a) b) c)

6. Dada la función: , calcula

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4 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO

4.1 Límites infinitos

• = +∞

Significa que cuando “x” toma valores menores que “a” pero que se acercan cada vez más a “a”, la función toma valores cada vez más grandes, tan grandes como queramos.

• = +∞

Significa que cuando “x” toma valores mayores que “a” pero que se acercan cada vez más a “a”, la función toma valores cada vez más grandes, tan grandes como queramos.

• = –∞

Significa que cuando “x” toma valores menores que “a” pero que se acercan cada vez más a “a”, la función toma valores cada vez más pequeños (grandes en valor absoluto, pero negativos)

• = –∞

Significa que cuando “x” toma valores mayores que “a” pero que se acercan cada vez más a “a”, la función toma valores cada vez más pequeños (grandes en valor absoluto, pero negativos)

Observa el ejemplo:

= +∞

= –∞

= –∞

= +∞

4.2 Límites en el infinito

• = k

Significa que cuando la x toma valores tan grandes como queramos, cada vez mayores, la función toma valores cada vez más próximos a “k”.

• = k

Escribe el significado de la expresión en que x→−∞, y dibuja dos gráficas en que se den estas situaciones.

En el ejemplo anterior:

= 1, = 1

4.3 Límites infinitos en el infinito Escribe el significado de las cuatro expresiones en que x→±∞ y el límite es ±∞.

= +∞

= –∞

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Actividad resuelta En un centro de formación profesional están siguiendo la evolución del crecimiento de las palmeras a lo largo de varios años. Después de muchas notas y cálculos, han llegado a la conclusión de que la altura, en metros, viene dada por la expresión:

donde x representa los años que transcurren desde que se plantan.

a) ¿Qué altura consiguen las palmeras a los 10 años de plantarlas? b) ¿Cuál es la altura máxima que consigue esta especie de palmeras? c) ¿Es posible (matemáticamente) que alguna palmera alcance los 12 metros de altura? Respuesta El objetivo fundamental de esta actividad es trabajar con límites en el infinito, pero la función racional es un poco más compleja. Si no se utiliza una calculadora gráfica o un ordenador, puede ser una buena actividad para formalizar los límites en el infinito. a) A los 10 años (x = 10) alcanzan 9’9863 metros de altura (y = 9’9863).

Para contestar a las otras preguntas, nos vendría bien conocer la gráfica de la función.

b) Nos piden el máximo de la función, pero nuestro objetivo no es buscarlo mediante derivadas,

sino analizando la función. Observando la gráfica, vemos que es una función creciente, por lo que no alcanzará un máximo, pero no podrá pasar de 10 metros. O lo que es lo mismo:

(Este procedimiento es alternativo al que veremos en el apartado sobre indeterminaciones) c) Esta pregunta pretende romper la idea de que sólo se puede llegar a hablar de una altura

“máxima” de 10 metros. Si resolvemos esta ecuación, veremos que es imposible.

⇒ 30x2 + 5 = 36x2 + 12 ⇒ –7 = 6x2 ⇒ No hay solución

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Actividades propuestas 7. La altura media (en metros) de una determinada especie de pinos viene dada por la función

donde t expresa los años transcurridos desde su plantación.

a) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de 5 años? b) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo?

8. Unos investigadores han estudiado la relación entre la edad y la altura que alcanzan una determinada especie de monos. Esta relación ha sido tabulada y la función que se adapta casi perfectamente es:

A(t) = 72 · (1 – e–0’1.t)

La variable t nos indica la edad en años monos y A(t) la altura, en cm, que alcanzan a esa edad. a) ¿Qué altura alcanzan a los 5 años? ¿Y a los 10 años?

b) ¿Cuál es la tendencia en la altura de esta especie?

5 QUITANDO INDETERMINACIONES

En muchos casos (ya te has encontrado alguno), nos encontramos con límites que no podemos dar de forma inmediata, pero que es posible encontrar con otros procedimientos. Es lo que llamamos “quitar indeterminaciones”. Los procedimientos que nos interesan para eliminar indeterminaciones se apoyan en las siguientes técnicas:

• Simplificar una expresión factorizando. Límites del tipo .

Recuerda que, para factorizar, es conveniente hallar previamente las raíces del polinomio mediante el método de Ruffini.

En este caso, lo que hemos hecho ha sido extraer factor común.

• Dividir el numerador y el denominador por una potencia de x. Límites del tipo

⇒ = ∞

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Actividades resueltas 1. Te presentamos la gráfica de una función, y = f(x), cuya expresión analítica no conocemos. No

obstante, ¿sabrías dar los límites que te piden?

Resolución Para contestar a la pregunta nos basamos estrictamente en la gráfica.

a) = –1

b) = 1 = 1

c) = +∞ = –∞

d) = +∞ = –∞

2. De una función g, conocemos su fórmula:

Calcula los mismos límites que en el apartado 1. ¿Algún comentario?

Resolución

a) = –1

b) = 1

= 1

c) +∞ ⇒ = +∞ (Basta con dar a x valores mayores que 1)

⇒ = –∞ (Basta con dar a x valores menores que 1)

d) ⇒ = +∞ (Basta con dar a x valores mayores que –1)

⇒ = –∞ (Basta con dar a x valores menores que –1)

Los límites coinciden con los calculados en la actividad anterior; es decir, para calcular dichos límites podemos utilizar la gráfica o la fórmula de la función.

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3. Calcula los siguientes límites:

a) = –2

b) ⇒

c) ⇒ = +∞, = –∞

d) = 1

6 ASÍNTOTAS

Si observas la gráfica de la actividad resuelta del punto anterior, podemos ampliarla con tres rectas:

y = 1, x = 1, x = –1

Estas rectas podemos considerarlas de dos formas: • Tangentes a la curva en “los puntos del infinito”. • Rectas a las que se aproxima la curva en el infinito. En cualquier caso, estamos hablando de las asíntotas de una curva.

6.1 Asíntotas verticales: x = a Diremos que la recta x = a es una asíntota horizontal de la curva y = f(x) si:

= ∞

En el ejemplo inicial, las rectas x = –1, x = 1 son asíntotas horizontales de la curva .

6.2 Asíntotas horizontales: y = b Diremos que la recta y = b es una asíntota vertical de la curva y = f(x) si:

∃ y = b

En el ejemplo inicial, la recta y = 1 es una asíntota vertical de la curva .

Actividades propuestas 9. Halla los siguientes límites

a) b) c) d)

10. Halla las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) = b) g(x) = c) h(x) =

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7 CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Funciones continuas Recuerda que intuitivamente, podemos decir que si podemos representar una función de variable real sin levantar el lápiz del papel, la función es continua; en otro caso, diremos que es discontinua en el valor de x en el que esto suceda.

Continua Discontinua en x = 1 Discontinua en x = 1 Discontinua en x = 1

y = y =

Para que una función sea continua en un punto deben cumplirse tres condiciones a la vez:

• Que la función esté definida en dicho punto • Que la función tenga límite en dicho punto, lo que obliga a que los límites laterales en dicho

punto coincidan. • Que ambos valores (el de la función y el del límite), coincidan.

Todo ello se puede resumir diciendo que la función f es continua en x = a si:

= f(a)

Esto significa que han de cumplirse las siguientes condiciones:

a) Existe = k

b) Existe = k

c) Son iguales. Esto garantiza que = k. Diremos que ∃ .

d) Existe f(a). Es decir, a ∈ Dom f. e) f(a) = k. La existencia o no de depende de lo que ocurre con las imágenes de f(x) cuando a x se le

van asignando valores cada vez más próximos al valor a, pero no depende en absoluto del comportamiento de la función en el punto a. Puede que el límite no coincida con f(a) e incluso que exista el límite aunque la función no esté definida en el punto.

En los casos en los que se deje de cumplir alguna de estas condiciones, diremos que f es discontinua en x = a. Podemos extender la definición de continuidad de una función en un punto a un intervalo: 1. Se dice que una función es continua en un intervalo abierto ]a,b[ si lo es en todos los puntos

de dicho intervalo. 2. Se dice que una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], si lo es en el intervalo

abierto ]a,b[ y además, = f(a) y = f(b)

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Discontinuidades Como veíamos en las gráficas iniciales de este apartado, una discontinuidad de una función puede ser de distintos tipos. Bastará con estudiar el valor de la función y el valor del límite en un punto.

Mediante la fórmula

La función tiene como dominio R–{1,2} ya que el denominador x2 – 3x + 2 se

anula para x = 1 y x = 2; por tanto f presenta dos discontinuidades en x = 1, x = 2.

Al estudiar los límites en esos puntos:

• ⇒ No existe límite en x = 2

• ⇒ ∃ límite en x = 1, pero ∃ f(1).

Mediante la gráfica

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

• Las figuras 2 y 4 son continuas.

• La figura 1 es discontinua en x = –1.

• La figura 3 es discontinua en x = 2.

Actividad propuesta 11. En el punto 5 (Quitando indeterminaciones), en las actividades resueltas, aparecían las

funciones f, g y h. ¿Alguna es continua? Si no lo es, analiza sus discontinuidades.

12. Nos dan la función

a) Estudia la continuidad de la función f. b) Halla también los límites de f(x) cuando x → +∞ y cuando x → −∞

c) ¿Puedes dibujar la gráfica de f?

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VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN: TASA DE VARIACIÓN MEDIA

8 UNA ACTIVIDAD PARA RECORDAR

La siguiente gráfica nos da el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:

Para saber cómo ha variado el número de nacimientos entre los meses de enero y abril, bastará con dividir la variación de nacimientos entre la variación de meses:

nacimientos /mes

Para saber cómo ha variado el número de nacimientos entre los meses de mayo y octubre, bastará con dividir la variación de nacimientos entre la variación de meses:

nacimientos /mes

El número que se obtiene, nos mide la variación media del aumento de nacimientos mensual. Expresado de otro modo este número nos indica que, por término medio, el número de nacimientos de un mes a otro ha aumentado en 30 o disminuido en 11. A este número se le llama Tasa de Variación Media entre los meses 1 y 4 o entre los meses 5 y 10.

9 TASA DE VARIACIÓN MEDIA

• Dada la función f, se llama Tasa de Variación Media de dicha función en el intervalo [a,a+h], al cociente:

• O también, Tasa de Variación Media, T.V.M [a,b], de f en el intervalo [a,b] es el cociente:

Geométricamente representa la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función f que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)).

Físicamente, representa la velocidad media de un móvil entre los instantes t = a, t = b cuyo movimiento venga dado por la ecuación:

e = f(t)

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Actividades resueltas 1. En una de las ciudades más contaminadas del planeta, la concentración de uno de los múltiples

gases que contaminan su aire, en microgramos por m3, durante la década de los años ochenta se podía obtener por la fórmula:

C(x) = 100 + 10x – 0'5x2 con x (en años) contados a partir del 1 de enero de 1980. a) ¿En qué momento estimas que empezó a tomar medidas el gobierno federal? b) Halla la tasa anual media de crecimiento entre 1980 y 1985. ¿Cuál fue la tasa media de

crecimiento entre los años 1990 y 1998? c) ¿A qué ritmo crecía a comienzos de 1992?

Resolución a) Parece lógico pensar que el gobierno tomó medidas en el momento en el que se alcanzó la

máxima contaminación, que fue en 1990 y de 150 microgramos/m3. Este dato viene dado por el vértice de la parábola.

xV = – 10 / –1 = 10 años (desde 1980)

yV = 100 + 10 · 10 – 0'5 · 100 = 150 b) Conviene distinguir la tasa media de crecimiento dependiendo del intervalo.

T.V.M.[0,5] = microgramos/año

T.V.M.[10,18] = ≅ 0'79 microgramos/año

c) Surge la necesidad de hablar de tasa de variación instantánea asociada al ritmo de crecimiento a comienzos de 1992. No es necesario calcularla.

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2. Una función relaciona las variables x e y de acuerdo con la siguiente tabla:

x 5 10 15 20 25 30 40 50

y 60 30 20 15 12 10 7’5 6

a) Representa gráficamente esta función. b) Encuentra su expresión analítica. c) ¿Cuál es la tasa de variación media en el intervalo [5,10]?

Resolución

Gráfica Fórmula

y =

Para hallar la T.V.M.[5,10] podemos emplear tanto la tabla como la fórmula; en cualquier caso:

T.V.M.[5,10] =

Actividades propuestas 13. La gráfica siguiente describe los beneficios, en millones de euros, de una empresa durante 10

años consecutivos.

Calcula la tasa de variación media en los siguientes intervalos:

[0,1, [1,5], [6,7], [0,10]

14. Se ha lanzado verticalmente hacia arriba una piedra y la altura (en m) alcanzada al cabo de t segundos es

f(t) = 30 t − 3 t2

a) Averigua la altura máxima alcanzada por la piedra. ¿En qué instante la alcanza?

b) Dibuja con detalle la gráfica de la función. ¿Qué significado tiene f(t) cuando t<0 o t>10? c) Obtén la velocidad media de la piedra en los intervalos [0,2], [1,5], [5,7], [2,8], [6,8].

Comenta los resultados.

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TEMA 6: MEDIDA DEL CAMBIO INSTANTÁNEO: LA DERIVADA Gran parte de las ciencias y actividades sociales (económicas, culturales etcétera) están en permanente cambio, siendo el estudio y la correcta interpretación de esos cambios parte de su objeto y método científico. Y es que, como dijo el viejo Heráclito, todo pasa y nada permanece. Así, como muestra, en un día cualquiera (8 de julio de 1996), de un periódico, hemos extraído las siguientes frases de los titulares de sus noticias:

♦ Cada día se registran 7.500 casos de sida en el mundo (...), la tasa de infección de la pandemia ha crecido en un 25 %.

♦ La economía crece en torno al 2 % en el segundo trimestre (la tasa de variación interanual del PIB fue, al final de cada uno de los cuatro trimestres de 1995, de +3’4, +3’3, +2’8, +2’3, respectivamente).

♦ El número de trabajadores afectados por la regulación de empleo aumentó un 6%.

♦ La ocupación hotelera cae entre un 5 % y un 10 % al empezar el verano Todas las noticias anteriores ponen de manifiesto la idea de cambio. Para ello, se utilizan las frases y palabras que hemos escrito en cursiva: tasa, aumentó, cae. Las variaciones respectivas, en estos casos, se han dado en porcentajes.

Los conceptos de tasa de variación media e instantánea - la derivada - es la ayuda que la Matemática presta a las ciencias para medir e interpretar la magnitud de los cambios. En esta unidad veremos algunas de las múltiples aplicaciones de la derivada.

LA TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA.

1 DE LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA A LA TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

Como sabes, una función puede utilizarse para modelizar la evolución de cualquier proceso (físico, biológico, social, etc.) a lo largo del tiempo.

Para describir su comportamiento sería necesario o interesante conocer las siguientes facetas: (1) Cuál es su valor en un instante dado. (2) Cómo ha evolucionado (cambiado) en un período determinado.

(3) Cómo está evolucionando en ese preciso instante. Por ejemplo, si se quiere dar una información precisa sobre el índice de paro de un país, no es suficiente indicar el número de parados en un determinado momento (1), o su variación en el último mes o año (2), sino que, además, hay que indicar su variación en el momento de estudio (3). Obviamente, cada dato por separado es importante, pero la información suministrada por los tres es más completa.

Si el proceso en cuestión viene descrito por la función y = f(x), el valor instantáneo, puntual, en un punto x = a viene dado por f(a). La variación entre los instantes x = a y x = b puede darse por la diferencia f(b) - f(a). Mientras que la variación instantánea, en x = a, podría medirse por la diferencia f(a + h) - f(a), si consideramos que a + h es el instante siguiente a a. En resumen, parece necesario analizar cómo encontrar la tasa de variación instantánea además de la tasa de variación media. A continuación vas a trabajar en ello.

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Actividad resuelta Supongamos que un automóvil ha recorrido un tramo de carretera con movimiento uniformemente acelerado según la función:

e = · t2

a) ¿Cuál es la velocidad media (tasa de variación media) en el intervalo [0,2]? b) ¿Qué se te ocurre hacer para hallar la velocidad instantánea en t = 5? Resolución

a) T.V.M.[0,2] =

b) Para hallar la velocidad instantánea (tasa de variación instantánea) podemos ir hallando tasas de variación media en intervalos (a,5) y (5,b) cada vez más pequeños:

T.V.M.[5,6] = Nos da la pendiente de la secante

T.V.M.[5,5'1] = Nos da la pendiente de la secante

T.V.M.[5,5'01] = Nos da la pendiente de la secante

T.V.M.[5,5'001] = Nos da la pendiente de la secante

Las velocidades medias parecen acercarse al número 5. ¿Y si tomamos intervalos de extremo superior 5?

T.V.M.[4,5] = Nos da la pendiente de la secante

T.V.M.[4'9,5] = Nos da la pendiente de la secante

T.V.M.[4'99,5] = Nos da la pendiente de la secante

T.V.M.[4'999,5] = Nos da la pendiente de la secante

Ahora, las velocidades medias se acercan también al mismo número, 5. • En resumen, cuando t se acerca a 5, las velocidades medias se acercan a un determinado

número. A este número, le llamaremos velocidad instantánea en t = 5. • Observa también que si t se acerca a 5, la secante se acerca a la tangente en x = 5. Este método tiene el inconveniente de unos cálculos bastante latosos; por eso, vamos a dar un método más apropiado.

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2 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Si hacemos que en la tasa de variación media h→0, y dicho cociente tiene un valor límite, a dicho valor se le llama tasa de variación instantánea de la función f en x = a; es decir:

Con otro enfoque, si hacemos que x→a en la tasa de variación media, la tasa instantánea de variación en a es

La tasa de variación instantánea nos da la velocidad instantánea, tasa o ritmo de cambio a la que varía una magnitud respecto a otra en un instante determinado.

Llamamos derivada de la función f en x = a, y se representa por f ’(a) a la tasa de variación instantánea de la función f en x = a.

Actividades resueltas Antes de “asustarte” al leer la resolución de estas actividades, has de tener en cuenta que vas a poder hallar la derivada de una función en un punto de forma más sencilla más adelante. Por ahora, sólo nos interesa que apliques la definición.

1. Calcula la derivada de la función f(x) = x2 + 1 en x = 2 y en x = –1. Resolución

f ’(2) =

f ’(–1) = = 0

2. Calcula la derivada de la función g(x) = en x = –1 y en x = 2.

Resolución

g ’(1) =

Actividad propuesta (ya propuestas en 1º) 1. Aplica la definición para calcular la derivada de las funciones y = x, y = x2, y = x4 en x = 1 y

también en x = −2 (Recuerda lo visto sobre indeterminaciones en el cálculo de límites).

Generaliza para x =a.

2. Aplica ahora la definición para calcular la derivada de la función y = en x = 2.

100

3 TABLA DE DERIVADAS (I)

3.1 Para aprender Como se mencionaba en el punto anterior, en general, no es necesario calcular la derivada en cada punto, sino que es posible dar una función que nos permita conocer la derivada de una función en todos sus puntos. Es lo que se llama función derivada. Es posible conocer (después de una demostración previa) algunas funciones derivadas de las funciones más conocidas. Esta es la tabla:

Modelo funcional Fórmula Función derivada

Función constante f(x) = C f ‘ (x) = 0

Función identidad f(x) = x f ‘ (x) = 1

Función potencial f(x) = xn f ‘ (x) = n · xn-1

Función exponencial de base a f(x) = ax f ‘ (x) = ax · lna

Función exponencial de base e f(x) = ex f ‘ (x) = ex

Función logarítmica de base a f(x) = logax f ‘ (x) =

Función logarítmica de base e f(x) = lnx f ‘ (x) = 1/x

Función producto de una constante por una función f(x) = C · u(x) f ‘ (x) = C · u’(x)

Función suma f(x) = u(x) +v(x) f ‘ (x)= u'(x) +v'(x)

Función producto f(x) = u(x) · v(x) f ‘ (x) = u'·v+u·v'

Función cociente f(x) = f ‘ (x) =

Intenta justificar alguna de ellas.

3.2 Para practicar

Función Función derivada

f(x) = 2 f ’(x) = 0

f(x) = 3x f ’(x) = 3

f(x) = x2 f ’(x) = 2x

f(x) = x2 + 3x + 2 f ’(x) = 2x + 3

f(x) = 4 · (x + 3) f ’(x) = 0 · (x + 3) + 4 · 1 = 4

f(x) = ó

f(x) = x–1

f ’(x) =

f ’(x) = (–1) · x–2 =

101

4 CÁLCULO DE DERIVADAS

4.1 Derivada de funciones polinómicas a) y = x + 5 y’ = 1 b) y = x2 + 2x – 3 y’ = 2x + 2

c) y = 2x3 – 3x2 + 7 y’ = 2 · 3x2 – 3 · 2x = 6x2 – 6x d) y = (x + 2) · (x2 – 1) y’ = (x +2)’ · (x2 – 1) + (x +2) · (x2 – 1)’

1 · (x2 –1) + (x +2) · 2x = x2 – 1 + 2x2 + 4x = 3x2 + 4x – 1 En este último caso, podríamos haber realizado previamente los cálculos en la expresión de la función: y = x3 + 2x2 – x – 2 y’ = 3x2 + 2 · 2x – 1 = 3x2 + 4x – 1

4.2 Derivada de funciones racionales

a) y = y’ =

b) y =

y’=

4.3 Derivada de funciones trascendentes a) y = ex + 2 y’ = ex

b) y = x · lnx y’ = x’ · lnx + x · = lnx + 1

4.4 Derivada en un punto Dada la función: f(x) = x2 + 1, halla f ’(2) y f ’(–1) Respuesta Como ya hemos hallado anteriormente la función f ’(x), basta con sustituir: f ’(x) = 2x ⇒ f ’(2 ) = 4, f ’(–1) = – 2

4.5 Y ahora, ¡calculamos la tasa de variación instantánea! 1. Un estudio sobre la eficiencia de los trabajadores de una factoría ha determinado que el

promedio de piezas producidas por trabajador viene dado por la función P(t) = 25t + 5t2 – t3 siendo t las horas transcurridas a partir del comienzo de la jornada.

• ¿Cuál es la tasa de producción de un trabajador a las cuatro horas? Resolución Nos están pidiendo que hallemos P’(4).

P’(t) = 25 + 10t – 3t2 ⇒ P’(4) = 25 + 40 – 3 · 16 = 65 – 48 = 17

102

2. A partir de 1960, la población, en miles de personas, de un pueblo cercano a Madrid se ajustó a la función

(Con t: número de años a partir de 1960)

a) Calcula la población a principios de 1960 y a comienzos de 1980. b) La tasa de variación media en el período 1960 – 1980. c) La tasa de variación a comienzos de 1970.

Resolución Nos piden P(0) y P(20).

P(0) = 180 – = 180 – 165 = 15

P(20) = 180 – = 180 – =180 – = 180 – = 180 – 33 = 147

T.V.M.[0,20] = = 6’6 miles de personas /año

Nos piden P’(10)

P’(t) = ⇒ P’(20) = = 8’25

Actividades propuestas

3. Calcula las siguientes derivadas: a) y = x2 + 1 b) y = 3x4 + 3x – 2 c) y = (x+1) · (x–2)

d) y = 4 (x3 – 5) e) y = x · ex f)

g) h) i)

4. El nivel promedio de monóxido de carbono, en partes por millón, de una gran ciudad viene dado por M(x) = 0’02x3 + 0’1 · x + 3, donde x indica años a partir del 1 de enero de 2000.

Calcula el ritmo de crecimiento al comenzar el año 2005.

5. El efecto de una anestesia t horas después de ser administrada viene dada por la expresión

(con 0 ≤ t ≤ 4).

Halla la variación del efecto en el instante t = 2.

103

5 LA DERIVADA Y LA RECTA TANGENTE

5.1 De la recta secante a la recta tangente La derivada de una función en un punto no solamente puede interpretarse como la tasa de variación

instantánea. Recuerda que el cociente también representa la pendiente de la recta

secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)). Si hacemos que h→0, las rectas secantes tienen como recta límite una recta a la que llamaremos recta tangente y dichos cocientes nos irán dando sus pendientes respectivas. Es lo que puedes observar en el dibujo cuando B → A.

Por lo tanto, si existe nos dará la pendiente de la recta tangente en x = a.

5.2 La recta tangente y la derivada

No podemos definir la recta tangente a la gráfica de una función en un punto como aquella que la corta sólo en dicho punto, ya hay casos en los que la recta tangente corta a la curva en más puntos, como sucede en la gráfica de la derecha:

• Definimos la recta tangente a la gráfica de una función en x=a, como aquella recta que:

a) Pasa por el punto (a, f(a)), y además b) Su pendiente es f’(a) (la derivada de la función en dicho punto)

• Partiendo de la ecuación explícita de la recta: y = m·x + n

y teniendo en cuenta que ha de cumplir las dos condiciones citadas, justifica que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (a, f(a) es:

y – f(a) = f '(a) · ( x – a) Actividades propuestas 6. Halla la pendiente de la recta tangente a la curva y = x2 en los puntos de abscisa x = 2 y x = –1.

Halla asimismo las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

7. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto de abscisa 3.

104

8. Se está estudiando construir una carretera aprovechando la Montaña del Avellano y que salga del pueblo de Almendrón. Un croquis del perfil de la montaña es el de la figura y efectuando cálculos han considerado que se ajusta bastante a un tramo de la función cuadrática.

y = – 0’125x2 +2x

¿Qué pendiente hay en el pueblo, en la cumbre y en La Vega que está a 400 metros del pueblo?

6 DISTINTAS INTERPRETACIONES DE LA DERIVADA

Este esquema nos puede servir para recordar los conceptos de tasa de variación media e instantánea y su relación con la derivada, así como su interpretación física y su interpretación geométrica:

Y por otra parte, atendiendo a todos sus significados y a cómo se calcula, el siguiente esquema también nos puede ser útil.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

SIGNIFICADO GENERAL

SIGNIFICADO FÍSICO

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO CÁLCULO

Tasa de variación media entre las abscisas a y a+h

Velocidad media entre los instantes a y a+h

Pendiente de la secante a la gráfica de f en los puntos (a,f(a)) y( a+h,f(a+h)

al calcular el límite cuando h0

TASA DE VARIACIÓN en el punto de abscisa x=a

VELOCIDAD INSTANTÁNEA en el instante x=a

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE en el punto (a,f(a))

f'(a)=

La recta secante a la gráfica de f en los puntos A(a,f(a)) y P(a+h,f(a+h))

tiende a La recta tangente a la gráfica de f en el punto A(a,f(a))

PA

si

h0

Pendiente de la recta secante:

Pendiente de la recta tangente:

f '(a) tiende a

105

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS AL ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN.

Aunque no es un objetivo prioritario en este bachillerato, puede ser conveniente ver los pasos que conviene seguir para realizar con bastante precisión la gráfica de los tipos de funciones más usuales que podremos encontrarnos. Si disponemos de una calculadora gráfica, el proceso se simplifica mucho más.

Abordamos en este apartado una de las aplicaciones más usuales y vistosas de la derivada: la representación gráfica de curvas.

Esta aplicación, desde un punto de vista formal, es más matemática y, quizá, menos necesaria en las Ciencias Sociales. Al fin y al cabo, una sencilla calculadora gráfica representa cualquier función con la precisión que necesitemos, Por eso, aunque hacemos un estudio casi completo de los métodos de representación gráfica de funciones, nuestro propósito no es la mera formalidad de¡ proceso matemático; lo que pretendemos es que las ideas se entiendan bien; y para ello, nada mejor que verlas dibujadas. Por ejemplo, la identificación de la concavidad con los períodos de eficiencia crecientes en cualquier actividad productiva nos parece muy clarificadora.

7 ¿CÓMO LO HAGO?

En cada una de las siguientes gráficas debemos analizar:

• Dominio • Puntos de corte con los ejes • Crecimiento • Extremos relativos • Tendencias. Asíntotas. • Continuidad • Tipo de curvatura

¿Podemos tener absoluta seguridad sobre los puntos en los que sucede algo “curioso”?

Comentarios Alguno de las características ya debes saber estudiarlas sin demasiados problemas (dominio de la función, puntos de corte con los ejes, tendencias, continuidad). Sin embargo, para poder analizar de forma apropiada otras características necesitamos conocer la relación entre los diferentes conceptos y las derivadas. En la primera parte de este apartado veremos dicha relación de forma aislada, en el punto 10 haremos un estudio más global.

106

8 DERIVADAS Y EXTREMOS RELATIVOS

8.1 Derivadas y monotonía Ya sabemos reconocer de una forma intuitiva si una función es creciente o no, si en un punto hay un máximo o un mínimo. Podemos concretar todo esto un poco más con las siguientes definiciones: • f es creciente en un intervalo I si ∀x,y ∈I | x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) • f es decreciente en un intervalo I si ∀x,y∈I | x < y ⇒ f(x) ≥ f(y • f es estrictamente creciente en un intervalo I si ∀x,y∈I | x < y ⇒ f(x) < f(y) • f es estrictamente decreciente en un intervalo I si ∀x,y∈I | x < y ⇒ f(x) > f(y • f es monótona en I si es o creciente o decreciente en I

La función derivada f '(x) proporciona información sobre el crecimiento o decrecimiento de la función f(x):

• S i f '(a) > 0 ⇒ f(x) es estrictamente creciente en x = a

• Si f '(a) < 0 ⇒ f(x) es estrictamente decreciente en x = a

8.2 Extremos relativos. Condición necesaria. • Sea f una función definida en un conjunto D. Se dice que c es un máximo absoluto para f o

que f alcanza su valor máximo en el punto de abscisa c si

f(c) ≥ f(x) ∀x∈D • Se dice que c es un máximo relativo para f si es un máximo absoluto en un entorno de c. • Igualmente definimos mínimo absoluto y mínimo relativo. Un extremo es un máximo o mínimo. • Si a es un extremo relativo de f y f es derivable en a ⇒ f '(a) = 0 (es lo que llamamos una

condición necesaria para la existencia de un extremo relativo)

8.3 Extremos relativos. Condición suficiente. Cuando f '(a) = 0 el comportamiento de f(x) no siempre es el mismo. Por ejemplo, en las cuatro funciones que siguen se cumple que f '(0) = 0:

f(x)= x2 f(x)= –x2 f(x)= x3 f(x)= –x3

Así pues, si una función presenta un máximo o mínimo en x= a y es derivable en ese punto, necesariamente tiene que ser f '(a) = 0 ; sin embargo, f '(a) = 0 no asegura la existencia de máximo o mínimo.

107

Es imprescindible un estudio adicional para decidir qué comportamiento tiene la función en un punto singular que es como se nombra un punto que tenga derivada nula. • Estudiar el signo de f ’(x) puede resolver el problema. Fíjate en el siguiente esquema:

x < a x = a x > a

Signo de f ' + 0 –

Crecimiento de f

Esta situación nos permite asegurar la existencia de un máximo en x = a. • Además, f ’ pasa de positiva a negativa en x = a, por lo que es decreciente en dicho punto.

Teniendo en cuenta que la función derivada de f ’ (x) se representa por f ” (x) y se denomina derivada segunda de f(x), podemos escribir:

Si f ’(a) = 0 y f ”(a) < 0 ⇒ f(x) presenta un máximo relativo en x = a

8.4 Resumiendo: Cómo distinguir un máximo de un mínimo • Los extremos relativos habrá que buscarlos o en los puntos en que la función no es derivable, o

bien donde f ' =0 (puntos singulares). Una vez localizados éstos, puedes seguir cualquiera de los caminos propuestos en el punto anterior.

• Los extremos absolutos de f en un intervalo I se encontrarán o bien en los relativos o bien en los extremos del intervalo.

Actividades resueltas 1. Busca los extremos relativos de las funciones:

y = x3 – 3x2 + 4 Resolución En los extremos relativos y’ = 0

y’ = 3x2 – 6x

Si y’=0 ⇒ 3x2 – 6x = 0 ⇒

x1 = 0, x2 = 2 (Posibles extremos relativos) y” = 6x – 6

y” (0) = – 6 < 0 ⇒

En x = 0, hay un máximo relativo.

y” (2) = 6 > 0 ⇒

En x = 2, hay un mínimo relativo.

Conclusión: Hay un máximo relativo en (0,4) y un mínimo relativo en (2,0).

108

2. Busca los extremos relativos de la función:

Resolución

En los extremos relativos y’ = 0

y’ =

Si y’=0 ⇒ 4x – x2 = 0 ⇒

x1 = 0, x2 = 4 (Posibles extremos relativos)

y” =

y” (0) = 1 > 0 ⇒

En x = 0, hay un mínimo relativo. y” (4) = –1 < 0 ⇒

En x = 4, hay un máximo relativo.

Conclusión: hay un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (4,–8).

3. Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Si su precio P(t), en euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que éste llevaba en el mercado por la función:

a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de P(t). b) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo en el mercado? c) ¿Cuál fue la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años?

Respuesta Al ser una función definida a trozos, nos limitaremos a hacer el estudio a través de la gráfica.

a) P crece en el intervalo [0,2[. P decrece en el intervalo ]2,8[.

b) P alcanza un máximo para t = 2 y el valor es P(2) = 20.

c) T.V.M.[2,8] = = –2’5 euros/año

109

4. El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función f(x) = −x2 + 40x + 84, donde x representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcula:

a) El número de días que deben transcurrir para que desaparezca la enfermedad. b) La tasa de propagación de la enfermedad al cabo de 5 días. c) El momento en que la enfermedad deja de crecer. d) El número de días que tienen que pasar para que la enfermedad se extinga a razón de 32

personas/día. Resolución La gráfica de la función es:

En esta actividad la mayor dificultad puede ser traducir al lenguaje matemático las preguntas planteadas. a) Desaparecer enfermedad ≅ f(x) = 0 ⇒ −x2 + 40x + 84 = 0 ⇒ x1 = –2 (sin sentido), x2 = 42 días.

A los 42 días desaparece la enfermedad. b) Tasa de propagación … ≅ f ’(5). Como f ’(x) = –2x + 40 ⇒ f ’(5) = –10 + 40 = 30 personas/día.

c) Momento en ………….. ≅ Máximo de la función ≅ Vértice de la parábola.

xV = –40/ –2 = 20 días ⇒ yV = 484 personas

En el máximo de la función: f ‘(x) = 0 ⇒ –2x + 40 = 0 ⇒ x = 20

Para comprobar si es un máximo: f ”(x) = –2 < 0 ⇒ En x = 20 hay un máximo relativo.

La enfermedad dejó de crecer a los 20 días (todavía son atacadas 484 personas al día). d) Número de ……………. Puede interpretarse como f ‘ (x) = –32.

–2x + 40 = –32 ⇒ 72 = 2x ⇒ x = 36 días

A los 36 días, la enfermedad se extingue a razón de 32 personas/día. Actividades propuestas 9. Encuentra los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) y = x2 · (3 – 2x) b) y = x4 –2x2 – 8 c) y = x3 – 6x2 + 9x

d) e) f )

110

10. Un analgésico (Enantyum) lanzó al mercado la siguiente publicidad:

“Ante cualquier dolor” Para apoyar este argumento, en el folleto aparecía una gráfica muy parecida a la siguiente:

Los datos del folleto informativo pueden ajustarse con bastante precisión a la función cúbica:

y =

a) ¿Cuál es el tiempo durante el que el analgésico hace un cierto efecto?

b) ¿En qué momento es máxima la disminución de la intensidad dolorosa?

9 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

El estudio del crecimiento-decrecimiento y máximos y mínimos permitirá, con el apoyo de una pequeña tabla de valores, dibujar una gráfica bastante aproximada de la función estudiada. Pero si interesa conocer el comportamiento de la función en un intervalo (a, b), el hecho de saber que es creciente en ese intervalo puede ser insuficiente para dibujar el tramo de gráfica. Estas tres gráficas se ajustan a la condición de ser estrictamente crecientes sobre el intervalo:

y = f(x) y = g(x) y = h(x)

El crecimiento puede ser cada vez más rápido (curva cóncava) , cada vez más lento (curva convexa) o bien puede producirse un cambio en el tipo de crecimiento. Podríamos demostrar (lo cual excede de los contenidos de este curso) que:

Si f”(x) > 0 ∀x∈(a,b ) ⇒ f(x) es cóncava en (a,b) Si f”(x) < 0 ∀x∈(a,b ) ⇒ f(x) es convexa en (a,b)

Un punto del dominio de una función, donde su gráfica pasa de ser cóncava a ser convexa (o viceversa), se llama punto de inflexión. En estos puntos la función no es ni cóncava ni convexa y, si existe f'', necesariamente debe ser:

f ” (x) = 0

111

Actividades resueltas 1. Encuentra los puntos de inflexión de la siguiente función.

y = x3 – 3x2 + 4 Resolución En los puntos de inflexión, y” = 0, y’’’ ≠ 0

y’ = 3x2 – 6x y” = 6x – 6

y” = 0 ⇒ 6x – 6 = 0 ⇒

x = 1 (Posible punto de inflexión).

y’’’ = 6 ≠ 0

En x =1 hay un punto de inflexión

Conclusión: Hay un punto de inflexión en (1,2) 2. Encuentra los puntos de inflexión de la siguiente función.

Resolución En los puntos de inflexión, y” = 0, y’’’ ≠ 0

y’ =

y” =

y” = 0 ⇒ 8 = 0 ⇒ Es imposible.

No hay puntos de inflexión.

Conclusión: No hay puntos de inflexión en (1,2)

NOTA: Si hubiéramos seguido este proceso: y” = 0 ⇒ 16 – 8x = 0 ⇒ En x = 2 hay un posible P.I., pero en x = 2 no hay función.

Actividad propuesta 11. Estudia la concavidad y los puntos de inflexión de las funciones: a) y = x2 · (3 – 2x) b) y = x4 –2x2 – 8 c) y = x3 – 6x2 + 9x

d) e) f )

112

10 ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Las etapas que normalmente seguiremos para representar gráficamente una función serán las siguientes: • Dominio

Es el conjunto de valores para los que existe la función. • Simetrías

Sólo prestaremos atención a las simetrías respecto al eje OX. Tendremos así una función par si: f(–x) = f(x)

• Periodicidad

Sólo son periódicas las funciones trigonométricas: y = sen x, y = cosx, y = tanx, ...

• Puntos de corte con los ejes Con el eje OX: En esos puntos y = 0 (obtenemos siempre una ecuación)

Puede que no haya puntos de corte con el eje OX Con el eje OY: En ese punto x = 0

Siempre hay un punto de corte con el eje OY. • Continuidad. Asíntotas.

Lo hemos visto en el tema anterior.

• Extremos relativos. Crecimiento y decrecimiento. Lo hemos visto en este tema.

• Puntos de inflexión. Concavidad y convexidad. Lo hemos visto en este tema.

• Construimos una tabla de valores En cada caso la tabla puede que deba ser diferente.

• ¡Y dibujamos su gráfica! A continuación veremos dos ejemplos totalmente desarrollados.

113

10.1 Una función polinómica En el caso de las funciones polinómicas se cumplen siempre una serie de requisitos: • El dominio siempre es R (todos los números reales)

• Nunca son periódicas. • Son continuas. No hay asíntotas.

Vamos a estudiar la función: y = x3 –3x2 + 4

• Simetrías No es una función simétrica.

• Puntos de corte con los ejes Con el eje OY: (0,4)

Con el eje OX: (–1,0), (2,0) • Extremos relativos. Crecimiento y decrecimiento.

y’ = 3x2 – 6x y” = 6x – 6 Máximo: (0,4), mínimo: (2,0)

• Puntos de inflexión. Concavidad y convexidad. P.I. (1,2)

• Construimos una tabla de valores

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y –50 –16 0 4 2 0 4

• Dibujamos su gráfica

Actividad propuesta 12. Haz un estudio y representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = x2 · (3–2x) b) y = x4 – 2x2 – 8 d) y = x3 – 6x2 + 9x

114

10.2 Una función racional En el caso de las funciones racionales, ya no se puede generalizar; en cualquier caso: • Nunca son periódicas.

Vamos a estudiar la función:

y =

• Dominio Df = R–{1}

• Simetrías No es simétrica

• Puntos de corte con los ejes Con el eje OY: (0,–1) Con el eje OX: (1,0)

• Continuidad. Asíntotas. Asíntotas. y = 1, x = –1

• Extremos relativos. Crecimiento y decrecimiento.

y’ = ; y’ ≠ 0 ⇒ No tiene extremos relativos.

• Puntos de inflexión. Concavidad y convexidad.

y” = ; y” ≠ 0 ⇒ No tiene puntos de inflexión

• Construimos una tabla de valores

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 2 3 ∃ –1 0 1/3 1/2

• Dibujamos su gráfica

Actividad propuesta 13. Haz un estudio y representa gráficamente las siguientes funciones:

a) b) c)

115

TEMA 7: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Abordamos en esta unidad dos de las aplicaciones más prácticas de la derivada: la optimización y la economía de curvas. ¡Ojo con la economía! Respecto a la optimización, todos sabemos que uno de los retos permanentes de la Humanidad es el máximo aprovechamiento de los recursos: alimentos, materias primas, espacio y tiempos disponibles, etc. Los avances técnicos y los modelos matemáticos son algunas de las respuestas que el ser humano ha sabido dar al problema. Esto no debería ser incompatible con la búsqueda del equilibrio con el medio, pues la Naturaleza suele dar soluciones prácticamente óptimas; así, ejemplo, las abejas han sabido resolver el problema de alojar en una colmena que no supera los 60 decímetros cúbicos a varias decenas de millares de individuos, miles de larvas y unos 50 kilogramos de miel. Respecto a la economía, no nos limitaremos a trabajar con el concepto de derivada, sino que aprovecharemos para trabajar con los conceptos de oferta, demanda y punto de equilibrio.

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

En el tema 4 hemos resuelto un tipo particular de problemas de optimización: aquellos cuya función objetivo era lineal y estaba sujeta a una serie de restricciones, también lineales, que aparecían siempre en forma de desigualdades. Eran los problemas de programación lineal.

En este apartado del tema trataremos problemas más libres, no lineales y donde las restricciones, si existen, estarán ligadas por una igualdad. Esto permitirá expresar una variable en función de la otra, haciendo posible que la función objetivo pueda ponerse siempre en la forma y = f(x). A estos problemas los llamaremos de optimización clásica. Pero, tanto aquí como allí, se trata de encontrar la solución óptima: la que da mayor beneficio o la que cuesta menos. En este caso, gozamos de una herramienta más potente: el cálculo en derivadas, que, como sabemos, da las condiciones de existencia de máximos y mínimos.

1 ¿CÓMO LO HAGO?

Un fabricante de DVD observa que puede vender 30 aparatos diarios a 140 euros cada uno. Por cada aparato que fabrique de más, el precio baja 2 euros. a) ¿Cuántos debe fabricar para que los ingresos sean máximos? b) ¿Y si el precio de cada aparato son 200 euros y el precio debe bajar 10 euros? Estrategia 1 (sólo lo haremos para la primera pregunta) Construimos una tabla de valores en la que recogemos la información conforme va subiendo el precio:

Nº de veces que sube el precio 0 10 20 30 40

Nº de aparatos 30 40 50 60 70

Precio de la unidad 140 120 100 80 60

Ingresos totales 4200 4800 5000 4800 4200

Nos encontramos con la simetría de la tabla (se repiten 4800 y 4200) y por tanto, estamos hablando de una función polinómica de 2º grado, de la que nos piden el vértice. Si fabrica 50 aparatos, obtiene los máximos ingresos, 5000 €.

116

Estrategia 2 Construyo la función que nos da los ingresos, I(x), en función del número de veces, x, que baja el precio (o el número de aparatos que fabrica de más):

I(x) = (30 + x) · (140 – 2x) = 4200 + 80x – 2x2

Nos están pidiendo el vértice de la parábola:

xV = (el precio es de 100 €/unidad)

yV = (30 + 20) · (140 – 40) = 50 · 100 = 5000 €

Estrategia 3 Una vez que tenemos la función I(x) = 4200 + 80x – 2x2, nos piden que hallemos el máximo de esta función. En el máximo relativo, I’(x) = 0

I’(x) = 80 – 4x; I’(x) = 0 ⇒ 80 – 4x = 0 ⇒ x = 20

I”(x) = –4 < 0 ⇒ Para x = 20 (el precio es de 100 €/unidad), los ingresos son máximos 5000 €.

NOTA: En el caso b) no vamos a desarrollar las tres estrategias.

Función Gráfica Máximo

I(x) = (30 + x) · (200 – 10x) I(x) = 6000 – 100x – 10x2

Se produce con el valor inicial, ya que a partir de x = 0, la función es decreciente.

117

2 ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN MEDIANTE EL CÁLCULO DIFERENCIAL

En los problemas de optimización con una o dos variables, nuestra intención es siempre optimizar (bien sea maximizar o minimizar) una función. Los pasos más habituales para resolver este tipo de problemas mediante el cálculo diferencial son:

1. Identificar las variables del problema. 2. Establecer la función que deberemos maximizar o minimizar.

3. Si la función depende de dos variables, expresar la relación entre las variables que da el problema escribiendo una a partir de la otra.

4. Establecer la función (que ya depende sólo de una variable) que deberemos maximizar o minimizar.

5. Buscamos los extremos relativos de dicha función. Vamos a ir viendo todas las etapas mencionadas a través de un ejemplo:

Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo sea mínimo. 1. Escribimos las dos variables o incógnitas:

x: 1er sumando, y: 2º sumando

2. Escribimos la función que queremos optimizar: F(x,y) = x2 + 2 · y2

Si la función dependiera de una sola variable, buscaríamos sus extremos relativos. Como la función depende de dos variables, debemos buscar una relación entre ellas que nos permita escribir la función que queremos optimizar dependiendo de una sola variable. 3. Buscamos una relación entre ambas variables:

x + y = 90 ⇒ y = 90 – x

4. Escribimos la función, pero dependiendo de una sola variable:

F(x) = x2 + 2 · (90 – x)2 ⇒ F(x) = x2 + 2 · (8100 – 180x + x2) = x2 + 16200 – 360x + 2x2

⇒ F(x) = 3x2 – 360x + 16200

Ya tenemos una función que podemos optimizar aplicando el cálculo diferencial.

5. Los extremos relativos habrán de cumplir: F’(x) = 0 F’(x) = 0 ⇒ 6x – 360 = 0 ⇒ x = 60. Si hay un extremo relativo, se producirá en x = 60.

6. Comprobamos si para x = 60 la función F presenta un mínimo siguiendo el criterio de la 2ª derivada.

F” (x) = 6 > 0 ⇒ En x = 60, F presenta un mínimo relativo.

Conclusión: Si descomponemos 90 en dos sumandos, 60 y 30, el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo es mínimo y el resultado es: 5400.

118

Actividades resueltas 1. El departamento de recursos humanos de una empresa de fabricación de carpetas de cartón ha

hecho un estudio para conocer la variación que se produce durante las ocho horas de un día cualquiera. La tabulación de los resultados viene determinado con bastante precisión por una función que relaciona el número de carpetas/hora fabricadas por cada trabajador y las horas transcurridas desde que comenzó la jornada laboral. Dicha función es:

N(t) = 3t2 + 45t – t3 • ¿Cuáles son las horas de mayor rendimiento?

Resolución

Nos piden el máximo de la función, pero el grado es 3. Deberemos utilizar las derivadas.

N’(t) = 6t + 45 – 3t2 ; N’(t) = 0 ⇒ 6t + 45 – 3t2 = 0 ⇒ t =

N”(t) = 6 – 6t; N”(5) = – 24 < 0 ⇒ Para t = 5 se produce el mayor rendimiento (175 carpetas/h)

2. Un ganadero compra un ternero de cría que pesa 200 Kg. por 2.000 euros. Alimentar al animal cuesta 2 euros al día y el ternero aumenta de peso 2 Kg. cada día. Por otro lado, cada día que pasa el valor del animal en el mercado varía, de modo que el valor al cabo de t días, dependiendo del peso de animal, es 10–0’03t euros por Kg. a) Calcula el peso del ternero al cabo de t días. b) Obtén la ganancia obtenida por el ganadero si vende el ternero a los t días (la ganancia

será el valor del ternero en ese instante menos los costes invertidos) c) ¿Cuándo debe vender el ternero para obtener la máxima ganancia?

Resolución La función que nos da el peso del ternero al cabo de t días es:

P(t) = 200+2t

La función que nos da la ganancia obtenida al cabo de t días será: G(t) = [(10–0’03t) · (200+2t)] – (2000+2t) = –0’06t2 – 12t

Es importante observar que si se vende el mismo día que se compró, no hay ganancias.

Su gráfica es:

El vértice es (100,600).

La función es cero para x = 0 y para x = 200.

119

Actividades propuestas 1. Se encarga a un constructor unos bloques de viviendas y quiere, como es natural, minimizar el

coste del apartado referente a ventanas, de manera que, manteniendo la misma luz, la misma superficie de ventana, el coste del marco sea mínimo. He aquí cuatro ventanas:

Todas las ventanas tienen la misma luz: 1 m2; pero el marco de la cuarta ventana es más caro que el de las otras tres, porque tiene más perímetro.

• ¿Cuál es la ventana de marco más barato que tenga la misma luz, 1m2? Lo que hay que estudiar es, por supuesto, el perímetro. Este perímetro es función de la altura de la ventana.

2. Un fabricante de espejos retrovisores sabe que las ganancias mensuales, en euros, que puede obtener con la venta de un espejo vienen dadas por:

G(p) = – p2 + 3’5p donde p es el precio de venta, en euros, de cada espejo fabricado.

a) ¿A qué precio le interesa vender cada unidad para obtener el máximo beneficio? b) ¿Para qué precios de venta, al aumentar dichos precios aumentan las ganancias?

3. Un enorme restaurante tiene capacidad para 500 comensales. Si el precio del menú es 6 euros, el restaurante se llena los fines de semana. El dueño sabe por experiencia que por cada aumento de 0’25 euros en el menú el número de comensales disminuye en 10 personas. a) Encuentra la expresión de la función que da los ingresos del restaurante dependiendo del

aumento del precio. b) ¿A qué precio conviene al dueño poner definitivamente el menú para que los ingresos sean

máximos. ¿Cuántos comensales habrá en el restaurante con ese precio? 4. Una plaga de roedores varía de acuerdo con la siguiente función, en la que x representa el

tiempo medido en días e y el número de roedores.

a) Calcula en qué momento hay más roedores y cuántos hay.

b) ¿En qué días aumenta la población de roedores? ¿Y en qué días va disminuyendo? c) ¿Llegaremos a estar libres de los molestos animales?

120

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA ECONOMÍA

En economía, a veces interesa saber cómo afectan los cambios en variables tales como producción, oferta o precios, a otras variables como pueden ser coste, ingresos o beneficios. Así, por ejemplo, un constructor debe considerar la posibilidad de que si el precio de los pisos que vende es demasiado alto, puede ocurrir que no los venda al ritmo deseado y como consecuencia, sus beneficios pueden ser menores que los que obtendría vendiéndolos a un precio menor.

3 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA. PUNTOS DE EQUILIBRIO.

• La demanda de un producto nos indica la cantidad de mercancía que, según el precio, de compra, están dispuestos a comprar los consumidores. En adelante, llamaremos p al precio del producto e yD a la función de demanda.

• La oferta de un producto nos indica la cantidad de mercancía que, según el precio de venta, están dispuestos a ofrecer los productores. En adelante, llamaremos p al precio del producto e yO a la función de oferta.

Las funciones de oferta y demanda suelen ser muchas veces modelos lineales o cuadráticas.

• Se suele llamar cantidad de equilibrio al número de unidades que hay que producir para que la demanda y la oferta se igualen; es decir, cuando yD = yO. El precio para el que la oferta y demanda se igualan se llama precio de equilibrio.

Hay que tener en cuenta que la oferta y la demanda dependen de multitud de circunstancias variables además del precio: renta de los consumidores, especulación,...Por tanto, los modelos mencionados anteriormente, son una simplificación de situaciones reales.

Actividad resuelta La función de oferta para una producción de tostadores es yO = 3p – 20 (con p en euros) La función de demanda viene dada por: yD = 0’1p2 – 9p + 180 a) ¿Cuál es el precio de equilibrio? ¿Cuántos tostadores se venderían a ese precio? b) Representa gráficamente ambas condiciones de mercado. Respuesta

Gráficas Punto de equilibrio

Para encontrar el precio de equilibrio, deberemos igualar los valores de ambas funciones: 3p – 20 = 0’1p2 – 9p + 180 ⇒ 0’1p2 – 12p + 200 = 0 ⇒

p2 – 120p + 2000 = 0 ⇒ p1 = 20, p2 = 100

A p =20, la cantidad de equilibrio son y = 40 tostadores.

A p = 100 la cantidad de equilibrio sería y = 280, pero si bien esta solución tiene sentido matemático, no tiene sentido comercial; no hay más que observar que a partir de 30 euros, la función de demanda es negativa hasta llegar a un precio de 60 euros (el vértice de la parábola se encuentra en p = 45), precio en el que la función de demanda vuelve a ser positiva.

121

Actividad propuesta 5. El mercado de las películas de vídeo se rige por una función de oferta: yO = 3 + 2p

La función de demanda viene dada por: yD = 210 − p (p en euros)

a) Determina el precio y la cantidad de equilibrio b) Para un precio de 12 euros, ¿qué ocurriría en el mercado?

c) ¿A qué precio habría un exceso de 120 películas? d) ¿Y a qué precio habría un déficit de 15 películas?

4 INGRESO, COSTE Y BENEFICIO

Nos hemos con conceptos como: coste, ingreso, beneficio,.... El problema surge cuando hablamos de coste por unidad:

• ¿Es lo mismo coste medio que coste de una unidad determinada? • ¿Cómo averiguar con mayor comodidad el coste necesario para fabricar la última unidad

producida? En Economía, se diferencia entre coste fijo medio, coste variable medio y coste total medio. Asimismo aparecen los conceptos de coste marginal, beneficio marginal,... Normalmente la curva de costes fijos medios es decreciente conforme aumenta el número de unidades producidas; sin embargo, las curvas de costes variables medios y de costes totales medios, primero decrecen hasta alcanzar un mínimo y después crecen. En cualquier caso, la situación de cada empresa hace que se puedan producir diferentes situaciones. No es nuestra intención comentarte aquí toda una teoría económica, sólo pretendemos que conozcas algunos conceptos y estrategias que puedas utilizar en casos en los que las funciones relativas a costes, ingresos, etc, estén relacionadas con los modelos funcionales que ya conoces, así como la utilización del concepto de derivada.

4.1 Conceptos • x es el número de unidades producidas o vendidas

• p es el precio por unidad • I(x) es el ingreso obtenido al vender x unidades.

• C(x) es el coste necesario para producir x unidades.

• Cm coste medio por unidad: Cm =

• B(x) es el beneficio obtenido al vender x unidades B(x) = I(x) – C(x)

Ingreso marginal es el ingreso extra que se consigue al vender una unidad más de un producto. También suele definirse como el ingreso obtenido por la empresa por la última unidad producida.

Coste marginal es el coste extra necesario para producir una unidad más del producto. Se suele definir también como el coste de la última unidad producida, la unidad x+1.

Beneficio marginal es el beneficio extra que se consigue al producir y vender una unidad más de un producto. También se define como el beneficio que proporciona al empresario la última unidad producida. ¿Cómo lo obtendría?

122

4.2 ¿Cómo hallar el ingreso, el coste y el beneficio marginales mediante la derivada?

Si C(x) es la función de coste total por la producción de x unidades de un determinado producto, nos preguntamos por el coste adicional que supone la fabricación de una unidad más de producto, o lo que es lo mismo, por el coste marginal. Esto es, ¿cuánto vale C(x + 1) – C(x)? Se podría demostrar (lo cual excede de los contenidos de este curso) que:

C(x + 1) – C(x) ≅ C’(x).

En general, si I(x) C(x) y B(x) son las funciones de ingreso, coste y beneficio, que se tienen por la fabricación y venta de x unidades de un producto, entonces se tiene aproximadamente: Ingreso marginal ≈ I’(x)

Coste marginal ≈ C’(x)

Beneficio marginal ≈ B’(x) = I’(x) – C’(x)

Es decir, I'(x), C’(x) y B'(x) nos dan el ingreso, el coste y el beneficio marginal. Esto es, el ingreso, el coste o beneficio variable por la venta de la unidad x + 1 de dicho producto. En los tres casos, C'(x), I'(x) y B'(x) coinciden, aproximadamente, con el coste extra necesario para producir la unidad x + 1, y con el ingreso o beneficio adicional al vender la unidad x + 1: son aproximaciones por derivadas.

4.3 Beneficio máximo Desde un punto de vista económico, interesará aumentar la producción siempre que.

I’(x) ≥ C’(x) ⇔ B’ (x) ≥ 0

El máximo beneficio se obtiene cuando la función B(x) es máxima; es decir, cuando: B’(x) = 0 ⇔ I’(x) = C’(x)

Este resultado nos da lugar al siguiente principio económico.

El máximo beneficio se produce cuando el ingreso marginal es igual al coste marginal. Actividades resueltas 1. El coste de fabricación de x unidades de un determinado producto viene dado por la función

C(x) = 0’1x2 + 3x + 100 unidades monetarias (u.m.). Sí todas las unidades producidas se venden a un precio (en u.m.) dado por p(x) = 25 – 0’3 .x, calcula: a) El coste marginal para producir la décima unidad. b) El incremento exacto por la producción de la décima unidad. c) La función de ingresos y la de beneficios. d) El ingreso y beneficio marginal por la venta de la décima unidad.

Resolución a) Coste marginal: C’(x) = 0’2x + 3 ⇒ Como x +1 = 10, x = 9, C’(9) = 4’8 u.m.

b) Incremento: C(10) – C(9) = 140 – 135’1 = 4’9 u.m. c) I(x) = nº de unidades · precio/unidad ⇒ I(x) = x · p(x) = x · (265 – 0’3x) = 25x – 0’3x2

B(x) = Ingresos – costes ⇒ B(x) = (25x – 0’3x2) – (0’1x2 + 3x + 100) = –0’4x2 +22x – 100

d) I’(x) = 25 – 0’6x ⇒ I’(9) = 25 – 5’4 = 19’6 u.m.

B’(x) = –0’8x + 22 ⇒ B’(9) = –7’2 + 2 = 14’8 u.m.

123

2. La función que nos da el ingreso total (en miles de euros) por la venta de x películas de vídeo es

a) Halla la función que nos da el ingreso medio. ¿A qué valor tiende este ingreso cuando el número de cintas crece indefinidamente?

b) ¿Cuál es la cantidad máxima que se puede obtener por los ingresos totales? c) Halla la función de ingreso marginal y el ingreso marginal por la unidad 19.

Resolución a) Tenemos estas dos funciones:

Ingreso total: I(x) =

Ingreso medio por unidad: Im = =

Sus gráficas son:

Observando la función está claro que:

El ingreso medio tiende a 0. O lo que es lo mismo: = 0

b) El ingreso total tiende a 200. O lo que es lo mismo: = 200

c) La función de ingreso marginal es: I ’(x) =

I ’(18) = 1. Es importante ver que Im (18) = 10 y no coincide con I ‘(18).

Actividades propuestas 6. Para un artesano, el coste (en euros) de fabricación de anillos depende del número x de unidades

fabricadas, según la función: C(x) = 0’2x3 – 10x2 + 200x

a) ¿Cuál es el coste medio por unidad? b) ¿Qué cantidad hay que fabricar para minimizar el coste medio por unidad?

7. La función de ingreso total por la venta de x unidades de un producto es:

I(x) =

• Halla el ingreso marginal por la unidad 47.

124

COMPLEMENTOS: REGLA DE LA CADENA (LECTURA)

5 DE LA FUNCIÓN COMPUESTA A LA REGLA DE LA CADENA

Al estudiar las tendencias en las funciones, nos encontrábamos con algunos modelos que, si bien se pueden estudiar con relativa facilidad en lo que respecta a la continuidad, presentan mayores dificultades en lo relativo al estudio de los extremos relativos. Por ejemplo:

A(t) = 72 · (1 – e –0’1.t)

P(t) = 70 · ln (20x + e) Si nos piden que estudiemos en qué momentos A(t) y B(t) alcanzan su máximo o mínimo, ¿cómo calcularíamos la derivada de estas funciones? Tendríamos dificultades ya que estas dos funciones son dos funciones compuestas y para derivarlas necesitamos conocer la regla de la cadena.

5.1 la función compuesta ¿Qué tipo de función se obtiene si aplicamos una función al resultado de aplicar otra función?

Por ejemplo si f(x) = x2 y g(x) = 2x+5, ¿cuál será la imagen de 2 si aplicamos primero f y al resultado le aplicamos g?; es decir,

(1) Se escribiría: g[f(2)] = 13 A la función que resulta de aplicar f y a continuación g, se la llama FUNCIÓN COMPUESTA de f con g, y se escribe gof. Se define:

(gof) (x) = g[f(x)]

Si repetimos el esquema (1) pero con la variable x, tendremos: x → f(x) → g(f(x)) = (gof)(x)

5.2 La regla de la cadena ¿Cómo derivamos una función compuesta de otras dos?

Observa el siguiente proceso: No piden la derivada de: y = (3x+1)2

y = u2; u = 3x+1 ⇒ y’ = 2 · u · u’ = 2 · (3x + 1) · 3 = 18x + 6

Regla de la cadena: si tenemos dos funciones derivables, su composición también es una función derivable y su derivada es:

(gof)’(x) = g’[f(x)] ·. f ’(x)

Actividad resuelta Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = b) g(x) =

Resolución

a) f ’(x) = = = –

b) g ’(x) = · (–x2 + 3)’ = · (–2x) = – 2x ·

125

TEMA 8: INTEGRAL DEFINIDA Terminamos esta evaluación con otra aplicación del cálculo diferencial: cálculo de áreas de figuras limitadas por curvas dadas por funciones. El método geométrico visual que vamos a emplear ya era utilizado por los griegos hace veinticuatro siglos; mediante ese método conocían que el área de cada una de las hojas del rosetón de la figura del margen, vale un tercio del cuadrado que la circunscribe. El problema del cálculo de estas áreas nos introducirá en la idea de integral. No obstante, la integral no está exclusivamente vinculada al área. Así, durante el siglo XVIII, la integración era meramente considerada como la operación inversa de la derivada; fue Cauchy (1789-1857) quien decidió recuperar el sentido original de la integral como área, y definir la integral definida en términos muy parecidos a los que utilizaremos nosotros. (Historia de la matemática, C.Boyer).

De cualquier manera, el concepto de primitiva agiliza notablemente el cálculo de áreas y de otras aplicaciones de carácter general de la integral. Por ejemplo la regla de Barrow resultaría ineficaz sin la antiderivada; ello nos lleva a la necesidad de saber de memoria las primitivas más corrientes y a conocer alguna de las técnicas elementales de integración.

ÁREA BAJO UNA CURVA

1 UN PROBLEMA PARA EMPEZAR

El diagrama muestra, aproximadamente, el consumo de agua (en m3/h) en una pequeña ciudad durante un día.

a) ¿Qué representa el área bajo la curva? Da una estimación rápida de su valor. b) Da una estimación rápida de una cota superior y una inferior para dicha área. Calcula la

media de las dos. c) Calcula con más detalle dicha área y compara con los resultados anteriores. d) ¿Cuánta agua se consume en la ciudad desde las 8 hasta las 20 horas? Resolución a) El área bajo la curva nos da el consumo total (en m3) de un día. b) Esta pregunta tiene una respuesta subjetiva.

c) Podemos separar el área en cuatro zonas, rectángulo, trapecio, rectángulo, trapecio, trapecio. Se puede calcular el área por diferentes caminos.

d) El agua consumida entre las 8 y las 20 horas coincide con el área de dos tramos, un rectángulo (entre las 8 y las 16 horas) y un trapecio (entre las 16 horas y las 20 horas).

Consumo = 8 · 6000 + · 2 = 48000 + 8000 = 56000 m3

126

2 EL CONCEPTO DE ÁREA

2.1 Una idea intuitiva Todos tenemos una idea intuitiva de lo que conocemos como área (o medida) de una región plana. Es más, sabemos calcular el área de un rectángulo. La justificación de esa fórmula (base × altura) nos parece evidente; a partir de ahí, deducimos la de un paralelogramo y la de un triángulo.

Y por triangulación podemos calcular el área de la región plana limitada por una línea poligonal cerrada.

Pero todo cambia cuando se trata de calcular el área del recinto encerrado por una línea curva como

2.2 Otra aproximación En realidad, la gráfica que has visto en el problema inicial corresponde a una aproximación al consumo de agua, y podría haber sido construida a partir de los datos de consumo en unos pocos instantes a lo largo del día. Una gráfica que proporciona el consumo instantáneo de agua en la ciudad mediante mediciones continuas es ésta:

a) ¿Qué significa el área bajo la curva? ¿Y el área bajo un arco de curva como el AB? b) Da una estimación rápida de la cantidad de agua consumida desde las 12 hasta las 16 horas. c) Da una cota superior y otra inferior de la cantidad de agua consumida. Para ello, divide toda

el área en rectángulos como el EFBD y el EFCA. d) ¿Crees que la media de estas dos cotas proporciona una buena estimación del agua

consumida? Comprueba que la media obtenida es equivalente a calcular el área total sumando las áreas de los trapecios como el ABFE.

Resolución a) Nos da el agua consumida alo largo de un día completo. En el caso del arco AB nos da el agua

consumida entre las 12 y las 16 horas. b) Será aproximadamente el área del trapecio ABEF: 4 · 6500 = 26000 m3.

c) Esta pregunta y la siguiente admiten diferentes respuestas.

127

2.3 Estimación del área Como ves, se puede estimar, es decir, calcular de manera aproximada el área de una cierta región de plano de varias formas, por ejemplo mediante dibujos en papel milimetrado.

En los casos de regiones comprendidas entre la gráfica de una cierta función no negativa f, el eje OX y dos rectas verticales, x = a y x = b, se ha dividido el intervalo [a,b] en n partes (no hace falta que sean iguales), y se han sumado las áreas de figuras conocidas. Así, se pueden utilizar:

− Rectángulos inferiores (por debajo de la curva) − Rectángulos superiores (por encima) − Trapecios

En cualquier caso, se comete una imprecisión, que será menor si dividimos en más partes el intervalo [a,b] Actividades propuestas 1. Esta gráfica muestra la potencia de luz consumida durante cada hora de un día en un hogar:

Lo que se paga es la energía consumida (Potencia × tiempo), que viene expresada en Kilowatios–hora (Kwh) a) Si por cada Kwh se debe pagar 0’089 €, ¿cuánto se deberá pagar por el consumo de este día?

Si tenemos un contador con tarifa bihoraria, los precios son 0’087 €/Kwh durante el día (de 8h a 24h en verano y de 7h a 23h en invierno) y 0’039 €/Kwh durante la noche b) La gráfica de arriba corresponde a un día de verano. ¿Cuánto deberíamos pagar?

2. Una atracción de feria acelera durante tres minutos hasta alcanzar una velocidad de 6 Km/h. Permanece en esa velocidad constante durante 6 minutos y decelera hasta parar en los dos minutos siguientes. La gráfica que representa dicha situación es la siguiente:

Cambiar dibujo a) ¿Qué representa el área rayada? Calcúlala. b) ¿Qué representa el área de los dos triángulos de la gráfica? Calcúlalas. c) ¿Qué distancia se recorrerá en cada viaje?

128

INTEGRAL DEFINIDA

3 LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL ÁREA

Si f ≥ 0 en un intervalo [a,b], se llama integral definida de f entre a y b al área del recinto plano comprendido entre el eje OX, la gráfica de la función y las rectas verticales x = a y x = b.

Se escribe o

NOTA: El símbolo dx se lee “diferencial de x” y tiene un significado importante que en este curso no vamos a ver. Si en alguna ocasión lo encuentras en una integral no afecta al cálculo de las primitivas o de las áreas.

Actividad resuelta

Calcula

Resolución Como la función y = x, es ≥ en el intervalo [0,3], viene dada por el área del recinto plano

limitado por: y = x, x = 0, x = 3, eje OX. Dibujamos el recinto plano indicado.

= unidades de área

Actividad propuesta

3. Si f(x) es la función cuya gráfica es la siguiente, calcula

129

4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.1 La función f>0 en [a,b] No es difícil justificarlas si nos apoyamos en las propiedades conocidas del área.

1.

2.

3. Si f ≤ g y además a < b ⇒

4.

5.

6. Si m = inf f[a,b] y además M = sup f[a,b] ⇒ m · (b – a) ≤ ≤ M · (b –a)

4.2 La función f<0 en [a,b] En el caso de que f < 0 en [a,b], además de las propiedades anteriores, al calcular las áreas de los rectángulos, observarás que se obtienen valores negativos, mientras que un área es siempre positiva.

La función g(x) = –f(x) = (–1)·f(x) ya es positiva y ahora la integral coincide con el área y tenemos:

Por tanto, y observando la simetría de las gráficas de f(x) y g(x):

resulta ser:

siendo A(R) el área del recinto R.

4.3 La función f cambia de signo en [a,b] Si la función toma valores tanto positivos como negativos dentro del intervalo:

Por las propiedades de la integral, será: A(R1) – A(R2) + A(R3)

Y en este último caso, el número que proporciona la integral no es el área del recinto, ni tampoco ésta cambiada de signo. En el ejemplo, el área total sería

A = A(R1) + A(R2) + A(R3) =

130

Actividades resueltas 1. Expresa en forma de integral, sin calcular el resultado, el área de las regiones sombreadas en

cada figura:

Resolución

En el primer caso, tenemos una función de ecuación y = 2x (recta que pasa por los puntos (0,0) y (2,4)) limitada entre x = 0 y x = 2.

S =

En el segundo caso la región es un triángulo que no limita con el eje OX.

Se puede considerar como la resta de un cuadrado (limitado por la función y = 1, x = 0, x = 1,eje OX) y de un triángulo (limitado por la función y = x, x = 0, x = 1,eje OX)

S = S1 – S2 =

=

En el tercer caso el área de la región se puede considerar como suma de las áreas de los recintos A y B, limitados respectivamente por:

• la función y = x, x=0, x=1,eje OX

• la función y = , x=1, x=2, eje OX.

S = S1 + S2 =

=

2. Expresa por una integral el área del trapecio de vértices (3,0), (15,0), (15,15) y (3,3. Resolución

Gráfica Recinto Área

Limitado por la recta y = x, x =3, x = 15 y el eje OX

S =

Actividades propuestas 4. Expresar por una integral (sin necesidad de calcularla):

a) El área del triángulo de vértices (3,0), (7,0) y (7,4). b) El área del triángulo de vértices (0,10), (20,10) y (20,0).

131

5 ¿CÓMO CALCULO LA INTEGRAL DEFINIDA?

A estas alturas del tema ya debes de saber que coincide con el área del recinto plano

comprendido entre el eje OX, la gráfica de una función f ≥ 0 y las rectas verticales x = a y x = b.

Como consecuencia, si el recinto es un triángulo, rectángulo, ... es fácil de calcular. Pero, ¿y si

no sabemos calcular el área del recinto? En este punto vamos a responder a esta pregunta. El apartado fundamental va a ser la regla de Barrow, mediante la cual podremos relacionar la integral definida con la primitiva de una función.

5.1 Teorema fundamental del cálculo integral Sea f es integrable en [a, b] y definamos F como:

Si f es continua en c∈[a, b], entonces F es derivable en c y además F'(c) = f(c):

F(x) se llama función integral y, como F' (x) = f(x), F es una primitiva de la función f(x).

5.2 Primitivas de una función Has de tener en cuenta que F es una primitiva de f si F’ = f.

Si f(x) = x , es una primitiva de f(x) ya que , pero también

por tanto, es otra primitiva de f.

En general:

a) Si F es una primitiva de f también lo es F + k, con k∈R

b) Si F y G son dos primitivas de f, entonces G = F + k para algún número real k (recuerda que las únicas funciones cuya derivada es la función cero, son las funciones constantes).

5.3 Primitivas (Integrales) inmediatas Puedes justificarlas aplicando las reglas de derivación.

a) b) c)

d) e) f)

A partir de estas integrales y utilizando sus propiedades, puedes obtener, por descomposición en suma de integrales inmediatas, primitivas de nuevas funciones:

Por ejemplo:

a)

NOTA: Se llama integral indefinida de la función f al conjunto de todas sus primitivas:

= F(x) + k donde F es una primitiva de f

132

Actividades resueltas 1. Busca dos funciones distintas cuya derivada sea f(x) = x2. Respuesta

G(x) = , H(x) = + 1, I(x) = + 2, .....

2. Busca una primitiva de las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 – 2x b) g(x) = 3x2 + 4x – 3 c) h(x) = d) i(x) = x3 – x

Respuesta

a) F(x) =

b) G(x) = x3 + 2x2 – 3x c) H(x) = ln x

d) I(x) =

Actividad propuesta 5. Busca una primitiva de las siguientes funciones:

f(x) = x – 3, g(x) = x2 –18x +81, h(x) = 2x, i(x) = x2 – 2x, p(x) = x3, q(x) = , r(x) = ex.

5.4 Regla de Barrow Si f es integrable en [a, b] y G es una función tal que f = G’, entonces

Has de tener en cuenta que G es una primitiva cualquiera de f, por lo que puedes coger la primitiva más sencilla que conozcas, ya que si escoges G(x) + k: [G(b) + k] – [G(a) + k] = G(b) – G(a)

El proceso que se sigue habitualmente lo tienes desarrollado en las siguientes actividades resueltas.

Actividades resueltas Halla las siguientes integrales definidas:

a) b)

Resolución

a) = – 4 = –

b) = = (27 + 18 – 9) – (–1 + 2 + 3) = 36 – 4 = 32

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CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

En este apartado vamos a aplicar todo lo que hemos visto en el tema e integraremos todos los conceptos y estrategias con el único objetivo de calcular áreas de recintos planos. Recuerda que el área de un recinto limitado ..

6 EJEMPLOS DE CÁLCULO DE ÁREAS

6.1 Ejemplo 1 Halla el área limitada por la curva f(x) = x2 – 2x y el eje OX Resolución Paso 1. Dibujo el recinto.

Paso 2. Hallo los puntos de corte de la curva con el eje OX: x2 – 2x = 0 ⇒ x = 0, x = 2

Paso 3. Hallo el área del recinto pedido, teniendo en cuenta que f < 0 en el intervalo [0,2]:

S = – = – =

6.2 Ejemplo 2 Se nos da una curva que representa la velocidad de engorde de un ternero (es decir, los Kilogramos/mes que va ganando) en función de los meses que van transcurriendo desde su nacimiento. Dicha curva tiene por expresión analítica:

y= x2 – 3x (sólo es válida durante el primer año de vida) • ¿Cuánto pesa el ternero al año de nacer si nació pesando 15 Kg.? Resolución El área bajo la curva nos da el peso que va ganando el ternero cada mes (Kg./mes × mes), luego desde x = 0 hasta x = 12 nos da el engorde hasta duodécimo mes. Por tanto,

, y pesaba 15 al nacer, luego al año de nacer pesa 375 Kg.

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6.3 Ejemplo 3

Halla el área limitada por la curva f(x) = entre las rectas x = 1, , x = e.

Resolución

Paso 1. Dibujo el recinto.

Paso 2. Hallo el área del recinto pedido:

Como ya nos dan los límites de integración (x = 1, x = e), tendremos directamente:

S =

6.4 Ejemplo 4 Halla el área limitada por las curvas f(x) = x –3 , g(x) = x2 –18x +81 Resolución Paso 1. Dibujo el recinto.

Paso 2. Hallo los puntos de corte de las curvas resolviendo el sistema:

Si igualo: x –3 = x2 –18x +81 ⇒ x2 –19x +84 = 0 ⇒ x = 7 (y = 4), x = 12 (y = 9)

Paso 3. Hallo el área del recinto pedido:

S =

[(1368 – 576 – 1008) – (465’5 – 114’333 – 588)] = 20’83333 unidades de área (u.a).

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6.5 Ejemplo 5 Calcula el área del recinto limitado entre las figuras:

f(x) = 2x, g(x) = x2 – 2x, la recta x = 1. Resolución Paso 1. Dibujo el recinto.

Es interesante que veas que no importa que una parte del recinto se encuentre bajo el eje horizontal y que para calcular su área basta con calcular la integral de la diferencia de ambas funciones entre los límites de integración, x = 1 y la abscisa del punto B.

Paso 2. Hallo los puntos de corte de las curvas: Si igualo: 2x = x2 – 2x ⇒ x2 – 4x = 0 ⇒ x = 0, x = 4 (punto B)

Paso 3. Hallo el área del recinto pedido:

S = = 9

6.6 Ejemplo 6 Halla el área limitada por la curva f(x) = x3 – x y el eje OX Resolución

Paso 1. Dibujo el recinto.

Paso 2. Hallo las abscisas de los puntos de corte con el eje OX.

x3 – x = 0 ⇒ x · (x2 – 1) = 0 ⇒ x = 0, x –1, x = 1

Paso 3. Hallo el área del recinto pedido (en realidad hay dos recintos iguales)

S = S1 + S2 = 2 · S1 = 2 · = 2 · = 2 ·

Ayuda: =

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Actividades propuestas

6. Halla el área determinada por la función y = –0’5x2 entre x = 1 y x = 2.

7. Calcula el área delimitada por la curva y = x3 y las rectas x = –1 y x = +1.

8. Calcula el área del recinto limitado entre las figuras:

f(x) = x2 – 2x, g(x) = 2x – x2

9. La parte superior de una pared de 2 metros de base tiene una forma parabólica determinada por la expresión –0’5x2 + x + 1, donde x mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared. Calcula la superficie de dicha pared utilizando una integral.

10. A las nueve de la mañana surge un rumor en una ciudad que se difunde a un ritmo de et+1000 personas/hora. Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la aparición del rumor, calcula el número de personas que lo habrán oído entre las diez y las doce de la mañana.

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ANEXO II: ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN (ANÁLISIS) 1. En una subasta de pescado, el precio de las doradas depende de la cantidad que cada día se

pescan. En días distintos, el precio que alcanzan las doradas según el número de ellas ha sido:

Número de doradas 1 2 5 10 20

Precio (en euros) 135 75 39 27 21

Pero, bajo ningún concepto pueden venderse por menos de 15 euros. ¿Qué precio se habrá pagado por cada dorada si los pescadores han conseguido 15 doradas?

2. En la fosa más profunda conocida hasta la fecha, la de las Marianas en el océano Pacífico (11.520 metros, según el batiscafo Trieste en 1969), se lanza una sonda para intentar analizar los posibles cambios de temperatura. Los resultados se recogen en la siguiente gráfica:

Como parece algo extraña, se toman los datos en una tabla:

Profundidad (en miles de metros) 0 1 2 4 6 8

Temperatura (en º C) 10 15 30 –30 –10 –6

a) ¿A qué profundidad crees que sucede algo extraño que pueda justificar la imposibilidad de que seres monstruosos aparezcan a profundidades no muy grandes?

b) La gráfica, ¿es continua?

3. Alba se presenta a una convocatoria de una empresa que ofrece un gran sueldo en función de los

objetivos logrados. Cuando acude a la entrevista, el gerente haciendo gala de una gran actualización comercial y matemática le dice lo siguiente:

“El sueldo de nuestros empleados en los últimos años viene dado por la siguiente función:

en la que y es el sueldo en euros y x es el número de pólizas de seguros vendidas” • ¿Realmente es un gran sueldo?

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4. Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función:

, siendo t el número de años transcurridos.

a) Da el tamaño actual de la población.

b) ¿Cómo evoluciona el tamaño de la población entre los años 4 y 9? c) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño de la población?

5. La función que relaciona la temperatura de un planeta (T(x) en º C) con los años que han pasado (x en miles de años) tomando como origen el año 0 de nuestra era es:

T(x) = –x3 + 3x2 + 9x +1 (El estudio sólo ha podido hacerse desde hace 5.000 años) a) ¿Cuál era la temperatura del planeta el año 0? ¿Y cuál será en el año 3.000?

b) ¿En qué año la temperatura ha sido o será máxima? ¿Y mínima? ¿Cuáles serán? c) ¿Se puede asegurar que en algún momento la temperatura en el planeta ha sido de 0º?

d) En el período de estudio, ¿cuáles son las épocas en que la temperatura aumenta y cuáles son en las que disminuye?

6. Una empresa farmacéutica nos ha encargado un estudio sobre un fármaco. Los químicos les han dicho que la concentración del fármaco en la sangre viene dada por la función:

, donde x son las horas transcurridas desde la ingestión del fármaco.

a) ¿En qué momento la concentración del fármaco en la sangre es máxima?

b) ¿Cuál es la concentración en ese instante? Nota. Si la concentración es negativa, la interpretación es que el fármaco se elimina, no se asimila.

7. Después de x años, una ONG fundada en 1990 tiene –2x3 + 60x2 – 450x + 3.500 socios. a) ¿Cómo fue la evolución del número de socios desde su fundación hasta 1998?

Si ha seguido con la misma tendencia después de 1998, y se sabe que la vida media de una ONG es de 20 años,

b) ¿En qué año ha alcanzado o alcanzará su “techo”? c) ¿En qué momento ha tenido o tendrá el menor número de socios?

8. El coste de fabricación (en €), de vídeos depende del número x de unidades fabricadas, según la función:

C(x) = 12500 +90x a) ¿Cuál es el coste medio por unidad?

b) ¿A cuánto se aproxima ese coste cuando la fabricación se aproxima a 500, 1.000, 2.000 y 10.000 unidades?

c) ¿A cuánto tiende el coste unitario si el número de unidades fabricadas es cada vez mayor? d) ¿Y a cuánto se aproxima el coste total cuando el número de unidades aumenta

indefinidamente? e) ¿Qué cantidad hay que fabricar para minimizar el coste medio por unidad?

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9. Los ingresos y costes diarios por la fabricación y venta de x ciclomotores vienen dadas por:

I(x) = 400x + 2x2; C(x) = 20000 + l00x + 3x2 ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

10. La demanda del producto de una empresa depende del precio de venta de ese producto. A un precio x (en euros) una empresa de calentadores eléctricos vende 5000 − 25 · x unidades al año.

a) Da la función I(x) que da el ingreso anual de esa empresa.

b) Halla el precio al que debería vender cada calentador para maximizar el ingreso anual. ¿A cuánto ascendería ese ingreso?

11. El coste total (en miles de euros) de x unidades de un determinado producto viene dado por: C(x) = 4000 + 2x – 0’04x2 + 0’001x3

a) Halla la función que nos da el coste medio por unidad. b) Halla la función de coste marginal.

c) Halla el coste marginal de la unidad número 101. 12. Un fabricante vende 500 unidades al mes a un precio de 6 €/ unidad y calcula que sus ventas

mensuales disminuirán en 10 unidades por cada 0’25 € de aumento en el precio por unidad. a) Halla la función de demanda correspondiente a tal predicción.

b) ¿A qué precio las ventas alcanzarán un valor máximo? 13. El caudal de agua que se vacía de un depósito de 500 litros es variable y viene dado por la

ecuación C(t) = 10 – 0'2·t (t en min. y C en l/min.). a) Dibuja la gráfica de C(t).

b) Calcula el área bajo la curva en los intervalos [0, 10], [0, 40] y [10, 40]. 14. Una hoja exótica en forma de media luna está limitada por las curvas y = x2, y = x4, con 0≤x≤1

(x e y se expresan en metros) y transpira agua a razón de 3 ml. por cada cm2 de superficie. Hallar la cantidad de litros de agua que transpira esta hoja.

15. Calcula las áreas de las regiones planas comprendidas entre las curvas cuya ecuación se indica: a) y = 6x – 3x2 , eje OX b) y = 3x2 – 6x , x = –1, x = 1, eje OX

16. Calcular la , siendo f la función cuya gráfica es la que se da a continuación :

17. ¿Representa un área cada una de las siguientes integrales?

a) b) c) d)

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