FUNCIONES

Consideremos dos conjuntos numéricos

:

x1

x2

x3

x4

x5...

xn..

y1

y2

y3

y4

.

.

.

.

.

y5

yn

A B

Conjunto de partida Conjunto de llegada

:

x1

x2

x3

x4

x5...

xn..

y1

y2

y3

y4

.

.

.

.

.

y5

yn

A B

f(x)

En este caso se definió una RELACIÓN de A en B

Formas de expresar una relación

• Diagramas de Venn• Enunciado• Fórmula• Pares ordenados (Tabla)• Puntos del plano (Gráfico)

:

-2

-1

0

123½

-4

-2

0

2

1

4

6

7

DIAGRAMA DE VENN

R : “A cada valor de X le corresponde su doble”

R : “Y es el doble de X”

ENUNCIADO

y = 2x

f(x) = 2x

Esto se lee: “la imagen de x”

FÓRMULA

X f(X)

1 2

2 4

-2 -4

9 18

0,5

1,25

0,75

-2,5

TABLA DE VALORES

GRÁFICO

Definiciones

• Dominio: Es el conjunto de todos los elementos X del conjunto de partida que poseen imagen.

• Imagen: Es el conjunto de todos los elementos Y del conjunto de llegada que son imagen de algún valor de X

R z

123

-1

-2

¾

2

Conjunto de partida Conjunto de llegada

246

-2

-4

y

Dominio(Dm)

Imagen (Im)

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función definida de A en B

(f : A B)

Es una relación en la que:

• Todos los valores de X tienen una imagen Y. (CONDICIÓN DE EXISTENCIA)

• Cada valor de X tiene una y solo una imagen Y. (CONDICIÓN DE UNICIDAD)

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

• EXISTENCIA

• UNICIDAD

, / ( )x A y B f x y

1 2 1 2 y( ) ( )f x y f x y y

El dominio coincide con el conjunto de partida

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

• Son aquellas cuyo Dominio e Imagen con subconjuntos de R, o bien, el mismo R.

f: AB / f(x)=y

; A R B R

EJEMPLOS

¿La siguiente fórmula representa a una función?

( )f x x

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

• INYECTIVA: Una función es inyectiva si y solo si a cada par de valores distintos de X del dominio le corresponden imágenes distintas.

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

• SOBREYECTIVA: Una función es sobreyectiva si y solo si todos los elementos Y del conjunto de llegada son imagen de algún elemento X del dominio.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

, / ( )y B x A y f x

• BIYECTIVA: Una función es biyectiva si y solo sí es inyectiva y sobreyectiva.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Ejemplos

20 5 1( ) ,f x x

Ejemplos

30 5 1( ) ,f x x

• FUNCIÓN INVERSA: Dada una función

f : AB

Si existe una relación f -1

: BA y es función,

entonces f -1

se llama función inversa de f.

Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectiva

Ejemplo

Sea f: RR / f(x) = 2x+1

Despejamos x

Expresamos la nueva función

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

• Intervalos abiertos (a ; b)• Intervalos cerrados [a ; b]• Intervalos semiabiertos (a ; b]

[a ; b)

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella cuya forma es:

y = mx +b

donde: m es la pendiente

b es la ordenada al origen

Si m=0, la función es CONSTANTEf(X)=b

f(x) = 2

Distintas formas de expresar la ecuaciones de una recta.

Forma Explícita : y = mx + b

Forma implícita o general: Ax + By + C = 0

Forma segmentaria: x/a + y/b = 1

Condición de paralelismo y perpendicularidad

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente

conocida

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ejemplos

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f : R R tal que

f(x) = ax2 + bx + c

a, b, c R, a 0

El gráfico de una función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA cuyos elementos

principales son:

Vértice

Raíces

OrdenadaAl origen

Eje de simetría

Distintas posiciones y formas de la parábola

• Si a > 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia arriba, en ese caso habrá un MÍNIMO

• Si a < 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia abajo, en ese caso habrá un MÁXIMO

• Cuado mayor es el valor absoluto de a, la curva es más cerrada.

Ejemplos:

f(x) = –0,5 x2 +3x – 2 f(x) = x2 +3x – 1

Cálculo de la posición de los elementos de la parábola

a

acbbxx

2

4,

2

21

a

bxv 2

)( vv xfy

Raíces:

Coordenadas del vértice V=(Xv ; Yv)

cy 0

vxX

Ordenada al origen

Eje de simetría

Análisis del discriminante

= b2 – 4acSi > 0 la función tiene dos raíces reales y distintas, es decir, el gráfico corta al eje x en dos puntos (x1 x2)

Si = 0 la función tiene dos raíces reales e iguales (una raíz doble), es decir, corta al eje x en un punto (x1 = x2)

Si < 0 la función no tiene raíces raíces reales, es decir el gráfico no corta al eje x en ningún punto.

> 0

= 0

< 0

Ejemplo de aplicación práctica de la función cuadrática

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Función logarítmica

f : R+ R tal que:

f(x) = logb (x)

b R , b > 0 , b 1

Gráfico f(x) = log2 x

Variación del gráfico según la expresión del argumento

)(log)( xxf b

Base Argumento

f(x) = log2 (x-1)

f(x)= log2(x – 1)

f(x)= log2(x + 3)

f(x)= log2(x – 3)

Variación del gráfico según el valor de b

b< 1 : ejemplo f(x) = log1/2 (x)

FUNCIÓN EXPONENCIAL

f: R R / f(x) = k.ax + b

f(x) = 2x

Función polinómica

f : R R tal que:

011

21

1 ....)( axaxaxaxaxf nn

nn

xn

Ejemplos:

Graficar la siguientes funciones

f(x)= 0,5x2 – 3x + 2,5

f(x) = log2 (2x – 1)

f(x) = – 2. 2x + 4