FUNCIONES CONTINUAS

Contenido

1. Aproximación Histórica

2. Introducción al concepto.

3. Continuidad en un punto.

4. Funciones Continuas.

5. Continuidad en un intervalo.

6. Ejemplos.

7. Ejercicios propuestos.

8. Discontinuidad.

9. Taller evaluativo.

Aproximación Histórica En los inicios del Cálculo, la mayor parte de

las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de profundizar en el significado exacto de continuidad.

Fue entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos.

En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos a examinar el significado del concepto de continuidad.

Introducción al concepto

La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel.

Ejemplos gráficos Observemos los siguientes

gráficos.

La idea de continuidad se puede observar en la gráfica de una función.

Continuidad en un punto Definición:

Decimos que una función f es continua en un punto x = a, si se cumplen las siguientes condiciones:

( ) existaf a ( ) existax aLim f x

( ) ( )x aLim f x f a

Continuidad en un punto La primera condición

( ) existaf a

Establece que

La función debe estar definida en el punto donde se requiere la

continuidad, es decir, f(a) debe ser un número

real.

Continuidad en un punto La segunda condición

( ) existax aLim f x

Establece que

Los valores de la función deben aproximarse a un único número real en la

medida de que x se aproxime a a por la

izquierda y por la derecha.

Continuidad en un punto La tercera condición

Establece que

Los valores de la función deben aproximarse

precisamente al número real f(a) en la medida de que x se aproxime a a por la izquierda y por la

derecha.

( ) ( )x aLim f x f a

Continuidad en un punto Ejemplo1: La función definida por medio de

es continua en

En efecto,

2)( xxf

3.x

a)

b)

c)

93)3( 2 f

9 2

3

xLim

x

2

3 (3) 9

xLim x f

Continuidad en un Punto En el gráfico siguiente vemos la continuidad de la función en

el punto indicado:

Determinar si la función es continua en x = (- 4)

Ejercicio

Continuidad en un punto Ejemplo 2: La función definida por medio de

no es continua en

En efecto, f (1) no existe como valor numérico, puesto que al sustituir x por el número 1 obtenemos una división por cero. Tan solo el hecho que la función no cumpla esta condición hace que no sea continua.

1( )

1f x

x

1.x

Continuidad en un punto Veamos el siguiente gráfico de la función discontinua.

Continuidad en un intervalo

Definición:

Decimos que una función es continua en un intervalo I, si es continua en cada elemento del interior del intervalo. Es decir, si se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, para cada punto c en int(I).

De la gráfica del ejemplo anterior observamos que la función es continua en cualquier intervalo que no contenga el valor de 1.

Función Continua.

Definición:

Decimos que una función es continua, cuando ella es continua en todo punto de su dominio.

Ejemplo 1 de función continua

Determinar si la función

es continua.

Respuesta:

Sabemos que el dominio de esta función es todo el conjunto de números reales, entonces, debemos probar las tres condiciones de continuidad en cada número real.

53)( 3 xxf

Ejemplo 1 de función continua

Para hacer esto escogemos un número arbitrario, es decir, un número a cualquiera, y verificamos las tres condiciones.

( ) existaf a 3( ) 3 5f a a

( ) existax aLim f x

3 3 (3 5) 3 5x aLim x a

( ) ( )x aLim f x f a

Obviamente los resultados anteriores coinciden, y por lo tanto esta condición se

cumple

Ejemplo 1 de función continuaLa gráfica de esta función es

Conclusión: Toda función polinómica es continua en todo su dominio.

Ejemplo 2 de función continua

Determinar si la siguiente función es continua.

Respuesta: Observamos que la función dada es una función por tramos.

2,53

2,)(

2

xx

xxxf

si

si

Ejemplo 2 de función continua.

Cuando x = 2, hay un cambio de función, allí es donde hay que prestar especial atención.

2(2) 2 4 existef

2 2

2 2 4

xLim x

2 3 5 3.2 5 11

xLim x

Los límites laterales son distintos, en consecuencia el límite no existe.

Evaluemos el límite

Ejemplo 2 de función continua

Como consecuencia la segunda condición falla, lo que nos hace concluir que la función no es continua en x = 2. Por lo tanto, la función no es continua. Veamos su gráfica.

Establezca si las funciones dadas son o no continuas en el punto x=2.. Justifíquese su respuesta.

Ejercicios propuestos

=

=

Discontinuidad Definición:

Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo punto.

Discontinuidad Evitable

Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Discontinuidad Inevitable