Upload
federlaurito
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
1/13
Folleto Calculo Vectorial
UNIDAD N 3
DERIVADAS PARCIALES
FUNCIONES DE DOS O MS VARIABLES.Hemos trabajado con funciones de una sola variable real , tambin aplicamos una funcincon un nmero real t y un vector llamada funcin vectorial de una variable real, .Pero ahora nos fijaremos en funciones con dos variables reales.
jem.
, 3 y tambin , 2 .!,y son variables independientes, " es una variable dependiente sea #ue es i$ual a
, 3 y , 2jemplo %
&os#ueje la $rafica de, 36 9 4.'olucin.
(bserve #ue 0. ntonces si elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos. (btendremos laecuacin 9 4 9 36.
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
2/13
Folleto Calculo Vectorial
&os#ueje la $rafica de , .Solucion)a $r*fica es un paraboloide hiperblico
Curvas ! Niv!l
)as curvas de nivel se obtienen intersectando la superficie
zfx,con uno o varios planos hori"ontales
z!"+na coleccin de estas curvas se denomina mapa de contorno.
E"EMPLO #
race los mapas de contorno para las superficies correspondientes a 36 9 4y
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
3/13
Folleto Calculo Vectorial
SOLUCION
)as curvas de nivel de
-apa de contornos
#3 36 9 4
F+C/(' 0 1' ( -2' V31/3&)'4
o se pueden $raficar en los sistemas de coordenadas cartesianas, lo #ue si se puede $raficar son las
superficies de nivel. l dominio natural de una funcin de tres variables es el conjunto de todas los
tercias 5ternas6 ordenadas para las cuales la funcin se puede evaluar.
E"ERCICIO $
0etermine el dominio de cada funcin y describa las superficies de nivel para,, # $ # 0 # 0ominio
%oo lo &u! !s'! !n la su(!r)ici! ! la !s)!ra * lo &u! !s'a )u!ra.
% &' #(0 #
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
4/13
Folleto Calculo Vectorial$ )# *$ )2 #0$ )37rafica de
#
E"EMPLO +
'ea ,, . 0escriba las superficies de nivel para f y trace las superficies de nivelpara 8%, 9,% y :
# $ 0 0 " # $ # # mpie"a en ";% ,
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
5/13
Folleto Calculo Vectorial
01/V303' P31C/3)'
0erivada parcial con respecto a !
+, -./1
,
,
0erivada parcial con respecto a y.
, -./, , E"EMPLO
,
2 0
, 2 , 3 5+ 6 35 3=1C/C/(
'i t5
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
6/13
Folleto Calculo Vectorial
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
7/13
Folleto Calculo Vectorial
, EFACD 2++, # ABCD 6 , G ABCD 2 !HICD 2+, ABCD # !HICD 6+, ABCD # !HICD 6)/-/' 0 F+C/(' 0 V31/3' V31/3&)'
0ecir #ue -./+,J,K, L si$nifica #ue para cada M N 0 5sin importar #ue tan pe#ue?o sea6,e!iste un O N 0correspondiente, de modo #ueP, LPQ M, siempre #ue40 QR, S, TRQ O%!or!,a A
'i, es un polinomio, entonces-./+,J,K, S, T
@ si
, U+,V+,, en donde p y # son polinomios, entonces
-./+,J,K, -./+,J,K W, X,'iempre #ue XS,T Y 0. 3dem*s, si-./+,J,KW, L Y 0 y -./+,J,KX, L 0ntonces
-./+,J,K W, X,o e!iste.
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
8/13
Folleto Calculo Vectorial
jemplo4
0etermine si e!isten los si$uientes lAmites.
a6-./+,, 3"-./+,,#Z 2 3 Z 2" [, sA e!iste limite
b6 -./+,, '+7878+7\7 ()a funcin es racional, pero el lAmite del denominador es i$ual a cero, mientras #ue el lAmite del
numerador es %. 3sA, por el teorema 3, este lAmite ( B/'.
E"ERCICIO
Evalu- los siui!n'!s l/,i'!s si !s &u! !0is'!n.
a6-./]^ '_`a]7]7 (")hopital
bcde>]gh_]7?bcdei] #
b6 -./]]7_`ajgh_j]7 es un vector #ue depende de kNO 1A2 LIMI%E+na funcin de dos variables es continua en un punto 53,&6 si -./+,J,K , S, TC(/+/030 0 F+C/(' C(-P+'3'
'i una funcin $ de dos variables es continua en 5a,b6 y una funcin f de una variable es continua en
$5a,b6, entonces la composicin f D $, definida como 5f D $ 65!,y6;f5$5!,y66 es continua en 5a,b6.
jemplo.
0escriba las puntos 5!,y6 para los cuales las funciones si$uientes son continuas siendo una re$inlimitada. 7rafA#uela
a6 l, +8\G+7 4Y 0 4
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
9/13
Folleto Calculo Vectorial
Punto interior
m n, o 4p
b6q, EFA 4
Polinomio
Como es un polinomio la funcin es continua para todo nmero 5!,y6.
C(/+/030 + C(=+(
Vecindad
)a vecindad de radio Ode un punto P, es el conjunto de todos los puntos E #ue satisfacenRr sRQ O
Pun'o in'!rior
n dos dimensiones corresponde al interior de una circunferencia, en tres dimensiones corresponde al
interior de una esfera
+n punto P es un punto interior de un conjunto ' si e!iste una vecindad de P contenida en '.
l conjunto de todos los puntos interiores de ' es el interior de '.
P
'
P
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
10/13
Folleto Calculo Vectorial
Pun'o )ron'!ra
P es un punto frontera de ' si cada vecindad de P contiene puntos #ue est*n en ' y puntos #ue no est*n
en '.
'
+n conjunto es ai!r'o si todos sus puntos son puntos interiores y es c!rrao si contiene adem*s a
todos sus puntos frontera. s posible #ue en un conjunto no sea abierto ni cerrado. Finalmente un
conjunto es aco'aosi e!iste un 1G9 tal #ue todos los pares ordenados en ' est*n dentro de un cArculo
de radio 1 y con centro en el ori$en.
'i ' es un conjunto abierto, decir #ue f es continua en ' si$nifica #ue f es continua cada punto de '
, t 0, A. u #4, B ESAF EFBvSv.Fs continua dentro del conjunto w n, u #py no se puede decir #ue es continua en todoel plano 5!,y6
%!or!,a
Iuala ! las (arcial!s cru4aas
'i+y+son continuas en un conjunto abierto ', entonces+;+en cada punto de '
E5!rcicio
Cual es el mayor conjunto ' donde sea correcto afirmar #ue F es continua
, y#
# N 0
'i rempla"amos las variables por cual#uier nmero, el resultado va a ser G %
E5!rcicio 66
Punto frontera
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
11/13
Folleto Calculo Vectorial
, {AB A. Y 0# A. 0|
m
t 0 } 0 } ~
E5!rcicio
, #w n, u #p
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
12/13
Folleto Calculo Vectorial
E5!rcicio
,, #
,, # N 0w ,, ,, Y 0,0,0
0/F1C/3&/)/030
Di)!r!nciailia (ara una )unci7n ! os o ,8s varial!s
)a funcin f es diferenciable en P si es localmente lineal en P.
)a funcin es diferenciable en un conjunto abierto 1 si es diferenciable en cada punto 1.
ormalmente lineal diferentes rectas
El rai!n'!
s un vector dado por
(perador nabla o $radiente '@:+ , @: , @:; " " (
%!or!,a
'i, tiene derivadas parciales continuas+, y, en un disco 0 cuyo interior contiene a5a,b6, entonces, es diferenciable en 5a,b6.
7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf
13/13
Folleto Calculo Vectorial
PLANO %AN9EN%E
)a ecuacin =s=s s s" s s es la ecuacin de un plano tan$ente a la funcinen el punto
s.
E5!,(lo
0emuestre #ue, es diferenciable en todas partes y calcule su $radiente. )ue$odetermine la ecuacin del plano tan$ente en 5:,96.
+ 2
2, 2,0# 0 ,2# 4#,6 2 #,6" , 2,0 2 #,6" 2, 2 2 6 6 6 0
'on continuas en todo ,por lo tanto f es diferenciable
en todo .