Funciones de varias variables

Caculo VectorialAlumno: Víctor Manuel Ensastegui Alvarado Grupo:1301 IM

Funciones de Varias

Variables• Son funciones : n mf R R

Que a cada n-tupla de Le asocia un vector en . En algunos casos m=1, en que diremos que f es un campo o función escalar, de otro modo, diremos que es un campo o función vectorial.

En general solo podemos graficar (como sabemos) funciones tales que n+m 3.

: n mf R R

nR mR

Definición de función de varias variables:

Una función con n variables reales es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2,.., xn) ∈ D ⊂ Rn un único número real z = f(x1, x2,.., xn). Representaremos esta función como f: D → R. D se llama dominio de definición de f .

Cuando queramos indicar la acción de la función sobre un punto, entonces escribiremos:

Gráfica de una función de dos

variables: La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z) tales que = , ∈ . Es decir, 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝐷

La grafica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.

Escalares y Vectores

Los campos escalares y vectoriales se relacionan en que los segundos se forman a partir de los primeros:

1

2

:

( )

( )( )

( )

n m

n

F

f x

f xx F x

f x

R R Los fi se suelen denominar funciones coordenadas.

•F tiene siempre propiedades de vector de Rn

Sea f una función de x e y; por ejemplo:𝑓 (𝑥,𝑦) =3𝑥2𝑦−5𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦𝜋

La derivada parcial de f con respecto a x es la función fx obtenida diferenciando f con respecto a x, considerando a y como una constante, en este caso 𝑓𝑥 (𝑥,𝑦) =6𝑥𝑦−5𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦

Las derivadas parciales se definen formalmente como limites:𝑆𝑒𝑎 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠. 𝐿𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦 ,𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟

Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables,

• Interpretación geométrica