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Revista digital  Matemática, Educación e Internet (http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setie mbre  − Febrero 2014. ISSN 1659 0643 Funciones: desarrollo histórico del concepto y actividades de enseñanza aprendizaje William J. Ugalde [email protected] Escuela de Matemática Universidad de Costa Rica Recibi do: 18 Abril 2013 Aceptado: 24 Jul io 201 3 Resumen.  La pri ncip al inte nci ón de este traba jo es motivar a los docent es e inv esti gad ores en educación matemática a integrar en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas relacionados con el concepto de función, el desarrollo histórico de dicho objeto de estudio. Como segundo objetivo se desea sugerir diferentes actividades que se pueden utilizar para estudiar el concepto de función en los varios niveles de la educación formal. Este artículo se divide en tres secciones. La primera sección es una revisión del desarrollo del concepto de función a través de la historia. La segunda sección es un breve estudio de los tipos de denición existentes y las diferentes formas de representar funciones. La tercera sección es un recuento de actividades o situaciones de interés, con la intención de indicar facetas interesantes a la hora de estudiar el concepto de función. Palabras clave: historia de las matemáticas, función, actividades de enseñanza aprendizaje. Abstract.  The main intention of this wor k is to motivat e teachers and researcher s in math educati on to integrate in the processes of teaching and learning mathematics related to the concept of function, the historical development of such an object of study. As a second objective, it is intended to suggest different activities that can be used to study the concept of function in the various levels of formal education. The rst of three sections in this paper is a historical review of the development of the concept of function . The second section is a brief study of the types of existing denitions and the different ways to represent a function. The third section lists activities of situations of interest, aiming to identify interesting stages during the study of the concept of function. KeyWords: history of mathematics, function, learning-teaching activities.

Funciones Desarrollo Histórico Del Concepto y

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  • Revista digital

    Matemtica, Educacin e Internet(http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).

    Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014. ISSN 1659 -0643

    Funciones: desarrollo histrico del concepto yactividades de enseanza aprendizaje

    William J. [email protected] de Matemtica

    Universidad de Costa Rica

    Recibido: 18 Abril 2013 Aceptado: 24 Julio 2013

    Resumen. La principal intencin de este trabajo es motivar a los docentes e investigadores eneducacin matemtica a integrar en los procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticasrelacionados con el concepto de funcin, el desarrollo histrico de dicho objeto de estudio. Comosegundo objetivo se desea sugerir diferentes actividades que se pueden utilizar para estudiar elconcepto de funcin en los varios niveles de la educacin formal. Este artculo se divide en tressecciones. La primera seccin es una revisin del desarrollo del concepto de funcin a travs de lahistoria. La segunda seccin es un breve estudio de los tipos de definicin existentes y las diferentesformas de representar funciones. La tercera seccin es un recuento de actividades o situaciones deinters, con la intencin de indicar facetas interesantes a la hora de estudiar el concepto de funcin.

    Palabras clave: historia de las matemticas, funcin, actividades de enseanza aprendizaje.

    Abstract. The main intention of this work is to motivate teachers and researchers in math educationto integrate in the processes of teaching and learning mathematics related to the concept of function,the historical development of such an object of study. As a second objective, it is intended to suggestdifferent activities that can be used to study the concept of function in the various levels of formaleducation. The first of three sections in this paper is a historical review of the development of theconcept of function . The second section is a brief study of the types of existing definitions and thedifferent ways to represent a function. The third section lists activities of situations of interest, aimingto identify interesting stages during the study of the concept of function.

    KeyWords: history of mathematics, function, learning-teaching activities.

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    1.1 IntroduccinEl concepto ms importante de todas las matemticas es, sin dudarlo,

    el de funcin: en casi todas las ramas de la matemtica moderna, lainvestigacin se centra en el estudio de funciones. No ha de sorprender,por lo tanto, que el concepto de funcin sea de gran generalidad.

    M. Spivak.

    Al imaginarse la forma ms primitiva de contar para los propsitos de este artculo, la forma msprimitiva de funcin, se asigna a cada uno de los objetos de inters, un dedo de la mano o una marcaen una vara de madera. De este modo, cada uno de los objetos se hace corresponder con uno de losdedos o con una de las marcas. El conjunto de dedos seleccionados o marcas en la vara describe,en cardinalidad, el conjunto de objetos en cuestin. Esta sencilla observacin pone de manifiesto treshechos importantes.

    a) Que el concepto de funcin est ntimamente ligado al concepto primitivo de conjunto (amn deotros conceptos como relacin, variable, criterio, etc.).

    b) Que el concepto de funcin desde su origen cualquiera que este sea, est ligado al desarrollodel concepto de cantidad, y ms generalmente, al concepto de nmero.

    c) Que el concepto de funcin nace del inters de la humanidad por entender el mundo que lerodea.

    Al renombrado matemtico Fourier se le atribuye la frase: el estudio profundo de la naturaleza es la fuentems fecunda de los descubrimientos matemticos. Vase [5], por ejemplo.

    No es de extraarse entonces que el desarrollo del concepto de funcin a lo largo de la historia, vayade la mano con los diferentes intereses de la humanidad en entender y tratar de describir la naturalezaen la que vive. Como se ver adelante, este inters se concentra primero en la simple observacin ytabulacin primitiva de algunos fenmenos o cuentas. Pinsese aqu en las culturas de la antigedad.Luego, se basa en razonamientos filosficos, algunas veces religiosos, como es el caso de la Greciaclsica, para despus de muchos aos dar paso a un proceso ms cientfico, apoyado en observacionesy cuantificaciones seras del entorno; para culminar, luego de un esfuerzo en conjunto por muchosgrandes matemticos, en un objeto perfectamente definido, inherente a toda la matemtica que se de-sarrolla hoy en da, y con una demostrada utilidad a la hora de modelar el mundo y las leyes que lorigen.

    El concepto de funcin est presente en toda la matemtica. No slo es central en las reas propiasde la matemtica (llamada terica o pura), si no que es la herramienta por excelencia en las reas quebuscan modelar o describir las actividades cotidianas y los fenmenos que se perciben (matemticaaplicada). Esta universalidad adems de enriquecer el concepto, le otorga una importancia relevante asu correcto entendimiento. Como tal, es fundamental comprender que el concepto de funcin, comotantos otros conceptos de la matemtica, no debe ensearse como un ente abstracto, si no que debetenerse presente que lo que le dio vida fue precisamente el entendimiento de fenmenos naturales ysituaciones cotidianas alrededor del hombre. Claros ejemplos de esta condicin son:

    La trigonometra.

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    Las leyes de la fsica. Estudios de crecimiento de poblaciones. Inters simple o compuesto.

    Es inmediato entonces que la idea predominante en el proceso de enseanza aprendizaje del conceptode funcin debe ser, tratar de imitar en los mejores aspectos posibles, el desarrollo histrico de dichoconcepto.Dicho desarrollo histrico presenta las mismas dificultades, diversas caracterizaciones, formas de rep-resentacin, etc., que deben estudiarse en el aula. Como lo observan Gutirrez et al en [14]:

    No se trata de llegar a una clase y comenzar a contar todo el desarrollo histrico del tema de funciones,si no ms bien, de crear situaciones que inviten a reflexionar sobre el impacto social, econmico,poltico y hasta cultural, en la humanidad.

    Este enfoque requiere un esfuerzo grande por parte de los docentes y en general, por parte de lasinstituciones involucradas. Es necesario entonces recordar dos aspectos fundamentales que apoyan elproceso de enseanza aprendizaje. Primero, que no se puede ensear lo que no se sabe. Y segundo,que la motivacin del docente por favorecer el aprendizaje de los estudiantes es uno de los principalescatalizadores de dicho aprendizaje.

    Estas notas son el resultado del mini curso titulado Funciones: paso de la secundaria a la universi-dad, impartido por el autor durante el mes de agosto del 2012 en la Escuela seminario internacionalConstruccin de Capacidades en Matemticas y Educacin Matemtica: CANP Costa Rica 2012, auspiciadopor la International Comission on Mathematical Instruction. Cmo tal, la principal intencin de estetrabajo es motivar a los docentes e investigadores en educacin matemtica a integrar en los procesosde enseanza y aprendizaje de las matemticas relacionados con el concepto de funcin, el desar-rollo histrico de dicho objeto de estudio (una excelente fuente para este aspecto es el artculo [18]).Como segundo objetivo se desea sugerir diferentes actividades que se pueden utilizar para estudiarel concepto de funcin en diferentes niveles de la educacin formal, desde los ms bsicos a los msavanzados. Por ltimo, se listan una serie de inquietudes en la Seccin 1.5.1, con la esperanza que ellassirvan de inspiracin para futuros trabajos de estudio sobre el tema de funciones.

    Este artculo se divide en tres secciones. La primera seccin es una revisin del desarrollo del conceptode funcin a travs de la historia. En esta parte del artculo aparecen mltiples observaciones sobrediferentes percepciones a travs de la historia y de las culturas de conceptos previos al de funcin.Diferentes autores argumentan si es vlido o no reconocer en ellos los orgenes del concepto de fun-cin. Dado que este trabajo es tambin de ndole motivacional, se invita a los lectores a profundizar endichas opiniones.

    La segunda seccin es un breve estudio de los tipos de definicin existentes y las diferentes formas derepresentar funciones. La tercera seccin es un recuento de actividades o situaciones de inters, conla nica intencin de indicar facetas interesantes a la hora de estudiar el concepto de funcin. La ideade esta seccin es invitar a los maestros y profesores en ejercicio a ejercer su creatividad a la hora deestudiar el concepto que nos ocupa, y no es este el lugar para explorar estas actividades ms all de losniveles aqu expuestos. Sin embargo, esta seccin es en parte motivadora de las inquietudes expuestasal final del artculo.

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    1.2 Perspectiva histrica

    Como es usual en matemtica, muchas ideas surgen primero como ideas intuitivas, y luego se vancristalizando al ir refinando el concepto. El concepto de funcin no escapa esta realidad. El conceptode funcin, como se entiende hoy en da, se consolida en el ao 1837, con el matemtico Gustav Dirich-let. Sin embargo, algunos autores atribuyen a Galileo la introduccin de manera formal del conceptode funcin en las matemticas:

    Del estudio matemtico de los movimientos deriva un concepto fundamental, que ser central paraprcticamente todo trabajo de los siguientes doscientos aos el concepto de funcin o una relacinentre variables, Galileo expres en esas relaciones funcionales en palabras y en lenguaje de proposi-cin ...

    M. Klein (1972)Mathematical Thought from Ancient to Modern Times

    La principal motivacin para este estudio es, en primera instancia, la idea que el desarrollo histricodel concepto de funcin, los obstculos que enfrent y las motivaciones que lo impulsaron, son todosherramientas que se pueden utilizar a la hora de ensear y aprender dicho concepto (la inspiracinpara este aspecto surgi en parte de la lectura de las fuentes [5], [18] y [14]).

    Una segunda motivacin nace del simple hecho que el concepto de funcin ha sido, y es hoy en da,central en el estudio de muchas reas de las matemticas.En el mundo antiguo (Babilonia y Egipto), la matemtica desde el punto de vista del concepto de fun-cin se limitaba a la elaboracin de tablas de mediciones de fenmenos observados. Luego aparecen lasmatemticas griegas, en particular los trabajos de Arqumedes con las primeras leyes de la cinemtica.Si bien en la Grecia antigua no se conoca el concepto de funcin como tal, las proporciones y losprimeros intentos de clculo infinitesimal vieron la luz.

    Durante la edad media, una poca de oscurantismo en muchas reas del pensamiento humano, sevislumbraron los primeros intentos para representar mediante grficas sencillas los movimientos ycambios observados en los fenmenos naturales. El mayor auge del concepto de funcin se dio du-rante los siglos XVI, XVII y XVIII con el desarrollo de los nmeros reales y el anlisis matemtico.

    El concepto de funcin se consolida del siglo XIX a la primera parte del siglo XX, cuando este conceptojuega un papel central en la gran mayora de las reas del que hacer matemtico.

    Diferentes autores ([2], [5], [9], [13], [16]) dividen el estudio de la historia de la matemtica en diferentesperodos. Para desarrollar este trabajo, se eligi la propuesta de Bell en [9], con una pequea modifi-cacin. Dado que de los siete perodos que Bell sugiere, dos estn superpuestos en tiempo pero no enespacio, y dado el gran desarrollo en las matemticas al final del siglo anterior e inicios del presente,es la opinin de este autor que en lo que atae a este breve estudio es ms apropiado dividirla en lossiguientes ocho periodos.

    a) De la poca remota a Babilonia y Egipto inclusive.

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    b) Los griegos, de 600 aC a 400 dC, aproximadamente.

    c) Pueblos orientales y semticos, entre 600 aC y el siglo XIV.

    d) Europa aproximadamente entre los siglos V y XIV, la Edad Media.

    e) Europa aproximadamente entre los siglos XV y XVI, El Renacimiento.

    f) Siglos XVII y XVIII.

    g) Siglo XIX.

    h) Siglo XX e inicio del siglo XXI.

    Sin lugar a duda, el volumen tan alto de investigacin hoy en da, obligar muy pronto a divisionesms finas del octavo periodo que aqu se enuncia. En varias referencias ([5], [17] [18] por citar algunas)se dedica abundante espacio a listar los diferentes matices del concepto de funcin en la matemticaactual. Amn que diferentes enfoques de la historia motivan a diversos acomodos de estas pocas. Sinembargo, el objetivo en esta seccin es revisar un poco las ideas preliminares que condujeron al con-cepto de funcin en los primeros seis de estos ocho perodos. Luego seguir la huella de la definicinformal del concepto de funcin, principalmente durante la parte final del siglo XVIII, y durante el sigloXIX. Para terminar con una pequea observacin sobre la relevancia del concepto de funcin en lamatemtica del siglo XX.

    Se revisan ahora, segn la lista anterior, los diferentes perodos de la historia de las matemticas y eldesarrollo del concepto de funcin en cada uno de ellos.

    1.2.1 De la poca remota a Babilonia y Egipto

    La versin ms rudimentaria del concepto de funcin es, sin lugar a duda, el concepto de dependenciaentre cantidades. Como tal, est presente en tablas de arcilla de los babilonios y en papiros de losegipcios.

    Los babilonios escribieron mltiples tablas de clculo. Dos de ellas datan de 2000 aC y dan los cuadra-dos de los nmeros del 1 al 59, y los cubos de los nmeros del 1 al 32. Los babilonios conocan lasrelaciones

    ab =(a + b)2 a2 b2

    2y ab =

    (a + b)2 (a b)24

    ,

    con lo cual, la tabla de cuadrados era suficiente para calcular cualquier producto. Un dato interesantede tomar en cuenta es como estas tablas se presentan en forma de columnas, como un anticipo a travsde la historia, de las tablas que hoy en da se utilizan en los primeros niveles de enseanza para rep-resentar funciones de variable discreta real y = f (x). Adems, se sabe que complementaban sus tablaspor medio de aritmtica, usando interpolaciones y extrapolaciones de datos.

    En el Papiro Rhind (Egipto alrededor de 1700 aC) hay una tabla de descomposicin de N/10 paraN = 1, . . . ,9 usada para facilitar clculos y otra tabla en la que se expresan todas las fracciones delnumerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias.

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    Si bien es cierto, estas culturas no percibieron el concepto de funcin (como se le conoce hoy en da [5],[16], [17]), pues no abstrajeron el concepto general de frmula, dado quiz a la limitante de no tenersimbologa adecuada y lo emprico e intuitivo de su matemtica, entre otros factores. Sin embargo, es-tudiaron problemas como la variacin de la luminosidad de la luna en intervalos iguales de tiempo, operodos de visibilidad de un planeta respecto a su posicin relativa con el sol. Este tipo de problemascon lleva, en forma latente, un sentido de funcionalidad.

    Otro concepto que antecede al de funcin es el de frmula, en el sentido que diferentes valores (ovariaciones de una o varias cantidades iniciales variables independientes), producen diferentes re-sultados (o variaciones de una cantidad final variable dependiente). Evidencias indican que Egipciosy Babilonios no lograron entender el concepto de frmula general como se acaba de describir [16]. Losegipcios tenan un mtodo diferente para calcular el rea de un crculo de radio 3, que para calcularel rea de un crculo de radio 4. Pero entendieron el concepto de dependencia ya que saban que unavariacin en la longitud del radio resultaba en una variacin en la magnitud del rea, amn de muchasotras situaciones registradas en innumerables tablas de valores.

    1.2.2 Los griegos, de 600 aC a 400 dC

    La primera vez que parece ser claro en la historia la nocin de dependencia entre cantidades sucedecon los griegos, en particular con Arqumedes y las leyes de la mecnica.La primera ley de la hidrosttica, descubierta por Arqumedes establece que

    Cualquier cuerpo slido que se encuentre sumergido total o parcialmente en un fluido ser empujadoen direccin ascendente por una fuerza igual al peso del volumen del lquido desplazado por elcuerpo slido.

    Con poco esfuerzo es posible establecer en el enunciado anterior, no slo la dependencia entre canti-dades o magnitudes asociadas a objetos, si no en forma latente el concepto de funcin utilizado enla actualidad:

    Ejemplo 1.1

    Si A es el conjunto de todos los cuerpos slidos y B es el conjunto de todos los vectores verticalesque apuntan hacia arriba entonces, para todo x en A existe un nico F(x) en B tal que ||F(x)||=volumen(x).

    Otros ejemplos de dependencia entre cantidades se encuentran en su trabajo sobre las espirales. Porejemplo:

    El rea barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el rea de la primera vuelta.

    En sus trabajos en geometra, en el tratado sobre la esfera y el cilindro, destaca la relacin entre el reay el volumen de una esfera y un cilindro circunscrito con la misma altura y dimetro. Arqumedesdescubri que:

    La esfera tiene un rea y un volumen equivalentes a dos tercios de los del cilindro.

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    Por ltimo, se cita su descubrimiento sobre la cuadratura de la parbola. Arqumedes prueba que

    El rea comprendida entre una parbola y una lnea recta es 4/3 multiplicado por el rea de untringulo que tiene por base el segmento de la recta y cuyo vrtice superior est sobre la parbola, enel punto medio que forman las verticales a travs de los puntos de interseccin.

    Para mostrar este ltimo hecho, us una serie geomtrica.

    Figura 1.1: Resultado de Arqumedes sobre el rea dentro de una parbola

    El paso al lmite fue fundamental en el desarrollo del anlisis, y como resultado, en el desarrollo delconcepto de funcin. Arqumedes utiliz los infinitesimales, a travs de la reduccin al absurdo (re-ductio ad absurdum), aproxim el valor del nmero pi y postul que cualquier magnitud, sumada a smisma suficientes veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada.

    Una observacin es pertinente. La visin homognea de las relaciones entre las cantidades (largo esa largo como rea es a rea) y la filosofa hacia la matemtica, propiamente la idea de Aristteles deoponer la matemtica estrictamente terica, a la fsica ocupada de los objetos en movimiento, mo-tivaron que por muchos aos se desarrollaran los conceptos de incgnitas y ecuaciones, en lugar devariables y funciones.

    Antes de pasar al siguiente perodo de la historia, se hace ahora una pequea observacin sobre elconcepto de funcin y la geometra, pilar de la matemtica griega. El primer postulado de Euclidesestablece:

    Por dos puntos distintos pasa slo una lnea recta.

    O bien, el postulado equivalente dado en honor al matemtico escocs John Playfair:

    A travs de un punto fuera de una lnea recta, se puede construir solamente una lnea recta paralelaa la recta dada.

    Es un ejercicio interesante establecer en el enunciado anterior, el concepto de funcin utilizado en laactualidad, tomando apropiados conjuntos de salida y llegada.

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    Ejemplo 1.2

    Si A es el conjunto de todos los pares de puntos distintos de un plano, y B es el conjunto detodas las rectas en el plano entonces, para todo x en A existe un nico f (x) en B tal que x f (x).O bien, si A es el conjunto de todos los puntos de un plano que no pertenecen a una recta dada,y B es el conjunto de todas las rectas en el plano paralelas a la recta dada entonces, para todo xen A existe un nico f (x) en B tal que x en f (x).

    1.2.3 Pueblos orientales y semticos, entre 600 aC y el siglo XIV

    Se concentra el estudio ahora en los pueblos rabes e hindes, simplemente porque se desea identificarhechos histricos que influenciaron la percepcin actual del concepto de funcin. Si en otras pocaso culturas se evidenciaron instancias iniciales de este concepto, pero la historia no permiti que eseconocimiento permeara nuestra percepcin, no se le mencionarn en esta resea.La matemtica rabe (entre los siglos VII y XIII) brinda las primeras evidencias de lo que hoy se llamanrazones trigonomtricas. Los rabes de esa poca tenan ya tablas de senos y cosenos, y tablas parala secante, cosecante, tangente y cotangente. Adems sentaron las bases del lgebra, la aritmtica y latrigonometra desarrollada a partir de la trigonometra hind (a travs de un texto de astronoma, elSurya Siddhanta), lo cual representaba una visin revolucionaria en contraparte a la geometra de losgriegos. Para el siglo X ya haban calculado tablas para las funciones trigonomtricas evidentemente,sin ser consideradas como las funciones de hoy en da, incluidas la secante y la cosecante. Es im-portante entender que nuestra nocin de funcin deba esperar otros 600 aos, por lo que las obrasmatemticas de la poca no se parecen a la trigonometra elemental de nuestros das.

    El inters en la trigonometra por parte de los rabes se vio potenciado cuando entraron en contactocon las tablas de los hindes. De hecho, la finalidad bsica era mejorar la exactitud de stas.Se mencionan dos tradiciones en la astronoma y las matemticas en el Bagdad de la poca. Una conbase en las fuentes persas e hindes, que subrayaba una aproximacin algebraica en las matemticas,presente en las tablas astronmicas, con una motivacin prctica. En esa tradicin se coloca al-Jwarizmi,quien construy tablas astronmicas, que tuvieron influencia por 500 aos.

    Otra tradicin con nfasis en las matemticas helensticas, que subrayaba la geometra y los mtodosdeductivos. Su figura emblemtica: Tabit ibn Qurra, quien alrededor del ao 850, descubri una fr-mula general con la cual se podan hallar nmeros amigos (dos nmeros enteros positivos a y b talesque a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a la unidadse considera divisor propio). Por ejemplo, los nmeros 220 (con divisores 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44,55 y 110) y 284 (con divisores 1, 2, 4, 71 y 142).

    Sin temor a ser redundantes, se acota que en el prrafo anterior se evidencian dos concepciones prim-itivas del concepto de funcin: las tablas de valores y la frmula.

    Para concluir este prrafo, se presentan la siguiente construccin usada por los artesanos rabes en suscermicas (vase [23] y [14]). Esta construccin tiene, evidentemente, una gran in fluencia griega y enforma asombrosa, llama la atencin a las grficas de la poca Cartesiana.

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    Sobre una recta AG se sita un punto arbitrario B y se traza la recta BE, perpendicular a AG. En elsegmento BG se marcan puntos arbitrarios H, D, Z, ... Las semi circunferencias de dimetros AH, AD,AZ, ... determinan, respectivamente, los puntos T, I, F, ... de la recta BE. los puntos K, L, M, ... de lafigura pertenecen a la parbola de vrtice B, eje AG y parmetro AB.

    La parbola anterior tiene por recta directriz una recta paralela a la recta BE situada a un cuarto de ladistancia entre B y A, y por foco un punto situado sobre el rayo BG, tambin a un cuarto de la distanciaentre B y A, ambos indicados en color.

    E

    TIF

    KL

    M

    BA H D Z G

    Figura 1.2: Dibujando una parbola

    1.2.4 Europa aproximadamente entre los siglos V y XIV

    La Edad Media. Apoyados en la tesis que las matemticas, y en particular el concepto de funcin,surgen histricamente del tratar de entender la naturaleza que nos rodea, poco se puede decir sobre eldesarrollo de la matemtica durante toda la Edad Media. Como lo anota Barahona en [5]:

    "El conocimiento de la naturaleza durante los primeros siglos de la Edad Media era consideradode importancia secundaria. No se pretenda que su estudio condujera a hiptesis y generalizacionescientficas sino que proporcionara smbolos vivientes de las realidades morales."

    Es evidente que durante semejante poca de oscurantismo cientfico y cultural, el concepto de funcin,an como dependencia entre cantidades, no tuvo ninguna o muy poca oportunidad de desarrollo. Di-cho desarrollo debe esperar hasta el Renacimiento, donde el concepto de dependencia entre cantidadesrecobra el impulso que inicialmente le diera Arqumedes.

    Sin embargo, es importante anotar dos hechos histricos cercanos al final de este perodo.Primero, en el siglo XIV, en Oxford, Thomas Bradwardine utiliz un lgebra de palabras para ex-presar relaciones de tipo funcional. Su idea era utilizar letras del alfabeto en lugar de nmeros parasustituir cantidades variables, y representar con palabras, las operaciones suma resta, etc. En su obra"del tractatu de proportionibus velocitatum" establece que

    Cuando la fuerza es mayor que la resistencia, la velocidad depende de los cocientes de ambas magni-tudes, y cuando es igual o menor no se produce movimiento.

    En concreto consideraba que elevando al cuadrado el cociente de la fuerza y la resistencia, se produceuna duplicacin de la velocidad, y a la inversa (citado por M. Klein en Mathematical Thought fromAncient to Modern Times).

  • 10 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014.

    Segundo, en Paris, Nicholas Oresme, alrededor de 1361, dise una versin primitiva de representacingrfica para modelar la forma en que algunas cosas varan, en particular, fenmenos naturales. Utilizsegmentos verticales de diferentes longitudes, para representar diferentes variaciones de un mismoobjeto siendo observado, apoyados sobre un segmento horizontal, con la idea de formar una figurageomtrica. Su idea era que propiedades de la figura geomtrica, representaban propiedades de lacualidad o magnitud siendo observada.

    Figura 1.3: Representaciones utilizadas por Oresme

    En la Figura 1.3 se observa, segn las representaciones de Oresme, a la izquierda una velocidad con-stante; al centro velocidades con aceleraciones constantes. La primera de ellas con velocidad inicialcero, y la segunda con velocidad inicial dada. A la derecha, una velocidad con aceleracin variable. Enestas grficas, el segmento horizontal representa el tiempo, y los segmentos v verticales representandiferentes velocidades.

    Una diferencia significativa con las representaciones grficas actuales radica en el hecho que sobre elsegmento horizontal no exista ninguna referencia a escala o a posiciones relativas, como resultado, nohaba en sus representaciones asociaciones de tipo algebraico.

    1.2.5 Europa aproximadamente entre los siglos XV y XVI

    El Renacimiento. Varias situaciones empujaron el desarrollo del concepto de funcin (vanse por ejem-plo [5], [16], [17], [18]), de estas, dos en particular se centran en este perodo: el uso de smbolos pararepresentar objetos matemticos y un nuevo enfoque al estudiar la naturaleza.

    a) El uso de smbolos para representar objetos matemticos. Entre los momentos que se destacanen la historia, de este uso de smbolos para representar objetos matemticos, se recuerdan ahoralos siguientes.

    al-Jwarizmi en 830 (ocho siglos antes de la poca en cuestin) escribi

    census et quinque radices equantur viginti quator,

    para representar x + 5

    x = 24.

    Cardano en 1545 (un siglo antes de la poca en cuestin) escribi

    cubus p6 rebus aequalis 20,

    para representar x3 + 6x2 = 20. Aqu cubus y rebus se utilizaron para representar el cuboy el cuadrado de la misma incognita, y la letra p para representar suma.

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    Vite 1570 (circa) escribiC + 8Q + 16N aequ 40,

    para representar x3 + 8x2 + 16x = 40. Aqu N representa la incgnita, y C y Q representan elcubo y el cuadrado, respectivamente, de dicha incgnita.

    Ms tarde, Descartes (1637) escribi la ecuacin anterior en la forma

    xxx + 8xx + 16x = 40.

    b) Un nuevo enfoque al estudiar la naturaleza. Antes del siglo XV el estudio de la naturalezano logr romper su ligamen con la teologa. En el siglo XVI primordialmente, los cientficosse plantearon problemas desde el punto de vista experimental y fsico. El estudio de variablesrequera entonces relacionarlas, expresarlas mediante nmeros y representarlas adecuadamente.Todo esto implicaba nuevas relaciones que podan verificarse en forma experimental. Al estudiarfenmenos naturales desde una nueva perspectiva matemtica, se descubran nuevas relacionesy un notable progreso en esta ciencia.

    1.2.6 Siglos XVII y XVIII

    En esencia la dificultad ms importante en el desarrollo del anlisisinfinitesimal era la necesidad de una idea de dependencias funcionalesla cual permitiera aplicar a ellas las operaciones del nuevo clculo. Porello resultaba cada vez mas necesario investigar el significado del con-cepto de funcin, dar la clasificccin de todas las funciones conocidasy encontrar los medios de operar con ellas. El problema de la creacinde la teora de funciones se convirti en el primer problema o problemapreliminar del anlisis infinitesimal.

    De Ribnikov.

    El rpido desarrollo de las matemticas de los siglos XVII y XVIII, las matemticas de los siglosvenideros y muy particularmente el desarrollo del concepto de funcin, se inicia con la publicacinde los trabajos de Descartes, Fermat, Newton y Leibniz a partir del ao 1600.Dentro de los catalizadores que durante este perodo fomentaron la formalizacin del concepto defuncin se citan los siguientes.

    a) La introduccin de sistemas coordenados. En el Discurso del Mtodo, Descartes expone suvisin del sistema coordenado. Si bien no consider el uso de los nmeros negativos no muypopulares en la poca, su sistema sienta las bases para lo que hoy se llama en su honor SistemaCartesiano de Coordenadas. Es fcil intuir que Descartes distingua el concepto de dependenciaentre cantidades, el papel de la variable independiente y la variable dependiente, cantidades quepermanecen constantes, entre otros. Sin embargo, nunca brind una definicin explcita.

    Se cita de nuevo a Barahona [5]:

  • 12 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014.

    ... el hecho de tener ecuaciones para representar determinadas curvas no implica haber definidoel concepto de funcin. Lo que si haba era una clara concepcin de la dependencia entre lasvariables expresadas mediante frmulas ...

    b) El uso que hizo Fermat de ecuaciones para representar ciertas curvas. En el ao 1629 haba en-contrado las ecuaciones de la recta, la circunferencia con centro en el origen, la elipse, la parbolay la hiprbola.

    c) El uso de Galileo de frmulas para relacionar ciertas cantidades, en particular, para representarlas relaciones que se generan entre determinadas variables, al estudiar algn fenmeno. Por supotencial importancia a nivel de la didctica de la matemtica, y su demostrada efectividad enla historia de la ciencia, se listan ahora una sntesis (adaptada de [5]) de la forma de trabajarsugerida por Galileo:

    Mtodo sugerido por Galileo para abordar problemas cientficos:

    1. A partir de los datos recolectados al observar un fenmeno, crear un modelo ideal aldesechar variables que no influyen en forma determinante en los resultados.

    2. A partir de reiteradas repeticiones del experimento, se obtiene el promedio de lasmediciones, tomando en cuenta correcciones resultantes de factores perturbadores.

    3. A partir de las mediciones obtenidas en los experimentos, se formulan hiptesismatemticas, con el objetivo de obtener conclusiones basadas en razonamientos lgi-cos.

    4. Nuevamente, mediante experimentacin, se verifican las conclusiones con el fin deverificar las hiptesis planteadas.

    Los hechos a) y b) citados anteriormente, tambin marcan el nacimiento de la Geometra Analtica. Estesin embargo, es tema para otro artculo.

    El primer gran aporte de esta poca hacia la formalizacin del concepto de funcin surge con Newtony su teora de fluxiones. En su teora las magnitudes estn descritas como movimientos continuos, demanera tal que la variable dependiente se va generando en forma continua a partir de la variable in-dependiente. Newton utiliz la palabra genita, que en latn significa generada o nacida, para referirsea expresiones de la forma Axn. Para varios autores, genitum surge como la primera expresin usadapara referirse al concepto de funcin.

    En julio de 1698 Leibniz escribe una carta a Johann Bernoulli:

    Me agrada que usted use el trmino funcin en el sentido que lo sugiero...

    Las funciones reales de variable real son el objeto central de estudio del Clculo Diferencial e Integral.En 1692, en su artculo De Linea Ex Lineis Numero Infinitis Ordinatim Ductis, Leibniz us porprimera vez las palabras Clculo Diferencial para referirse a dicha teora. Ms importante para el temaen cuestin, la palabra funcin aparece por primera vez en un manuscrito de Leibniz de 1673,

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    Mtodo de la inversa de las tangentes, o de las funciones.

    Luego en 1694 lo usa en la frase:

    La recta tangente y algunas otras funciones que dependen de ella, por ejemplo, las perpendicularestrazadas desde la curva a un eje ...

    en el artculo "Considerations sur la difference quily a entre lanalyse ordinaire et nouveaux calculdes trascendentes".

    En agosto del mismo ao, en su respuesta Bernoulli escribe:

    Para denotar una funcin de alguna indeterminada, por ejemplo, la indeterminada x, uso la corres-pondiente letra mayscula X la letra griega xxx, de modo que se pueda ver al mismo tiempo deque cantidad indeterminada depende la funcin ...

    La primera definicin de funcin aparece en 1699 en un artculo de Johann Bernoulli publicado en"Acta Eroditorum":

    Aqu denotamos por funcin de una variable una cantidad compuesta, de una o varias maneras, deesta cantidad variable y constantes.

    A partir de este momento, la idea intuitivamente geomtrica de funcin utilizada por Leibniz, adquiereun carcter ms abstracto, al atribursele por primera vez, un sentido analtico.

    En 1737, Clairaut utiliza funciones en el sentido descrito por Bernoulli, y para denotarlas utiliza sm-bolos como pix y x.

    El smbolo f (x) fus usado por primera vez por Eler en 1740 en un artculo llamado "Additamentun".Ms tarde, en 1748, en el captulo primero de su "Introductio in Analysis Infinitorum", Eler se refirial concepto de funcin de la manera siguiente:

    Toda relacin entre x y y tal como se representa en el plano mediante una curva trazada a mano libre.

    Luego escribe,

    Por lo tanto cada expresin analtica, en la cual aparecen aparte de una cantidad variable z, otrascantidades constantes que componen esta expresin, es una funcin de esta z. Algunas de estasexpresiones son por ejemplo:

    a + 3z,

    az 4zz, az + baa zz c.

    En el mismo trabajo aclara:

    Se acostumbra denominar como funciones a las cantidades dependientes de otras, tal que, comoconsecuencia de la variacin de la ltimas cambian tambin las primeras.

    Es en extremo interesante recordar que el desarrollo del anlisis se daba paralelo a todas estas situa-ciones. En particular, el concepto de funcin continua (y la terminologa pertinente) an estaba poracuarse.

  • 14 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014.

    A la fecha, no exista un claro entendimiento entre el papel del dominio de la funcin, y la relacin quedetermina la variable dependiente en trminos de la variable independiente.

    Siempre dentro del mismo documento, y haciendo uso de su nocin de funcin Eler escribe:

    Una curva continua es de tal naturaleza que puede ser expresada por una sola funcin de x. Pero siuna lnea curva es de tal naturaleza que varias partes de ella, BM, MD, DN, etc; son expresadas porvarias funciones de x, de modo que la parte de BM ha sido definida con la ayuda de una funcin, laparte MD es descrita por otra funcin y as sucesivamente, entonces llamaremos a esta curva lneadiscontinua o mixta e irregular, porque ella no est formada de acuerdo a una ley constante sino apartes de varias curvas continuas.

    Posteriormente, en el ao 1755, en su obra "Instituciones Calculi Diferencials", Eler escribe al referirsea la idea de funcin:

    ... es una expresin algebraica que puede ser anotada por una sola frmula analtica tal como unpolinomio, un seno, un coseno, un logaritmo o an una integral de cualquiera de estas expresiones.

    En 1787, en su afn de dotar al clculo de un fundamento netamente algebraico, Lagrange escribi:

    El Algebra no es otra cosa que la teora de funciones. En el Algebra las cantidades buscadas debenser funciones de cantidades dadas, es decir, expresiones representadas por diferentes operaciones, lascuales es necesario realizar con esas cantidades para obtener los valores buscados.

    En palabras del mismo Lagrange,

    Llamamos funcin de una o varias cantidades a toda expresin de clculo en la cual estas cantidadesentran de cualquier manera, mezcladas o no, con otras cantidades que consideramos como valores da-dos e invariables, mientras que las cantidades de la funcin pueden recibir todos los valores posibles.As, en las funciones no consideramos ms que las cantidades que suponemos variables, sin ningunaconsideracin a las constantes que pueden estar mezcladas.

    Entre los aos 1750 y 1801, el concepto de funcin, en el sentido entendido por Eler gener polmicay ocup la mente de muchos matemticos de Europa. La discusin se centraba en si una funcin de-ba o no ser expresada mediante una sola frmula. Al estudiar el problema de las cuerdas vibrantesdestacaban las soluciones de Daniel Bernoulli (quien obtuvo la solucin por medio de una nica fr-mula expresada por medio de una serie trigonomtrica) y la de Jean Dalambert (cuya solucin podaser dada por frmulas diferentes para diferentes valores del argumento). Se tena entonces un mismoproblema, con dos soluciones diferentes.

    En particular los matemticos de la poca pensaban que la solucin de Bernoulli estaba incompleta.En 1801, Jean Fourier demostr que la suma de una serie infinita de funciones trigonomtricas puedeexpresarse en intervalos diferentes mediante frmulas diferentes. Este hecho puso fin a la discusin,y como el mismo Fourier lo sugiri, lo ms importante es cmo se expresan los valores que toma lafuncin, y que si dichos valores se pueden expresar de una o de varias maneras no era lo esencial. Enla prctica, no haba diferencia alguna entre las soluciones de Bernoulli y Dalambert.

  • Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014. 15

    1.2.7 Siglo XIX

    Es en la primera mitad del siglo XIX, cuando Cauchy, Lobachevsky, Dirichlet y Riemann, a travs dela teora de funciones establecida en 1797 por Joseph Lagrange, dan una definicin ms rigurosa ygeneral que la dada por Eler.

    En su Curso de Anlisis Algebraico de 1827, Cauchy escribi:

    Cuando unas cantidades variables estn ligadas entre ellas de tal manera que, dando el valor de unade ellas, se puede deducir el valor de las otras, concebimos de ordinario estas diversas cantidadesexpresadas por medio de una que toma el nombre de variable independiente y las otras cantidadesexpresadas por medio de la variable independiente son las que llamamos funciones de esta variable.

    En 1834, Lobachevsky escribi:

    El concepto general exige llamar funcin de x a un nmero, el cual se da para cada x y paulatinamentevara junto con x. El valor de la funcin puede estar dado por una expresin analtica, o por unacondicin, es decir, la dependencia puede existir y quedarse desconocida.

    Las palabras de Lobachevsky merecen dos observaciones:

    Establece por primera vez la condicin de que la funcin debe asignar un valor a todo nmeroen (lo que sera) su dominio.

    Se desliga la necesidad de conocer en forma expresamente analtica el criterio de asignacin devalores.

    El primer matemtico en dar una definicin satisfactoria del concepto de funcin fue Gustav Dirichlet.Hay dos oraciones atribuidas a Dirichlet, ambas del ao 1837:

    Una cantidad variable y se llama funcin de la cantidad variable x si a cada valor de x lecorresponde un solo y determinado valor de y.

    y

    Si una variable y est relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se atribuya unvalor numrico a x hay una regla segn la cual queda determinado un nico valor de y, entonces sedice que y es una funcin de la variable independiente x.

    Para declarar por cimentada la definicin de funcin, en 1858 Riemann escribi:

    Se dir que y es funcin de x si a todo valor de x corresponde un valor bien determinado de ycualquiera que sea la forma de la relacin que une a x y a y.

    La siguiente etapa en el desarrollo del concepto de funcin se inici casi de inmediato por el mismoDirichlet al sugerir que:

    Una funcin poda ser expresada, incluso solamente con palabras.

    La intencin era desligar el concepto de funcin de fenmenos fsicos o de frmulas concretas. Elejemplo clsico lo di el mismo Dirichlet:

    f (x) ={

    0, si x es un nmero irracional,1, si x es un nmero racional.

  • 16 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014.

    Este ejemplo abri el portillo para la definicin de muchas otras funciones y curvas con las ms ex-traas caractersticas.

    Sera tarea de los matemticos que vivieron en la poca de la teora de conjuntos, muchos aos mstarde, agregar las palabras perteneciendo a un conjunto en los lugares apropiados.

    1.2.8 Siglo XX

    El concepto de funcin es casi tan fundamental y primitivo como elconcepto de conjunto. Una relacin funcional est formada por paresde elementos, al igual que un conjunto est formado por elementosindividuales.

    Hausdorf (1978).

    La percepcin del concepto de funcin en el siglo XX se desliga ya del uso de variables numricas, yalcanza los altos grados de generalidad con la que se le conoce hoy en da. Ya no es necesario que lavariable independiente sea un nmero real o complejo, ni su valor debe de ser de tal naturaleza. Eldesarrollo de las matemticas al final del siglo XIX e inicio de siglo XX, y los requerimientos de otrasdisciplinas como la fsica, hicieron inevitable pasar al estudio de funciones definidas sobre conjuntosarbitrarios con valores en conjuntos arbitrarios.Buscando el rigor que de sustento al uso de este concepto dentro de las estructuras altamente formalesy abstractas de las matemticas del siglo XX, la definicin del concepto de funcin se ve enmarcadodentro del dominio de la teora de conjuntos, y en particular, se utiliza la nocin de grfico para darlesustento formal.

    Definicin 1.1Sean A y B conjuntos. Una funcin f : A B de A en B es un subconjunto f de A B tal que:

    a) para todo elemento a en A existe un elemento b en B con (a,b) en f ; y

    b) si (a,b) y (a,b) son elementos de f , entonces b = b.

    Con respecto a esta definicin general de funcin, Azcrate y Deulofeu observan:

    Hay que resaltar que se trata de una ltima generalizacin del concepto, y que, como tal, pierdemuchos de los atributos que tenan las definiciones clsicas, como son la idea de variacin, de con-tinuidad, de la variable como parmetro temporal, de dependencia, caractersticos de la mayora deproblemas que generaron la necesidad del concepto de funcin

    Una de las ventajas de esta generalizacin basada en la teora de conjuntos (al entender que los elemen-tos u objetos del dominio pueden ser muy variados en muchos aspectos), es la riqueza de situacionesen las que el concepto de funcin se hace presente. Una situacin elemental, pero que incluso se haescapado al tratamiento dado a este trabajo, es el caso de conjuntos de pares ordenados, lo que producefunciones de varias variables independientes, las cuales pueden representar por ejemplo, fenmenosfsicos o frmulas para fenmenos que dependen de varias variables.

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    Figura 1.4: x2 + y2 = z2 y x3 + y3 = z3

    Por ejemplo,

    xn + yn = zn

    del ltimo teorema de Fermat. Si bien la relacin anterior es para nmeros enteros x, y y z, se puedenconsiderar como variables de valor real. Los grficos de la Figura 1.4 son respectivamente los casosn = 2 y n = 3.

    Por ltimo, se debe observar que cada vez ms autores vase por ejemplo Dieudonn [11], Bartle [7]y Apostol [1] dejan de exigir la propiedad 1.1 a) y se limitan a pedir 1.1 b), dejando claro que unafuncin f : A B no necesariamente debe actuar sobre todos los elementos de A. Aquellos elementossobre los que s acta forman el dominio. En el caso particular en que el dominio es todo A (es decirsi se dan i. y ii.) entonces a dicha funcin la llaman una aplicacin de A en B. A este respecto, debeaclararse en este punto que muchos autores modernos en sus libros de anlisis real (comprense porejemplo, [8], [20], [25], [22]), denotan mediante f (a) = b el enunciado (a,b) f . Con esta notacin lascondiciones de la definicin se escriben:

    a) para todo a en A existe b en B con f (a) = b;

    b) si f (a) = b y f (a) = b entonces b = b,

    lo cual hace la segunda condicin parecer un tanto evidente. Ms importante an, esta costumbre haalejado por muchos aos de la mente y el entendimiento de docentes y estudiantes, el concepto defuncin como un subconjunto del producto cartesiano de su dominio y condominio.

    Es mucho el desarrollo de la matemtica moderna, y en consecuencia son muchos los avances y lasreas en las que el concepto de funcin se estudia hoy en da. Pensar en hacer un recuento de cmo elconcepto de funcin se enmarca en la matemtica moderna es una labor titnica. Sin embargo, pasosimportantes estn presentes en [2], [16] y [17].

    1.3 Diferentes representaciones y tipos de definicin

    Una funcin en el sentido matemtico, va ms all de una relacin de la forma y = f (x) usada comn-mente. Una funcin requiere de dos conjuntos A y B (con B diferente de vaco), donde al primer

  • 18 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014.

    conjunto se le llama dominio y al segundo codominio. Adems la funcin determina una relacin en-tre todos los elementos de A y algunos de los elementos de B. En forma folklrica es comn decirque una funcin de A en B es una regla que asocia a cada elemento de A un nico elemento de B.Formalmente, se puede crear un subconjunto f de A B exigiendo dos condiciones:

    1. para todo a en A existe b en B con (a,b) en f ;

    2. si (a,b) y (a,b) estn en f entonces b = b.

    De este modo, la funcin queda determinada por el tro (A, B, f ) el cual es comnmente denotadof : A B.

    Quiz el ms comn de los errores con respecto al trabajo con funciones, es la errnea identificacinque se hace entre un criterio, como por ejemplo f (x) = x2, y una funcin.

    El criterio anterior anterior puede utilizarse para definir una funcin sobre cualquier conjunto en elque est definida una multiplicacin, por ejemplo, si M2(R) denota el conjunto de matrices dos pordos con entradas reales, entonces la funcin f : M2(R) M2(R) definida mediante f (x) = x2, tieneperfecto sentido. De hecho si

    x =(

    a bc d

    ) M2(R),

    entonces

    f (x) = x2 =(

    a bc d

    )(a bc d

    )=

    (a2 + bc ab + bdac + cd bc + d2

    ) M2(R).

    Un ejemplo ms: f : C C dada por f (x) = x2. En este caso, para a y b en R, con x = a + iiib en C setiene

    f (x) = x2 = (a + iiib)(a + iiib) = a2 b2 + 2iiiab.Incluso si se adopta otra postura errnea de uso comn, a saber que las funciones estn definidassolamente sobre subconjuntos de nmeros reales, con el criterio f (x) = x2, es posible definir unainfinidad de funciones diferentes. Para conjuntos finitos:

    f : {0,1,2,3} {0,1,4,9},x 7 x2

    f : {0,1,2,3} {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},x 7 x2

    Para conjuntos discretos:

    f :ZZ,x 7 x2

    f :NZ.x 7 x2

    Para intervalos:f : [1,1]R,

    x 7 x2f :R [0,[.

    x 7 x2

    Es evidente, que ms all de un simple ejercicio lgico matemtico, la distincin entre funcin y criteriodescansa en la aplicacin concreta que se tiene en mente, en el contexto preciso en el que se esttrabajando.

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    1.3.1 Representaciones

    Ms adelante se tendr oportunidad de explorar algunas actividades y situaciones interesantes. Eneste momento se exploran un poco las diferentes representaciones existentes, y los diferentes tipos dedefinicin de funcin.

    Descripcin Diagramas Tabla Grfica Relacinverbal de valores algebraica

    Tabla 1.1

    Las cinco formas por excelencia para representar una funcin estn descritas en la Tabla 1.1. Como loanotan Azcrate y Deulofeu en [3]:

    El aprendizaje de las funciones pasa, en primer lugar, por un conocimiento de cada uno de estoslenguajes de representacin, es decir, por la adquisicin de la capacidad para leer e interpretar cadauno de ellos y posteriormente para traducir de uno a otro

    Es entonces importante conocer las debilidades y fortalezas de cada uno de ellos, y tener a la manouna serie de actividades y situaciones en las que cada tipo de representacin es ms adecuada que lasotras.

    Descripcin verbal: en este tipo de representacin, mediante el lenguaje comn se ofrece una descrip-cin general, cualitativa, de la relacin funcional que asigna los elementos del conjunto de salida, conlos elementos del conjunto de llegada. Ofrece una relacin funcional que no requiere de simbologaelaborada.

    Se recuerda en este momento el hito histrico marcado por Dirichlet cerca del final del siglo XIX,cuando sugiri utilizar este tipo de representacin para desligar el concepto de funcin de fenmenosfsicos o de frmulas concretas. Se escribe de nuevo el ejemplo clsico, la funcin de Dirichlet:

    f (x) ={

    0, si x es un nmero irracional,1, si x es un nmero racional.

    Matemticamente, la funcin de Dirichlet es interesante por muchas razones, en particular porquenos da un ejemplo de una funcin con una cantidad infinita de discontinuidades, ms an, esdiscontinua en cada uno de los puntos de su dominio. Desde el punto de vista de la enseanza yaprendizaje del concepto de funcin, es interesante porque nos brinda un ejemplo de una funcinque no se puede graficar (y que cualquier tabla de valores que la represente sera en extremo simplista).

    Otro ejemplo interesante de funciones matemticas cuya representacin verbal es ms concreta quecualquiera de las otras representaciones es la siguiente funcin, la cual es adems interesante pues esun ejemplo de una funcin con una cantidad infinita de mximos locales en un intervalo acotado.

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    0 1234

    78

    1516 1

    Figura 1.5: Una funcin con infinitos mximos locales

    Primero divida el intervalo [0,1] en dos intervalos de la misma longitud, a saber [0, 12 ] y [ 12 ,1]. Segundo construya un tringulo equiltero sobre el primero de los intervalos. Tercero, repita el proceso sobre el segundo de los intervalos. Repita este proceso una cantidad infinita de veces.

    Obsrvese como la grfica es tan solo una representacin parcial de la funcin en cuestin.Los dos ejemplos anteriores son ejemplos de funciones de variable real con valor real que son mejorrepresentadas mediante una descripcin verbal. Es evidente que para funciones cuyas variables nosean nmeros en general, la descripcin verbal es la ms adecuada. Por ejemplo,

    la funcin que asigna a cada persona la cantidad de hermanos que posee; la funcin que asigna a cada persona su lugar de nacimiento.

    Diagramas: La representacin mediante diagramas es muy rica visualmente, y guarda estrecha relacincon los diagramas de Venn de la teora de conjuntos. Es muy til para trabajar con conjuntos finitos, ycon fenmenos que no son necesariamente cuantificables.

    Ana

    Luis

    Eric

    feliz

    relajado

    enojado

    triste

    Figura 1.6: Diagramas para representar funciones

    Tabla de valores: mediante el listado explcito de pares ordenados, establece en forma concreta queelemento del primer conjunto corresponde a que elemento del segundo. Describe mejor funcionesentre conjuntos finitos. Para conjuntos de gran cardinalidad ofrece slo una visin parcial de la relacinfuncional. Limita el concepto de sobreyectividad pues brinda la idea errnea que los pares ordenadospresentes en la lista son todos los posibles.

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    De todas las representaciones, la tabla de valores es quiz la ms utilizada en forma cotidiana. Se le vetodos los das en los diarios, en las noticias. Se usan para indicar precios, temperaturas, porcentajes.Por su naturaleza (presenta pares ordenados), es ms cercana a la nocin de relacin o correspon-dencia, de la cual funcin es slo un caso particular. Por su naturaleza finita, es sencillo utilizar lainformacin de la tabla de valores para crear una representacin grfica, sin embargo, se presentanalgunos errores usuales.

    Un error comn a la hora de interpretar tablas de valores es la extrapolacin a valores no admitidos.En la Seccin 1.4.9 se ver una tabla de valores referente al precio de dlar en Costa Rica. Este preciose da en nmeros discretos que representan el valor del dlar, en colones, en diferentes fechas. Comotal, no es una variable continua, y no tiene sentido el unir puntos de la grfica con lneas continuas.

    Otro error comn es olvidar la naturaleza del fenmeno en estudio, y las caractersticas que lo definen.Unos cuantos datos por s mismos pueden dar una versin errnea del concepto global.

    Grfica: las ms de las veces una representacin cartesiana (discreta o continua), en donde loselementos del primer conjunto se representan sobre un eje horizontal, y los del segundo sobre un ejevertical (claro est, se limitan al caso de dos variables). Permite visualizar caractersticas globalesde la relacin funcional. Es la ms popular de las representaciones, y guarda una estrecha relacinprimero, con el desarrollo histrico del concepto de funcin, y segundo con el clculo, terreno dejuego por excelencia para el estudio y uso de las funciones.

    Existen dos tipos, las discretas, y las continuas, dependiendo del fenmeno que se quiera estudiar. Enla Seccin 1.4 se explorar ms este tema.

    Relacin algebraica: En este tipo de representacin se busca, mediante una frmula matemtica oecuacin entre los elementos de los conjuntos en cuestin, expresar en forma explcita o implcita, larelacin funcional. Las sucesiones (ver la Seccin 1.4.5) son un excelente ejemplo de funciones para lascuales la tabla de valores y la grfica no son tan buenas como la representacin mediante una relacinalgebraica.

    1.3.2 Tipos de definiciones

    Diferentes autores intentan dar una clasificacin de la definicin de funcin en base al aspecto msrelevante que desea destacar, o bien, a las situaciones en las que las funciones son de utilidad. Porejemplo Azcrate y Deulofeu en [3] proponen la siguiente clasificacin, que coincide por la dada porHitt y Torres (citado en [19]):

    Correspondencia entre valores de variables: cuando dos variables estn relacionadas de tal man-era que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda.

    Dependencia entre dos variables. Se define primero que significa que una variable vare en unconjunto, dicho conjunto ser el dominio. La funcin es la relacin que establece cmo la segundavariable vara en el segundo conjunto, en relacin a la variacin de la primer variable en el primerconjunto.

  • 22 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014.

    Correspondencia entre elementos de dos conjuntos: una funcin f de un conjunto A hacia unconjunto B es una regla de correspondencia que asignan a cada elemento x de cierto subconjuntoD de A un elemento determinado de manera nica f (x) de B.

    Conjunto de pares ordenados: una funcin es un conjunto de pares ordenados de elementostales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer elemento. El conjunto delos primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y el conjunto de los segundoselementos rango de la funcin.

    Ms interesante que clasificar las funciones, es preguntarse, por qu para todo x en A? Por qu unnico y en B?

    Spivak en [22] define: "Una funcin es una coleccin de pares de nmeros con la siguiente propiedad: Si (a,b)y (a, c) pertenecen ambos a la coleccin, entonces b = c; en otras palabras, la coleccin no debe contener dos paresdistintos con el mismo primer elemento."

    Es interesante observar primero que, dice nmeros reduciendo una funcin a una relacin entresubconjuntos de R y segundo, la idea de dominio est incluida en la idea de que slo los paresconsiderados son tomados en cuenta, lo cual invita a reflexionar sobre la primera de las preguntasanteriores.

    Bartle en [7] escribe una definicin bsica para el concepto de funcin: "Una funcin f de un conjunto Aen un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna a cada x en algn subconjunto D de A, un nico ydeterminado elemento f (x) de B."

    De inmediato anota que en el caso particular en que D coincida con A, a la funcin se le llama trans-formacin o aplicacin. Este convencin coincide con la usada por Apostol en [1].

    1.4 Actividades sugeridas y situaciones de inters

    A travs de las funciones podemos modelar matemticamente un fen-meno de la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin necesi-dad de hacer a cada momento una descripcin verbal o un clculo com-plicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo.

    F. Hitt (2000).Funciones en contexto

    En [14] los autores acotan:

    En la historia se ha observado la enorme dificultad de los grandes estudiosos para llegar a dilucidarcon claridad la correcta interpretacin de las funciones. No se puede por lo tanto, pretender que losestudiantes interpreten el concepto de una manera inmediata, sin antes haber pasado por un procesocorrecto y respetuoso de la naturaleza del concepto, el cual se compara y condensa con el mismoconcepto de nmero

    Agregamos nosotros, de conjunto.

    Se desea ahora sugerir una lista de actividades o situaciones de inters, que pueden ser utilizadas paraestudiar el concepto de funcin, en diferentes etapas de la formacin de los estudiantes (desde las ms

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    bsidas hasta las ms avanzadas); inspiradas algunas en diferentes momentos histricos del desarrollode este concepto, otras en situaciones interesantes que se pueden presentar a la hora de explorar esteconcepto.

    Muchos autores destinan libros completos (y hoy en da, estudiantes dedican tesis completas), a sug-erencias de como ensear temas especficos relacionados al concepto de funcin, en particular en loreferente a funciones lineales, parbolas, potencias, exponenciales, logartmicas, y trigonomtricas. Laintencin aqu es otra. Se desea llamar la atencin a ciertas actividades que contienen algn inters par-ticular, dejando a los docentes la tarea de disear las estrategias que lleven a los estudiantes a aprenderel concepto de funcin. Por ningn motivo la lista pretende ser exhaustiva, muchas posibilidades sehan dejado de lado, y explorar otras actividades es un proyecto interesante.

    1.4.1 Primeros pasos

    Para las actividades en los niveles ms elementales, es preferible limitarse al uso de palabras comorelacin o correspondencia, y slo insinuar como el elemento del segundo conjunto est en funcindel elemento del primer conjunto, en el ms coloquial de los sentidos.

    Con respecto a la definicin general de funcin, y si es recomendable o no introducirla en niveleselementales de educacin, Azcrate y Deulofeu observan en [3] que hacerlo es:

    ... desconocer el largo camino que ha sido necesario recorrer para llegar a ellas, al mismo tiempo quese las despoja de su autntico significado convirtindolas en instrumentos de escasa validez

    De acuerdo, es posible no usar la definicin, pero el concepto de funcin est latente en muchassituaciones, y eso no se puede evadir. El ejemplo representado en la Figura 1.7 es altamente adecuadopara ciertos niveles elementales de educacin.

    Figura 1.7: Correspondencias elementales

    1.4.2 Algunos juegos con coordenadas

    La importancia del sistema cartesiano es ineludible, y al respecto de su correcto aprendizaje existenmuchas actividades, aptas para diferentes niveles. Estudiar el sistema de calles y avenidas (en ciertas)ciudades es una de ellas.

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    Figura 1.8: Juegos con sistema de coordenadas

    El juego Batalla Naval es otra buena oportunidad. En cuadrculas que representan el primercuadrante, los jugadores seleccionan una cantidad finita de posiciones, y el contrincante debe tratar deadivinar cuales fueron las coordenadas seleccionadas, enunciando por turnos sus adivinanzas: (1,1),(7,3), etc. Incluso se puede recordar a los estudiantes la ancdota que Descartes, cuando present susistema de coordenadas, no utilizaba nmeros negativos.

    Una interesante variacin permite estudiar las coordenadas polares. Crculos concntricos divididos ensectores circulares, donde ahora la primer referencia indica el ngulo con respecto al eje horizontal, yla segunda referencia la distancia respecto al origen.

    1.4.3 Medicin y los planos inclinados de Galileo

    En el saln de clase se pueden realizar actividades como medir los catetos, y la hipotenusa de tringulosque comparten un ngulo, con la idea de introducir las razones trigonomtricas.

    Figura 1.9: Medicin y razones trigonomtricas

    La medicin y la observacin han sido a travs de la historia, las herramientas usadas por excelenciapara estudiar la naturaleza. Azcrate y Deulofeu observan en [3] que no es lo mismo preguntarse porqu cae una piedra?, que cmo cae una piedra?

    Si bien ambas preguntas son interesantes, es la segunda la que se relaciona con nuestro tema dediscusin. Las actividades que se pueden realizar son mltiples y variadas, y slo estn limitadaspor la imaginacin de los docentes y estudiantes. En [6] se presentan experiencias de actividadesrelacionadas con el ambiente y la biodiversidad. En [24] se introduce el concepto de funcin medianteactividades relacionadas con el agro.

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    Un experimento relacionado con la pregunta de la cada de la piedra, que adems brinda una excelenteoportunidad para practicar el mtodo sugerido por Galileo para abordar problemas cientficos, es elde los planos inclinados de Galileo.1

    Galileo dise ingeniosos mtodos para cuantificar la cada de objetos semejantes de distinto peso, conel fin de establecer que el peso de un objeto no influye en su aceleracin (siempre que se desprecienlos efectos de la resistencia del aire). Galileo desarroll el concepto de aceleracin a partir de estudiaresferas rodando por planos inclinados. Verific que las velocidades de las esferas, al descender porplanos inclinados, se incrementaban uniformemente con el tiempo y concluy que si la aceleracin alo largo del plano inclinado es constante, la aceleracin debida a la gravedad debe ser constante.

    El resto de la actividad, su diseo, el mtodo a seguir; son aspectos que dejamos para el docente y susalumnos.

    1.4.4 El ejemplo de las llamadas telefnicas

    En [3] Azcrate y Deulofeu sugieren el siguiente ejemplo. El costo de una llamada telefnica dependede su duracin y de la distancia fsica entre los interlocutores. Sugieren una grfica como la de laFigura 1.10 en la que se representan los datos correspondiente a cinco llamadas.

    Precio

    Tiempo

    A B

    C

    D E

    Figura 1.10: Una grfica que no representa una relacin funcional

    Como bien anotan los autores, no se trata de una representacin de una dependencia de dos variablesy no tiene sentido entonces tratar de unir los puntos. Sin embargo, en la prensa y la vida diaria, esposible que los estudiantes se vean expuestos a situaciones como ests y es importante brindarlesherramientas para afrontarlas.

    Los autores sugieren las siguientes preguntas:

    a) Quin ha llamado ms lejos? Y ms cerca?

    b) Qu llamadas se han realizado a una misma distancia?

    c) Tiene sentido unir de alguna manera los cinco puntos representados?

    1 Vase http://g2naturalesvaldelagranafqgb.blogspot.es/i2009-12/ (descargado el 1 de abril de 2012).

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    d) Dnde situaras una llamada efectuada al mismo lugar que la llamada de A pero de duracin eldoble de esta?

    Este ejemplo es interesante por varias razones. Primero, porque invita a realizar un tipo interesantede anlisis de la grfica. Segundo, por la tercera de las preguntas, que invita a reflexionar sobre laconveniencia de unir o no los puntos tema que se repasar adelante. Tercero, porque nos parece queel ejemplo representa la situacin que se menciona al final de la primera seccin, a saber, la posibilidadde tener funciones que dependen de varias variables.

    Es evidente que la grfica no representa una funcin. Los puntos A y D, por ejemplo, muestran paresordenados en el plano TiempoPrecio que comparten la primera entrada pero no as la segundaentrada. La razn es sencilla, en esta representacin se omite la variable Distancia, presente enel enunciado del problema. Una representacin de la relacin funcional latente se puede dar en unsistema tridimensional TiempoDistanciaPrecio como el de la Figura 1.11.

    Precio

    Tiempo

    Distancia

    A BCD E

    Figura 1.11: Una relacin funcional de tres variables

    Responder a las preguntas de los autores de [3], pero con respecto a la grfica de la Figura 1.11 tieneahora ms sentido.

    1.4.5 Sucesiones

    La sucesiones representan uno de los tipos de funcin ms tiles en el anlisis matemtico. Estn enel corazn de la construccin de los nmeros reales, en la topologa, y en el clculo infinitesimal. Lassucesiones son funciones con dominio los nmeros naturales (N), y en general pueden tener comocodominio cualquier conjunto. Las sucesiones establecen con claridad cual es el primer elementoseleccionado, el segundo, etc.; y su principal utilidad radica en el concepto de convergencia. Esdecir, cuando la variable independiente se aleja al infinito, o crece indefinidamente, y la variabledependiente se aproxima a un valor determinado. Son particularmente interesantes al combinarlas,mediante composicin, con otras funciones continuas de R en R.

    Como se discuti en la seccin anterior, para este tipo particular de funciones (las sucesiones), larepresentacin por medio de tablas de valores o grficas son por mucho insuficientes, y el criterio orelacin algebraica que la determina es fundamental.

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    La sucesin numrica (1,1,1, . . . ) corresponde a la definicin f (n) := (1)n para todo n enN= {1,2,3, . . .}. Usualmente se representan las sucesiones mediante (xn)n, donde xn = f (n).

    Unas de las ms interesante sucesiones son las de tipo recurrente. El ejemplo clsico es la funcinfactorial dada por x0 = 0! = 1, x1 = 1! = 1 y

    xn = n! = nxn1 = n (n 1) (n 2) 3 2 1,para n 2. En este caso se obtiene, (

    1,1,2,3,6,24,120, . . . ,n!, . . .).

    Otros ejemplos de sucesiones (las series numricas) tienen que ver con la expansin decimal de unnmero real:

    13= 0,333 = 0+ 3

    10+

    3102

    +3

    103+ + 3

    10n+ ,

    o bien

    pi 3,1415926535 = 3+

    110

    +4

    102+

    1103

    +5

    104+

    9105

    +2

    106+

    6107

    +5

    108+

    3109

    +5

    1010 .

    1.4.6 Monotona

    x1

    x2

    f (x1)

    f (x2)

    Figura 1.12: Monotona

    El ejemplo f :R \ {0}R dada por f (x) =1/x pone de manifiesto que una idea tan sencilla como lade funcin creciente, tiene una estrecha relacin con caractersticas (topolgicas) propias del dominio.Evidentemente la proposicin

    x1 < x2 f (x1) < f (x2),no se satisface para esta funcin. Sin embargo, esta funcin es creciente. Es interesante plantear a losestudiantes el problema de concretar el concepto de funcin creciente.

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    Otra faceta de esta situacin se presenta al estudiar tablas de valores, las cuales slo brindan infor-macin parcial. Los puntos negros en la siguiente grfica representan esta situacin con mayor facili-dad. La grfica corresponde a una funcin oscilante, pero si se consideran slo los puntos negros, sepercibira una funcin constante.

    Figura 1.13: Oscilacin

    1.4.6.1 Tendencia montonaEn muchas aplicaciones, en particular de tipo financiero, es usual encontrar representaciones grficascomo la de la Figura 1.14. Evidentemente, la grfica no representa una funcin que sea creciente odecreciente, pero muestra una tendencia al crecimiento. Este ejemplo brinda otro reto interesantepara plantear a los estudiantes.

    Figura 1.14: Tendenca montona

    Para apoyar la teora de ensear basados en contextos reales, se presenta una grfica con datos realesdel precio del dlar en Costa Rica al primero de enero de cada ao, segn el Banco Central de CostaRica.

    2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

    300

    400

    500

    600

    colones

    Figura 1.15: Precio del dolar en Costa Rica

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    1.4.7 Fenmenos peridicos

    Las mareas, las fases de la luna, la traslacin de la tierra alrededor del sol, las estaciones del ao,los das en el calendario, las pocas para siembra, los horarios del autobs, los diferentes tipos devibraciones; son todos situaciones que presentan comportamientos de tipo peridico, o muy prximosa serlo.

    Una excelente oportunidad de aprendizaje es combinar actividades de medicin, y estudio de estosfenmenos, con el estudio de las funciones trigonomtricas.

    Figura 1.16: f (t) = t0 + Asen(t +

    ), p = 2pi

    1.4.8 Continuidad

    El estudio de la continuidad de una funcin de variable y valor real es quiz el aspecto del estudio delas funciones que ms de la mano va con el desarrollo histrico del anlisis matemtico. Se relacionacon la construccin de los nmeros reales y con el clculo infinitesimal (lmites, convergencia desucesiones, derivadas, valores extremos, integrabilidad, etc.). No es este el momento de ahondar eneste concepto, pues no es este un curso de anlisis, sin embargo, se quiere presentar una par deejemplos de modelacin interesantes. El ejemplo del elevador y el ejemplo de la bombilla.

    El elevador de nuestro ejemplo tarda 10 segundos en desplazarse de un piso a otro. Si no se le hallamado de ningn otro piso, entonces espera en el ltimo piso en que se detuvo hasta que seallamado. Si al llegar a un piso, tiene una llamada en espera, entonces slo espera en ese piso por5 segundos. El analizar las grficas de la Figura 1.17 es un ejercicio rico en posibilidades para serdesarrollado en diferentes niveles.

    Qu tipo de circunstancias expresan las grficas de la Figura 1.17 para el ejemplo del elevador?

    Son todas las grficas de la Figura 1.17 vlidas y posibles para el ejemplo del elevador?

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    5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    Piso

    Segundos

    Figura 1.17: El ejemplo del elevador

    Otro aspecto interesante respecto a este ejercicio es la razn de cambio. Observe cmo las lneas negray naranja no tienen la misma inclinacin en el intervalo [0,5]. Qu significa esta diferencia?

    1.4.8.1 Funciones no continuasExiste una distincin importante entre funciones de variable discreta, y funciones no continuas, cuyosconjunto de llegada es discreto. El ejemplo por excelencia es el ejemplo de la bombilla, el cual esun interesante ejemplo de modelacin. La bombilla pasa de encendida a apagada en un instante detiempo. Si se asigna el valor 1 cuando la bombilla est encendida, y el valor 0 cuando est apagada,se puede representar con una funcin, el funcionamiento de la bombilla. Imaginando su uso diario, esposible construir la funcin f : [0,24] {0,1} dada por el criterio

    f (x) =

    1, si x [0,6],

    0, si x ]6,18[,

    1, si x [18,24],donde se deja el intervalo abierto ]6,18[ para evitar problemas de definicin. Su grfica se puede veren la Figura 1.18, donde debe advertirse que f (6) = 0 = f (18).

    24186

    1

    Figura 1.18: Una funcin con codominio discreto

    1.4.9 La escala y la unin de puntos

    En este pequeo apartado, se quiere recordar dos ideas que aunque claras para todos, es importanteenfatizarlas. Primero, el uso apropiado de escalas y como su mal uso puede conducir a ideas, con-clusiones e interpretaciones errneas. Segundo, que no siempre el unir puntos refleja la realidad de

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    un evento. Algunas veces no es posible unir los puntos de la grfica pues las variables no son devalor continuo, como es el caso del precio de la moneda. Otras veces, al unir los puntos puede llevara conclusiones errneas pues produce relaciones que quiz no se apegan a la realidad del modelo.Usando de nuevo datos del Banco Central de Costa Rica con respecto al precio del dlar en Costa Rica.Basados en la siguiente tabla, se prepar la grfica en la Figura 1.19. El formato utilizado en la tabla esprecisamente el proporcionado por el Banco Central de Costa Rica.

    Da 2008 2009 20101 de enero 500,97 560,85 571,81

    1 de octubre 559,26 591,56 515,73

    Tabla 1.2

    en08 oc08 en09 oc09 en10 oc10

    500515560570590

    colones

    Figura 1.19: Mal uso de la escala

    en08 oc08 en09 oc09 en10 oc10

    500

    600

    colones

    Figura 1.20: Buen uso de la escala

    Lo primero que se observa es el orden de la variable independiente tiempo, hay que ser cuidadosos altomar los datos de la tabla. Intencionalmente, se obvi el hecho que el tiempo entre el 1 de enero y el1 de octubre, es el doble del tiempo entre el 1 de octubre y el 1 de enero; y en el eje vertical, se ignorpor completo el correcto uso de la escala, y slo se listaron las cantidades en el orden en que aparecenen la tabla. En el eje horizontal en08 representa 1 de enero del 2008, oc08 representa 1 de octubredel 2008, etc.

    Qu grfica se produce al usar apropiadamente la escala en los ejes? La grfica de la Figura 1.20 in-dica una variacin menos marcada en el tiempo, que la variacin que indica la grfica de la Figura 1.19.

    Ahora se usa una tabla con ms datos para preparar la grfica en la Figura 1.21. En el eje horizontalen08 representa 1 de enero del 2008, ab08 representa 1 de abril del 2008, ju08 representa 1 dejulio del 2008, oc08 representa 1 de octubre del 2008, etc.

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    Da 2008 2009 20101 de enero 500,97 560,85 571,811 de abril 497,62 570,51 528,091 de julio 522.76 579.91 540.24

    1 de octubre 559,26 591,56 515,73

    Tabla 1.3

    en08 ab08 ju08 oc08 en09 ab09 ju09 oc09 en10 ab10 ju10 oc10

    500

    600

    colones

    Figura 1.21: Unir los puntos no siempre es una buena idea

    Las lneas en gris se obtuvieron al unir los puntos de la grfica en la Figura 1.20. Se observa comoalgunas fluctuaciones escapan del comportamiento que estas lneas indican. Otros valores sin embargose predicen con bastante exactitud. En este ejemplo concreto, una separacin muy amplia entre lavariable tiempo, puede esconder comportamientos importantes en la variable precio. Adems, alno ser el precio una variable de valor continuo, las lneas grises pueden llevar a conclusiones errneas,como que en algn momento determinado, el dlar tuvo algn precio especfico.

    En [12] Duarte sugiere un ejercicio muy interesante. Apoyado en un serie de datos reales sobre ciertosegresos de la Caja Costarricense del Seguro Social entre los aos 1970 y 1979, plantea primero la elabo-racin de tablas. Segundo, la graficacin de las mismas. Tercero un anlisis modesto de las grficas, noslo basado en el inters propiamente matemtico, si no tomando en cuenta implicaciones o conclu-siones de la realidad que representan. El ejemplo permite adems explorar operaciones que se puedenrealizar con las funciones.

    1.4.10 Proyecciones cartogrficas

    Las proyecciones cartogrficas buscan representar en un mapa (porcin de un plano), diferentespuntos del globo terrqueo (una esfera). Este tipo de proyecciones representan funciones del tipof : SR2, esto es, de una esfera en un plano. Las ms usuales son la proyecciones cilndricas, esfricasy las polares o azimutales.

    Este tipo de proyecciones brindan excelentes oportunidades para estudiar transformaciones geomtri-cas. Por ejemplo, en la esfera todos los meridianos se intersecan en los polos, sin embargo, en el planolos meridianos son todos paralelos.

    Qu consecuencias tiene esta transformacin para puntos que estn cercanos entre s, en la reginalrededor de los polos?

    Si se unen dos puntos A y B sobre la esfera con un segmento circular s, y si se tiende un segmento lde lnea recta entre los puntos f (A) y f (B) del plano, se tiene f (s) = l?

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    Consultar un globo terrqueo y un mapa mundial son una excelente idea.

    Figura 1.22: Imagen de segmentos circulares bajo una proyeccin cilndrica

    1.4.11 La derivada

    En el proceso histrico, el cambio en los fenmenos observados fue el camino tomado para entenderesos fenmenos. En la naturaleza, es el cambio la herramienta para entender lo que acontece. Enla teora de fluxiones de Newton, las magnitudes cambian continuamente. En economa es centralel estudio de los marginales o cambios instantneos. El clculo se fundamenta en el estudio de loscambios infinitesimales.

    En el estudio de una funcin, la derivada viene a condensar todos esos cambios instantneos,determina donde la funcin crece o decrece, donde alcanza sus extremos locales o inflexiones. Por talrazn, no es del todo descabellada la idea de estudiar primero la nocin de derivada, antes de ahondaren el estudio de las funciones, y por esto se le dedica esta apartado.

    La simple idea de que una sucesin de rectas tangentes a travs de un punto fijo a y otro punto quese le aproxima paulatinamente, a + h, envuelve una cantidad muy rica de situaciones geomtricas,algebraicas y funcionales. Esta riqueza brinda una excelente oportunidad para estudiar el concepto defuncin.

    1.4.11.1 La pendiente de la recta tangenteDada una funcin con criterio y = f (x), la recta secante a esta funcin en los puntos(a, f (a)) y (a + h, f (a + h)) tiene pendiente

    ma,a+h =f (a + h) f (a)

    h,

    y ecuacin

    y = ma,a+h(x a) + f (a).La idea de encontrar el lmite

    ma = f (a) = limh0

    ma,a+h = limh0

    f (a) + f (a + h)h

    ,

    y usarlo como la pendiente en la ecuacin de la recta tangente a la funcin con criterio y = f (x) en(a, f (a)):

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    y = ma(x a) + f (a),

    no slo est al alcance de los jvenes estudiantes, si no que condensa aos de historia, y brinda unaherramienta muy til para describir el cambio instantneo de una funcin en un punto.

    a a + h

    Figura 1.23: Recta tangente como lmite de rectas secantes

    Las funciones cuadrticas estn al alcance. Para f (x) = Ax2 + Bx + C se tiene

    f (a + h) f (a)h

    =A(a + h)2 + B(a + h) + C Aa2 Ba C

    h

    =2Aah + h2 + Bh

    h= 2Aa + h + B,

    que tiende a ma = 2Aa + B cuando h tiende a cero.

    Claro est, se deja al educador el disear las estrategias adecuadas para que cada estudiante descubraeste resultado.

    Dado que la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f (a)) est dada por ma = 2Aa + B, es fcilconcluir que la funcin con criterio y= f (x) = Ax2 + Bx+C es creciente siempre que ma = 2Aa+ B 0y decreciente si ma = 2Aa + B 0.

    Un excelente recurso geomtrico para estudiar la derivada, y en particular los diferenciales o razonesde cambio se encuentra en el cuadrado. El permetro es una funcin lineal de la longitud del lado,p(l) = 4l, y el rea es una funcin cuadrtica, a(l) = l2. A las preguntas cunto cambia el permetrosi cambia la longitud del lado? y cunto cambia el rea si cambia la longitud del lado?, se puedecontestar:

    p(l) = p(l + l) p(l) = 4l + 4l 4l = 4l,

    y

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    a(l) = a(l + l) a(l) = (l + l)2 l2 = 2ll + (l)2,

    y tratar de observar estas relaciones en la Figura 1.24. Las respectivas razones de cambio son

    p(l)l

    = 4 ya(l)l

    = 2l + l.

    l l

    l

    l

    Figura 1.24: Cambio del permero y del rea de un cuadrado

    Las propiedades lineales de este proceso al lmite, a saber que la derivada de la suma es la suma de lasderivadas y que el multiplicar la funcin original por una constante, resulta en multiplicar la derivadapor esa constante: (

    f + g)(a) = f (a) + g(a), y

    (c f )(a) = c f (a),

    brindan excelentes oportunidades para introducir a los jvenes estudiantes al uso de la lgica, y alrigor del anlisis que debe acompaar la intuicin.

    1.4.11.2 La antiderivadaUno de los ejercicios ms interesantes es tratar de descubrir la forma aproximada de la grfica de unafuncin, a partir de la grfica que representa su derivada o cambios instantneos.

    1 1

    1

    1

    11

    1

    1

    g = f h = k

    Figura 1.25: Representacin de cambios instantneos de una funcin

    En la Figura 1.25, a la izquierda se representa la funcin g : [1,1] [1,1] con criterio g(x) = x, y ala derecha se representa la funcin h : [1,1] [0,1] con criterio h(x) = |x|.

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    Se desea obtener informacin sobre las posibles funciones f y k de [1,1] en [0,1] tales que la funcindada g representa los cambios instantneos de f , g = f ; y la funcin dada h representa los cambiosinstantneos de k, h = k.

    De la grfica de g se sabe que:

    a) f es creciente a la derecha de x = 0, pues sus cambios instantneos son todos positivos;

    b) f es decreciente a la izquierda de x = 0, pues sus cambios instantneos son todos negativos;

    c) y que f posee una recta constante horizontal en el punto (0, f (0)), que por ende indica lalocalizacin de un punto mximo para f .

    De la grfica de h se sabe que

    a) k es creciente en todo el intervalo [1,1], pues sus cambios instantneos son todos positivos;

    b) y que k posee una recta constante horizontal en el punto (0, f (0)), sin embargo, esta vez no puedeindicar la localizacin de un punto extremo para k, pues no se registra cambio de monotona.

    Surgen preguntas interesantes. Por ejemplo:

    1. Existen funciones f y k con estas caractersticas?

    2. Qu significa que la pendiente de g sea siempre igual a 1?

    3. Qu significa que la pendiente de h sea primero igual a 1 en todo un intervalo y luego igual a1?

    4. Si existen, son las funciones f y k nicas?

    No es este el lugar para desarrollar estos aspectos, se desea por ahora slo motivarlas. Respuestas comolas dadas en la Figura 1.26, son suficientes para los propsitos de este artculo.

    1 1 11

    f k

    Figura 1.26: Posibles funciones con cambios instantneos dados

  • Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014. 37

    1.4.11.3 Un ejemplo numricoSe desea llamar la atencin al uso de recursos tecnolgicos como las calculadoras y las computadoras.Si se plantea la pregunta, cul es la derivada para la funcin con criterio f (x) = x10 en el punto a = 1?Una posible respuesta, fcil de desarrollar en clase utilizando los mencionados recursos, es la siguientetabla que indica que el valor que se desea es f (1) = 10.

    h 1+ h (1+ h)10 m1,1+h0,1 1,1 2,59374246 15,93742460,01 1,01 1,10462212 10,46221250,001 1,001 1,01004512 10,04512020,0001 1,0001 1,00100045 10,00450120,00001 1,00001 1,00010000 10,00045000,000001 1,000001 1,0000100 10,0000450

    Figura 1.27

    1.4.11.4 El rea bajo la curva

    Figura 1.28: Sumas de Riemann para aproximar reas

    El otro gran protagonista del clculo es la integral. Entre otras cosas, con la integral se busca medirel rea bajo una curva. Evidentemente son muchas las actividades que se pueden realizar en el salnpara medir reas, utliizando aproximaciones con cuadrados y tringulos de diferentes tamaos. Conlas frmulas bsicas para el rea de un cuadrado, un trapecio y un tringulo rectngulo, se puedenintroducir los elementos de la integral de Riemann, con la ayuda de calculadoras y hojas electrnicas.Tambin es interesante preguntarse qu representa el rea bajo la curva? Si el rea se calcula a partirde cuadrados y otras figuras geomtricas, la unidad para medir el rea bajo la curva es entonces elproducto de las unidades usadas en los ejes cartesianos.

    En un grfico tiempo contra velocidad en el cual el tiempo se mide en segundos y la velocidaden metros por segundo, el rea representa la distancia recorrida (el desplazamiento), cuya unidad demedida es el metro.

    1.4.11.5 El teorema fundamental del clculoLa derivada y el rea bajo una curva se pueden estudiar juntos, al menos de manera intuitiva. Sea funa funcin positiva en el intervalo [a,b], sea x un elemento arbitrario en [a,b] y definase la funcinA : [a,b]R la cual asigna a x el rea bajo la curva de f en el intervalo [a, x]:

    A(x) = x

    af (u)du.

  • 38 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014.

    Se quiere calcular el lmite de la pendiente de A entre los punto (x, A(x)) y (x + h, A(x + h)), a saber

    limh0

    A(x + h) A(x)h

    = limh0

    1h

    ( x+ha

    f (u)du x

    af (u)du

    ).

    f (x)

    f

    a x x + h

    F