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7/24/2019 funciones-enteras P2
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Funciones Enteras
Rodrigo Vargas
1. Seafentera. Suponga que existeM >0 y una sucesion {Rn} de numerosreales positivos tendiendo acon f(z) = 0 sobre|z| =Rn, tal que
|z|=Rn
f(z)
f(z)
|dz| < M , n N .
Demuestre quef(z) =p(z) donde p(z) es un polinomio.
Solucion. Observe que
|z|=Rn
f(z)f(z)
dz =Numeros de ceros def en|z| 0 tal queg(B(zk, k)) B(0, ) para 1 k mlo que implica que G =
mk=1
g(B(zk, k)) es abier-
to en B (0, ) y cada punto en Gtiene exactamente m preimagenes.
SeaR >mi=1
(i+ |zi|), entonces para cada|z| > R tenemos que
|g(z)| |p(z)h(z)| 1|h(z)||p(z)|
lo que implica que 1
h(z) es un polinomio y como h(z)= 0 para cada
z C implica que h(z) = cg(z) = cp(z) f(z) = cp(z) + w por lotanto, fes un polinomio de grado m.
3. Suponga que f es entera y|f(z)| > 1 cuando|z| > 1. Pruebe que f esun polinomio.
Solucion. Sifno tiene ceros, entonces 1
fes entera
1f 1.
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Funciones Enteras 3
Tambien,
1f M sobre|z| 1, como|z| 1 es compacto. Luego, 1f
1 +M para todo z C lo que implica que 1fes constante, luegof es constante.
Ahora bien, por la condicion sobre f, f tiene solo un numero finito deceros los cuales estan todos en el interior del disco unitario cerrado, diga-
mos z1, . . . , zm. Escribimos
f(z) = (z z1) (z zm)g(z) =p(z)g(z)
para g entera sin ceros, entonces para|z| >1 tenemos que 1g(z) =
p(z)f(z) < |p(z)|
entonces
1
g(z) es un polinomio y como no tiene ceros implica que
1
g esconstante luego g(z) =c y por lo tanto f(z) =cp(z).
4. Pruebe que si f es una mapeo conforme uno a uno del plano, entonces
f(z) =az +b cona = 0.
Solucion. Sean w Imf y g(z) = f(z) w, entonces g es entera yuno a uno. Seaz0 = f
1(w), entoncesg(z0) = 0. Dado >0 existe >0
tal que g(B(z0, )) B(0, ). Se sigue que g : B(z0, ) g(B(0, )) esun homeomorfismo. Por lo tanto, g(z) = (z z0)h(z) donde h es unafuncion entera que no se anula. Exite R >0 tal que para cada|z| > r,
|g(z)| |z z0||h(z)| 1|h(z)||z z0|
luego 1
h(z)tiene un polo y como h(z) = 0 implica que 1
h(z)es constante
luego hes contante y se sigue que g(z) =cz cz0.
5. Demuestre que sif(z) =
n=1 anzn es analtica en 0, entonces
n=1
annn z
n
es entera.
Solucion. Si f(z) es entera entonces lm n|an|= 0 y como n|an| > 0
se sigue que lmn
n
|an| = 0.
Por otro lado, si{an} es una sucesion de numeros positivos tal quelmn
an = 0 entonces para cada > 0 existe N N tal que|an| <
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para todon N lo que implica que|an| < n para todo n Nse sigueque
|an|n
< para todon N. Por lo que lmn
ann
= 0.
Usando esto, se obtiene que
0 = lmn
n|an|nnn = lmn nannn
= lm nannn
Por lo tanto,n=1
annn
zn es entera.
6. Supunga que fes una funcion entera no constante, y para R >0, sea
M(R) = max|z|=R
|Ref(z)| .
Pruebe queM(R) es una funcion estrictamente creciente de R.
Solucion. Sabemos que Ref(z) es armonica sobre C y luego ella sat-
isface el principio del maximo, es decir, max|z|R
|Ref(z)| = max|z|=R
|Ref(z)|.Ahora bien, siR1< R2, entonces
M(R1) = max|z|=R1
|Ref(z)| = max|z|R1
|Ref(z)| max
|z|R2|Ref(z)| = max
|z|=R2|Ref(z)| =M(R2).
Luego,Mes creciente. Ahora, siR1 < R2y M(R1) =M(R2) M(R) =M(R1) =M(R2) entonces Ref(z) es constante en el anillo
{z
C :R10 suficientemente grande
tal que p no se anula en{z : |z| R}.
(a) Si(t) =Reit, 0 t 2, calcule
p(z)
p(z)dz.
(b) Calcule la integral de contorno
|z1|=2
(z)2dz.
Solucion.
(a) Escribimos p(z) = cni=1
(z zi) entonces p(z) = cni=1
nj=i
(z zi).
Luego
p(z)
p(z) =
ni=1
1
z zi .
Por el Teorema de los residuos obtenemos que
p(z)
p(z)dz =
ni=1
dz
z zi =ni=1
2i = 2in .
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Funciones Enteras 7
(b) Seaw = z 1 entonces z= w+ 1, dz= dw, z = w+ 1 y obtenemosque
|z1|=2
(z)2dz =
|w|=2
(w+ 1)2dw=
20
(Reit + 1)2iReitdt
=
20
(R2e2it + 2Reit + 1)iReitdt
= iR
20
(R2eit + 2R+eit)dt
= iR
1
iR2eit + 2Rt+
eit
i
20
= iR
iR2eit + 2Rt ieit20
= iR[(iR2 + 4R+i) (iR2 + 0 i)]= iR[
2iR2 + 4R+ 2i]
R=2=
12 + 16i .
14. Suponga que una funcion entera f tiene las siguientes propiedades:
(i) fes acotada en el semi-plano superior.
(ii) fes real cuando z es real.
(iii) La seriesn=1
f(n) converge.
Pruebe quef(z) 0.
Solucion. Por el Principio de Reflexion de Schwarz, la funcion
g(z) =
f(z) z H R
f(z) z H
es entera comofes entera yg(z) =f(z) sobre un conjunto no numerable
de puntos lo que implica que f(z) =g(z) para todoz C. Por lo tantofes acotada en Clo que implica por el Teorema de Liouville que f(z) =c
para alguna constante c R (ya que f es real sobre el eje real). Launica manera que
n=1
f(n) =
n=1
c sea convergente es que c = 0. Luego
f(z) 0.
15. Dos funciones enteras f y g son iguales sobre un conjunto no numerable
de puntos. Que podemos decir acerca de ellas? Pruebe su afirmacion.
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Solucion. Sea h(z) = f(z) g(z), entonces h es entera y B ={zC : h(z) = 0} es un conjunto no numerable. Sea Bn = D(0, n) ={zC: |z| n}. Como B es no numerable, existe N N tal que el numerode ceros de h enBNes no numerable. (si no, B sera numerable). ComoBNes compacto, estos ceros contienen una sucesion{zn} que converge aun punto en Bn y por la continuidad de h, lm h(zn) = 0, lo que implica
por el Teorema de unicidad que h(z) = 0, es decir, f(z) =g(z) para todo
z C.
16. (a) Pruebe que sifes entera y|f(z)| |z| para todoz C, entoncesf 0.
(b) Caracterize todas las funciones enterasftales que|f(z)| C |z|3
log |z|para|z| >1 dondeC >0.
Solucion.
(a) Escribimosf(z) =
n=0 anzn, entoncesan =
1
2i
|z|=R
f(z)
zn+1dz. Para
cada|z| =R se tiene que
|an| 12
|z|=R
|f(z)||z|n+1 |dz|
1
2
|z|=R
R
Rn+1|dz| = R
Rn+1/2 .
HaciendoR
, obtenemos que
|an
|= 0 para todo n
N, se sigue
que f(z) =a0, pero|f(0)| 0 f(0) = 0 a0= 0.(b) De manera similar a la letra anterior,
|an| 12
|z|=R
|f(z)||z|n+1 |dz|
C
2
|z|=R
|z|3(log |z|)(|z|n+1) |dz|
= C
2 R
3
(log R)Rn+1
|z|=R
|dz| = C(log R)Rn3
R 0
siempre quen 3. Luegoan = 0 para todon 3 lo que implica quef(z) =a0+a1z+a2z2.
17. Caracterize todas las funciones enteras que satisfacen
|f(z)| |z|5 + 1|z|5 + 1
|z 1|3 .
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Funciones Enteras 9
Solucion. Sobre|z|= R, tenemos|z 1| R 1 luego|f(z)| R5 +1
R5+ 1(R1)3 . Escribimosf(z) =
n=0
anzn, entoncesa0 =
1
2i
|z|=R
f(z)
zn+1dz
y obtenemos que
|an| 12
|z|=R
R5 + 1R5 + 1(R1)3
Rn+1 |dz|
= R6
Rn+1+
R
Rn+6+
R
Rn+1(R 1)3R 0
siempre que n 6. Por lo que an = 0 para todo n 6 lo que implicaque f(z) es un polinomio de grado menor o igual a 5, es decir, f(z) =
a0+a1z+a2z2 +a3z
3 +a4z4 +z5z
5.
18. Suponga que fes entera y que toda serie de potencia
f(z) =n=0
an(z )n
uno de los coeficientes es cero. Pruebe que fes un polinomio.
Solucion. Sea Bn ={z C : f(n)(z) = 0}, n = 0, 1, 2, . . .. Entoncesn=0
Bn = C por la hipotesis del problema. Por lo tanto, al menos uno
de los Bn es no numerable. Sea N el menor de estos enteros. Entonces
f(N)(z) es entera y f(N)(z) = 0 sobre un conjunto no numerable, por
el principio de identidad se tiene que f(N)(z) 0 entonces f(z) =a0+a1z+ +aN1zN1.
19. (a) Suponga quef es entera y f(z) = f
1
z
para todo z C {0}.
Pruebe que f es constante.
(b) Suponga que fes analtica y f(z) =f
1
z
para todo z C {0}.
(i) Escriba la expasion de Laurent para f.
(ii) Demuestre que si f es real sobre el crculo unitario|z| = 1,
entonces los coeficientes de la expansion en parte (i) son reales.Solucion.
(a) Tenemos quef(0) =z0y D es compacto entonces f(D) es compacto.
Comof(z) =f(1z ) se sigue que fDc f(D). Por lo tanto, f(C)
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Funciones Enteras 11
Se sigue que
n=1
log 1 zn
negn(z)
n=1
M|z|3n2
=M|z|3 2
6
lo que implica que converge absolutamente, con ligeras modificaciones,la suma de arriba y luego el producto converge uniformemente sobre
subconjuntos compactos y ella define una funcion entera fn, es decir,
f(z) =
n=1
1 z
n
nez+
z2
2n la cual tiene un cero de orden n en z = n y
no otros ceros.
21. (a) Construya una funcion entera con ceros simples en los puntos 0, 1, 22, 32, 42, . . .,
y no otros ceros.
(b) Construya una funcion entera con ceros simples en los puntos 0, 1,
2,
3,
4, . . .,
y no otros ceros.
Solucion.
(a) Sea f(z) = z
n=1
1 z
n2
. Como
n=1
zn2
=|z| n=1
1
n2 converge
absolutamente, concluimos que
n=1
1 z
n2
converge uniformemente
sobre todo|z| < R.
(b) Sea f(z) =zn=1
1 z
n
egn(z) y observe que
log
1 zn
egn(z)
=log
1 z
n
+gn(z)
=
zn z
2
2n z
3
3n3/2
+gn(z)
Luego, considerando la funcion gn(z) =
zn
+ z2
2n obtenemos que
log
1 z
n
egn(z)
=
z
3
3n3/2 z
4
4n2
y como
n=1
1
n3/2
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22. (a) Hallar una funcion entera con un polo simple en
n para todo nZ+.
(b) Pruebe quen=1
1 + sen
z2
n2
es una funcion entera.
Solucion.
(a) Como en el problema 22.(b), basta considerar la funcion f(z) =
zn=1
1 z
n
egn(z) es entera y tiene un polo simple en
n para
todon Z+.
(b) Sabemos quen=1
(1 + fn(z)) es entera sin=1
fn(z) converge absolu-
tamente y localmente uniforme. Si |z| < R, podemos hallar una cotasuperior para sen z:
sen z=
z0
cos d | sen z| |z| max||R
| cos | = |z|MR.
Ahora bien, si |z| < R, entonces z
2
n2
< R2 para todon N entonces
|fn(z)| =sen
z2
n2
z
2
n2
MR R2
n2MR.
Pero
n=1R2MR
n2
=R2MR
n=11
n2
es convergente por lo que
n=1 senz2
n2
converge uniformemente sobre|z| R por el M-test de Weiertrass.Por lo tanto,
n=1
1 + sen
z2
n2
es analtica sobre todo|z|< R y
es entera.
23. Pruebe que el producton=1
1 z
n2
es convergente (excepto paraz = 0)
a una funcion entera f. Cuales son los ceros de f?
Solucion. Como en el problema 23.(b), podemos considerar
n=0z
n2sobre|z| < R y observe que
n=1
zn2
< n=1
R
n2 =R
n=1
1
n2 ,
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Funciones Enteras 13
por elM-test de Weiertrass, zn2 converge uniformemente sobre |z|
R. Por lo que
n=1
1 z
n2
es analtica sobre todo|z| < R y luego es
entera. Ademas, los ceros de f son z = n2, n = 1, 2, 3, . . ., es decir, f
tiene un polo simple en cada z=n2
, para todo n = 1, 2, 3, . . ..