FUNCIONES. FUNCIÓN DEFINICIÓN: SEAN A Y B CONJUNTOS NO VACÍOS. UNA FUNCIÓN DE A EN B ES UNA RELACIÓN QUE ASIGNA A CADA ELEMENTO X DEL CONJUNTO A UNO Y

FUNCIONES

FUNCIÓN

• DEFINICIÓN:

• SEAN A Y B CONJUNTOS NO VACÍOS. UNA FUNCIÓN DE A EN B ES UNA RELACIÓN QUE ASIGNA A CADA ELEMENTO X DEL CONJUNTO A UNO Y SOLO UN ELEMENTO Y DEL CONJUNTO B.

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

FUNCIÓN• CONCEPTOS:

• DOMINIO: ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS VALORES PARA LOS CUALES ESTÁ DEFINIDA LA FUNCIÓN Y SE DENOTA DOM F.

• RECORRIDO: ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS VALORES QUE TOMA LA VARIABLE INDEPENDIENTE (Y), Y SE DENOTA REC F.

• FUNCIÓN CRECIENTE: ES AQUELLA QUE AL AUMENTAR LA VARIABLE INDEPENDIENTE, TAMBIÉN AUMENTA LA VARIABLE DEPENDIENTE.

• FUNCIÓN DECRECIENTE: ES AQUELLA QUE AL AUMENTAR LA VARIABLE INDEPENDIENTE, LA VARIABLE DEPENDIENTE DISMINUYE.

• FUNCIÓN CONSTANTE: ES AQUELLA QUE PARA TODOS LOS VALORES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE, LA VARIABLE DEPENDIENTE TOMA UN ÚNICO VALOR

FUNCIÓN• FUNCIÓN CONTINUA:

ES AQUELLA EN LA QUE SU GRÁFICA SE PUEDE RECORRER EN FORMA ININTERRUMPIDA EN TODA SU EXTENSIÓN.

FUNCIÓN• FUNCIÓN DISCONTINUA:

ES AQUELLA QUE NO ES CONTINUA, ES DECIR, PRESENTA SEPARACIONES Y/O SALTOS EN SU GRÁFICA.

FUNCIÓN• FUNCIÓN PERIÓDICA:

ES AQUELLA EN LA QUE SU GRÁFICA SE REPITE CADA CIERTO INTERVALO, LLAMADO PERÍODO.

FUNCIÓN• CONCEPTOS FUNDAMENTALES:

• LA VARIABLE X CORRESPONDE A LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y LA VARIABLE CUYO VALOR VIENE DETERMINADO POR EL QUE TOMA X, SE LLAMA VARIABLE DEPENDIENTE. SE DESIGNA GENERALMENTE POR Y O F(X) [SE LEE “F DE X”]. DECIR QUE “Y” ES FUNCIÓN DE “X” EQUIVALE A DECIR QUE “Y” DEPENDE DE “X”.

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

FUNCIÓNo CONCEPTOS FUNDAMENTALES

SE DIRÁ:

• F : A B

• B € B ES LA IMAGEN DE A € A BAJO LA FUNCIÓN F Y SE DENOTA POR B= F(A)

• DOM F =A

• SI (X, Y) € F ^ (X, Z) € F Y = Z (UNÍVOCA)

Toda función es relación, pero no toda relación es función.

FUNCIÓN• DOMINIO DE F:

ES AQUEL CONJUNTO EN EL CUAL TODOS SUS ELEMENTOS CONJUNTO DE PARTIDA EXISTEN. SE DENOTA POR DOM F.

• RANGO O RECORRIDO DE F:

ES AQUEL SUBCONJUNTO DEL CODOMINIO EN EL CUAL TODOS SUS ELEMENTOS SON IMAGEN DE ALGUNA PREIMAGEN DEL DOMINIO O CONJUNTO DE PARTIDA. SE DENOTA POR REC F.

abcde

1234567

A Bf

• LUEGO PARA LA FUNCIÓN F DENOTADA:

• DOMINIO DE F = DOM F = A = {a, b, c, d, e}

• CODOMINIO = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

• RANGO O RECORRIDO DE F = REC F = {1, 2, 3, 4, 7}

abcde

1234567

A Bf

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

CLASIFICACIÓN

• A) FUNCIÓN INYECTIVA: UNA INYECCIÓN DE A EN B ES TODA F DE A EN B, DE MODO QUE A ELEMENTOS DISTINTOS DEL DOMINIO A LE CORRESPONDEN IMÁGENES DISTINTAS EN EL CODOMINIO B.

CADA ELEMENTO DE A TIENE UNA ÚNICA IMAGEN EN B (Y SÓLO UNA), DE TAL FORMA QUE SE VERIFICA QUE # A ≤ # B.

Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A

abcd

12345

A Bf

• B) FUNCIÓN EPIYECTIVA O SOBREYECTIVA: UNA EPIYECCIÓN O SOBREYECCIÓN DE A EN B, DE MODO QUE TODO ELEMENTO DEL CODOMINIO B ES IMAGEN DE, AL MENOS, UN ELEMENTO DEL DOMINIO A. CADA ELEMENTO DE B ES IMAGEN DE POR LO MENOS UN ELEMENTO DE A. SE VERIFICA QUE # A ≥ # B. ES DECIR, QUE EN ESTE CASO EL CODOMINIO ES IGUAL AL RECORRIDO.

abcd

1

2

A Bf

CLASIFICACIÓN

• C) FUNCIÓN BIYECTIVA: UNA FUNCIÓN F ES BIYECTIVA DE A EN B SI Y SÓLO SI LA FUNCIÓN F ES TANTO INYECTIVA COMO EPIYECTIVA A LA VEZ, POR LO QUE SE VERIFICA QUE #A = #B Y QUE A CADA ELEMENTO DE A LE CORRESPONDE UNA ÚNICA IMAGEN EN B Y QUE CADA IMAGEN DE B LE CORRESPONDE UNA PREIMAGEN EN A.

abc

123

A Bf

CLASIFICACIÓN

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es B

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es D

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es E

FUNCIÓNLINEAL

I. FUNCIÓN LINEAL

• ES DE LA FORMA F(X) = MX + N

CON M : PENDIENTE

N : ORDENADA DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN ENTRE LA RECTA Y EL EJE Y (COEFICIENTE DE POSICIÓN).

EJEMPLO:

LA FUNCIÓN F(X) = 5X – 3, TIENE PENDIENTE 5 E INTERSECTA AL EJE Y EN LA ORDENADA -3.

I. FUNCIÓN LINEAL

• ANÁLISIS DE LA PENDIENTE

PARA SABER CON QUÉ TIPO DE FUNCIÓN SE ESTÁ TRABAJANDO, SE DEBE ANALIZAR EL SIGNO DE LA PENDIENTE.

• SI M < 0, ENTONCES LA FUNCIÓN ES DECRECIENTE.

• SI M = 0, ENTONCES LA FUNCIÓN ES CONSTANTE.

• SI M > 0, ENTONCES LA FUNCIÓN ES CRECIENTE.

I. FUNCIÓN LINEAL

I)

II)

X

Y

n

m > 0n > 0

X

Y

n m < 0n > 0

X

Y

n

m > 0n < 0

X

Y

n

m < 0n < 0

III) IV)

I. FUNCIÓN LINEAL• TIPOS DE FUNCIONES ESPECIALES:

• A) LA FUNCIÓN DE FORMA F(X) = X, SE RECONOCE COMO FUNCIÓN IDENTIDAD Y SU GRÁFICA ES:

1

2

f(x)

x1 2-1

-1

I. FUNCIÓN LINEAL TIPOS DE FUNCIONES ESPECIALES:

B) LA FUNCIÓN DE LA FORMA F(X) = C, CON C: CONSTANTE REAL, SE CONOCE COMO FUNCIÓN CONSTANTE Y SU GRÁFICA ES:

f(x)

x

●c

con c > 0

f(x)

x

●c

con c < 0

I. FUNCIÓN LINEAL

• PROPIEDADES:

• EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN LINEAL SON TODOS LOS NÚMEROS IR.

• LAS RECTAS QUE TIENEN LA MISMA M SERÁN PARALELAS.

• LAS RECTAS QUE AL MULTIPLICAR SUS PENDIENTES EL PRODUCTO ES -1 SERÁN PERPENDICULARES.

I. FUNCIÓN LINEAL• EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN LINEAL:

DADA LA FUNCIÓN F(X) = MX + N, SI SE BUSCA EL VALOR DE LA FUNCIÓN PARA UN VALOR CUALQUIERA DE X, BASTA REEMPLAZAR DICHO VALOR, ASÍ COMO TAMBIÉN SI SE BUSCA EL VALOR DE X CONOCIENDO EL VALOR DE LA FUNCIÓN.

EJEMPLO

LA FUNCIÓN QUE REPRESENTA EL VALOR A PAGAR EN UN TAXI, DESPUÉS DE RECORRIDOS 200M ES:

F(X) = 0.8X + 250 CON X: CANTIDAD DE METROS RECORRIDOS

F(X): COSTO EN DOLARES

3 KM = 3000 M

ENTONCES, EL VALOR A PAGAR POR UN RECORRIDO DE 3 KILÓMETROS ES:

F(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650

POR 3 KILÓMETROS SE PAGAN $2650.

I. FUNCIÓN LINEAL

SI QUEREMOS SABER CUÁNTOS METROS RECORRIÓ UNA PERSONA SI PAGÓ $2.250, SE DEBE RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN:

2250 = 0.8X + 250

2000 = 0.8X

2500 = X

UNA PERSONA QUE PAGA $2250. RECORRIÓ 2500 METROS O 2.5 KILÓMETROS.

I. FUNCIÓN LINEAL

• GRÁFICAMENTE

1 2

3

5

1

VECTORES

Magnitud escalar: Cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc.

Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección. Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc. El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector .

INTRODUCCION

Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.

Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.

Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)

VECTORES

V

V

P

Q

A

B

R = A+B

Método del triángulo

OPERACIONES CON VECTORES

Adición de vectoresAdición de vectores

x

z

y

Método del

paralelogramo.

B

R = A+B

A

Definición 2:Definición 2: ( (Definición algebraica de un vectorDefinición algebraica de un vector))

Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a;b), donde a y b se llaman componentes del vector.

v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0)

VECTORES EN EL PLANO (R2)

(a,b)

y

x

v

Dirección del vector (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semi-eje positivo de las x (abscisas).

22 bav

0a ,a

btan

Magnitud de un vector: Se denota por v

20

v= (a,b)con:

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional.

x y

z

plano xz

plano yzplano xy

orígen

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

VECTOR EN R3

23

22

21 aaaa

p(a1,a2,a3)z

x

y

a

a1

a2

a3

módulo de a :

vector a = (a1,a2,a3) de R3

Igualdad: Dos vectores u y v son iguales u=v si tienen la misma magnitud y dirección

);;();;( 321321 vvvuuu

11 vu 22 vu 33 vu Si y solo si

SUMA

Producto por un escalar

),,(),,( 321321 cacacaaaacuc

),,(),,(),,(

),,(),,(

212121222111

222111

ccbbaacbacbavu

cbav cbau

c

)1;0;0()0;1;0(,)0;0;1( :R 3 kyjiEn

Vectores unitarios:

Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten representar cualquier otro vector en términos de ellos. Se les llaman vectores unitarios canónicosvectores unitarios canónicos y se representan por

aaaa

aa

ua ),,( 3211

u

ii

)1;0(j , )0;1( :R 2

iEn

vectores unitarios canónicos i, j , k

x

z

y

i

jk

Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

Paralelismo de vectoresDos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definición

),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:

vu // kba

ba

ba

3

3

2

2

1

1

vku

FUNCIÓNCUADRÁTICA

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA

• SON DE LA FORMA:

• GRÁFICA:

SIEMPRE ES UNA PARÁBOLA, DEPENDIENDO SU FORMA Y LA UBICACIÓN DE SUS COEFICIENTES A, B Y C.

f(x) = ax² + bx + c

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA• CONCAVIDAD:

EL COEFICIENTE A DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA INDICA SI LA PARÁBOLA ES ABIERTA HACIA ARRIBA O HACIA ABAJO.

x

y

0 x0

y

a > 0, Abierta hacia arriba

a < 0, Abierta hacia abajo


• EJE DE SIMETRÍA Y VÉRTICE:

EL EJE DE SIMETRÍA ES AQUELLA RECTA PARALELA AL EJE Y , QUE PASA POR EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Y DETERMINA CON RECTAS PARALELAS AL EYE X LA MISMA DISTANCIA A SUS CORTES.

-b 2a

X=


ADEMÁS, LA RECTA X = , CORRESPONDE AL EJE DE

SIMETRÍA.

-b 2a

_ b² - 4ac 4a

x

y

·

-b 2a

x0

y

·_ b² - 4ac 4a

-b 2a

a > 0 a < 0

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA• INTERSECCIÓN CON LOS EJES

• INTERSECCIÓN CON EL EJE Y

EL COEFICIENTE C NOS DA EL PUNTO EN EL CUAL LA PARÁBOLA CORTA AL EJE Y.

SUS COORDENADAS SON (0, C)

0

c·

y

x


• INTERSECCIÓN CON EL EJE X

PARA DETERMINAR EL O LOS PUNTOS DONDE LA PARÁBOLA CORTA AL EJE X, ES NECESARIO CONOCER EL VALOR DEL DISCRIMINANTE DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

SE DEFINE EL DISCRIMINANTE COMO:D = b² - 4ac

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA• A) SI EL D = 0, LA PARÁBOLA CORTA EN UN SOLO PUNTO AL

EJE X.

0 ·

Y

X

a > 0

(x = x , 0)

1 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA• B) SI EL D > 0, LA PARÁBOLA CORTA EN DOS PUNTOS AL EJE X

0 ·

Y

X

a > 0

·

(x ,0) y (x , 0)1 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA• C) SI EL D < 0, LA PARÁBOLA NO CORTA AL EJE X Y SUS RAICES

SON IMAGINARIAS.

0

Y

X

a > 0

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA• NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE 2º

GRADO

SI F(X) = 0, TENDREMOS QUE AX² + BX + C = 0, LLAMADA ECUACIÓN DE 2º GRADO EN SU FORMA GENERAL.

TODA ECUACIÓN DE 2º GRADO POSEE DOS SOLUCIONES, PUDIENDO SER REALES O IMAGINARIAS, LAS QUE VIENEN DADAS POR LA EXPRESIÓN:

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = -b +√b²- 4ac 2a

1

x = -b -√b²- 4ac 2a

2

Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x ,0) y (x , 0)

1 2


TIPOS DE SOLUCIONES

DEPENDEN DEL VALOR DEL DISCRIMINANTE

a)SI D = 0, 2 SOLUCIONES REALES IGUALES

b)SI D > 0, 2 SOLUCIONES REALES DISTINTAS

c)SI D < 0, 2 SOLUCIONES COMPLEJAS DISTINTAS

D = b² - 4ac

ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

bx.a...x.ax.a nn2211

coeficientes incógnitasTérmino

independiente

ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución o soluciones.

“Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.”

.....

3y2x

12y8x4

6y4x2

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

• Dos incógnitas: ax + by = c Una recta en el plano

• Tres incógnitas: ax + by + cz = d Un plano en el espacio

• Más de tres incógnitas “Hiperplanos”

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

mecuaciones

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

...........................................................am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm

n incógnitas

Coeficientes del sistema

términosindependientes

incógnitas

DEFINICIÓN

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

Una solución de un sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bx.a...x.ax.a

.......

bx.a...x.ax.a

bx.a...x.ax.a

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bs.a...s.as.a

.......

bs.a...s.as.a

bs.a...s.as.a

Sistemas deecuaciones lineales

Incompatible

Compatible

Sin solución

Con solución

Determinado

Indeterminado

Solución única

Infinitas soluciones

• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece• Un sistema de ecuaciones lineales no puede tener exactamente dos

soluciones, tres soluciones, cuatro soluciones, ...

1.2.3 - SOLUCIONES

SISTEMA HOMOGÉNEO

• Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0.

• En caso contrario se dice que es no homogéneo.

• Estos sistemas son siempre compatibles ya que x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 llamada solución trivial, es siempre solución del sistema.

• Será determinado si ésta es la única solución del sistema.

0x.a...x.ax.a

.......

0x.a...x.ax.a

0x.a...x.ax.a

nmn22m11m

nn2222121

nn1212111

SISTEMAS EQUIVALENTES

II. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

• Sistemas equivalentes: dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones. (Es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.

• Para resolver un sistema es útil convertirlo en otro equivalente que sea fácilmente resoluble.(Sistemas escalonados)

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

I. Intercambiar entre sí dos ecuaciones

III. Sumar miembro a miembro una ecuación a otra ecuación.

SISTEMAS ESCALONADOS

Un sistema escalonado es aquel en el que los coeficientes de la incógnitas situados por debajo de la diagonal principal (elementos que repiten subíndice) son nulos.

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles (De abajo a arriba)

5z2y0x0

14z8y3x0

9z2yx

5z2

14z8y3

9z2yx

• Sistema escalonado compatible determinado

5z2

14z8y3

9z2yx

2

5z

23

2014

3

z814y

6529z2y9x

(x,y,z) = (6,-2,-5/2)

SISTEMAS ESCALONADOS

• Sistemas escalonados compatibles indeterminados

14z8y3

9z2yx

z3

148

3

14z8y

3

2132

3

1489z2y9x

R ,3

148,

3

213)z,y,x(

SISTEMA ESCALONADO

Este sistema es incompatible porque no hay ninguna solución (x, y, z) que pueda cumplir la tercera ecuación (la última ecuación no tiene sentido)

5z0y0x0

14z8y3x0

9z2yx

50

14z8y3

9z2yx

• Sistemas incompatibles

Método de Gauss

Para convertir un sistema como:

en un sistema escalonado, se pueden dar los siguientes pasos:

I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la

primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii)IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

Nota: Si al hacer Gauss queda un “cuadrado” hay que seguir haciendo ceros.

3333232131

2323222121

1313212111

bx.ax.ax.a

bx.ax.ax.a

bx.ax.ax.a

GAUSS: COMPATIBLE DETERMINADO

1z6yx2

4z4yx2

9z2yx

1612

4412

9211

191030

14830

9211

5200

14830

9211

122 F2FF Hacer ceros

Hacer ceros

233 FFF

5z2

14z8y3

9z2yx

2

5z

23

2014

3

z814y

6529z2y9x

Clasificación: Sistema compatible determinado

solución!

Solución: (x,y,z) = (6,-2,-5/2)

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en un punto.

133 F2FF

GAUSS: COMPATIBLE INDETERMINADO

22yx4

4z4yx2

9z2yx

22014

4412

9211

14830

14830

9211

0000

14830

9211


Hacer ceros

233 FFF

Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones

Solución:

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

14z8y3

9z2yx

z3

148

3

14z8y

3

2132

3

1489z2y9x

R ,3

148,

3

213)z,y,x(

133 F4FF

GAUSS: INCOMPATIBLE

1z4yx2

4z4yx2

9z2yx

1412

4412

9211

19830

14830

9211

5000

14830

9211


Hacer ceros

233 FFF

50

14z8y3

9z2yx

Clasificación: Sistema Incompatible

Solución: No existe solución

Interpretación geométrica: Tres planos que no se cortan

133 F2FF

GAUSS : CASO ESPECIAL

Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones

Solución:

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

5zy3x3

5zy2x2

3zyx

0000

1100

3111


Hacer ceros

5133

5122

3111

133 F3FF

4400

1100

3111

1z

y

2x

-1z-

3zyx

(x,y,z) = (2 - , , 1) R

233 F4FF

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.º Se identifican las incógnitas.

2.º Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.

3.º Se resuelve el sistema.

4.º Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.

REGLA DE CRAMER

SI ANXN.XNX1 = BNX1 ES UN SISTEMA DE N ECUACIONES CON N INCÓGNITAS TAL QUE |A| ≠ 0, ENTONCES CADA VARIABLE SE CALCULA MEDIANTE:

niA

Ax i

i ,...,2,1,

Ai representa a la matriz obtenida a partir de A, sustituyendo la columna i de A por la columna B de los términos independientes.

RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. CON LA REGLA DE CRAMER

EJEMPLO: RESUELVA EL SIGUIENTE SISTEMA UTILIZANDO LA REGLA DE CRAMER.

032

2234

02

zyx

zyx

zyx8

312

234

112

A

21

84310

232

110

A

x 28

16302

224

102

Ay 1

88012

234

012

A

z

SISTEMAS LINEALES DE

INECUACIONES

ÍNDICE

Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................

Sistemas de inecuaciones lineales ......................................

Problemas textuales

de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) ...........

de programación lineal (2º bachillerato) ..................

La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano.

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso: colorear el semiplano solución.

1 / 4

Resuelve la inecuación: 3y2x5

Represento la recta: 3y2x5

Despejo la variable y:2

x53y

Tabla de valores: x y

1 -1

3 -6

Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

3030205

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución.

2 / 4

Algunas inecuaciones son sencillas:

0x)a 0y)b 3x)c 2x)d 4y)e

Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes.

Asocia cada inecuación con su soluciónb

ac

d

e

3 / 4

Resuelve las inecuaciones:

6y3x2)a

Asocia cada inecuación con su solución

b a

cd

yx2)b 4y2x)c 7y4x3)d

4 / 4

La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe).

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso: colorear el semiplano solución.

1 / 5

Resuelve el sistema de inecuaciones:

7y3x2

1yx3

Represento la recta: 1yx3

Despejo la variable y: 1x3y


1 4

-2 -5

Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 141223

Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

2 / 5


7y3x2

1yx3



x27y


2 1

-2 3

Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 7070302

Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación

1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación

3 / 5


7y3x2

1yx3

2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación

1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación

3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores

4 / 5

Resuelve los sistemas de inecuaciones:

4yx2

3yx)a

Asocia cada sistema con su solución

b

a

c

d

6yx2

4yx2)b

6y

1yx

9yx3)c

6y

3x

1yx

4yx)d

5 / 5

PROGRAMACIÓN LINEAL

Cada muñeco:• Produce un beneficio neto de 3 dolares.• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.

Cada tren:• Produce un beneficio neto de 2 dolares.• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.

Ejemplo

Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.

Cada semana Gepetto puede disponer de:• Todo el material que necesite.• Solamente 100 horas de acabado.• Solamente 80 horas de carpinteria.También:• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).• La demanda de muñecos es como mucho 40.

Gepetto quiere maximizar sus beneficios.¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

Variables de Decisión

x = nº de muñecos producidos a la semanay = nº de trenes producidos a la semana

Función Objetivo. En cualquier PPL, la decisión a tomar es como maximizar (normalmente el beneficio) o minimizar (el coste) de alguna función de las variables de decisión. Esta función a maximizar o minimizar se llama función objetivo.

Max z = 3x + 2y

El objetivo de Gepetto es elegir valores de x e y para maximizar 3x + 2y. Usaremos la variable z para denotar el valor de la función objetivo. La función objetivo de Gepetto es:

Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).

RestriccionesSon desigualdades que limitan los posibles valores de las variables de decisión.En este problema las restricciones vienen dadas por la disponibilidad de horas de acabado y carpintería y por la demanda de muñecos.También suele haber restricciones de signo o no negatividad:

x ≥ 0

y ≥ 0

Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.

Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas.

Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.

Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente por las siguientes desigualdades:

Restricción 1: 2 x + y ≤ 100

Restricción 2: x + y ≤ 80

Restricción 3: x ≤ 40

Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece. Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:

RESTRICCIONES

Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Muñeco Tren

Beneficio 3 2

Acabado 2 1≤

100

Carpintería 1 1 ≤ 80

Demanda ≤ 40

Formulación matemática del PPL

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

2 x + y ≤ 100 (acabado)

x + y ≤ 80 (carpinteria)

x ≤ 40 (demanda muñecos)

Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la semana

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

Sujeto a (s.a:)

2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria)

x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones, tenemos el siguiente modelo de optimización:

FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PPL

REGIÓN FACTIBLE

x = 40 e y = 20 está en la región factible porque satisfacen todas las restricciones de Gepetto.

Sin embargo, x = 15, y = 70 no está en la región factible porque este punto no satisface la restricción de carpinteria

[15 + 70 > 80].

Restricciones de Gepetto

2x + y ≤ 100 (restricción finalizado)

x + y ≤ 80 (restricción carpintería)

x ≤ 40 (restricción demanda)

x ≥ 0 (restricción signo)

y ≥ 0 (restricción signo)

La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.

SOLUCIÓN ÓPTIMA

La mayoría de PPL tienen solamente una solución óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen solución óptima, y otros PPL tienen un número infinito de soluciones.

Más adelante veremos que la solución del PPL de Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un valor de la función objetivo de:

z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €

Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima, estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.

Para un problema de maximización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor máximo. Para un problema de minimización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor mínimo.

Se puede demostrar que la solución óptima de un PPL está siempre en la frontera de la región factible, en un vértice (si la solución es única) o en un segmento entre dos vértices contiguos (si hay infinitas soluciones)

Problemas de programación lineal

Los pasos a seguir para resolverlo son:

1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo.

2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución.

3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el punto de la región solución que la optimiza.

4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.

1 / 6

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?

1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones

Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)

Chocolate x 0’5x 5x

Manzana y 1y 6y

Disponible 9 60

0y

0x

60y6x5

9yx5'0

2 / 6

La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible: y15x12venta

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

Represento la recta: 9yx5'0

Despejo la variable y: x5'09y

Tabla de valores:

x y

2 8

6 6Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

909005'0

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

3 / 6

9yx5'0

3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación



x560y

Tabla de valores:

x y

6 5

12 0Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

600600605

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

60y6x5

4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

0x 0y

4 / 6

6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo

5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores

La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas).

El vector de la función objetivo es: 4,512,15

y15x12venta

Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

5 / 6

7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado.

Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo.

Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema.

SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 €.

a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio?

b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1,19 el tipo A y a 0,89 el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta?

c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 y la de montaña a 90. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?

d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 y el autobús a 375. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?

Resuelve los problemas:

6 / 6

a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 .

b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59,40 .

c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100.

d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 .

MÉTODO SIMPLEX

EJEMPLO DE SIMPLEX:Vamos a resolver el siguiente problema:

Maximizar Z = f(x1,x2) = 3x1 + 2x2

Sujeto a: 2x1 + x2 ≤ 18

2x1 + 3x2 ≤ 42

3x1 + x2 ≤ 24

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

SE CONSIDERAN LOS SIGUIENTES PASOS:

1. Convertir las desigualdades en igualdades:

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso s1, s2, s3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estandar. Usando en simplex el siguiente criterio:

Signo: Introducir

≤ sn

FORMA ESTANDAR:

2x1 + x2 + s1 = 18

2x1 + 3x2 + s2 = 42

3x1 + x2 + s3 = 24

2. Igualar la función objetivo a cero y despues agregar la variables de holgura del sistema anterior:

Z - 3 x1 - 2 x2 = 0Para este caso en particular la funcion objetivo ocupa la ultima fila del tablero, pero de preferencia siempre se

devera de colocar como la primer filaCuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo para convertirlo en negativo y cuando maximizamos

tomamos el valor (+) negativo de Fo para convertirlo en positivo.

3. Escribir el tablero inicial simplex:

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:

Tablero Inicial

Base Variable de decisión

Variable de holgura Solución

X1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 18

S2 2 3 0 1 0 42

S3 3 1 0 0 1 24

Z -3 -2 0 0 0 0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, (FLECHA ROJA PARTE SUPERIOR), observamos la ultima fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en valor absoluto).

En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima.

Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color azulado).

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, (FLECHA ROJA COSTADO IZQUIERDO) se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero.

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho

cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al

menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, S3. Esta fila se llama fila pivote (en color

azulado).

Iteración No. 1


Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 18 18/2 = 9

S2 2 3 0 1 0 42 42/2 = 21

S3 3 1 0 0 1 24 24/3 = 8

Z -3 -2 0 0 0 0

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.

C.En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra y la variable de holgura S3 sale.

5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex.

Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos

los coeficientes de la fila por el pivote operacional “3”, ya que este se debe convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los

restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

Resultado de Iteración No. 1



X1 X2 S1 S2 S3

S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 f(S1) – 2 f(X1)

S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 f(S2) – 2 f(X1)

X1 1 1/3 0 0 -1/3 8 (1/3) X1

Z 0 -1 0 0 1 24 f(Z) + 3 f(X1)

Como en los elementos de la última fila hay un numero negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos de la columna solución entre los términos de la nueva columna pivote:

y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale es S1.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Y se opera de forma análoga a la anterior iteración

Iteración No. 2



X1 X2 S1 S2 S3

S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 2/(1/3) = 6

S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 26/(7/3) = 78/7

X1 1 1/3 0 0 -1/3 8 8/(1/3) = 24

Z 0 -1 0 0 1 24




X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 3 0 -2 6 3X2

S2 0 0 -7 0 4 12 f(S2) – (7/3) f(X2)

X1 1 0 -1 0 1 6 f(X1) – (1/3) f(X2)

Z 0 0 3 0 -1 30 f(Z) + f(X2)

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que

corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:

6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]

y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es S2.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla:

Iteración No. 3



X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 3 0 -2 6 No se toma por ser negativo

S2 0 0 -7 0 4 12 12/4 = 3

X1 1 0 -1 0 1 6 6/1 = 6

Z 0 0 3 0 -1 30




X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 -1/2 0 0 12 f(X2) + 2 f(S3)

S3 0 0 -7/4 0 1 3 (1/4) S3

X1 1 0 -3/4 0 0 3 f(X1) – f(S3)

Z 0 0 5/4 0 0 33 f(Z) + f(S3)

Tablero Final


Variable de holgura Solución

X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 -1/2 0 0 12

S3 0 0 -7/4 0 1 3

X1 1 0 -3/4 0 0 3

Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima.

Los solución óptima viene dada por el valor

de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

ES

• EXPERIMENTO ALEATORIO: PROCESO EN OBSERVACIÓN

• EVENTO ELEMENTAL:

-“RESULTADO” DE UN EXPERIMENTO INDIVISIBLE

-“MUTUALMENTE EXCLUYENTES”: SI OCURRE UNO NO EXISTE POSIBILIDAD DE OBSERVAR OTRO

“EQUIPROBABLE” : CADA EVENTO SIMPLE TIENE IDENTICA PROBABILIDAD

• ESPACIO MUESTRAL EL CONJUNTO DE TODAS LAS OBSERVACIONES ELEMENTALES

• EVENTO “A” - EL CONJUNTO DE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES OBSERVACIONES POSIBLES QUE RESULTAN EN LA OCURRENCIA DEL EVENTO “A”

Conceptos BásicosConceptos BásicosConceptos BásicosConceptos Básicos

Espacio Muestral

Traspasar Roja # 1

Traspasar Verde # 1

Traspasar Verde # 2

Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas has sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir

1

1

2

1

2

3

2

3

2

3

1

2

3

2

3

I

II

II

II

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables)

Noción intuitiva:

P(A) = Resultados favorables al evento AResultados posibles

Noción frecuentista:

Sea N: N° total de veces que se realiza un experimento

NA: N° total de veces que ocurre A

P(A) =NN

lim AN

1. Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N

2. Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir un par cualesquieres es 1/ K.

3. Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser

seleccionada que cualquier otra r-tupla.

ObservaciónEn muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetosSea N el número de objetos.

Probabilidad Axiomática

Axioma 1: P(A) 0Axioma 2: P() = 1

Suponiendo que A1, A2,..... son eventos mutuamente excluyentes

Axioma 3: P(Ai) = P(Ai)

Propiedades

1. P() = 02. P(A) 13. P(AC) = 1 - P(A)4. Si A B P(A) P(B)5. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)6. P(Ai) P(Ai)7. Si A B P(B-A) = P(B) - P(AB)8. PROBABILIDADES SUCESIVAS P(A) + P(B) = P(A+B) P(A) Y P(B)= P(A) * P(B)

Probabilidad Condicional

Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A/B) :

P(A/B) = P(AB) P(B)

Propiedades:1. P(A/B) 02. P( /B) = 13. P(Ai/B) = P(Ai/B) con Ai Aj = , i, j : i j

Casos Probabilidad Condicional

AB

Si A B = A P(A | B) = = P(A)P(A B )

P(B)

P(A)

P(B)

AB Si A B = B P(A | B) = = = 1

P(A B )

P(B)

P(B)

P(B)

AB

Si A B = P(A | B) = = = 0P(A B )

P(B)

P()

P(B)

AB

Si A B P(A | B) = =P(A B )

P(B)

VARIACIONES

DEF: SEA A UN CONJUNTO : , SE LLAMA VARIACIÓN SIMPLE O SIN REPETICIÓN A TODO SUBCONJUNTO DE N ELEMENTOS DISTINGUIÉNDOSE ESTOS ENTRE SI, EN LOS ELEMENTOS QUE LO COMPONEN Y EN EL ORDEN EN QUE ESTOS ELEMENTOS VAN COLOCADOS

A={X1,X2,.......XN } V(N,2)= N(N-1) ; V(N,3)= N(N-1)(N-2)...

V(N,K)= N(N-1)(N-2)......(N-K+1)

OBS: SI LAS VARIACIONES SON CON REPETICIÓN V1(N,K) = NK

nACard )(

Permutaciones

Pr

n nn r

=-!

( ) !

Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN IMPORTA :Nota: Estudiar permutaciones con repetición

n objetos

- - - - -

1 2 3 4 r

Combinaciones

C(n,r)nn r

=-

!r!( )!

CombinaCombinaccionionees( sin repetición)s( sin repetición)::Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL

ORDEN NO IMPORTA

Nota : Estudiar combinaciones con repetición C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!

Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

En algunos casos existen conjuntos de datos que tienen la misma media y la misma mediana, pero esto no refleja qué tan dispersos están los elementos de cada conjunto.

Ejemplo:

Conjunto 1. 80, 90, 100, 110, 120Conjunto 2. 0, 50, 100, 150, 200


1005

1201101009080 Media

1005

200150100500 Media

Conjunto 1

Conjunto 2

Observa que para ambos conjuntos la Mediana es igual a 100. También nota que los datos del conjunto 2 están más dispersos con respecto a su media que los datos del conjunto 1.

Existen diversas medidas estadísticas de dispersión, pero muchos autores coinciden en que las principales son:

Rango

Varianza

Desviación estándar

Coeficiente de variación


Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado (Límite superior) y el valor más bajo (Límite inferior).

RANGO

FÓRMULA

Ejemplo 1.

Ante la pregunta sobre número de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas:

2 1 2 4 1 32 3 2 0 5 1

Calcula el rango de la variable

Solución.

MAX MINRango X X

5 0 5Rango

Ejemplo 2.

Hay dos conjuntos sobre la cantidad de lluvia (mm) en Taipei y Seúl en un año.

Calcula el rango en cada una de las ciudades.

Solución.

Aplicando la fórmula correspondiente tenemos:

Taipei

Seúl

305 66 239Rango mm mm mm

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov DicTaipei 86 135 178 170 231 290 231 305 244 122 66 71Seúl 40 77 83 89 147 168 184 252 209 101 32 13

252 13 239Rango mm mm mm

En este caso se puede observar que el rango es el mismo para ambos casos aunque las cantidades sean diferentes.

050

100150200250300350

Can

tid

ad

de llu

via

(m

m)

Mes

Cantidad de lluvia en Taipei y Seúl 1998

Taipei

Seoul

Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. La sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra.

VARIANZA (Datos no agrupados)

FÓRMULA2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n

Muestral

Poblacional

2

2 1

( )N

i xi

x

N

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

Ejemplo 1.

Calcula la varianza para los siguientes datos

2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1

Solución.

Primero es necesario obtener la media. En este caso

Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

2.16x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (2 2.16) (1 2.16) (2 2.16) (4 2.16) (1 2.16) (3 2.16) (2 2.16) (3 2.16) (2 2.16) (0 2.16) (5 2.16) (1 2.16)

12 1s

2 21.66721.9697

11s

Ejemplo 2.

A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza.

Solución.

Primero es necesario obtener la media de cada conjunto de datos. En este caso

Estudiante A

Estudiante B

Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

Volumen de ácido medido (cm 3̂)Estudiante A 8 12 7 9 3 10 12 11 12 14Estudiante B 7 6 7 15 12 11 9 9 13 11

8.910

1412111210397128 x

1010

111399111215767 x

Solución (Continuación).

Estudiante A

Estudiante B

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (8 9.8) (12 9.8) (7 9.8) (9 9.8) (3 9.8) (10 9.8) (12 9.8) (11 9.8) (12 9.8) (14 9.8)

10 1s

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (7 10) (6 10) (7 10) (15 10) (12 10) (11 10) (9 10) (9 10) (13 10) (11 10)

10 1s

2 91.69.16

10s

2 767.6

10s

También llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución.

Específicamente, la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma,σ, según se calcule en una muestra o en la población.

Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos no agrupados)

FÓRMULA2

1

( )

1

n

ii

x xs

n

N

xN

ixi

1

2)(

Muestral

Poblacional

Ejemplo 1.

Si retomamos el ejemplo 1 que corresponde a la varianza:

Calcula la desviación estándar para los siguientes datos

2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1

Solución.

Una vez que hemos calculado la media y la varianza, sólo resta calcular la raíz cuadrada de la varianza.

2.16x

2 21.66721.9697

11s

Ejemplo 2.

Considerando nuevamente el segundo ejemplo que estudiaste para calcular la varianza, tenemos:

A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza.

Solución.

Una vez que has calculado la media y la varianza, es necesario calcular la desviación estándar a partir de la obtención de la raíz cuadrada de la varianza.

Estudiante A

Estudiante B

Volumen de ácido medido (cm 3̂)Estudiante A 8 12 7 9 3 10 12 11 12 14Estudiante B 7 6 7 15 12 11 9 9 13 11

2 91.69.16

10s

2 767.6

10s

Es una medida de dispersión que se utiliza para poder comparar las desviaciones estándar de poblaciones con diferentes medias y se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

FÓRMULA

100%S

CVx

Muestral

Poblacional

100%CV

Ejemplo 1.

En dos cursos los promedios que sacaron sus alumnos fueron 6.1 y 4.3 y las desviaciones estándar respectivas fueron 0.6 y 0.45 respectivamente. ¿En qué curso hay mayor dispersión?

Solución

Para responder esto, debemos obtener el coeficiente de variación aplicando la fórmula

Claramente, el curso A tiene una dispersión menor que el B, pese a presentar una mayor desviación estándar.

%8.9%)100(1.66.0 ACV

%4.10%)100(3.4

45.0 BCV

100%S

CVx

Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencias, el significado de las medidas de dispersión es el mismo, sin embargo la manera de calcularlas es diferente.

Enseguida se muestra la fórmula para la varianza, pero recuerda que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la primera.

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos agrupados)

FÓRMULA

11

)(1

2

12

1

2

2

nn

fx

xf

n

xxfs

k

i

k

iii

ii

k

iii

21

2

1

2

2)(

N

xf

N

xfk

iii

k

iii

Muestral

Poblacional

Ejemplo 1.

Se han registrado durante 20 días, el número de viajeros que hacen reservaciones a una agencia de viajes pero que no las hacen efectivas:

Calcula las medidas de dispersión de la variable en estudio. Interpreta

iNúmero de viajeros

(xi )Frecuencia

(fi)

1 12 3

2 13 3

3 14 6

4 15 3

5 16 5

Total 70 20

Solución.

Tal como lo indica la fórmula, primero es necesario multiplicar la variable (xi ) por la frecuencia (fi) y añadirlo como una columna a la tabla.


(xi )Frecuencia

(fi)xi fi

1 12 3 36

2 13 3 39

3 14 6 84

4 15 3 45

5 16 5 80

Total 70 20 284

......

...1

2

1

2

k

i

k

iii fx

s


Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (x i )2.


(xi )

Frecuencia

(fi)xi fi xi

2

1 12 3 36 144

2 13 3 39 169

3 14 6 84 196

4 15 3 45 225

5 16 5 80 256

Total 70 20 284 990

...

......1

2

2

k

iix

s


Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (fixi

2).

iNúmero de

viajeros(xi )

Frecuencia (fi)

xi fi xi2 fixi

2

1 12 3 36 144 432

2 13 3 39 169 507

3 14 6 84 196 1176

4 15 3 45 225 675

5 16 5 80 256 1280

Total 70 20 284 990 4070

.........

1

2

2

k

iii xf

s


Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula

iNúmero de

viajeros(xi )

Frecuencia (fi)

xi fi xi2 fixi

2

1 12 3 36 144 432

2 13 3 39 169 507

3 14 6 84 196 1176

4 15 3 45 225 675

5 16 5 80 256 1280

Total 70 20 284 990 4070

11

2

12

2

nn

fx

xfs

k

i

k

iii

ii


iNúmero de

viajeros(xi )

Frecuencia (fi)

xi fi xi2 fixi

2

1 12 3 36 144 432

2 13 3 39 169 507

3 14 6 84 196 1176

4 15 3 45 225 675

5 16 5 80 256 1280

Total 70 20 284 990 4070

3992.19579.1

9579.119

20284

40702

2

s

s

Ejemplo 2.

De acuerdo a la siguiente tabla, calcula la varianza y la desviación estándar:NOTA

xFREC. ABSOLUTA

fFREC. ABSOLUTA

ACUMULADA FREC. RELATIVA %

FREC RELATIVA ACUMULADA %

1.2 1 1 0.1 0.11.4 2 3 0.2 0.31.6 3 6 0.3 0.61.8 8 14 0.8 1.42.0 14 28 1.4 2.82.2 18 46 1.8 4.62.4 19 65 1.9 6.52.6 22 87 2.2 8.72.8 25 112 2.5 11.23.0 26 138 2.6 13.83.2 27 165 2.7 16.53.4 31 196 3.1 19.63.6 35 231 3.5 23.13.8 38 269 3.8 26.94.0 45 314 4.5 31.44.2 46 360 4.6 36.04.4 48 408 4.8 40.84.6 52 460 5.2 46.04.8 58 518 5.8 51.85.0 60 578 6.0 57.85.2 56 634 5.6 63.45.4 54 688 5.4 68.85.6 51 739 5.1 73.95.8 50 789 5.0 78.96.0 46 835 4.6 83.56.2 44 879 4.4 87.96.4 40 919 4.0 91.96.6 32 951 3.2 95.16.8 31 982 3.1 98.27.0 18 1000 1.8 100

TOTAL 1000 4717 23970.12

Solución.

El primer paso es calcular xi fi:NOTA

xFREC. ABSOLUTA

fFREC. ABSOLUTA


FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi

1.2 1 1 0.1 0.1 1.21.4 2 3 0.2 0.3 2.81.6 3 6 0.3 0.6 4.81.8 8 14 0.8 1.4 14.42.0 14 28 1.4 2.8 282.2 18 46 1.8 4.6 39.62.4 19 65 1.9 6.5 45.62.6 22 87 2.2 8.7 57.22.8 25 112 2.5 11.2 703.0 26 138 2.6 13.8 783.2 27 165 2.7 16.5 86.43.4 31 196 3.1 19.6 105.43.6 35 231 3.5 23.1 1263.8 38 269 3.8 26.9 144.44.0 45 314 4.5 31.4 1804.2 46 360 4.6 36.0 193.24.4 48 408 4.8 40.8 211.24.6 52 460 5.2 46.0 239.24.8 58 518 5.8 51.8 278.45.0 60 578 6.0 57.8 3005.2 56 634 5.6 63.4 291.25.4 54 688 5.4 68.8 291.65.6 51 739 5.1 73.9 285.65.8 50 789 5.0 78.9 2906.0 46 835 4.6 83.5 2766.2 44 879 4.4 87.9 272.86.4 40 919 4.0 91.9 2566.6 32 951 3.2 95.1 211.26.8 31 982 3.1 98.2 210.87.0 18 1000 1.8 100 126

TOTAL 1000 4717 23970.12


Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (x i )2.NOTA

xFREC. ABSOLUTA

fFREC. ABSOLUTA


FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi xi

2

1.2 1 1 0.1 0.1 1.2 1.441.4 2 3 0.2 0.3 2.8 1.961.6 3 6 0.3 0.6 4.8 2.561.8 8 14 0.8 1.4 14.4 3.242.0 14 28 1.4 2.8 28 42.2 18 46 1.8 4.6 39.6 4.842.4 19 65 1.9 6.5 45.6 5.762.6 22 87 2.2 8.7 57.2 6.762.8 25 112 2.5 11.2 70 7.843.0 26 138 2.6 13.8 78 93.2 27 165 2.7 16.5 86.4 10.243.4 31 196 3.1 19.6 105.4 11.563.6 35 231 3.5 23.1 126 12.963.8 38 269 3.8 26.9 144.4 14.444.0 45 314 4.5 31.4 180 164.2 46 360 4.6 36.0 193.2 17.644.4 48 408 4.8 40.8 211.2 19.364.6 52 460 5.2 46.0 239.2 21.164.8 58 518 5.8 51.8 278.4 23.045.0 60 578 6.0 57.8 300 255.2 56 634 5.6 63.4 291.2 27.045.4 54 688 5.4 68.8 291.6 29.165.6 51 739 5.1 73.9 285.6 31.365.8 50 789 5.0 78.9 290 33.646.0 46 835 4.6 83.5 276 366.2 44 879 4.4 87.9 272.8 38.446.4 40 919 4.0 91.9 256 40.966.6 32 951 3.2 95.1 211.2 43.566.8 31 982 3.1 98.2 210.8 46.247.0 18 1000 1.8 100 126 49

TOTAL 1000 4717 23970.12


Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (f ixi2).

NOTA x

FREC. ABSOLUTA f

FREC. ABSOLUTA ACUMULADA

FREC. RELATIVA %

FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi xi

2 fixi2

1.2 1 1 0.1 0.1 1.2 1.44 1.441.4 2 3 0.2 0.3 2.8 1.96 3.921.6 3 6 0.3 0.6 4.8 2.56 7.681.8 8 14 0.8 1.4 14.4 3.24 25.922.0 14 28 1.4 2.8 28 4 562.2 18 46 1.8 4.6 39.6 4.84 87.122.4 19 65 1.9 6.5 45.6 5.76 109.442.6 22 87 2.2 8.7 57.2 6.76 148.722.8 25 112 2.5 11.2 70 7.84 1963.0 26 138 2.6 13.8 78 9 2343.2 27 165 2.7 16.5 86.4 10.24 276.483.4 31 196 3.1 19.6 105.4 11.56 358.363.6 35 231 3.5 23.1 126 12.96 453.63.8 38 269 3.8 26.9 144.4 14.44 548.724.0 45 314 4.5 31.4 180 16 7204.2 46 360 4.6 36.0 193.2 17.64 811.444.4 48 408 4.8 40.8 211.2 19.36 929.284.6 52 460 5.2 46.0 239.2 21.16 1100.324.8 58 518 5.8 51.8 278.4 23.04 1336.325.0 60 578 6.0 57.8 300 25 15005.2 56 634 5.6 63.4 291.2 27.04 1514.245.4 54 688 5.4 68.8 291.6 29.16 1574.645.6 51 739 5.1 73.9 285.6 31.36 1599.365.8 50 789 5.0 78.9 290 33.64 16826.0 46 835 4.6 83.5 276 36 16566.2 44 879 4.4 87.9 272.8 38.44 1691.366.4 40 919 4.0 91.9 256 40.96 1638.46.6 32 951 3.2 95.1 211.2 43.56 1393.926.8 31 982 3.1 98.2 210.8 46.24 1433.447.0 18 1000 1.8 100 126 49 882

TOTAL 1000 4717 23970.12 4717 23970.12


Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula

11

2

12

2

nn

fx

xfs

k

i

k

iii

ii

7217.11100010004717

12.239702

2

s

3121.17217.1 s

Varianza

Desviación estándar

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FUNCIONES. FUNCIÓN DEFINICIÓN: SEAN A Y B CONJUNTOS NO VACÍOS. UNA FUNCIÓN DE A EN B ES UNA RELACIÓN QUE ASIGNA A CADA ELEMENTO X DEL CONJUNTO A UNO Y