FUNÇÕESEm muitas situações práticas o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda quantidade. As funções surgem quando uma quantidade depende da outra.

Por exemplo:  a poluição atmosférica numa área metropolitana depende do número de carros na rua ( ou do número de indústrias na cidade ); o salário de uma pessoa depende do número de horas trabalhada (ou da qualificação da pessoa, ou ainda do tipo de trabalho desenvolvido pela pessoa ); o valor de uma garrafa de vinho depende da sua idade ( ou da uva utilizada, ou da região de procedência ); demanda do consumidor por carne depende do seu preço de mercado; a população humana mundial P depende do tempo t; o custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso p; a área A de um círculo depende de seu raio r.

A lei que conecta r e A é dada pela equação

A =π r2 .

Suponha que um automóvel percorra um trecho AB de uma estrada a uma velocidade constante de 80 km/h.

Consideremos A como ponto de partida e associemos a ele a marca 0 km.

A cada ponto P, do trecho AB, associemos a marca dd km, que indica a distância de P até A, medida ao longo da trajetória.

Que distância terá percorrido o automóvel após duas horas da partida? Resposta:

Sendo a velocidade constante e de 80 km/h, após 2 horas o automóvel terá percorrido a distância de: d = 80 . 2 = 160 km/h

Raciocinando de maneira análoga, podemos construir a tabela:Raciocinando de maneira análoga, podemos construir a tabela:

t ( horas ) d ( km )

2 160

3 240

4 320

t ...

Note que para cada valor de t associamos um único valor de d. Por isso dizemos que a distância d é dada em função do tempo t (d = d(t) = f(t) ) e podemos expressá-la pela seguinte equação:

d = 80 t.

Se conhecermos a distância de B até A, por exemplo 400 km, podemos determinar o tempo necessário para o automóvel percorrer o trecho AB, basta fazermos d = 400 km e teremos

400 = 80 t.

Observe que agora temos t = t(d) = f(d)

logo t = 5 horas

Da mesma forma como relacionamos as grandezas d e t, podemos relacionar muitas outras grandezas.

Em chamadas telefônicas, podemos relacionar o tempo de conversação à quantidade de pulsos a serem cobrados, e registrar numa tabela

Observe que para cada tempo de conversação corresponde uma única quantidade de pulsos, ou seja a quantidade de pulsos é função do tempo de conversação, Q = Q(t) = f(t).

Porém o contrário não ocorre: com o nº de pulsos não se pode precisar o tempo de conversação, uma vez que existe mais de uma possibilidade para o tempo.

Então o tempo não é função da quantidade de pulsos.

Tempo (min)Tempo (min) 11 22 33 44 55 66 77 88 99 ......

Quantidade de Quantidade de pulsospulsos

22 22 22 22 33 33 33 33 44 ......

Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte forma: R$ 5,00 a bandeirada mais R$ 1,20 por

quilômetro rodado.

a) Pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas? Em caso positivo, quais seriam as

variáveis dependente e independente dessa função?

b)Qual lei definiria essa função?

Solução

a) Sim podemos estabelecer uma função

X = independente

Y=dependente

b) f(x)= 1,20x + 5,00

Imagem – Valor da função num ponto

Observe o gráfico de uma função y = f(x).

Cada ponto (x,y) do gráfico de f deve ser interpretado como (x,f(x)) , ou seja, a ordenada é a imagem da abscissa por meio da f.

Por exemplo, o ponto P(5,4) pertence ao gráfico, portanto f(5) = 4

De modo análogo:

(-6,-5) é ponto do gráfico; logo f(-6) = -5

(-2,0) é ponto do gráfico; logo f(-2) = 0

(2,3) é ponto do gráfico; logo f(2) = 3

Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte forma: R$ 5,00 a bandeirada mais R$ 1,20 por quilômetro rodado. Pergunta:

a) pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas?

b) Em caso afirmativo, quais seriam as variáveis (dependentes e independentes) dessa função?

c) Qual lei matemática definiria essa função?