1

Funções de Várias Variáveis

Função de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D um único valor real denotado por f(x, y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, { }Dyxyxf ∈),/(),( . Freqüentemente escrevemos ),( yxfz = para tornar explícitos os valores tomados por f num ponto genérico. As variáveis x e y são variáveis independentes, e z a variável dependente; Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de 2ℜ e cuja imagem é um subconjunto de ℜ . Uma maneira de visualizar tal função é pelo diagrama de flechas, onde o domínio D é representado como um subconjunto do plano x y. Se a função f é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido como domínio de f o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a expressão dada fornece um número real bem definido. Exemplos:

1) Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,2).

a) 1

1),(

−

++=

x

yxyxf

b) )ln(),( 2

xyxyxf −=

2

2) Determine o domínio e a imagem de 229),( yxyxg −−= .

Gráficos: Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em 3ℜ tal que ),( yxfz = e (x, y) pertençam a D.. Exemplos:

1) Esboce o gráfico da função yxyxf 236),( −−= .

2) Desenhe o gráfico de 229),( yxyxg −−= .

3

3) Determine o domínio e a imagem de 224),( yxyxh += . A figura abaixo mostra uma série de gráficos de diversas funções, gerados por computador.

22

)3(),( 22 yxeyxyxf

−−+=

yxyxf sensen),( +=

xy

yxyxf

sensen),( =

4

Funções com três variáveis: Uma função com três variáveis, f, é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x, y, z) em um domínio 3ℜ⊂D um único número real denotado por ),,( zyxf . É muito difícil visualizar uma função de três variáveis por seu gráfico, uma vez que teríamos de estar em um espaço de quatro dimensões. Entretanto ganhamos algum conhecimento de f desenhando suas curvas de nível, que são as superfícies com equação kzyxf =),,( onde k é uma constante. Se um ponto (x, y, z) se move ao longo de uma superfície de nível, o valor de

),,( zyxf permanece fixo. Exemplo: Determine o domínio de zxyyzzyxf sen)ln(),,( +−= . Curvas de nível: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação kyxf =),( , onde k é uma constante (no domínio de f). Uma curva de nível kyxf =),( é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, mostra onde o gráfico f tem altura k. Na figura abaixo você pode ver a relação entre curvas de nível e os traços horizontais. As curvas de nível kyxf =),( são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal kz = projetado sobre o plano x y. Se você traçar as curvas de nível da função e visualizá-las elevadas para a superfície na altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas informações juntas. A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras. Ela é mais ou menos plana onde as curvas de nível estão distantes uma das outras.

5

Exemplos: 1) Esboce o gráfico das curvas de nível da função yxyxf 236),( −−= para os valores

.12,6,0,6−=k

2) Esboce o gráfico das curvas de nível da função 229),( yxyxg −−= .

3) Esboce algumas curvas de nível da função 224),( yxyxh += .

A figura abaixo mostra algumas curvas de nível geradas por computador juntamente com os gráficos correspondentes.

22

),( yxxyeyxf

−−−=

6

1

3),(

22 ++

−=

yx

yyxf

As curvas de nível são utilizadas para a elaboração de MAPAS TOPOGRÁFICOS e MAPAS DE CONTORNO. Por exemplo, suponhamos que ),( yxf represente a elevação (em

metros) em um ponto ( )yx, de latitude x e longitude y. Na colina da figura esboçamos (em três dimensões) correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 300 e 400 metros. Podemos encarar essas curvas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em fatias paralelas à base. Uma pessoa caminhando ao longo de uma dessas curvas permaneceria sempre na mesma elevação. Já a outra figura exibe as curvas de nível (bidimensionais) correspondentes às mesmas elevações. Elas representam a visão que teríamos olhando para a colina de um avião acima dela.

Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade da água em um lago. Um exemplo é o da figura abaixo, em que

),( yxf é a profundidade da água no ponto ( )yx, . Esse mapa informa as partes do lago que devem ser evitadas por esquiadores aquáticos.

7

Como outra ilustração das curvas de nível, a figura a seguir exibe um mapa meteorológico dos Estados Unidos, em que ),( yxf denota a temperatura

elevada em ( )yx, durante certo dia. Ao longo das curvas e do nível, chamadas curvas isotérmicas, a temperatura é constante. Em outro mapa meteorológico ),( yxf representaria a pressão

barométrica em ( )yx, ; as curvas de nível neste caso seriam chamadas isobáricas. Se f é uma função de três variáveis x, y e z, então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de

kzyxf =),,( para valores convenientes de k. Fazendo

210 ,, wwwk = , os gráficos resultantes serão superfícies

210 ,, SSS , ilustradas na figura. A função ),,( zyxf não se

altera quando um ponto ),,( zyx se move ao longo de uma dessas superfícies. Se ),,( zyxf é a temperatura em ),,( zyx , as superfícies de nível são superfícies isotérmicas, e a temperatura é constante em cada superfície. Se ),,( zyxf representa o potencial elétrico, as superfícies de nível são superfícies equipotenciais, e a voltagem não se altera se

),,( zyx permanece em uma dessas superfícies. Exemplo: Determine as curvas de superfície da função

222),,( zyxzyxf ++= .

8

Derivadas Parciais Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções xf e yf

definidas por

h

yxfhyxfyxf

h

yxfyhxfyxf

hy

hx

),(),(lim),(

),(),(lim),(

0

0

−+=

−+=

→

→

.

Notações para Derivadas Parciais: Se ),( yxfz = , escrevemos:

fDfDfy

zyxf

yy

ffyxf

fDfDfx

zyxf

xx

ffyxf

yyy

xxx

===∂

∂=

∂

∂=

∂

∂==

===∂

∂=

∂

∂=

∂

∂==

22

11

),(),(

),(),(

.

Regra para determinar a derivada parcial de ),( yxfz = :

1) Para achar xf , olhe y como uma constante e diferencie ),( yxf com relação a x.

2) Para achar yf , olhe x como uma constante e diferencie ),( yxf com relação a y.

Exemplo: Se 2323 2),( yyxxyxf −+= , determine )1,2(xf e )1,2(yf .

Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, lembremos que a equação ),( yxfz = representa a superfície S (o gráfico de f). Se cbaf =),( , então o ponto

),,( cbaP pertence a S. Fixando by = , restringimos a nossa atenção à curva 1C na qual o plano

vertical by = intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical ax = intercepta S na curva 2C . As

curvas 1C e 2C passam pelo ponto P.

9

As derivadas parciais ),( baf x e ),( baf y podem ser interpretadas geometricamente como

as inclinações das retas tangentes em ),,( cbaP aos traços 1C e 2C de S nos planos by = e ax = .

Se ),( yxfz = , então x

z

∂

∂ representa a taxa de variação de z com relação a x quando y é

mantido fixo. Da mesma forma, y

z

∂

∂ representa a taxa de variação de z em relação a y quando

x é mantido fixo. Exemplos: 1) Se 22 24),( yxyxf −−= , ache )1,1(xf e )1,1(yf e interprete esses números como

inclinações.

2) Se

+=

y

xyxf

1sen),( , calcule

x

f

∂

∂ e

y

f

∂

∂.

10

3) Determine x

z

∂

∂ e

y

z

∂

∂ se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela

equação 16333 =+++ xyzzyx .

Função de mais do que duas variáveis: Derivadas parciais podem ser definidas para funções de três ou mais variáveis.

h

zyxfhzyxfzyxf

h

zyxfzhyxfzyxf

h

zyxfzyhxfzyxf

hz

hy

hx

),,(),,(lim),,(

),,(),,(lim),,(

),,(),,(lim),,(

0

0

0

−+=

−+=

−+=

→

→

→

.

Se u é uma função de n variáveis, ),..,,( 21 nxxxu = , sua derivada parcial em relação a sua

i-ésima variável é: ( )

h

xxxfxxhxxxf

x

u niniii

hi

),...,,...,(,...,,,,...,lim 1111

0

−+=

∂

∂ +−

→ e podemos escrever

fDffx

f

x

uiix

iii

===∂

∂=

∂

∂.

Exemplo: Determine zyx fff ,, se zezyxfxy ln),,( = .

11

Derivadas de maior ordem: Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais xf e

yf são funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas

parciais ( ) ( ) ( ) ( )yyxyyxxx ffff ,,, , chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se

),( yxfz = temos as seguintes notações:

( )2

2

2

2

11x

z

x

f

x

f

xfff xxxx

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

∂

∂===

( )xy

z

xy

f

x

f

yfff xyyx

∂∂

∂=

∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂===

22

12

( )yx

z

yx

f

y

f

xfff yxxy

∂∂

∂=

∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂===

22

21

( )2

2

2

2

22y

z

y

f

y

f

yfff yyyy

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

∂

∂===

Portanto a notação )(2

xy

fouf xy

∂∂

∂ significa que primeiro derivamos com relação a x e depois em

relação a y, ao passo que no cálculo de yxf ordem é invertida.

Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de ( ) 2323 2, yyxxyxf −+= . As derivadas parciais mistas yxxy ff , são iguais para a maioria das funções que encontramos na

prática. (Teorema de Clairaut: se as funções yxxy ff , forem ambas contínuas em D, então

yxxy ff = ).

As derivadas parciais de ordem três ou maior também podem ser definidas. Por exemplo,

xy

f

xy

f

yff yxyxyy

∂∂

∂=

∂∂

∂

∂

∂==

2

32

)( e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que

yyxyxyxyy fff == se essas funções forem contínuas.

Exemplo: Calcule xxyzf se )3sen(),,( yzxzyxf += .

12

Equações Diferenciais Parciais: Derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem algumas leis físicas.

Por exemplo, a equação diferencial parcial 02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

u

x

ué chamada equação de Laplace em

homenagem a Pierre Laplace. Soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Exemplo: Mostre que a função yeyxu

x sen),( = é solução da equação de Laplace.

A equação da onda 2

22

2

2

x

ua

t

u

∂

∂=

∂

∂ descreve o movimento de uma onda, que pode ser uma onda

domar, uma onda de som, uma onda luminosa ou uma onda se movendo numa corda vibrante. Por exemplo, se ),( txu representa o deslocamento da corda de violino no instante t e a distância x de um dos términos da corda vibrante, então ),( txu satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada na corda. Exemplo: Verifique que a função )sen(),( atxtxu −= satisfaz a equação da onda.

Regra da Cadeia 1º caso: Suponha que ),( yxfz = seja uma função diferenciável de x e y, onde )(tgx = e

)(thy = são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

∂

∂+

∂

∂= .

Exemplos:

1) Se 42 3xyyxz += , onde tx 2sen= e ty cos= , determine dt

dz quando t = 0.

13

2) A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (em Kelvins) de um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula TPV 31,8= . Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é de 300 K e está aumentando com taxa de variação de 0,1K/s e o volume é de 100 l e está aumentando com a taxa de 0,2 l/s.

2° caso: Suponha que ),( yxfz = seja uma função diferenciável de x e y, onde ),( tsgx = e

),( tshy = são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de s e de t. Então.

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

.

Exemplo: Se yezx sen= , onde 2stx = tsy

2= , determine t

z

s

z

∂

∂

∂

∂, .

Versão Geral: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis nxxx ,..,,. 21 , onde

cada jx é uma função diferenciável de m variáveis mttt ,...,, 21 e

i

n

niii t

x

x

u

t

x

x

u

t

x

x

u

t

u

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂...2

2

1

1

para cada i = 1, 2,..., m.

Exemplos:

1) Escreva a regra da cadeia para o caso onde ),(),,(),,(),,(),,,,( vuttvuzzvuyyvuxxtzyxfw ===== .

14

2) Se 324 zyyxu += , onde tsrzersyrsex tt sen,, 22 === − , determine o valor de s

u

∂

∂

quando r = 2, s = 1, t = 0.

3) Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e rsysrx 2,22 =+= determine:

a) r

z

∂

∂

b) 2

2

r

z

∂

∂

15

Diferenciação Implícita Teorema da Função Implícita:

y

x

F

F

y

Fx

F

dx

dy−=

∂

∂∂

∂

−=

Exemplo: Determine y’ se xyyx 633 =+ . Teorema da Função Implícita:

z

Fx

F

x

z

∂

∂∂

∂

−=∂

∂ e

z

F

y

F

y

z

∂

∂

∂

∂

−=∂

∂

Exemplo: Determine y

z

x

z

∂

∂

∂

∂; se 16333 =+++ xyzzyx .

16

Lista de Exercícios – Funções de Várias Variáveis

1) Determine e faça o esboço do domínio da função.

222

2

2

22

222

2

22

22

25),,()

),()

1),()

)1ln(),()

1),,()

),()

4

53),()

)99ln(),()

),()

zyxzyxfi

xeyxfh

yxyxfg

yxyxff

zyxzyxfe

yxxyyxfd

yx

yxyxfc

yxyxfb

yxyxfa

y

−−−=

=

−=

−−=

−−−=

+=

−+

+=

−−=

+=

+−

2) Seja 3),( xyxyxf += . Determine:

),()

)4,2()

),()

2

2

2

xxfc

yyfb

ttfa

3) Determine ))(),(( xhxgF se 13)(,)(,),( 3 +=== yxhxxgxeyxF

xy .

4) Sejam ttyttxyeyxgx =+== − )(),1ln()(,),( 23 . Determine ))(),(( tytxg .

5) Determine )),,(),,,(),,,(( zyxwzyxvzyxug se

( )z

xyzyxwzyxzyxvzxzyxuzsenxyzyxg ==== ),,(,,,,),,(,),,( 32 π .

Lista de Exercícios – Derivadas Parciais 1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

1. 423),( yxyxf −=

2. 4235 33),( xyyxxyxf ++=

3. yxez

3= 4. xyz ln=

5. yx

yxyxf

+

−=),(

6. yxyxf =),(

7. βα cossen=w

17

8. 22

2

),(ts

sttsf

+=

9. xt

etxfsen),( =

10. ( )22ln yxxz ++=

11. yzzxyzyxf 3),,( 32 +=

12. zyexzyxf

2),,( = 13. )32ln( zyxw ++=

14. θsentxeu

−=

15. tz

yxtzyxf

−

−=),,,(

2) Determine as derivadas parciais indicadas.

a) )4,3(;),( 22xfyxyxf +=

b) )1,2,3(;),,( zfzy

xzyxf

+=

3) Use a definição de derivadas parciais como limites para achar ),();,( yxfyxf yx .

a) 22 2),( yxyxyxf +−=

b) yxyxf −= 3),(

4) Use diferenciação implícita para determinar y

z

x

z

∂

∂

∂

∂, .

a) xzyzxy =+ b) )cos( zyxxyz ++=

c) )(2222zyxzyx +=−+

d) zyxzyxzxy ++=+ 2332

5) Determine as derivadas parciais de segunda ordem: a) 324 3),( yxxyxf −=

b) yx

xz

+=

c) )53ln(),( yxyxf +=

d) teus sen−=

18

6) Verifique se as conclusões do Teorema de Clairaut são verdadeiras, isto é, se yxxy uu = .

a) 23245 23 xyxyxu +−=

b) 22ln yxu +=

7) Determine as derivadas parciais indicadas:

2

3

332

2

3

23445

432

);sen(ln)

);32ln()

;sen)

;),,()

;2),()

xy

zyxze

zyx

uzyxud

xy

zyxzc

fyzzyxxzyxfb

fyxyxyxfa

xyz

xxx

∂∂

∂−=

∂∂∂

∂++=

∂∂

∂=

++=

−=

8) Verifique se a função kxeutk sen

22α−= é solução da equação de condução do calor

xxt uu2α= .

9) Verifique se a função 222/1 zyxu ++= é solução da equação de Laplace

0=++ zzyyxx uuu .

10) Mostre que a função xyyexez += é uma solução da equação

yx

zy

yx

zx

y

z

x

z

∂∂

∂+

∂∂

∂=

∂

∂+

∂

∂2

3

2

3

3

3

3

3

11) A resistência total R produzida por três condutores com resistência 321, RRR conectados em

paralelo num circuito elétrico é dada pela fórmula 321

1111

RRRR++= . Determine

1R

R

∂

∂.

12) A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e

volume V é PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que 1.. −=∂

∂

∂

∂

∂

∂

P

T

T

V

V

P

13) A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é 2

2

1mvK = . Mostre que

Kv

K

m

K=

∂

∂

∂

∂2

2

. .

14) A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal é dada por )1/(60),( 22

yxyxT ++= , onde T é medido em °C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em

a) a direção do eixo x; b) a direção do eixo y.