D e f i n i ţ i e. Fiind date două mulţimi nevide, A si B, şi o lege de corespondenţă (de asociere) f, care face ca fiecărui element x din A să-i corepundă un unic element y din B, spunem că am definit o funcţie pe A cu valori in B şi scriem f:AB.

Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei.

Elementele din multimea A se numesc argumente ale functiei.Multimea B se numeste multimea in care functia ia valori sau codomeniul functiei.Elementele din multimea B se numesc valori sau imagini

Daca yB este acel unic element asociat lui xA prin legea f, scriem y = f(x) si citim ,,f de x este y”.

.

DEFINIREA FUNCŢIILOR PRIN DIAGRAME

A B

1•3•

8•

•18

•11

•13

Daca ne uitam cu atentie la elementele din cele doua multimi, vom observa ca exista o legatura, o asociere dintre aceste elemente.

Se observa ca fiecare element din A daca se mareste cu 10, se obtine un singur element din B.

Putem spune ca daca avem xA atunci (x+10)B.x• •x+10

Putem spune ca am descoperit si legea de corespondenta: f(x) = x+10. .

.

DEFINIREA FUNCŢIILOR PRIN TABELE DE VALORIDaca avem f:AB, unde A={0; 2; 4; 6; 10}, precizati printr-un tabel de valori, si apoi printr-o diagrama, minimul de elemente din multimea B, cu f(x) = 2x+1.

0 2 4 6 10

1 5 9 13 21 x y

Cum se calculeaza valorile lui y in functie de x:

f(0) = 20 + 1 = 1f(2) = 22 + 1 = 5f(4) = 24 + 1 = 9f(6) = 26 + 1 = 13f(10) = 210 + 1 = 21

A B

0•2•4•

6•10•

•1

•9•13•5

•21

.

REPREZENTAREA GRAFICĂ A UNEI FUNCŢII LINIARE

In cazul in care domeniul de definitie este o multime discreta

Reprezentati intr-un sistem ortogonal xOy, functia f:{2; 3; 5; 8}R, unde f(x) = 2x–3.

Rezolvare:

f(2) = 22-3 = 1 A(2;1)

f(3) = 23-3 = 3 B(3;3)

f(5) = 25-3 = 7 C(5;7)

f(8) = 28-3 = 13 D(8;13)

O

x

y

2

1

3

3

5

7

8

13

A

B

C

D

Graficul este o multime de puncte colineare.

.

REPREZENTAREA GRAFICĂ A UNEI FUNCŢII LINIARE

In cazul in care domeniul de definitie este un interval

marginit la ambele extreme.

Reprezentati intr-un sistem ortogonal xOy, functia f:[-2;4)R, unde f(x) = 2x–3.

Rezolvare:

f(-2) = 2(-2)-3 =-7 A(-2;-7)

f(4) = 24-3 = 5 B(4;5)

O

x

y

-2

-7

4

5

A(-2;-7)

B(4;5)

Graficul este un segment de dreapta.

REPREZENTAREA GRAFICĂ A UNEI FUNCŢII LINIARE

In cazul in care domeniul de definitie este un interval marginit la o extrema si

nemarginit la cealalta extrema

Reprezentati intr-un sistem ortogonal xOy, functia f:[-2;+)R, unde f(x) = -2x+3.

Rezolvare:

f(-2) = -2(-2)+3 =7 A(-2;7)

f(1) = -21+3 = 1 B(1;1)

O

x

y

-2

7A(-2;7)

1

1B(1;1)

Graficul este o semidreapta cu originea in A..

.

REPREZENTAREA GRAFICĂ A UNEI FUNCŢII LINIARE

In cazul in care domeniul de definitie este multimea

numerelor reale, R.

Reprezentati intr-un sistem ortogonal xOy, functia f:RR, unde f(x) =3x+6.

Rezolvare:

De data aceasta vom afla punctele unde graficul lui f taie cele doua axe.x=0, f(0)=30+6=6A(0;6)Oy.

f=0, 3x+6=0x = –2B(-2;0)Ox.

O x

y

6A(0;6)

-2

B(-2;0)

Graficul este o dreapta ce trece prin A si B.

CUM AFLĂM PUNCTUL DE INTERSECŢIE AL GRAFICELOR A DOUĂ FUNCŢII?

Fie functiile f,g:RR, unde f(x)=3x+7 si g(x)=x+11.

Pentru a afla coordonatele punctului de intersectie al graficelor celor

doua functii, vom rezolva ecuatia: f(x) = g(x).

3x + 7 = x + 11

3x – x = 11 – 72x = 4x = 2

Pentru x = 2, f(2) = g(2) = 13.

Rezulta ca coordonatele punctului de intersectie al graficelor celor

doua functii sunt x=2 si y=13 I(2;13).

.

.

DETERMINAREA FUNCŢIILOR DE FORMA f(x) = ax + b

Cazul in care se cunoaste unul din coeficientii functiei, a sau b, sicoordonatele unui punct de pe graficul functiei date.

Exemplu: f(x) = 3x + b si A(2;10)Gf.

Din coordonatele punctului A(2;10) rezulta f(2) = 10.

Dar f(2) = 32 + b = 10 6 + b = 10 b = 4.

Asadar functia cautata este: f(x) = 3x + 4.

.

DETERMINAREA FUNCŢIILOR DE FORMA f(x) = ax + b

Cazul in care nu se cunosc coeficientii functiei dar se cunosccoordonatele a doua puncte ce apartin graficului functiei.

Exemplu: f(x) = ax + b cu A(2;9)Gf si B(-3;-1)Gf.

Din coordonatele punctului A(2;9) rezulta f(2) = 9.

Dar f(2) = 2a + b = 9 2a + b = 9.

Asadar functia cautata este: f(x) = 2x +5.

Din coordonatele punctului B(-3;-1)) rezulta f(-3) = -1.Dar f(-3) = -3a + b = -1 -3a + b = -1.

In urma rezolvarii sistemului de ecuatii:

13

92

ba

ba

obtinem a = 2 si b = 5.