Funcţii surjectivef : A B

Definiţia I: f este o funcţie surjectivă, dacă oricare ar fi y B, ( ) x A, ∈ ∃ ∈astfel încât: f(x)= y.

Definiţia a II-a: f este o funcţie surjectivă dacă Imf = B, adică Im f coincide cu codomeniul B.

Definiţia a III-a: f este o funcţie surjectivă dacă orice paralelă dusă la axa Ox prin puncte ale codomeniului intersectează graficul în cel puţin un punct.

Definiţia a IV-a: f nu este funcţie surjectivă dacă ( )y B, astfel încât ∃ ∈ oricare ar fi x A, f(x)∈ ≠y.

Exerciţiul nr. 1

Fie A o mulţime finită cu cel puţin 2 elemente și f:A A o funcţie astfel ca oricare ar fi x, y A, x y. Demonstraţi că f nu este surjectivă.

Demonstraţie:Fie A= , cu .Presupunem, prin

reducere la absurd, că f este surjectivă. Atunci i,j astfel încât f . și f( Considerăm mulţimea M=

Atunci, max M=Dar =Din (1) și (2)

contradicţie.

Exerciţiul nr. 2Fie f: o funcţie injectivă și f(x)f(1-x)=f(ax+b), oricare ar fi x .Să se

arate că:a) a=0; b) f(1-b)=1; c) f nu este surjectivă.

Demonstraţie:

d) Pentru x=0 obţinem f(0) f(1)=f(b). Pentru x=1 obţinem f(1) f(0)=f(a+b), deci f(b)=f(a+b). Cum f este injectivă, avem a=0.

e) Deci f(x) f(1-x)=f(b). Dacă f(b) ar fi 0, atunci pentru o infinitate de valori ale lui x, f(x) sau f(1-x) trebuie să fie 0, deci f s-ar anula într-o infinitate de puncte, absurd, deoarece f este injectivă. Deci f(b) 0. f(b) f(1-b)=f(b)f(1-b)=1.

c) Presupunem prin absurd că f este surjectivă, deci există u astfel încât f(u)=0. Atunci 0=f(u) f(1-u) =f(b), absurd. Deci f nu este surjectivă.

Exerciţiul nr. 3Să se arate că funcţia f: ,f =z+2 este surjectivă.

Demonstraţie:Trebuie să demonstrăm că Z , astfel încăt f( ) =z.

Dacă z C rezultă că z=a+bi unde a,b R și pentru că z1 rezultă că z1=a1+b1i unde a1,b1 R.

f + i) =a+bi (1)f + i)=a1+ib1+2(a1-ib1)

= a1+ib1+2 a1-2ib1

=3a1-ib1 (2)

Din(1) și (2) rezultă că 3a1-ib1=a+bi =>

a+bi C -bi C astfel încât f = a+bi.

z1

Din unicitatea acestei soluţii putem deduce că funcţia este chiar bijectivă, deci putem să-i aflăm și inversa.

Știind că Re z = și Im z= i – bi = - i =

=

Deci

Profesor : Petre MonicaLiceul Pedagogic Tulcea