fundamentosdeelectromagnetismo.files.wordpress.com · 2012. 1. 30. · Indice general Prefacio I 1. Modelos At omicos1 2. Electrost atica5 2.1. Campo el ectrico. . . . . . . .

Notas de ClaseFundamentos de Electricidad y Magnetismo

Universidad Nacional de Colombia

Isaac ZaineaCristian Bonilla

Laura Gutierrez

Juan Esteban Garćıa

Índice general

Prefacio I

1. Modelos Atómicos 1

2. Electrostática 52.1. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Carga Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3. Campo Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4. Cargas Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Divergencia y rotacional de los campos eléctricos . . . . . . . . . . . . 202.2.1. Divergencia de un campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2. Rotacional de un campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Potencial Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1. Ĺıneas Equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Trabajo y Enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Campos eléctricos en la materia 32

4. Circuitos 364.1. La ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2. Efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1. Aplicaciones del Efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Clasificación de los Circuitos según el tipo de corriente . . . . . . . . 42

4.3.1. Ventajas de AC respecto a DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5. Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2

ÍNDICE GENERAL 3

4.6. Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Magnetostática 495.1. Campo magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1. Fuerzas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.2. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.3. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.4. Ĺıneas de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2. Divergencia y rotacional de los campos magnéticos . . . . . . . . . . 615.2.1. Aplicaciones de la Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3. El potencial vector magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6. Campos magnéticos en la materia-magnetización 726.1. El campo auxiliar H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2. Permeabilidad y susceptibilidad magnéticas . . . . . . . . . . . . . . 756.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7. Electrodinámica 777.1. Electrodinámica y Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2. Inducción Electromagnética. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . 797.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.4. Enerǵıa en el campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.6. Ecuaciones de Maxwell en la Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.7. Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.8. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 ÍNDICE GENERAL

Prefacio

Queda a disposición del profesor.

i

ii PREFACIO

Caṕıtulo 1

Modelos Atómicos

La evolución de la teoŕıa de las part́ıculas fundamentales que constituyen la materia y queconocemos como átomos viene desde tiempos de los griegos cuando en el año 400 A.C. elfilósofo Demócrito consideró que todo lo conocido como materia estaba conformado porpequeñas part́ıculas indivisibles. En tiempos de Newton el átomo era imaginado como unaesfera ŕıgida incapaz de fragmentarse; si bien este modelo propuesto por Dalton en 1808 seajustaba a la teoŕıa cinética de los gases, no explicaba las propiedades eléctricas de algunosmateriales, por esta razón, se hizo necesario diseñar nuevos modelos atómicos enfocados aexplicar su comportamiento eléctrico ya detectado en experimentos. Fue Thomson uno delos primeros en remodelar la estructura atómica. Desde entonces se han diseñado, revisado,corregido y ajustado modelos atómicos cada vez más precisos y reales a lo largo de lahistoria, conforme avanza la construcción de sofisticados equipos para experimentación aescala atómica. En la actualidad ésta labor de modelación aún continúa. Veamos algunosde los modelos atómicos más relevantes

Modelo atómico de J.J. Thomson

En 1898 Thomson propuso un modelo que describe el átomo como una región en lacual una carga positiva está dispersa en el espacio con electrones incrustados en todala región, en forma muy similar a las semillas dentro de una sand́ıa o a las pasasdentro de un pan 1

Modelo atómico de E. Rutherford

En 1911 el experimento de Rutherford que consistió en producir un choque de part́ıcu-las alfa con carga positiva (núcleos de Helio) contra una delgada placa metálica. Al

1Serway, Jewett. F́ısica para ciencias e ingenieŕıa, Vol. 2. Séptima edición. Cengage LearningEditors. México 2009, p. 1218-1219

1

2 CAPÍTULO 1. MODELOS ATÓMICOS

Figura 1.1: Modelo atómico de J.J. Thomson

ver que no todas las part́ıculas que compońıan el haz atravesaron la placa y queincluso se presentaban deflexiones pronunciadas de algunas de las part́ıculas alfa,Rutherford descubrió que algo andaba mal con el modelo de Thomson, pues si estefuera correcto los rayos alfa hubiesen atravesado la lámina sin ninguna desviacióndebido a la elevada masa de la carga positiva en el supuesto modelo. Es aśı comoRutherford planteó un nuevo modelo similar a un pequeño sistema solar que consist́ıaen un núcleo cargado positivamente concentrado en una pequeña porción central delátomo y girando a su alrededor describiendo trayectorias orbitales se encontrabanlos electrones alejados de la carga positiva, a diferencia del átomo de Thomson.

Figura 1.2: Modelo atómico de E. Rutherford

3

Modelo atómico de N. Bohr

El modelo atómico de Rutherford presentaba algunas imperfecciones o graves erroresde tipo cuántico. Por un lado, el átomo de Rutherford no era capaz de explicar la ab-sorción y emisión de radiación electromagnética y en segunda instancia, los electronesestaban sometidos a una aceleración centŕıpeta que de acuerdo con la teoŕıa electro-magnética de Maxwell, conllevaŕıa a una inminente autodestrucción del átomo. Paraevitar estos inconvenientes, Bohr en 1913 combinó la teoŕıa cuántica de Planck, elconcepto de Einstein del Fotón, el modelo planetario de Rutherford del átomo y lamecánica newtoniana para llegar a un nuevo modelo del átomo de Hidrógeno basadoen los niveles orbitales de enerǵıa en los que pueden moverse los electrones 2

Figura 1.3: Modelo atómico de N. Bohr

Modelo atómico de E. Schrödinger

Los postulados de Bohr explicaron cuantitativamente los espectros de absorción yemisión del Hidrógeno, pero sus predicciones para los otros elementos eran erradas.Experimentos con sofisticados espectrofotómetros mostraron órbitas finas cercanasa las ya definidas por Bohr, por tanto, su modelo estaba incompleto, es aqúı cuan-do Erwin Schrödinger en 1925 desarrolla un nuevo modelo de átomo con base en laecuación de onda considerando su comportamiento dual de onda y part́ıcula que haceimposible conocer la enerǵıa y posición exacta de un electrón. Pero Schrödinger fuecapaz de determinar con exactitud la enerǵıa y posición en zonas de probabilidad,a las que llamó orbitales atómicos. El electrón entonces queda caracterizado por su

2Íbid

4 CAPÍTULO 1. MODELOS ATÓMICOS

enerǵıa, la zona donde es probable encontrarlo, la orientación de esta zona y el giroimaginario que posee en torno a su eje. Estas propiedades del electrón son solucionesde la ecuación de onda que originan 4 números cuánticos (principal, orbital, magnéti-co y esṕın) a diferencia del modelo atómico de Bohr cuyo único número cuántico esel principal3

Figura 1.4: Modelo atómico de E. Schrödinger

Modelo atómico de Dirac-Jordan

Este modelo añade al de Schrödinger una nueva part́ıcula atómica: el positrón, queresuelve la paradoja cuántica que considera que la relación entre ondas y part́ıculasno es exclusiva de la luz, sino que también aplica para las part́ıculas materiales 4. Elpositrón es un electrón con carga positiva descubierto en 1932 por David Anderson.La interacción con el electrón puede resultar en la aniquilación de ambos, con lo queproduce un par de fotones cuya enerǵıa es igual a la masa del par electrón-positrón.Esta propiedad define al positrón como la antipart́ıcula asociada al electrón. Losprimeros indicios de la existencia del positrón surgieron del esfuerzo teórico de PaulDirac por deducir la estructura electrónica y cuántica del átomo 5

3Larrian, Morcelli. Qúımica General. Editorial Juŕıdica de Chile. 1950, p. 3894K. Othmer. Enciclopedia de Tecnoloǵıa Qúımica. Editorial John Wiley-Interscience5http:bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/068/htm/sec-10.htm (Visi-

tada el 21 de Ene. de 2012)

Caṕıtulo 2

Electrostática

En este caṕıtulo abordaremos los principios básicos de la f́ısica electromagnética. En primerlugar introduciremos el concepto de carga y luego, estableciendo una ley que relacione lasfuerzas entre cargas (Ley de Coulomb), enunciaremos el concepto de Campo Eléctrico. Porúltimo estableceremos la ley de Gauss que será una importante herramienta en el desarrollode nuestro contenido.

2.1. Campo eléctrico

2.1.1. Carga Eléctrica

Desde la infancia conocemos cómo pegar papelitos en una peinilla, incréıblemente despuésde frotarla en nuestro pelo los papeles que se acercan a esta improvisada barita se peganimpulsados por una magia alucinante. Es un hecho insólito para nuestra vida de niños yalgunos creemos que esta es una de esas manifestaciones mágicas que todo ser humano tienederecho a conocer pero que, a su vez, revela la existencia de un mundo lleno de secretosque muy pocos conocen.

En unos años aprendemos que al frotar estamos cargando los materiales y más tarde,conociendo un poco de f́ısica moderna, sabemos que cargar un material es el resultado demover unas de las part́ıculas que forman la materia (electrones) de un lado al otro.

Este hecho de fantaśıa para niños revela una propiedad fundamental de la materia, lacarga. Las part́ıculas elementales que conforman la materia son los protones, los neutronesy los electrones. Dos de ellas se encuentran cargadas: los protones (cargas positivas) y loselectrones (cargas negativas). En la mayoŕıa de ocasiones tendremos que la cantidad decargas positivas es igual al de cargas negativas. Aśı, el fenómeno del que la mayoŕıa de

5

6 CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA

nosotros es testigo es en el cual inducimos a que unos electrones del pelo se transportena la peinilla provocando una descompensación de cargas que originaŕıan el movimiento delos papeles.

Por lo tanto a nivel macroscópico diremos que un material está cargado cuando tengauna descompensación de cargas, o bien un exceso de electrones o una escasez de éstos.Solo pensamos en el movimiento de los electrones puesto que son las part́ıculas que seencuentran en la periferia del átomo ¡Es muy complicado mover los protones! Mediremosesa descompensación con el valor de la carga y en el desarrollo de este escrito ese valorse denotara con la letra q. Cuando tengamos un exceso de electrones el valor de la cargaserá negativo y cuando haya una escasez éste valor será positivo.

2.1.2. Ley de Coulomb

A finales del siglo XVIII los cient́ıficos electricistas pretend́ıan darle un sustento matemáti-co a su tema de interés. A ellos les atráıa la semejanza entre las fuerzas gravitatorias y laelectricidad; aśı, para el año 1777, 90 años después de que apareciera el Philosophiæ natura-lis principia mathematica, el f́ısico e ingeniero francés Charles-Augustin de Coulombinventa una balanza de torsión que mediŕıa la fuerza de atracción y repulsión entre lascargas.1

Figura 2.1: Balanza de Torsión de Coulomb

1 http://www.phy6.org/earthmag/Figures/coulomb2.gif (Visitada el 23 de Sept. De 2011)

2.1. CAMPO ELÉCTRICO 7

La balanza consiste en un brazo horizontal que está suspendido de un hilo especial quees el que se va a retorcer por efecto de las acciones eléctricas entre las cargas. En unode los extremos de la barra horizontal, está ubicada una esfera muy liviana, y unido alhilo va un disco graduado, que gira al mismo tiempo que el hilo. También tenemos, en lasproximidades de la esfera de la barra, una esfera fija. Si cargamos a la esfera del extremode la barra y después la esfera fija se produce la atracción o repulsión entre las cargas dedichas esferas. Como una esfera está fija la esfera del brazo gira y por la disposición dela balanza este giro se mide en el disco. El ángulo de giro que obtiene Coulomb es unamagnitud directamente proporcional a la fuerza que genera la atracción o repulsión de lascargas. De este hecho el deduce lo siguiente:

“Dos cargas puntuales ejercen entre śı fuerzas que actúan a lo largo de la ĺıneaque las une y son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancia quelas separa ”2

También se establece que dos cargas iguales se repelen y dos cargas distintas se atraeny numéricamente podemos interpretar esta ley como:

~F = kq1q2r2

r̂ (2.1)

Donde, ~F es la fuerza, q1 y q2 las cargas, r la distancia entre las cargas, r̂ el vector unitariodirección3 y k la constante de Coulomb.

El valor de la constante de Coulomb, k, en unidades SI es de aproximadamente 9×109Nm2C2

Con C: Coulombs, N : Newtons y m metros.

Sin embargo, es más común trabajar esa constante en terminos de la permitividad enel vacio, �0, cuyo valor númerico está dado por: 8,854× 10−12C2/Nm2.

Aśı k = 14π�0 en el SI y la Ecuación (2.1) se puede escribir como:

~F =1

4π�0

q1q2r2

r̂ (2.2)

Cuando se tienen varias fuerzas eléctricas interactuando entre śı, estas se pueden sumar paraobtener una fuerza total, o bien, una fuerza neta. Gracias al Principio de Superposición,

2Ib́ıdem.3Para entender un poco más la naturaleza de este vector suponemos que q1 y q2 están en las

posiciones r1 y r2 respectivamente. El vector r̂ lo definimos como el vector unitario que lleva ladireccion de r1 − r2. Es decir nuestro vector r̂ es el que apunta la dirección que debeŕıa llevar lafuerza.


cada carga fuente (qi) actúa independientemente de las otras respecto a la carga de prueba(Q), y por tanto su contribución no se ve afectada por la de las demás cargas. Aśı, asumiendoque la distancia de la carga qi a Q es ri, tenemos:

~F =1

4π�0

Qq1r21

r̂1 +1

4π�0

Qq2r22

r̂2 + · · ·+1

4π�0

Qqnr2n

r̂n (2.3)

Pero recordando que esta es una suma de vectores y que Q es una magnitud escalar laEcuación (2.3) se reduce a:

~F =Q

4π�0

n∑i=1

qir2ir̂i (2.4)

Es decir, mostramos que la fuerza eléctrica ejercida por varias cargas qi sobre la carga Qdepende de dos cosas:

Del valor de la carga Q, evidentemente, y

De un campo vectorial que depende de la posición de Q respecto a las otras cargas.

Ese campo vectorial es llamado campo eléctrico.

Ejemplo 2.1. Calcule la fuerza eléctrica producida entre dos cargas, q1 de 2C y q2 de−3C, que están separadas a una distancia de 5 cm.

Figura 2.2: Dos cargas de 2C y −3C

Solución:Sabemos que: q1 = 2C , q2 = −3C y que r = 0, 05m. Aśı, aplicando la Ecuación (2.1),tenemos:

~F = 9× 109Nm2

C2(2C)(−3C)(0, 05m)2

r̂ = −2, 15× 1013Nr̂

X


Figura 2.3: 2C en el origen y −3C en 5̂i+ 3ĵ + 2k̂

Ejemplo 2.2. Calcule la fuerza eléctrica entre una carga q1 (2C) que se encuentra enel origen de un plano cartesiano y una q2 (−3C) cuya posición viene dada por ~rq2 =5̂i+ 3ĵ + 2k̂m:

Solución:La distancia entre las dos cargas viene dada por:

rq1q2 = ‖rq2 − rq1‖ =√

(5− 0)2 + (3− 0)2 + (2− 0)2 =√

38m

Aśı, utilizando (2.1) de nuevo, tenemos:

~F = 9× 109Nm2

C2(2C)(−3C)

38mr̂ = −1, 41× 109Nr̂.

X

Ejemplo 2.3. Calcule la fuerza eléctrica entre una carga q1 de 2C con una posición dadapor ~rq1 = 3̂i+ 5ĵ − 2k̂ y una carga q2 de −3C cuya posición es ~rq2 = 9̂i+ 7ĵ + 8k̂.

Solución:La distancia entre las dos cargas viene dada por:

rq1q2 = ‖rq2 − rq1‖ =∥∥∥(9̂i+ 7ĵ + 8k̂)− (3̂i+ 5ĵ − 2k̂)∥∥∥ = ∥∥∥6̂i+ 2ĵ + 10k̂∥∥∥ = √140

La fuerza es:

~F = 9× 109Nm2

C2(2C)(−3C)

140mr̂ = −3, 85× 108Nr̂.

X

Ejemplo 2.4. Calcule la fuerza eléctrica entre una carga de prueba Q (que se encuentra auna altura z) y dos cargas idénticas, q1 y q2, separadas entre śı una distancia 2d. La alturaz es perpendicular al punto medio de la distancia entre q1 y q2.


Figura 2.4: 2C en 3̂i+ 5ĵ − 2k̂ y −3C en 9̂i+ 7ĵ + 8k̂

Figura 2.5: Q a una altura z respecto al punto medio de q1 y q2

Solución:Como se observa en la Figura 2.5, las contribuciones de q1 y q2 se anulan en el eje x e y.Por tanto, la dirección de la fuerza ejercida corresponde sólo al eje z. Como las cargas soniguales y debido a la simetŕıa posicional que presentan, la fuerza de una sola se multiplicapor dos para obtener la total. El ángulo θ es el que se forma por la inclinación de q1 y q2respecto a Q. La función trigonométrica que nos relaciona a z y r, en este caso, es cos.Sabiendo que k = 14π�0 , tenemos:

~F = 21

4π�0

q1Q

r2cos θẑ

Y por teorema de Pitágoras:

cos θ =z

r=

z√d2 + z2


Luego,

~F = 21

4π�0

q1Q

r2z√

d2 + z2ẑ =

1

2π�0

q1Qz

(d2 + z2)3/2ẑ

X

2.1.3. Campo Eléctrico

De la Ecuación (2.4) la fuerza estará dada por:

~F = QE (2.5)

Donde Q es el valor de la carga de prueba y E se define como el Campo Eléctrico.

El Campo eléctrico es un campo vectorial definido por el valor y la configuración posicionalde las cargas fuente; es independiente del valor de la carga de prueba pero no es indepen-diente de su posición. Matemáticamente el campo se expresa como una función de posicióndada por:

E(r) =1

4π�0

q

r2r̂ (2.6)

donde r es la distancia que separa ambas cargas y para varias variables:

E(r) =1

4π�0

n∑i=1

qir2ir̂i (2.7)

donde, ri es la distancia entre la carga fuente qi y el punto r.

En una sencilla observación, podemos descubrir que si cambiamos la carga de prueba poruna que tiene el doble de carga y la ubicamos en la misma posición tendremos una fuerzacon la misma dirección pero con el doble de magnitud. Esta observación muestra que esecampo determina la dirección que toma la fuerza ejercida por las cargas fuente a una cargade prueba en esa posición.

Los siguientes ejemplos aclaran la forma en que el cambio de posición de una carga deprueba afecta la fuerza ejercida por cargas fijas.

Ejemplo 2.5. En el siguiente v́ıdeo se muestra cómo el cambio de posición afecta ladirección de la fuerza ejercida por una sola carga. Asumimos que las dos cargas poseen elmismo signo.


(Cargando campoelectrico.avi)

Ejemplo 2.6. De la misma manera lo pensamos para dos cargas fijas. Aqúı asumimos quelas cargas rojas son iguales, las tres tienen el mismo signo.

(Cargando campoelectrico2.avi)

Hacemos también unas gráficas de los campos eléctricos para una y dos cargas positivas.

Figura 2.6: Campo de una carga Figura 2.7: Campo de dos cargas

campoelectrico.aviMedia File (video/avi)

campoelectrico2.aviMedia File (video/avi)


2.1.4. Cargas Continuas

En la sección anterior vimos algunos ejemplos de cálculo de fuerza eléctrica ejercida entrecargas puntuales, es decir, cargas que se ubican de manera individual en un punto espećıficodel espacio y que están separadas entre śı. Sin embargo, no siempre encontraremos mate-riales cargados en forma de “puntos”. Esa idea toma fuerza a niveles atómicos puesto queen el caso del electrón hablamos de una carga puntual igual a 1,609×10−9C; es más, siendominuciosos, el valor de la carga eléctrica en cualquier material corresponde exactamente aun múltiplo entero de la carga electrónica.

A nivel macroscópico la carga corresponde al desbalance de millones de electrones y no sepiensa en un “punto ”, se estudian alambres, cascarones, discos, cilindros, cubos, etc; eneste caso un elemento muy pequeño de volumen contiene una cantidad inmensa de elec-trones es por eso que pensamos en distribuciones continuas de carga y no en múltiplos dela constante electrónica. Aqúı abusamos de nuestra “grandeza ”y la condición de nuestraobservación permite pasar al ĺımite. Esto no pasa a nivel atómico.

Este paso al ĺımite permite definir las siguientes distribuciones continuas de carga:

1. Si trabajamos con un alambre, no es necesario pensar en su superficie ni en suvolumen. Lo más cómodo es pensar en la distribucion de carga de acuerdo a sulongitud (Véase figura 2.8). Definimos entonces a λ como la densidad lineal de cargapor:

λ = ĺım∆l→0

∆q

∆l=dq

dl(2.8)

Donde ∆l es un elemento de longitud a lo largo de la ĺınea.

Figura 2.8: Carga lineal

2. Si trabajamos con un cascarón lo más comodo es pensar en la distribución de carga


en la superficie (Figura 2.9). Aśı la densidad superficial σ se define como:

σ = ĺım∆a→0

∆q

∆a=dq

da(2.9)

Aqúı ∆a es un elemento de área sobre la superficie.

Figura 2.9: Carga superficial

3. Por último cuando trabajamos con un volumen (Figura 2.10) la distribución de cargavolumétrica ρ está dada por:

ρ = ĺım∆v→0

∆q

∆v=dq

dv(2.10)

Con ∆v elemento de volumen sobre el sólido.

Figura 2.10: Carga volumétrica

De manera intuitiva podemos recurrir al cálculo integral para hallar el campo eléctricode una distribución continua de carga en una región finita. De hecho, el procedimiento se


realiza de dicha manera y el sentido lógico no solo se da desde la matemática, sino tambiéndesde la propia f́ısica.

Veamos el siguiente ejemplo, para familiarizarnos con este nuevo concepto de carga.

Ejemplo 2.7. Calcule el campo eléctrico de una distribución lineal de cargas de longitud2L y densidad uniforme λ, a una altura z, tal como lo muestra la figura 2.11. ¿Qué sucedesi L→∞? ¿Y si L→ 0?:

Figura 2.11: Ejemplo (2.7)

Solución:En principio, podemos deducir que por simetŕıa, el valor del campo para una longitud 2L,será el doble que para una longitud L, lo cual facilita un poco los cálculos. Los camposen el eje x y y se cancelan y sólo tenemos contribución en el eje z. Teniendo en cuenta elángulo de inclinación θ y sabiendo que la densidad es uniforme (constante), procedemos alcálculo:

~E = 21

4π�0

∫ L0

dq

r2cos(θ)ẑ

Donde:

cos(θ) =z

r=

z√l2 + z2

Y despejando la Ecuación (2.8) para reemplazar dq:

~E = 21

4π�0

∫ L0

λdl

l2 + z2z√

l2 + z2ẑ


Agrupando constantes :

~E =λz

2π�0

∫ L0

dl

(l2 + z2)3/2ẑ

Y resolviendo la integral con la sustitución l = z tan(θ) obtenemos:

~E =λz

2π�0

(L

z2√L2 + z2

ẑ

)=

λL

2π�0z

1√L2 + z2

ẑ.

Si L→∞ entonces ~E → λ2π�0z ẑ

Si L→ 0 entonces ~E → 0

Naturalmente si estamos manejando superficies o volúmenes utilizamos las ecuaciones (2.9)y (2.10) respectivamente, y planteamos integrales de superficie y de volumen. X

2.1.5. Ley de Gauss

Muchas veces calcular el campo eléctrico de algún arreglo no es fácil, puesto que al realizarel procedimiento anaĺıtico, surgen integrales muy complicadas de resolver. Por fortuna, ladenominada ley de Gauss facilita los cálculos. En términos f́ısicos, dicha ley relaciona elflujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada por estasuperficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico conla densidad de carga.

Además, ésta posee dos grandes ventajas: se aplica para hipotéticas superficies infinitas yes válida para cualquier forma que contenga la superficie.

Veamos ahora cómo se dedujo la Ley de Gauss, a partir de la Ley de Coulomb:


El flujo eléctrico es la medida del número de ĺıneas de campo eléctrico que penetranuna superficie, por lo que es una magnitud escalar. Se expresa matemáticamente como

ΦE =

∮S

~E · d~α (2.11)

Ahora bien, dado que ~α = n̂dα, donde n̂ es el vector unitario de dirección, entonces:∮S

~E · d~α =∮S

~E · n̂dα

Reemplazando ~E de la Ecuación (2.6) y sustituyendo el diferencial de área en coor-denadas esféricas (dα = r2 sen(θ)dθdφ)∮

S

~E · n̂dα =∮S

1

4π�0

Q

r2r2 sen(θ)dθdφr̂

=Q

4π�0

∫ 2π0

∫ π0

sen(θ)dθdφr̂

=Q

4π�04π =

Q

�0

Es decir ∮S

~E · n̂dα = Q�0

(2.12)

A su vez, por teorema de la Divergencia y definición de densidad de carga, tenemos:

1

�0

∫VρdV =

Q

�0=

∮S

~E · n̂dα =∫V∇ · ~EdV

que implica, ∫V

(∇ · ~E − ρ�0

)dV = 0

Derivando respecto al diferencial de volumen:

∇ · ~E − ρ�0

= 0.

Aśı,

∇ · ~E = ρ�0

(2.13)

Ejemplo 2.8. Calcular el flujo eléctrico y el valor de la carga encerrada de una superficieesférica cuyo campo eléctrico está dado por la expresión ~E = kr3r̂.


Solución:Partiendo de la ley de Gauss en forma diferencial, Ecuación (2.13), calculamos la divergen-cia del campo en coordenadas esféricas.

ρ

�0=

1

r2∂(r2E)

∂r=

k

r2∂(r5)

∂r= 5kr2

ρ = 5k�0r2

Luego,

ΦE =

∮S

~E · d~a =∫V∇ ~EdV = Q

�0=

1

�0

∫VρdV

ΦE =5k�0�0

∫Vr2dV.

Teniendo en cuenta que dV = r2 sen(θ)drdθdφ,

ΦE = 5k

∫ 2π0

∫ πo

∫ r0r2(r2 sen(θ))drdθdφ

ΦE = 5k

(4πr5

5

)= 4πkr5.

Para encontrar el valor de la carga encerrada usamos la Ecuación (2.12):

ΦE =Q

�0

Q = 4πK�0r5.

X

Ejemplo 2.9. Calcular el campo eléctrico de un cascarón esférico (Figura 2.12).

Solución:Aplicando la Ecuación (2.9)

dq = σda = σr2 sen(theta)dθdφ

Además,

r2 =∥∥∥~z − ~R∥∥∥2 = z2 +R2 − 2zR cos(θ)

y

cos(φ) =z −R cos(θ)

r



Como solo hay campo en el eje z, tenemos:

E = Ez =1

4π�0

∫S

σda cos(φ)

z2 +R2 − 2zR cos(θ)

=1

4π�0

∫S

σR2 sen(θ)dθdφ(z −R cos(φ))(z2 +R2 − 2zR cos(θ))3/2

=σR2

4π�0

∫ 2π0

∫ π0

sen(θ)dθdφ(z −R cos(θ))(z2 +R2 − 2zR cos(θ))3/2

=2πσR2

4π�0

∫ π0

sen(θ)dθ(z −R cos(θ))(z2 +R2 − 2zR cos(θ))3/2

Haciendo u = cos(θ) tenemos, du = − sen(θ), θ = 0→ u = 1 y θ = π → u = −1. Aśı,

Ez =σR2

2�0

∫ 1−1

(z −Ru)du(z2 +R2 − 2zRu)3/2

que al resolver por fracciones parciales obtenemos

Ez =σR2

2�0

[1

z2zu−R√

z2 +R2 − 2zRu

]1−1

Ez =σR2

2�0z2

[(z −R)|z −R|

− (−z −R)|z +R|

]Para z > R (fuera de la esfera):

Ez =σR2

�0z2

Para z < R (dentro de la esfera):Ez = 0

X


2.2. Divergencia y rotacional de los campos eléctri-

cos

2.2.1. Divergencia de un campo eléctrico

La ley de Gauss también permite evidenciar matemáticamente que el número de vectores decampo eléctrico que atraviesan una superficie, es siempre un valor que depende únicamentede la distribución de las cargas.

~E =1

4π�0

∫ρ(~r)dV

r2r̂

∇ · ~E = ∇ ·(

1

4π�0

∫ρ(~r)dV

r2r̂

)=

1

4π�0∇ ·(∫

ρ(~r)dV

r2r̂

)=

1

4π�0

∫∇ ·(r̂

r2

)ρ(~r)dV.

Si suponemos que la distribución de carga ρ(~r) es constante y además teniendo en cuentaque ∇ ·

(r̂r2

)= 4πδ3(~r − ~r′) se tiene,

∇ · ~E = 1�0

∫δ3(~r − ~r′)ρ(~r)dV

Por definicion de la función δ,

∇ · ~E = ρ(~r)�0

(2.14)

Ejemplo 2.10. Calcule el campo eléctrico de un cilindro sólido de longitud infinita l yradio s, cuya distribución de carga es proporcional al radio.

Solución:Se tiene que ρ = ks. Como el cilindro es infinito se puede decir que no tiene tapas por loque el valor de su área es 2πsl.

Q =

∫ρdV = k

∫ 2π0

∫ s0

∫ l0s(sdl′ds′dθ) = 2π

s3

3kl

Pero de la ley de Gauss (Ecuación (2.12)) deducimos que,∮~E · n̂da = Q

�0

2.2. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS 21


2πsl∥∥∥ ~E∥∥∥ = Q

�0= 2π

s3

3kl

1

�0.

Aśı

~E =s2k

3�0ŝ

X

2.2.2. Rotacional de un campo eléctrico

Si se quiere desplazar un arreglo con carga uniforme a lo largo de una trayectoria cualquiera,cuyo punto de arranque es a y el punto de llegada es b, es necesario saber cómo se da dichodesplazamiento. ∫ b

a

~E · d~l = q4π�0

∫ ba

dr

r2=

q

4π�0

(1

a− 1b

).

Ahora bien, como el campo eléctrico se maneja en un circuito (una region encerrada)tenemos que a = b, por lo tanto, ∮ b

a

~E · d~l = 0

Esto implica que el campo eléctrico es conservativo y por teorema de Stokes:∮L

~E · d~l =∫S

(∇× ~E) · d~a = 0.

Derivando a ambos lados:

∇× ~E = 0 (2.15)

Llegando a este punto, podemos decir con certeza que la electrostática se resume en lasecuaciones (2.14) y (2.15). Esta ecuaciones son validas para cualquier distribución de carga.


Ejemplo 2.11. Comprobar si los siguientes campos son o no electrostáticos:

(a) ~E = k(xyî+ 2yzĵ + 3xzk̂)

(b) ~E = k(y2î+ (2xy + z2)ĵ + 2yzk̂)

Solución:Si son campos eléctricos deben satisfacer la Ecuación (2.15),

(a)

∇× ~E =

∣∣∣∣∣∣î ĵ k̂

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zkxy 2kyz 3kxz

∣∣∣∣∣∣ = (0−2ky)̂i−(3kz−0)ĵ+(0−kx)k̂ = −2kyî−3kzĵ−kxk̂ 6= 0El campo NO ES electrostático.

(b)

∇× ~E =

∣∣∣∣∣∣î ĵ k̂

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zky2 2ky + kz2 2kyz

∣∣∣∣∣∣ = (2kz − 2kz)̂i− (0− 0)ĵ + (2ky − 2ky)k̂ = 0El campo ES electrostático. X

2.3. Potencial Eléctrico

El potencial eléctrico en un punto, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa paratraer una carga puntual q desde un punto de referencia hasta el punto considerado encontra de la fuerza eléctrica . Matemáticamente, expresado como:

V (r) = −∫ rϑ

~E · d~l (2.16)

Donde ϑ es un punto arbitrario y r es el punto considerado en oposición a ~F . El signomenos se debe a que el potencial está realizando una oposición al sistema, cuando intentadesplazar la carga.

Para usos prácticos de la ecuacion (2.16), se suele hablar de diferencia de potencial entredos puntos, a y b:

V (b)− V (a) = −(∫ b

0

~E · d~l −∫ a

0

~E · d~l)

= −∫ b

0

~E · d~l −∫ 0a

~E · d~l

= −∫ ba

~E · d~l

2.3. POTENCIAL ELÉCTRICO 23

Figura 2.14: Diferencia de potencial entre a y b

Por teorema del gradiente:

V (b)− V (a) =∫ ba∇V · d~l,

entonces ∫ ba∇V · d~l = −

∫ ba

~E · d~l

Derivando respecto al diferencial de longitud,

∇V = − ~E

O bien,~E = −∇V. (2.17)

CARACTERÍSTICAS DEL POTENCIAL

No se considera como tal una enerǵıa. Es más un concepto recursivo para en-tender los fenómenos electrostáticos.

Es una función escalar.

Cualquier punto de referencia es válido, si tiene sentido f́ısico.

Obedece al principio de Superposición.

La unidad del SI para expresar el potencial es el voltio (V).

Ejemplo 2.12. Calcular el potencial eléctrico requerido para traer una carga q desde el“infinito ”hasta una distancia r del centro de un cascarón esférico de radio R.

Solución: Si r < R:

V (r) = −∫ r∞~E · d~l = −q

4π�0

∫ r∞

dr

r2=

q

4π�0r


Figura 2.15: Ejemplo 2.12

Si r > R:

V (r) = −∫ R∞

~E · d~l −∫ rR

~E · d~l − 0 = q4π�0R

Nótese que el punto de referencia va en el ĺımite inferior de la integral, ya que es de dondese arranca la trayectoria. Al ser un cascarón, resulta que dentro de la esfera no hay campo,por lo cual el potencial desde R hasta r es cero. Del último resultado se deduce que elpotencial en todos los puntos dentro de la esfera, es constante, ya que el radio también loes.X

Ejemplo 2.13. Calcular el potencial eléctrico dentro y fuera del siguiente cascarón esféricoa un punto z.

Solución: Como la distribución de carga es superficial (cascarón), se aplica la Ecuación(2.9). Luego:

r2 =∥∥∥~R− ~z∥∥∥2 = R2 + z2 − 2Rz cos(θ)

2.3. POTENCIAL ELÉCTRICO 25


Luego,

V =1

4π�0

∫dq

r=

1

4π�0

∫σda

r

=σ

4π�0

∫A

R2sen(θ)dθdφ√(R2 + z2 − 2Rz cos(θ))

=σ

4π�0

∫ 2π0

dφ

∫ πA

R2sen(θ)dθ√(R2 + z2 − 2Rz cos(θ))

=σ

2�0

∫ π0

R2sen(θ)dθ√(R2 + z2 − 2Rz cos(θ))

Con u = R2 + z2 − 2Rz cos(θ) tenemos, 2udu = 2Rz sen(θ)dθ y sen(θ)dθ = uRzdu, aśı:

V =σ

2�0

[R

z

√R2 + z2 − 2Rz cos(θ)

]π0

=σR

2�0z

[√(R+ z)2 −

√(R− z)2

]Si z < R entonces

√(R− z)2 = R− z:

V =σR

2�0z[R+ z − (R− z)] = σR

�0

Si z > R entonces,√

(R− z)2 = z −R:

V =σR

2�0z[R+ z − (z −R)] = σR

2

z�0X


2.3.1. Ĺıneas Equipotenciales

En un campo eléctrico, el lugar conformado por puntos de igual potencial eléctrico sedenomina superficie equipotencial, dichas superficies equipotenciales son siempre perpen-diculares a las ĺıneas de fuerza.

Dado el campo eléctrico, es posible hallar la función potencial eléctrico. Pero también sepuede proceder en sentido contrario; partiendo del potencial eléctrico deducir el campo.Recordemos que el campo eléctrico es el negativo del gradiente del potencial, Ecuación(2.17). El signo menos proviene a causa de que el campo eléctrico está dirigido de unaregión de potencial positivo hacia una región de potencial negativo, mientras que el vector∇V se define de manera que se dirija en el sentido de creciente. Por lo tanto, cuandose encuentra que V es constante, significa que el campo eléctrico es nulo. Por tanto, ladistribución del potencial eléctrico en una cierta región donde existe un campo eléctrico ~Epuede representarse de manera grafica mediante superficies equipotenciales.

2.4. Trabajo y Enerǵıa

Consideremos una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico. La carga, por su-puesto, experimentará una fuerza eléctrica. Ahora bien, si se pretende mantener la part́ıculaen equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contra-rreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la mismamagnitud que la primera, pero dirección contraria, es decir:

~F = −q ~E (2.18)

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo paratrasladar la carga de un punto a otro (por ejemplo, desde a hasta b). De tal forma que alproducirse un pequeño desplazamiento d~l se generará un trabajo dW . Es importante resal-tar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamientoen relación con la fuerza ~F . El trabajo queda, entonces, expresado como :

dW = ~F · d~l

W =

∫ ba

~F · d~l (2.19)

De otra forma:

W = −q∫ ba

~E · d~l = q [V (b)− V (a)]

W = q∆V (2.20)

2.4. TRABAJO Y ENERGÍA 27

Figura 2.17: Trabajo por varias cargas

Ahora bien, si consideramos un arreglo de varias cargas discretas, notamos que cada unade ellas contribuye al desplazamiento o equilibrio de las demás cargas, puesto que todasrealizan un trabajo por separado, que sumados, darán por resultado el trabajo total. Deesta manera, el trabajo realizado por cada carga, se va acumulando, conforme tenga queefectuarlo a las predecesoras, por lo que el trabajo de cada carga es diferente. Entre máscargas tenga que desplazar, mayor será el trabajo que realiza. Por ejemplo, para movercuatro cargas el trabajo realizado es:

W1 = 0

W2 = q2V12 =1

4π�0q2q1r12

W3 = q3V13 + q3V23 = q3 (V13 + V23) =1

4π�0q3

(q1r13

+q2r23

)W4 = q4V14 + q4V24 + q4V34 = q4 (V14 + V24 + V34) =

1

4π�0q4

(q1r14

+q2r24

+q3r34

)Aśı,

WT = W1 +W2 +W3 +W4 =1

4π�0

[q2q1r12

+ q3

(q1r13

+q2r23

)+ q4

(q1r14

+q2r24

+q3r34

)]Aśı pues, se deduce que, para una distribución discreta dada de cargas, el trabajo total es:

WT =1

2

1

4π�0

n∑i=1

n∑j=1j 6=i

qiqjrij

(2.21)

Nota. La forma en la que adecuamos la suma hace que el sumandoqiqjrij

aparezca dos veces,

por eso es necesario dividir por 2.


Los conceptos de trabajo y enerǵıa están estrechamente relacionados, tanto aśı que llama-mos enerǵıa potencial eléctrica de una carga, en un punto de un campo eléctrico, al trabajoque realiza el campo eléctrico cuando la carga se traslada desde ese punto al infinito, o vi-ceversa .

Suponemos que todas las cargas están en reposo cuando están en el infinito, esto es, no tie-nen enerǵıa cinética inicial. Por tanto, para traer la carga q1 desde el infinito no se requieretrabajo, sin embargo, para traer q2 hasta una distancia r12 de q1 śı se requiere trabajo.La unidad principal de trabajo y enerǵıa, al igual que en la mecánica clásica, es el Joule (J).

Ahora imaginemos un arreglo con distribución continua de cargas. La suma de cada uno delos trabajos tiende a ser infinita, y como a cada punto de la región del espacio a analizar lecorresponde una carga, nuestra sumatoria se convierte en una integral. El trabajo total es elde interés, ya que los trabajos realizados por cada carga son infinitesimales. Considerandoun sólido obtenemos:

WT = W =1

2

∫V dq (2.22)

Por conveniencia, el diferencial de volumen lo escribiremos como dτ .

WT = W =1

2

∫V ρdτ

De las Ecuaciones (2.13) y (2.17), tenemos:

ρ = �0

(∇ · ~E

)= �0 [∇ · (−∇V )] = −�0∇2V

Donde ∇2 es el operador laplaciano aplicado a funciones escalares.

Retomando:

W =�02

∫V(∇ · ~E

)dτ

Por Teorema de la divergencia:

W =�02

[−∫V

~E · (∇V ) dτ +∮SV ~Eda

]Como dentro de una superficie no hay campo eléctrico, la integral encerrada es cero. Porlo cual:

W =−�0

2

∫V

~E · (∇V ) dτ = �02

∫VE2dτ (2.23)

Nota. La Ecuación (2.23) se aplica sobre todo el espacio, es decir, se utiliza cuando sequiere calcular el trabajo necesario para desplazar un arreglo de cargas hacia el exterior.

2.5. CAPACITANCIA 29

Nota. La Ecuación (2.22) también se aplica para distribuciones lineales y superficiales.

Ejemplo 2.14. Calcule el trabajo realizado para desplazar una distribución de cargas deun cascarón esférico, hasta la frontera y fuera de la esfera.


Solución:Para la frontera (R = r), aplicando la Ecuación (2.22):

W =1

2

∫V dq =

1

2

∫V σda =

1

2

1

4π�0

∫q

Rσda

=σq

8π�0R

∫da =

σq

8π�0R

(4πR2

)=σqR

2�0

Para fuera de la esfera (R < r), aplicando la Ecuación (2.23):

W =�02

∫VE2dq =

�02

(q

4π�0

)2 ∫V

1

r4dτ

=�02

q2

16π2�20

∫ ∞R

∫ π0

∫ 2π0

1

r2sen(θ)drdθdφ

=q2

8π�0R

X

2.5. Capacitancia

La capacitancia básicamente es la razón entre la magnitud de la carga de cualquiera delos conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos. La capacitancia


siempre es una cantidad positiva puesto que la diferencia de potencial aumenta a medidaque la carga almacenada se incrementa. Matemáticamente, se expresa como:

C =Q

V(2.24)

La proporción Q/V es constante para un capacitor dado. En consecuencia la capacitanciade un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y enerǵıa potencialeléctrica . Dichos dispositivos a los que se les asocia directamente esta propiedad son loscapacitores (o condensadores).

Se llama capacitor a un dispositivo que almacena carga eléctrica. El capacitor está for-mado por dos conductores próximos uno a otro, separados por un aislante, de tal modoque puedan estar cargados con el mismo valor, pero con signos contrarios. En su formamás sencilla, un capacitor está formado por dos placas metálicas o armaduras paralelas,de la misma superficie y encaradas, separadas por una lámina no conductora o dieléctrico.Al conectar una de las placas a un generador, ésta se carga e induce una carga de signoopuesto en la otra placa. Por su parte, teniendo una de las placas cargada negativamente(−Q) y la otra positivamente (+Q) sus cargas son iguales y la carga neta del sistema es 0,sin embargo, se dice que el capacitor se encuentra cargado con una carga Q .

La unidad de capacitancia del SI es el Faradio (F ) 4.

Figura 2.19: Capacitor de 10µF con una tolerancia de 50V

Es importante saber que la capacitancia se puede relacionar con la ley de Gauss, porsupuesto, si las geometŕıas que se manejan son “infinitas”.

4 http://gaussmarkov.net/parts/capacitors/10uF 50V Radial Electrolytic Capacitor.gif (Visita-da el 04 de Ene. De 2012)

2.5. CAPACITANCIA 31

Ejemplo 2.15. Calcular la capacitancia que hay entre dos conductores en forma de cas-carones esféricos, uno de radio a y otro de radio b, como indica la ilustración.


Solución:

~E =1

4π�0

Q

r2r̂

V =

∫ ba

~Ed~l =−Q4π�0

∫ ab

1

r2dr =

Q

�0

(1

a− 1b

)C =

Q

V=

4π�0ab

b− aA partir de las últimas ecuaciones, se puede deducir la relación trabajo-capacitancia:

dW = V dQ =Q

CdQ

Integrando;

W =

∫ Q0

Q

CdQ =

Q2

2C=CV 2

2(2.25)

Como se observa, el ĺımite inferior de la integral es cero, ya que inicialmente no hay cargaalmacenada (por lo menos aśı se supone el punto de referencia), mientras que el ĺımitesuperior es la carga máxima que soporta el condensador.X

Caṕıtulo 3

Campos eléctricos en la materia

En la naturaleza, todas las cargas interactúan en parejas, o bien, en dipolos eléctricos, ysiempre que se vean influenciadas por un campo eléctrico, van a manifestar ciertos fenóme-nos eléctricos.

Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas de signo opuesto e igual magnitud cercanasentre śı.

Los dipolos aparecen en cuerpos aislantes dieléctricos. A diferencia de lo que ocurre en losmateriales conductores, en los aislantes los electrones no son libres. Al aplicar un campoeléctrico a un dieléctrico aislante éste se polariza dando lugar a que los dipolos eléctricosse reorienten en la dirección del campo, disminuyendo la intensidad de éste .

Aqúı introducimos nuevos conceptos, claves para entender el comportamiento de los cam-pos eléctricos (y magnéticos) en el mundo f́ısico.

En primer lugar, momento dipolar eléctrico ~p, definido como una magnitud vectorial conmódulo igual al producto de la carga q por la distancia que las separa ~d, cuya dirección vade la carga negativa a la positiva:

~p = q~d (3.1)

Por otro lado, la carga generada por un dipolo viene dada por la expresión:

q = r̂~p (3.2)

De esta manera, el potencial para un único dipolo seŕıa:

V =1

4π�0

r̂ · ~pr2

(3.3)

32

33

Pero si en lugar de disponer de un único dipolo, tenemos una cierta distribución continuadipolar de carga, hemos de introducir una nueva caracteŕıstica del medio denominadaPolarización:

~P =dp

dτ(3.4)

Donde dτ es el diferencial de volumen, expresado aśı para evitar confusiones con el poten-cial.

Esta polarización o densidad dipolar genera unas densidades de carga que crean un campoequivalente a las cargas libres. Se produce entonces una densidad de carga volumétricaen toda la distribución y una carga superficial en la frontera que separa el material delexterior. Veamos cómo se demuestran los últimos dos conceptos:

V =1

4π�0

∫V

r̂ · d~pr2

=1

4π�0

∫V

r̂ · (~Pdτ)r2

Sabiendo que r̂r2

= ∇(

1r

):

V =1

4π�0

∫V

~P · ∇(

1

r

)dτ

Y como ~P · ∇(

1r

)= ∇ ·

(1r~P)− 1r

(∇ · ~P

):

V =1

4π�0

[∫V∇ ·(

1

r~P

)dτ −

∫V

1

r

(∇ · ~P

)dτ

]Con el Teorema de la divergencia:

V =1

4π�0

[∮S

1

r~P · n̂da−

∫V

1

r

(∇ · ~P

)dτ

]Y análogamente a las Ecuacioones (2.9) y (2.10), deducimos que:

σl = ~P · n̂ (3.5)ρv = −∇ · ~P (3.6)

Donde ρv es la densidad de carga volumétrica en la frontera y σl es la carga superficial enla frontera .

La distribución de cargas de un material se reparte en dos zonas: la que se encuentra en lafrontera del arreglo, y que está organizada en dipolos eléctricos, y la que se encuentra enestado libre, la cual se compone de cargas positivas y negativas individuales. Aśı pues, lasuma de ambas distribuciones da como resultado la distribución total.

ρ = ρv + ρl (3.7)

34 CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA

Donde ρl es la densidad de carga volumétrica libre. De (3.7), (3.6) y (2.13) tenemos,

ρ = �0(∇ · ~E) = −∇ · ~P + ρl

esto es,ρl = �0(∇ · ~E) +∇ · ~P = ∇ · (�0 ~E + ~P )

La expresión �0 ~E + ~P la llamaremos el vectro de desplazamiento eléctrico y lo notaremoscomo ~D, aśı:

ρl = ∇ · ~D (3.8)

La Ecuación (3.8) es la ley de Gauss para dipolos eléctricos con distribución continua. Yescrita en su forma integral: ∮

S

~D · d~a =∮S

~D · n̂da = Qle (3.9)

Donde Qle es la carga libre encerrada (por la superficie gaussiana).

Ya que ~E , ~P y ~D se aplican a distribuciones continuas (como sucede en la naturaleza, pues-to que las cargas siempre están en conjunto), son los tres campos eléctricos macroscópicosque describen el comportamiento de los materiales.

Por otro lado, la polarización de un dieléctrico isótropo (se comporta igual en todas lasdirecciones) tiene dirección y sentido iguales que el campo eléctrico resultante, y dependede este último y de la naturaleza del dieléctrico. Se define entonces, una propiedad deldieléctrico en respuesta de la constante de proporcionalidad requerida para la relación lineal(que también puede ser un tensor), denominada susceptibilidad eléctrica del material (χe),establecida por la ecuación:

~P = �0χe ~E (3.10)

La susceptibilidad eléctrica, que describe la respuesta de un medio a la acción de un campoeléctrico, está relacionada con las propiedades de los átomos y moléculas del medio. Esuna cantidad adimensional y en el vaćıo es nula, ya que solo puede resultar polarizado unmaterial dieléctrico, después de la interacción con ~E.

Y por la definición de ~D:

~D = �0 ~E + ~P = �0(1 + χe) ~E = � ~E

Por lo cual,

� = �0(1 + χe) (3.11)�

�0= (1 + χe) = �r (3.12)

35

Donde �r es la permitividad relativa, que asocia la permitividad eléctrica en un medio dado(�), con su valor en el vaćıo (�0).

A continuación, se muestran algunos valores de �r para distintos medios:

Permitividad relativa para algunos dieléctricos

Material �rAceite mineral 19, 5Agua 78, 5Caucho de 20 a 50Acetona 191Madera de 10 a 60Aire 1, 00058986± 0,00000050

(en CNPT; 0, 9MHz)Papel duro 49, 5Agua destilada 88, 0 a 0oC; 55, 3 a 100oCPVC de 30 a 40Baquelita de 50 a 80Vidrio de 40 a 60

Caṕıtulo 4

Circuitos

4.1. La ley de Ohm

Un claro ejemplo de un arreglo que manifiesta los fenómenos electrostáticos es un circuito.Un circuito eléctrico es un conductor unido por sus extremos, en el que existe, al menos,un generador que produce una corriente eléctrica. En un circuito, el generador origina unadiferencia de potencial que produce una corriente eléctrica. La intensidad de esta corrientedepende de la resistencia del conductor . Dicha corriente, que en resumen es el flujo deelectrones, se expresa aśı:

~I =d~q

dt(4.1)

Como se observa en la anterior ilustración, los arreglos de cargas tienen sus respectivasdensidades de corriente, definidas de la siguiente forma:

~I = λd~l

dt= λ~v (4.2)

~K =d~I

dl= σ

d~l

dt= σ~v (4.3)

~J =d~I

da= ρ

d~l

dt= ρ~v (4.4)

Donde ~v es el vector velocidad, en este caso, del desplazamiento de las cargas de la Ecuación(4.4) obtenemos:

d~I = ~Jda∫~I =

∫~Jda

~I =

∮S

~Jda =

∫V

(∇ · ~J)dV =∫V∇ · (ρ~v)dV

36

4.1. LA LEY DE OHM 37

Figura 4.1: Densidades de corriente

La densidad de corriente, naturalmente, puede variar en el tiempo, por lo cual:

∇ · (ρ~v) = ρ[( ∂∂xî+

∂

∂yĵ +

∂

∂zk̂).(vxî+ vy ĵ + vzk̂)]

= ρ(∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

)

∂

∂x(ρ∂x

∂t) +

∂

∂y(ρ∂y

∂t)∂

∂z(ρ∂z

∂t) =

dρ

dt

Luego, ∫V∇ · (ρ~v)dV = −

∫V

dρ

dtdV

∇ · (ρ~v) + dρdt

= 0 (4.5)

La Ecuación (4.5) es llamada Ecuación de continuidad, que se traduce en la conservaciónde la carga. Es análoga a otras ecuaciones de continuidad, como la de mecánica de fluidos.El signo menos hace referencia a la oposición al sistema, necesaria para mantener el flujode carga constante.

Retomando a los circuitos, sabemos que éstos deben tener al menos un generador de co-rriente, para que el sistema funcione. A su vez, dicho generador es comúnmente denominadoFEM (fuerza electromotriz) que en śı hace referencia al esfuerzo requerido para garantizarun voltaje constante.

38 CAPÍTULO 4. CIRCUITOS

Los tres conceptos más básicos de un circuito, son: voltaje (V ), corriente (I) y resisten-cia (R). La resistencia es aquella que realiza oposición a la corriente. Otras propiedadesasociadas a un circuito (e inclusive a cualquier material), son: la conductividad (←→σ ), quees la capacidad de un cuerpo o medio para conducir la corriente eléctrica, es decir, para

permitir el paso a través de él de cargas, y la resistividad ((←→R e), que es la capacidad para

impedir dicho flujo. Es lógico que:

←→σ = 1←→R e

(4.6)

Como se puede apreciar, tanto la conductividad, como la resistividad, son tensores, puestoque los materiales pueden ser o no isotrópicos, y entonces, la magnitud de éstas puedevariar en todas las direcciones, o bien, ser constante en todos los puntos. En el segundocaso, tales propiedades seŕıan cantidades escalares.

Por otro lado, ←→σ y←→R e, son tan importantes, que relacionan el campo eléctrico con la

densidad de corriente de un sistema, mediante la Ley de Ohm:

~J =←→σ ~E (4.7)

Esta ley es válida para cualquier geometŕıa que posea el material. Aplicada a un circuito,se le añade un término, ~E′ , que es un campo eléctrico auxiliar y externo, existente en laFEM y que mantiene el campo propio del circuito.

~J =←→σ ( ~E + ~E′)

Y analizando la distribución de corriente a lo largo del hilo conductor:

Figura 4.2: Ley de Ohm

∮L

~J.d~l = σ

[∮L

~E′ · d~l +∮L

~E · d~l]

4.1. LA LEY DE OHM 39

Ya que el campo eléctrico del circuito es conservativo:∮L

~J.d~l

σ=

∮L

~E′.d~l = FEM (4.8)

La ley de Ohm posee una variante especial, aplicada únicamente para geometŕıas ciĺındri-cas y dada su sencillez, es la más utilizada en los circuitos, razón por la cual casi todas lasresistencias que se fabrican tienen forma de cilindro.

Imaginemos un conductor ciĺındrico de área A y longitud L, que está hecho de un materialde conductividad uniforme σ: Como σ es isotrópica, de la Ecuación (4.4), tenemos:

Figura 4.3: Conductor ciĺındrico de área A y longitud L

∫d~I = ~J

∫da

I = JA = σEA = σV

LA

Y sabiendo que R = ReLA =

1σLA :

I =1

RV

V = IR (4.9)

En donde, generalmente, el voltaje se expresa en voltios (V ), la corriente en amperios (A)y la resistencia en ohmnios (Ω).

En este orden de ideas, clasificamos a los materiales, en dos tipos:

Material óhmnico: Con geometŕıa ciĺındrica con tapas y que cumple con la Ecuación(4.7) y además con la Ecuaión (4.9).


Material no óhmnico: Con geometŕıa distinta a la ciĺındrica y que cumple con laEcuación (4.7).

Ejemplo 4.1. Calcular el potencial en términos de corriente, entre dos conductores ciĺındri-cos coaxiales con distribución lineal, el interno de radio a y el externo de radio b, amboscon longitud infinita L y conductividad uniforme σ.


Solución: ∮S

~E · n̂da = Q�0

E(2πrL) =λL

�0

E =λ

2π�0rr̂

I =

∮S

~J · da = σ∮S

~E · da = σλ2π�0

∮S

1

rrdθdz

I =σλ

2π�0

∫ 2π0

∫ L0dθdz =

σλL

�0

V = −∫ ab

~E · d~l = −λ2π�0

∫ ab

dr

r=

λ

2π�0ln (

b

a)

Despejando λ del cálculo de I:

λ =�0I

σLPor último:

V =�0I

2π�0σLln

(b

a

)=

I

2πσLln

(b

a

)

4.2. EFECTO JOULE 41

4.2. Efecto Joule

Cuando un sistema maneja un flujo de corriente, una fuente de voltaje y por lo menos unaresistencia, éste experimenta un fenómeno llamado Efecto Joule, el cual trata de que sidicha corriente eléctrica circula en el conductor, parte de la enerǵıa cinética de los elec-trones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los átomos del materialconductor por el que circulan (colisión de cargas), elevando la temperatura del mismo. Deeste modo, tal efecto está dado por la Ley de Joule o de transformación de enerǵıa eléctricaen calórica. La resistencia es la responsable de dicha transformación .

dW = V dq∫dW = V I

∫dt

W = V It

O bien,

Q = V It

Donde Q es el calor generado.

Si se trata de un material óhmnico:

Q = V It = IRIt = I2Rt (4.10)

Y en términos de potencia:

P =dW

dt=dQ

dt= I2R (4.11)

4.2.1. Aplicaciones del Efecto Joule

En este efecto se basa el funcionamiento de diferentes electrodomésticos como los hornos,las tostadoras y las calefacciones eléctricas, y algunos aparatos empleados industrialmentecomo soldadoras, etc., en los que el efecto útil buscado es, precisamente, el calor quedesprende el conductor por el paso de la corriente. Sin embargo, en la mayoŕıa de lasaplicaciones es un efecto indeseado y la razón por la que los aparatos eléctricos y electrónicosnecesitan un ventilador que disminuya el calor generado y evite el calentamiento excesivo delos diferentes dispositivos como pod́ıan ser los circuitos integrados. E inclusive las lámparasincandescentes que producen más enerǵıa caloŕıfica que lumı́nica .


4.3. Clasificación de los Circuitos según el tipo de

corriente

Corriente Directa (DC): es el flujo continuo de electrones a través de un conductorentre dos puntos de distinto potencial. Las cargas eléctricas circulan siempre en lamisma dirección (es decir, los terminales de mayor y de menor potencial son siemprelos mismos). Aunque comúnmente se identifica la corriente continua con la corrienteconstante (por ejemplo la suministrada por una bateŕıa), es continua toda corrienteque mantenga siempre la misma polaridad.

Corriente Alterna (AC): Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en laque la magnitud y dirección vaŕıan ćıclicamente. La forma de onda de la corrientealterna más comúnmente utilizada es la de una onda sinusoidal, puesto que se consi-gue una transmisión más eficiente de la enerǵıa. Sin embargo, en ciertas aplicacionesse utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

4.3.1. Ventajas de AC respecto a DC

La razón del amplio uso de AC viene determinada por su facilidad de transformación, cua-lidad de la que carece DC.

Tal como se detalla en la Ecuación (4.10), la enerǵıa eléctrica (que luego se convertirá encalor) viene dada por el producto del voltaje, la corriente y el tiempo. Dado que la secciónde los conductores de las ĺıneas de transporte de enerǵıa eléctrica depende de la intensidad,podemos, mediante un transformador, elevar el voltaje hasta altos valores (alta tensión),disminuyendo en igual proporción la intensidad de corriente. Con esto, la misma enerǵıapuede ser distribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y, por tanto,con bajas pérdidas por causa del efecto Joule y otros fenómenos asociados al paso decorriente. Una vez en el punto de consumo o en sus cercańıas, el voltaje puede ser de nuevoreducido para su uso industrial o doméstico de forma cómoda y segura .

4.4. Leyes de Kirchhoff

Son aquellas que se aplican en la resolución de un circuito (el cálculo de las mediciones deV,R e I), donde por lo menos existe una fuente de voltaje, una resistencia y una corrientecirculando. Se expresan de la siguiente manera:

4.4. LEYES DE KIRCHHOFF 43

Figura 4.5: Convenciones

Figura 4.6: Elementos de un circuito

1. Ley de nodos: En un nodo, la suma algebraica de las corrientes que entran y salenes nula.

∑i

Ii = 0 (4.12)

2. Ley de mallas: La suma algebraica de las FEM (?) en un circuito cerrado es iguala la suma de las cáıdas de potencial en cada elemento o malla del circuito.∑

i

�i =∑i

RiI (4.13)

Como se puede observar, dichas ecuaciones se ajustan a materiales óhmnicos, usados ge-neralmente en los circuitos.


Los circuitos pueden ser en serie, en paralelo o mixtos:

En serie: Cumplen la 2da Ley y las diversas resistencias que contiene están traba-jando en el mismo hilo conductor. No hay división por mallas. Maneja una corrienteconstante. Para la resolución de este circuito, se realiza una asociación de resisten-cias, en donde todas se unifican en una denominada resistencia equivalente (Req), deacuerdo a la ecuación:

Req = R1 +R2 +R3 + ...+Rn (4.14)

Figura 4.7: Circuito en serie

En paralelo: Cumplen la 1ra Ley y las diversas resistencias que contiene están traba-jando en diferentes hilos conductores, o mallas. Maneja un voltaje constante. Para laresolución de este circuito, se realiza una asociación de resistencias, en donde todas seunifican en una denominada resistencia equivalente (Req), de acuerdo a la ecuación:

1

Req=

1

R1+

1

R2+

1

R3+ · · ·+ 1

Rn(4.15)

Mixtos: Contienen elementos ordenados en serie y otros en paralelo, en donde lasEcuaciones (4.14) y (4.15) se aplican de acuerdo a cada zona del circuito a trabajaren espećıfico.

4.5. CIRCUITOS RL 45

Figura 4.8: Circuito en paralelo

Figura 4.9: Circuito mixto

4.5. Circuitos RL

Una bobina o inductor es un componente que tiene la propiedad de oponerse a cualquiercambio en la corriente (corriente variante en el tiempo) que lo atraviesa. Esta propiedadse llama Inductancia (L). Comúnmente, se mide en Henrios (H).

Cuando una corriente atraviesa un conductor, un campo magnético es creado. Las ĺıneas defuerza del campo magnético se expanden empezando en el centro del conductor y alejándo-se, pasando primero por el conductor mismo y después por el aire .

Mediante observaciones, se determinó que en un circuito RL, el voltaje era directamenteproporcional al cambio de la corriente en el tiempo, puesto que la función de dicho voltajees mantener el flujo de electrones constante. Por tanto, la inductancia, L, se reflejó como


una constante de proporcionalidad, para establecer que:

V = LdI

dt(4.16)

Para este circuito sin FEM, el cual es un ejemplo sencillo de un Circuito RL (resistencia einductor) la 2da Ley señala que:

Figura 4.10: Circuito RL

LdI

dt+ IR = 0

LdI

dt= −IR

Se soluciona la ecuación diferencial, ∫ II0

dI

I=

∫ tt0

R

Ldt

ln

(I

I0

)= −R

L(t− t0)

Generalmente t0 = 0 por lo cual:

ln

(I

I0

)= −R

Lt

Aśı

I = I0 exp

(−RLdt

)(4.17)

La Ecuación (4.17) nos indica que la corriente decrece exponencialmente, a medida quetranscurre el tiempo, hasta que el circuito se descargue completamente, cuando la curvade I vs. t converge a 0.

4.6. CIRCUITOS RC 47

Otro concepto importante es el tiempo caracteŕıstico, el cual se define como el tiempo enel cual la corriente tiene un valor de 1e veces el valor de la corriente inicial, o bien, cuandola corriente se ha descargado aproximadamente un 63,21 % desde su estado inicial.

Tenemos entonces que el tiempo caracteŕıstico, τ , para un circuito RL es:

τ =R

L(4.18)

Reemplazando la Ecuación (4.18) en (4.17):

I = I0 exp

(− tτ

)(4.19)

Y se confirma su definición cuando t = τ :

I = I0 exp (1) =I0e

4.6. Circuitos RC

La presencia de un capacitor (condensador) en un circuito hace que el voltaje disminuyaexponencialmente a medida que transcurre el tiempo, ya que dicho componente almacenauna cierta cantidad de carga, que si posteriormente se libera por el circuito, requiere unacáıda de potencial que amortigüe este exceso de carga.

Las experimentaciones evidenciaron que la corriente que circula en un circuito RC, es di-rectamente proporcional al cambio de potencial respecto al tiempo. Y como la capacitanciaes la responsable de este cambio, se acopló como la constante de proporcionalidad para laecuación:

I = CdV

dt(4.20)

Para este circuito sin FEM, el cual es un ejemplo sencillo de un Circuito RC (resistencia ycapacitor) la 1ra Ley señala que:

Cdv

dt= −V

R

Como en RL, obtenemos una ecuación diferencial cuya solución está dada por:

V = V0 exp

(− tRC

)(4.21)

En este caso, el tiempo caracteŕıstico es aquel en el cual el voltaje tiene un valor de 1e vecesel valor del voltaje inicial, o bien, cuando el valor del voltaje ha cáıdo aproximadamente


Figura 4.11: Circuito RC

un 63,21 % desde su estado inicial.

Ahora bien, el tiempo caracteŕıstico, τ , para un circuito RC es:

τ = RC (4.22)

Reemplazando la Ecuación (4.22) en (4.21):

V = V0 exp

(− tτ

)

Caṕıtulo 5

Magnetostática

5.1. Campo magnéticos

5.1.1. Fuerzas magnéticas

La fuerza magnética tiene que ser descrita como una combinación de direcciones de uncampo magnético, involucrando un producto cruz entre los vectores velocidad y campomagnético, viene dada por:

Fmag = Q(~v × ~B)

Esta ecuación es conocida como la ley de fuerza de Lorenz, que en presencia de un campoeléctrico, puede ser descrita como:

Fmag = Q~E +Q(~v × ~B)

Ejemplo 5.1. El movimiento de una part́ıcula cargada en un campo magnético es circular,con la fuerza magnética proporcionando aceleración centŕıpeta. En la figura 5.1, se observaun campo magnético en dirección al centro del ćırculo. Si la cargaQ gira en sentido contrarioa las manecillas del reloj, con una velocidad v, alrededor del ćırculo de radio R, la fuerzamagnética también se dirigirá hacia el centro del ćırculo, obteniéndolo matemáticamenteobservamos:

Solución: Tomando la aceleración centŕıpeta como el cociente entre la velocidad al cua-drado y el radio tenemos: ∣∣∣~F ∣∣∣ = Q |~v| ∣∣∣ ~B∣∣∣ sen(90o) = m |ac|Aśı

QvB = mv2

R

49

50 CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA


QB = mv

R

Tomando el producto de la masa por la velocidad como el momento ν

ν = RQB (5.1)

La ecuación (5.1) se conoce como la fórmula del ciclotrón. X

Ejemplo 5.2. Cuando se incluye un campo eléctrico uniforme, junto con el campo magnéti-co, ocurre una trayectoria diferente. En este ejemplo se tomará el campo magnético en ladirección x, y el campo eléctrico en la dirección z (Figura 5.2 ). Hallar la trayectoria de lapart́ıcula:

Solución: La trayectoria se definirá con las siguientes caracteŕısticasPosición: (0, y(t), z(t))Velocidad: (0, y′(t), z′(t))Aceleración: (0, y′′(t), z′′(t))

Si el campo eléctrico es perpendicular al magnético, la posición siempre será la de uncicloide, la velocidad también será perpendicular. Aplicando la ley de fuerza de Lorenz,empezamos por hallar el rotacional entre la velocidad y el campo magnético:

~v × ~B =

∣∣∣∣∣∣î ĵ k̂0 y′(t) z′(t)~B 0 0

∣∣∣∣∣∣ = Bz′(t)ĵ −By′(t)k̂Aśı

Fmag = Q~Ek̂ +Q(Bz′(t)ĵ −By′(t)k̂)

5.1. CAMPO MAGNÉTICOS 51


Luego, aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

m~a = m(y′′(t)ĵ + z′′(t)k̂) = Fmag

Es decir,Q( ~E −By′(t))k̂ +QBz′(t)ĵ = m(y′′(t)ĵ + z′′(t)k̂)

Igualando componentes obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas:

QBz′(t) = my′′(t) (5.2)

Q~E −QBy′(t) = mz′′(t) (5.3)

Derivando la ecuación 5.3 tenemos que QBz′′(t) = my′′′(t) o de otra forma:

z′′(t) =my′′′(t)

QB

Luego se reemplaza en 5.3:

Q~E −QBy′(t) = m2 = y′′′(t)

QB

d3y

dt+Q2B2

m2dy

dt− Q

2BE

m2= 0

Esta última se deriva una vez más:

d4

dt4+Q2B2

m2d2y

dt2= 0


Se emplea una sustitución para mayor facilidad:

d4y

dt4=d2p

dt2y

d2y

dt2= p

Volviendo a la ecuación anterior:

d2p

dt2+Q2B2

m2p = 0

En este punto se hace una pausa para explicar de donde proviene la frecuencia de resonanciadel ciclotrón, partiendo del movimiento en el caso de un péndulo que viene dado por laecuación:

Θ′′(t) +g

lΘ(t) = 0

Con base en la ecuación del peŕıodo de oscilación de un péndulo obtenemos:

T = 2π

√l

g

T =2π

w

A su vez, debemos tener en cuenta la ecuación diferencial de la elasticidad de un resorte,dada por:

d2x

dt2+A

m

dx

dt+k

mx = 0

De esta forma, podemos obtener una constante w, para ambos casos:

w2 =k

my w2 =

g

l

Aśı que la frecuencia del ciclotrón vendrá dada por:

w =QB

m

Lo que sugiere que la componente que no tenga una derivada, tendrá una frecuencia.Reemplazando en la ecuación que se estaba resolviendo antes:

y′′′(t) + w2y′(t)− EBw2 = 0

Las soluciones a las ecuaciones diferenciales acopladas, después de realizar las sustitucionesy métodos correspondientes vienen dadas por:

y(t) = A1 cos(wt) +A2 sen(wt) +E

Bt+A3


z(t) = A2 cos(wt)−A1 sen(wt) +A4Ahora, para hallar con precisión la trayectoria de una part́ıcula dentro de un ciclotrón,debemos volver a las condiciones iniciales:

y(0) = z(0) = 0 y′(0) = z′(0) = 0

Para volver única la solución y hallar las constantes se reemplazan las condiciones iniciales:

y(0) = 0 = A1 cos 0 +A2 sen 0 +E

B0 +A3

A1 = −A3Derivando las soluciones:

y′(t)−A1w sen(wt) +A2w cos(wt) +E

B

yz′(t) = −A2w sen(wt)−A1w cos(wt)

Reemplazando las condiciones iniciales:

y′(0) = −A1w sen 0 +A2w cos 0 +E

B

A2w +E

B= 0

A2 = −E

wB

z′(0) = −A2w sen 0−A1w cos 0

De esta forma, obtenemos los valores de las constantes:

A1 = 0 A2 =−EwB

A3 = 0 A4 =E

wB

Reemplazando ahora en las soluciones originales:

y(t) = − EwB

sen(wt) +E

Bt

z(t) = −EB

cos(wt) +E

wB

Reescribimos en términos de la amplitud(R = EwB

)y queda:

y(t) = −R sen(wt) + wRtz(t) = −R cos(wt) +R


Despejando de nuevo:

y −Rwt = −R senwtz −R = −R coswt

Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones obtenemos la ecuación de un ćırculo cuyocentro será (0, Rwt,R) y que viaja en la dirección de y a velocidad constante:

(y −Rwt)2 + (z −R)2 = R2

Se concluye de este ejemplo que la part́ıcula solo viaja en la dirección de y y tiene unamagnitud de:

v = Rw =E

wBw =

E

B

Todo el movimiento no está en la dirección de E, pero śı perpendicular a él. X

Un importante elemento a tener en cuenta en las fuerzas magnéticas es que las éstas norealizan trabajo, ya que el producto punto entre los vectores perpendiculares involucradoses cero, como se demuestra aqúı:

dWmag = ~Fmag · d~l

Si la carga Q se mueve un tramo d~l = ~vdt , el trabajo realizado es:

dWmag] = Q(~v × ~B

)· d~l

dWmag = Q(~v × ~B

)· ~vdt

dWmag = 0 (5.4)

5.1.2. Corriente

La corriente en un alambre es la carga por unidad de tiempo pasando por un punto dado.Por definición, las cargas negativas moviéndose hacia la izquierda, valen lo mismo que laspositivas moviéndose hacia la derecha. Esto demuestra que aunque cualquier fenómeno queinvolucre movimiento de cargas, dependa del producto de la carga y la velocidad, si secambia el signo de q o v, se tendrá la misma solución. Una carga lineal λ viajando a travésde un alambre, es una corriente (Figura 5.3):

I = λv

Esta ecuación se aplica unicamente para cargas en movimiento. La forma como se relacionala fuerza magnética en un alambre lineal, viene dada aśı:

Fmag =

∫(~v × ~B)dq =

∫(~v × ~B)λd~l


Figura 5.3: Cable de corriente

Tomando a la corriente comoλ~v = I, se obtiene:

Fmag =

∫(~I × ~B)d~l =

∫I(d~l × ~B)

Como la magnitud de la corriente a lo largo del alambre es constante, puede sacarse de laintegral, hallando finalmente:

Fmag = I

∫(d~l × ~B) (5.5)

Ejemplo 5.3. Un segmento cuadrado de alambre, soportando una masa m, cuelga ver-ticalmente con un extremo en un campo magnético uniforme, tal como se muestra en lafigura 5.4, hallar la corriente.

Solución: La corriente debe circular en el sentido de las manecillas del reloj, la fuerzamagnética vendrá dada por:

Fmag = IBa

Donde a es la longitud de un lado del cuadrado. La fuerza está balanceada por el peso, porlo que se iguala:

Iba = mg −→ mgBa

Ahora, si la corriente se incrementa, la fuerza magnética ascendente excede la fuerza gravi-tacional descendente, y el segmento cuadrado crece, abandonano el peso. Necesariamentese está haciendo trabajo, y la causante de esto es la fuerza magnética, de manera que esposible escribir:

Wmag = ~Fmagh = IBah



Donde h es la distancia que el segmento sube. Sin embargo, aqúı se presenta una incon-sistencia con lo dicho anteriormente, porque las fuerzas magnéticas nunca hacen trabajo.Lo que ocurre realmente es que cuando el segmento comienza a ascender, las cargas en elalambre ya no se mueven horizontalmente, su velocidad adquiere un componente ascenden-te denominado u, la velocidad del segmento, en adición con el componente w asociado conla corriente (I = λw). La fuerza magnética, que siempre es perpendicular a la velocidad,ya no apunta más hacia arriba, pero śı se inclina hacia atrás. Esta es perpendicular aldesplazamiento neto de la carga, y por lo tanto, no hace trabajo enq que tiene un com-ponente vertical (qwB). En realidad, la fuerza vertical neta en toda la carga (λa) en laparte superior del segmento es Fvert = λawB = IBa, tal como antes, pero esta vez, tienetambién un componente horizontal (quB), opuesto al flujo de corriente. En un tiempo dtlas cargas se mueven una distancia horizontal wdt, lo que implica que el trabajo hecho es:

Wmag = λaB

∫uwdt = IBah

Que es el mismo hallado anteriormente.X

Cuando una carga fluye por una superficie, se utiliza la densidad de corriente superficial K,que es la corriente por unidad de ancho del segmento, perpendicular al flujo, puede estarexpresada como:

K = σv (5.6)

La fuerza magnética en una superficie de corriente viene dada por:

Fmag =

∫ (~v × ~B

)σda =

∫(K ×B) da (5.7)


Cuando una carga está distribuida en una región tridimensional, se utiliza una densidadde corriente volumétrica J , que es la corriente por unidad de área perpendicular al flujo.Puede estar expresada como:

J =dI

da⊥(5.8)

Y si la densidad de carga superficial es ρ y su velocidad es v, se expresa como:

J = ρv (5.9)

Asimismo, la fuerza magnética en un volumen de corriente es:

Fmag =

∫ (~v × ~B

)ρdτ =

∫(J ×B) dτ (5.10)

5.1.3. Ley de Biot-Savart

Las cargas estacionarias producen campos eléctricos constantes en el tiempo, de alĺı vieneel término electrostática, mientras que las cargas constantes, que son el centro de la mag-netostática, involucran campos magnéticos constantes. Una corriente constante es aquellaque ha estado sucediendo sin cambio y sin acumular carga en cualquier lugar.

El campo magnético de una ĺınea de corriente constante, viene dado por la ley de Biot-Savart:

~B(r) =µ04π

∫ ~I × ~rr2

dl =µ04πI

∫d~l × ~rr2

, (5.11)

La integral ocurre a lo largo de la trayectoria de la corriente, en la dirección del flujo, dles el diferencial de longitud del alambre, y ~r es el vector desde el alambre hasta un puntor (Figura 5.5). Como la corriente es constante, se puede sacar de la integral sin ninguninconveniente. La constante µ0 es la permeabilidad en el vaćıo, que es la capacidad de unasustancia o medio para atraer y hacer pasar a través de śı, los campos magnéticos. Se hablade dos campos, el que se aplique y el interno.

µ =B

H(5.12)

Donde B es el campo magnético externo y H es el campo magnético interno. El valorexacto de la permeabilidad en el vaćıo es : 4π × 10−7 N

A2

Ejemplo 5.4. Encontrar el campo magnético a una distancia s de un alambre infinito quelleva una corriente constante. Figura 5.6.


Figura 5.5: Ley de Biot-Savart


En primer lugar, es necesario estimar la magnitud del producto d~l′ × ~r, según la figuraviene dado por:

d~l′ × ~r −→ dl′ senα = dl′ cos(θ)

Teniendo en cuenta las relaciones:

tan(θ) =l′

scos θ =

s

|~r|

Podemos deducir que :l′ = s tan θ dl′ = s sec2 θdθ

Lo que nos permite generar las condiciones:

1

r2=cos2θ

s2dl′ =

s

cos2 θdθ


Figura 5.7: Ĺıneas del campo magnético del imán

Con estas condiciones, podemos reemplazar en la ecuación de Biot-Savart:

~B(r) =µ04πI

∫dl′ × ~rr2

=µ04πI

∫dl′ cos θ

cos2 θ

s2

=µ04πI

∫cos3 θ

s2s

cos2 θdθ

=µ04πI

∫ θ2θ1

cos θ

sdθ

=µ04πI(sen θ2 − sen θ1)

Esta última ecuación nos proporciona el campo magnético para cualquier segmento dealambre, en términos de el ángulo inicial y un ángulo final. Para el caso de un alambreinfinito, tenemos los ángulos θ1 = −π2 y θ2 =

π2 , por lo que obtenemos que el campo

magnético es:

~B(r) =µ0I

2πs

5.1.4. Ĺıneas de Corriente

Para empezar, se hace una aproximación a la forma de las ĺıneas de campo magnético paraun imán, las cuales vendŕıan según lo muestra la figura 5.7: Se toma el norte como el polopositivo, y el sur como el negativo, las ĺıneas siempre van de norte a sur.


Figura 5.8: Campo magnético de un alambre infinito recto

El campo magnético en un alambre infinito recto es mostrado en la figura 5.8, tomando lacorriente hacia afuera de la página, y tomando una superficie gaussiana a una distancia s.La integral de campo magnético alrededor de una trayectoria circular cerrada de radio r,viene dada por: ∮

~B · ~dl =∮µ0I

2πsdl =

µ0I

2πs

∮dl =

µ0I

2πs2πs∮

~B · ~dl = µ0I (5.13)

Podemos usar también coordenadas ciĺındricas para demostrar que con cualquier superficieque encierre el alambre se obtendrá la misma respuesta. Tomando la corriente que fluye através del eje z.

dl = drr̂ + rdφφ̂+ dzk̂∮~B · ~dl = µ0I

2π

∮ 2π0

1

r(drr̂ + rdφφ̂+ dzk̂)

=µ0I

2π

∮ 2π0

1

rrdφ

=µ0I

2π2π = µ0I

Si el flujo de carga viene representado por una densidad volumétrica de corriente J , lacarga encerrada es:

Ienc =

∫~J ~da

Usando el teorema de Stokes, ∫S

(∇× ~B) ~da = µ0∫S

~Jda

5.2. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS 61

Y por lo tanto:∇× ~B = µ0 ~J (5.14)

La ecuación (5.14) es la fórmula del rotacional de B, sin embargo, la mayoŕıa de configu-raciones de corriente no pueden ser construidas con base en un alambre infinito, y no sepuede asumir que esta fórmula aplica para todas.

5.2. Divergencia y rotacional de los campos magnéti-

cos

La definición formal de estos dos importantes conceptos, debe tener como base la ley deBiot-Savart para el caso general de un volumen de corriente ( figura 5.9): La fórmula general

Figura 5.9: Volumen de corriente

de la ley de Biot-Savart es:

~B(r) =µ04π

∫ ~I × ~rr2

dl′

Y para el caso de un volumen de corriente:

~B(r) =µ04π

∫J(r)× r̂

r2dv′

Donde B es una función de (x, y, z), J es función de (x′, y′, z′) ,


r = (x− x′)̂i+ (y − y′)ĵ + (z − z′)k̂

dv′ = dx′dy′dz′

Aplicando la divergencia a ambos lados de la ecuación obtenemos:

∇ ~B = µ04π

∫∇(J(r′)× r̂

r2

)dv′

En este momento se hace una pausa para mencionar algunas propiedades a utilizar:

∇( ~A× ~B) = ~B(∇× ~A)− ~A(∇× ~B)

∇( ~A× ~B) = ( ~B · ∇) ~A− ( ~A · ∇) ~B + ~A(∇ · ~B)− ~B(∇ · ~A)

∇(f( ~A)) = f(∇ · ~A) + ~A(∇f)

Continuando con las ecuaciones anteriores, y utilizando una regla del producto obtenemos:

∇(J(r′)× r̂

r2

)=

r̂

r2· (∇× ~J)− ~J · (∇× r̂

r2)

Como ∇× ~J = 0 porque J no depende de las variables principales (x, y, z), y ∇× r̂r2

= 0obtenemos:

∇ · ~B = µ04π

∫0dv′

∇ · ~B = 0 (5.15)

La ecuación (5.15) es considerada como la ley de Gauss Magnética escrita en forma dife-rencial. Ahora, si decidimos aplicarle el rotacional a la ecuación de Biot-Savart, obtenemos:

∇× ~B = µ04π

∫∇×

(J × r̂

r2

)dv′

Nuevamente, usando las propiedades mencionadas con anterioridad, encontramos:

∇×(J × r̂

r2

)=

(r̂

r2· ∇)J − (J · ∇) r̂

r2+ J

(∇ · r̂

r2

)− r̂r2

(∇ · J)

El primer y el último término de la derecha de la ecuación tienden a cero, mientras que eltercer término es una divergencia que puede ser expresada como:

J

(∇ · r̂

r2

)= J4πδ3(r − r̂)


Entonces, el comportamiento del rotacional del campo magnético viene dado por:

∇× ~B = µ04π

∫ (J4πδ3(r − r′)− (J · ∇) r̂

r2

)dv′

De manera que si existe simetŕıa viene a quedar:

∇× ~B = µ04π

∫(J4πδ3(r − r′))dv′

∇× ~B = µ0J(r) (5.16)

La ecuación (5.16) es llamada la ley de Ampere en forma diferencial. Esta puede ser escritatambién en forma integral: ∫

∇× ~B = µ0∫Jda∮

~Bdl = µ0Ienc (5.17)

5.2.1. Aplicaciones de la Ley de Ampere

Ejemplo 5.5. Hallar el campo magnético una distancia s de un alambre recto que llevauna corriente I. Figura 5.10.



Solución:Se sabe que la dirección de B es circunferencial según la regla de la mano derecha, y quepor simetŕıa el campo magnético es constante, aśı que obtenemos por la ley de Ampere:

µ0Ienc =

∮~Bdl

= B

∮dl

= B2πs

Aśı,

B =µ0Ienc

2πsX

Ejemplo 5.6. Hallar el campo magnético de una superficie de corriente infinita. Figura5.11.


Solución: B solo puede tener una componente en la dirección y. Si se dibuja un segmentorectángular paralelo al eje yz, como lo muestra la figura , y extendido una distancia igualdebajo y encima de la superficie, aplicando la ley de Ampere se obtiene:∮

~Bdl = 2Bl = µ0Ienc = µ0Kl


B =µ0K

2

Donde K es la corriente superficial, también se puede escribir con mayor exactitud:

B =

+(µ0

2

)Kŷ para z < 0

−(µ0

2

)Kŷ para z > 0

X

Ejemplo 5.7. Hallar el campo magnético de un solenoide, consistente en n giros dados porun alambre alrededor de un cilindro de radio r, que lleva consigo una corriente I (Figura5.12). Luego hallar el campo para el caso de una superficie ubicada sobre el solenoide.(Figura 5.13).

Figura 5.12: Ejemplo 5.7Figura 5.13: Ejemplo 5.7

Solución:Para empezar, el campo es positivo en la dirección de la corriente, si se cambiara la direcciónde esta, B seŕıa negativo, pero cambiar la corriente es solo f́ısicamente equivalente a ponerel solenoide al revés, lo que no alteraŕıa el radio del campo. Si decidiéramos encerrar elsolenoide con una loop amperiano, obtenemos:∮

~

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fundamentosdeelectromagnetismo.files.wordpress.com · 2012. 1. 30. · Indice general Prefacio I 1. Modelos At omicos1 2. Electrost atica5 2.1. Campo el ectrico. . . . . . . .