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Marta Pi::rzmDaniela Vsr11trie eDmrls Himestr',ozalil r,-lsa F" Var"q.-as

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MatemticaF\rndamental

(con aplicaciones )

Mata PinznDaniela VsquezDoris HinestrozaLuisa F. Vargas

Diego L. HoyosLuis RecaldeJairo lvarezErnesto AcostaMiguel MarmolejoOlmedo Moreno

Departamsnts dsMatemticas

Indice general

1. Preliminares: Elementos de Lgica Proposicional, Mtodos deDemostracin y Conjuntos1.1. Proposiciones y conectivos lgicos1.2. Proposiciones abiertas y cuantificadores1.3. Mtodos de demostracin1.4. .Conjuntos

7.4.1. Operaciones entre Conjuntos1.4.2. El producto cartesiano

1.5. Ejercicios

Los Nmeros Reales2.1. La representacin geomtrica de R2.2. Estructura Algebraica

2.2.L. Axiomas de cuerpo2.2.2. Potencias enteras

I9

131517192223

27283030323536404244

2.3.2.4.2.5.2.6.

2.2.3. Potencias racionalesEstructura de OrdenConjuntos acotados de nmeros realesEl valor absolutoEjercicios

3. Expresiones Variables y Factorizacin 51515459636977

3.1. Expresioues matemticas vaiables3.2. Productos notables y factorizacin3.3. El teorema del binomio y nmeros combinatorios3.4. Operaciones con expresiones racionales y variables en general3.5. Rcionalizacin de denominadores3.6. Ejercicios

4. Ecuaciones e Inecracilrc4.1. Ecuaciones

4.1.2. Solucin de afulrmcrGix i-4'1'3' Soluciu de mc fiPc & anq

4.2. Inecuaciones.4.3. Ejercicios

Funciones: Teora Gereml5.1. Conceptos Bsicos-5.2. Formas de Represeutar rm ffi.5.3. Grfica de una Ftncili-

5.3.1. Sistemas de CouffiCrotu5.3.2. Grficas de fimcirc

5.4. lgebra de F\:rciones5.5. tr\rnciu Inversa.5.6. Ejercicios

F\rnciones Polinmicas y R^ri*-6.1. Polinomios de grado n - - -

6.1.1. EI algoritmo de la ffi6.1.2. La divisin sinttu:a (re;lrenfl6.1.3. El teorema del esllmy d mfl fu-6.1.4. El teorema findamerd d kfu6.1.5. Ceros racionales de rm pfrrqmlEr*q enteros

6.2. F\rnciones Polinmica.s de grae f- ffi[Lrt-6.2.1. Lineas rectas6.2.2. Pendiente de una rsta -6.2.3. Ecuaciones de la ecta-6.2.4. Rectas paralelas y pc4ffi"

6.3. F\nciones Polinmicas de gra& t ffiffib"6.4. Funciones Rcionales6.5. Modelos F\rncionales

6.5.1. Proporcionalidad6.5.2. Punto de equilibrio6.5.3. Oferta y Demanda-

6.6. EjerciciosF\rnciones Exponencial7.1. F\rncin Exponencial7.2. Funcin Logartmica.

y Logartmi:.-

7.3. Ejercicios

797982889597

103

10910911011311371772Lr22t24

L2912913113313513874tt45147747r49151153156757158159160161

169169

5,

6.

7.

t73178

86

rE

f

8. Funeiones Tligonomtricas8.1. Angulos Orientados8.2. F\mciones trigonomtricas8.3. Gr"ficas de las funciones trigonomtricas .8.4. Inversa de las funciones trigonomtricas-8.5. Propiedades de las funciones trigonomtricas.8.6. Relaciones trigonomtricas y Resolucin de tringulos.8.7. Ley de senos y cosenos.8.8. Identidades. .8.9. Ecuaciones Ttigonomtricas. .8.10. Ejercicios

A. Los Nmeros ComplejosA.1. Conjugados y recprocosA.2. Representacin geomtriea de los nmeros compos. ,4.3. Ejercicios

B. Secciones CnicasB.1. La Elipse8.2. La HiprbolaB.3. La Parbola .l .8.4. La Circunferencia. . .B.5. Ejercicios

L83183185187189191194195r97202204

2092LL214216

2L92L9223226228230

Introduccin

Es un hecho que la matemtica que necesita un estudiante universitariode primer semestre de Ciencias, Ingenieras, Economa, etc, para abordar conxito sus estudios de Clculo diferencial e integral, no se llena por completo enlos cursos de sus estudios de la secundaria. La Universidad se ve entonces enIa necesidad de suplir tales deficiencias, ofreciendo a los estudiantes de primersemestre un curso de matemtica fundamental que cubra temas bsicos comoson: el estudio de los nmeros reales, manejo de expresiones variables, solucinde ecuaciones e inecuaciones; as como un estudio ms o menos completo de lasfunciones en general y en particular de las funciones exponencial, logartmica,polinmicas y trigonomtricas.

Los profesores de dicho curso debemos entonces adoptar un texto bsico quesirva de gula a los estudiantes. En esta bsqueda, nos hemos dado cuenta deque los textos comerciales de Matemticas Fundamentales tienen dos desven-tajas que se ven a primera vista: en primer lugar, son demasiado voluminosos,fundamentalmente por el hecho de que se exceden en las explicaciones de lostemas, haciendo difcil su seguimiento por un estudiante que apenas comien-za enla Universidad; y segundo, son demasiado costosos (tal vez para esto esque los hacen voluminosos). Esto es algo que tal vez no sea mucho problemaen las universidades privadas, sin embargo en las pblicas se convierte en unobstculo casi que insalvable. Conscientes de esta situacin, algunos profesoresdel Departamento de Matemticas de la Universidad del Valle, con el nimode beneficiar al estudiante, escriben sus propias notas de clase que pueden seradquiridas de forma rpida y econmica.

El texto que estamos presentando, recoge el esfuerzo que han hecho estosprofesores a lo largo de varios aos en la escritura de las notas de Clculo I,las notas de Geometra F\rndamental, el texto rrTcnicas y Conceptos Bsicosen Matemticasrr y tambin el texto del grupo de semilleros rrElementos deMatemticas Brsicast'. Hemos incluido adems, algunos temas y ejercicios deaplicacin a la Economa y a las Ciencias Sociales y Administrativas (es en este

sentido la frase 'rcon aplicacious' qr alnrece en el ttulo)'

Eltextoestdirigidoal.mesoresdeprimersemestredetodoslosprogramas acadmicoJ que tim ttryP de naemtica-s basicas' Depen-diendo del programa al-cual s o&erii(r eI ro&sor tir:ne la libertad de elegirlos temas y "n"it Ia profundirlad m ! qE Ya a erenarlo' Por ejemplo' siel curso \ru ditigldo a es'tudia*cs & Cuir' ei po&sor podra optar' si loconsidera necesario, por haca tod6 l anqracimes de l'os teoremas quese han omitido en eI texto y evitar cil-trr ffiirc de af,icacciones (como la.Sl v no exigir a los estudiantts las *i- de h protlemas propuestosque tengan que ver con estas aplirzir*- ur cuim mario a ste, podraudoptur"rro profeso, que est di"t""d" el tm' D Ff"' a estudiantes deEconoma o Administraciu'

Esperamos que este texto sea dc d "LFirr P* Fry de lo estudi-antes en gurruruly les sirrra como tEtO tu & r rlr arq de nrat'rnticas'as como de referenciav

""t"*opuras=t+--ffideCafcuby fu-

gebra Lineal.

El Editor

Captulo 1Preliminares: Elementos deLgica Proposicional,Mtodos de Demostracin yConjuntos

Con el fin de que el estudiante comprenda bien los teoremas y las demostra-ciones del lgebra elemental, haremos un corto resumen de la lgica proposi-cional, conectivos lgicos y tablas de verdad, cuantificadores y mtodos dedemostracin.

1.1. Proposiciones y conectivos lgicosLas matemticas necesitan de un lenguaje que debe carecer de ambigedades,

en el sentido de que todo enunciado debe ser interpretado de la misma manerapor todo matemtico que lo lea. tabajaremos con enunciados que slo puedentomar dos valores de verdad, llamados uerdadero y falso. Estos enunciados sonllamados proposiciones que generalmente se denotan con letras minsculas p,q, r, etc. Por eiemplo: ,

p: Juan juega baloncesto.g: Mara estudia matemticas.r: En la Universidad del valle hay 15.000 estudiantes.s:2+3:7.Note que, por lo general, cuando se hacen enunciados utilizand.o el lenguaje

con el que nos comunicamos, su valor de verdad depender de la interpretacin

quelasdiferentespersonasleden.Enmatemticastalesenunciadosnosecon-,id"rur, proPosiciones' Por ejemPlo:

Maana estudiar matemticas'Conoces el secreto del xito?Cali es una ciudad bonita'De esta manera podemos decir que una proposicin es un enunciado

ideal y

que no tiene ambigedades' O si trabajamos de una forma simblica' podemospensalqueunaproposicinessencillamenterrnamriablequesolopuedetomardos valores' i por medio de los conectivos rtytt'Podemos unir dos o ms proposlcrones p:t T*" uE r.^ Lv-,o*, iri..."rrtonces,,, y ttsi y solo sio. El resultado es rul nueva proposrcrondenominada proposicin compuesta'

consideremot t :::tl.JJ; baloncesto v estudia-matemticasny preguntmo.ro, ,o,"'i'-*l;;" verdad' atgui"o poda decir que la proposi-cin es verdadera por eI solo hecho de que J.an uqp baloncesto- otro

dira

que para que la p,opoJiot' sea verdadea es neccaio que Juan haga las dos

cosas. La proposicin es Ia proposicin p unida a la,nrory11n q de los an-

teriores ejemplos, con la conjuncin y; pareoe natual Pesar que el valor de

verdad de dependu"io, "uf"r* " *,.i4"

de ,as propciciones componentes

p y q. Podemos ",,to*"' considera

todc los pcibh valores de verdad deIas proposiciorru.

"oi'poo"ot"' f d:Fto el ralor de wrdad de la proposicin

"o*p"t t por medio d"

""u tabla llamada tr.ilr de Mdotl

El conectivo frYtt

Si p y q son dos proposicioues, p A g 5 rura nrlssa propcicin denominadacoiuncin de P Y q' Por ejemPlo:

p: 2 es un nmero Par'q: 2 es un nmero Primo'i q, z es un nmero pax y un nmero primo-por definici", ;;;; *idu*r, *t"-.*r. ctaDdo sus dos proposiciones

componentes son verdaderas' Podemoo erprear esto pa dio de la siguientetabla de valores de verdad:

. El conectivo Itott

Si p y q son dos proposiciones, PY I e ruad,isyuncin de P Y q' Por ejemPlo:

pnq IvlFIIIltlinueva proPmicin denominada

10

;-

p: Juan no puede estudiar cuando est cansado.q : Juan no puede estudiar cuando tiene hambre.p V q: Juan no puede estudiar cuando est cansado o con hambre.Por definicin, pY e es verdadera si por lo menos una de las proposiciones

componentes es verdadera (podran serlo ambas). Este es el sentido inclusiao.Su tabla de verdad es la siguiente:

pvqVVVF

En el enunciado: rrJuan est en la casa o en la universidadt', la disyun-cin "o" tiene un sentido diferente, pues es claro que Juan no puede estar almismo tiempo en ambas partes, esto es, si las proposiciones componentes sonverdaderas, la proposicin compuesta es falsa. Este es el sentido exclus'iuo delconectivo rro" y se denota, v g. Su tabla de verdad es:

qVFVF

pVvFF

pvvFF

qVFVF

pYqFvVF

Nota. Mientras no se diga lo contraio, eI conectivo tto'r siempre lo consi-deraremos en su sentido inclusiuo.

r El conectivo rfsi...entoncestt.

Si p y q son proposiciones, p + q es una rueva proposicin denominada irnpli-cacin. Se puede leer 'rp implica grr o rtsi p entonces {", p se llama antecedentey g se llama conse*uente. Por ejemplo:

p: Estudio geometra.q: Ganar el curso.p + q: Si estudio geometra entonces ganar el curso.La implicacin no afirma la veracidad del antecedente; lo nico que se afirma

es que si el antecedente es cierto, entonces el consecuente tambin lo es. Enla implicacin lgica no hay necesariamente una relacin de causalidad entreel antecedente y el consecuente. As, se le puede dar un valor de verdad alenunciado

Si 2 + 3 :5, entonces tengo hambre.La tabla de verdad se define as:

11

qlp+qvl vrl Fvl vFI V

pvVFF

Enlaimplicacinp*g,tambindecimosquegecondicinnecesart'aparap que p es candicin sufic'i'ente pata q'

r El conectivo ttsi Y solo sittSip+qesverdadera,g+pnonecesariamenteloes'Estasellamai'mpli'caci'nrecproca. La conjunci'n (p'+ q)A (q + p) se denota p e q y se lee rrp si y solosi qi O "p es equivalente a g". Su tabla de verdad es:

r La negacin

Si p es una ProPosicin rierdadera,recprocamente.

su negacin rp s ra proposicin falsa y

El conector equivalencia nos permite expreax de rna ma,nera precisa cundodos proposiciones son iguales. Matemticamente, la igualdad de dos proposi-ciones significa qo"

"oriid"rando todos los posibles'nlores de verdad de las

proposicnes atmicas que la comporlen, Ias dos proposiciones en consideracin

toman eI mismo valor de verdad. iingustica.mente, la igualdad de dos proposi-

ciones signiflca que ambas proposiciones explesan exa,ctamente la misma idea.

Por ejemplo, la proposiciOn p es igual a la proposicin -(-p); esta igualdad laescribimos as:

P + -(-P)y la verificamos con la siguiente tabla de verdad

p + -(-P)vv

pVF

q lp

si p es la proposicin rrJuan juega baloncestorr, la equivalencia p

cualquier valor en el .rango, el enunciado se convierte en una proposicin. Lq,sproposiciones abiertas las denotaeG Pc, Ps, Prs, etc. Por ejemplo:

Pt" fi *2: 4qrr+A:OEs claro que no podemo decir si p, es cierto o falso- sin embargo, si hacemos

r:2 obtenemos 2 *2:4la cual es una proposicin nerdadera; o si hacemosr : 1 obtenemos 1 !2:4la cual es una proposicin falsa- Note entonces que'a cada proposicin abierta, se Ie puede asocisx una familia de proposiciones,una por cada posible valor que tomen las vaiables-

Las proposiciones abiertas tambin se convierten en ploposiciones utilizandolos cuantificadores uniaersal y eri,stencioL

. El cuantificador universalEI cuantificador para todo r, denotado vr, * denomina atuificad,or un'iuer'sal y acta sobre una proposicin abierta Pci u valor de verdad depende delos valores de verdad de p, que se obtienen al reempl,azar 3 por valores ensu rango (conjunto universal). Por defniin, la prposicin (v"xp") es ver-dadera cuando p, es verdadera para todo ralor de la variable r. Por ejemplo,la proposicin:

(V,)(r2 > 0)es verdadera puesto que todo nmero eleado al cuadado siempre es no nega-tivo; mientra,s que la proPosicin(V,)("*4:0)es falsa puesto que al hacer r : 1 obtenemos la pmrcicin fnlsa 1*4 : 0. Noteque aI hacer uso de este cuantificador se obtienen uuchas prorosiciones unidaspor el conectivo A. Por ejemplo, si r representa un dfu de l'r semana y p, es laproposicin abierta "Juan trabaja el c", la (v.xp") es equivalentea la proposicin compuestattJuan trabaja el lunes y el martes y el mircoles yel jueves y el viernes y el sbado y el domingoi, que, como vimos, es verdaderasolo cuando todas sus proposiciones compouee son tambin rerdaderas.

. El cuantificador existencialEl cuantificadorn eri,ste algn r, denotado -1. se denomina ana*t'i,ficador eis-tenc,i,al,t y acta sobre una proposicin abiertapr- P6r definicin, la proposicin(lrXpr) es verdadera cuando hay por lo menc un valor de Ia variable r quehace a pr una proposicin verdadera. Por ejemplo

(1,)(r + 5 :4)es verdadera porque si tomamos r :

-l obtnemos l,a proposicin verdadera-1 + 5:4. Por el contrario, la proposicin(1,)(rf1:r)es falsa pues no existe ningn nmero real (asumiendo este conjunto como langode la vaiable) que satisfaga dicha ecuacin- Note ta,mbin, que al usax este

t4

15

cuantificador, se obtienen proposiciones unida por el conectivo V, que comoSe vio anteriolmente, es verdadera si por lo menos una de las proposicionescomponentes es verdadera.

Dada Ia analoga de estos dos cuantificadores con la conjuncin y la disyun-cin, no es sorprendente entonces que la negacin de v sea 3 y la negacin def sea V:

- (Vr, p,)

= (1*,

-p,)-

(1, pr) =

(V,, -p,)

definiciones que parecen bastante naturales despus de observar las tautologas

-(pAq) e(-pV-s) y -(pVq)

r Mtodo de la contrarrecProca

Este mtodo est basado en la tautologa

(p+q)e(-q+-P)llamada contrarrecProca-

Por ejemplo, demostremos por este mtodo el siguiente teorema:"Si a2 es Par, entonces o e Partt'para demostrar el teorema anterior por contrarrecproca, se demuestra la

siguiente forma equivalente:t'Si o es impar, entonces 2 ss impafn.Comooesimpar,entoncesexisteunenteroktalquea:2k*l'Obtenemos

la siguiente cadena de igualdades:

Qk +Dz4kz +4k+l2(2k2+2k)+12s*1

a2:

::

lo que significa que a2 es imPar'

. Reduccin al absurdo

Enlugardeprobarqueunaproposicinpesverdadera.demostramosque-f)es fah. para ello formamos,

"o* "., eI mtodo directo, una cadena de implica-

ciones que conduzcan a una proposicin que contradiga alguna de las hiptesisde la proposicin que se est demostrando, uu teorema demostrado con ante-

rioridad, un axioma o una definicin previamente establecida'Veamos el siguiente ejemplo en el que demostramos la proposicin p:p, rt es un nmero iracional'La negacin de la proposicin anterior es:-p: Ji es un nmero racionalsf.

". racional, entonces existen enteros primos relativos rn y n tal que

J2 : T.Entonces 2 : * y tn2 :2n2' Por lo que m2 es un nmero par yio. to ?uno *tambin #'ru.. Entonces existe un entero /c tal que m:2k.Elevando al cuadrado, ,"rr"*ot qtre m2 : 4k2 y as' 2n2 : 4k2 n2 : 2k2 ' lo1""

"". t* que r2 es un nmero par y por lo tanto n tambin es par' Si rn y

r son pares entonces tienen a 2 como factor comn, 1o que contradice el hechode que rn y n son Primos relativos'

Si tu proporicin es de la forma P * Q,la tautologu -(p + s) e P A-Q'muestra qrr"

"r, eI mtodo de reduccin al absurdo, se toman como hiptesis

16

tanto p como -

q (negacin de la tesis) y se llega, mediante una serie de implicaciones, a una contradiccin de la forma r A-r, como lo muestra la tautologa

((p n -

q) + (rA -r))

Definicin L.4.1 . Diremos que un unjunto B esto onteniilo en ( es unsubconjunto d,e) otro conjunto A, si todo eleneto de B es an elemento de A;para ello usa,nl,os la notac'i,n B g A. En famw tenemos:

BgAle(reB+oeA)La igualdad de conjuntos se define por la doble oontenencia:

Definicin L.4,2 .

A:Be(AgB A BgA)La definicin anterior dice que dos conjrmtm son iguales si tienen los mis-

mos elementos. En este sentido, y aunque paezca rlgo errtrao, los siguientesconjuntos son iguales:

A- {a,b,c}, B : {o,a,b,c,c} y C : {a,a,b,b,c,clpuesto que satisfacen la doble contenencia (coryrrbdo!)-Para el caso en el cual B C A, pero B 1,4, *reqrcB aw aanjunto

propiode A, y se escribe B I A 6 B C A-Ejemplo 1,.4.2 5i,4. : {1,2,3,4,5,6}, B: {2,3,6} , G : {2,3,8} entoncesB C A, pero C no est conten'ido en A, ptr.s8 e G S til fugo, 8 ( A, eneste caso se escribe, C A, que se lee enmo C w fu*ido en A.

Es intuitivamente claro que se tienen ls dc aB,tr xoiedades:L. ACA.2. Si A c B y B c C,entouces A cG.

Definicin 1.4.3 Llamorcmos uttjtu affio $rc no tiene ele-mentos y se d,enotan con e,l smdo a-

Puede resultar extrao hablar de u' ooqfr mnntos, pero es claroque en los siguientes ejemplos tmrrrn.rr{rh

1. El conjunto de los triangulm de flo kEl conjunto de los elefaates rmdc{n e Nln'

Demostracin.como @ no tiene elementos, la proposicin r

o es farsa y por ro tanto raimplicacin

rA+reAes siempre verdadera, lo que prueba el teorema. r

t.4.1. Operaciones entre CoqiuntosEn esta seccin vamos a estudiar la conformacin de nuevos conjuntos apartir de los ya determinados. Ello se consigue combinando los elementos d.e los

conjuntos ya establecidos; es decir, estabreciend.o operaciones entre conjuntos.La tres operaciones ms simpres son la unin, ra intrseccion y airerencia queestudiaremos a continuacin.

. La unin

Definicin l'4.4 La unin d,e d,os mnjuntos A y B, denotad,a por Al) B, sedefine como el conjunto cuyos erementis son tod,os erementos d,i A, iunto conlos elementos de B.De esta forma,

AUB:{r AVreB},lo cual equivale a expresar que:

rAuBerAVraB.Ejemplo 1.4.3 1. senn A: {r,2)2,4,6} y B : {2,8,7, g, g}, entonces:

A u B : {1,2,1, 4,6,7, g, g}.

2. Si C : {n NI : n es par} y D : {n e N : n es impar}, entoncnsCU D: NI.Basndonos en la definicin de unin entre conjuntos se pueden demostrar lassiguientes propiedades elementales:

l. Idempotenc,i,a: AU A: A.2. Conmutatiaidad: AU B : B U A.3. Asociati,aidad: (AU B) U C : Au (B u C).4. Identidad: AU o : A.

19

5. Otras propiedades:

a) Ac(AuB)b) Si A C B entonces Au B : B.

Como ejemplo ilustrativo, demostremos la propiedad 2:AU B : B UA se basa en la equivalencia lgica de p V q y q V p. Debemos

demostrarquer AUB siyslosice B-,1 A.Observemos que el enunciado anterio es equiralente a:

neAvreBerBV.rl{.. La interseccin

Definicin 1.4.5 Laintersecc,in de dos ctnjuntos A y B, se defi,ne como elconjunto formado por los elementos cornunes a A y B; se des,igna por AnB.

En la notacin usual:

AnB:{r Anre B}.Equivalentemente:

rANBeTEAAT8.Ejemplo 1.4.4 1. Sean A: {1,2,3,4,6} y B: {2,3,7,8,9}, entonces,A. B: {2,3}.

2. Si E: {n N : respar} y F : {n e N : nesimpar); entoncesEnF:o.Basndonos en la definicin de interseccin entre conjuntos se pueden demostrarlas siguientes propiedades elementales:

7. Idempotenc,ia: Aa A: A.2. Conmutatiuidad; An B : B O A.3. Asociatiaid,arl: (An B) n C : An (B n C).4. Identidad: Ao a : o.5. Otras propiedades:

a) (An B) c A.D) Si ,4 C B entonces An B : A.

20

' La diferencia

Definicin L.4.6 La d,'iferencita entre ilos coniuntos A y B se d'efine como elcnnjunto formailo por los elementos que pertenecen a A y no peenecen a B;se des'igna por A

-

B.

Es decir, A-B:{r Anr(B}.lo cual equiwale a expresar que:

neA-BereAAr#B).Ejemplo 1.4.5 1. Sean A: {L,2,3,4,6} y B : 12,3,7,8,9}, entonces,

A_ B: {1,4,6}.2. Si E : {n e N : nespar} y F : {n e N[ : nesimpar]; entoncesE-F:8.

Basndonos en la definicin de diferencia entre conjuntos se pueden demostrarlas siguientes propiedades elementales:

l. A- A: @.2. A- @: A.3. a'A: a.4. A-(A-B):A8.5.(A-B)-c-A-(Buc).6.(A-B)-c-A- (Buc).

Propiedades Distributivas :

1. Au (BnC): (u B)n(AuC).2. An(BuC): (An B)u(AnC).3. A- (B u C) : (A

- B) n (A

- C).

4. A- (B C) : (A -

B)u (A- C).. El Complemento

Definicin L.4.7 Sea X un conjunto y A c X, definimos el complemento deA en X como el coniunto X

-

A. El complemento de A en X se denota por A' ,A':X-A-{reX:r(Al.

21

I

Eiemplo t'4'6 romando X como et yryf :ffiffiies

N' fene-

";::;';r;" A: to' 1'2'3) et amPten'eru/: {4,5,6."'}-

Basndonos en Ia definicin de com' plemento ee conjuntos se pueden

de-

mostra las siguientet """"U'U*

elementales

1. AU X: X'2. AaX: A'3. AU A':X'L. Af\ A' : @'

5' (l)' : A'6.Xt:'7-@t:X'8. (Au Bf : I oB''9. (AnB)':AtuB''

L.4'2' EI Producto cartesianoDefinicin ..'A'a Seon A y B

@ttitLttos' Pt z e A" g B defini'mos:

1' El par ord'enad'o lr'y)' entendititosSq (r'y)

-

(t' s) sr' E slo s r : t

ga:s'2' El prod'ucto u'rtesiono ile

A g B toAx B: {('Y) : r AA!' B}'

Ejemplo L'4'7 Si : {u'a}' f}: {u'tr'ur} e'ttilwes:.A x B- {(''rr)' (u' u)' (u' to)' (u' u)' (u' u)'

(u' ro)}'

Por otra Parte:B x A- {("'' (u' u)' (u' u)' (u' u)' (ru' u)' (''')}'

Otrsrveseque A xB+Bx Apues (u'ro) eAxB y (o'u) ( Bx A'

1.5. Ejercicios1. Escriba utilizando los smbolos de la lgica proposicional los enunciados

siguientes.

o) Me quedo estudiando siempre que est lloviendo.b) \oV al cine con tal de que termine los ejercicios.c) Perro que ladra no muerde.d) Cuando ABCD es un cuadriltero, entonces una cond.icin para que

sea cuadrado es que sea rombo.

2. Identifique en cada afirmacin una condicin necesaia, una condicinsufi.ciente o una condicin necesaria y suficiente:

a) La suma de enteros pares es par.) Si hoy no es sbado entonces maana no es domingo.c) Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

3. Muestre, mediante tablas de verdad, que las siguientes proposiciones sontautologas:

a) (p+q)++(-q+-p)u) ((p =+ q)A

-q) ) -pc) ((pvq)^-p)+qd) ((pn

-() + (r n -r)) + (p + q)4. Verifique si las siguientes proposiciores son equivalentes:

o) p: Es falso que Juan juega ftbol y basketbolg: Juan no juega ftbol Juan no juega basketbol

) p: Si rn y n so', enteros positivos, entonc es m+n es un entero positivoq: m *n, es un entero positivo m y n son enteros positivos

5. Demuestre las siguientes proposiciones:

o) Si rn y r son pares, entonces m*n es par.) Si rn y n son impares, entonces rn * n es par.

6. Denote por extensin los siguientes conjuntos:o) El conjunto de los satlites naturales de la tierra.

23

) El conjunto de los escritores que hen rcrtfilo e[ Premio Nbel deliteratura en Colombia.

c) El conjunto de los escritores que baa redHb el Premio Nbel deliteratura en Latinoa,mrica-

d) El conjunto de los ntlmeaedrc.e) El conjunto de loe nmeDfErrimcsque 2 y mayores que

1.

7. Utilizando las propiedades de los mimc dde que:a) (Au B')nB:AB-) (nB)u(AB'):-c) Av(AB)- AY queAn{uBl:A'd.) A

-

(B -

C) : (A -B) u(n61-

e) (Au B) -

B: A, si Y slo Afl.BLs-f) A- (AnB): A- B- 'd A* B : B- A si Y slosiA:.B'h) A- B : A si Y slo si AB:o'i) A-B:B siYslosiA: B:A' -j) An B : AU B si Y slosi A:.B-k) An B : A- B si y slo A:a-

8. Sean A: {L,5,7}, B: {1,3,4,8} y C oC'Q'9}'bcuentre cada unode los siguientes conjuntos

a) Au C.b) AnC.c) Au(BnC).d) B-4.e) Ax B.f) BxA.il Ax(BuC).h) (AxB)u(xc).

9. Un conjunto es: ': - '

o) Una coleccin de elemeutos-

2A

11.

) Una coleccin de objetos'c) Un concepto indefinido.d) Una pluradad de unidades.e) Ninguna de las anteriores.

Del conjunto vaco podemos decir:

a) Que es el complemento de cualquier conjunto.b) Que no es importante.c) Que no existe'd) Que es contradictorio.e) Ninguna de las anteriores.

Dado que A- B - {L,2,3}, AnB

a,firmar que:

a) A:{1.,2,3,4,5}.b) B : {L,2,3,4,5}.c) AUB:{1,2,3,6}.t) A: {1,2,3,4,5,6}.e) B: {6}.

: {4,5} y B -A : {6}, podemos

De un grupo de 100 estudiantes, 60 juegan ftbol, 60 juegan Baloncestoy 30 juegan fitbol y Baloncesto. Se puede afirmar que:

a) 30 juegan slo fhtbol.) 20 juegan slo baloncesto.c) 20 no juegan ni ffitbol ni baloncesto.d) 80 juegan ffitbol o baloncesto.e) No puede dase esto porque deberfa haber mas de 120 estudiartes.

Dado el conjunto A: {Q,1,{2,3},4,5}, tenemos que:a) LcA.b) 2eA.c) {4,5} c A.d) acA.e) Ninguna de las anteriores.

13.

14. Sean A y B conjuntos. Uno de los siguientes enunciados es falso.

a) AcAuB.) (A u B): Ar-t B.c) AnBcA.d) Ana: a.e) Ninguna de las anteriores

Sean A : {7,2} y B: {4,5} se tiene que:a) Ax3:{(1,4),(2,5)}.b) AxB:{1,4,2,5}.c) Ax3:{(1,4),(1,5)}.d,) B x A : {(1, 4), (1, 5), (2,4), (2,5)}-e) Ninguna de las anteriores

Uno de los siguientes conjuntos no es coordinable con el conjunto N delos nmeros naturales

a) El conjunto de los nmeros pares-) El conjunto de los nmerm impares-c) El conjunto de todas la estre[a-d) El conjunto de todos los enterme) Todos los anteriores.

15.

16.

26

Captulo 2Los l\meros Reales

El estudio de los nmeros reales puede presentarse de dos maneras d.istintas:una en forma constructivista y la otra en forma axiomtica.

En la primera presentacin, se parte del conjunto de los nmeros naturales,denotado por NI

N : {1, 2,J,4,...,n,..}y se extiende a un conjunto ms grande, el de los nmeros enteros, formadospor los naturales, junto con los negativos y el cero. se d.enota tal conjunto porZ

Z : {..., -3, -2, - 1, 0, 1, 2,2, .. .} .

Posteriormente se construyen los nmeros racionales, tomando las fracciones ococientes de nmeros enteros. Este conjunto se denota por e, luego

p, qu, n*o\.Finalmente se construye el conjunto de los nmeros irracionales, denotado porll, formado por aquellos nmeros que no pueden expresarse coo cociente dedos enteros. Pertenecen al conjunto, nmeros como tfi,, _ iE, r,2G, etc.

El conjunto de ]os nmeros reares rR se define como ra uriio' a" ros nmerosracionales, con los irracionales, es decir,

R: eulPor otro lado, todo nmero real se puede representar por medio de una expal-sin decimal del tipo

AnAn-1....A1Ag, b1b2....bn,con q,i,b dgitos de 0 a g, para ,i:0...n, j : L....m. La coma representa lacoma decimal y separa la parte entera de ra parte decimar d.er nmero.

*: { ,

27

La representacin decimal de un nmero, p(r'Bite r"la.sificalo como racionalo irracional. En efecto, si a partir de cierto dgito eu la prte decimal, los dgitossiguientes se repiten, se ce que el decimal es pcridn i'reprcenta un nmeroracional,encasocontrario,secequeesmd,ecjmalinfinitonoperidicoyrepresenta un nmero irracioaal'

En cuanto a Ia presentacin en forma axinmica- se partc de un conjuntode nmeros y un cierto nmero de propilades qEe el!o6 satisfacen, Ias cualesse conocen como axiomas.

Enestaunidadsepresentanlmaxi.omasdelaestucnraalgebraicaydelaestuctura de orden de los nmeros reaE'

2.L. La representacin geomtrica de IR'Histricamente, el mayor prob}ema pladeado. desde Ia antigedad griega,

tiene que ver con ta posiuuaaa de carmerizar aimticanente la esencia del

continuo geomtrico. se parte del hecho inritivo de qe La recta es un con-glomeradJ de puntos, reunidm de rma [ilrera especial y en una mismadireccin.Si fijamos un punto, que representa el- oero' coakuier otro punto de la rectarepresenta un nmero real, determinado pa b distaocia del punto aI origen'Si eI punto se encuentra a la derecha' se di- que es positivo y si est a laizquierda, se dice que es negatil'o'

Resulta que la recta es infinitaneute mq is eu puntos que el conjunto deIosnmerosracionalesQ.Estoisnificaqoesirepreeutammlatotalidaddelosnmeros racionales, la rlcta uumrica no se Ilcra- Precisamente, el conjuntode los nmeros representado por lc pmc de la recta numrica que no sonracionales constituye el conjunto de los niaffrc irracionales'

Realicemos ,rrru, r"pro.otacin tpica para rclarar etos aspectos' Tomemosuna recta determinada y luego de fiiar en ell' el punto O' correspondiente alcero, tomemo, or,

""gJ"nto-unitaio, es-decir s longitud es 1' m(OU) : 1'

Los nmeros enteros I" to"u.lirro tomando coeits del patrn de medida O[/'OU

Para representar el nmero rorrrlpl4p y q ee Z+' dividimos el segmentounitario otL en q partes iguale y tomamG P Yces una de esas oartes a partirde O hacia la derecha. Paa el caso del nfuso -p I c @t p y q en Z+' eI procesoes el mismo slo que se localiza a la izquierda de O-

OU-3t2 -l 0rA I 3n 2

28

IEl anterior proceso no es posible cuando se pretende representar los nmerosirracionales. En genral, no existen procesos geomtricos para hacerlo; aunques se puede realizar para casos particulares co^o rt.

Se supone que O es el origen y que m(OU) : 1. Por el punto U se trazalaperpendicul ar U A cuya medida es iguai a 1 y se forma el tringulo rectnguloOAU. Por el teorema de Pitgoras tenemos que m(OA)2 : 12 +12 : 2r y por lotanto m(OA) : tD. Con centro en O y radio OA se traza uha circunferencia lacual corta al eje r en el punto B, de esta forma concluimos rye m(OB): rt,lo que significa que el punto B representa al nmero irracional 14. "

En general, todas las races cuadradas inexactas son ejemplos de nmerosirracionales. Tambin el nmero e (la base de los logaritmos naturales), el cualpuede definirse a travs del lmite de n al infinito de:

(,.;)"Dndole a n val,ores cada vez mayores vemos que obtenemos un valor deter-minado, mayor que.2, pero menor que 3, que aproxima eI conocido nmeroe :2,718281 . . .(ver captulo 7).

Por las mismas razones antes anotadas, si un nmero real positivo es irra-cional, su opuesto tambin es irracional. Es difcil demostrar formalmente quenmeros como 7r y e son irracionales, ello exige algunos elementos tericos quean no hemos definidos.

En lo que hemos referido antes, se nota que, aunque parezcan escasos, elconjunto de nmeros irracionales, que representaremos por el smbolo II, tam-bin es infinito, incluso, aunque tampoco lo mostraremos aqu, tiene mayornmero de elementos que Q. Tambin se tiene que I[ Q.: a.Definicin 2.L.1 La unin d,el conjunto de los racionales y el conjunto de losirracionales constituye el conjunto d,e los nmeros reales, el cual se representapor IR, Es dec'i,r JI u q : q.

29

De acuerdo con la definicin anterirx se tiene que

NcZcQcR e trcR

2.2. Estructura Algebraica2.2.t. Axiomas de cuerPo

Lasoperacionessumaymultiplicacionjrmtoconlaspropiedadesoaxiomasque etlas satisfacen, se cotroce como la estrlrctlll-a algebraica de los nmerosreales.

Axiomas de la suma(*)Propiedad Clausuratia uSi a,b IR entonces a+ b e R

Propi.edad Uni,fonne.S"u,rrr,byclR. Sio:b eutonm a*c:b*c y c+a:c*bLas propiedades 1 y 2 planteaa que la sma(-) es una operacin biendefinida en los nmeros reales'

3. Propidad Asociatiaa.S"uo o, b y c lR entonces o + ( *c) : (c + D) +c'

4. Propiedad Modulatiua-Existe e lR. tal que o * e : e *o : c I'ara todo a g lREl elemento e es nico, se denota por 0 y 5s llarna Mdulo o NeutroAditivo.

5. Propi,edad Inaertiuo-Para cada a IR existe e R' tat que c*b : b* : 0'Elelementobesnico,sedenotapG_aysellamainversoaditivouopuesto de o'

6. Propiedad Conmutatit*Sean o,b IR entonces o+b:b*o

' Axiomas de la multiPlicacin (')

l. Propied'ad Clausuratitt*Sean a, b IR entonce c'b R-

2. Propieilad, Uni'fonne.Sea.ro,bycelR. Sia:b enbnces e'c:b'c y c'a: c'bLas propiedades 1 y 2 plantcan que la multiplicacin(.) es una operacinbien definida en los nmeros reales'

:

1.

2.

30

l

l

;

IF

3. Propi,edad Asociatiua.Sean o, b y c e IR. entonces a' (b' c) : (a'b) ' c.

4. Propied,ad Modulatiua.Existe e

R tal que ' e: e. o,: a para todo o IREl elemento e es nico, se denota por 1 y se llama Mdulo o NeutroMultiplicativo.

5. Propiedad, Inuertiaa.Para cada a

IR, a+0, existe b

R tal que 'b:b'a:lEl elemento b es nico, se denota por a-l y se llama inverso multiplicativoo recproco de a.

6- Propedad, Conmutatiaa.Sean a, b lR entonces o ' b: b' a.

7. Propiedad Distri,buti,ua.Sean a, by c IR entonces a'(b+c): a'b+a'c (distributiva por laizquierda) y (o + b) - c: a' c * b' c (distributiva por la derecha)

Definicin 2.2.L Sean a y b nmeros reales, se defi.ne a-b (a n'Lenos b) comoa-b:a+(-b) r

Definicin 2.2.2 Sean a g b nmeros reales con bl O, se define a + b (adittidido b) como

_aa*b:i:o.u-'Todo nmero multiplicado por cero es cero y esto se puede demostrar como

un teorema:

Teorema 2.2.L Sia es unnmero real entonce.so.0:0.4:0.Demostracin.

a.0: o. (0 + 0) : o.0 * a.0.Restando a. 0 a ambos lados tenemos:

a' 0 * (-"' 0) : o' 0 * o' 0 + (-a' 0) : o' 0 + [a' 0 + (-a' 0)]0:a'0.

IOtras propiedades de los nmeros reales se dan en el siguiente teorema:

31

Teorema 2.2.2 Si a g b son nmaos twks e.at'o*rrs

1. -(-a): a

2. (-a)b: "(-b) : -ab

3. (-l)a: -a

lt. ?a)(-b): auDemostracin. Demostremos solo la parte 2- Para probar Que (-a)b :

-ab debemos demostrar que ab + (-o)b : 0 )' esto se hace as:(-a)b+ab

=,11,:,y b son nmeros rcales, entones a'b : O si y solo si

rTeorema 2.2.3 Si' aa:0 b:0.

2.2.2. Potencias enterasDefinicin 2.2.3 sea a un nmero real y n un entero no negat'iuo. se definea'" aa'" corno:

s a-n : ,,-;::" l, "on

o oTeorema 2.2.4 Sean a g b nmeros renles, rn y n enteros' entonces

L. a* 'a,n : am*n

2. (o*)* --

a*n

3. (ab) : an'bn/a\n ana.\) :F

Ejemplo 2.2.L simplifique la siguiente eqrcsin y d el resultado con erpo-nentes pos'it'iuos.

32 .5-7 + 5-8.334 .23)3 * (5-z .22

32

7. ao :1, para a + 0.2. an:axo,xa....-.xa

Solucin.I Jr.5-7 + b-8 .33 I -1 | rz . s-z(r + 5-1 .3) I -'L@l :LFrrF+T:1,'28)l 5_rz .24(2 * 1)

I 82 . b-7(9) I -1 |-32 . b-8 .*1-r [B . b4l -1 25| ----------------Ls.ir.28.3l -ls-,r.28.s1 - L zt I - r.rn'

Ejemplo 2.2.2 Muestre que:

(r-,r*,-')-') :r*1Solucin.

(, -,,*,-')-')-' : (,- (,* ;)-')-' : (' - (+)-')-' :(,-*)-': (sl-)-' : (#) :r*l

Ejemplo 2.2.3 Resuelaa la ecuac'in (4r+ S) + 2(r +2) : 16r * 9 ind,i.candolas prop'i.edades algebraicas utilizadas.

Solucin.(az + 3) +2(r +2) : 16r * 9@r+3)+2n+4 - 16r*9 Propiedad,distribut'i'ua

(4x + 2r) + (3 + 4) : 16r * 9 Propied,adasociatiuay conmutatiaa6x*7 : 16u *9(6r+7)-9 : (16r+9)-9 Propi.edadUniforme

6r + (7 -

9) : 16r + (9 -

9) Propi.edad Asociati,aa6r

-2 : 16r* 0 InuersoAditiao6r-2 : 16r NeutroAdi,tiuo

6r-2-6t: 16r-6r Propi,edad,Uniforme(6r

-6r) -2 : 10r Propieilad,Cormutatiaay Asociatiua0-Z : 70x InaersoAditi,uo-2 : 10r Neutro Adi.tao

-2.7 = '10 = 1or' , ProPiedadUnif arme

-2.: : ].r0, Propied.aitConmutat'iaa10 102

-* : 1'r InuersoMultiPlicatiuo

1-; : r NeutroMultiPli'catiuo'

32 .b-?(1 + t)