Fundamentos de ingenieria acustica

1M E D I D A D E L AP O T E N C I A A C Ú S T I C A

Tras un repaso de conceptos, se presentarán las sondas de intensi-dad, se discutirán los motivos por los que es interesante la medida dela intensidad y potencia sonora, finalizando con la revisión de normasinternacionales de medida de potencia acústica.

1.1 variables y entorno acústico

Vamos a hacer un breve repaso de cuestiones tratadas en el libro deapuntes de la asignatura Fundamentos de sonido e imagen (FSI), corres-pondiente al Grado de Ingeniería en tecnologías de Telecomunicación,impartida en la Universidad de Vigo.

Definíamos en este libro, en la sección FSI-1.1, al sonido como unaperturbación que modifica las variables dinámicas y termodinámicasde un fluido en reposo, como son su densidad, presión, velocidad vi-bratoria de las partículas o temperatura. Esta perturbación se propa-ga a través del fluido y en cada punto del medio produce variacionestemporales en las variables mencionadas.

Los cambios que se producen en el medio, generan un campo acús-tico, también llamado campo sonoro. Su caracterización requiere dela utilización de una serie de variables acústicas, como la presión so-nora, p, magnitud escalar que indica la variación de presión con res-pecto a la presión en estado de reposo, o la velocidad vibratoria delas partículas, u, magnitud vectorial que indica la dirección, sentidoy amplitud de la velocidad de vibración de las partículas producidapor la perturbación. No debe confundirse con la velocidad de propa-gación, c, velocidad a la que viaja la perturbación por el medio.

Por otra parte, en la sección FSI-1.5, definíamos la intensidad so-nora, I, como la magnitud vectorial que indica la dirección y sentidodel flujo de la energía acústica. Y la potencia acústica, W, como lacantidad de energía generada por unidad de tiempo por una fuentesonora.

También se discutía allí que los campos sonoros tienen diversascaracterísticas que se describen identificando la parte propagativa y laparte no propagativa, o estacionaria, del campo. La parte activa, la quedetermina el flujo neto de energía a través de una superficie normal ala dirección de propagación, está determinada por la intensidad activa,

1

[ 26 de agosto de 2015 at 15:47 – classicthesis versión 2.1 ]

2 medida de la potencia acústica

que es a la que normalmente nos referimos como intensidad sonoray se obtiene a partir de la parte real de la intensidad. La parte nopropagativa del campo, o componente reactiva, la obtenemos a partirde la parte imaginaria.

La energía acústica se transporta gracias a la combinación entre lapresión acústica y la componente de velocidad de partícula que estéen fase con ella, que es el caso de la componente activa de la inten-sidad, como se muestra en la figura 1. En cambio, la componente encuadratura de la velocidad de partícula, al combinarse con la presión,hace oscilar la energía entre el estado cinético y el estado potencial,sin ningún transporte neto de energía, ya que no hay trabajo involu-crado, como se observa en la figura 2.

Figura 1: Campo activo: flujo neto de energía propagándose.

Figura 2: Campo reactivo: circulación local de la energía.

En la sección FSI-4.1.1 hablábamos de campo cercano cuando la partereactiva del campo no sea despreciable frente a la parte activa, lo quecausa que el estudio del campo acústico sea complicado, debido a lasinteracciones entre componentes activas y reactivas. Por otra parte,diremos que estamos en condiciones de campo lejano cuando dominela parte activa del campo, que suele ser la de mayor interés, por serla asociada al campo que se propaga lejos de la fuente.

También allí se decía que tenemos condiciones de campo libre, cuan-do el recinto de medida cumpla determinadas condiciones en

aislamiento, de forma que esté correctamente aislado de cual-quier fuente de ruido externa y en

acondicionamiento, de forma que el recinto de medida no influyaen las condiciones de medida.


1.2 sondas de intensidad acústica 3

Las condiciones de medida fijadas en los estándares internacionales,habitualmente, suelen obligar al uso de cámaras anecoicas (o semiane-coicas), recintos construidos con exigencias elevadas en aislamiento yacondicionamiento.

En algunos ensayos de medición, como la medida de absorbenteso calibración de algún tipo de micrófono, se deben tener unas condi-ciones de medida llamadas de campo difuso. En este caso se persigueque frentes de onda incorrelados lleguen con igual probabilidad des-de múltiples direcciones, sin ninguna dirección dominante. En condi-ciones de laboratorio implica disponer de, lo que se denomina, unacámara reverberante.

En la figura 3 se pueden observar las distintas características delcampo acústico, en función de la distancia a la fuente.

Figura 3: Condiciones de campo. (Fuente: Springer: handbook of acoustics)

1.2 sondas de intensidad acústica

El instrumento usado para medir la intensidad acústica, en un de-terminado punto y dirección, se denomina sonda de intensidad acústica.Para calcular la intensidad se necesita conocer en el punto de medidatanto la presión acústica como el vector velocidad de partícula en ladirección deseada. La presión acústica se mide con un micrófono, pe-ro la velocidad de partícula es más complicada de medir, existiendodos formas de hacerlo hoy en día: o bien por estimación de la veloci-dad a partir del gradiente de presión, las denominadas sondas p-p, obien midiendo directamente la velocidad usando una sonda p-u (p.e.un sensor denominado Microflown R©).

Para poder medir el vector de intensidad instantánea total es ne-cesario medir simultáneamente tres componentes ortogonales, lo queimplica el uso de una sonda tridimensional.



1.2.1 Sondas p-p

Se basan en la ecuación de Euler, ecuación (1), presentada en (5),que nos indica que la velocidad de partícula es proporcional al gra-diente de presión.

ρ0∂u∂t

+∇p = 0. (1)

La estimación del valor de dicho gradiente se consigue usando dosmicrófonos enfrentados cara a cara, ajustados en fase, separados unadistancia d. Se debe cumplir la condición de que (kd)2 1 paraque se pueda obtener la presión como una media aritmética de laspresiones en cada micrófono,

p(t) ≈ p1(t) + p2(t)2

, (2)

mientras que la diferencia entre ambas, dividida por la separación d,proporciona una estima del gradiente de presión en el eje de la son-da, el que une ambos micrófonos. Este gradiente es proporcional a lacomponente axial de la aceleración de partícula. Si integramos tem-poralmente la aceleración, se obtendrá una señal proporcional a lavelocidad de partícula:

un(t) ≈ −1

ρ0d

∫ t

−∞(p1(τ)− p2(τ)) dτ , (3)

donde el subíndice n indica la dirección del eje de la sonda.La componente axial de la intensidad instantánea viene dada por

In(t) ≈ −1

2ρ0d(p1(t) + p2(t))

[∫ t

−∞(p1(τ)− p2(τ)) dτ

], (4)

donde el subíndice n indica la dirección del eje de la sonda.

La estimación del gradiente con sólo dos puntos de muestreo de lapresión hace que exista una clara dependencia de la frecuencia, comose puede observar en la figura 5. Si la separación es pequeña, el erroren las frecuencias más bajas aumenta, lo que marca una frecuencialímite inferior. Por otra parte, si la separación aumenta, el límite su-perior en frecuencia se reduce.Además, los canales que contienen las señales de presión deben estarcorrectamente ajustados en fase, lo que incluye los micrófonos, cablesy demás elementos.

1.2.2 Sondas p-u

Las sondas p-u miden directamente tanto la presión acústica ins-tantánea como la velocidad de partícula instantánea, de forma que almultiplicar ambas señales se obtiene la intensidad acústica instantá-nea, en la dirección del eje de la sonda.

Aunque existen sensores de velocidad de partícula usando ultra-sonidos, el equipo más usado hoy en día es el desarrollado por la


1.2 sondas de intensidad acústica 5

Figura 4: Intensidad medida en la dirección del eje de los micrófonos, enuna sonda p-p.

Figura 5: Influencia del separador en la frecuencia medida.

empresa Microflown R©, basado en la medida de cambios de tempe-ratura debidos a la velocidad de partícula. Su tamaño reducido, comose ve en la figura 6, lo hace muy versátil.

Figura 6: Sensor pu de Microflown R©.



1.3 usos de la medición de potencia

y la intensidad acústica

Conocer una estima de la potencia acústica que emite una fuente,o la intensidad que se mide en un punto del espacio, es fundamentalpara numerosas aplicaciones.

Los usos principales de la potencia acústica son los siguientes:

Caracterización de fuentes: necesario para poder verificar el cum-plimiento de cierta norma o reglamento. Por ejemplo, verificarque un electrodoméstico no supere una determinada potenciaacústica máxima tolerable, y pueda ser homologado para unuso determinado. Es clave, también, para poder comparar siste-mas distintos, de forma que se puedan valorar las ventajas deelegir unos u otros.

Predicción: conocer la potencia acústica nos permite predecir elcampo de presión en el entorno de la fuente, siempre que secumplan determinadas condiciones.

Diagnóstico y control de ruido: tanto para poder detectar compor-tamientos anómalos como para poder identificar las componen-tes que más contribuyen al ruido existente y, así, aplicar medi-das de control eficaces.

La intensidad acústica, por otra parte, es útil para aplicaciones múlti-ples:

Caracterización de fuentes: para caracterizar completamente la fuen-te, además de su potencia acústica, también hay que conocer sudirectividad. Es clave, igual que la potencia, para poder elegirentre sistemas distintos. Por ejemplo, en la figura 7 se obser-va un mapa de intensidad acústica que muestra la intensidadmedida, a 1 kHz, en un plano vertical paralelo a un lateral deun ordenador de sobremesa. Se observa claramente la relacióncon los nodos y antinodos de vibración de la placa metálica dellateral.

Predicción y estimación: conocer la distribución espacial de la in-tensidad acústica nos permite predecir con mayor precisión elcampo acústico en el entorno de la fuente. Las condiciones quese deben cumplir son, en este caso, menos restrictivas que lasque se necesitan si predecimos o estimamos a partir de medidasde presión acústica.

Diagnóstico y control de ruido: añade la información espacial delcampo acústico, facilitando la identificación de las fuentes deruido. Elaborar los llamados mapas de intensidad ayuda, por tan-to, a la localización espacial de las contribuciones de distintasfuentes actuando simultáneamente.


1.4 ensayos de medida de potencia acústica según estándar 7

Figura 7: Mapa de intensidad acústica, a 1 kHz, en un plano vertical paraleloal lateral de un ordenador de sobremesa.

1.4 ensayos de medida de potencia

acústica según estándar

Para hacer comparaciones objetivas entre equipos, o con valoresumbral que se deban cumplir, se hace necesario definir unas medidasestándar. Algunas medidas están contenidas en estándares interna-cionales, y otras son estándares de facto, ya que los suelen usar losfabricantes de equipos.

Las normas internacionales que se refieren a medidas acústicas sondesarrolladas por organismos de normalización, como las normas eu-ropeas (en su versión española UNE (AENOR)) o ISO (InternationalOrganization for Standardization), entre otras.

Estas normas especifican las condiciones nominales para realizar elensayo de medida y los métodos de cálculo, para posibilitar la repeti-bilidad de los experimentos.

Las especificaciones provenientes de ensayos que no se realizansegún norma son poco fiables, ya que las condiciones del ensayo pue-den influir drásticamente en los resultados.

Las normas que definen los métodos descritos a continuación sonlas siguientes:

ISO 3745: determinación de los niveles de potencia acústica de lasfuentes de ruido utilizando presión acústica. Métodos de laboratoriopara cámaras anecoicas y semianecoicas. Existen otras normas, enla serie ISO-3740, que describen métodos de medida en otrascondiciones.

ISO 9614: determinación de los niveles de potencia acústica de lasfuentes de ruido a partir de la intensidad del sonido. Parte 1: mediciónen puntos discretos.



1.5 métodos de medición de la po-tencia acústica

En la sección FSI-1.5 se planteaba que, si se encerraba una fuentesonora en un volumen de control, podíamos calcular su potencia so-nora W midiendo el flujo de energía que atravesaba la superficie quedefinía dicho volumen de control. La ecuación que refleja este hechoes: ∮

SI dS = W. (5)

Basándose en esta ecuación se plantean dos formas habituales demedir la potencia acústica de una fuente, que revisaremos a continua-ción: con el uso de medidas de presión sonora o midiendo directa-mente la intensidad sonora.

1.5.1 Medida de potencia a partir de presión acústica

La norma ISO 3745 especifica un método para la medida de po-tencia acústica en laboratorio. En concreto, revisaremos la medida enuna cámara semianecoica, con suelo reflectante. La fuente debe serestacionaria en el periodo de tiempo de integración.

Superficie de medida

Al ser el suelo reflectante, la superficie de medida a usar es unasemiesfera.

Al suponer condiciones de campo libre, ya que estamos en unacámara semianecoica, podemos estimar el nivel de intensidad a partirdel nivel de presión acústica, y calcular la potencia W. Suponiendouna semiesfera:

p2 = ρ0 · c ·W

2πr2 (6)

Para realizar esta estimación de la intensidad a partir de la presiónacústica se elige un número suficiente de puntos en la superficie, conuna distribución espacial especificada en la norma, como se observaen la figura 8.

El radio de la semiesfera debe ser, al menos:

Dos veces la dimensión mayor de la fuente o tres veces la distan-cia del centro acústico1 al plano reflectante, la que sea mayor.

λ/4 de la frecuencia más baja a medir.

1 metro.

1 Por centro acústico entendemos el lugar aparente del centro de curvatura del frentede ondas en campo lejano.


1.5 métodos de medición de la potencia acústica 9

Figura 8: Muestreo espacial en la semiesfera.

Si los valores medidos en los puntos difieren mucho entre sí, lo queindica una directividad acusada en la fuente, entonces hay que au-mentar el número de puntos de muestreo espacial.

Se pueden aplicar otros métodos que usan un micrófono en movi-miento.

En la figura 9 se observa un conjunto de micrófonos que muestreanun arco de la semiesfera. Para completar el muestreo se debe ir giran-do la fuente, o bien ir girando el arco de micrófonos alrededor de lafuente estática. Es un ejemplo que muestra cómo realizar el ensayosin disponer de 20 micrófonos para medir simultáneamente en lospuntos de muestreo. En este caso, una vez completada la semiesfera,el número de puntos muestreado es mucho mayor que el especificadoen la norma.

Figura 9: Medida de la presión en un arco de la semiesfera.



Ruido de fondo

Se debe medir el ruido de fondo existente con la fuente apagada,para valorar si es necesaria alguna corrección en la medida de la fuen-te.

Definiendo:

∆L′pi: nivel de presión acústica medido con la fuente encendida.

∆L′′pi: nivel de presión acústica medido con la fuente apagada.

se estima el ruido de fondo, ∆Li, como la diferencia entre ambas me-didas:

∆Li = ∆L′pi − ∆L′′pi (7)

La corrección a aplicar, Kli, se calcula para cada posición de medida,y para cada banda de frecuencia, según la ecuación (8):

Kli = −10 · log10

(1− 10−0,1·∆Li

)[dB] (8)

∆Lpi, el nivel de presión acústica medido con la fuente encendiday ya corregido, se calcula así:

∆Lpi = ∆L′pi − Kli (9)

Estima del nivel de potencia acústica

El nivel de potencia acústica LW de la fuente se calcula a partirdel llamado nivel de presión acústica superficial, Lp f , que se obtie-ne promediando las medidas sobre la superficie de ensayo según laecuación (10),

Lp f = 10 · log10

(1S

N

∑i=1

Si 100,1·Lpi

)[dB], (10)

donde Lpi es el nivel de presión sonora medido en cada posición demicrófono, Si la superficie asociada a cada posición, y S la suma detodas, la superficie total.

El nivel de potencia acústica se calcula, finalmente, usando la ecua-ción (11),

LW = Lp f + 10 · log10

(SS0

)+ C1 + C2 , (11)

donde S es la superficie total de medida (2πr2), S0 = 1m2, y los coe-ficientes C1 y C2 son correcciones por presión atmosférica y tempera-tura, respectivamente.



Fuentes de incertidumbre

En todo ensayo existen circunstancias que impiden que la medi-da sea perfecta, haciéndola imprecisa. Es lo que se denomina incerti-dumbre de medida, que siempre hay que tener presente en cualquierensayo que se realice.

Las fuentes de incertidumbre que existen en un ensayo como eldescrito son las siguientes:

La necesidad de transportar la fuente a un entorno de medidaadecuado provoca, en general, un cambio en las condicioneshabituales de funcionamiento del sistema que se está midiendo.

Defectos en la instrumentación usada e imprecisiones en la eje-cución del procedimiento de medida.

El error dependerá de la variación espacial de p2 sobre la super-ficie de medida y, por tanto, de:

• La directividad de la fuente: la superficie de medida ele-gida y el número y distribución de los puntos de medidadeben intentar disminuir este efecto.

• La proximidad de fuentes parásitas fuera de la superficiede medida.

La validez de la estimación del nivel de intensidad a partir delnivel de presión acústica.

1.5.2 Medida de potencia a partir de la intensidad acústica

La norma ISO 9614 especifica métodos para determinar la poten-cia acústica de una fuente, en condiciones menos restrictivas que laspresentadas en las normas de la serie ISO 3745. Las condiciones decontorno exigentes que permitirá abordar el uso de la medida de laintensidad son, principalmente:

La medida in situ de la potencia sonora de equipos de dimen-siones muy grandes, que no pueden ser transportados a un la-boratorio.

La medida en presencia de fuentes de ruido distintas de la quese pretende medir su potencia acústica.

La fuente debe ser estacionaria en el periodo de tiempo de integra-ción.

Superficie de medida

Encerramos la fuente sonora en una superficie de medida que seacómoda y conocida. Una superficie habitual es la que conforman loslados de un paralelepípedo, aunque se pueden usar otras superficies



como semiesferas, cilindros, semicilindros, etc..

La distancia entre la superficie de medida y la superficie de la fuen-te a medir debe ser mayor, en general, que 0,5 metros. Se debe evitarel campo cercano, para reducir la contribución del campo reactivo.

Para realizar una medida de la intensidad se elige un número su-ficiente de puntos. La fuente debe ser estacionaria en el periodo detiempo de integración:

W =∮

SIn(t) dS =

∮S

In dS . (12)

Se pueden aplicar otros métodos que usan una sonda de intensi-dad en movimiento.

En la figura 10 se observa un ejemplo de la medida de la intensidad,usando una sonda p-p, en un área reducida, de las muchas en las quese divide el paralelepípedo.

Figura 10: Medida de la intensidad con una sonda p-p en una sección de unparalelepípedo.

Ruido de fondo e indicadores de campo

Existen una serie de indicadores de campo (F1, F2, F3, F4) que sedeben comprobar para poder corregir los resultados del ensayo.

Para más detalles, consultar el texto de la norma.



Estima del nivel de potencia acústica

Para cada banda de frecuencia y en cada elemento, de área Si, enlos que hemos dividido la superficie de control, se mide el módulode la componente normal de intensidad, Ini, y se estima una potenciaparcial Wi,

Wi = |Ini| · Si = Ini · Si, (13)

a partir de las cuales se calcula la potencia sonora total W:

W =

∣∣∣∣∣ N

∑i=1

Wi

∣∣∣∣∣ . (14)

La potencia Wi puede tomar un valor negativo, debido a una com-ponente negativa de la intensidad en una sección determinada. Elsigno negativo se toma como dato, que indica un flujo entrante deenergía, pero después de hacer el sumatorio se considera solamenteel valor absoluto de la potencia total estimada. Si la potencia totalfuera negativa, no se puede calcular la potencia acústica según estemétodo.

El nivel de potencia acústica, LW , viene dado por

LW = 10 log10

(WW0

), (15)

con W0 = 10−12W.

La medida de la intensidad normal saliente de la superficie de me-dida, cuando existe una fuente sonora en su interior, nos permitecalcular su potencia sonora, según hemos visto en la ecuación (12) yse refleja en la figura 11.

Figura 11: Medida de la intensidad normal a la superficie que delimita elvolumen de control.

La gran ventaja de usar un método basado en medidas de intensi-dad es que, aún en presencia de otras fuentes interferentes, se puedehacer una medida de la potencia de la fuente. Las fuentes parásitassólo influyen en las medidas locales de intensidad, como podemos



observar en la figura 12. La fuente parásita contribuye con una inten-sidad de signo negativo cuando su energía entra en el volumen decontrol, y con una intensidad de signo positivo, con el mismo módu-lo, cuando la energía sale del volumen de control. Si no hay pérdidasdentro del volumen de control, la contribución neta de la fuente pará-sita a la potencia total es cero. En cambio, la contribución de la fuentea medir es siempre saliente y, por tanto, positiva.

Figura 12: Contribución a la intensidad normal de una fuente parásita.

En caso de que existan superficies absorbentes en el interior delvolumen de control esto ya no se cumple, como podemos ver en lafigura 13. Ahora la contribución de energía entrante de la fuente pa-rásita ya no se ve compensada por una contribución saliente similar,ya que se disipa en el interior. De hecho, aún en ausencia de fuentesparásitas, la medida de la fuente puede estar afectada si el absorbenteno forma parte de la fuente en sí.

Figura 13: Efecto de un absorbente en el interior del volumen de control.



Fuentes de incertidumbre

En este ensayo tenemos una incertidumbre que depende de variosfactores:

La directividad de la fuente sonora. Así, si existen variacionesespaciales bruscas en una zona, se debe aumentar el número depuntos de muestreo espacial.

La superficie de medida elegida y la distribución de los puntosde medida.

La proximidad de fuentes parásitas fuera de la superficie demedida que afectan a la medida de presión acústica.

La existencia de campo reactivo, debido a la proximidad de lafuente o a la presencia de ondas estacionarias.

Si el ángulo que forma el vector intensidad con la normal a lasuperficie es muy elevado (con 90

o tendríamos un error muygrande).

Instrumentación usada y ejecución del procedimiento de medi-da.

Presencia de absorbentes dentro del volumen de control.



2M O D E L O S D ER A D I A C I Ó N D EF U E N T E S

Tras un repaso de conceptos de directividad y radiación de un mo-nopolo, se presentarán fuentes más complicadas, como el dipolo, elmonopolo apantallado y el pistón circular.

2.1 fuentes simples y radiación

2.1.1 Impedancia y directividad

Si en la sección FSI-1.3.6 la impedancia acústica se define como larelación entre la presión compleja, p y la amplitud compleja, u, de lavelocidad de las partículas en la dirección de propagación considera-da,

Za =pu

, (16)

en la sección FSI-5.3.1 se define la impedancia acústica que existe enuna superficie radiante como

Za,rad =pq

, (17)

es decir, la relación entre la presión compleja, p y la velocidad volumé-trica compleja, q. Este valor de impedancia, asociado a la superficieradiante, se denomina impedancia acústica de radiación.

En la sección FSI-5.6.1 se presentaba el eje acústico como la direcciónen la que la intensidad acústica es mayor. También se definía el fac-tor direccional, D(θ), como la relación entre la presión acústica en unpunto y la presión acústica en el eje acústico, a la misma distancia r,Pax(r),

D(θ) =P(r, θ)

Pax(r), (18)

por lo que la presión acústica en cualquier punto se puede calcularcomo

p(r, θ, t) = Pax(r)D(θ)ejωt, (19)

17


18 modelos de radiación de fuentes

donde se observa un factor que sólo depende de la distancia a la quenos encontramos y otro, el factor direccional, que sólo depende dela dirección observada. Este factor direccional se suele expresar enunidades logarítmicas, normalizadas al máximo valor presente, porlo que hablamos del patrón de haz, o patrón de radiación.

Otro parámetro usado es el llamado ángulo de cobertura, que es elángulo entre las dos direcciones a cada lado del lóbulo principal delpatrón de radiación, para las cuales su valor es 6 dB menor que elcorrespondiente al eje acústico.

Por último, la directividad Di es la relación entre la intensidad en eleje acústico y la intensidad que presentaría una fuente omnidireccio-nal de la misma potencia a la misma distancia:

Di =Iax

Iomni= Iax

4πr2

W. (20)

Si trabajamos con unidades logarítmicas, hablaremos del índice dedirectividad DI:

DI = 10 log10(Di). (21)

2.1.2 Monopolo: esfera pulsante

En la sección FSI-5.4.1 se presentó, en detalle, la llamada esfera pul-sante, que es una esfera que se contrae y expande armónicamente,aumentando y disminuyendo su radio a siguiendo una variación si-nusoidal caracterizada por la velocidad mecánica v = Vejωtr. Esta es-fera genera un campo acústico esférico.

Sabiendo que q = 4πa2v, podemos expresar la presión p en funciónde la velocidad volumétrica q = Qejωt:

p(r, t) =ρ0cQ4πa

((ka)2 + jka1 + (ka)2

)e−jk(r−a)

rejωt, (22)

siendo la velocidad de la partícula:

u(r, t) =Q

4πa

((ka)2 + jka1 + (ka)2

) (1 +

1jkr

)e−jk(r−a)

rejωt r. (23)

La impedancia acústica en el medio tomará el siguiente valor:

Za(r) =p(r, t)u(r, t)

= ρ0c((kr)2 + jkr1 + (kr)2

). (24)

Y la impedancia acústica de radiación en la superficie de la esfera:

Za,rad =p(a, t)q(t)

=ρ0c

4πa2

((ka)2 + jka1 + (ka)2

). (25)

La potencia acústica se obtiene integrando la intensidad activa enuna esfera de radio r:

W = 4πr2 Ir =ρ0c∣∣Q∣∣2

8π

((k)2

1 + (ka)2

). (26)


2.1 fuentes simples y radiación 19

Se discutía también cómo influía la relación entre el tamaño de lafuente y la longitud de onda.

Cuando ka 1, la impedancia de radiación se hace aproximada-mente reactiva pura:

Za,rad ≈ jρ0ω

4πa, (27)

lo que nos indica que la energía se está usando para mover la masade aire que rodea a la esfera.

En este caso, y si suponemos también que r a, entonces podemosaproximar la presión acústica por

p(r, t) ≈ jρ0ωQ4πr

e−jkrejωt, (28)

expresión que describe el comportamiento de un monopolo, una fuen-te puntual.

Cuando ka 1, por tanto a λ, la longitud de onda es muchomenor que el tamaño de la fuente. La impedancia de radiación pasaa ser aproximadamente resistiva pura:

Za,rad ≈ρ0c

4πa2 , (29)

lo que nos indica que la energía se está usando para generar un cam-po acústico activo que, como veremos, se propagará en todas direc-ciones.

Como Q = 4πa2V, la ecuación (26) se puede reescribir como:

W = 2πρ0c∣∣V∣∣2 a2

((ka)2

1 + (ka)2

), (30)

donde se ve claramente que si ka 1 la potencia acústica es muypequeña, indicándonos que una fuente con un tamaño mucho menorque la longitud de onda no puede ser un radiador eficiente, dada unadeterminada velocidad mecánica V y un determinado diámetro a dela esfera. Evidentemente, conseguiremos la máxima potencia acústicacuando se cumpla ka 1, con una fuente mucho más grande que lalongitud de onda.

Si estudiamos ahora cómo será el campo acústico en función de laproximidad a la fuente, sabemos que deberemos estudiar el compor-tamiento del producto kr.

Cuando kr 1, por tanto r λ, la longitud de onda es muchomayor que la distancia a la que nos encontramos de la fuente. Laimpedancia acústica tiene parte resistiva y reactiva, predominando lasegunda:

Za ≈ ρ0c[(kr)2 + jkr

]. (31)



Con respecto a la presión acústica y a la velocidad de partículapodemos observar que si kr 1 entonces:

u(r, t) ≈ −j1

ρ0c1kr

p(r, t)r, (32)

lo que nos indica que la presión y la velocidad de partícula están encuadratura.

Cuando kr 1, por tanto r λ, la longitud de onda es muchomenor que la distancia a la que nos encontramos de la fuente. Laimpedancia acústica tiene solamente parte resistiva, la llamada impe-dancia característica del medio:

Za(r) ≈ ρ0c. (33)

Y podemos observar que, con kr 1, la presión acústica y la velo-cidad de partícula están en fase:

u(r, t) =p(r, t)

ρ0cr. (34)

Esfera pulsante: patrón de radiaciónEvidentemente el valor del patrón de radiación de una fuente omni-direccional es idéntico en cualquier dirección. Su eje acústico es, a suvez, cualquier dirección que se elija.

2.2 dipolo

El monopolo que acabamos de estudiar es una fuente ideal, quenos sirve como base para poder modelar fuentes más complicadas.Una fuente de interés es el llamado dipolo, que consiste en dos mono-polos de igual velocidad volumétrica q, pero vibrando en contrafase,como se indica en la figura 14.En el monopolo se modelaba una fuente que cambiaba de volumen

para generar el sonido, mientras que el dipolo es un primer paso ha-cia una fuente que no cambia su volumen para generarlo. Para ellodebemos considerar que la distancia 2h entre los monopolos es mu-cho menor que la longitud de onda estudiada, en cuyo caso se hablade un dipolo puntual.

La presión en un punto a unas distancias r1 y r2, respectivamente,de cada monopolo será la suma de las dos contribuciones:

p ≈ jρ0ωQ

4πejωt

[e−jkr2

r2− e−jkr1

r1

]. (35)

Si tomamos como referencia el centro del dipolo se considera ladistancia r, que se puede poner en función de r1 y r2, si consideramos


2.2 dipolo 21

Figura 14: Dipolo.

que r 2h, ya que r1 ≈ r− ∆r1 y r2 ≈ r + ∆r2. Además, también sepuede aproximar θ′ ≈ θ y, por tanto, también ∆r1 ≈ ∆r2 ≈ h cos(θ).

Sustituyendo en la ecuación (35), y considerando también que kh 1,lo que nos permite aproximar

sin(kh cos(θ)) ≈ kh cos(θ) (36)

se obtiene la expresión de la presión generada por el dipolo puntual

p ≈ ρ0 c h k2 Q2πr

cos θ e−jkrejωt. (37)

en la que, además de la dependencia esperada con 1/r, se observauna dependencia con el ángulo θ.

La potencia acústica se puede obtener al integrar una esfera centra-da en medio de los dos monopolos, y su valor es

W =ρ0 c h2 k4

∣∣Q∣∣26π

(38)

2.2.1 Dipolo: discusión

Si calculamos la relación entre la potencia acústica del dipolo y ladel monopolo, con una misma q, se obtiene

Wdipolo

Wmonopolo=

43(hk)2 (39)

que, al ser kh 1, nos indica que la potencia acústica se ve reducida,debido a las cancelaciones entre ambos monopolos. Este es el caso de



un altavoz radiando, donde, mientras la cara delantera comprime elaire, la cara trasera lo expande, y viceversa. Esto causa un problemaserio para conseguir potencia acústica en frecuencias bajas, lo que seintenta aliviar encerrando el altavoz en lo que se denominan cajasacústicas.

Es de destacar también la dependencia distinta con la frecuencia:mientras la potencia acústica del monopolo depende de k2, la deldipolo depende de k4.

2.2.2 Dipolo: patrón de radiación

Observando la ecuación (37) se puede deducir que tendremos unosmínimos de radiación cuando el ángulo θ sea π/2 ó 3π/2, siendolos máximos de radiación en 0 y π radianes, respectivamente; portanto, el eje acústico se podría definir como cualquiera de estas dosdirecciones.

2.3 monopolo y plano infinito

Otro caso simple de interés es cuando situamos un monopolo cercade un plano infinito reflectante, como el mostrado en la figura 15.

Figura 15: Monopolo y plano reflectante.

Se puede solucionar usando el llamado método de la fuente imagen,donde situamos una fuente virtual idéntica en la normal, al otro ladodel plano y a la misma distancia, calculando posteriormente la contri-bución de ambas en un punto determinado. La forma de proceder essimilar a la que se ha usado en el análisis del dipolo.


2.4 pistón circular 23

Suponiendo una condición de campo armónico esférico, la presiónen el destino será la suma de ambas,

p ≈[

jρ0ωQ4πr

e−jkr1 ejωt] [

1 +r1

r2ejk(r1−r2)

], (40)

donde observamos dos términos: el primero corresponde a la presióngenerada por la fuente en ausencia del plano infinito y el segundocorresponde a la influencia de éste.

2.3.1 Monopolo y plano infinito: discusión

Si suponemos que k(r1 − r2) 1, por lo que 2π(r1 − r2) λ, ve-mos que la influencia del plano hace que la presión se incremente enun factor 1 + r1/r2.

Se producirá lo que se denomina una interferencia destructiva cuan-do este factor sea menor que la unidad. La primera frecuencia a la Situar un micrófono

cerca de unasuperficie provocaeste efecto, que sedebe evitar para queel sonido captado secorresponda con elde la fuente.

que ocurre este fenómeno es cuando se cumple que k(r1 − r2) = π,es decir, cuando (r1 − r2) = λ/2. Las siguientes frecuencias serán lascorrespondientes a cuando la diferencia entre los caminos r1 y r2 secorrespondan con múltiplos enteros de λ/2. Esto se denomina efectopeine y provoca un patrón periódico de cancelaciones que se puedeobservar en la respuesta en frecuencia del sistema completo.

En el caso en que la distancia r1 sea mucho mayor que la distanciaal plano, entonces podemos hacer las aproximaciones usadas paraobtener la ecuación (37) y escribir

p ≈ 2 cos(kh cos(θ))[

jρ0ωQ4πr

e−jkr ejωt]

, (41)

donde se puede observar que si kh 1, entonces la presión acústicase dobla con respecto a la que tendría el monopolo en campo libre.

La potencia acústica obedece a esta expresión:

W =ρ0 c k2

∣∣Q∣∣28π

[1 +

sin(2kh)2kh

], (42)

donde se observa que si kh 1, es decir, cuando la distancia al planoes mucho menor que la longitud de onda, entonces la potencia sedobla1.

De forma similar se llega a la conclusión de que la intensidad secuadriplica con respecto al caso del monopolo en campo libre.

2.4 pistón circular

El pistón circular es una fuente que se suele usar para modelar laradiación del diafragma circular de un altavoz. Para poder modelarlo

1 La fuente tiene la misma velocidad volumétrica y la misma velocidad mecánica enla superficie, por lo que debe gastar el doble de potencia debido a que la presiónacústica se ha doblado.



vamos a suponer, como se plantea en la figura 16, que está constituidopor múltiples fuentes simples, que radiarán en fase:

El pistón está colocado sobre una pantalla infinita.

Su radio es a y el disco vibra a una velocidad mecánica, en eleje z, v = Vejωtz. Esto hace que la presión acústica sea simétricarotacionalmente con respecto a dicho eje z.

El punto genérico donde queremos calcular la presión es A(r, θ),situado a una distancia r del centro del disco y un ángulo θ deleje z.

Se define un punto A′(r′, ϕ), situado sobre el disco a una dis-tancia r′ del centro y un ángulo ϕ con el eje x. Este punto A′

corresponderá a un elemento del pistón, que suponemos que ra-diará como un monopolo. Cada elemento A’, por estar en planoinfinito, dará lugar a una fuente imagen, como discutimos en lasección 2.3.1, de forma que su velocidad volumétrica se doblará.

Figura 16: Pistón circular.

La distancia d, entre el punto A(x, y, z), donde queremos calcularla presión, y el punto A′(x′, y′, z′), que va a contribuir a generar dichapresión, se puede calcular presentando dichos puntos en coordenadaspolares:

x = 0 y = r sin(θ) z = r cos(θ)

x′ = r′ cos(ϕ) y′ = r′ sin(ϕ) z′ = 0,(43)

y, así,

d =√(x− x′)2 + (y− y′)2 + (z− z′)2 =

√r2 + r′2 − 2rr′ sin θ cos ϕ,

(44)

El elemento A′, de área da, radia como un monopolo en el ángulosólido Ω = 2π, por lo que su contribución a la presión generada enel elemento A va a serSabiendo que

dQ = V dadp = jωρ0 dQ

e−jkd

2πdejωt = jωρ0 V

e−jkd

2πdda ejωt, (45)

donde hemos hecho uso de la ecuación (41) y se ha asumido quekh 1, ya que el monopolo está a ras del plano reflectante y, portanto, se dobla la presión generada con respecto a un monopolo encampo libre.



2.4.1 Campo lejano: patrón de radiación

Si hacemos la suposición de que r r′, podemos hacer dos apro-ximaciones:

1. En el denominador: d ≈ r

2. En el exponente2: d ≈ r− r′ sin θ sin ϕ

La presión total en el punto A se calculará considerando las contri-buciones de todos los elementos A′ en la superficie del disco: Sabiendo que

Q = πa2V y que elelemento áreada = r′dϕdr′p(r, θ) = jωρ0 V

e−jkr

2πrejωt

∫ a

0

∫ 2π

0ejkr′ sin θ sin ϕ r′dϕdr′ =

= jωρ0 Q[

2J1(ka sin θ)

ka sin θ

]e−jkr

2πrejωt

donde J1 es la función de Bessel de orden 1.

Fijada una distancia r, podemos observar que la presión en un án-gulo θ tiene una dependencia con el argumento ka sin θ:

ka sin θ =2π

λa sin θ =

2πaλ

sin θ, (46)

lo que nos indica que la presión es una función de la relación entrela circunferencia del pistón y la longitud de onda de trabajo, como seaprecia en la figura 17.

Figura 17: Radiación del pistón circular.

La función J1, cuando su argumento es muy pequeño, se puedeaproximar por:

J1(x) ≈ x2

, si x 1, (47)

lo que nos permite comprobar que, en el eje del pistón, con θ = 0,la presión se corresponde con la del monopolo apantallado, ecua-ción (41).

2 (x + y)a = xa + axa−1y + a(a−1)2 xa−2y2 + . . .



2.4.2 Campo cercano: comportamiento en el eje

Figura 18: Eje del pistón circular.

Cuando no se cumplen las condiciones de campo lejano es imposi-ble, en general, obtener expresiones que nos describan la presión encampo cercano, salvo que la evaluemos sobre el eje del pistón. En estecaso, con θ = 0, la distancia de un punto en el eje z hasta el elementoen el pistón será d =

√z2 + r′2 y da = 2πr′dr′. Al integrar la ecua-

ción (45), y llamando da =√

z2 + a2 a la distancia desde el punto enel eje hasta el borde del pistón:

p(z) = jωρ0Vejωt∫ a

0

1√z2 + r′2

e−jk√

z2+r′2 dr′ = jωρ0Vejωt[

e−jkz − e−jkda

jk

],

(48)

que, multiplicando numerador y denominador por el término ej k2 da ,

nos lleva a:

p(z) = jωρ0Vejωte−j k2 (da+z) 2

ksin[

k2(da − z)

]. (49)

Los máximos de está expresión aparecen cuando el argumento de lafunción seno es un múltiplo impar de π/2:

da − z = (2n− 1)λ

2, n = 1, 2, . . . (50)

y los mínimos

da − z = nλ, n = 1, 2, . . . (51)

En la figura 19 se pueden observar los refuerzos y cancelaciones queaparecen en el eje, en condiciones de campo cercano.



Figura 19: Campo cercano en el eje del pistón circular.



Parte I

A P P E N D I X



AC U E S T I O N A R I O :M E D I D A D E L AP O T E N C I A A C Ú S T I C A

1. Calcula la presión acústica cuadrática media (rms) y la velo-cidad de partícula cuadrática media en una onda plana pro-gresiva de 250 Hz, cuyo nivel de presión sonora es de 74 dB.(ρ0 · c = 415 kg/(m2 · s))

. • /

2. Comenta con detalle, la diferencia entre campo cercano y cam-po lejano, haciendo uso de las componentes de la intensidadacústica.

. • /

3. ¿Cómo conseguimos en un recinto las condiciones de campolibre para una determinada frecuencia?

. • /

4. Explica la influencia, en el rango disponible de frecuencias detrabajo, de la separación entre los micrófonos en una sondade intensidad p-p. Haz uso de dibujos.

. • /

5. Comenta dos usos de la potencia acústica.

. • /

6. ¿Qué es un mapa de intensidad?

. • /

1


2 cuestionario : medida de la potencia acústica

7. Se construye un paralelepípedo de medida alrededor de unafuente sonora para determinar su potencia acústica usandomedidas de intensidad en cada superficie. Las áreas y los ni-veles de intensidad medidos, tras un promediado espacial, encada superficie son los siguientes:

a) Cara 1: A1 = 1 m2 ; LI1 = 70 dB

b) Cara 2: A2 = 0,7 m2 ; LI2 = −71 dB (dirigida hacia adentro)

c) Cara 3: A3 = 0,7 m2 ; LI3 = 75 dB

d) Cara 4: A4 = 1 m2 ; LI4 = 68 dB

e) Cara 5: A5 = 0,7 m2 ; LI5 = 76 dB

Calcular la potencia acústica de la fuente y su nivel de poten-cia acústica.

. • /

8. Comenta tres fuentes de incertidumbre al medir potencia acús-tica usando la presión acústica.

. • /

9. Explica con detalle la ventaja principal de medir potenciaacústica usando intensidad acústica, en vez de presión acús-tica, cuando hay presencia de fuentes interferentes.


BC U E S T I O N A R I O :R A D I A C I Ó N D E LS O N I D O

1. Deduce la relación entre la impedancia mecánica de radiación,Zm,rad y la impedancia acústica de radiación, Za,rad

. • /

2. ¿Se puede aumentar la potencia sonora radiada manteniendoconstante la velocidad de la superficie radiante?¿Por qué?

. • /

3. Identificar la componente axial de la presión sonora en esta ex-presión correspondiente a la radiación de un dipolo en campolejano:

p(r, θ) =A · k · d

r·∣∣∣∣ sin(θ)

∣∣∣∣

. • /

4. En un monopolo, la impedancia acústica de radiación en lasuperficie de la esfera es:

Za,rad =p(a, t)q(t)

=ρ0c

4πa2

((ka)2 + jka1 + (ka)2

).

Razonar qué tipo de impedancia tendremos (resistiva, reactivao resistiva/reactiva a partes iguales) si sabemos que la longi-tud de onda es mucho mayor que las dimensiones de la esfera.¿Qué implica? ¿Qué ocurre con la energía radiada? ¿Y si la lon-gitud de onda es mucho menor?

. • /

3


4 cuestionario : radiación del sonido

5. ¿Puede variar la directividad de una fuente cuando variamosla frecuencia de la onda? ¿Puede variar la directividad de unafuente si dejamos constante la frecuencia de la onda?

. • /

6. En una esfera pulsante, la potencia acústica radiada se puedecalcular como:

W = 2πρ0c∣∣V∣∣2 a2

((ka)2

1 + (ka)2

),

Razonar si una fuente pequeña en comparación con la lon-gitud de onda puede, o no, ser un buen radiador de energíaacústica.

. • /

7. Si calculamos la relación entre la potencia acústica del dipoloy la del monopolo, con una misma q, se obtiene

Wdipolo

Wmonopolo=

43(hk)2

donde hemos supuesto que kh 1. ¿A qué es debido que lapotencia acústica del dipolo sea menor que la del monopolo?

. • /

8. La expresión de la presión generada por el dipolo puntual es:

p ≈ ρ0 c h k2 Q2πr

cos θ e−jkrejωt.

Discute la dependencia con el ángulo θ.

. • /

9. Suponiendo una condición de campo armónico esférico, lapresión en un monopolo apantallado (en plano infinito) es:

p ≈[

jρ0ωQ4πr

e−jkr1 ejωt] [

1 +r1

r2ejk(r1−r2)

],

donde observamos dos términos: el primero corresponde a lapresión generada por la fuente en ausencia del plano infini-to y el segundo corresponde a la influencia de éste. Deduceen qué lugar ocurre la primera interferencia destructiva delefecto peine. ¿Y las siguientes?


cuestionario : radiación del sonido 5

. • /

10. Se muestra en la figura 20 la radiación de un pistón circular.Discute en detalle cómo varía la radiación al variar su frecuen-cia.

Figura 20: Radiación del pistón circular.


Documents

Fundamentos de ingenieria acustica