FUNDAMENTOS DO CÁLCULOAluno: Reinaldo Ançay Junior ¹

Orientadora: Ximena Mujica Serdio ²Departamento de Matemática

¹ reinaldo.anc@ufpr.br ² xmujica@ufpr.br

ResumoEste trabalho versa sobre vários assuntos que fundamentam o estudo de resultados sobre funções reais. Iniciando com operações sobre conjuntos, relações binárias e seu uso para definir o conceito de função, o uso de funções para estudar a cardinalidade de conjuntos e, em particular, o uso de sequências para o estudo de conjuntos infinitos. Finalmente, no conjunto do reais, as consequências do axioma

do supremo.

1. Operações sobre conjuntos

Sejam e dois conjuntos:• Reunião: ;• Interseção: ;• Diferença: ;

Dizemos que é subconjunto de , e escrevemos , se para cada em , está em ; se e dizemos que é subconjunto próprio de .

2. Relações binárias

Sejam e dois conjuntos não vazios, uma relação binária entre e , é um subconjunto de . Por exemplo se

e ,algumas relações entre e são:

, ,,

, , , Se , dizemos que é uma relação em .2.1 Propriedades das relações binárias

i. Reflexiva: , para cada em ;ii. Simétrica: Se então ; iii. Antissimétrica: Se e (, então ;iv. Transitiva: Se , , então ;v. Se , , então .

Diremos que é uma relação de equivalência sobre um conjunto se satisfaz as propriedades transitiva, simétrica e reflexiva. Já uma relação de ordem sobre um conjunto é uma relação que satisfaz as propriedades transitiva, antissimétrica e pode ou não ser reflexiva. Dizemos que um conjunto é totalmente ordenado se existe uma relação de ordem definida sobre e para cada , têm-se ou . Dizemos que é uma função se satisfaz a propriedade v.

3. Funções

No item 2.1 definimos função, mas a notação acima é pouco utilizada de modo que vamos redefini-la. Sejam e dois conjunto não vazios. Uma função de em é uma regra que associa a cada elemento um único elemento , denotado por . Algumas nomenclaturas são:• Domínio: o conjunto recebe o nome de domínio

de e é denotado por ;• Contradomínio: o conjunto recebe o nome de

contradomínio de e é denotado por ;• Imagem: a imagem de , denotada por , define-se

como o conjunto

• Gráfico: o gráfico de é definido por:

, Note que corresponde à relação definida em 2.1. Uma notação usual para a dada função é

3.1 Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas

Considere uma função . Dizemos que é uma função injetiva se, para quaisquer , . A função é dita sobrejetiva se . No caso de ser, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva, diz-se que é uma função bijetiva.

3.2 Imagem direta por uma função

A imagem direta de um conjunto pela função é definida por

Sejam uma função, e conjuntos. A imagem direta assume as seguintes propriedades:• ;• Se é não vazio, também o é;• Se , então, ;• ;• .

3.4 Imagem inversa por uma função

A imagem inversa de um conjunto pela função é definida por

Sejam uma função, e conjuntos. A imagem inversa assume as seguintes propriedades:

• ;• Se , então, ;• ;• ;• .

4. Os números reais

No conjunto dos números reais (denotado por ) estão definidas duas operações, adição () e multi-plicação () e uma relação de ordem ().

4.1 Propriedades da adição e multiplicação

Nos reais, adição e a multiplicação, respectivamente, seguem as propriedades abaixo. Dados e :• Associatividade:

e • Comutatividade:

e • Distributiva:

• Existência de elemento neutro: e

• Existência de elemento oposto / inverso: e ,

• Compatibilidade da ordem com as operações:

e

4.2 O corpo ordenado dos reais

Admitiremos que a quádrupla é um corpo ordenado, isto é, satisfaz todas as propriedades descritas no item 4.1 e possui uma relação de ordem definida sobre si.

5. Sequências numéricas

Uma sequência numérica é uma função , onde e é um conjunto numérico previamente definido.

5.1 Conjuntos finitos

Um conjunto é finito se ou se existe uma função com (sequência) bijetiva. Note que as funções bijetivas definem uma relação de equivalência no conjunto de todos os conjuntos.

5.2 Conjuntos infinitos

Um conjunto é infinito quando não é vazio e não existe uma função bijetiva com .

5.3 Conjuntos enumeráveis

Dizemos que um dado conjunto é enumerável se é equivalente ao conjunto , isto é, se existe uma função bijetora .

5.4 Conjuntos não enumeráveis

Suponha que determinado conjunto assume a seguinte propriedade: todo subconjunto enumerável de é subconjunto próprio de (). Neste caso, diz-se que é um conjunto não enumerável. Note que, isto equivale a não existir função bijetiva de em nem de em .

6. Conjuntos limitados

Sejam um conjunto ordenado e com . Dizemos que é limitado superiormente se existe tal que . é chamado cota (ou limitante) superior. De forma análoga, dizemos que é limitado inferiormente se existe tal que . A chamamos de cota inferior. Denomina-se como um conjunto limitado se possui limitantes superior e inferior.

6.1 Mínimo, máximo, ínfimo e supremo

Seja . Dizemos que é um mínimo de se é uma cota inferior de e . Da mesma forma, dado um , diz-se que é um máximo de se for uma cota superior de e . Denotam-se, respectivamente, o máximo e o mínimo de por e . O máximo e o mínimo de determinado conjunto, quando existem, são únicos. Considere um elemento . é dito ínfimo de (denotado por ) se:• é cota inferior de ;• Se é cota inferior de , então, ( é a maior das

cotas inferiores de ). De forma análoga, é dito supremo de () se:• é cota superior de ;• Se é cota superior de , então, ( é a menor das

cotas superiores de ). Assim como no caso do máximo e mínimo, o supremo e o ínfimo, quando existem, são únicos.

7. O axioma do supremo

Todo conjunto não vazio de , limitado superiormente, possui supremo.

7.1 Consequências do axioma do supremo

• não é limitado superiormente;• Propriedade de Arquimedes: se e são dois

números reais quaisquer, então existe pelo menos um número natural tal que ;

• Propriedade dos intervalos encaixantes: sejam intervalos fechados e limitados tais que , então

8. Tópicos de estudo futuro

Como este projeto ainda está em andamento, estudaremos ainda o uso de sequências para estudar a continuidade de funções reais e também estudaremos alguns teoremas, como o teorema do confronto e o teorema do valor médio.

9. Referências

1. DOMINGUES, Hygino Hugueros. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. Atual Editora LTDA, 1982.2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo Volume 1. LTC Editora, 2001.