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FACULDADE MAX PLANCK
JOSEITA MARIA TEIXEIRA
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA
Indaiatuba 2013
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JOSEITA MARIA TEIXEIRA
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA
Resenha apresentada a Profª.
Sheila Salles Mendes da disciplina
Fundamentos e métodos do Ensino de
Matemática do curso de Pedagogia.
Indaiatuba 2013
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SUMÁRIO
1. A CONSTITUIÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO.......................................................................5 2. OS OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO DE MATEMÁTICA.........................................................................7 3. CLASSIFICAÇÃO, SERIAÇÃO E INCLUSÃO...........................................................................................13
3.1 Ensinando Classificação...........................................................................................................14 3.2 Seriação e Sequência...............................................................................................................14 3.3 Jogos de seriação, classificação e sequência...........................................................................16
4. NÚMEROS NATURAIS........................................................................................................................17
4.1 A criança e o número natural...................................................................................................19 4.1.1 Atividades de contagem...........................................................................................19 4.1.2 Atividades estabelecendo relações entre coleções diferentes................................19 4.1.3 Atividades Lúdicas....................................................................................................20
4.2 O sistema de numeração decimal............................................................................................21 4.3 Ordenação dos números naturais............................................................................................23 4.4 A reta numérica.......................................................................................................................24 4.5 Material dourado.....................................................................................................................24 4.6 QVL - Quadro Valor de Lugar...................................................................................................25 4.7 Ábaco.......................................................................................................................................26
5. OPERAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS............................................................................................26
5.1 Conceitos de adição e subtração.............................................................................................26 5.1.1 As ideias da adição...................................................................................................27 5.1.2 Algorítmo.................................................................................................................27 5.1.3 O algorítmo da adição..............................................................................................28 5.1.4 Jogos de adição........................................................................................................30
5.1.4.1 Adivinhe a carta escondida......................................................................30 5.1.5 Material Cuisenaire..................................................................................................31
5.1.5.1 Atividades com material Cuisenaire........................................................32 5.2 Subtração................................................................................................................................35
5.2.1 As ideias da subtração..............................................................................................36 5.2.3 Algorítmo da subtração............................................................................................36 5.2.3 Subtração com QVL..................................................................................................37
5.3 Operações de Multiplicação e divisão.....................................................................................38 5.3.1 Multiplicação............................................................................................................38 5.3.2 As ideias de multiplicação........................................................................................38 5.3.3 Algoritmo da multiplicação......................................................................................39
5.4 Divisão......................................................................................................................................41 5.4.1 As ideias da divisão..................................................................................................42 5.4.2 O algoritmo da divisão.............................................................................................42
6. TABUADA ....................................................................................................................................... 42
7. GEOMETRIA ....................................................................................................................................... 34 7.1 A importância do ensino da Geometria nos anos iniciais........................................................43 7.2 Atividades de Locação e Orientação........................................................................................44 7.3 Representações com diferentes vistas....................................................................................45
4
7.4 Mudança de direção de ângulo...............................................................................................46 7.5 Trabalhando com figuras geométricas.....................................................................................47 7.6 Explorando figuras planas........................................................................................................48 7.7 Polígonos..................................................................................................................................48 7.7.1 Construindo o conceito de Polígonos...................................................................................48
7.7.2 Polígonos no dia a dia e na natureza........................................................................49 7.8 Triângulos.................................................................................................................................50 7.9Quadriáteros.............................................................................................................................50
7.9.1 Classificação dos quadriláteros................................................................................51 7.10 Simetria..................................................................................................................................53 7.11 Paralelismo.............................................................................................................................54 7.12 Geometria e Arte...................................................................................................................54 7.13 Prismas para recortar e montar.............................................................................................55
8. GRANDEZAS E MEDIDAS....................................................................................................................56
8.1 Conteúdo.................................................................................................................................57 8.1.1 Padrões usados para avaliar grandezas físicas.........................................................57 8.1.2 Sistemas consuetudinários.......................................................................................57 8.1.3 Primeiros sistemas...................................................................................................58 8.1.4 Primeiras grandezas.................................................................................................58 8.1.5 Comprimento...........................................................................................................58 8.1.6 Área..........................................................................................................................59 8.1.7 Volume.....................................................................................................................59 8.1.8 Massa.......................................................................................................................59 8.1.9 Tempo......................................................................................................................59 8.1.10 Informática............................................................................................................60
9. FRAÇÕES ........................................................................................................................................... 60
9.1 Construindo Tangran...............................................................................................................61 9.2 Introdução a Frações...............................................................................................................62 9.3 Como ler frações......................................................................................................................63 9.4 Para que servem as frações.....................................................................................................65 9.5 As frações nas séries iniciais...................................................................................................67
10. CONTEXTUALIZAÇÃO DOS PROBLEMAS CONVENCIONAIS APRESENTADOS NOS LIVROS
DIDÁTICOS.....................................................................................................................................71 10.1Discutindo a contextualização..........................................................................................72 11.HABILIDADES OPERATÓRIAS A SEREM DESENVOLVIDAS NO PROCESSO DA MATEMÁTICA............73
12. PRINCÍPIOS DE CONTAGE................................................................................................................75
13. CONHECIMENTO LÓGICO MATEMÁTICO........................................................................................76
14. PLANEJAMENTO ANUAL 3º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I......................................................77 14.1 Programação curricular..........................................................................................................83 14.2 Quadro de Horário.................................................................................................................84 14.3 Conteúdo Anual.....................................................................................................................85
15. ATIVIDADES PARA O 3º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I............................................................94 16. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................................................98
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1. A CONSTITUIÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
A história da constituição do conhecimento matemático se desenvolve
juntamente com a história da humanidade, definindo estratégias de ação, buscando
explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza, permitindo a chegada na lua, o
progresso tecnológico. É um produto cultural e social, que assume diferentes visões
conforme a época e o contexto, esses conhecimentos foram se constituindo de uma
época para a outra, de um povo para o outro.
Os primeiros indícios de construção de conhecimentos matemáticos são
heranças dos povos egípcios e babilônios (2500 a.c). Esses povos a usavam para
resolver problemas práticos, geralmente ligados ao comércio, cálculo de impostos,
construções de habitações, monumentos funerários e medidas de terras.
Na Antiguidade até meados da Idade Média, parte do conhecimento
produzido era resultado das necessidades práticas da vida diária. Na Grécia, a
Matemática era vista como uma fonte rica de conhecimento que ajudava os
pensadores, filósofos da época, no desenvolvimento da inteligência. Era uma visão
que não se relacionava com questões práticas e sim à contemplação divina do
conhecimento, pois se acreditava em uma Matemática teórica, abstrata, a qual
servia para formar os mais bem-dotados, aqueles que tinham maior facilidade de
aprender, ou seja, de memorizar. Para os demais restava a Matemática prática,
utilitária, ensinada por mestres de ofícios em suas próprias oficinas e que resultava
em uma aprendizagem mecânica a respeito dos elementos técnicos necessários às
várias profissões.
Já, na Idade Média, o conhecimento matemático considerado inadequado
aos princípios cristãos, praticamente não se propagou devido ao poder que a Igreja
Católica exercia sobre a sociedade da época. Tal situação não favoreceu para que
houvesse, na Europa, uma evolução significativa do conhecimento produzido na
Antiguidade. Porém, com a organização das Cruzadas em direção ao Império
Islâmico, por volta do ano 1000, propiciou-se que a sociedade européia entrasse em
contato com novos conhecimentos, vindo a contribuir para a modernização da
Europa. As grandes navegações, o estudo da astronomia e da lógica foram fatos
importantes para que, no século XV, o conhecimento começasse a ser organizado
por especialidades, ou seja, em aritmética, álgebra e geometria.
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É nesse período que a Matemática começa a ser estruturada nos termos
como hoje é conhecida, ou seja, uma área de conhecimento específica.
“A matemática desenvolve o raciocínio lógico, a
capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transcender o que
é imediatamente sensível”.
A construção da matemática, pág.10
A partir da década de 60, a matemática ficou conhecida como Matemática
moderna, como resultado desse movimento, incorporaram-se ao trabalho em sala de
aula o uso exagerado da linguagem dos conjuntos e a formalização precoce de
ideias matemáticas que ainda não estavam ao alcance e a compreensão dos
alunos.
O movimento também trouxe também a pesquisa de novos métodos de
ensino e de recursos didáticos que levam em conta que o aprendiz precisa participar
de forma ativa na construção de seu conhecimento.
A partir da década de 80 os educadores matemáticos passaram a se
preocupar em estabelecer uma proposta de educação que desse à todos os alunos
do ensino fundamental a oportunidade de desenvolver as competências básicas
necessárias para o exercício da cidadania.
Essa preocupação se concretizou em diferentes propostas, cujas
características principais foram:
O ensino da Matemática com base em problemas do cotidiano e das
demais áreas de conhecimento;
A exploração de um diversificado rol de conteúdos, ocupando-se de forma
equilibrada e articulada de números e operações, espaço e forma,
grandezas e medidas, além do tratamento de informação, que inclui
elementos de estatística, probabilidade e combinatória;
A utilização responsável dos recursos tecnológicos disponíveis como
vídeo, calculadora, computador, etc., como instrumentos de
aprendizagem.
7
2. OS OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO DE MATEMÁTICA
As regras de dedução que caracterizam o raciocínio matemático do
adulto, são construídas aos poucos, à medida que a criança interage com seu meio
e com as pessoas que a cercam.
Um dos objetivos explícitos do ensino da matemática é preparar o
estudante para lidar com atividades práticas que envolvam aspectos quantitativos da
realidade, mas, isso acaba não acontecendo, exceto por alguns problemas de
compras, pagamentos e troco, a questão continuaria válida, porque grande parte do
conteúdo, na maioria das vezes, continua sendo tratada de modo totalmente
desligado do que ocorre no dia a dias da escola e da vida dos alunos.
Seria importante que professores e alunos estivessem voltados para os
aspectos matemáticos das situações cotidianas, estabelecendo os vínculos
necessários entre a teoria e a prática e cada uma dessas situações.
O cotidiano está repleto de situações matemáticas como soma na compra
do mercado, receitas de bolo, temperatura do estado febril, aferimento de pressão,
porcentagens de produtos, quantidades, etc., com isso, pode-se notar que a
matemática é parte essencial da bagagem de todo cidadão com atuação crítica na
sociedade. Num mundo cada vez mais complexo é preciso estimular e desenvolver
habilidades que permitam resolver problemas, lidar com informações numéricas para
tomar decisões, fazer inferências, opinar sobre temas diversos, desenvolvendo
capacidades de comunicação e de trabalho coletivo, sempre de forma crítica e
independente.
Em qualquer atividade, o cidadão vai encontrar situações nas quais
necessitará compreender, utilizar e reconstruir conceitos e procedimentos
matemáticos. Assim, a Matemática escolar tem um papel formativo, ajudando a
estruturar o pensamento e o raciocínio lógico.
Além disso é uma ferramenta útil e com uma linguagem de expressão
própria, necessária a diversas áreas do conhecimento.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais, os PCN’s, criado pelo Ministério
da Educação e do Desporto foi elaborado com o intuito para que os alunos sejam
capazes de:
Compreender a cidadania como participação social e política, assim como
exercício d direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando no dia a
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dia , atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças,
repeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito;
Posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes
situações sociais, utilizando o diálogo como forma de mediar conflitos e
de tomar decisões coletivas;
Conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais,
materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção
de identidade nacional e pessoal e o sentimento de pertinência ao País;
“Identificar os conhecimentos matemáticos como
meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e
perceber o caráter de jogo intelectual, característico da
matemática, como aspecto que estimula o interesse, a
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da
capacidade para resolver problemas”.
(PCN: Matemática, p.51, 1997).
É essencial que o aluno do ensino fundamental perceba o caráter prático
da Matemática, ou seja, que ela permite às pessoas resolver problemas do
cotidiano. No entanto, a aprendizagem da Matemática deve também contribuir para
o desenvolvimento do raciocínio, da lógica, da coerência, o que transcende os
aspectos práticos.
"Fazer observações sistemáticas de aspectos
quantitativos e qualitativos da realidade do ponto de vista do
conhecimento e estabelecer o maior número possível de
relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático
(aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico,
combinatório, probabilístico)".
(PCN: Matemática, p.51, 1997).
A matemática deve interagir, de forma articulada, às atividades e
experiências matemáticas que serão desenvolvidas pelos alunos do ensino
fundamental. Não apenas as questões aritméticas e algébricas devem merecer
atenção, mas também são fundamentais os trabalhos geométricos e métricos e,
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além destes, os trabalhos que envolvem o raciocínio combinatório e o probabilístico
e as análises estatísticas.
"selecionar, organizar e produzir informações
relevantes, para interpretá-la e avaliá-las criticamente".
(PCN: Matemática, p.51, 1997).
Atualmente a seleção e a organização de informações são aspectos
centrais do trabalho com Matemática. Em um mundo em que há uma grande massa
de informações, algumas contraditórias, outras pouco importantes, é necessário que
o cidadão consiga fazer triagens e avaliações constantes. A Matemática oferece
inúmeras ferramentas para lidar com as informações que chegam.
"estabelecer conexões entre temas matemáticos de
diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de
outras áreas curriculares".
(PCN: Matemática, p.52, 1997).
O conhecimento matemático é apresentado em muitos livros didáticos de
forma bastante descontextualizada e isolada. Ele é tratado como se fosse um
conhecimento à parte, sem qualquer relação com outras áreas das ciências ou com
temáticas sociais urgentes (que muitas vezes são destacadas nos projetos
pedagógicos das escolas).
"resolver situações-problema, sabendo validar
estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e
processos, como dedução, indução, intuição, analogia,
estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos
matemáticos, bem como os instrumentos tecnológicos
disponíveis".
(PCN: Matemática, p.51, 1997).
Frequentemente a Matemática tem sido trabalhada de forma bastante
empobrecedora, uma vez que fórmulas e regras são apresentadas para serem
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mecanicamente aplicadas em exercícios que seguem um dado modelo. Assim, a
potencialidade que ela tem de estimular o desenvolvimento de capacidades
importantes não é aproveitada. O aprendiz precisa conjecturar, intuir, propor
soluções para problemas apresentados.
"comunicar-se matematicamente, ou seja,
descrever, representar e apresentar resultados com precisão e
argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem
oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes
representações matemáticas".
(PCN: Matemática, p.51, 1997).
Raramente se faz bom uso da linguagem oral ou se buscam relações
entre ela e as representações matemáticas. Os textos matemáticos são, geralmente,
os grandes ausentes nas aulas dessa disciplina. É importante que os alunos do
ensino fundamental sejam estimulados a ler e a escrever pequenos textos relatando
suas conclusões ou justificando suas hipóteses.
"sentir-se seguro da própria capacidade de construir
conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a
perseverança na busca de soluções".
(PCN: Matemática, p.52, 1997).
O trabalho com a Matemática deve possibilitar ao aluno do ensino
fundamental a percepção de que é capaz de resolver problemas e de raciocinar,
como ele o faz no dia - a- dia. O professor tem papel decisivo nessa tarefa.
"Interagir com seus pares de forma cooperativa,
trabalhando coletivamente na busca de soluções para
problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou
não na discussão de um assunto, respeitando o modo de
pensar dos colegas e aprendendo com eles".
(PCN: Matemática, p.52, 1997).
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Aprender matemática se dá em um contexto de interações, de troca de
ideias e de saberes, de construção coletiva de novos conhecimentos. Evidentemente
o professor tem um papel muito importante como mediador e orientador dessas
interações. No entanto, é preciso que os alunos percebam que podem aprender com
seus colegas e também que podem ensina-los. A cooperação na busca de soluções
de problemas é um objetivo da mais alta relevância.
Em relação aos conceitos e procedimentos, sabemos que estão
interligados e na construção do conhecimento não há só "saberes"(teóricos), mas
também "fazeres" (práticos). A construção de conceitos e de procedimentos não
acontece em um dado momento por meio de uma única explicação do professor, é
preciso que o aluno tenha acesso a informações e vivencie situações em que esses
conceitos estão em jogo, para poder construir generalizações parciais que, ao longo
de suas experiências, lhe possibilitarão atingir conceitualizações cada vez mais
abrangentes.
A aprendizagem não deve ser apenas de conceitos e procedimentos mas
também de atitudes. As atitudes devem sempre ser explicitadas aos alunos pelo
professor, que segundo o PCN de Matemática, página 75, destacará a importância
do (a):
Desenvolvimento de atitudes favoráveis para a aprendizagem de
Matemática;
Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias pessoais
diante de situações-problema;
Valorização da troca de experiências com seus pares como forma de
aprendizagem;
Curiosidade por questionar, explorar e interpretar os diferentes usos dos
números, reconhecendo sua utilidade na vida cotidiana;
Interesse e da curiosidade em conhecer diferentes estratégias de cálculo;
Valorização da utilidade dos elementos de referência para localizar-se e
identificar a localização de objetos no espaço;
Sensibilidade para a observação das formas geométricas na natureza,
nas artes, nas edificações;
Valorização da importância do uso de medidas e estimativas para resolver
problemas cotidianos;
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Interesse por conhecer, interpretar e produzir informações, que se utilizam
de formas gráficas para apresentar informações;
Apreciação da organização na elaboração e apresentação dos trabalhos.
Outro fator importante no ensino de Matemática é a “Resolução de
Problemas”:
"Para a grande maioria dos alunos, resolver um
problema significa fazer cálculos com os números do
enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas".
(PCN: Matemática, p.42, 1997).
Em função disso, o saber matemático não se apresenta ao aluno como
um conjunto de conceitos inter-relacionados, que lhes permite resolver um conjunto
de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e
incompreensível.
O aluno passa a aprender apenas, por reprodução e imitação.
A resolução de problemas, segundo o PCN de matemática, página 43,
nos apresenta como organizador do processo ensino/aprendizagem de Matemática:
O ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las;
O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que
lhe é proposta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;
Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que
aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações,
rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na
história da Matemática;
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O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas
constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de
problema. Um conceito matemático se constrói articulado com outros
conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações;
A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como a aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para
a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
Na resolução de um problema matemático, requer uma situação que
demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para se chegar a
um resultado, é preciso construí-la, portanto é muito importante discutir com os
alunos os procedimentos envolvidos na resolução de problemas, desde a leitura e a
análise cuidadosa da situação até a elaboração de procedimentos de resolução que
envolvem, segundo o PCN de matemática, página 44, a realização de simulações,
tentativas, hipóteses, comparação de resultados, além de habilidades que permitam
pôr à prova os resultados.
3. CLASSIFICAÇÃO, SERIAÇÃO E INCLUSÃO
Classificar é uma operação lógica de importância fundamental em nossa
vida, pois nos ajuda a organizar a realidade que nos cerca. Estamos sempre
classificando; às vezes concretamente no manipular materiais (como discos, roupas,
compras de supermercados, etc.); outras vezes apenas mentalmente, como quando
nos referimos aos deputados da oposição, aos países da Europa às palavras
paroxítonas, aos animais mamíferos, etc.
Consideramos que foi feita uma classificação dos elementos em coleção
de objetos quando separamos em classes, de tal modo que:
Cada classe tem pelo menos um objeto;
Cada objeto só pode estar em uma das classes;
Ao reunir todas as classes, obtemos novamente a coleção inicial.
Relações:
Pertinência: pertence à algum grupo;
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Inclusão de classes: está incluída nas classes.
3.1 Ensinando classificação
Iniciamos o trabalho com classificação utilizando brinquedos, sucatas,
objetos escolares, ou blocos lógicos e outros materiais isoformos1 a eles. Desse
modo a criança irá se familiarizar com a observação dos atributos de cada peça e o
levantamento das semelhanças e diferenças entre os objetos de uma coleção.
Os blocos lógicos, na maioria das vezes, não são aproveitados como
deveriam, servindo apenas para ensinar os atributos de suas peças como, cor,
forma, tamanho e espessura para as crianças da educação infantil.
Eles constituem um excelente material para trabalhar as noções de
pertinência, inclusão, interseção, reunião e complementação, da teoria dos
conjuntos, bem como o uso dos conectivos lógicos, e, ou, são, então, da lógica
matemática.
3.2 Seriação e sequência
Seriação é quando estabelecemos entre os elementos de uma coleção,
uma relação de diferença que possa ser quantificada, permitindo que os elementos
sejam colocados em ordem crescente ou decrescente.
Enquanto a classificação enfatiza as semelhanças entre os elementos da
coleção, a seriação trabalha mais com as diferenças entre eles.
O ser humano desde que nasce está em contato com o número, a
começar pela própria idade, onde uma criança pequena sem saber quanto é, mostra
com o dedos os anos que tem. Nesta situação, ela não está fazendo a conservação
do número, pois ainda não associa a quantidade, este processo, não ocorre antes
dos cinco anos.
O trabalho com o número na maioria das escolas infantis, baseiam-se no
reconhecimento dos algarismos e escritas do mesmo; é importante a exploração da
variedade de ideias matemáticas existentes, referentes a classificação e seriação.
Toda criança passa por descobertas, ela precisa mexer, experimentar,
tocar para poder assim conhecer o novo. Necessita do concreto para poder
organizar seus conhecimentos, o qual é adquirido naturalmente através do contato 1 Materiais Isoformos são aqueles que, embora de aspecto exterior bastante diferente têm a mesma estrutura
do material que lhes serviu de inspiração.
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com outras pessoas, das interações com o grupo de amigos. Ou seja, é uma
construção resultante das ações da criança com o mundo. A criança da faixa estaria
entre 2 e 7 anos está construindo a conservação do número, e para isto necessita
do contato com materiais concretos, precisa tocar, manipular e experimentar. Se
dermos a uma criança pequena vários cubinhos de madeira, a primeira reação será
pegar, virar de um lado para o outro, bater um com o outro, e por fim, atirá-lo longe.
Nesta situação, ela pode reconhecer o objeto, construiu um novo conhecimento,
necessitou perceber a singularidade o objeto para agir sobre ele, organizando suas
percepções e relações entre formas, peso, tamanho, espessuras.
Uma criança um pouco maior, a qual
já fez este tipo de relação parte para um novo
conhecimento, o da classificação, a qual já é
capaz de perceber semelhanças e diferenças.
Um exemplo é o trabalho com os blocos
lógicos, o importante é deixá-lo ao alcance da
criança para que explore o material. Assim que
manteve um bom contato podemos lançar desafios para que formule hipóteses:
Dê uma peça como esta.
Dê mais uma como esta.
Agora separe os parecidos.
Existe outra maneira de separar os parecidos?
Podemos separar os parecidos de
outra forma ainda?
O importante é que a criança crie
estratégias, ela deverá perceber que existem
os grupos das cores, do tamanho, das formas,
das espessuras.
A próxima etapa é a da seriação, a
qual é explorado a construção de série. Exemplo de atividades:
Formar fila por tamanho dos alunos (do maior para o menor);
Propor atividades com diversos tamanhos de cabo de vassoura para
ordená-los.
Ordenar brinquedos da sala de aula.
16
3.3 Jogos de seriação, classificação e sequência
Jogo com centopeias coloridas divididas em
várias partes. Os jogadores devem completar suas
centopeias de acordo com as cores determinadas pelo
dado. Estímulos: visual, coordenação motora,
concentração e atenção, interação social pelo respeito
às regras ou pelo objetivo comum de formar uma centopeia em conjunto com outros
jogadores.
O jogo consiste em um saquinho com vários de círculos de cartolina nas
cores azuis, amarelas e vermelhas, e de um tabuleiro com o desenho da centopeia.
No tabuleiro está o desenho da centopeia com alguns círculos do corpo
colorido, a criança retira do saco um circulo ( é importante que não veja qual a cor
escolhida), se fizer parte da sequencia ela
completa o corpo, se for uma outra cor que não
a da ordem dada, coloca o círculo de volta e
espera a sua próxima jogada. Neste jogo a
criança estabeleceu uma sequencia de cores
que deve ser seguida.
O trabalho com a classificação, seriação e quantificação são decorrentes
das relações que a criança faz entre os objetos.
Estas atividades iniciais auxiliam a criança a construção de número, a
relacionar o numeral à quantidade. Através da atividade lúdica a criança constrói
símbolos. Elas devem ter a oportunidade de inventar (construir) as relações
matemáticas em vez de simplesmente entrar em contato com o pensamento pronto,
formular suas hipóteses a partir de ensaio e erro, para confirmá-las ou refutá-las.
A criança está se preparando para formar esta estrutura (relacionar
quantidade a escrita do número) nos jogos e brincadeiras. Por isso a atividade
lúdica, o contato com diferentes materiais é tão importante na educação Infantil.
As brincadeiras, construções e jogos que fazem espontaneamente com
eles, levam as trocas, comparações, descobertas estratégicas. Através dos jogos
construirão um pensamento produtivo e raciocínio lógico, bem como terão melhores
condições para enfrentarem situações novas e envolver-se com aplicações
matemáticas.
17
4. NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais estão presentes em nosso cotidiano e são utilizados
com os mais diversos propósitos. Utilizamos os números para realizar contagens, ou
seja, para responder a perguntas do tipo “quantos?” (“35 alunos”, “meu álbum já tem
148 figurinhas”, “tenho 7 reais a mais que você”, etc.). O conceito de número ajuda
ainda a identificar um objeto de uma coleção ordenada, respondendo a perguntas do
tipo “qual?” (“o quinto andar”, “o décimo quarto na fila de espera”, etc.).
A criança entra em contato com os números desde muito cedo, no
contexto familiar e social, relatando sua idade, número de sua casa ou do telefone,
número do canal da televisão preferido, etc.
Esse contato oferece condições de familiarização com o conceito, e a
criança começa a estabelecer suas primeiras hipóteses a respeito do processo de
representação de quantidades.
Muitas vezes, quando pedimos para uma criança que conte alguns
objetos, o que ela faz é reproduzir a sequência numérica decorada, sem se
preocupar se contou mesmo todos os objetos. Ao contar ela recita os nomes dos
números, assim depois de contar cinco brinquedos, se lhe pedirmos que indique o
cinco ela mostrará o quinto brinquedo contado, como se cinco fosse o nome dele.
“A atividade matemática escolar não é um olhar para
as coisas prontas e definidas, mas a construção e a
apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servira
dele para compreender e transformar sua realidade”,
(PCN: Matemática, p.19, 1997).
Antes de chegar ao conceito de número, a criança precisa compreender a
quantidade, e isso é um processo que ocorre de modo gradual. A criança que já
construiu o conhecimento lógico-matemático é capaz de representar esta ideia com
símbolos ou com signos. Na teoria de Piaget os símbolos diferem dos signos no
sentido de que os símbolos mantêm uma semelhança figurativa com os objetos
representados e são criados pela criança.
O objetivo para ensinar o número e o da construção que a criança faz da
estrutura mental de número uma vez que esta não pode ser ensinada diretamente, o
18
professor deve priorizar o ato de encorajar a criança a pensar ativa e
autonomamente em todos os tipos de situações. Uma criança que pensa
ativamente, constrói o número. A tarefa do professor a encorajar o pensamento
espontâneo da criança, o que é muito difícil porque a maioria de nos foi treinada
para obter das crianças a produção de respostas certas. As relações são criadas
pelas crianças a partir de seu interior e não lhe são ensinadas por outrem. No
entanto, o professor tem um papel crucial na criação de ambiente material e social
que encoraje a autonomia e o pensamento.
As crianças podem saber como recitar números numa sequência correta,
não escolhem necessariamente usar esta aptidão como ferramenta confiável.
Quando a criança constrói a estrutura mental do número e assimila as palavras e
esta estrutura a contagem torna-se um instrumento confiável. No entanto, antes dos
sete anos de idade, a correspondência um a um, a copia da configuração espacial,
ou mesmo estimativas imperfeitas representam para a criança procedimentos mais
viáveis. As crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos. Tampouco
aprendem conceitos numéricos meramente pela manipulação de objetos. Elas
constroem esses conceitos pela abstração reflexiva a medida em que atuam
(mentalmente) sobre os objetos.
Atualmente, os educadores da educação infantil frequentemente definem
seus objetivos dizendo que as crianças devem aprender os chamados conceitos,
tais como os de números, letras, cores, formas geométricas, em cima, embaixo,
entre, da esquerda, mais cumprido, primeiro, segundo terceiro e etc.
Algumas habilidades matemáticas que a criança da educação infantil até
a idade de 8 anos apresenta antes mesmo de ser formalmente instruída sobre
conceitos matemáticos. Essas habilidades referem-se aos conceitos espontâneos
que a criança constrói a partir de suas experiências e ações sobre o mundo.
Desse modo, segundo o PCN de matemática, p.97, 1997, as atividades
de leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas devem tomar
como ponto de partida os números que a criança conhece. Esse trabalho pode ser
feito por meio de atividades em que, por exemplo, o professor:
• elabora, junto com os alunos, um repertório de situações em que usam números;
• pede aos alunos que recortem números em jornais e revistas e façam a leitura
deles (do jeito que sabem);
19
• elabora, com a classe, listas com números de linhas de ônibus da cidade, números
de telefones úteis, números de placas de carros, e solicita a leitura deles;
• orienta os alunos para que elaborem fichas onde cada um vai anotar os números
referentes a si próprio, tais como: idade, data de nascimento, número do calçado,
peso, altura, número de irmãos, número de amigos, etc.;
• trabalha diariamente com o calendário para identificar o dia do mês e registrar a
data;
• solicita aos alunos que façam aparecer, no visor de uma calculadora, números
escritos no quadro ou indicados oralmente;
• pede aos alunos que observem a numeração da rua onde moram, onde começa e
onde termina, e registrem o número de suas casas e de seus vizinhos;
• verifica como os alunos fazem contagens e como fazem a leitura de números com
dois ou mais dígitos e que hipóteses possuem acerca das escritas desses números.
O recurso à história da numeração e aos instrumentos como ábaco e
calculadoras pode contribuir para um trabalho interessante com os números e, em
especial, com o sistema de numeração.
4.1 A criança e o número natural:
Juliana tenta escrever vinte e um, número ditado por sua professora. “o dois é usado no vinte porque depois de um vem dois. O
17, 16 e 19 são com um, então o vinte é com dois”.
Juliana escreve errado o número 21, mas justifica, por comparação com
outros números, o uso do algarismo dois para escrever o vinte.
“O zero – ele que dá o mil. O um – se ele não for
companheiro do zero, não fica mil – fica um”
4.1.1 Atividades de contagem Da mesma forma que uma criança aprende a falar enquanto fala
(corretamente ou não), ela deve aprender a contar enquanto conta. Sempre que for
significativo para os alunos, contar (e pedir para que as crianças contem) alunos,
lápis, brinquedos, etc.
Se elas só contam até 10, introduzir contagens com 15 ou 20 elementos.
Não se deve esperar que o aluno tenha o conceito pronto para fazer contagens (isso
20
seria como pedir que uma criança só falasse quando já soubesse falar
corretamente).
4.1.2 Atividades estabelecendo relações entre coleções diferentes
Estas atividades - correspondência um a um entre os elementos de duas
coleções - conduzem à comparação de quantidades e preparam para o conceito de
igualdade e desigualdade entre números.
Por exemplo:
Distribuir para cada aluno 6 canetas e 6 tampas de caneta.
Perguntar: “Há mais canetas do que tampas?”
Observar as estratégias utilizadas pelos alunos para comparar, pois
algumas disposições espaciais podem causar dificuldades nos primeiros estágios.
Pedir que os alunos retirem e coloquem as tampas nas canetas. Em
seguida, repetir a pergunta.
Repetir este tipo de atividade, variando os materiais e as quantidades
envolvidas, sempre permitindo que os alunos desenvolvam suas próprias estratégias
de comparação. Você poderá usar também pires e xícaras, os próprios alunos e
suas carteiras, pedras pequenas e pedras grandes, etc.
Aos poucos, os alunos devem concluir que a quantidade de objetos é
independente da forma e do tamanho (por exemplo: podem existir menos pedras
grandes que pedras pequenas, embora, quando amontoadas, as pedras grandes
ocupem um volume maior do que as pequenas).
4.1.2 Atividades lúdicas
Explore o gosto das crianças por jogos e brincadeiras para criar situações
de aprendizagem.
Por exemplo: Jogo MAIOR LEVA
Para este jogo são utilizados
40 cartões, como ilustrado ao lado, que
apresentam a representação numérica e
pictórica dos números de 1 até 10
(podemos também usar as cartas de um
21
a dez de um baralho). Os cartões são divididos por duas crianças.
Cada criança abre um cartão de seu monte e os valores são comparados.
Quem tiver o maior valor, fica com os dois cartões. Em caso de empate, novos
cartões são abertos e o aluno que tiver o maior número nesta nova rodada ganha os
quatro cartões. Ao final do jogo, ganha quem tiver mais cartões.
Crie variações deste jogo, usando novos cartões com números e
representações pictóricas de cada valor para ampliar o limite numérico (até 20, por
exemplo).
4.2 O sistema de numeração decimal
Para a criança compreender esse processo de compreender como
representamos os números, há a necessidade de passar por várias etapas, a
primeira é para contar e representar, chamado agrupamento.
Formar grupos organiza o que deve ser contado, tornando mais fácil não
esquecer objetos e evitando que um mesmo objeto seja contado mais de uma vez.
A figura ao lado ilustra a importância desta estratégia.
Nosso sistema de numeração está baseado em uma estratégia de
agrupamento: juntamos dez unidades para formar uma dezena, dez dezenas para
formar uma centena, dez centenas para formar um milhar, e
assim por diante. Esse sistema é chamado decimal exatamente pela escolha de
agrupar de dez em dez.
O fato de que o mesmo símbolo pode representar quantidades diferentes
é uma grande vantagem de um sistema posicional. Utilizando apenas dez símbolos
(os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0) somos capazes de representar qualquer
número natural.
O valor representado por um algarismo vai depender de sua posição na
representação, por isso, o sistema é chamado posicional. Para desenvolver um
sistema posicional, o algarismo para representar o zero (0) é de importância
fundamental.
Exemplo:
Examinando o sistema de numeração decimal, vemos que o significado
de um símbolo depende da posição que ele ocupa.
22
Observe o número trezentos
e cinquenta e quatro: 354.
O símbolo colocado mais à
direita da representação significa
quatro unidades ou quatro.
O algarismo 5, colocado
imediatamente à sua esquerda,
significa:
cinco dezenas, ou
cinco grupos de dez unidades cada ou ainda
cinquenta unidades
O próximo algarismo à esquerda do cinco é o 3, que significa:
três centenas ou
3 grupos de uma centena cada, ou
30 grupos de uma dezena cada, ou ainda
trezentas unidades
O quatro, o cinquenta e o trezentos somam trezentos e cinquenta e
quatro, e isto é o que o 354 representa.
Para escrever o número duzentos
e três, não poderia escrever 23, pois estaria
usando a mesma representação para duas
quantidades diferentes.
Esta é a representação que
usamos para o número vinte e três (isto é: dois grupos de uma dezena e mais três
unidades).
O número a seguir tem 2 centenas, ou 20 dezenas (não sobram outras
dezenas além daquelas que foram agrupadas em centenas) e tem ainda 3 unidades.
Precisa-se usar um símbolo para representar o “nada”, a ausência de
dezenas não agrupadas em centenas. Quando se escreve 203 acaba-se com
qualquer ambiguidade que pudesse existir entre a representação para duzentos e
três e a representação de vinte e três.
23
A figura ilustra como um material
concreto (no caso, o material dourado) pode
ajudar os alunos a compreender estas ideias.
Assim, além dos nove símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, foi precis-se acrescentar um símbolo
para “nada”, para o zero (0). E, com apenas
estes dez símbolos, qualquer número natural, por maior que seja, pode ser escrito
em nosso sistema decimal e posicional.
A compreensão do sistema de numeração, para o registro consciente de
quantidades maiores do que 10, faz parte da construção do conceito dos números. A
criança deve relacionar os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... 9 às quantidades que
representam, ser capaz de ordenar estas quantidades, observando que o sucessor
de um número tem sempre uma unidade a mais e compreender que estes mesmos
algarismos são utilizados para representar todos os números naturais.
Para isso, faz-se necessário um longo trabalho com material de contagem
(palitos, canudinhos, pedrinhas, chapinhas, fichas, elásticos, caixinhas de vários
tamanhos), com o qual ela possa fazer seus próprios agrupamentos e identificar os
diferentes valores que um algarismo pode ter, dependendo da posição que ele
ocupa em um número.
4.3 A ordenação dos números naturais
O trabalho com material concreto contribui para a descoberta de critérios
de comparação e ordenação de quantidades. Fazendo corresponder a cada
elemento de um grupo de objetos um elemento de outro grupo, o aluno se torna
capaz de ordenar as duas coleções pela quantidade de objetos, decidindo se em
uma delas há mais do que na outra, ou se ambas têm quantidades iguais.
Desta forma, os alunos darão significado a relações importantes:
“... há mais que ...”, “... há menos que ...”,
“... há tantos quanto ...”.
Por exemplo:
Dê uma certa quantidade de
lápis e outra de borrachas para uma
dupla de alunos e pergunte se há mais
24
lápis do que borrachas. A estratégia de emparelhar os objetos ajuda o aluno a
responder a esta pergunta.
Ao associar a quantidade de objetos de cada uma das coleções a um
número natural, o aluno estará construindo significado para a ordenação dos
números. Outras relações importantes podem ser construídas:
“qual vem antes de ...”,
“qual vem depois de ...”,
“qual vem imediatamente antes de ...”.
Também é importante explorar perguntas tais como: “quantos a mais”,
“quantos a menos”, etc. , que serão importantes para dar significado às operações
com números naturais.
4.4 A reta numérica
A representação dos números em uma reta é um recurso valioso em
Matemática. Experiências com este modelo podem se iniciar bem cedo, utilizando
recursos concretos, como barbantes, passos sobre uma linha desenhada no chão,
etc. Observe que a reta numérica ajuda
a visualizar a ordenação dos números
naturais.
Nas primeiras experiências, é
importante iniciar sempre do zero e os
alunos devem perceber que se deve usar espaços iguais entre as marcas que
representam intervalos iguais.
A reta numérica é um excelente apoio visual para as atividades de
ordenação de números naturais.
Por exemplo:
Pedir que os alunos marquem
na reta os números 4, 7 e 11.
4.5 Material Dourado
Um cubo pequeno, de 1 cm x 1cm x 1 cm, representa a
unidade.
25
uma barra, com 10 cubos unidos,
representa 1 dezena.
uma placa com 100 cubos unidos (ou 10 barras unidas)
representa a centena.
um cubo grande, com 1.000 cubos pequenos (ou
10 placas unidas ou 100 barras unidas) representa o milhar.
as crianças podem
também passar a representar este
material na forma de desenhos.
4.6 Quadro Valor de Lugar (QVL)
O Quadro Valor de Lugar (QVL), mostrado na
ilustração ao lado, é um recurso que reforça o significado da
representação posicional decimal.
Ao montar uma tabela na qual estão indicadas
claramente as ordens decimais (unidade, dezena, centena,
etc.) o aluno pode fazer e desfazer agrupamentos,
representar com desenho estes agrupamentos e dar
significado aos números escritos no sistema decimal de numeração.
O QVL deve acompanhar os alunos durante todo o aprendizado do
sistema decimal de numeração e dos algoritmos das operações com números
naturais. Ele ainda poderá voltar a ser utilizado quando este sistema for ampliado no
estudo de decimais, para incluir as ordens menores que a unidade (décimos,
centésimos, etc.).
Não se deve incentivar os alunos a não usar materiais concretos, tais
recursos serão úteis toda vez que for introduzida uma nova ordem decimal, ou
quando os alunos demonstrarem dificuldades na compreensão do valor posicional.
26
4.7 Ábaco
O ábaco é um dos mais antigos instrumentos de contar e efetuar
operações comuns da aritmética que se conhece. Ele traz em sua estrutura o valor
posicional, ou seja, cada conta ou pedra de seu tabuleiro representa um valor de
acordo com a sua posição nas hastes. A compreensão deste princípio posicional,
através do manuseio de um instrumento concreto, pode auxiliar o estudante a
entender melhor o sistema de numeração e suas técnicas operatórias.
O ábaco japonês, soroban, consiste em um modelo de ábaco mais
prático, pois é composto por apenas cinco contas
em cada haste, agilizando assim o cálculo.
Cada conta representa um valor
(unidade, dezena, centena...) de acordo com a
haste ocupada. Cada conta da haste superior vale
cinco e da inferior um. Por isso o seu uso foi mais
difundido ao longo do tempo e ainda hoje perdura em diversos ramos da sociedade
como educação, asilos, casas de repouso e sendo adaptado na inclusão de
deficientes visuais.
5. OPERAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS
5.1 Conceitos de adição e subtração
“A construção dos diferentes significados leva tempo
e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de
solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser
proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo
dos números e com o desenvolvimento do procedimentos de
cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada
tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os
alunos dispõem”.
(PCN: Matemática, p.105, 1997).
27
A conceituação da operação de adição serve de base para boa parte de
aprendizagens futuras em Matemática. A criança deve passar por várias
experiências concretas envolvendo o conceito da adição para que ela possa
interiorizá-lo e transferi-lo para a aprendizagem do algoritmo, que vem a ser um
mecanismo de cálculo. A conceituação da operação de subtração deve ser feita
paralelamente, já que em atividades concretas a exploração dos dois tipos de
conceitos é muito natural.
Além disso, não podemos deixar escapar a oportunidade que o aluno tem
de ver, na prática, que a subtração e a adição são operações inversas. Por exemplo,
quando reúne objetos para desenvolver o significado da adição, a criança sente que
pode também separá-los. Assim, ela vê que se 4 + 2 = 6, vale também que 6 – 2 = 4.
Quando desenvolve o conceito de número, a criança verifica, por
exemplo, que pode arrumar cinco palitos como “quatro e um” ou “três e dois”. Tais
experiências devem ser enriquecidas, para que a criança possa registrá-las mais
tarde, em linguagem matemática como: 4 + 1 = 5 e 3 + 2 = 5.
A professora ou o professor terá de oferecer inúmeras oportunidades
concretas para que a criança comece a exprimir experiências em linguagem
matemática. Assim, quando ela escreve 4 + 3 = 7, esta ação deve refletir uma
experiência e não uma simples informação transmitida pela professora ou pelo
professor.
5.2 As ideias da adição
Muitas vezes, precisamos juntar quantidades. Outras vezes, precisamos
acrescentar uma quantidade à outra.
Juntar
Acrescentar
Somar
Ganhar
5.3 Algoritmo
Um algoritmo é um dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução
de uma certa tarefa. Convivemos com vários tipos de algoritmos – alguns são muito
simples, como ligar uma televisão (basta achar o botão correto e pressioná-lo);
outros mais elaborados, como uma receita culinária (devemos organizar os
28
ingredientes e, em ordem, executar as etapas); há outros, ainda, que exigem um
bom tempo de treinamento até que nos sintamos seguros para poder executá-los
independentemente, como dirigir um automóvel.
Quando nos deparamos com um algoritmo em nosso cotidiano, é comum
precisar de ajuda nas primeiras tentativas de utilizá-lo. Além disso, se não
compreendermos o algoritmo, vamos acabar usando-o mecanicamente, sem
nenhuma autonomia, apenas seguindo instruções (pense, por exemplo, no
formulário da declaração do Imposto de Renda).
De forma similar, quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa
por dificuldades em inúmeras situações do dia-a-dia, que exigem autonomia de
decisões sobre “que cálculo fazer” e “como fazê-lo”.
Dentre as estratégias de cálculo, os algoritmos das quatro operações
ocupam lugar de destaque. Explorando as vantagens do Sistema Decimal de
Numeração, eles foram idealizados para permitir a realização dos cálculos com
exatidão e com razoável velocidade.
5.4 O Algoritmo da Adição
A adição está presente nas experiências infantis desde muito cedo.
Envolve apenas uma situação, a de juntar ou acrescentar.
Primeira etapa, trabalha-se com atividades de juntar, pode-se utilizar
materiais concretos como chapinhas, palitos, botões, grãos e pedrinhas e uma folha
de papel para cada aluno, na qual estão desenhados três círculos de cores
diferentes (azul, vermelho e verde, por exemplo).
Pedir às crianças que coloquem 3 lápis no círculo vermelho e 2 no círculo
azul. Feito isto, pedir que juntem todos os lápis no círculo verde e pergunte: “quantos
lápis estão reunidos no círculo verde?”.
Explorar atividades lúdicas, como o “jogo de esconder”. Neste jogo,
distribua um certo número de objetos do mesmo tipo para cada dupla de alunos
(podem ser 9 no primeiro momento, e mais tarde uma quantidade maior). Dizer às
crianças que o jogo tem as seguintes regras:
a) um aluno apresenta ao seu colega uma certa quantidade de fichas (ou do objeto
que estiver sendo utilizando) arrumadas em dois grupos – as fichas não utilizadas
permanecem escondidas da vista do outro jogador.
29
b) Depois que o colega observar, junta as fichas e cobre-as com uma folha de papel.
c) O outro aluno que joga deve dizer o total de fichas que ficou embaixo da folha.
d) Em seguida, os dois alunos levantam a folha e conferem o resultado. Para cada
resultado correto será marcado um ponto para o jogador.
e) A turma faz 10 jogadas, revezando sempre o aluno jogador. Depois os pontos são
contados para se determinar o vencedor da partida.
A segunda etapa é a de acrescentar. Uma forma interessante de se
trabalhar é contar histórias, usando flanelogravuras.
Por exemplo: “Havia 5 patinhos no lago”. Peça que um aluno venha à
frente e prenda cinco patinhos no flanelógrafo, de forma que as outras crianças
acompanhem a tarefa. Continue contando: “Chegaram mais dois patinhos”. Outro
aluno deve fazer a ação de acrescentar os novos patinhos ao flanelógrafo. Pergunte
então, no final: “quantos patinhos estão agora no lago?”.
Ações de acrescentar são também bastante comuns em situações que
ocorrem no cotidiano da sala de aula. A professora ou o professor atento pode
registrar estas ocorrências e fazer perguntas.
Na terceira etapa devem ser utilizadas situações práticas que contribuam
para que o aluno construa os resultados das adições com todas as combinações
possíveis dos números naturais de zero a 9.
As operações apresentadas devem fazer parte de uma situação de classe
ou do cotidiano das crianças – colecionar materiais, organizar os livros do cantinho
da leitura, formar grupos com um certo número de participantes, contar pontos em
jogos, etc. Pode ser usada a seguinte sequência:
Parcelas até 4;
Parcelas até 6;
Parcelas iguais;
Somas já conhecidas e o total auxiliar 10;
Uso intuitivo da ropriedade associativa da adição, isto é, para encontrar o
resultado de 7 + 6, por exemplo, os alunos fazem primeiro 7 + 3 = 10 e depois
10 + 3 = 13, pois sabem que 6 = 3 +3; logo 7 + 6 = 7 + ( 3 + 3 ).
A criança só incorpora a ideia de comutatividade por volta dos 7 ou 8 anos.
5 + 3 é igual a 3 + 5
30
5.5 Jogos de adição
5.5.1 Dominó de adição:
A professora ou o professor pode
confeccionar o material em cartolina. Um
primeiro dominó pode incluir apenas os fatos
básicos de soma até 5, para as crianças se
familiarizarem com o jogo.
Um segundo dominó, que inclua
todas as somas até 9 terá muito mais peças e pode ser oferecido quando as
estratégias de jogo já não oferecerem qualquer dificuldade.
5.5.2 Adivinhe a carta escondida
Usar uma coleção de cartões com números e figuras (apenas cartões até
5, no primeiro momento, e até 10 em seguida) dividindo-a entre dois alunos – A e B.
Você pode também utilizar as cartas não figuradas de um baralho para esta
atividade. Em turnos, o aluno A abre um
cartão na mesa e olha a carta seguinte do
seu monte, sem mostrá-la a seu colega, o
aluno B. Então, A anuncia o resultado da
adição do valor das duas cartas – a que está
à vista e a que está virada para baixo - para
seu colega B que deve, então, descobrir o
valor da carta escondida.
Se A enunciar errado o resultado da adição que realizou (Por exemplo:
14, com os cartões acima), ele impediu, com seu erro, que B acertasse qual o cartão
escondido. Neste caso, ele perde os cartões para o colega B (que os guarda em um
monte separado).
Se A enunciar corretamente o resultado (no nosso exemplo: 15) podem
acontecer duas hipóteses: (a) B errar a resposta (por exemplo: achar que o cartão
escondido é 7). Neste caso, o colega A, que propôs a adivinhação, ganha os
cartões, ou (b) B descobre corretamente o valor do cartão escondido (no nosso
exemplo: 6). Neste caso, ele ganha os dois cartões.
Ganha o jogo o aluno que tiver conseguido mais cartões ao final do jogo.
31
A figura ao lado mostra a
utilização de materiais concretos e do QVL
para registro do algoritmo da adição.
A figura ao lado mostra o
material dourado e o QVL, usados de
forma integrada, para adicionar 87 a
161.
5.6 Material CUISENAIRE
O Material Cuisenaire tem mais de 50 anos de utilização em todo o
mundo.
Foi criado pelo professor belga Georges
Cuisenaire Hottelet (1891-1980) depois de ter observado
o desespero de um aluno, numa das suas aulas.
Decidiu criar um material que ajudasse no
ensino dos conceitos básicos da Matemática. Então
cortou algumas réguas de madeira em 10 tamanhos
diferentes e pintou cada peça de uma cor tendo assim
surgido a Escala de Cuisenaire.
Durante 23 anos, Cuisenaire estudou e experimentou o material que
criara na aldeia belga de Thuin.
Só 23 anos depois da sua criação (a partir de um encontro com outro
professor – o egípcio Caleb Gattegno), é que o seu uso se difundiu com enorme
êxito. O egípcio, radicado na Inglaterra, passou a divulgar o trabalho de Cuisenaire –
a quem chamava de Senhor Barrinhas.
32
Levou apenas 13 anos para passar a ser conhecido nas escolas de quase
todo o mundo.
Feito originalmente de madeira, o Cuisenaire é constituído por modelos
de prismas quadrangulares com alturas múltiplas da do cubo – representante do
número 1 – em 10 cores diferentes e 10 alturas proporcionais.
COR NÚMERO
REPRESENTADO
Branco (ou cor de madeira) 1
Vermelho 2
Verde-claro 3
Rosa (ou lilás) 4
Amarelo 5
Verde-escuro 6
Preto 7
Castanho 8
Azul 9
Cor de laranja (ou cor de madeira 10
5.6.1 Atividades com material Cuisenaire.
1. Pintar da cor correspondente as barras que faltam pintar:
2. Pegar uma barra de cada cor.
3. Colocar na mesa essas barras pela ordem de tamanho, da menor até a maior.
4. Responder:
a. De que cor é a barra menor?
33
b. De que cor é a barra maior?
c. De que cor são as barras menores que a amarela?
d. Qual a barra imediatamente menor que a amarela?
e. Quais são as barras maiores que a preta?
f. Qual a barra que é imediatamente maior que a preta?
g. Qual a barra que está entre a verde-escuro e a castanha?
h. Quais são as barras que estão entre a amarela e a verde-escura?
i. Quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho
que a vermelha?
j. quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho
que a verde-clara?
k. Quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho
que a cor-de-rosa?
l. Quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho
que a amarela?
5. Considere a barra branca como unidade de medida (a barra branca vale 1).
a. Quanto vale a barra vermelha?
b. Quanto vale a barra amarela?
c. Quanto vale a barra castanha?
6. Representação de números a. Construir o número 7 com duas barras. Registrar.
34
b. Sem repetir as barras da mesma cor, de quantas maneiras diferentes
podemos representar o número 9. Represente-as na folha.
c. Formar o número 8, só com barras vermelhas e brancas.
7. O muro do pai do Afonso
a. O pai do Afonso quer construir um muro usando tijolos “Cuisenaire”. Escolha
um tijolo, para iniciar a construção, e construa com ele um muro da mesma
largura. Registrar o muro no quadriculado.
35
b. O pai do Afonso quer construir o muro ao lado. Quais as adições
representadas no muro?
8. Com o material Cuisenaire cobre a superfície ocupada pela girafa da figura.
5.2 Subtração
Assim como vimos na adição, é importante que sejam apresentadas à
criança situações em que ela possa agir sobre os objetos para realizar cálculos.
Portanto, quanto mais trabalhar concretamente com situações de subtração antes de
se preocupar com sua representação formal, maior possibilidade o aluno terá de
superar as dificuldades.
O uso de material de manipulação ajuda o aluno a lidar com ideias
associadas à subtração.
36
5.2.1 As ideias da subtração
A subtração pode significar, tirar uma quantidade de outra. Comparar
duas quantidades, verificando quanto uma tem a mais ou a menos do que a outra
e quanto faltam para elas se igualarem.
Tirar
Comparar
Restar
Quanto a mais?
Quanto a menos?
Qual a diferença?
Quanto falta?
5.2.3 Algoritmo da Subtração
O algoritmo da subtração tem finalidade similar ao da adição, ou seja,
sistematizar e facilitar o processo de cálculo. Ele deve ser apresentado quando as
crianças já dominarem, com certa segurança, os conceitos associados à subtração,
o sistema de numeração, os fatos básicos da subtração e o algoritmo da adição.
Os alunos precisam compreender que os
termos desta linguagem ajuda a conversar, comunicar e
defender os pensamentos e a forma de resolver
problemas e cálculos.
Ao iniciar o algoritmo da subtração, deve-se usar, como na adição,
materiais de contagem como palitos, grãos de milho, pedrinhas ou botões, etc. e o
QVL. Lembrar que, dentre as ações associadas à subtração, a mais natural para a
criança é a de retirar e, por isso, vale a pena iniciar o estudo do algoritmo da
subtração usando esta ideia.
Para representar com material concreto a ideia de retirar, a criança deve
separar, de seu material de contagem, apenas a quantidade que representa o
minuendo. A seguir, ela deve retirar deste grupo de objetos a quantidade que
corresponde ao subtraendo. A ação de retirar, da coleção de objetos que representa
o minuendo, uma quantidade correspondente ao valor do subtraendo só faz sentido
quando trabalhar com apenas uma mesma coleção de objetos.
37
5.2.3 Subtração com QVL
Enuncie, oralmente, uma situação–problema
envolvendo a ação de retirar. Como exemplo vamos retirar
13 de 25. Peça aos alunos que arrumem 25 palitos em um
QVL, como na figura ao lado.
Pode-se construir em papel pardo, por exemplo, quadros com apenas
duas linhas para que os alunos, ou grupos de alunos, trabalhem
independentemente.
Dizer aos alunos:
\- “Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 25 palitos”.
- “Mude para a linha debaixo os palitos que representam a
quantidade que você precisa tirar”.
- “Quantos palitos permaneceram na primeira linha?”
- “Na primeira linha fica a quantidade de palitos que sobrou
de 25 depois de tirarmos 13 (ou seja, o resto!)”.
Mostrar às crianças que a quantidade de palitos da segunda linha
representa o que foi retirado (subtraendo), e que a quantidade que sobrou na
primeira linha é o resultado da operação. Logo: 25–13=12.
Trabalhar com material, propor diversas situações ajuda o aluno a
perceber a sequência de ações que compõe o algoritmo. A representação, no
caderno, dos passos realizados com material concreto também é importante para
que o aluno, aos poucos, compreenda a relação entre estes passos e o registro
formal do algoritmo.
Após a representação do minuendo:
- “Vamos representar este número no caderno?”
- “Façam um QVL e anotem esta quantidade de palitos”
Após a retirada dos 13 palitos (o subtraendo):
- “Vamos anotar agora, abaixo do número 25, a quantidade
de palitos que foi retirada.”
38
E para finalizar:
- “Agora vamos fazer um traço para separar o resultado final e
anotar quantos palitos sobraram depois da retirada.”
5.3 Operações de multiplicação e divisão
Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são
fundamentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos. Caso
não domine o conceito da operação, a criança conseguirá, no máximo, memorizar
os fatos básicos e realizar de forma mecânica o algoritmo posteriormente.
A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança
ficará clara diante de um problema: quando ela não for capaz de se decidir sobre
qual operação realizar.
Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de números
naturais desempenharão um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da
Matemática, como os conceitos de números fracionários e decimais.
Atividades que levam à formação de um conceito devem ser baseadas
em experiências concretas, nas quais os alunos terão oportunidade de construir e,
com o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. O educador deve proporcionar à
criança múltiplas oportunidades de trabalho com material concreto para que ela
chegue à representação de seus fatos básicos, compreendendo o significado da
operação.
5.3.1 Multiplicação
Na maioria das escolas, a multiplicação é vista apenas sob o seu aspecto
de “adição de parcelas iguais”. É necessário que o professor tenha em mente que a
multiplicação é também uma ferramenta para resolver problemas de contagem e
oferece um dos primeiros contatos com a noção de proporcionalidade.
5.3.2 As ideias da multiplicação
A multiplicação tem a função de juntar quantidades iguais.
Adição de números iguais.
Determina o número total de elementos dispostos em forma retangular.
Fornece o número total de possibilidades.
39
Exemplos:
A multiplicação de dois números naturais pode ser trabalhada sob dois enfoques:
a) como adição de parcelas iguais:
3 x 2 = 2 + 2 + 2
b) como raciocínio combinatório, no qual verificamos quantas possibilidades
existem de formar pares com duas coleções
Por exemplo:
- “Se um menino tem 2 calças e 3 camisas,
de quantas maneiras ele poderá se vestir?”
2 x 3 = 6
5.3.3 O algoritmo da multiplicação
Como na adição e na subtração, enfatizar que o algoritmo (às vezes
chamado de “conta em pé”) só precisa começar a ser utilizado para multiplicações
nas quais um dos fatores tem mais do que um algarismo. Multiplicações entre
números de apenas um algarismo são fatos básicos (tabuada) e o algoritmo não
ajuda a encontrar seu resultado.
1° estágio – Observar como se pode representar a
multiplicação de 36 por 4.
Fazer a seguinte arrumação na conta:
Perguntar aos alunos:
- “Que resultado obtivemos depois que multiplicamos 4 por (30+6)?”
- “O que precisamos fazer com os resultados 24 e 120 para encontrar o resultado
desta multiplicação?”
O aluno deve concluir que é preciso somar estes dois resultados parciais,
recorrendo ao algoritmo da adição.
Com apoio de material concreto, ajudar os alunos a compreenderem que
multiplicar 6 unidades por 4 e 3 dezenas também por 4 e que, depois, juntando os
resultados encontrados (120 e 24) chegamos ao resultado, 144.
40
36
36 X 4
A partir destas experiências, resta apenas associá-las ao
registro formal do algoritmo da multiplicação, escrevendo os resultados
parciais de forma conveniente para o uso do algoritmo da adição.
2° estágio – Incentive o cálculo mental
Nesse estágio, a criança já deve ter fixado todo o desenvolvimento do
processo para que possa efetuar mentalmente algumas operações.
Por exemplo:
Para multiplicar 32 por 6, efetue a operação com a criança, mostrando
que ao multiplicarmos o 6 por 2, escrevemos como resultado parcial
apenas as duas unidades, guardando mentalmente a dezena do produto
12. Explicar que esta dezena será adicionada às outras dezenas do
produto, quando multiplicar as 3 dezenas por 6.
3° estágio – Multiplicação por números de dois dígitos
calcular o produto de 43 por 27.
Iniciar por fazer o produto 7 x 43.
41
Fazer essa etapa com as crianças, mostrando que está multiplicando sete unidades
por 43 e que o processo é igual ao da etapa anterior.
Efetuar o produto das duas dezenas que será adicionado ao
produto das unidades. Enfatizar o valor do 2 no número 27, ou seja,
que ele representa 2 dezenas; logo, nessa segunda multiplicação,
multiplicar o 3 por duas dezenas e obteremos 6 dezenas, que devem
ser colocadas na ordem das dezenas.
Em seguida, mostrar que ao multiplicar as duas dezenas por 4 dezenas
acharemos 8 centenas, as quais devem ser colocadas na ordem das centenas. O
desenvolvimento deste algoritmo deve ser feito através de muitos e variados
exercícios.
5.4 Divisão
A divisão está relacionada à subtração. É uma subtração reiterada de
parcelas iguais, por isso apresenta questões semelhantes à operação de subtração.
A divisão está ligada a ideia de repartir igualmente e a ideia de medir. O
resto da divisão deve ser sempre menor que o divisor. Assim, a divisão no sentido
de repartir igualmente significa que se procura o maior número possível de
elementos em cada grupo fixado (o divisor); portanto, o total de elementos que
sobram (resto) deve ser menor que o total de grupos fixados.
No caso da divisão ligada à ideia de medir, pretende-se determinar a
maior quantidade possível de grupos, com uma quantidade prefixada de elementos
que sobram (resto) deve ser menor que a quantidade prefixada para formar um novo
grupo.
As crianças têm o hábito de repartir coisas entre si, e também de fazer
agrupamentos com a mesma quantidade de objetos. Em sala de aula, há
oportunidades para o aluno vivenciar a ideia de divisão quando é preciso entregar
uma folha de sulfite para cada um, arrumando a sala colocando 5 fileiras com a
mesma quantidade, e etc.
Desse modo, as situações ligadas a divisão estão presentes dia a dia do
aluno.
42
5.4.1 As ideias da divisão
Usar a divisão para repartir ou dividir em partes iguais determinadas
quantidades.
Quantos cada um terá?
Quantos podem ser formados?
Quantos cabem?
5.4.2 O algoritmo da divisão
O processo das subtrações sucessivas é uma opção para se efetuar a
divisão, e tem como ponto de partida a relação que existe entre a subtração e a
divisão. Pode ser apresentado através dos processos longo e abreviado.
Pelo processo das subtrações sucessivas, também fica fácil convencer o
aluno que o resto de uma divisão nunca pode ser igual ou maior que o divisor, pois,
caso contrário, ainda seria possível fazer mais uma subtração. A criança pode e
deve chegar, ela mesma, a essa conclusão.
6. TABUADA
Antes de começar o trabalho com a divisão em si, o aluno deve dedicar-
se à construção em questão, para que possa consultá-las quando necessitar. O
educando, ao construir a tabuada estará defronte com situações novas de
multiplicação e aplicando seus conhecimentos.
Quando têm o divisor maior que cinco, começam as dificuldades com a
tabuada que ainda não está consolidada para os alunos.
7. GEOMETRIA
Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino
de Geometria consiste em levar o aluno a perceber e valorizar
sua presença em elementos da natureza e em criações do
homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades em que ele
possa explorar formas como as de flores, elementos marinhos,
casa de abelha, teia de aranha, ou formas em obras de arte,
43
esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos
em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc.
As atividades geométricas podem contribuir também
para o desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual,
seja de comprimentos, ângulos ou outras propriedades
métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de
medida. Isso pode ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos
com dobraduras, recortes, espelhos, empilhamentos, ou pela
modelagem de formas em argila ou massa.
Construir maquetes e descrever o que nelas está
sendo representado é também uma atividade muito importante,
especialmente no sentido de dar ao professor uma visão do
domínio geométrico de seus alunos.
O uso de alguns softwares disponíveis também é
uma forma de levar o aluno a raciocinar geometricamente.
(PCN: Matemática, p.128, 1997).
7.1 A importância do ensino da Geometria nos anos iniciais
Os sentidos atribuídos ao ensino da Geometria nos anos iniciais do
Ensino Fundamental, de um modo geral, estão vinculados a aplicação de fórmulas, a
desenhos (em preto e branco) de figuras geométricas e a exploração de teoremas,
constituindo-a como um conjunto de “verdades eternas” sem relações com a cultura
dos estudantes.
Cabe assinalar que a Geometria ensinada nas escolas se sustenta, de um
modo geral, na denominada “Geometria Euclidiana”, produzida pelo matemático
grego Euclides (em 300 a.C., aproximadamente), o qual buscava sistematizar o
saber geométrico através da enunciação de definições, postulados e axiomas para a
dedução de teoremas. Este sistema constitui-se, então, no modelo capaz de gerar
e classificar os saberes geométricos, os quais, uma vez “provados”, passam a ser
considerados como “verdadeiros” e inquestionáveis.
Também passa a agregar conhecimentos tidos como universais e
absolutos, como se pré-existissem às culturas dos professores e estudantes.
44
Outra característica marcante no ensino da Geometria, influenciada
também pelo sistema euclidiano, é a linearidade. Os Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1997), nesta direção, destacam que a concepção linear ainda
está muito presente nas práticas pedagógicas desta área ao privilegiar o trabalho
centrado na sequência: ponto, reta, linhas, figuras planas e, posteriormente, os
sólidos geométricos. Tal sequência se contrapõe, geralmente, às experiências
vivenciadas pelos estudantes na exploração do espaço em que vivem.
Desde cedo, as crianças manipulam muitos objetos geométricos (como
bolas, caixas, latas) e, posteriormente, centram sua atenção às figuras geométricas
planas, vértices e arestas que os compõem, mostrando o quanto a sequência
estipulada pela escola caminha na direção oposta à da vida.
Uma educação geométrica deve ser capaz de auxiliar os estudantes no
entendimento do ambiente que os cerca, aguçando sua percepção para examinar e
organizar o próprio espaço que habitam.
O educador deve ampliar e sistematizar os saberes para que a
percepção espacial, visual e tátil da criança se desenvolva, além contribuir para
uma melhor apreciação das construções e dos trabalhos artísticos, tanto dos seres
humanos quanto da natureza, para a aprendizagem de números e medidas,
estimulando a criança a observar, perceber semelhanças, diferenças e identificar
regularidades, assim como também observar que uma figura geométrica é
constituída por uma, duas ou três dimensões, identificando algumas propriedades e
estabelecendo classificações. A identificação de uma localização ou deslocamento,
a percepção de relações dos objetos no espaço com a utilização do vocabulário
correto são, também, noções importantes para essa fase de aprendizagem do aluno.
7.2 Atividades de Localização e Orientação
A figura abaixo ilustra uma possível organização de uma sala de aula vista de cima.
Janela Professora Porta
Na figura, queremos localizar
onde sentam alguns alunos, conhecendo
as seguintes informações:
45
• João é o que senta mais longe da professora;
• Ana senta em frente à mesa da professora;
• André e Felipe sentam-se lado a lado;
• Carlos senta-se longe de João e ao lado da janela;
• Maria senta-se próxima à porta;
• Joana senta-se à frente de João e bem próxima de Felipe;
• Júlia senta-se atrás do Carlos;
• Rosa e Pedro sentam-se em frente ao quadro, sendo que Rosa se senta mais
perto da professora do que Pedro;
Sabendo que Camila se senta ao lado de João, onde se senta Fabiane?
Nesta atividade, além de trabalhar as ideias de perto, longe, ao lado, em
frente e atrás, algumas informações envolveram a relação com dois referenciais,
como, por exemplo, quando se afirma que Carlos se senta longe de João e ao lado
da janela.
7.3 Representações com diferentes vistas.
Iniciar com duas embalagens dispostas
conforme a figura ao lado: no papel quadriculado,
representar as vistas de cima, de frente e lateral da
figura.
Fazendo uso das vistas, é
possível distinguir as figuras
geométricas planas das
figuras geométricas
espaciais.
Com o objetivo de desenvolver a capacidade de interpretar
representações gráficas e a habilidade para representá-las de diversas maneiras,
conservando sua proporção, faz-se importante que cada aluno desenhe a sua vista
da sala de aula.
46
7.4 Mudança de direção - ângulos
Na maquete foi explorado a importância da orientação para
movimentação e localização. Ao realizar deslocamentos, dobrando à direita ou à
esquerda, pode-se introduzir um importante conceito geométrico: ângulo.
Neste caso, ângulo é tratado como mudança de direção. Esta mudança
de direção, tendo como referência o próprio corpo, pode ser expressa em meia volta,
um terço de volta, um quarto de volta. A volta completa pode ser representada por
um disco de papel e, por dobraduras, pode-se representar a meia volta e um quarto
de volta.
Confeccione o disco de papel, dobrando-o em quatro, oito ou doze partes,
conforme a figura a seguir:
7.5 Trabalhando com as figuras geométricas
Nesta atividade utiliza-se diversas embalagens, que são modelos de
representações geométricas. Estas representações tridimensionais envolvem, na
sua estrutura, figuras planas (faces) que, na continuidade, serão abordadas.
Na confecção de maquete, surgem inúmeras formas geométricas
agregando relações entre superfície, espaço, linhas, contornos e cores, entre outras.
Todos estes elementos são possibilidades para o reconhecimento e representações
destas figuras.
É fazendo, construindo e inventando que se pode criar melhores
situações para visualizar e reconhecer as formas geométricas.
Uma possibilidade é promover atividades em que os alunos – de maneira
lúdica, prazerosa, crítica e criativa – tenham acesso à arte e sejam capazes de
identificar o uso das figuras geométricas em diferentes produções artísticas. Nesse
47
sentido, neste texto, há alguns elementos que servem de mediação para fazer,
construir, pensar e criar em Geometria.
7.6 Explorando figuras planas
As manifestações culturais e artísticas estão presentes em artesanatos,
tecelagens, tapeçarias, esculturas, construções e objetos do cotidiano. A influência
indígena sobre esse tipo de produção se manifesta de forma marcante na confecção
desses objetos.
As criações dos indígenas são frequentemente ornamentadas com
desenhos de figuras geométricas.
É na cultura dos povos de diversas regiões do nosso país que
buscaremos trabalhar de forma prazerosa, o reconhecimento de figuras
geométricas. Padrões repetidos ocorrem na natureza ou podem ser criados pelas
pessoas. Alguns são feitos como decoração ou estampas de tecidos, outros são
usados na confecção de cestos, por exemplo.
Em muitos casos tais padrões caracterizam- se pelo uso de simetrias,
paralelismos e polígonos regulares, entre outros conceitos geométricos.
Ao lado está um exemplo da
utilização de formas geométricas em cestos
confeccionados por índios Wayana-Apalay
do estado do Pará com desenho de Atãta
(lagarto de duas cabeças).
Da mesma forma que as figuras
geométricas se encontram nas
manifestações artísticas e culturais, estas também podem ser identificadas em
embalagens que fazem parte de nosso cotidiano.
Isso pôde ser constatado no momento da realização e da exploração da
maquete, ao fazer uso das
embalagens.
Para representar a
geometria com maquetes,
pode-se fazer uso dos polígono
ilustrados ao lado:
48
7.7 Polígonos
A palavra Polígono é oriunda do grego e significa: Polígono = Poli (muitos)
+ gono (ângulos).
Matematicamente é denominado polígonos como sendo uma superfície
plana limitada por uma linha poligonal fechada. Linha poligonal é uma linha que é
formada apenas por segmentos de reta. Os polígonos precisam ser figuras
fechadas. O número de lados de um polígono coincide com o número de ângulos.
7.7.1 Construindo o conceito de polígono.
1º momento - O professor constrói quatro ou cinco
geoplanos em uma base de madeira com redes
quadrangular de pregos, organiza as crianças em
pequenos grupos e cada grupo recebe um geoplano e
linhas coloridas para formar linhas fechadas, retas.
Cada imagem formada pelo grupo é desenhada.
Os polígonos classificam-se em função do número de lados. Abaixo estão
os principais polígonos:
Triângulo
3 lados
Quadrilátero
4 lados
Pentágono
5 lados
Hexágono
6 lados
Heptágono
7 lados
Octógono
8 lados
Decágono
10 lados
49
Alguns polígonos possuem nomes bem particulares, veja a seguir:
um polígono com 9 ângulos → eneágono
um polígono com 11 ângulos → undecágono
um polígono com 15 ângulos → pentadecágono
um polígono com 20 ângulos → icoságono
Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos
internos, ângulos externos e diagonais.
7.7.2 Polígonos no dia a dia e na natureza
É comum o uso de polígonos regulares no
cotidiano. As abelhas utilizam-se do hexágono regular
nas colméias.
2. Nas bolas de futebol também aparecem figuras baseadas em
polígonos regulares (pentágonos e hexágonos regulares).
3. Na engenharia, algumas formações poligonais são utilizadas.
Por exemplo, na ponte Hercílio Luz (SC) pode-se ver a formação
de triângulos e quadriláteros, formados pelas barras de aço que
ligam as torres.
4. Na Calçada dos Gigantes – formação geológica de
basalto, localizada no litoral nordeste da Irlanda – torres
de rochas prismáticas foram erguidas no passado por
atividades vulcânicas.
50
7.8Triângulos
Os triângulos podem ser classificados em:
Equilátero: possui todos os lados com tamanhos iguais.
Isósceles: possui somente dois lados com tamanhos iguais.
Escaleno: possui todos os lados com tamanhos diferentes.
7.9 Quadriláteros
Os quadriláteros são os polígonos que
possuem 4 lados, 4 vértice e 4 ângulos.
Os principais quadriláteros são: retângulo,
quadrado, losango, paralelogramo, trapézio.
Mais alguns polígonos:
Os desenhos geométricos estão presentes em diversos locais,
constituindo vários objetos. A Bandeira Nacional é o símbolo do Brasil, conhecido
em diversos locais pelo mundo. Se analisada geograficamente, notamos a presença
de alguns desenhos. Veja:
Bandeira do Brasil
É formada pela união das seguintes figuras:
1retângulo:verde
1losango:amarelo
1 circunferência: azul
51
Ao andarmos pela cidade observando os prédios, casas, monumentos,
comércios, entre outros, visualizamos
inúmeras formas geométricas, planas e
espaciais. Os arquitetos são os
responsáveis por utilizarem a
imaginação na elaboração de
construções geométricas.
Brasília é um exemplo de
cidade construída utilizando modelos e
formas geométricas. Uma cidade repleta de formas que chamam a atenção pela
beleza e ousadia das construções. Veja algumas imagens de Brasília e outras
cidades brasileiras:
Brasília: Catedral, Ponte JK, Palácio da Alvorada e
Congresso Nacional
São Paulo: Edifício Copan
Rio de Janeiro: Mirante Museu Contemporâneo
Goiânia: Centro Cultural Oscar Niemeyer
7.9.1 Classificação dos quadriláteros
Os quadriláteros classificam-se em: paralelogramos, trapézios e
quadriláteros quaisquer, também chamado de trapézios.
1-Paralelogramos -São quadrilátero de lados opostos paralelos. Os paralelogramos
classificam-se em retângulo, losango.
52
Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo
cujos lados são congruentes chama-se quadrado.
Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais.
2-Trapézios - Quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos. Obs.: há
autores que definem trapézio como sendo o quadrilátero que tem pelo menos dois
lados paralelos.
Trapézio Retângulo-Trapézio que tem dois ângulos retos
Trapézio Isósceles-Trapézio que tem os lados não paralelos com a mesma
medida.
2- Quadrilátero qualquer ou Trapezóide -
Paralelogramos Trapézios
Quadriláteros
quaisquer
ou
Trapezóides
Retângulos
Trapézio
qualquer
Losango ou rombo
Trapézio
eqüilátero
53
7.10 Simetria
Simetria é a reflexo reproduzido como
em um espelho, ou pode-se dizer, duas figuras
iguais, de lado oposto ou não, como na figura ao
lado.
Na natureza também pode-se encontrar
exemplos de simetria como em uma borboleta.
Em azulejos, em
artesanatos, em obras de arte, entre outros.
Como identificar simetrias.
Pegue uma folha qualquer e desenhe um
quadrilátero, do tipo quadrado, retângulo, losango ou trapézio. Nesse quadrilátero,
verifique, por dobradura, quantos são os eixos de simetria.
Veja, por
exemplo, o que acontece
com o retângulo. Este
procedimento também
pode ser utilizado para os
outros quadriláteros.
Por meio desta construção, dê exemplo para:
a) quadrilátero que possua um eixo de simetria;
b) quadrilátero que possua dois eixos de simetria;
c) quadrilátero que possua quatro eixos de simetria.
As logomarcas também são exemplos de simetrias que poderão ser
utilizados em sala de aula.
54
7.11 Paralelismo
No nordeste e no norte do Brasil é comum encontrar esteiras de junco,
palha e fibras vegetais, usadas como tapetes ou telas de parede, peças feitas de
palha como cestarias, chapéus, bolsas, tampos de mesas, entre outras.
Nos trabalhos artesanais mostrados
a seguir, o conceito de paralelismo se faz
presente. Esse conceito é igualmente
importante quando se propõe a reconhecer
algumas figuras geométricas.
7.12 Geometria e Arte
A valorização e o estudo das trajetórias de artistas e artesãos nas
diversas regiões brasileiras é uma possibilidade de conhecimento da produção
artística e, quando inserida adequadamente no contexto escolar, pode ser
significativa na compreensão de outros conteúdos curriculares como, por exemplo,
conceitos geométricos.
A arte se manifesta de várias formas expressando sensações e
sentimentos de cada povo, registrando, com extrema criatividade e talento, a cultura
de cada região. Assim, a produção artística brasileira é diversificada, percebendo-se,
em suas representações, a realidade vivida pelo nosso povo em seus aspectos
culturais e regionais.
O Brasil é um país de artistas populares, principalmente em regiões ainda
não invadidas pela massificação dos meios de comunicação.
O desenho, a arquitetura, a escultura, as cestarias e as tecelagens são as
bases culturais de um país, cuja criatividade revela a autenticidade de seu povo.
Um exemplo disso é o escultor cearense Sérvulo
Esmeraldo (1929). Suas obras, como as apresentadas a
seguir, caracterizam formas
espaciais, com o uso de
dobraduras de planos.
Elas estão espalhadas
pela cidade de Fortaleza, no Ceará,
55
e mostram uma arte urbana possível de identificar a geometria, a simetria,
paralelismo.
7.13 Prismas para recortar e montar
56
8. GRANDEZAS E MEDIDAS
A comparação de grandezas de mesma natureza que dá origem à ideia
de medida é muito antiga. A medição tinha como referência as dimensões do corpo
humano, além de destacar aspectos curiosos como o fato de que, em determinadas
civilizações, as medidas do corpo do rei eram tomadas como padrão.
Para certas aplicações, foram utilizadas medidas que, com o tempo,
tornaram-se convencionais.
A velocidade, o tempo e a massa são exemplos de grandezas para as
quais foram convencionadas algumas medidas. Desse modo, é importante que os
alunos reconheçam as diferentes situações que os levam a lidar com grandezas
físicas, para que identifiquem que atributo será medido e o que significa a medida.
O aluno deve compreender que podem ser convencionadas medidas ou,
que podem ser utilizados sistemas convencionais para o cálculo de perímetros,
áreas, valores monetários e trocas de moedas e cédulas.
No mundo atual, o Sistema Internacional de
Unidades fundamenta-se a partir de unidades de base como:
para massa, o quilograma; para comprimento, o metro; para
tempo, o segundo; para temperatura, o kelvin; para intensidade
elétrica, o ampère, etc.
É no contexto das experiências intuitivas e informais
com a medição que o aluno constrói representações mentais
que lhe permitem, por exemplo, saber que comprimentos como
10, 20 ou 30 centímetros são possíveis de se visualizar numa
régua, que 1 quilo é equivalente a um pacote pequeno de
açúcar ou que 2 litros correspondem a uma garrafa de
refrigerante grande.
(PCN: Matemática, p.129, 1997).
As atividades devem contemplar:
a. Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais
ou não.
57
b. Resolver os problemas significativos utilizando unidades de medida
padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml.
c. Estabelecer as relações entre unidades de medida de tempo.
d. Estabelecer as relações entre o horário de início e término e/ou o intervalo da
duração de um evento ou acontecimento.
e. Num problema, estabelecer as trocas entre cédulas e moedas do sistema
monetário brasileiro, em função de seus valores.
f. Resolver os problemas envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas,
desenhadas em malhas quadriculadas.
8.1 Conteúdos
8.1.1 Padrões usados para avaliar grandezas físicas
São definidas arbitrariamente e têm como referência um padrão material.
As grandezas podem ser mecânicas, ópticas, geométricas, acústicas ou luminosas.
Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referência
da mesma espécie e estabelecer o (inteiro ou fracionário) de vezes que a grandeza
contém a unidade.
Metrologia é a ciência que estuda, normatiza e codifica os conhecimentos
relativos a medidas, padrões e unidades de medir, métodos, técnicas e instrumentos
de medição. Estimar e avaliar grandezas diversas são capacidades e habilidades
desenvolvidas pela humanidade desde o início de sua evolução cultural.
Na pré-história, o homem apenas compara volumes e peso, sem medi-los.
Com o crescimento demográfico, o surgimento das cidades e dos sistemas de
trocas, são fixadas unidades que permitam uma comparação mais precisa entre
objetos.
8.1.2 Sistemas consuetudinários
Até o final do século XVIII, todos os sistemas de medidas existentes são
consuetudinários, ou seja, baseados nos costumes e nas tradições. Os primeiros
padrões utilizados para medir são partes do corpo humano – palma da mão,
polegada, braço ou uma passada – e utensílios de uso cotidiano, como cuias e
vasilhas.
58
Com o tempo, cada civilização define padrões e fixa suas próprias
unidades de medidas. Daí a multiplicidade de sistemas de medição existente desde
a Antiguidade.
8.1.3 Primeiros sistemas
As diferentes civilizações começam a padronizar as unidades de medidas
já na Antiguidade. Antes disso, as medições não eram muito precisas. O côvado
egípcio, por exemplo, é uma medida de comprimento cujo padrão é a distância
entre o cotovelo e a ponta do dedo médio, estando o braço e o antebraço dobrados
em ângulo reto e a mão esticada. A milha é a distância percorrida em uma
passada.
Com esses tipos de unidades, as medições podem dar resultados tão
variados quantas são as diferenças individuais do corpo humano. A padronização é
feita pela definição de unidades médias, fixadas através de padrões materiais
construídos em pedra, argila ou ligas metálicas.
8.1.4Principais grandezas
O Sistema Internacional de
Unidades (SI) é o mais aceito em todo o
mundo. No entanto, ainda são usadas
unidades tradicionais de origem
consuetudinária ou de sistemas
anteriores à elaboração do SI.
8.1.5 Comprimento
Metro (m)
Unidades de comprimento tradicionais:
Quilômetro (km): 1.000 m,
palmo: 22 cm;
braça: 2,2m;
légua: 6 km;
légua brasileira: 6,6 km.
59
8.1.6 Área
Metro quadrado (m²), unidade SI: área de um quadrado com lado igual a
um metro.
Unidades de área tradicionais:
quilômetro quadrado (km²):
1.000.000 m²;
hectare (ha): 10.000 m²;
alqueire mineiro: 48.400 m²;
alqueire paulista: 24.200 m².
Unidades de área inglesas:
polegada quadrada: 6,4516 cm²
ou 0,00064516 m²;
pé quadrado: 929,03 cm² ou
0,092903 m².
8.1.7 Volume
Metro cúbico (m³), unidade SI: cubo com arestas iguais a um metro.
Unidade de volume tradicional:
Litro (l): 0,001 m³.
8.1.8 Massa
Quilograma (kg), unidade SI: massa do protótipo internacional do
quilograma, um padrão construído com uma liga de platina e irídio.
Unidades de massa tradicionais:
quilate: 0,2 g ou 0,002 kg;
tonelada métrica (t): 1.000 kg.
Unidades de massa inglesas:
libra ou pound (lb): 453,59 g ou
0,453 kg;
tonelada inglesa: 1.016 kg;
tonelada norte-americana: 907
kg;
onça (oz): 28,35 g ou 0,028 kg;
onça troy: 31,10 g ou 0,031 kg.
8.1.9 Tempo
Segundo (s), unidade SI: tempo correspondente a 9.192. 631.770 ciclos
de radiações emitidas entre dois níveis de energia do átomo de césio 133.
60
Unidades de tempo tradicionais:
minuto (min): 60s;
hora (h): 60min ou 3.600s;
dia (d): 24h ou 1.440min ou 86.
400s;
ano sideral: 365d 6h 9min 9,5s;
ano trópico: 365d 5h 48min
45,8s.
8.1.10 Informática
Bit: menor unidade de armazenamento de informações em computadores e
sistemas informatizados.
Byte: é a unidade básica de memória de computadores, igual a 8 bits
contíguos.
Kilobit (kbit): 1.024 bits de informação. Kilobyte (kbyte): 1.024 bytes.
Megabytes: 1.048.576 bytes.
8.2 Introdução para as atividades de grandezas e medidas.
O que você já mediu hoje?
Muitas atividades cotidianas das crianças envolvem medidas, como por
exemplo, observar os tamanhos dos objetos, pesos, volumes, temperaturas
diferentes e outras. Os pais, professores, adultos em geral ou mesmo crianças mais
velhas, são as pessoas que demarcam essas diferenças para os menores: maior
que, menor que, mais longe, mais perto, mais quente, mais frio, etc.
A partir dessas práticas adquiridas da convivência social das crianças,
deve a professora ou o professor propor situações-problema, visando à ampliação,
ao aprofundamento de seus conhecimentos e à construção de novos significados.
Um exemplo simples é a preparação de um alimento.
Essa atividade possibilita um importante trabalho, envolvendo diferentes
unidades de medida, como o tempo de cozimento e a quantidade dos ingredientes:
litro, quilograma, colher, xícara, pitada, etc.
Assim, ao longo do Ensino Fundamental, as atividades propostas devem
propiciar a compreensão do processo de medição.
Medir significa comparar grandezas de mesma natureza. No processo de
medição, alguns aspectos devem ser levados em conta:
61
é necessário escolher uma unidade adequada, comparar essa unidade com o
objeto que se deseja medir e contar o número de unidades que foram
utilizadas;
a unidade escolhida arbitrariamente deve ser da mesma natureza do atributo
que se deseja medir, e deve-se levar em conta o tamanho do objeto a ser
medido e a precisão que se pretende alcançar nessa medição;
quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes que a
utilizamos para medir um objeto.
Assim, por exemplo: pode-se pedir para os alunos medirem as grandezas
comprimento e largura do tampo de suas carteiras, usando algum objeto como
unidade. Eles poderão escolher uma régua, uma borracha ou um lápis. Os
resultados encontrados serão diferentes, em razão da diferença dos objetos
escolhidos como unidade de medida. Essa constatação deve ser amplamente
discutida com as crianças.
Se pedirmos às crianças para medirem o comprimento e a largura de sua
sala de aula, provavelmente escolherão outras unidades de medida diferentes das
anteriores. Elas poderão medir com os seus pés, com os seus passos ou com uma
barra de madeira maior.
Com certeza, essas unidades de medidas são mais adequadas para essa
medição do que as do exemplo anterior. Quando as crianças usam unidades de
medidas como passo, palmo etc., é fundamental discutirmos com elas que, como
pessoas têm tamanhos diferentes, encontramos números diferentes para expressar
a mesma medida.
Portanto, perguntas do tipo:
Qual número encontrado pelos alunos nessa medição? é o mais correto?,
é respondida da seguinte forma: todos os resultados são igualmente corretos, pois
eles expressam medidas realizadas com unidades diferentes.
Embora possamos medir qualquer objeto usando padrões não-
convencionais de medida, como os pés, o passo, a borracha, etc., deve-se discutir
com as crianças a importância e a adequação de adotar-se em certas situações
unidades-padrão de medida, que constituem sistemas convencionais de medida e
facilitam a comunicação entre as pessoas.
62
Entre as grandezas, o tempo pode somente ser marcado. Para isto
utiliza-se pontos de referência e o encadeamento de várias relações, do tipo: dia e
noite, manhã, tarde e noite, passado e futuro, antes, agora e depois, os dias da
semana, o ano, e outros.
Atividades usando os calendários para localizar e marcar as datas de
aniversários das crianças, o tempo que falta para alguma festa e o seu próprio dia,
agendar a data de um passeio, localizar as fases da lua, como também a
observação das suas características e regularidades (sete dias por semana, a
quantidade de dias em cada mês etc.) propiciam a estruturação do pensamento das
crianças das primeiras séries do Ensino Fundamental.
Como o tempo, pode-se somente marcar a
temperatura. Pode-se marcar e ordenar a temperatura
segundo uma escala numérica, tomando por base um
valor estável como ponto de referência, que no caso da
temperatura é a temperatura do gelo derretendo. Sempre
que for preciso saber com precisão qual é a temperatura,
recorremos ao termômetro que é um instrumento de
marcação.
Uma das grandezas com que as crianças têm contato logo cedo é o
dinheiro. Essa grandeza relaciona os números e medidas, incentiva a contagem, o
cálculo mental e o cálculo estimativo. O uso de cédulas e moedas, verdadeiras ou
imitações, constitui-se em um material didático-pedagógico muito farto. Além de
propiciar atividades didáticas do tipo fazer trocas,
comparar valores, fazer operações, resolver
problemas, trabalhar com os números naturais e os
números decimais, pode-se explorar o valor que o
dinheiro representa em relação aos objetos e ao
trabalho, iniciando a abordagem do tema transversal
Trabalho e Consumo.
63
09. FRAÇÕES
A prática mais comum para explorar o conceito de
fração é a que recorre a situações em que está implícita a
relação parte-todo; é o caso das tradicionais divisões de um
chocolate, ou de uma pizza, em partes iguais.
A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando
um todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de
superfície ou de elementos). A fração indica a relação que
existe entre um número de partes e o total de partes.
(PCN: Matemática, p.103, 1997).
Para uma preparação ao estudo de frações, pode-se realizar atividade
lúdica com o Tangran, um quebra-cabeça chinês muito antigo composto de sete
peças, além da criatividade, com ele se explora o pensamento lógico na composição
e transformação de figuras.
Com as sete peças se pode formar uma variedade de figuras, além das
formas geométricas.
09.1 Construção de um Tangran
Utilizando alguns conceitos geométricos, o jogo pode ser facilmente
construído em papel, conforme os seguintes passos.
1- Construir um quadrado de 16cm de lado – figura 1.
2- Traçar uma das diagonais do quadrado (unir dois vértices não consecutivos) e o
segmento de reta que une os pontos médios de dois lados. – figura 2.
3- Traçar a outra diagonal até encontrar o segundo segmento de reta traçado –
figura 3.
64
4- Repartir a primeira diagonal em quatro partes iguais – figura 4.
5- Traçar o segmento de reta que se mostra na figura 5.
6- Traçar outro segmento de reta conforme a figura 6.
Recortar as peças (que podem ser coloridas) e, com elas, realizar as
atividades que seguem: Com as sete peças do
Tangran e usando a sua criatividade, procure
representar uma casa, um barco e uma pessoa,
desenhando as figuras.
Observe que é possível, por
superposição, construir a peça quadrada com os
dois triângulos pequenos.
Usando a superposição, procure obter
outras possibilidades de equivalência entre as peças do quebra-cabeças.
Identifique as peças do Tangran conforme a representação a seguir e
responda:
Quais são as maiores peças?
Quais são as menores peças?
Quantas vezes a peça A cabe no Tangran?
Que parte do Tangran corresponde à peça A?
Quantas vezes a peça G cabe na peça A?
Que parte da peça A é a peça G?
Quantas vezes a peça E cabe na peça G?
09.2 Introdução a frações
O tema das frações costuma apresentar uma dificuldade maior, do ponto
de vista do conteúdo, do que os outros temas.
65
No cotidiano das crianças (e mesmo nosso cotidiano) o que aparece de
frações é, em geral, coisa muito simples, como “meia xícara de leite” e “meia dúzia
de ovos”, porém, uso de frações está também em como comparar razões, fazer
estimativas e compreender situações simples envolvendo frações, que não
requerem técnicas complicadas.
Há duas ideias centrais, frações unitárias e as frações equivalentes.
As frações aparecem quando as pessoas querem regitrar partes de
coisas, ao invés de contá-las.
Por exemplo, o vaqueiro, conta seu gado quando sai para o campo, para
que, na volta, possa saber se todos os bois e vacas estão ali, mas se temos uma
melancia e vamos dividi-la entre seis pessoas, para indicar que quantidade cada
uma vai comer dizemos “1/6 de uma melancia”, que se lê “um sexta”. Estamos
indicando que a melancia foi dividida em seis partes – 6 é o denominador -, e cada
pessoa vai receber uma dessas partes – 1 é o numerador.
A palavra fração está relacionada com a palavra fratura, que quer dizer
quebra, e com isso pode-se pensar que frações representam quantidades que
correspondem a pedaços de coisas.
Bilhetes de loterias são vendidos em frações, quer dizer, ao invés de
comprar o bilhete inteiro, é possível comprar apenas uma ou mais partes dele.
As frações surgiram muito antes dos números decimais, como forma de
representar quantidades não inteiras, provavelmente pela inspiração de se
representar partes.
Aos poucos a ideia de fração foi se ampliando e outros significados foram
criados.
No Egito antigo, apenas as frações unitárias(aquelas que tem numerador
1) eram usadas. Muito raramente usavam 2/3 e, mais raramente ainda, ¾. Para
escrever outras frações, eles usavam somas de frações unitárias.
5/6 = 1/2 + 1/3
09.3 Como ler frações
Prestar atenção nas palavras pode ajudar a lembrar a que elas se
referem, principalmente quando se fala em frações.
66
A palavra “denominar” quer dizer “indicar nome de”, e, de fato, o
denominador de uma fração indica o seu “nome”, que “tipo” de partes são, se são
sextos ou terços, quintos ou décimos, etc.
Já o numerador , indica o número que se toma deste tipo de partes. É
como se, ao escrever a fração 1/6, estivesse querendo dizer uma parte do tipo
sexto. Para ler uma fração, fala-se o numerador e depois o denominador, mas por
tradição, ao invéz de dizer, “Um seis”, para a fração 1/6, fala-se “um sexto”.
Os denominadores de 2 a 10 são lidos assim:
2 3 4 5 6 7 8 9 10
meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono Décimo
As palavras usadas para ler denominadores de fração de 4 a 10, são as
mesmas que se usa para indicar posição, por exemplo em uma fila.
Se o denominador, é um, pode-se dizer “inteiros”: 4/1 pode ser lido
“Quatro inteiros”. Para denominadores maiores que 10, usa-se a palavra “avos”: 1/12
é lida “um doze avos”.
Esta palavra aparece quando trata-se de dinheiro, porque é ela que
aparece em “centavos”, que é uma abreviação de “cem avos”. Quando se diz 15
centavos, está se referindo a 15/100, já que um centavo é o mesmo que um
centésimo de real. Mas, ao ler frações, com o denominador 100, 1000 e assim por
diante, é comm dizer “centésimo” (ao invés de cem avos), milésimo ( ao invés de mil
avos, e assim por diante.
As frações com denominador 100, 1000, etc, as chamadas potência de
10, tem uma relação direta com os numeros da dorma decimal, os números com
virgulas. É inportante enfatizar essa relação, apresentar como fração decimal e
como número decimal, o que estimula um pesnamento mais flexível nos alunos.
Como exemplo 65%, mostrar aos alunos que isto poderia se representado
também como 0.65 ou como 65/100. Cada uma dessas representações facilita
certos modos de pensar e operar sobre ela, reconhecer sua equivalência permite
que os alunos passem de uma a outra quando estão resolvendo problemas ou
tentando entender sitauções ou textos, e esta é uma característica importante das
pessoas que pensam de forma autônoma.
67
Um outro modo de se ler frações, bastante simples, mas que não é o
“oficial”, é simplesmente ler o numerador e denominador, colocando entre eles a
palavra “sobre”, 2/3 pode ser lida “2 sobre 3”.
Voltando ao que querem dizer as palavras numerador e denominador,
pode-se perceber uma semelhança das frações com as medidas.
Quando disser que o comprimento de uma mesa é dois metros, estará
indicando o “quanto” (dois) e o de que “tipo” (metro). Se mudar o “tipo” para
centímetro, o “quanto” teria que mudar para 200 para a medida ficar certa, já que 2
m = 200 cm.
Assim, uma das formas de se entender o que é uma fração, é que elas
são o resultado de se medir alguma coisa, usando como referência uma parte da
unidade.
Exemplo: Muitos livros didáticos introduzem as
crianças às frações, usando bolos e tortas. A figura ao lado
indica a parte da torta que as pessoas comeram e o
restante.
Pela figura, temos a impressão de que a torta
havia sido cortada em oito fatias. Pode-se então, escolher 1/8 de torta como unidade
de medida. Quantas vezes esta unidade cabe na parte que foi comida?
A resposta é seis vezes. Por isto, o número correspondente à parte
comida é 6/8, são seis partes de oito partes.
Relacionar facões com medidas é importante porque ajuda a criança a
perceber frações como um número, e não apenas como um símbolo que junta dois
números.
Exemplo:
“Uma família pediu dois bolos de mesmo tamanho, ambos cortados em 8 fatias
iguais. Do primeiro comeram 5 fatias, e do segundo comeram 6 fatias. Que fração
corresponde ao total de bolo que foi comido?”
68
Para dar essa resposta a criança deve ver a fração como unidade de
medida, 1/8, um parte de um bolo, a criança comeu então 11/8
09.4 Para que servem as frações?
As frações que aparecem no dia a dia são, quase sempre, muito simples.
Medidas de canos e ferramentas às vezes são dadas em polegadas: cano de meia
polegada, chave de boca de um quarto de polegadas. Em receitas encontra-se meia
xícara de óleo, meio litro de leite, meio quilo de camarão seco. Pode-se encontrar
três quartos de xícara de leite de coco e um terço de xícara de azeite de dendê, mas
o que certamente não se encontra, é uma receita que diga 3/11 de quilo de feijão.
O desenho ao lado é
apenas ilustrativo da posição
relativa das frações, e não está
em escala.
O mais comum quando se quer registrar uma medida “quebrada” (que
não deu um número inteiro) é usar números na forma decimal, mas as frações são
úteis em vários tipos de situações, especialmente por causa dos vários significados
que se pode produzir para ela, das várias maneiras de pensar sobre ela. Isto dá mais
flexibilidade ao pensamento numérico.
Quando os alunos perguntam para que servem as frações, não é fácil
encontrar “grandes” usos no dia a dia que justifiquem todo o trabalho que se faz com
elas na escola. E a maioria das “aplicações” de frações que encontra-se nos livros
didáticos é bastante artificial.
Por exemplo, qual criança ou adulto diria, em casa: “meio quilômetro” faz
sentido no dia a dia, mas dizer “três quintos de quilômetro”, não. Neste caso
diríamos “600 metros”, ou aproximaríamos para “meio quilômetro”.
Mas em situações envolvendo, por exemplo, razões as frações são muito
úteis quando se lida com mapas.
Um outro exemplo de uso de frações são as porcentagens, como analisar
a inflação, juros e dados sobre populações. Quando se diz que “os juros são de 2%”,
indica que para cada 100 reais emprestados, paga-se 2 reais de juros.
69
Em um empréstimo de 200 reais, os juros serão de 4 reais (por mês), e
um empréstimo de 150 reais, os juros serão de 3 reais. Em cada caso, os juros
correspondem a do total emprestado, e daí a expressão “porcento - % “ .
Há alguns usos curiosos - por suas origens - de frações na linguagem
cotidiana. Por exemplo, existem as “meias três quartos”, chamadas assim porque
cobrem aproximadamente três quartos da parte inferior, entre o pé e o joelho, e a
carne de vaca é às vezes negociada em quartos, o “quarto de boi”, que é um boi
inteiro dividido em quatro partes.
As pessoas que professam a religião católica rezam o terço, assim
chamado porque corresponde a um terço de um rosário. O rosário é um colar com
165 contas, que se usa para não perder a conta das rezas; ele corresponde a 15
dezenas de ave-marias e 15 padre-nossos. Assim, o terço é um colar que
corresponde a 5 dezenas de ave-marias e 5 padre-nossos.
O uso mais curioso é o que está na expressão “vá para os quintos!”. Muito
antigamente, os colonizadores portugueses cobravam um imposto sobre todo o ouro
extraído no Brasil, correspondendo a um quinto do ouro, e este imposto era
mandado para Portugal em navios chamados, naturalmente, “o navio dos quintos”.
Daí veio a expressão, que quer dizer “vá para longe”!
09.5 As frações nas séries iniciais
Há três maneiras de se entender o que seja uma fração:
a. resultado de uma medida;
b. relação entre todo e partes;
c. indicam uma razão.
As situações mais próprias para se trabalhar nas séries iniciais são muito
simples, e envolvem frações também simples, como , Além disso, no cotidiano é
pouco comum termos que somar, subtrair, multiplicar ou dividir com frações, porém,
saber estimar, visualmente, que fração de um todo estamos pegando (por exemplo,
se numa xícara tem mais ou menos da metade), é uma habilidade bastante útil.
Exemplo de uma situação real:
70
Uma situação real, na qual a habilidade de aproximar com frações
simples é útil, é quando se está viajando. Se soubermos que a viagem toda tem
300km, e que já viajamos 110km, podemos dizer que, aproximadamente, viajamos
um terço, e que, portanto, faltam dois terços da viagem. Com esta informação
podemos estimar facilmente quanto tempo mais temos que viajar (neste caso, o
dobro do tempo que já viajamos) ou, olhando para o marcador de gasolina, estimar
se vai ser preciso parar no posto ou não.
Na compreensão de gráficos, na preparação de misturas de tintas e em
muitas outras situações, esta habilidade é útil no cotidiano, e as séries iniciais são
um ótimo tempo para ajudar nossos alunos a desenvolverem-na.
Já as contas com frações não precisam receber tanta ênfase. Podemos
trabalhar com as técnicas operatórias e suas explicações, mas não precisamos ficar
trabalhando com contas que envolvam números grandes e frações que são difíceis
de “visualizar”, como, se tivermos uma situação em que esta fração aparece, pode
ser melhor aproximá-la usando a fração. De todo modo, é melhor trabalhar a
compreensão das técnicas do que sobrecarregar as crianças com contas que não
fazem sentido para elas, quer dizer, que envolvem frações para as quais elas não
têm uma “intuição”.
É melhor concentrar o trabalho com frações, nas séries iniciais, em:
1) frações simples;
2) aproximar outras frações usando frações simples;
3) as ideias básicas sobre operações com frações;
4) as técnicas básicas de operações com frações, usando, de preferência,
frações simples.
71
10. CONTEXTUALIZAÇÃO DOS PROBLEMAS CONVENCIONAIS
APRESENTADOS NOS LIVROS DIDÁTICOS:
Os estudiosos na área de Educação de Matemática, diz que a resolução
de problemas é um caminho metodológico para ensinar esta disciplina; onde o
aluno vai combinar, na estrutura cognitiva, os conceitos, princípios, procedimentos,
técnicas, habilidades e conhecimentos previamente adquiridos.
Essa resolução de problemas constitui-se em uma capacidade
matemática transversal que precisa ser estimulada e ensinada desde os primeiros
anos de escolarização, desde a compreensão do problema até a revisão da solução
encontrada.
É constituída de quatro características básicas, a primeira é a cognitiva
onde se refere a uma atividade mental superior que envolve diferentes conceitos e
princípios; a segunda é processual, por abranger um encadeamento de ações e de
procedimentos; é dirigida porque se tem um fim, uma resposta a alcançar e é
pessoal porque os conhecimentos prévios dos alunos contribuem de maneira
significativa para sua solução.
O ensino de matemática necessita de mudanças na concepção de ensino
e de aprendizagem. O aluno precisa aprender a investigar, participar e ter
autonomia, a aprendizagem deve ser pautada na compreensão e na estrutura do
problema, a linguagem dos enunciados e as relações lógicas presentes.
Além da compreensão, temos outras etapas como a elaboração e execução
de procedimentos de solução, sua validação e checagem, o que implica avaliação do
procedimento escolhido para o alcance da resposta.
Faz-se necessário que os professores se integrem no processo formativo na
resolução dos problemas e para tal exige mudança de concepções acerca da formação
matemática, e na elaboração dos enunciados, estes precisam ser claros, coesos e
contextualizados às capacidades cognitivas das crianças.
A resolução de problemas constitui-se num campo da matemática com
grande importância da linguagem escrita, entendendo-a tanto como um instrumento que
possibilita a atribuição de significados e, deste modo, a apreensão de conceitos, quanto
como uma ferramenta alternativa de diálogo, na qual o processo de avaliação e reflexão
sobre a aprendizagem é continuamente mobilizado.
72
10.1 Discutindo a contextualização
A contextualização é outro aspecto importante na discussão dos
enunciados, visto que haja significado para os alunos.
Entende-se por contexto uma situação que faz parte de um todo, a qual
só apresenta significado quando está em contato com este mesmo todo. Assim,
contextualizar é apresentar situações que possibilitem aos seus interlocutores sentido,
sendo uma alternativa que pode auxiliar a aprendizagem significava dos discentes.
Ao dar significados as situações matemáticas, contextualizando-as, pode-se
potencializar a construção de conhecimentos dos conteúdos matemáticos, quer seja
atitudinal, conceitual e/ou procedimental.
Para que uma situação seja identificada como uma situação de
aprendizagem escolar, os profissionais de educação devem atentar para alguns fatos
relevantes como: conhecer seus alunos; conhecer seus conhecimentos prévios; planejar
as situações-problema com criatividade, de modo desafiador, com ações motivantes,
quer seja real ou fictícia, podendo usar doses de humor para instigar os discentes;
buscar desenvolver atitudes autônomas nos estudantes e que favoreçam a troca de
experiências em sala de aula.
O ensino de Matemática não pode ser reduzido a um conjunto de
procedimentos mecânicos e repetitivos. Os alunos devem aprender a realizar
hipóteses e maneiras de construir diversos caminhos para chegar aos resultados, o
importante é que durante a construção do conhecimento haja registros, discussões
e explicações sobre os caminhos encontrados.
Outras atividades que aproximam os conteúdos da Matemática dessa
vida são o cálculo mental e as estimativas.
Calculo mental é a atividade em que são desenvolvidos caminhos
próprios para chegar ao resultado de uma operação. A garotada pode fazer
estimativas, decompor, arredondar e aproximar números. A escolha entre a
calculadora e o algoritmo deve ser intencional.
Muitos dos problemas em que se usa a estimativa são vinculados a
questões do dia a dia. Por exemplo: quanto tempo se leva para chegar a algum lugar
ou quanta gasolina é necessária. No que se refere ao cálculo mental, tanto o exato
quanto o de resultado aproximado, a memória é uma ferramenta importante.
73
Deve ser proposto em sequências didáticas específicas, atividades de
sistematização e como trabalho permanente, vinculado aos conteúdos vistos em
sala. Com isso a criança aprende a construir estratégias pessoais de cálculo e a se
decidir, em várias situações, pela mais eficaz. Ela adquire ainda hábitos de reflexão
sobre os cálculos e dispõe de meios permanentes de aproximação e controle sobre
o que obtém usando técnicas como o algoritmo. Ao estimar resultados, consegue
fazer a autocorreção: se a resposta fica muito distante da estimativa, algo está
errado.
11. HABILIDADES OPERATÓRIAS A SEREM DESENVOLVIDAS NO PROCESSO
DA MATEMÁTICA.
OBSERVAR: é a habilidade de perceber a realidade. É entender um objeto,
identificando conforme seu valor conceitual.
Perceber as pessoas a sua volta identificando características pessoais, etc.
O professor para ajudar nesta habilidade deve:
oferecer condições das crianças manipular diferentes objetos, de maneira
que, olhe, toque, identifique a temperatura, a forma geométrica, etc.
CONHECER: diz respeito ao conhecimento de algo ou alguma coisa, de si mesmo e
do outro. É capaz de identificar, reconhecer, distinguir, avaliar.
O professor para ajudar nesta habilidade deve:
ministrar aulas com atividades em que as crianças definam o que desejam
saber sobre determinados objetos, etc.;
dar determinadas informações sobre assuntos que não poderiam aprender
sozinhas;
permitir espaços para auto avaliação que julgam suas dificuldades e seus
progressos;
COMPREENDER: é uma habilidade que se opõe a memorização de um
conhecimento associado a outros que já possui e leva consigo por toda vida.
O professor para ajudar nesta habilidade deve:
74
permitir que a criança utilize diversas linguagens durante o processo de
ensino aprendizagem.
COMPARAR: é a habilidade de examinar dois ou mais objetos de conhecimento,
relacionando entre si semelhanças e diferenças.
O professor para ajudar nesta habilidade deve:
criar situações para que a criança fale o que entendeu.
RELATAR: é a habilidade de relatar fatos, vivências, descobertas.
O professor para ajudar nesta habilidade deve:
deixar que a criança relate o que observou.
narrar como foi o desenvolvimento de algo (recontar histórias).
CLASSIFICAR: consiste em reunir em classes, determinar grupos, a ordenar os
objetos. Aproximar ou distinguir algo com base em semelhanças e diferenças.
O professor para ajudar nesta habilidade deve:
propor atividades com materiais concretos exemplo: tampinhas coloridas de
diversos, blocos lógicos etc., em que a criança precisa classificar utilizando-se
de critérios pessoais.
as crianças possam criar associações entre os números e quantidades que
representam.
APLICAR: implica na influência de uma atividade sobre outra, subseqüente, ou seja,
aplicar um conhecimento obtido em outras situações, ou usar um conhecimento para
esclarecer outro.
Essa operação mental que requer ''transferência'' é considerada uma das mais
importantes habilidades operatórias estimuladas da inteligência.
O professor pode propor situações em que a criança possa explorar o caminho para
a escola, que ela já conhece, para que ela possa construir noções de relevo.
SERIAR: é a habilidade de ordenar, dispor segundo certos critérios, objetos grandes,
médios e pequenos.
75
LOCALIZAR NO ESPAÇO: é a habilidade de se perceber no espaço, ou de uma
situação.
O professor pode:
propor situações em que a criança adquira a percepção de sua própria
situação no espaço.
oportunize aos alunos situações que demonstrem através de desenhos; utilize
a fala; escrita; gesto que conhecem ou como pensarem.
LOCALIZAR NO ESPAÇO: habilidade de compreender passado, presente e futuro.
O professor pode:
propiciar aos alunos experiências que envolvam o passado e o futuro
próximo, o agora e o daqui a pouco, fazer perguntas do tipo: - O que fizemos
ontem?; - O que planejamos fazer amanhã?; - Quantos dias faltam para o dia
das Crianças?; etc.
SOLUCIONAR PROBLEMAS: é a habilidade de decidir-se em caso de dúvida,
coletar e organizar dados que ofereçam a possibilidade de resolver uma
determinada situação. É a condição de elaborar projetos mentais que evidenciem
hipóteses por meios de métodos científicos.
O professor pode:
propor atividades que contenham desafios e estimule a busca voluntária das
crianças em formular hipóteses e buscar soluções. Ex: “As crianças estão
correndo no recreio e podem se machucar, como podemos resolver isto?
12. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM.
PRINCÍPIO DA ADEQUAÇÃO ÚNICA; para contar a criança precisa
atribuir a cada um dos objetos uma palavra número, respeitando a ordem
convencional da série.
Na Educação Infantil é comum a criança falar mais rápido ou apontar um
objeto, não faz correspondência termo a termo entre cada objeto, deste modo a
contagem fica errada.
76
PRINCÍPIOS DA CARDINALIDADE; reconhecer que o ultimo número
enunciado indica a quantidade geral dos objetos contados.
Ex: A criança conta até 7.
A professora pergunta quanto ela tem, ela tem 1,2,3,4,5,6,7.
não reconhece o último número enunciado durante a contagem.
PRICÍPIO DA INDIFERENÇA DE ORDEM; compreender que a ordem na qual se
contam as unidades não altera a quantidade total ( esquerda para direita, direita
para esquerda, de cima para baixo).
Possibilidade de colocação dos números:
1. Número maior e menor
2. O número maior depende da posição em que os outros números se
encontram
3. O valor de um algarismo representa valores diferentes dependendo do lugar
onde se encontra como na posição de unidade, dezena, centena ou milhar,
etc.
13. CONHECIMENTO LÓGICO MATEMÁTICO
É fazer a criança refletir sobre o objeto, através da abstração das propriedades
observadas como cor, forma, textura, etc., e para isso, faz-se necessário a criança
ter o conhecimento físico do objeto, sem desprezar propriedades do mesmo. Para a
obtenção do conhecimento lógico, a criança deve construir seu próprio
conhecimento, observando e coordenando suas ações, vivenciando os fatos e
experiências.
77
14. Planejamento Anual
3º ano do Ensino Fundamental I
Livro didático: Eu Gosto – Matemática
Célia Passos e Zeneide Silva
Editora: IBEP / 2006
Bimestral
6 Aulas semanais
OBJETIVOS
O ensino de Matemática deve levar o aluno a:
ampliar o significado do número natural pelo seu uso em situações-problema e
pelo reconhecimento de relações e regularidades;
construir o significado do número racional e de suas representações (fracionária e
decimal), a partir de seus diferentes usos no contexto social;
interpretar e produzir escritas numéricas, considerando as regras do sistema de
numeração decimal e estendendo-as para a representação dos números racionais
na forma decimal;
resolver problemas, consolidando alguns significados das operações
fundamentais e construindo novos, em situações que envolvam números naturais e,
em alguns casos, racionais;
ampliar os procedimentos de cálculo - mental, exato, aproximado - pelo
conhecimento de regularidades dos fatos fundamentais, de propriedades das
operações e pela antecipação e verificação de resultados;
refletir sobre procedimentos de cálculo que levam à ampliação do significado do
número e das operações utilizando a calculadora como estratégia de verificação de
resultado;
identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e
diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias,
ampliações e reduções;
78
recolher dados e informações, elaborar formas para organizá-los e expressá-los,
interpretar dados apresentados sob forma de tabelas e gráficos e valorizar essa
linguagem como forma de comunicação;
utilizar diferentes registros gráficos-desenhos, esquemas, escritas numéricas
como recurso para expressar idéias, ajudar a descobrir formas de resolução e
comunicar estratégias e resultados;
identificar características de acontecimentos previsíveis ou aleatórios a partir de
situações-problema, utilizando recursos estatísticos e probabilísticos;
construir o significado das medidas, a partir de situações-problema que
expressem seu uso no contexto social e em outras áreas do conhecimento e
possibilitem a comparação de grandezas de mesma natureza;
utilizar procedimentos e instrumentos de medida, usuais ou não, selecionando o
mais adequado em função da situação-problema e do grau de precisão do resultado;
representar resultados de medições, utilizando a terminologia convencional para
as unidades mais usuais dos sistemas de medida, comparar com estimativas prévias
e estabelecer relações entre diferentes unidades de medida;
demonstrar interesse para investigar, explorar e interpretar, em diferentes
contextos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento, os conceitos e
procedimentos matemáticos abordados neste ciclo;
vivenciar processos de resolução de problemas, percebendo que para resolvê-los
é preciso compreender, propor e executar um plano de resolução, verificar e
comunicar a resposta.
CONTEÚDOS
Números Naturais, Sistema de Numeração Decimal e números Racionais
reconhecimento de números naturais e racionais no contexto diário;
compreensão e utilização das regras do sistema de numeração decimal, para
leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de
grandeza;
79
formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela observação da posição
dos algarismos na representação decimal de um número racional;
extensão das regras do sistema de numeração decimal para compreensão, leitura
e representação dos números racionais na forma decimal;
comparação e ordenação de números racionais na forma decimal;
localização na reta numérica, de números racionais na forma decimal;
leitura, escrita, comparação e ordenação de representações fracionárias de uso
freqüente;
reconhecimento de que os números racionais admitem diferentes (infinitas)
representações na forma fracionária;
identificação e produção de frações equivalentes, pela observação de
representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas;
exploração dos diferentes significados das frações em situações-problema: parte
– todo, quociente e razão;
observação de que os números naturais podem ser expressos na forma
fracionária;
relação entre representações fracionária e decimal de um mesmo número
racional;
reconhecimento do uso da porcentagem no contexto diário.
Operações com Números Naturais e Racionais
análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema,
compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais
e racionais;
reconhecimento de que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por
uma única operação e de que diferentes operações podem resolver um mesmo
problema;
80
resolução das operações com números naturais, por meio de estratégias pessoais
e do uso de técnicas operatórias convencionais, com compreensão dos processos
nelas envolvidos;
ampliação do repertório básico das operações com números naturais para o
desenvolvimento do cálculo mental e escrito;
cálculo de adição e subtração de números racionais na forma decimal, por meio
de estratégias pessoais e pelo uso de técnicas operatórias convencionais;
desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de resultados pelo uso
do cálculo mental e da calculadora;
decisão sobre a adequação do uso do cálculo mental – exato ou aproximado – ou
da técnica operatória, em função do problema, dos números e das operações
envolvidas;
cálculo simples de porcentagens.
Espaço e Forma
descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no
espaço de diferentes pontos de vista;
utilização de malhas ou redes para representar, no plano, a posição de uma
pessoa ou objeto;
descrição, interpretação e representação da movimentação de uma pessoa ou
objeto no espaço e construção de itinerários;
representação do espaço por meio de maquetes;
reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos, como a
esfera, o cano, o cilindro e outros;
reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros (como os prismas,
as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces, vértices e arestas;
81
composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando diferentes
possibilidades;
identificação da simetria em figuras tridimensionais;
exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais;
identificação de figuras poligonais e circulares nas suferfícies planas das figuras
tridimensionais;
identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como
número de lados, número de ângulos, eixos de simetria, etc.;
exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez
triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados, etc.;
composição e decomposição de figuras planas e identificação de que qualquer
polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares;
ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas;
percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e nas criações
artísticas;
representação de figuras geométricas.
Grandezas e Medidas
comparação de grandezas de mesma natureza, com escolha de uma unidade de
medida da mesma espécie do atributo a ser mensurado;
identificação de grandezas mensuráveis no contexto diário: comprimento, massa
capacidade, superfície, etc.;
reconhecimento e utilização de unidades usuais de medida como metro,
centímetro, quilômetro, grama, miligrama, quilograma, litro, mililitro, metro quadrado,
alqueire, etc.;
reconhecimento e utilização de unidades usuais de tempo e de temperatura;
82
estabelecimento das relações entre unidades usuais de medida de uma mesma
grandeza;
reconhecimento dos sistemas de medida que são decimais e conversões usuais,
utilizando-as nas regras desse sistema;
reconhecimento e utilização das medidas de tempo e realização de conversões
simples;
utilizações de procedimentos e instrumentos de medida, em função do problema
e da precisão do resultado;
utilização do sistema monetário brasileiro em situações-problema;
cálculo de perímetro e de área de figuras desenhadas em malhas quadriculadas e
comparação de perímetros e áreas de duas figuras sem uso de fórmulas.
ESTRATÉGIAS
uso de material pedagógico: material dourado, cursinare, sólidos geométricos,
blocos lógicos, disco de fração;
atividades lúdicas como: jogos, brincadeiras, dominó, bingo, cartas, dados,
tangran;
ábaco;
exercícios de raciocínio, pegadinhas, situações-problemas, estimativas;
uso de caixas, palitos, barbantes, papéis;
aprender a manusear calculadora;
estimativa;
pesquisa de campo.
83
AVALIAÇÃO
A avaliação deverá levar em conta os objetivos propostos nesse plano
sem perder de vista os conteúdos desenvolvidos e a realidade do grupo.
Fazer um diagnóstico inicial a fim de saber em que nível está a classe e
propor situações que levem os alunos a avançar.
A avaliação deve ser constante e nos casos em que os alunos não
atingiram os objetivos propostos, avaliar sua prática para que possa reformular os
novos objetivos e conteúdos.
A recuperação será paralela com revisão de conteúdos trabalhados, com
ênfase nas dificuldades apresentadas pelos alunos.
Programação curricular de Matemática
1º Bimestre
Números Naturais: Dezena, centena, milhar
Números Ordinais
Ordenação de números Naturais : Maior que e menor que
Ordenação de números Naturais: Crescente e decrescente
Geometria Sólidos Geométricos
Geometria Figuras geométricas planas
Geometria Reta, semi-reta e segmento de reta
2º Bimestre
Geometria – Polígonos
Adição de números naturais
Adição com reagrupamento
Subtração de números naturais
Subtração com reagrupamento
3º Bimestre
Multiplicação de números naturais
Multiplicação de números naturais TABUADA
Multiplicação de dezenas
Multiplicação de centenas
84
Multiplicação com reagrupamento
Multiplicação com reserva na dezena e na centena
Multiplicação com dois algarismos no multiplicador
Multiplicação por 10 e por 100
Divisão de números naturais
Divisão exata e não-exata.
Divisão com dois algarismos no quociente
Faz e desfaz: verificando se a divisão está correta
Divisão de centenas com um algarismo no divisor
Divisão com zero intercalado no quociente 4º Bimestre
Dobro e triplo
Dúzia e meia Dúzia
Números pares e ímpares
Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido
Números Racionais Metade ou meio
Números Racionais Terço ou terça parte
Números Racionais Quarto ou quarta-parte
Números Racionais Outras partes do inteiro
Medidas de tempo Horas
Medidas de tempo Calendário
Medidas de comprimento
Medidas de capacidade
Medidas de massa
Dinheiro no dia-a-dia
Sistema de Numeração Romano.
Simetria
Quadro de Horário
2° Feira 3° Feira 4° Feira 5° Feira 6° Feira
7h30min / 8h20min
MATEMÁTICA INGLÊS HISTÓRIA MÚSICA MATEMÁTICA
8h20min / 9h10min
PORTUGUÊS GEOGRAFIA HISTÓRIA PORTUGUÊS MATEMÁTICA
9h10min / 9h30min
INTERVALO INTERVALO INTERVALO INTERVALO INTERVALO
9h30min / 10h20min
CIÊNCIAS MATEMÁTICA XADREZ MATEMÁTICA ARTES
10h20min / 11h
ED. FÍSICA MATEMÁTICA ATIV. AQUÁTICA
INFORMÁTICA PORTUGUÊS
11h / 11h30min
GEOGRAFIA PORTUGUÊS CIÊNCIAS PORTUGUÊS PORTUGUÊS
85
Planejamento Anual
1º BIMESTRE
aula dia Dia da
semana
conteúdo
01 28/01 Segunda-feira Roda de Conversa.
Apresentação dos alunos, Dinâmica em grupo
02 29/01 Terça-feira Números Naturais
Power point - História da Numeração Egípcia Página 06, 07, 08, 09, 10
03 31/01 Quinta-feira Números Naturais
Recordando os números naturais Página 11, 12 Para casa: página 13
04 01/02 Sexta-feira Números Naturais
Página 14, 15, 16 Folhas de atividades – Uma em aula e uma para casa.
05 04/02 Segunda-feira Números Naturais
Correção da folha de atividade Brincadeiras com números
06 05/02 Terça-feira Dezena Exercícios com Ábaco Página 17 e 18 Atividades página 19, 20, 21, 22 Para casa página 23, 24, 25
07 07/02 Quinta-feira Atividade para nota
Números Naturais e Dezenas
08 08/02 Sexta-feira Centenas Material dourado – aprendendo a lidar com ele, com brincadeiras e competições
11/02 Segunda-feira CARNAVAL
12/02 Terça-feira CARNAVAL
09 14/02 Quinta-feira Centenas Material dourado Páginas 26, 27, 28, 29, 30
10 15/02 Sexta-feira Centenas Atividades páginas 31 a 42
11 18/02 Segunda-feira Atividades para a nota Em dupla
Centenas e Dezenas – Utilizando àbaco e material dourado
12 19/02 Terça-feira Avaliação Números Naturais, dezenas e centenas.
13 21/02 Quinta-feira Correção da Avaliação
Correção da avaliação Dúvidas e atividades lúdicas
14 22/02 Sexta-feira Milhar Material dourado Página 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,51
15 25/02 Segunda-feira Milhar Correção das atividades dos livros e folha de atividades no caderno para casa.
86
16 26/02 Terça-feira Atividades para nota
Correção da atividade para casa e atividades para nota.
17 28/02 Quinta-feira Correção das atividades
Dúvidas e Vídeos sobre números
18 01/03 Sexta-feira Números Ordinais
Atividades lúdicas !º momento: primeiro até décimo 2º momento: 11º até 20º 3º momento: 21º até 30º
19 04/03 Segunda-feira Números Ordinais
Página: 52, 53, 54, 55, 56
20 05/03 Terça-feira Números Ordinais
Correção das atividades do livro. Folha de atividades
21 07/03 Quinta-feira Atividades para nota
Números Ordinais
22 08/03 Sexta-feira Avaliação Números Naturais, Dezena, Centena Milhar e Números Ordinais
23 11/03 Segunda-feira Correção da avaliação
Dúvidas e atividades
24 12/03 Terça-feira Ordenação de números Naturais Maior que e menor que
Atividades Lúdicas com tampinhas de garrafas – em dupla. Material coursinaire Folha de atividades
25 14/03 Quinta-feira Ordenação de números Naturais Crescente e decrescente
Atividades lúdicas com tampinhas de garrafas numeradas. Folha de atividade Para casa Páginas: 57, 58, 59, 60, 61
26 15/03 Sexta-feira Ordenação de números Naturais Crescente e decrescente
Correção do livro
27 18/03 Segunda-feira Atividades para nota
Ordenação de números Naturais Crescente e decrescente
28 19/03 Terça-feira Avaliação
Ordenação de números Naturais
29 21/03 Quinta-feira Correção da avaliação
Dúvidas e Atividades
30 22/03 Sexta-feira Geometria Sólidos Geométricos
Power point com imagens da geometria que faz parte do nosso dia a dia.
31 25/03 Segunda-feira Geometria Recortar os sólidos geométricos
32 26/03 Terça-feira Geometria Colar os sólidos geométricos Página 63
87
33 28/03 Quinta-feira Geometria Página 64, 65, 66, 67
29/03 Sexta-feira PAIXÃO DE CRISTO
34 01/04 Segunda-feira Geometria Construção de brinquedos com as figuras geométricas.
35 02/04 Terça-feira Geometria Construção de brinquedos com as figuras geométricas.
36 04/04 Quinta-feira Geometria Construção de brinquedos com as figuras geométricas.
37 05/04 Sexta-feira Exposição Exposição dos brinquedos.
38 08/04 Segunda-feira Atividades Folha de atividades Para casa
39 09/04 Terça-feira Atividades Correção das atividades Pesquisar nas revistas as figuras geométricas, recortar e colar em uma cartolina
40 11/04 Quinta-feira Avaliação Sólidos geométricos
41 12/04 Sexta-feira Correção da avaliação
Dúvidas Atividades
42 15/04 Segunda-feira Geometria Figuras geométricas planas
Páginas 93, 94, 95 Recortar TANGRAM – montar figuras Para casa página 96 e 97
43 16/04 Terça-feira Atividades Com tangram e as figuras geométricas planas.
44 18/04 Quinta-feira Atividades Informática
Pesquisar na web figuras geométricas planas no dia a dia.
45 19/04 Sexta-feira Atividades informática
Cris cartazes com as figuras que pesquisou na web - Exposição
46 22/04 Segunda-feira Montagem dos painéis
Impressão da criação de quadros feitos pelo paint
47 23/04 Terça-feira Avaliação Figuras geométricas planas e Sólidos geométricos
48 25/04 Quinta-feira Geometria Reta, semi-reta e segmento de reta
Páginas 185, 186, 187 Para casa página 188 Folha de atividades
49 26/04 Sexta-feira Atividades Correção da atividades Folhas de atividades com toda a matéria do primeiro bimestre
50 29/04 Segunda-feira Revisão para Avaliação bimestral
Correção das atividades Dúvidas
51 30/04 Terça-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL
88
2º BIMESTRE
52 02/05 Quinta-feira Entrega da avaliação Geometria - Polígonos
Dúvidas Atividades Lúdicas: jogo de memória e agrupamento de figuras
53 03/05 Sexta-feira Geometria Página 189, 190, 191 Para casa 192 e 193
54 06/05 Segunda-feira Geometria Atividades
Correção das páginas 192e 193. Folha de atividades para casa
55 07/05 Terça-feira Atividades para nota
Atividades Geometria Polígonos
56 09/05 Quinta-feira Avaliação Polígonos
57 10/05 Sexta-feira Correção da avaliação
Dúvidas Folha de atividades lúdicas
58 13/05 Segunda-feira Adição de números naturais
Atividades Lúdicas: Dominó
59 14/05 Terça-feira Atividades lúdicas Adição com unidades
Dominó Tampinhas de garrafa – aprendendo a montar e efetuar as contas ( Lousa) Folha de atividades para casa
60 16/05 Quinta-feira Atividades Correção das atividades Páginas: 68, 69 Ábaco – Adição Dezenas Folha de atividades para casa
61 17/05 Sexta-feira Atividades Correção das atividades Ábaco - Adição com centena Página 70 e 71 Atividades para casa
62 20/05 Segunda-feira Avaliação Adição com unidade, dezena e centena
63 21/05 Terça-feira Correção da avaliação Adição com reagrupamento
Correção da avaliação Atividades página 72, 73 Para casa página 74, 75
64 23/05 Quinta-feira Correção Correção das atividades para casa Folhas de atividades
65 24/05 Sexta-feira Correção Correção das folhas de atividades
66 27/05 Segunda-feira Problemas Atividades Lúdicas
67 28/05 Terça-feira Problemas Página 76, 77, 78 Para casa Folha de atividades
30/05 Quinta-feira CORPUS CHRIST
89
31/05 Sexta-feira RECESSO
68 03/06 Segunda-feira Problemas Correção das folhas de atividades
69 03/06 Terça-feira Avaliação Problemas
70 06/06 Quinta-feira Correção da availação
Correção de dúvidas
71 07/06 Sexta-feira Subtração de números naturais
Atividades Lúdicas Palitos de sorvete coloridos
72 10/06 Segunda-feira Subtração de números naturais
Página 80, 81
73 11/06 Terça-feira Subtração de números naturais
Páginas 82, 83. Folha de atividades
74 13/06 Quinta-feira Subtração de números naturais
Correção da folha de atividades
75 14/06 Sexta-feira Subtração com
reagrupamento
Página 84, 85, 86
76 17/06 Segunda-feira Subtração com
reagrupamento
Correção Páginas 87, 88, 89
77 17/06 Terça-feira Subtração com
reagrupamento
Correção Páginas 90, 91, 92 Folha de atividades
78 20/06 Quinta-feira Subtração com
reagrupamento
Correção e dúvidas para availação
79 21/06 Sexta-feira Avaliação Subtração
80 24/06 Segunda-feira Correção
Dúvidas e revisão para a avaliação Bimestral
81 25/06 Terça-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL
82 27/06 Quinta-feira Correção Correção da avaliação - dúvidas
83 28/06 Sexta-feira confraternização
JULHO FÉRIAS
3º BIMESTRE
84 01/08 Quinta-feira Revisão
Adição e Subtração
Folha de atividades Ábaco Palitos de sorvete
90
Tampinhas de garrafas.
85 02/08 Sexta-feira Multiplicação de números naturais
Atividades com Tampinhas de garrafas. Página 106, 107
86 05/08 Segunda-feira Multiplicação de números naturais TABUADA
Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 2 e do 3
87 06/08 Terça-feira Multiplicação de números naturais TABUADA
Páginas 108, 109, 110 Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 4 e do 5
88 08/08 Quinta-feira Multiplicação de números naturais TABUADA
Páginas 111, 112, 113 Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 6 e do 7
89 09/08 Sexta-feira Multiplicação de números naturais TABUADA
Páginas 114, 115, 116 Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 8 e do 9 Para casa página 117 Folha de atividades.
90 12/08 Segunda-feira Atividades para Nota
Correção das atividades Multiplicação
91 13/08 Terça-feira Multiplicação com 3 fatores
Página 118 Folha de atividades
92 15/08 Quinta-feira Multiplicação de dezenas
Página 119 Folha de atividades
93 16/08 Sexta-feira Multiplicação de centenas
Página 119 Folha de atividades
94 19/08 Segunda-feira Atividades Página 120, 121,
95 20/08 Terça-feira Atividades Página 122, 123 Folhas de atividades para casa
96 22/08 Quinta-feira Multiplicação com reagrupamento
Página 124, 125,126 Folhas de atividades
97 23/08 Sexta-feira Multiplicação com reserva na dezena e na centena
Página 126, 127, 128 Folha de atividades para casa
98 26/08 Segunda-feira correção Correção das atividades
99 27/08 Terça-feira Multiplicação com dois algarismos no multiplicador
Página 129, 130, 131, 132
100 29/08 Quinta-feira correção Correção das páginas 129, 130, 131, 132
91
101 30/08 Sexta-feira Multiplicação por 10 e por 100
Página 133, 134. Para casa 135 e 136
102 02/09 Segunda-feira Correção Correção das páginas 135 e 136.
103 03/09 Terça-feira Multiplicação por 10 e por 100
Página 137, 138 – atividades com adesivos.
104 05/09 Quinta-feira avaliação Multiplicação
104 06/09 Sexta-feira Correção Correção da avaliação
106 09/09 Segunda-feira Divisão de números naturais
Página 139 140 – método longo e breve Folha de atividades
107 10/09 Terça-feira Divisão exata e não-exata.
Página 140, 141, 142, 143
108 12/09 Quinta-feira Divisão com dois algarismos no quociente
Página 144, 145, 146 Folhas de atividades
109 13/09 Sexta-feira Faz e desfaz: verificando se a divisão está correta
Páginas 147, 148 e 149 Para casa: folha de atividades
110 16/09 Segunda-feira Faz e desfaz: verificando se a divisão está correta
Correção das atividades anteriores
111 17/09 Terça-feira Divisão de centenas com um algarismo no divisor
Página 149, 150, 151, Folha de atividades
112 19/09 Quinta-feira Divisão com zero intercalado no quociente
Página 152, 153, 154, 155, 156, 157
113 20/09 Sexta-feira Correção Atividades anteriores
114 23/09 Segunda-feira Revisão para avaliação
Divisão Atividades
115 24/09 Terça-feira Avaliação Divisão
116 26/09 Quinta-feira Correção da avaliação
Correção da avaliação Revisão de Adição Subtração, Multiplicação e Divisão
117 27/09 Sexta-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL
118 30/09 Segunda-feira Correção Correção da avaliação bimestral e dúvidas
4º BIMESTRE
92
119 01/10 Terça-feira Dobro e triplo Página 158, 159, 160, 161 Atividades para casa
120 03/10 Quinta-feira Dobro e triplo Correção da folha de atividades Páginas 162, 163, 164.
121 04/10 Sexta-feira Atividade para nota
Dobro e triplo
122 07/10 Segunda-feira Dúzia e meia Dúzia
Página 165, 166, 167, 168, 169
123 08/10 Terça-feira Dúzia e meia Dúzia
Páginas 169, 170, 171
124 10/10 Quinta-feira Atividades para nota
Dúzia e meia Dúzia
125 11/10 Sexta-feira Números pares e ímpares
Correção da atividade Página 98, 99, 100 Folha de atividades para casa
126 14/10 Segunda-feira Números pares e ímpares
Correção da folha de atividades
127 15/10 Terça-feira Atividades para nota
Números pares e ímpares
128 17/10 Quinta-feira Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido
Página 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178
129 18/10 Sexta-feira Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido
Páginas 178, 179, 180, Para casa: página 181, 182, 183,184
130 21/10 Segunda-feira Correção Correção das atividades para casa
131 22/10 Terça-feira Atividade para nota
Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido
132 24/10 Quinta-feira Números Racionais Metade ou meio
Correção e dúvidas Páginas: 194, 195, Atividades para casa
133 25/10 Sexta-feira Números Racionais Terço ou terça parte
Página, 196, 197, 198
134 28/10 Segunda-feira Números Racionais Quarto ou quarta-parte
Página 198, 199, 200, 201
135 29/10 Terça-feira Números Racionais Outras partes
Página 201, 202, 203, 204,
93
do inteiro
136 31/10 Quinta-feira Números Racionais
Páginas 205, 206
137 01/11 Sexta-feira Atividades para nota
Números Racionais
138 04/11 Segunda-feira Correção Correção das atividades
139 05/11 Terça-feira Medidas de tempo Horas
Página 207, 208, 209, 210, 211
140 07/11 Quinta-feira Medidas de tempo Calendário
Página 212, 213, 214, 215, 216 Para casa: 216, 217
141 08/11 Sexta-feira Medidas de tempo Calendário Medidas de comprimento
Correção das atividades para casa Para casa: página: 219, 220, 221, 222.
142 11/11 Segunda-feira Medidas de comprimento
Correção das atividades para casa Páginas: 222, 223
143 12/11 Terça-feira Medidas de capacidade
Página 224, 225, 226 Para casa: 227, 228.
144 14/11 Quinta-feira Medidas de massa
Correção Páginas: 229, 230, 231, 232 Para casa 233, 234 Recortar os dinheiros que estão no final do livro
15/11 Sexta-feira FERIADO
145 18/11 Segunda-feira Dinheiro no dia-a-dia
Mercadinho em sala de aula Vendedores e clientes
146 19/11 Terça-feira Dinheiro no dia-a-dia
Pàginas 235, 236, 237, 238, 239, 240
147 21/11 Quinta-feira Atividades para nota
Medidas de tempo Horas, calendário, comprimento, capacidade, massa Dinheiro no dia-a-dia
148 22/11 Sexta-feira correção Correção Folha de atividades com Medidas de tempo,Horas, calendário, comprimento, capacidade, massa Dinheiro no dia-a-dia
149 25/11 Segunda-feira Correção Correção das atividades anteriores
150 26/11 Terça-feira Sistema de Numeração Romano.
Página 101, 102, 103, 104, 105
151 28/11 Quinta-feira Sistema de Numeração Romano.
Correção das atividades
94
152 29/11 Sexta-feira Atividades para nota
Atividades Sistema de Numeração Romano.
153 02/12 Segunda-feira Simetria Páginas: 241, 242
154 03/12 Terça-feira Simetria Páginas 243, 244,
155 05/12 Quinta-feira Simetria Página 245, 246.
156 06/12 Sexta-feira Atividades Atividades de revisão ano inteiro
157 09/12 Segunda-feira Atividades Atividades de revisão ano inteiro
158 10/12 Terça-feira Atividades Atividades de revisão ano inteiro
159 12/12 Quinta-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL
160 13/12 Sexta-feira confraternização
15. Atividades para o 3º ANO do ensino fundamental I
1. Que número está representado no ábaco abaixo?
A) 7.142
B) 2.385
C) 2.417
D) 1.742
2. A tabela abaixo mostra a altura de seis jogadores do time de vôlei Os
Vencedores:
Escrevendo-se as alturas em ordem decrescente obtemos:
(A) 1,85 – 1,87 – 1,89 – 1,90 – 1,91 – 1,92
(B) 1,87 – 1,89 – 1,92 – 1,85 – 1,90 – 1,91
(C) 1,92 – 1,91 – 1,90 – 1,89 – 1,87 – 1,85
(D) 1,91 – 1,90 – 1,85 – 1,92 – 1,89 – 1,87
4. Subtraindo 907 de 3.153, obtemos:
(A) 2.156
(B) 2.246
(C) 3.246
(D) 3.907
Nome do jogador Altura (em metros)
Paulo 1,87
Beto 1,89
Duda 1,92
Lucas 1,85
Fernando 1,90
João 1,91
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5. O produto de 360 por 12 é:
(A) 4320
(B) 4230
(C) 4032
(D) 4231
6. A gerente de uma loja de roupas recebeu de uma cliente as seguintes notas e
moedas:
7. Quantos reais ela recebeu da cliente?
(A) R$ 184,90
(B) R$ 184,15
(C) R$ 185,05
(D) R$ 184,95
8. O gráfico ao lado mostra a
quantidade de chuva em uma
cidade de Janeiro a Junho.
Observando o gráfico, podemos
afirmar que:
(A) Janeiro foi o mês com a menor quantidade de chuva.
(B) Em fevereiro choveu mais do que abril.
(C) A diferença entre a quantidade de chuva nos meses de março e de junho foi de
500 litros.
(D) O mês de março foi o mês em que mais choveu.
96
9. Utilizei meio metro de um tecido para enfeitar a almofada. Quantos centímetros
utilizei?
10. Observe as figuras e responda:
A A B
a) Qual das figuras apresenta simetria e a linha tracejada é o eixo de
simetria? _________
b) Qual não apresenta simetria?______________
11. Utilizando o quadradinho como unidade de medida, sendo que, cada
quadradinho vale 1m. Qual é a área que a figura abaixo ocupa na malha
quadriculada?
R: A área é de _____m2
12. Quando Maria colocou um bolo para assar, o relógio marcava:
O bolo ficou pronto em 30 minutos. Que horário
o relógio estava marcando quando o bolo ficou pronto?
R: Ficou pronto as __________
14. O resultado da divisão de 381 por 3 é:
(A) 130
(B) 128
(C) 127
(D) 125
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15. A avó de Beto mora em frente a uma praça retangular que mede 120 metros de
comprimento e 80 metros de largura. Todo dia ela dá 4 voltas na praça. Quantos
metros ela anda por dia?
R: Ela anda ________m por dia.
16. Paula foi ao mercado comprar 1 litro de
desinfetante. Ela encontrou os dois tipos de
embalagem ao lado.
Se Paula escolhesse o desinfetante Limpa Tudo ela teria que comprar:
(A) uma embalagem.
(B) duas embalagens.
(C) quatro embalagens.
(D) cinco embalagens.
17. A fração que representa a parte pintada em relação ao total é:
18. Observe os produtos abaixo e pinte aqueles que são medidos utilizando a
balança:
( ) sabão ( ) refrigerante ( ) arroz ( ) maçã ( ) álcool
( ) ovos ( ) bombom ( ) banana ( ) cenoura
19. A unidade de medida utilizada pela balança é o:
98
16. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
Blocos lógicos http://www.escolacdi.com.br/2010/04/05/aula-com-blocos-logicosmaternal-i/
Blocos lógicos http://laranjeiras.miraflores.com.br/gallery/gallery3/index.php/Pr--escola-I---2010---1o-Trimestre/blocos-logicos-4-3 jogo matemático da centopeia http://dessafofs.blogspot.com.br/2008/07/centopia-matemtica.html
MATERIAL CUISENAIRE - COMO UTILIZAR
http://inclusaobrasil.blogspot.com.br/2011/05/material-cuisenaire-como-utilizar.html
Material Dourado http://www.somatematica.com.br/artigos/a14/
Polígonos file:///C:/Documents%20and%20Settings/XP/Desktop/Pol%C3%ADgonos%20-%20Matem%C3%A1tica%20e%20Geometria%20-%20InfoEscola.htm Geometria http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/indice-fundamental-1.shtml?ensino-fundamental-1.matematica.espaco-e-forma.geometria Geometria sólidos http://amigasdaedu.blogspot.com.br/2011/06/atividades-e-moldes-com-solidos.html Grandezas e medidas http://www.coladaweb.com/fisica/fisica-geral/unidades-de-medidas-e-principais-grandezas
BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF,1997. TOLEDO, Marília e TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois. A construção da matemática. São Paulo:FTD, 1997.