FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA´ INGENIERÍA (ITT … · dt +Ri = v(t). Fundamentos Matemáticos de la Ingenier´ıa (ITT Telemática) Tema 1: Nu´meros complejos 2 (b) Si la corriente

FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA

INGENIERIA (ITT TELEMATICA)

Departamento de Analisis Matematico

Curso 2004/2005

Profesor responsable :Sergio Segura de Leon

Tema 1 Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Tema 2 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Tema 3 Induccion y sucesiones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Tema 4 Calculo de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Tema 5 Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Tema 6 Calculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Tema 7 Series numericas y de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Tema 8 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Tema 9 Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Tema 10 Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Tema 11 Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Tema 12 Relaciones, grafos y arboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Tema 13 Aritmetica modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Tema 14 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . 47Tema 15 Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . 49

Curso 2004/2005 1

Tema 1Numeros complejosEjercicio 1.1Realizar las operaciones indicadas.

(a) (2 + 7j) + (3− j) (b) (1− j) + (2 + 4j) (c) (1− j) · (2 + 4j)(d) (2 + 3j) · (2− 3j) (e) j2 (f) 1

j (g) 1−j1+j8 (h) 2

1−3j (i) 2−(6/√

3)j

2+(6/√

3)j

(j) (1 +√

3j)3 (k) (√

3 + j3) · (1− j)

Ejercicio 1.2Hallar el modulo (o magnitud) y el argumento principal (o angulo de fase) de los siguientes numeroscomplejos.

(a) 2 + 2j (b) −j (c) 3j (d) −2 (e) 1 + j (f) 1j (g) −1− j

(h) 2 + 5j (i) 2− 5j (j) −2 + 5j (k) −2− 5j (l) 1 +√

3j(m) j(1 + j) (n) 1−

√3j

1+j · (−1 + j)

Ejercicio 1.3Calcular el valor de las siguientes expresiones en forma binaria o rectangular.

(a) e−j π4 (b) ej π

6 (c) e1+j π2 (d) e2πj (e) e−2+j (f) e2+j (g) e2−j

Ejercicio 1.4Expresar los numeros complejos del problema (2) en forma polar exponencial.

Ejercicio 1.5Hallar la parte real de los siguientes numeros complejos.

(a) eπ2 j+ π

3 j (b) e2+ π4 j (c) e−1+ π

4 j−π2 j (d) 4e

25π4 j (e) je

11π5 j

(f) 3ej4π + 2ej7π (g) 6 e−jπ

1−j (h) 5ej π3 − ej7 π

2 (i) 4ej π4 − e−j5 π

3

(j) −25e−j π6 − ej11 π

3 (k) 6 e−jπ

1−ej3π

Ejercicio 1.6Supongamos que las siguientes funciones describen oscilaciones. Escribirlas en la forma x(t) =<e Cej(ωt+φ). (El numero complejo Cejφ se conoce como el fasor correspondiente a x(t). )

(a) x(t) = 0.01 cos 15t(b) x(t) = 0.04 sen 12t(c) x(t) = 0.05 sen(10t + π)(d) x(t) = sen(0.4t + π

4 )(e) x(t) = 0.02 cos (5t− π

2 )

Ejercicio 1.7Escribir las expresiones del problema anterior en la forma x(t) = =m Cej(ωt+φ).

Ejercicio 1.8Vamos a estudiar un circuito que, si bien puede tener oscilaciones libres cuando se conecta la fuente,estas desaparecen al cabo de poco tiempo y queda solo una corriente alterna, corriente que vienedeterminada por una funcion periodica. Es este regimen permanente (o corriente estacionaria) el queestudiaremos aquı. Se dice que nuestro estudio tiene lugar en el dominio de la frecuencia.

Consideremos un circuito en serie que esta formado por una fuente de tension de v(t) = V cos ωtvoltios, una resistencia de R ohmios y un inductor de L henrios.

(a) Demostrar que la intensidad de corriente i(t) cumple la ecuacion diferencial L didt +Ri = v(t).

Fundamentos Matematicos de la Ingenierıa (ITT Telematica)

Tema 1: Numeros complejos 2

(b) Si la corriente estacionaria viene dada por i(t) = <e(Iej(ωt+φ)

), con I > 0, probar que se

cumple la siguiente relacion entre los fasores del voltaje y de la intensidad: (jωL + R)Iejφ = V . (Elnumero jωL + R es la impedancia del circuito.)

(c) Si V = 6, L = 1, R = 4 y ω = 2; demostrar que I = 3√5

y φ = − arctan 12 . Deducir que

la corriente estacionaria del circuito es i(t) = 3√5

cos(2t− arctan 12 ).

Ejercicio 1.9Comprobar que las tres raıces cubicas de 1 son

1,−1 + j

√3

2y

−1− j√

32

y que las cinco raıces quintas de 1 vienen dadas por

1,−1−

√5 + j

√10− 2

√5

4,

−1−√

5− j√

10− 2√

54

,

−1 +√

5 + j√

10 + 2√

54

y−1 +

√5− j

√10 + 2

√5

4.

Ejercicio 1.10Encontrar todos los valores de las siguientes expresiones.

(a)√

j (b) 3√

27 (c) 5√−32 (d) 3

√−64 (e) 6

√−64 (f)

√10√

5− 5√

5j

Ejercicio 1.11Calcular el logaritmo principal de los siguientes numeros complejos.

(a) j (b) −1 (c) 1 + j (d) 12 +

√3

2 j (e) −e (f)√

2 +√

22 j (g) 1− j

Ejercicio 1.12Determinar el significado geometrico de las siguientes relaciones.

(a) |s| ≤ 1. (b) |s−3+ j| = 4. (c) |s+2| ≥ 3. (d) 1 < |s−5| < 21. (e) <e(s) = 1.(f) <e(s) ≥ −2. (g) −π < =m(s) < π. (h) 0 < <e(s) ≤ 2. (i) 0 < <e(js) < 1.

Ejercicio 1.13Probar que la funcion definida por f(s) = s + 1

s transforma la circunferencia |s| = 2 en una elipse.

Ejercicio 1.14Demostrar que la funcion definida por f(s) = s/(1− s) transforma el cırculo |s| < 1 en el semiplano<ef(s) > −1/2.

Ejercicio 1.15Sea P (s) = ansn + an−1s

n−1 + · · ·+ a1s + a0 un polinomio. Demostrar que si todos los coeficientesai son reales y z es raız de P , entonces el conjugado z es tambien raız.

Ejercicio 1.16Representar el diagrama de ceros y polos de la funcion definida por f(s) =

s2 − 2s + 2s2 + 1

Utilizar el

diagrama para hallar los valores f(0) y f(1).

Ejercicio 1.17Representar el diagrama de ceros y polos de la funcion definida por f(s) =

(s + 1)(s2 + 1)s2 − 2s + 2

y calcular

los valores f(0) y f(1).


Curso 2004/2005 3

Tema 2Sistemas de ecuaciones linealesEjercicio 2.1Comprobar que los siguientes vectores son solucion de los correspondientes sistemas de ecuaciones.

(a) (−1, 3) de{

2x + y = 14x + 3y = 5

(b) (1, 2) de{

2x + y = 42x + −y = 0

(c) (−7,−1, 5) de

2x + y + 3z = 04x − 3y + 5z = 02x − 4y + 2z = 0

(d) (0, 0, 0) de

2x + y + 3z = 04x − 3y + 5z = 02x − 4y + 2z = 0

Ejercicio 2.2Demostrar que el sistema {

x − 3y = 00x + 0y = 1

no tiene ninguna solucion.

Ejercicio 2.3Estudiar el sistema {

x + y + z = 4x − y + z = 0

demostrando que es equivalente a {x + z = 2

y = 2

¿Cual es la solucion general?

1 Transformaciones simples y metodo de eliminacion de GaussEjercicio 2.4Demostrar que se obtienen sistemas equivalentes cuando se realiza cada una de las siguientes transformacioneselementales:

(a) Se intercambian dos ecuaciones.(b) Se multiplica una ecuacion por un numero distinto de 0.(c) Se suma a una ecuacion otra ecuacion multiplicada por un numero.

Ejercicio 2.5Demostrar que el sistema de ecuaciones x − y + 3z = 4

2x + 5z = 2−3x + y + 4z = 2


Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales 4

es equivalente a x − y + 3z = 4y − (1/2)z = −3

z = 2/3

y resolverlo.

Ejercicio 2.6Demostrar que el sistema de ecuaciones x + 2y − z = 1

2x + 3y − z = −1x + y = 2

es equivalente a x + 2y − z = 1− y + z = −3

0z = 4

y deducir que el sistema es incompatible.

Ejercicio 2.7Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el metodo de eliminacion de Gauss.

(a)

x + y + z = 32x − 3y − z = 04x + y − 2z = 0

(b)

x + y + z = 0x − y − z = 32x − y + z = 3

(c)

−x + 2y = 42x + y − z = −2

y + z = 6(d)

x + y + z = 64x + y − 2z = 02x − y − z = −3

(e)

x + y + z = 3j2x − 3y − z = 04x + y − 2z = 0

(f)

x + y + z = jx − y − z = 3− j2x − y + z = 3 + j

(g)

x + y + 2z = 4−x + y − z = −2

2y + z = 1(h)

x + y + 2z = 4−x + y − z = −2

2y + z = 2

2 MatricesEjercicio 2.8Efectuar las siguientes operaciones matriciales.

(a)(

2 1−1 0

)+

(0 1−1 3

)(b)

(2 −1 20 3 2

)+

(−1 1 2−2 0 1

)

(c)

2−12

+

350

(d) 4 ·(

3/2 −1/25/8 −1

)(e) − 1 ·

3 −1 2−2 3 52 −2 0



Ejercicio 2.9Comprobar que es posible efectuar las siguientes multiplicaciones y calcular los productos.

(a)(

2 1−1 0

)·(−1 23 2

)(b)

(3 2 81 −4 0

)·

2 −11 −30 1

(c)

1 2 −34 −5 67 8 −9

·

123

(d)(

2 1−4 3

)·(

1 00 1

)

(e)(

0 10 0

)·(

0 10 0

)(f)

(0 10 0

)·(

0 10 1

)(g)

(1 2

1/2 −1

)·(

1/2 11/4 −1/2

)(h)

(1 00 −1

)·(

1 00 −1

)(i)

(1 23 4

)·(

5 67 8

)(j)

(5 67 8

)·(

1 23 4

)Ejercicio 2.10Demostrar las siguientes propiedades del producto de matrices. En este ejercicio a ∈ R, y A, B yC denotan matrices tales que las operaciones que se indican tienen sentido.

(a) (aA)B = a(AB) = A(aB).(b) A(BC) = (AB)C.(c) (A + B)C = AC + BC.(d) A(B + C) = AB + AC.

Ejercicio 2.11Mostrar que el producto de matrices no cumple la ley de la cancelacion; es decir:

en general AB = AC no implica que B = C.

Ejercicio 2.12Escribir los sistemas de ecuaciones del ejercicio 2.7 en forma matricial.

Ejercicio 2.13Si A es una matriz cuadrada 2×2, entonces A

(xy

)se puede interpretar como una transformacion

de coordenadas en el plano. Demostrar que

(a)(

0 11 0

)es una reflexion respecto de la recta y = x.

(b)(

1 00 −1

)es una reflexion respecto del eje de abscisas.

(c)(−1 0

0 −1

)es una reflexion respecto del origen de coordenadas.

(d)(

2 00 1/2

)es una dilatacion en la direccion del eje de abscisas y una contraccion en la

direccion del eje de ordenadas.

(e)(

1 00 0

)es una proyeccion sobre el eje de abscisas.

(f)(

2 00 2

)es una dilatacion uniforme en todas direcciones.

Ejercicio 2.14Utilizar la interpretacion geometrica para hallar las matrices del ejercicio anterior que son invertibles.En caso que lo sean, encontrar la matriz inversa.



Ejercicio 2.15Comprobar que si una matriz A =

(a11 a12

a21 a22

)es tal que a11a22 6= a12a21, entonces la matriz

B =1

a11a22 − a12a21

a22 −a12

−a21 a11

cumple que AB = BA = I, donde I =

(1 00 1

). ¿Que sucede si a11a22 = a12a21 ?

Ejercicio 2.16Consideremos la matriz A =

2 0 12 −2 20 4 −4

, demostrar que su inversa viene dada por

B =14

0 2 1

4 −4 −1

4 −4 −2

.

Ejercicio 2.17Utilizar el metodo de eliminacion de Gauss para encontrar la inversa de las siguientes matrices.

(a)

1 1 1

2 −3 −1

4 1 −2

(b)

1 1 1

1 −1 −1

2 −1 1

(c)

−1 2 0

2 1 −1

0 1 1

.

Ejercicio 2.18Probar que si A y B son matrices cuadradas invertibles, entonces se verifica

(a) (A−1)−1 = A y (b) (AB)−1 = B−1A−1.

Ejercicio 2.19Verificar la siguiente version de la ley de la cancelacion: si A es invertible y AB = AC, entoncesB = C.

Ejercicio 2.20Hallar la transpuesta de las siguientes matrices.

(a)

2 1

0 −3

(b)

5 8 −1

6 5 2

(c)

1

7

2

(d)

−1 2 0

2 1 −1

0 1 1

.

Ejercicio 2.21Demostrar que si a ∈ R y A y B son matrices con el mismo numero de filas y columnas, entonces

(a) (A + B)> = A> + B> (b) (aA)> = aA> (c)(A>

)> = A



Ejercicio 2.22Indicar si las siguientes matrices cuadradas son o no simetricas o antisimetricas.

(a)

−1 2 1

2 0 4

1 4 −6

(b)

0 1 −2

−1 0 5

2 −5 0

(c)

0 2 0

4 0 −6

3 1 0

.

Ejercicio 2.23Probar que para toda matriz cuadrada A se tiene que A+A> es simetrica y A−A> es antisimetrica.Deducir que A se puede descomponer como A = S + T , con S simetrica y T antisimetrica.

3 Sistemas homogeneos y determinantesEjercicio 2.24Probar que la solucion general de un sistema de ecuaciones compatible es la suma de una solucionparticular y la solucion general del sistema homogeneo asociado.

Ejercicio 2.25Comprobar que el sistema {

a11x + a12y = 0a21x + a22y = 0

es equivalente a {a11x + a12y = 0

(a11a22 − a12a21)y = 0 cuando a11 6= 0

y es equivalente a {a21x + a22y = 0

(a11a22 − a12a21)y = 0 cuando a21 6= 0.

Deducir que, en cualquier caso, el sistema dado tiene solucion no trivial si, y solo si, a11a22−a12a21 = 0.

Ejercicio 2.26Razonar como en el ejercicio anterior para mostrar que el sistema a11x + a12y + a13z = 0

a21x + a22y + a23z = 0a31x + a32y + a33z = 0

tiene solucion no trivial si, y solo si,

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 = 0.

Ejercicio 2.27Evaluar los siguientes determinantes.

(a)

∣∣∣∣∣∣1 2

0 −1

∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣2 −1

1 10

∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 5 −3

−1 1 1

2 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 5 2

6 4 1

0 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 7

−1 0 0

4 3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Fundamentos Matematicos de la Ingenierıa (ITT Telematica)


Ejercicio 2.28Demostrar que el determinante de una matriz 3× 3 coincide con el de su transpuesta.

Ejercicio 2.29Comprobar que la siguiente formula es correcta.∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣Ejercicio 2.30Probar las siguientes propiedades generales de los determinantes de matrices 3× 3.

(a) Un determinante puede desarrollarse respecto a cualquier fila o columna.(b) Si en una matriz A se intercambian dos filas (o dos columnas), el determinante de la nueva

matriz es −|A|.(c) Si en una matriz A se multiplican los elementos de una fila (o de una columna) por a ∈ R,

el determinante de la nueva matriz es a|A|.(d) Si los elementos de dos filas (o dos columnas) son proporcionales, el determinante se anula.(e) Si una fila (o columna) se puede expresar como suma de dos filas (o columnas), el determinante

puede escribirse como la suma de dos determinantes: el primero en el que en la fila (o columna)correspondiente aparece el primer termino de la suma y el segundo en el que aparece el segundotermino.

(f) El valor de un determinante no se altera si a los elementos de una fila (o columna) se les sumaun multiplo de cualquier otra fila (o columna).

Ejercicio 2.31Calcular, desarrollandolo por una fila o columna, el determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 2 0−1 3 0 2

4 1 −3 20 2 5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

Ejercicio 2.32Dadas las matrices A =

(a11 a12

a21 a22

)y B =

(b11 b12

b21 b22

)consideremos el determinante

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 0 0

a21 a22 0 0

−1 0 b11 b12

0 −1 b21 b22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

(a) Desarrollando por la primera fila, probar que D = |A| · |B|.(b) Sumando a la primera fila las dos ultimas multiplicadas por a11 y por a22, respectivamente

y luego a la segunda fila las dos ultimas multiplicadas por a21 y por a12, respectivamente; obtenerque

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22

0 0 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

−1 0 b11 b12

0 −1 b21 b22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.



Desarrollando el determinante por la primera columna, deducir que D = |A ·B|.(c) Concluir que |A ·B| = |A| · |B|.

4 Dependencia e independencia linealEjercicio 2.33Demostrar que un sistema homogeneo tiene solucion unica si, y solo si, los vectores columna de lamatriz del sistema son linealmente independientes y que un sistema homogeneo tiene mas de unasolucion si, y solo si, una columna es combinacion lineal de las restantes.

Ejercicio 2.34Estudiar si los siguientes grupos de vectores son o no linealmente independientes.

(a) (1, 3,−1), (2, 0, 1) y (−1, 1, 0).(b) (3,−1, 2), (0, 1, 3) y (1, 0, 0).(c) (−1, 2, 0), (1, 3, 2) y (−2, 1, 2).(d) (1, 3, 5), (−2, 0, 1) y (−1, 3, 6).

5 Regla de CramerEjercicio 2.35Demostrar que si el sistema {

a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

es compatible y determinado, su solucion viene dada por las expresiones

x =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ e y =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .Ejercicio 2.36Utilizar la regla de Cramer para hallar la solucion de los sistemas del ejercicio 2.7.


Curso 2004/2005 10

Tema 3Induccion y sucesiones numericas1 Induccion matematicaEjercicio 3.1Consideremos la sucesion definida por recurrencia como a1 = 1/2, y an+1 = (1 + an)/2 para todon ∈ N.

(a) Escribir los primeros terminos de la sucesion.(b) Si bien la intuicion nos asegura que ası estan definidos todos los terminos de la sucesion, ¿hay

alguna manera de justificar este hecho?

(c) Del estudio de los primeros terminos se deduce que an =2n − 1

2npara todo n ∈ N. ¿Como

se puede demostrar esto?

Ejercicio 3.2Definir recursivamente:

(a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n.(b) 2n.(c) n!.(d) Si a1, a2, . . . , an son numeros reales, definir

∑ni=1 ai.

(e) Si A1, A2, . . . , An son conjuntos no vacıos, definir A1 ×A2 × · · · ×An.

Ejercicio 3.3Demostrar por induccion:

(a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n + 1)/2.(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.(c) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.(d) 12 − 22 + · · ·+ (−1)n+1n2 = (−1)n+1n(n + 1)/2.(e) Si r ∈ R, r 6= 1, entonces 1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rn = (1− rn+1)/(1− r).

Ejercicio 3.4Probar la formula del binomio de Newton: si a, b ∈ R y n ∈ N, entonces

(a + b)n =n∑

k=0

n!k! (n− k)!

akbn−k.

Ejercicio 3.5Calcular el valor de ejnπ para todo n ∈ N; como consecuencia hallar cos(nπ).

Ejercicio 3.6Demostrar que si m,n ∈ N, entonces m + n ∈ N y mn ∈ N.

Ejercicio 3.7Encontrar una formula para cada una de las siguientes sucesiones y demostrarla por induccion.

(a) Si A > 0, se define a1 = 1, an+1 = Aan para todo n ∈ N.(b) Se define a1 = 1, an+1 = an + 3 para todo n ∈ N.(c) Se define a1 = 1, an+1 = (n + 1)an para todo n ∈ N.

Ejercicio 3.8Demostrar las siguientes afirmaciones por induccion.

(a) 2n > n + 1 para todo n ≥ 2.(b) 2n ≥ n2 para todo n ≥ 4.(c) n! ≥ 2n para todo n ≥ 4.


Tema 3: Induccion y sucesiones numericas 11

Ejercicio 3.9Un cajero automatico proporciona solo billetes de 20 C= y de 50 C= . Demostrar que con esos billetesse puede obtener cualquier cantidad mayor o igual que 40 C= que sea multiplo de 10 C= .

Ejercicio 3.10Se define inductivamente la sucesion de Fibonacci: F1 = 1, F2 = 1 y Fn+1 = Fn + Fn−1 para todon ≥ 2. Demostrar que se cumple

(a) 1 + F1 + F2 + F3 + · · ·+ Fn = Fn+2 para todo n ∈ N.(b) F 2

1 + F 22 + F 2

3 + · · ·+ F 2n = FnFn+1 para todo n ∈ N.

Ejercicio 3.11Se define recursivamente la sucesion a1 = 1, a2 = 2 y an+1 = 1

3 (an + an−1 + 1) para todo n ≥ 2.Demostrar que an ∈ [1, 2] para todo n ∈ N.

Ejercicio 3.12Demostrar que todo numero natural n > 1 o bien es un numero primo, o bien se puede expresarcomo producto de primos.

Ejercicio 3.13Un robot recorre un plano de modo que en cada movimiento se desplaza hacia el noreste (un paso alnorte y uno al este), hacia el noroeste (un paso al norte y uno al oeste), hacia el suroeste (un paso alsur y otro al oeste) o hacia el sureste (un paso al sur y otro al este). Comenzando en el punto (0, 0),¿puede alcanzar la posicion (1, 0) ? (Modelar el problema como una maquina de estado.)

2 Sucesiones numericasEjercicio 3.14Calcular los lımites de las siguientes sucesiones:

(a)5n3 − 8n2 + 34n3 + 2n + 4

(b)4n2 − 3n + 45n4 + 2n2 − 3

(c)4n5 − 8n2 + 32n3 + 4n− 5

(d)√

n2 − 33√

n3 + 1

(e)2n + 3n + 3

√n

(f)√

n2 + 1√n + 1

(g)√

n√n +

√n +

√n

(h)(√

2n + 3)3 − n3

n2 − 2√

n5

(i)log(n3 + 1)log(2n4 + 1)

(j)log(n4 + 4n3 + 6n2 − 3n + 2)

log(6n3 + 4n2 − 5n + 7)(k)

log(n3 + n2 + 3)log(

√n + 1)n

.

Ejercicio 3.15Calcular, mediante el criterio del emparedado, los lımites de las sucesiones definidas por:

(a)1n

[n

2]

(b)1n

sennπ

2.

(c)n + 1n2 + 1

+n + 2n2 + 2

+ · · ·+ n + n

n2 + n

(d)n + 1√n4 + 1

+n + 2√n4 + 2

+ · · ·+ n + n√n4 + n

.

(e)[a] + [2a] + [3a] + · · ·+ [na]

n2, donde a ∈ R.



Ejercicio 3.16Hallar todos lo lımites de subsucesiones de las siguientes sucesiones. (Existen infinidad de subsucesiones,pero solo hay una cantidad finita de lımites que estas subsucesiones pueden tener.)

(a) an = sen(2nπ) (b) an = sen(nπ/2) (c) an = sen(nπ) (d) an = sen(nπ/4).

¿Cuales de estas sucesiones convergen?

Ejercicio 3.17En este ejercicio se estudia la convergencia de la sucesion definida por an = an, donde a ∈ R.Demostrar que

(a) si a > 1, entonces lımn→∞ an = +∞(b) si a = 1, se tiene lımn→∞ an = 1(c) si |a| < 1, se tiene lımn→∞ an = 0(d) si a = −1, la sucesion es acotada y divergente.(e) si a < −1, la sucesion no es acotada, ni superior ni inferiormente.

Ejercicio 3.18Calcular los lımites de las sucesiones siguientes:

(a)5n + 2n

5n + 3n(b)

2n + 73n + (−1)n

(c)5n − 3n + 1

5n + 3n + 1/n.

Ejercicio 3.19Evaluar los lımites de las siguientes sucesiones:

(a)n

an, a > 1 (b)

n2

an, a > 1 (c) n

√n (d)

nn√

n!(e)

log n

n

(f)(log n)2

n(g)

log(log n)log n

(h)n2 log n + log(log n)

n(log n)2 + 3(i)

(log n)n

nlog n.

Ejercicio 3.20Para una lista de n datos, el algoritmo de la burbuja requiere de 1

2n(n−1) comparaciones, mientrasque la ordenacion por insercion que utiliza bisecciones necesita de aproximadamente log2 n!. Por suparte, el algoritmo de Williams requiere aproximadamente

2[n/2]∑k=1

log2

(n

k

)+ 2

n−1∑j=1

log2 j

comparaciones. ¿Hay alguno que (en cuanto a comparaciones) sea significativamente mejor que losdemas?

Ejercicio 3.21Encontrar, si existe, una formula para las siguientes sucesiones recurrentes. Indicar en cada caso si lasucesion es o no convergente.

(a) a1 = 1, an+1 = 2an.(b) a1 = 1, an+1 = (−1)n + an.(c) a1 = 1, an+1 = −an/2.(d) a1 = 1, an+1 = (−1)nan.(e) a1 = 1, an+1 =

an

n + 1.



Ejercicio 3.22Estudiar si las siguientes sucesiones definidas por recurrencia son convergentes y, en caso afirmativo,calcular su lımite.

(a) a1 =√

2, an+1 =√

an + 2.

(b) a1 = 1, an+1 = an +1 + an

1 + 2an.

(c) a1 > 0, an+1 =1 + an

2an + 1an

+ 1.

(d) a1 = 1, an+1 =√

an + 1.

Ejercicio 3.23Para cada n ∈ N, denotemos an =

(1 +

1n

)n y bn =(1 +

1n

)n+1.

(a) Aplicar induccion para ver que si 0 < x < 1, entonces (1−x2)n > 1−nx para todo n ∈ N.(b) Demostrar que an−1 < an < bn < bn−1 para todo n ≥ 2.(c) Deducir que las sucesiones (an)∞n=1 y (bn)∞n=1 convergen al mismo lımite.(d) Comprobar que 1

n+1 < log(n + 1)− log n < 1n para todo n ∈ N.

Ejercicio 3.24Calcular los siguientes lımites:

(a)(1 +

1n

)√n (b)(1− 1

n

)n (c)(1 +

1n2

)n (d)(1− 1

n

)n2

.

Ejercicio 3.25Partiendo del apartado (c) del ejercicio 23, probar que la sucesion de termino general

an = 1 +12

+13

+14

+ · · ·+ 1n− log n

es monotona decreciente y de terminos positivos. Como consecuencia hallar

lımn→∞

( 1n + 1

+1

n + 2+

1n + 3

+ · · ·+ 12n

).


Curso 2004/2005 14

Tema 4Calculo de funciones de una variable1 ContinuidadEjercicio 4.1Calcular los siguientes lımites laterales.

(a) lımx→1+

√x− 1.

(b) lımx→1± [x + 1], donde [x] denota el mayor entero menor o igual que x.(c) lımx→0± 1 + |x|

x .(d) lımx→1± [x] + [2− x]− 1.

(e) lımx→1± f(x) donde f(x) ={

x2, si 0 ≤ x ≤ 1;2− x, si 1 < x ≤ 2.

(f) lımx→1± 1/(x− 1).(g) lımx→3±

x−3x2−9 .

(h) lımx→4±

√x−2

x−4 .

(i) lımx→0±31/x+131/x−1

.¿En que casos existe el correspondiente lımite?

Ejercicio 4.2Calcular los lımites:

(a) lımx→1x2+1x2+2 .

(b) lımx→1(x− 1)x2 sen( 11−x ).

(c) lımx→1x3−3x+2

2x3+2x2−10x+6 .

Ejercicio 4.3Demostrar que cuando a < 0, se cumple lımx→∞ eax cos x = 0, y que cuando a ≥ 0 el lımite noexiste.

Ejercicio 4.4Calcular los siguientes lımites.

(a) lımx→0sen x

x .(b) lımx→0

1−cos xx .

(c) lımx→01−cos x

x2 .(d) lımx→0

ex−1x .

(e) lımx→0log(1+x)

x .(f) lımx→0

(1+x)α−1x .

Ejercicio 4.5Utilizar los resultados del ejercicio 4 para hallar el valor de los siguientes lımites.

(a) lımx→0(x−1) sen x

x2−2x .

(b) lımx→π2

cos(x)x−π

2.

(c) lımx→π2(x− π

2 ) tan(x).

(d) lımx→0(x2−x3)((x+1)

√2−1

log(1+4x)(1−cos(2x)) .

Ejercicio 4.6Calcular los lımites:

(a) lımx→0(1− x)1

x2 .

(b) lımx→∞( 4x2−14x2 )

x3x−1 .


Tema 4: Calculo de funciones de una variable 15

Ejercicio 4.7Estudiar la continuidad de las funciones definidas por:

(a) f(x) =

{0 x = 0;1+e

1x

1−e1x

x 6= 0.

(b) f(x) = |x|e−|x−1|.

Ejercicio 4.8Estudiar la continuidad en el punto x = 0 de las funciones definidas por:

(a) f(x) ={

0 x = 0;x sen(1/x) x 6= 0.

(b) f(x) =

{0 x = 0;21/x+121/x−1

x 6= 0.

(c) f(x) =

ex − 1, x < 0;0, x = 0;1− cos x, x > 0.

(d) f(x) =

{2, x = kπ, k ∈ Z;x2 sen( 1

x )

sen x , x 6= kπ, k ∈ Z.

2 DiferenciabilidadEjercicio 4.9Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en el punto x = 1.

(a) f(x) = |x− 1|.(b) f(x) = |x− 2

√x + 2|.

(c) f(x) = (x− 1)1/3.(d) f(x) = (x− 1)2/5.

(e) f(x) ={

ex−1, x < 1;1− sen(x− 1), x ≥ 1.

Ejercicio 4.10Calcular las derivadas de las siguientes funciones.

(a) f(x) = 1/x.(b) f(x) = x2 senx.(c) f(x) = ex cos x.(d) f(x) = ex senx.(e) f(x) = xex cos x.

Ejercicio 4.11Utilizar la regla de la cadena para hallar las derivadas de

(a) f(x) = e2x.(b) f(x) = e−x.(c) f(x) = (x3 − 1)3.



(d) f(x) = cos3 x.(e) f(x) = cos(x3).

(f) f(x) = ex2+2x.(g) f(x) = 1/

(1 + (

√x + 1)2

).

3 IntegracionEjercicio 4.12Sabiendo que, para toda funcion derivable f cuya derivada es continua, se cumple∫

f ′(x) dx = f(x) + C,

siendo C una constante arbitraria; evaluar∫

0 dx y∫

dx.

Ejercicio 4.13Calcular las siguientes integrales.

(a)∫

x+1x3+x2−6x dx.

(b)∫

5x3+2x3−5x2+4x dx.

(c)∫

x4−x3−x−1x3−x2 dx.

(d)∫

x4

(1−x)3 dx.

(e)∫

x3+x2+x+3(x2+1)(x2+3) dx.

Ejercicio 4.14Calcular:

(a)∫

sen2 x dx.(b)

∫cos2 4x dx.

(c)∫

sen 2x cos 3x dx.(d)

∫cos 2x cos x dx.

Ejercicio 4.15Utilizar un cambio de variable para hallar las siguientes integrales.

(a)∫

ex+e−2x

1+ex dx.

(b)∫

tan2 x+3 tan x1+tan x dx.

(c)∫

dx√1−x2 .

(d)∫

x2√

2x−x2 dx.(e)

∫dx

(24x−4x2−27)3/2 .

Ejercicio 4.16Integrar por partes para evaluar las siguientes integrales.

(a)∫

x sen 2x dx.(b)

∫x2 cos x dx.

(c)∫

ex senx dx.(d)

∫xex cos x dx.

Ejercicio 4.17Sea f una funcion derivable tal que su derivada es continua y verifica f ′(x) = af(x).

(a) Si definimos g(x) = f(x)e−ax, demostrar que g′(x) = 0.(b) Deducir que f(x) = Ceax, donde C es una constante arbitraria.



Ejercicio 4.18Calcular los valores de las siguientes integrales definidas.

(a)∫ 4

−2(x− 1)(x− 2) dx.

(b)∫ 2

0

√4− x2 dx.

(c)∫ 5

1ex cos x dx.

(d)∫ 2

0f(x) dx donde f(x) =

{x2, si 0 ≤ x ≤ 1;

2− x, si 1 < x ≤ 2.

(e)∫ 1

0f(x) dx donde f(x) =

{x, si 0 ≤ x ≤ c;

c 1−x1−c , si c < x ≤ 1; siendo c tal que 0 < c < 1.

Ejercicio 4.19Encontrar las derivadas de las funciones definidas por

(a) f(x) =∫ x

0

ex2+t2 dt (b) f(x) =∫ x

0

cos(x2 + t2) dt (c) f(x) =∫ 0

x

sen(x + t)t

dt

Ejercicio 4.20Calcular el area limitada por las graficas de las funciones f y g en el intervalo que se indica.

(a) f(x) = cos x, g(x) = senx en [0, π/4].(b) f(x) = x3, g(x) = x

√x2 + 2 en [0, 1].

(c) f(x) = ex, g(x) = e−x en [−1, 1].(d) f(x) = 1

2 sen 2x, g(x) = senx entre el origen y el menor punto de corte positivo.

Ejercicio 4.21Encontrar el area comun a los cırculos x2 + y2 = 9 y (x− 3)2 + y2 = 9.

Ejercicio 4.22Demostrar que la curva y = x3 descompone en dos partes iguales al triangulo formado por las rectasy = 7x, x = a y el eje OX, siendo a la abscisa del punto positivo de interseccion de la curva con larecta y = 7x.

Ejercicio 4.23Se considera la parabola y =

√2x2/a, donde a > 0, y la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = a2.

Determinar el volumen engendrado por la zona que se encuentra entre el eje OX y las dos curvas, algirar en torno a OX.

Ejercicio 4.24Calcular el volumen de revolucion engendrado, girando alrededor del eje OX, por el area que delimitanlas parabolas y2 = 2hx y x2 = 2hy, con h > 0.


Curso 2004/2005 18

Tema 5Integracion numericaEjercicio 5.1En este problema estudiaremos una integral definida que no se puede calcular analıticamente y,consecuentemente, para la que es necesario buscar metodos aproximados.

Consideremos la integral∫ 2

1e−t2 dt. Para aproximarla, se divide el intervalo [1, 2] en cuatro

partes iguales obteniendose subintervalos de extremos ti = 1 + i4 , con 0 ≤ i ≤ 4.

Sustituir en cada subintervalo [ti−1, ti] la funcion f(t) por el valor de la funcion en el puntomedio f

((ti−1 + ti)/2

)y efectuar la aproximacion

∫ ti

ti−1f(s) ds ≈ (ti− ti−1)f

((ti−1 + ti)/2

). Deducir

que ∫ 2

1

e−t2 dt ≈ 14[e−81/64 + e−121/64 + e−169/64 + e−225/64

]= 0.13352.

Ejercicio 5.2Usar la regla del trapecio con n = 4 para aproximar

∫ 2

−1

x2 dx.

Ejercicio 5.3Sea Tn la aproximacion a la integral I =

∫ b

af(x) dx que se obtiene dividiendo [a, b] en n

subintervalos y aplicando la regla del trapecio. Sabiendo que el error cometido es de la forma I−Tn =c

n2 + o(

1nk

), donde k ≥ 3 y c es una constante que depende de la longitud del intervalo y de la

funcion (pero no de n ), probar que la expresion I− 4T2n − Tn

3elimina el termino c

n2 y proporciona,

pues, una mejor estimacion. Hallar el valor concreto de4T2n − Tn

3.

Ejercicio 5.4Calcular aproximadamente la integral

∫ 1

0

11 + x2

dx

(a) subdividiendo [0, 1] en 10 subintervalos y aplicando la regla del trapecio. Acotar el error.(b) aplicando la regla de Simpson tomando 2n = 10. Acotar el error.

Hallar el valor de n que hay que tomar en ambos metodos para obtener el valor de la integral concuatro cifras decimales exactas.

Ejercicio 5.5Aplicar la regla de Simpson con 2n = 10 para aproximar

∫ 2

1

dx

x. Acotar el error. ¿Cuantos

subintervalos necesitaremos para lograr un error menor que 0.00005 usando la regla del trapecio?

Ejercicio 5.6Utilizar la regla de Simpson, acotando el error, para calcular

(a)∫ 1

0

dx

1 + xtomando 2n = 10.

(b)∫ 1

0

e−x2dx tomando 2n = 4.

Ejercicio 5.7Acotar el error que se produce al aproximar

∫ 1

0

e−x2dx utilizando tanto la regla de Simpson como

la regla del trapecio para subdivisiones del intervalo [0, 1] en 8 y 16 partes.

Ejercicio 5.8Un terreno esta situado entre una valla rectilınea y un rio. La anchura en metros del terreno a unadistancia x de uno de los extremos de la valla se denota por y y viene dada por


Tema 5: Integracion numerica 19

x 0 20 40 60 80 100 120y 0 22 41 53 38 17 0

Aplicar la regla de Simpson para hallar, aproximadamente, el area del terreno.

Ejercicio 5.9De una curva se conocen los valores que aparecen en la siguiente tabla

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 0 0.6 0.9 1.2 1.4 1.5 1.7 1.8 2

(a) Hallar el valor aproximado del area limitada por la curva, el eje de abscisas y las ordenadas enx = 1 y x = 9, aplicando la regla de Simpson.

(b) Averiguar el valor aproximado del volumen engendrado al girar el area del apartado (a)alrededor del eje de abscisas, aplicando la regla de Simpson.

Ejercicio 5.10Sean x0 = a, x1 = b−a

2 y x2 = b. Si f : [a, b] → R continua, demostrar que la formula de Simpsonaplicada en [a, b] es igual a la integral que se obtiene al sustituir f por el polinomio de grado 2 quecoincide con f en los puntos xi, i = 0, 1, 2.


Curso 2004/2005 20

Tema 6Calculo vectorial1 ContinuidadEjercicio 6.1Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones. ¿Cual es la grafica en (a), (d) y (e)?

(a) f(x, y) = x2 + y2.(b) f(x, y) =

√x + 2xy.

(c) f(x, y) = log(x + y).(d) f(x, y) = 2 + 3x + 4y.(e) f(x, y) =

√4− x2 − y2.

Ejercicio 6.2Calcular los siguientes lımites.

(a) lım(x,y)→(1,2)

√x + 2xy.

(b) lım(x,y)→(0,3)2xy+x2

x2+xy+y2 .

(c) lım(x,y)→(0,0)2xy+x2−5

x2+xy+y2+2 .

Ejercicio 6.3Aproximarse por rectas para hallar el posible valor del lımite de las siguientes funciones.

(a) lım(x,y)→(0,0)2xy

x2+y2 .

(b) lım(x,y)→(0,0)2x2y

x2+y2 .

(c) lım(x,y)→(0,0)x2y2

x4+y2 .

(d) lım(x,y)→(0,0)x2(y+1)+y2

x2+y2 .

(e) lım(x,y)→(0,0)x2−y2

x2+y2 .

(f) lım(x,y)→(0,0)x2|y|3/2

x4+4y2 .

(g) lım(x,y)→(1,0)(x−1)2+(x−1)y2

(x−1)2+y2 .

Ejercicio 6.4Comprobar que al aproximarse por rectas en el lımite lım(x,y)→(0,0)

x4y4

(x4+y2)3 se obtiene como unicovalor el 0. ¿Que valor se obtiene aproximandose por la curva y = x2 ?

Ejercicio 6.5Verificar la existencia de lımite en los apartados del problema 3 en que sea posible.

Ejercicio 6.6Comprobar si las siguientes funciones son o no continuas.

(a) f(x, y) = x3 + 4y2 − x + 1, en (1, 1).(b) f(x, y) = x−y

y−x2 si y 6= x2 y f(x, x2) = 1, en (1, 1).(c) f(x, y) = y

x si x 6= 0 y f(0, y) = 0, en (0, 1).(d) f(x, y) = 2x2y

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0, en (0, 0).

(e) f(x, y) = 2x2yx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 1, en (0, 0).


Tema 6: Calculo vectorial 21

2 DiferenciabilidadEjercicio 6.7Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones.

(a) f(x, y) = x2 + 2xy + y3 en (1, 2).(b) f(x, y) = 2x2y2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0 en (0, 0) y en (1, 0).

(c) f(x, y) = xex2y en (1, log 2).

Ejercicio 6.8Encontrar la pendiente, en la direccion de los ejes x e y, de la superficie dada por

(a) z = x2 + 2xy + y3 en el punto (1, 2, 13).(b) z = 1− (x− 1)2 − (y − 2)2 en el punto (1, 2, 1).

Ejercicio 6.9Hallar las siguientes derivadas direccionales.

(a) f(x, y) = x + y en el punto (0, 0) y en la direccion (√

22 ,

√2

2 ).(b) f(x, y) = 4− x2 − 1

4y2 en el punto (1, 2) y en la direccion (cos π3 , sen π

3 ).

Ejercicio 6.10Consideremos la funcion definida por

f(x, y) =

{2x2y

x4+y2 , si (x, y) 6= (0, 0);0, si (x, y) = (0, 0).

¿Existen las derivadas direccionales en el punto (0, 0) ? ¿Es continua en ese punto?

Ejercicio 6.11Comprobar que la funcion definida por

f(x, y) ={ −3xy

x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0);0, si (x, y) = (0, 0);

no es de clase C1.

Ejercicio 6.12Consideremos

f(x, y) =

{x2y√x4+y4

, si (x, y) 6= (0, 0);

0, si (x, y) = (0, 0);

(a) Estudiar la continuidad en (0, 0).(b) Estudiar la existencia de derivadas direccionales en (0, 0).(c) Calcular las derivadas parciales en cualquier punto.(d) ¿Son las parciales continuas en (0, 0) ?

Ejercicio 6.13Sea f(x, y) = 3x2 − 4y.

(a) Demostrar que es una funcion de clase C1.(b) Calcular el gradiente de la funcion en (1, 3).(c) Calcular la derivada direccional en (1, 3) en la direccion (− 1

2 ,√

32 ).

Ejercicio 6.14Comprobar que las siguientes funciones son de clase C1 y calcular las derivadas parciales de lacomposicion f ◦ g en los siguientes casos.

(a) f(x) = ex y g(t) = cos t en el punto 0.


Tema 6: Calculo vectorial 22

(b) f(x) = ex y g(s, t) = 3s2 + 2t3 en el punto (0, 0).(c) f(x, y) = x2y − y2 y g(t) = (sen t, et) en el punto 0.(d) f(x, y) = 2xy y g(s, t) = (s2 + t2, s

t ) en el punto (0, 1).(e) f(x, y) = 2xey y g(s, t) = (s2 + t2, log s) en el punto (1, 0).

Ejercicio 6.15Encontrar las derivadas parciales segundas de las siguientes funciones.

(a) f(x, y) = 3xy2 − 2y + 5x2y2 en el punto (−1, 2).(b) f(x, y) = yex + x log y en el punto (0, 1).

(c) f(x, y) =

{xy x2−y2

x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0);0, si (x, y) = (0, 0);

en el punto (0, 0).

3 IntegracionEjercicio 6.16Sean f, g : [a, b] → R dos funciones continuas tales que f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b]. Interpretargeometricamente la integral iterada ∫ b

a

∫ g(x)

f(x)

dy dx.

Ejercicio 6.17Calcular las integrales iteradas de las siguientes funciones.

(a) f(x, y) = xy en el triangulo de vertices (0, 0), (1, 0) y (1, 1).(b) f(x, y) = ex+y en el triangulo de vertices (0, 0), (2, 2) y (4, 0).(c) f(x, y) = cos x en el cuadrado de vertices (1, 0), (0,−1), (−1, 0) y (0, 1).(d) f(x, y) = x2 en la region limitada por las curvas y2 = x, y2 = −x e y = 1.(e) f(x, y) = x en la region situada por encima del eje de abcisas, y limitada por las circunferencias

centradas en (0, 0) y con radios 2 y 3 respectivamente.

Ejercicio 6.18Consideremos la funcion definida por

f(x, y) ={ x−y

(x+y)3 , si (x, y) 6= (0, 0);0, si (x, y) = (0, 0);

(a) Comprobar que no es continua en el punto (0, 0).(b) Calcular las integrales iteradas en el cuadrado de vertices (1, 1), (1, 0), (0, 0) y (0, 1).


Curso 2004/2005 23

Tema 7Series numericas y de potencias1 Series numericasEjercicio 7.1Probar que si la serie

∑∞n=1 an converge, entonces lımn→∞ an = 0.

Ejercicio 7.2Probar que las siguientes series convergen y calcular su suma.

(a)∞∑

n=1

( 2n− 2

n + 1

)(b)

∞∑n=1

12

( 12n + 1

− 12n + 3

)(c)

∞∑n=3

(− 1

n− 3

n− 1+

4n− 2

).

Ejercicio 7.3Sabiendo que si a 6= 1, entonces 1 + a + a2 + a3 + · · ·+ an =

1− an+1

1− apara todo n ∈ N, deducir

que la serie∑∞

n=0 an converge si, y solo si, |a| < 1; en tal caso se cumple que∞∑

n=0

an =1

1− a.

Ejercicio 7.4Probar que la serie

∑∞n=1

(3n −

1n+1

)13n converge y calcular su suma.

Ejercicio 7.5Escribir el numero 0.999999 · · · (en base 10 ) como una serie y demostrar que es igual a 1.

Ejercicio 7.6Comprobar que la serie

∑∞n=1

1n diverge y que la serie

∑∞n=1

1n2 converge.

Ejercicio 7.7Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes series.

(a)∞∑

n=1

n2 + 15n

(b)∞∑

n=1

nn

2n n!(c)

∞∑n=1

n2

n!(d)

∞∑n=2

nlog n

n!(e)

∞∑n=0

1n!

Ejercicio 7.8En este ejercicio vamos a calcular la suma de la serie

∑∞k=0

1k! .

(a) Demostrar que, para cada n ∈ N, se cumple(1 +

1n

)n

≤∞∑

k=0

1k!

.

(b) Fijado p ∈ N, probar que si n > p, se verifica

(1 +

1n

)n

≥ 1 +p∑

k=1

(1− 1

p

)·(1− 2

p

)· · ·

(1− k − 1

p

) 1k!

y deducir que e ≥p∑

k=0

1k!

.

(c) Concluir que e =∞∑

k=0

1k!

.


Tema 7: Series numericas y de potencias 24

2 Series de potenciasEjercicio 7.9Demostrar que la serie de potencias

∑∞n=0 sn converge si |s| < 1 y diverge si |s| ≥ 1. Calcular su

suma cuando sea posible.

Ejercicio 7.10Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias.

(a)∑∞

n=0(s− s0)n. (b)∑∞

n=1(−1)n

n (s− s0)n. (c)∑∞

n=11

n2 (s− s0)n.(d)

∑∞n=0 2n(s− s0)n. (e)

∑∞n=1 nn(s− s0)n. (f)

∑∞n=0

1n! (s− s0)n.

(g)∑∞

n=0 jn(s− s0)n. (h)∑∞

n=11√n(s− s0)n. (i)

∑∞n=0

jnn3

2n (s− s0)n.

Ejercicio 7.11Consideremos una funcion definida mediante una serie de potencias con radio de convergencia R,0 < R ≤ +∞; es decir,

f(s) =∞∑

n=0

an(s− s0)n cuando |s− s0| < R.

(a) Sabiendo que la derivada viene dada por

f ′(s) =∞∑

n=1

n an(s− s0)n−1 para todo |s− s0| < R,

demostrar por induccion que

f (k)(s) =∞∑

n=k

n!(n− k)!

an(s− s0)n−k para todo |s− s0| < R

para todo k ≥ 1.

(b) Probar que an =f (n)(s0)

n!para todo n ≥ 0

(c) Deducir que el desarrollo en serie de potencias de la funcion f es unico.

Ejercicio 7.12Escribir las series de potencias centradas en 0 de las siguientes funciones.

(a) f(s) =1

1 + s. (b) f(s) =

11− s2

. (c) f(s) =1

1 + s2.

(d) f(s) =s

s2 − 4s + 3. (e) f(s) =

s

1− s− s2. (f) f(s) =

1(s + 1)(s + 3)

.

(g) f(s) =1

s2 − s− 1. (h) f(s) =

s

s3 + 1. (i) f(s) =

s− 1s2 + 1

.

Ejercicio 7.13Hallar las series de potencias centradas en 0 de las siguientes funciones.

(a) f(s) =1

(1− s)2. (b) f(s) =

1(1 + s)2

. (c) f(s) =1

(1− s)3.

(d) f(s) =s

(1− s)3. (e) f(s) =

s

s2 + 2s + 1. (f) f(s) =

s2 − s− 2(s− 1)2(s + 1)

.

Ejercicio 7.14En este problema, vamos a deducir el desarrollo en serie de potencias centradas en 0 de la funcionexponencial; en otras palabras, vamos a suponer que se cumple es =

∑∞n=0 ansn y obtendremos

los valores de an, posteriormente comprobaremos que la serie de potencias definida por esos valoresverifica las propiedades fundamentales de la funcion exponencial.


Tema 7: Series numericas y de potencias 25

(a) Partiendo de la propiedad e2s =(es

)2 y de la unicidad del desarrollo en serie de potencias,probar

2n =∑n

k=0 ak an−k

anpara todo n ≥ 0.

(b) Deducir que a0 = 1 y aplicar el principio de induccion completa para ver que

an =an1

n!para todo n ≥ 1.

(c) Utilizando que e =∑∞

n=01n! , ejercicio 8, deducir que a1 = 1 y, consecuentemente, an = 1

para todo n ≥ 0.(d) Comprobar que la serie de potencias

∑∞n=0

sn

n! tiene radio de convergencia infinito y que lafuncion definida por f(s) =

∑∞n=0

sn

n! verifica que f(1) = e y que f(s + z) = f(s)f(z) para todos, z ∈ C.

Se concluye, pues, que es =∞∑

n=0

sn

n!para todo s ∈ C.

Ejercicio 7.15Hallar el desarrollo en serie de potencias de las siguientes funciones en el punto 0.

(a) f(s) = e−s. (b) f(s) = ejs. (c) f(s) = cos s. (d) f(s) = sen s.

Ejercicio 7.16Este ejercicio y el siguiente pretenden mostrar la utilidad de los desarrollos en serie de funcionesde variable compleja; en particular, veremos su aplicacion a la resolucion de algunas ecuaciones endiferencias: el refinamiento de este metodo conduce a lo que se conoce como la transformada z.

Consideremos un circuito que consta de infinitas mallas Mn, n ≥ 0, con forma cuadrada yalineadas. En uno de los lados de la malla M0 esta conectada una fuente de tension continua de Vvoltios y en los otros tres lados hay sendas resistencias de R ohmios. Las demas mallas tienen cuatroresistencias de R ohmios, una en cada lado. Supondremos que la intensidad de la corriente en M0

es i0 = 1 y que V = R.(a) Estudiar M0 y deducir que la corriente i1 en M1 cumple 3i0 − i1 = 1.(b) Probar que la corriente in en Mn verifica in+1 − 4in + in−1 = 0 para n ≥ 1.(c) Hallar la serie de Taylor centrada en 0 de la funcion f(s) = −2s+1

s2−4s+1 .(d) Averiguar la corriente en cada malla.

Ejercicio 7.17Con el fin de producir efectos de sonido, un ingeniero desarrolla un eco en un estudio de grabacion:ante una senal de audio x(n), (n ≥ 0) se obtiene como respuesta grabada la senal y(0) = x(0),y(n) = x(n) + ay(n− 1), (n ≥ 1); siendo a > 0.

(a) Si la senal original es x(0) = α, x(n) = 0, (n ≥ 1), considerar la funcion definida por

f(s) =α

1− as,

desarrollarla en serie de Taylor centrada en 0 y deducir la respuesta y(n).(b) Desarrollar en serie de Taylor centrada en 0 la funcion definida por

f(s) =α + βs

1− as= −β

a+

αa + β

a

11− as

y deducir la respuesta y(n) cuando la senal original es x(0) = α, x(1) = β, x(n) = 0, (n ≥ 2).(Observar que cuando 0 < a < 1 la amplitud de la senal grabada se amortigua con el tiempo,

cuando a = 1 no se altera y cuando a > 1 la amplitud se hace cada vez mayor.)


Curso 2004/2005 26

Tema 8Series de FourierEjercicio 8.1Consideremos un circuito en serie que contiene una resistencia de R ohmios y un inductor de L

henrios. Observar que cuando se tiene conectada una fuente de tension con voltaje v(t) = ejωt, laintensidad de corriente permanente que resulta es i(t) = 1

R+jLω ejωt.Si conectamos varias fuentes en serie con voltajes independientes, entonces se puede calcular la

corriente que resulta superponiendo el valor de la intensidad que corresponde a cada fuente: en otraspalabras, si se tienen dos fuentes con voltaje v1(t) = α1e

jω1t y v2(t) = α2ejω2t, con intensidades

resultantes i1(t) = α1R+jLω1

ejω1t e i2(t) = α2R+jLω2

ejω2t, con lo cual se obtendra finalmente unaintensidad i(t) = α1

R+jLω1ejω1t + α2

R+jLω2ejω2t. Se dice entonces que el circuito forma un sistema lineal.

Calcular la respuesta del sistema si el voltaje de la fuente viene dado por(a) v(t) = sen t.(b) v(t) = cos t.(c) v(t) = 1 + sen t + 2 cos t + cos(2t + π

4 ).

(d) v(t) =

1, si t ∈]2kπ, (2k + 1)π[, k ∈ Z;0, si t = 0,±π,±2π,±3π, . . . ;−1, si t ∈](2k − 1)π, kπ[, k ∈ Z.

(Utilizar en el apartado (d) que v(t) = 4π [sen t + 1

3 sen 3t + 15 sen 5t + 1

7 sen 7t + · · ·]. La consecuenciaes que para simular que, en un circuito, el voltaje de entrada es una onda cuadrada, basta aplicarleuna fuente que conste de varios generadores con voltajes 4

π sen t, 43π sen 3t, 4

5π sen 5t, etc.)

Ejercicio 8.2Comprobar si las siguientes funciones son periodicas y, en caso de serlo, calcular su periodo fundamental.

(a) f(t) = sen(ωt).(b) f(t) = cos(ωt + ϕ).(c) f(t) = cos t

3 + cos t4 .

(d) f(t) = cos(10t) + cos(10 + π)t.(e) f(t) = (10 cos t)2.(f) f(t) = sen(t2).

Ejercicio 8.3Demostrar que si la funcion f : R → C verifica f(t) = f(t + T ) para todo t ∈ R, entonces∫ a+ T

2

a−T2

f(t) dt =∫ T

2

−T2

f(t) dt =∫ T

0

f(t) dt.

Ejercicio 8.4Supongamos que ωT = 2π.

(a) Demostrar que si n, m ∈ Z y n 6= m, entonces∫ T

0ejnωt e−jmωt dt = 0. Hallar∫ T

0ejnωte−jnωt dt si n ∈ Z.(b) Demostrar que si n, m ∈ N y n 6= m, entonces

∫ T

0sen(nωt) sen(mωt) dt = 0 y∫ T

0cos(nωt) cos(mωt) dt = 0.Probar tambien que

∫ T

0sen(nωt) cos(mωt) dt = 0 cualesquiera que sean n, m ∈ N.

Hallar∫ T

0sen2(nωt) dt y

∫ T

0cos2(nωt) dt

Ejercicio 8.5Sea ωT = 2π y supongamos que f : R → C es una funcion T-periodica.


Tema 8: Series de Fourier 27

(a) Si f(t) =∑∞

n=−∞ Fnejnωt, demostrar que Fm = 1T

∫ T2

−T2

f(t) e−jmωt dt para todo m ∈ Z.

(b) Si f(t) = a02 +

∑∞n=1

(an cos(nωt) + bn sen(nωt)

), comprobar que a0 = 2

T

∫ T2

−T2

f(t) dt, que

am = 2T

∫ T2

−T2

f(t) cos(mωt) dt y que bm = 2T

∫ T2

−T2

f(t) sen(mωt) dt para todo m ∈ N.

Ejercicio 8.6Encontrar la serie de Fourier de las siguientes funciones.

(a) f(t) =

−1, si − T

2 < t < 0;0, si t = 0,±T

2 ;1, si 0 < t < T

2 ;y f(t) = f(t + T ) para todo t ∈ R.

(b) f(t) = (sen t)3

(c) f(t) = t si −T2 < t ≤ T

2 y f(t) = f(t + T ) para todo t ∈ R.(d) f(t) = t si 0 ≤ t < T y f(t) = f(t + T ) para todo t ∈ R.

(e) f(t) ={

0, si − T2 < t < 0;

1, si 0 ≤ t ≤ T2 ;

y f(t) = f(t + T ) para todo t ∈ R.

(f) f(t) ={

2, si − 2 < t < 0;t, si 0 ≤ t ≤ 2; y f(t) = f(t + 4) para todo t ∈ R.

Ejercicio 8.7Utilizar las propiedades de las funciones pares e impares para hallar la serie de Fourier de las siguientesfunciones. En este problema u(t) denota la funcion escalon unitario o funcion de Heaviside, definidapor

u(t) ={

1, si t ≥ 0;0, si t < 0.

(a) f(t) = |t| si −T2 ≤ t ≤ T

2 y f(t) = f(t + T ) para todo t ∈ R.(b) f(t) = t cos t si −π < t < π, f(π) = 0 y f(t) = f(t + 2π) para todo t ∈ R.(c) f(t) = |4 sen(2t)|.(d) f(t) = 4 cos(2t)

[u(t + π

4 )− u(t− π4 )

]si −π

2 ≤ t ≤ π2 y f(t) = f(t + π) para todo t ∈ R.

(e) f(t) = u(t + δ2 )− u(t− δ

2 ) si −T2 ≤ t ≤ T

2 y f(t) = f(t + T ), donde t ∈ R y 0 < δ < T .(f) f(t) = t2 si −T

2 ≤ t ≤ T2 y f(t) = f(t + T ) para todo t ∈ R.

(g) f(t) = e|t| si −1 ≤ t ≤ 1 y f(t) = f(t + 2) para todo t ∈ R.

Ejercicio 8.8Verificar si la serie de Fourier de las funciones de los problemas 6 y 7 converge a la funcion dada.

Ejercicio 8.9Utilizar los resultados del problema 8 para comprobar las siguientes igualdades.

(a)∑∞

n=0(−1)n

2n+1 = π4 .

(b)∑∞

n=01

(2n+1)2 = π2

8 .

(c)∑∞

k=1(2k+1)(−1)k+1

4k(k+1) =∑∞

n=2n(−1)n

n2−1 sen(nπ/2) = 14 .

(d)∑∞

k=11

4k2−1 = 12 .

(e)∑∞

n=11

n2 = π2

6 .

(f)∑∞

n=1(−1)n+1

n2 = π2

12 .

(g)∑∞

n=0(−1)ne−11+n2π2 = e

2 .


Curso 2004/2005 28

Tema 9Transformadas de FourierEjercicio 9.1Las funciones no periodicas tambien pueden expresarse en terminos de funciones exponenciales comple-jas, pero en lugar de series de Fourier con frecuencias discretas nω, donde ω es la frecuenciafundamental y n ∈ N, aparecen integrales de Fourier con frecuencias continuas ω ∈ R. Veamos cuales la integral apropiada en un caso simple.

Sea f : R → R la funcion definida por

f(t) =

0, si t < − 1

2 ;12 , si t = − 1

2 ;1, si − 1

2 < t < 12 ;

12 , si t = 1

2 ;0, si t > 1

2 .

Para cada T > 1, consideremos la funcion T-periodica definida por fT (t) = f(t) si −T2 ≤ t ≤ T

2y fT (t) = fT (t + T ) para todo t ∈ R.

(a) Hallar∑+∞

n=−∞ cTnejnωt, la serie exponencial de Fourier correspondiente a fT (como siempre,

ω = 2πT ).

(b) Si r 6= 0, considerando cualquier n ∈ Z tal que 2nπr > 1 y tomando T = 2nπ

r , se defineF (r) = TcT

n . Por otra parte, se define F (0) = TcT0 . Calcular F (r) y demostrar que es independiente

del n escogido.(c) Comprobar que F (r) = lımy→+∞

∫ y

−yf(t)e−jrt dt.

(d) Demostrar que, para cada T > 1, fT (t) = 12π

∑+∞n=−∞ ωF (nω)ejnωt.

(e) Sean k ∈ N y ω > 0 tal que 2πω > 1. Justificar que la suma

∑kn=−k ωF (nω)ejnωt

es una buena aproximacion de la integral∫ kω

−kωF (r)ejrt dr cuando ω es pequeno. Deducir que∑+∞

n=−∞ ωF (nω)ejnωt es una buena aproximacion de lımx→+∞∫ x

−xF (r)ejrt dt, cuando ω es pequeno.

(f) Estudiar si es posible que f(t) = lımx→+∞12π

∫ x

−xF (r)ejrt dt. (Observar que se cumple

f(t) = lımT→∞ fT (t). )

1 Integrales impropiasEjercicio 9.2Aplicar la regla de Barrow generalizada para determinar si las siguientes integrales impropias convergeno no y, en caso que converjan, calcularlas.

(a)∫ +∞1

1t dt

(b)∫ +∞−∞

11+t2 dt

(c)∫ +∞1

cos t dt

(d)∫ +∞−∞ t dt

(e)∫ +∞0

e−t dt

(f)∫ +∞−∞

et

1+e2t dt

Ejercicio 9.3Averiguar los valores de a ∈ R para los que la integral

∫ +∞1

1ta dt converge.

Ejercicio 9.4Utilizar el criterio de mayoracion para averiguar si las siguientes integrales convergen.

(a)∫ +∞0

e−t2/a dt, con a > 0.


Tema 9: Transformadas de Fourier 29

(b)∫ +∞1

cos tt2 dt

(c)∫ +∞1

2+cos tt dt

(d)∫ +∞1

sen tt2 dt

(e)∫ +∞1

cos tt dt

(f)∫ +∞1

sen tt dt

Ejercicio 9.5Probar que la integral

∫ +∞1

| sen tt | dt diverge.

Ejercicio 9.6Determinar si convergen o no las siguientes integrales.

(a)∫ +∞1

tt2+t+1 dt

(b)∫ +∞2

1√t+ 3√t

dt

(c)∫ +∞1

t√2t5+t2+7

dt

Ejercicio 9.7Demostrar que

∫∞0

sen xx dx =

∫∞0

∫∞0

e−xy senx dy dx e intercambiar el orden de integracion paraobtener

∫∞0

sen xx dx = π/2.

Ejercicio 9.8Probar que

∫∞0

∫∞0

ye−(1+x2)y2dy dx = π

4 y que∫∞0

∫∞0

ye−(1+x2)y2dx dy =

( ∫∞0

e−x2dx

)2

.

Deducir que∫∞0

e−x2dx =

√π

2 .

2 La funcion escalon unitarioEjercicio 9.9Se define u la funcion escalon unitario, tambien llamada funcion de Heaviside, por

u(t) ={

1, si t ≥ 0;0, si t < 0.

Las funciones escalonadas surgen de modo natural en el estudio de problemas con discontinuidades,como el cierre de un interruptor o el estudio de pulsos.

Expresar las siguientes funciones sin utilizar la funcion u y dibujarlas.(a) u(t− 2).(b) −2u(t).(c) u(−t).(d) u(t) + u(t− 1).(e) u(t)u(1− t).(f) u(t)u(−1− t).(g) u(−t)− 2u(t− 2).

3 La transformada de Fourier y sus propiedadesEjercicio 9.10Hallar la transformada de Fourier de las siguientes funciones. En este problema, a > 0.

(a) f(t) = u(a + t)u(a− t) ={

1, si − a ≤ t ≤ a;0, si |t| > a.

(b) f(t) = e−atu(t).(c) f(t) = e−a|t|.

(d) f(t) = u(π + t)u(π − t) sen t ={

sen t, si − π ≤ t ≤ π;0, si |t| > π.



(e) f(t) =

1, si 0 < t < a;0, si t = 0;−1, si − a < t < 0;0, si |t| ≥ a.

Ejercicio 9.11Demostrar las siguientes propiedades de la transformada de Fourier.

(a) Linealidad: Si f y g son funciones y α, β ∈ C, entonces

F [αf + βg](ω) = αF [f ](ω) + βF [g](ω).

(b) Traslaciones: Si g(t) = f(t− t0), entonces F [g](ω) = e−jωt0F [f ](ω).Si g(t) = ejω0tf(t), entonces F [g](ω) = F [f ](ω − ω0).(c) Cambios de escala: Si g(t) = f(at) y a ∈ R, a 6= 0, entonces F [g](ω) = 1

|a|F [f ](ωa ).

(d) Relacion con la derivada: Si existen las transformadas de Fourier de f y f ′, entoncesF [f ′](ω) = jωF [f ](ω).

Si existe F [f ], es una funcion derivable y ddωF [f(t)] = F [−jtf(t)].

Ejercicio 9.12Utilizar las propiedades anteriores para el calculo de la transformada de Fourier de las siguientesfunciones. (Como en el ejercicio 10, a > 0. )

(a) f(t) = e−at sen t u(t). (b) f(t) = e−at cos t u(t). (c) f(t) = e−at sen(ct) u(t).(d) f(t) = e−at cos(ct) u(t). (e) f(t) = e−t2/2. (f) f(t) = tne−atu(t).

Ejercicio 9.13Los pulsos gaussianos son pulsos cuya envolvente es una funcion gaussiana. Su expresion matematicaes g(t) = <e

(A(t)ejω0t

), donde

A(t) = A exp[−

(1− jk2T 2

)t2

].

(Se dice que T es la anchura del pulso y k es su factor de chirp; cuando k 6= 0, la frecuencia delpulso varıa con el tiempo.) Calcular F [A(t)ejω0t] utilizando que∫ +∞

−∞exp

[−

(1− jk2T 2

)t2

]dt = T

√2π

1− jk.

(En la anterior expresion,√

1− jk denota la raız cuadrada que tiene parte real positiva, de modo que

1√1− jk

=

√(1 + k2)1/2 + 1− j

√(1 + k2)1/2 − 1√

2(1 + k2)cuando k > 0.

)Ejercicio 9.14Calcular los siguientes productos de convolucion. (Como en el ejercicio 10, a > 0. )

(a) u ∗ u.(b) Si f(t) = u(t + 1)u(1− t), calcular f ∗ f .(c) Si f(t) = e−atu(t), calcular f ∗ f .(d) Si fn(t) = tne−atu(t) hallar f0 ∗ fn y deducir que

f0 ∗n+1)· · · ∗ f0 =

fn

n!.

(e) Si f(t) = e−t2/2, calcular f ∗ f sabiendo que∫∞0

e−t2/2 dt =√

π/2 (ver ejercicio 9.7).

(f) Si f(t) = 1√2πa

e−t22a y g(t) = 1√

2πbe−

t22b , calcular f ∗ g.



Ejercicio 9.15Probar que si f : R → C es una funcion continua y g(t) = nu(t)u( 1

n − t), entonces

(a)(u ∗ (fu)

)(t) = u(t)

∫ t

0

f(τ) dt y (b) g ∗ f(t) = n

∫ t

t− 1n

f(s) ds.

Ejercicio 9.16Hallar la transformada de Fourier del producto de convolucion de dos funciones.

Ejercicio 9.17Aplicar el teorema de convolucion para hallar la transformada de Fourier de la funcion definida porf(t) = tne−atu(t).

Ejercicio 9.18Encontrar la transformada inversa de Fourier de la funcion definida por

f(t) ={

2 sen(at)t , si t 6= 0;

2a, si t = 0;donde a > 0

y, como consecuencia, obtener el valor de∫ +∞0

sen(at)t dt.

Ejercicio 9.19Probar que F

[F [f ]

](ω) = 2πf(−ω) y deducir que

(F [f ]

)∗

(F [g]

)= 2πF [f · g].

Ejercicio 9.20Aplicar la transformada inversa de Fourier a la funcion f(t) = 1

(a+jt)2 , donde a > 0.

Ejercicio 9.21Determinar la transformada de Fourier de la funcion definida por

f(t) ={

1− t2, si |t| ≤ 1;0, si |t| > 1.

Aplicar los resultados del tema para calcular∫ +∞0

(t cos t−sen t

t3

)cos( t

2 ) dt.

Ejercicio 9.22La dispersion en fibra optica es el fenomeno por el cual un pulso se deforma a medida que se propaga.En un tipo de dispersion, la dispersion cromatica, las distintas componentes espectrales de una senalviajan a diferentes velocidades a traves de la fibra. Se puede estudiar la dispersion cromatica observandola evolucion de un pulso gaussiano.

Supongamos que se transmite por una fibra un pulso definido como g(0, t) = <e(A0(t)ejω0t

),

donde A0(t) = exp(−t2

2T 20

). Despues de recorrida una distancia z se encuentra que el pulso viene

dado por g(z, t) = <e(Az(t)ejω0t

), donde Az(t) = T0√

T 20 +jβ2z

exp(

−t2

2(T 20 +jβ2z)

). (Como en el ejercicio

9.13, se toma la raız cuadrada que tiene parte real positiva.)(a) Demostrar que la anchura del pulso al recorrer una distancia z viene dada por

Tz = T0

√1 +

(β2z

T 20

)2

.

(b) Calcular Tz a una distancia de 3600Km si partimos de una anchura en el origen T0 = 200psy β2 = −22ps2/Km.

(c) En realidad, la expresion para Az(t) se deduce del hecho de ser la funcion que cumpleF [Az(t)ejω0t](ω) = F [A0(t)ejω0t](ω)e−jβ(ω)z, siendo β(ω) una funcion que determina la dispersioncromatica. Comprobar que se verifica esta relacion para β(ω) = β2(ω − ω0)2/2.


Curso 2004/2005 32

Tema 10CardinalidadEjercicio 10.1Estudiar si la aplicacion definida en cada uno de los siguientes apartados es o no inyectiva y si es o nosobre.

(a) f : [1, 5] ∩ N → [1, 25] ∩ N; f(x) = x2

(b) f : [1, 5] → [1, 25]; f(x) = x2

(c) f :]−∞,+∞[→]− 1, 1[; f(x) = x1+|x|

(d) f :]0, 1[→]− 1, 1[; f(x) =√

x(e) f :]− 1, 1[→]0, 1[; f(x) = x2

(f) f :]− 1, 1[→]0, 1[; f(x) = x+12

(g) f : [1, 3] → [1, 3]; f(x) = x+12

(h) f : [1, 3] → [1, 3]; f(x) = x+32

(i) f : [1, 3] → [1, 3]; f(x) = x+43

(j) f :]a, b[→]0, 1[; f(x) = x−ab−a

Ejercicio 10.2Sean A y B dos conjuntos finitos y consideremos f : A → B.

(a) Si f es sobre, entonces |A| ≥ |B|.(b) Si f es inyectiva, entonces |A| ≤ |B|.(c) Si f es biyectiva, entonces |A| = |B|.

Ejercicio 10.3Sean A y B conjuntos finitos tales que A ∩B = ∅, probar que entonces

|A ∪B| = |A|+ |B|.

Ejercicio 10.4Sea B un conjunto finito y sea A ⊂ B. Comprobar que A es finito y |A| ≤ |B|.

Ejercicio 10.5Demostrar los siguientes resultados sobre la cardinalidad de la union de dos conjuntos.

(a) Si A y B son conjuntos finitos, entonces |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.(b) Si A B y C son conjuntos finitos, entonces

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.

(c) ¿Como se generaliza la anterior formula a cuatro conjuntos?

Ejercicio 10.6Demostrar que para dos conjuntos finitos A y B se cumple |A×B| = |A| · |B|.

Ejercicio 10.7Dados los conjuntos finitos A1, A2, . . . An, probar que

|A1 ×A2 ×A3 × · · · ×An| = |A1| · |A2| · |A3| · · · |An|.

Ejercicio 10.8En un proceso de produccion, un producto pasa por tres controles de calidad. Supongamos que sehan producido 1000 piezas de las cuales 4 no han pasado satisfactoriamente ningun control, 7han superado solo el primer control, 12 han superado solo el segundo y 11 solo el tercero; 969han pasado tanto el primero como el segundo, 943 tanto el primero como el tercero y 954 tanto elsegundo como el tercero.

Determinar el numero de piezas que superan todos los controles de calidad.


Tema 10: Cardinalidad 33

Ejercicio 10.9Demostrar que si se escogen 11 numeros cualesquiera del conjunto {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ 20}, entoncesuno de ellos sera un multiplo par del otro.

Ejercicio 10.10Probar que si se eligen 7 numeros del conjunto {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ 12}, dos de ellos sumaran 13.

Ejercicio 10.11En todo conjunto de 15 enteros hay dos, x e y de modo que 12|(x− y).

Ejercicio 10.12Demostrar que si se emplean 7 colores para pintar 50 bicicletas, al menos 8 bicicletas seran delmismo color.

Ejercicio 10.13Sean A2 = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ 40, 2|k, 2 6= k}, A3 = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ 40, 3|k, 3 6= k}A5 = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ 40, 5|k, 5 6= k}.

(a) Calcular la cantidad de elementos de cada uno de los conjuntos.(b) Encontrar la cantidad de numeros primos menores o iguales que 40. (El 1 no se considera

ni primo ni compuesto.)

Ejercicio 10.14Demostrar que la aplicacion f : N → N definida por f(n) = 2n es inyectiva pero no sobre. Deducirque N es un conjunto infinito.

Ejercicio 10.15Considerar las aplicaciones f : N → Z definida por f(n) =

1 + (−1)n(2n− 1)4

y g : Z → N definidapor

g(n) =

2n, si n > 0;

−2n + 1, si n ≤ 0.

Comprobar que ambas son inyectivas y concluir que |Z| = ℵ0.

Ejercicio 10.16Sea B un conjunto numerable.

(a) Si A ⊂ B, comprobar que A es finito o numerable.(b) Si A es infinito y existe una aplicacion inyectiva f : A → B, entonces A es numerable.

Ejercicio 10.17Sea f : N × N → N definida por f(m,n) = 2m3n. Utilizar la unicidad de la descomposicion enfactores primos para probar que f es inyectiva. ¿Es N× N numerable?

Ejercicio 10.18Probar que si A y B son conjuntos numerables, tambien lo son A ∪B y A×B.

Ejercicio 10.19Definir una aplicacion inyectiva de Q en Z× N y deducir que Q es numerable.


Tema 10: Cardinalidad 34

Ejercicio 10.20Considerar la siguiente lista de numeros reales comprendidos entre 0 y 1.

x1 = 0.28096133550664 . . .x2 = 0.36322314513405 . . .x3 = 0.95788399500865 . . .x4 = 0.18125877954618 . . .x5 = 0.41593265253527 . . .x6 = 0.02112147591501 . . .x7 = 0.72961585844858 . . .x8 = 0.63084794475253 . . .x9 = 0.04188732139432 . . .x10 = 0.30954086280989 . . .x11 = 0.48158230947473 . . .x12 = 0.30195503018324 . . .x13 = 0.04415370865832 . . .x14 = 0.82687702150388 . . .x15 = 0.52000000000000 . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Consideremos los numeros cuya representacion decimal empieza por

0.48135427536121 . . . , 0.51156427356212 . . . o 0.51999999999999 . . .

y que han sido definidos segun el procedimiento diagonal de Cantor. Discutir si pueden estar o no enesta lista.

Ejercicio 10.21Supongamos que tenemos una lista de numeros reales comprendidos entre 0 y 1 representados ensu desarrollo decimal:

x1 = 0.a11a2

1a31a

41a

51a

61a

71a

81a

91 . . .

x2 = 0.a12a

22a3

2a42a

52a

62a

72a

82a

92 . . .

x3 = 0.a13a

23a

33a4

3a53a

63a

73a

83a

93 . . .

x4 = 0.a14a

24a

34a

44a5

4a64a

74a

84a

94 . . .

x5 = 0.a15a

25a

35a

45a

55a6

5a75a

85a

95 . . .

x6 = 0.a16a

26a

36a

46a

56a

66a7

6a86a

96 . . .

x7 = 0.a17a

27a

37a

47a

57a

67a

77a8

7a97 . . .

x8 = 0.a18a

28a

38a

48a

58a

68a

78a

88a9

8 . . .x9 = 0.a1

9a29a

39a

49a

59a

69a

79a

89a

99 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

donde aji ∈ [0, 9] ∩ Z.

Definir un numero real x ∈]0, 1[ que no este en esa lista y deducir que el conjunto ]0, 1[ no esnumerable.

Ejercicio 10.22Considerar un intervalo abierto acotado ]a, b[, con a 6= b, y definir una aplicacion biyectiva de ]0, 1[en ]a, b[. Probar que todo intervalo abierto acotado no degenerado es no numerable.

Ejercicio 10.23Demostrar que no son numerables ni R ni ningun intervalo abierto no acotado. ¿Que se puede decirde su cardinal?


Curso 2004/2005 35

Tema 11Combinatoria1 Variaciones y permutacionesEjercicio 11.1Sean A y B conjuntos finitos no vacıos con cardinales |A| = m y |B| = n. Denotemos porF (A,B) el conjunto de todas las aplicaciones de A en B. Demostrar que |F (A,B)| = nm.

Ejercicio 11.2Utilizar el ejercicio anterior para deducir que si |A| = m, entonces |P(A)| = 2m.

Ejercicio 11.3¿De cuantas maneras diferentes puede rellenarse la columna de una quiniela que tiene 14 partidos?

Ejercicio 11.4Una llave se fabrica haciendo incisiones de profundidad variable en ciertas posiciones de una llavevirgen. Si hay 8 profundidades posibles, ¿cuantas posiciones se necesitan para fabricar un millon dellaves diferentes?

Ejercicio 11.5Partiendo de un alfabeto de 26 letras, ¿cuantas palabras (pronunciables o no) de 3 letras se puedenescribir?

Ejercicio 11.6¿Cuantas matrıculas diferentes pueden fabricarse si cada matrıcula de automovil consta de un numerode cuatro cifras y de una palabra de tres letras?

Ejercicio 11.7Segun el protocolo TCP-IP, cada direccion en internet viene dada por 4 numeros de 0 a 255, porejemplo, 147.156.124.111 junto con unas reglas de lo que significa cada numero ¿Cuantas direccionesdiferentes se pueden asignar?

Ejercicio 11.8Sean A y B conjuntos finitos no vacıos con cardinales |A| = m y |B| = n, donde n ≥ m.Denotemos por Fi(A,B) el conjunto de todas las aplicaciones inyectivas de A en B. Demostrarque

|Fi(A,B)| = n!(n−m)!

= n(n− 1)(n− 2) · · · (n−m + 1).

Ejercicio 11.9¿Cuantas palabras de 3 letras se pueden hacer con un alfabeto de 26 letras si la unica restriccion esque ninguna letra pueda aparecer mas de una vez?

Ejercicio 11.10Un identificador de etiqueta para un programa de ordenador consta de una letra seguida por un numerode tres cifras. Si no se permiten repeticiones, ¿cuantos identificadores distintos de etiqueta sera posibletener?

Ejercicio 11.11Tras una carrera, el podio lo componen los ganadores de las medallas de oro, plata y bronce. Si enuna carrera participan diez atletas, ¿cuantos podios posibles hay?


Tema 11: Combinatoria 36

Ejercicio 11.12¿En cuantas formas pueden asignarse ocho trabajadores a ocho tareas diferentes?

Ejercicio 11.13Sea A un conjunto finito no vacıo y denotemos por Fb(A,A) el conjunto de todas las aplicacionesbiyectivas de A en A.

(a) Comprobar que Fb(A,A) = Fi(A,A).(b) Demostrar que si |A| = n, entonces |Fb(A,A)| = n!.

Ejercicio 11.14Sea A = {a, b, c}; escribir todas las permutaciones posibles de A.

Ejercicio 11.15¿Cuantas palabras de siete letras pueden formarse con las letras del nombre EULOGIA?

2 Relaciones de equivalencia y particionesEjercicio 11.16Sean A y B dos conjuntos no vacıos y consideremos una aplicacion f : A → B. Se define lasiguiente relacion en A: los elementos a1 esta relacionado con a2 si f(a1) = f(a2); escribiremosa1Ra2. Demostrar que se cumple.

(a) aRa para todo a ∈ A.(b) Si a1Ra2, entonces a2Ra1.(c) Si a1Ra2 y a2Ra3, entonces a1Ra3.

Ejercicio 11.17Sea A el conjunto de empleados de una companıa. Se define en A la relacion: dos empleados estanrelacionados si cobran el mismo sueldo. Demostrar que es una relacion de equivalencia.

Ejercicio 11.18Discutir si las siguientes relaciones son reflexivas, simetricas o transitivas.

(a) En N la relacion definida por: mRn si m < n.(b) En N la relacion definida por: mRn si m ≤ n.(c) En N la relacion: mRn si n divide a m.(d) En las rectas de un plano la relacion: r1Rr2 si r1 es paralela a r2.(e) En las rectas de un plano la relacion: r1Rr2 si r1 es perpendicular a r2.(f) En los triangulos de un plano la relacion: T1RT2 si T1 es semejante a T2.

Ejercicio 11.19Demostrar que las siguientes relaciones son de equivalencia e intentar determinar sus clases y el conjuntocociente.

(a) La relacion en Z× N definida por: (m,n)R(m′, n′) si mn′ = nm′.(b) La relacion en Z definida por: mRn (m es congruente con n, mod 7) si 7 divide a m−n.(c) En los autobuses municipales la relacion: aRb si a hace el mismo recorrido que b.(d) En un conjunto de programas, la relacion: pRq si p realiza las mismas tareas que q.(e) En un conjunto de mis cromos la relacion: cRd si c tiene impresa la misma figura que d.

Ejercicio 11.20Sea A un conjunto finito con cardinal n ≥ 1. Demostrar que solo hay una particion de A en nclases y solo una particion en 1 clase.



Ejercicio 11.21Sea A un conjunto finito con cardinal n ≥ 1. Denotamos por S(n, k) el numero de particiones deA en k clases. Demostrar que si 2 ≤ k ≤ n− 1 se cumple

S(n, k) = S(n− 1, k − 1) + kS(n− 1, k).

(Los numeros S(n, k) se conocen como numeros de Stirling.)

Ejercicio 11.22Comprobar que

(a) S(n, 2) = 2n−1 − 1, con n ≥ 2.(b) S(n, 3) = 1

2 (3n−1 + 1)− 2n−1, con n ≥ 3.(c) S(n, 4) = 1

6 (4n−1 − 1)− 12 (3n−1 − 2n−1), con n ≥ 4.

3 CombinacionesEjercicio 11.23Sea A un conjunto finito tal que |A| = n. Demostrar:

(a) El numero de subconjuntos de A que tienen cardinal 0 es 1.(b) El numero de subconjuntos de A que tienen cardinal n es 1.(c) Si n ≥ 1, el numero de subconjuntos de A con cardinal 1 es n.

Ejercicio 11.24Sea A un conjunto finito con |A| = n y denotemos por

(n

k

)el numero de subconjuntos distintos

de A que tienen k elementos. Comprobar que(n

k

)=

(n

n− k

)0 ≤ k ≤ n.

(Los numeros(nk

)se conocen como coeficientes binomiales o como numeros combinatorios.)

Ejercicio 11.25Demostrar la identidad de Pascal: si 1 ≤ k ≤ n− 1, entonces(

n

k

)=

(n− 1k − 1

)+

(n− 1

k

).

Ejercicio 11.26Probar por induccion sobre n que si 0 ≤ k ≤ n, entonces

(n

k

)=

n!k!(n− k)!

.

Ejercicio 11.27Una delegacion de 4 estudiantes se selecciona para acudir a una convencion en representacion de sucentro. Si hay 12 estudiantes elegibles, ¿de cuantas maneras se puede escoger la delegacion?

Ejercicio 11.28Demostrar que la cantidad de numeros binarios de n cifras que contienen k ceros es

(nk

).

Ejercicio 11.29¿Cuantas diagonales tiene un polıgono regular de n lados? ¿Cual es el polıgono regular que tienetantas diagonales como lados?

Ejercicio 11.30Un granjero compra 3 vacas, 2 cerdos y 4 gallinas a un comerciante que dispone de 6 vacas, 5cerdos y 8 gallinas. ¿Cuantas selecciones puede hacer el granjero?



Ejercicio 11.31Demostrar que si 1 ≤ k ≤ n, entonces

(a)(

n

k

)=

n− k + 1k

(n

k − 1

)(b)

(n

k

)=

n

k

(n− 1k − 1

).

Ejercicio 11.32Probar, mediante un argumento combinatorio, la formula del binomio de Newton: si a, b ∈ R yn ∈ N, entonces

(a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)akbn−k.

Ejercicio 11.33Comprobar las siguientes igualdades:

(a)n∑

k=0

(n

k

)= 2n (b)

n∑k=0

(−1)k

(n

k

)= 0.

Ejercicio 11.34Probar la identidad de Vandermonde: si 0 ≤ k ≤ mın{m,n}, entonces(

n + m

k

)=

k∑j=0

(m

k − j

)(n

j

).

Ejercicio 11.35Sea A un conjunto finito cuyo cardinal es |A| = n. Demostrar que el numero de selecciones no

ordenadas de k elementos de A, permitiendo repeticiones, es(

n + k − 1k

).

Ejercicio 11.36En una emisora de radio, el ganador de un concurso elige 3 discos compactos de la lista de los 10de mayor exito. ¿De cuantas maneras puede escoger el ganador si se permiten repeticiones?

Ejercicio 11.37Fijado n ∈ N, demostrar que el numero de sucesiones de longitud k de enteros no negativos

(n1, n2, . . . , nk) que cumplen la ecuacion n1 + n2 + · · ·+ nk = n es igual a(

n + k − 1n

).

Ejercicio 11.38Sea A un conjunto finito de cardinal n. Comprobar que el numero de particiones ordenadas de A

en 2 clases de manera que la primera tenga n1 elementos y la otra n2 es(

n

n1

), que es

(n

n2

).

Ejercicio 11.39¿De cuantas maneras se pueden distribuir 9 posesiones entre 2 herederos de modo que al mas jovenle correspondan 4 y al mayor 5 ?

Ejercicio 11.40Sea A un conjunto finito tal que |A| = n. Se denota por

(n

n1, n2, . . . , nk

)el numero de particiones

de A en k clases de modo que la primera clase tenga n1 elementos, la segunda n2, . . . , y lak-esima nk. Demostrar que (

n

n1, n2, . . . , nk

)=

n!n1! n2! · · ·nk!

.



Ejercicio 11.41Calcular

(a)(

63, 2, 1

)(b)

(8

4, 2, 2, 0

)(c)

(10

5, 3, 2, 1

)(d)

(9

5, 2, 2

).

Ejercicio 11.42En una clase con 12 estudiantes se reparten 3 tipos diferentes de examenes. ¿De cuantas manerasse pueden repartir si cada examen tiene 4 copias?

Ejercicio 11.43Encontrar el numero de palabras distinguibles de 11 letras que puede formarse con las letras de lapalabra MISSISSIPPI.

Ejercicio 11.44Probar que si n = n1 + n2 + n3 y ni ≥ 1 para i = 1, 2, 3, entonces(

n

n1, n2, n3

)=

(n− 1

n1 − 1, n2, n3

)+

(n− 1

n1, n2 − 1, n3

)+

(n− 1

n1, n2, n3 − 1

).

Si alguno de los ni se anula, ¿como se puede poner(

n

n1, n2, n3

)como suma de terminos de la forma(

n− 1k1, k2, k3

)? y ¿cuantos terminos aparecen?

Ejercicio 11.45Dados a, b, c ∈ R y n ∈ N, probar que entonces

(a + b + c)n =∑ (

n

n1, n2, n3

)an1bn2cn3 ,

donde la suma se toma sobre todas las trıadas de enteros no negativos (n1, n2, n3) que cumplenn1 + n2 + n3 = n. Obtener el resultado analogo partiendo de k numeros reales a1, a2, . . . , ak

(enunciar el teorema multinomial)

Ejercicio 11.46Calcular

1k!

∑ (n

n1, n2, · · · , nk

)si la suma se toma sobre todas las sucesiones (n1, n2, . . . , nk) tales que

(a) ni ∈ N para i = 1, 2, . . . , k y n1 + n2 + · · ·+ nk = n.(b) ni ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , k y n1 + n2 + · · ·+ nk = n.

Ejercicio 11.47En este ejercicio vamos a aplicar la combinatoria a un problema de compresion de datos: ¿cuantos bitsse necesitan para especificar una lista de n enteros de [0, 2n] ∩ Z (los enteros se pueden repetir enla lista)?

(a) Si se almacenan los numeros en base 2, calcular el numero de bits necesarios para almacenarcada numero; ¿cuantos bits se requieren para los n enteros de la lista?

(b) Demostrar que hay un total de(

3n

n

)listas de n enteros en [0, 2n] y aplicar la solucion del

ejercicio 3.39 para encontrar un tipo de almacenamiento que utilice solo 3n bits.


Curso 2004/2005 40

Tema 12Relaciones, grafos y arboles1 Relaciones y digrafosEjercicio 12.1En el conjunto {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ 6} se considera la relacion de divisibilidad: nRm si n divide am.

(a) Escribir la lista de todos los pares ordenados que forman la relacion.(b) Hallar la matriz de adyacencia de la relacion.(c) Representar la relacion mediante un digrafo.

Ejercicio 12.2Hallar las matrices de adyacencia de las siguientes relaciones de A = {a, b, c, d} en B = {1, 2, 3}.

(a) {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

(b) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (c, 3)}

(c) {(a, 1), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

Ejercicio 12.3Representar las relaciones del ejercicio anterior por medio de digrafos.

Ejercicio 12.4Representar el digrafo de cada una de las relaciones binarias en el conjunto A = {a1, a2, a3, a4} cuyasmatrices de adyacencia son las siguientes:

(a)

0 1 0 11 1 0 01 0 0 10 1 0 1

(b)

1 1 0 01 1 1 01 0 1 10 0 0 1

(c)

1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 1 1 1

(d)

1 0 0 10 1 1 00 1 1 01 0 0 0

(e)

1 0 0 00 1 1 10 1 1 00 1 0 1

(f)

1 0 0 00 1 1 01 0 1 01 0 0 1

(g)

1 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 1

(h)

1 0 0 01 0 0 01 1 1 10 0 0 0

(i)

1 0 1 10 0 0 01 0 1 11 0 1 1

Indicar cuales son reflexivas, cuales simetricas y cuales transitivas.

Ejercicio 12.5Dar criterios para reconocer las propiedades de reflexividad y simetrıa de una relacion cuando vienedada

(a) Por su lista de pares ordenados.(b) Por la matriz de adyacencia.(c) Por el digrafo.¿Que se puede decir de la transitividad en los apartados (a) y (c)?


Tema 12: Relaciones, grafos y arboles 41

Ejercicio 12.6En un conjunto de personas consideremos las relaciones paterna y filial definidas por: pR1q si p espadre/madre de q y pR2q si p es hijo/a de q.

(a) ¿Que relacion es R1 ◦R1 ?(b) ¿Que relacion es R2 ◦R2 ?(c) ¿Cual es la relacion R2 ◦R1 ?(d) ¿A que es equivalente la relacion R1 ◦R2 ?

Ejercicio 12.7Sea A un conjunto finito y sea R una relacion binaria definida sobre el. Considerando la relacionR2 = R ◦R; demostrar que la relacion R es transitiva si, y solo si, R2 ⊂ R.

Ejercicio 12.8Evaluar el producto booleano de las siguientes matrices.

(a)

0 1 01 1 01 0 00 1 0

�

1 0 0 00 1 1 01 0 0 1

(b)

1 1 01 1 01 0 10 0 1

�

1 10 10 1

(c)

0 0 01 0 01 0 01 1 1

�

0 1 01 1 11 0 1

(d)

0 1 01 0 11 0 00 1 1

�

1 0 0 00 1 0 00 1 1 0

Ejercicio 12.9Sea A un conjunto finito y sea R una relacion binaria definida sobre el que tiene la matriz M = (mij)como matriz de adyacencia. Probar que la matriz de adyacencia de la relacion R2 es M�M = (m2

ij).Deducir que la relacion R es transitiva si, y solo si, m2

ij = 1 implica que mij = 1.

Ejercicio 12.10Sea R una relacion en el conjunto A. Probar que la relacion Rn viene dada por

{(a, b)|hay un camino de longitud n desde a hasta b}.

Ejercicio 12.11Demostrar que una relacion R es transitiva si, y solo si, para toda trayectoria de longitud n ≥ 2 queune dos puntos existe tambien una trayectoria de longitud 1.

Ejercicio 12.12Sea M = (mij) la matriz de adyacencia de un digrafo y denotemos por Mn = (mn

ij) la potencian-esima de M . Demostrar que mn

ij es igual al numero de caminos distintos de longitud n para irdel vertice i al vertice j.

Ejercicio 12.13Supongamos que una empresa dispone de un sistema de comunicacion por cable que enlaza seisestaciones. Cada estacion esta situada en una de las siguientes ciudades: Madrid (1), Barcelona (2),Valencia (3), Sevilla (4), Zaragoza (5) y Bilbao (6). Las conexiones son seis y enlazan los siguientes paresde estaciones: Madrid-Valencia, Madrid-Zaragoza, Madrid-Sevilla, Barcelona-Valencia, Barcelona-Zaragoza y Zaragoza-Bilbao.

(a) Escribir la matriz de adyacencia M = (m(1)ij ) y calcular M2 y M3.

(b) Encontrar, por medio de rutas que utilicen la menor cantidad de estaciones intermedias, elnumero de formas posibles que hay de enlazar las estaciones de Madrid-Barcelona, Barcelona-Sevilla,Sevilla-Bilbao y Bilbao-Valencia.



2 Introduccion a los grafos simples y arbolesEjercicio 12.14Representar el grafo simple (V,E) que viene dado por V = {A,B,C, D} y por

E = {{A,C}, {A,D}, {A,C}, {B,C}, {B,D}}.

Ejercicio 12.15Mi pareja y yo damos una fiesta en casa, invitando a 4 matrimonios amigos. Al llegar algunos de losinvitados se dan la mano para saludarse y otros no, aunque nadie da la mano a su pareja. Antes deempezar la cena pido a todos que escriban en un papel a cuantas personas han dado la mano y que melo entreguen; al mirar las respuestas compruebo que hay 9 respuestas diferentes. ¿A cuantas personasha dado la mano mi pareja?

Ejercicio 12.16Denotando por δ(v) el grado del vertice v, demostrar que la suma de los grados de todos los verticeses igual al doble del numero de aristas: ∑

v∈V

δ(v) = 2|E|.

Deducir que el numero de vertices impares es par.

Ejercicio 12.17¿Pueden corresponder las siguientes listas a los grados de todos los vertices de un grafo? En casoafirmativo, dar una representacion de un grafo de estas caracterısticas.

(a) 2, 2, 2, 3. (b) 2, 2, 4, 4, 4. (c) 1, 2, 2, 3. (d) 1, 2, 3, 4.

Ejercicio 12.18Consideremos grafos con n vertices: denotando el grafo completo por Kn, el lineal por Ln, el cıclicopor Cn y el discreto por Dn. Hallar los n tales que

(a) Ln = Dn.(b) Kn = Cn.(c) Cn = Ln.

Ejercicio 12.19Sean V = {1, 2, 3, 4} y E = {{1, 2}, {3, 4}, {1, 3}, {2, 4}}. Representar de dos maneras diferentes elgrafo (V,E). Indicar el grado de los cuatro vertices.

Ejercicio 12.20Encontrar un isomorfismo entre los grafos definidos por las siguientes listas de adyacencias.

a b c d e f g h i j

b a b c d a b c d ee c d e a h i j f gf g h i j i j f g h

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 0 1 0 2 65 0 1 2 3 4 4 3 5 77 6 8 7 6 8 9 9 9 8

Ejercicio 12.21Probar que si dos grafos son isomorfos, entonces tienen el mismo numero de vertices y el mismo numerode aristas.

Ejercicio 12.22Sean los grafos G1 y G2 y, para cada k ≥ 0, denotamos por ni(k) el numero de vertices de Gi

con grado k (i = 1, 2). Demostrar que si G1 y G2 son isomorfos, entonces n1(k) = n2(k).



Ejercicio 12.23Comprobar que hay 4 grafos no isomorfos con 3 vertices y 11 grafos no isomorfos con 4 vertices.Representarlos e indicar los que sean conexos.

Ejercicio 12.24Segun un conocido manual hay dos tipos de viajeros: los turistas y los aventureros. Los turistasquieren visitar cada lugar una sola vez y volver rapidamente al punto de partida; los aventurerosprefieren atravesar los caminos una vez en cualquier direccion y no les importa empezar y acabar elrecorrido en puntos diferentes. Supongamos que los lugares de interes especial de un territorio juntocon los caminos que los unen forman un grafo. Estudiar si pueden hallarse rutas convenientes para losdos tipos de viajeros en cada una de las siguientes islas.

(a) El grafo de los lugares de interes de Michick tiene como matriz de adyacencia0 0 1 1 00 0 1 1 01 1 0 1 11 1 1 0 10 0 1 1 0

.

(b) El grafo de los lugares de interes de Wickich es el de la matriz de adyacencia0 1 1 1 11 0 1 0 11 1 0 1 01 0 1 0 11 1 0 1 0

.

(c) La matriz de adyacencia del grafo de los lugares de interes de Mickich es0 1 0 0 11 0 1 0 00 1 0 1 00 0 1 0 11 0 0 1 0

.

Ejercicio 12.25Probar que un grafo conexo con n vertices, n ≥ 2, es euleriano si, y solo si, todo vertice tiene gradopar.

Ejercicio 12.26Aplicar el algoritmo de Fleury para construir un ciclo de Euler para el grafo que tiene la siguiente listade adyacencias.

a b c d e f g h

b a a a c e a ec c b c f g e gd d g fg e h h

Ejercicio 12.27Consideremos un grafo con n vertices, n ≥ 3. Demostrar que si el grado de todos sus vertices esmayor o igual que n/2, entonces el grafo es hamiltoniano. Dar un ejemplo de un grafo hamiltonianoen el que existan vertices con grado menor que n/2.



Ejercicio 12.28Dado G un grafo simple, sea G′ el grafo dado al que se le ha anadido una arista entre dos verticesde G. Comprobar que γ(G′) ≥ γ(G)− 1. Deducir que todo grafo simple G = (V,E) cumple

γ(G) ≥ |V | − |E|.

Ejercicio 12.29Demostrar que para un grafo simple G = (V,E) las siguientes condiciones son equivalentes.

(1) G es conexo y |E| = |V | − 1.(2) G es conexo y quitando cualquier arista queda un grafo no conexo.(3) Existe un unico camino simple entre dos vertices de G.(4) G es conexo y no contiene ciclos.

Ejercicio 12.30Encontrar el producto {1, 2, 3} × {a, b} × {+,−} construyendo el diagrama de arbol adecuado.

Ejercicio 12.31Representar el diagrama de arbol de las permutaciones de {a, b, c}.

Ejercicio 12.32Los equipos A y B juegan un torneo de baloncesto. El equipo que primero gane tres partidos, ganael torneo. Hallar todas las posibilidades en que el torneo se puede desarrollar.

Ejercicio 12.33Demostrar que la altura de un arbol m-ario con raız y ` hojas es mayor o igual que logm `.

Ejercicio 12.34Supongamos que tenemos r ≥ 3 monedas indistinguibles en su apariencia, etiquetadas como 1, 2, 3, . . . , r.Sabemos que una de las monedas es falsa (y es demasiado ligera o demasiado pesada). Demostrar quese necesitan, al menos, [log3(2r) + 1] pesadas en una balanza para descubrir que moneda es la falsay si es mas ligera o mas pesada. Disenar un procedimiento para el caso r = 3 que utilice el mınimonumero de pesadas; ¿es posible un procedimiento similar para r = 4 ?

Ejercicio 12.35Probar que cualquier algoritmo de ordenacion que se base en comparar los items, necesitara, al menos,log2 n! comparaciones para ordenar n items. Aplicar la formula de Stirling para aproximar log2 n!cuando n es grande.


Curso 2004/2005 45

Tema 13Aritmetica modularEjercicio 13.1Hallar el cociente y el resto de dividir (a) 45 entre 7. (b) 135 entre 28. (c) −143 entre 19.(d) 22 entre 48. (e) −22 entre 48. (f) 141 entre 33. (g) −87 entre 29.

Ejercicio 13.2Sean m,n ∈ N, con m > n. Demostrar que mcd (m,n) = mcd (n, r), donde r es el resto de dividirm entre n.

Ejercicio 13.3Aplicar el algoritmo de Euclides para hallar el maximo comun divisor de 437 y 952.

Ejercicio 13.4Demostrar que si d = mcd (m,n), entonces existen λ, µ ∈ Z tales que

d = λm + µn (Identidad de Bezout)

Ejercicio 13.5Determinar, en cada caso, el maximo comun divisor de m y n, y escribirlo de la forma λm + µn.(a) m = 60 y n = 100. (b) m = 45 y n = 33. (c) m = 34 y n = 58. (d) m = 77 y n = 64.

Ejercicio 13.6El reloj ahora marca las 4 de la tarde. ¿Que hora sera dentro de 111 ?

Ejercicio 13.7El dıa 6 de marzo de 2004 fue sabado. Cuando pasen 1011 dıas, ¿que dıa de la semana sera?

Ejercicio 13.8Sea k ∈ N y denotemos wn = e2nπj/k, donde n = 0, 1, . . . , k − 1. Demostrar que wnwm = wr,siendo r el resto de dividir m + n entre k.

Ejercicio 13.9Demostrar que toda congruencia es una relacion de equivalencia en Z.

Ejercicio 13.10Fijado k ∈ N consideremos m,n ∈ Z.

Probar que m ≡ n (mod k) si, y solo si, m y n dan el mismo resto al dividirlos por k.

Ejercicio 13.11Denotando por [0] a los numeros pares y por [1] a los impares, elaborar una tabla de sumar parese impares.

Ejercicio 13.12Sea k ∈ N. Si m1,m2, n1, n2 ∈ Z son tales que m1 ≡ m2 (mod k) y n1 ≡ n2 (mod k), probar quem1 + n1 ≡ m2 + n2 (mod k).

Ejercicio 13.13Calcular en Z5 las siguientes operaciones: (a) [2] + [2] (b) [2] + [3] (c) [3] + [3] (d) [4] + [2].

Ejercicio 13.14Encontrar dos elementos [m], [n] ∈ Z8 tales que [m] 6= [0], [n] 6= [0] y [m][n] = [0].


Tema 13: Aritmetica modular 46

Ejercicio 13.15Hallar los elementos invertibles en Z6, Z7, Z8 y Z9.

Ejercicio 13.16Calcular el inverso de (a) [2] en Z13 (b) [5] en Z15 (c) [7] en Z11.

Ejercicio 13.17Sea [m] ∈ Zk. Probar que [m] es invertible si, y solo si, mcd (m, k) = 1.

Ejercicio 13.18Si p es primo, demostrar que todo elemento no nulo de Zp es invertible.

Ejercicio 13.19Resolver en Z7 el sistema de ecuaciones [4]x + [3]y = [4]

x + [2]y = [4]

Ejercicio 13.20¿Se puede resolver la ecuacion x2 + [1] = [0] en Z5 ?

Ejercicio 13.21Determinar, en caso de que exista, el orden de cada elemento de Z8.

Ejercicio 13.22Demostrar que un elemento de Zk tiene orden si, y solo si, es invertible.

Ejercicio 13.23Denotando por φ la funcion multiplicativa de Euler, calcular φ(n) para 1 ≤ n ≤ 10.

Ejercicio 13.24Sea [n] invertible en Zk. Probar que el orden de [n] es un divisor de φ(k).

Ejercicio 13.25Demostrar el teorema de Euler: si [n] es invertible en Zk, entonces nφ(k) ≡ 1 (mod k).

Ejercicio 13.26Deducir el teorema de Fermat: si p es un numero primo que no divide a m, entonces se cumple quemp−1 ≡ 1 (mod p).

Ejercicio 13.27Sea n = p · q y sea t verificando t ≡ 1 (modφ(n)). Probar que xt ≡ x (modn).


Curso 2004/2005 47

Tema 14Introduccion a las ecuacionesdiferenciales ordinariasEjercicio 14.1En este problema estudiaremos la corriente que se origina en un circuito cuando se conecta una fuentecontinua. Habitualmente se dice que nuestra discusion tiene lugar en el dominio del tiempo.

Consideremos un circuito en serie formado por una fuente de tension continua de v0 voltios, quese conecta en el instante t = 0, una resistencia de R ohmios y un inductor de L henrios deinductancia.

(a) Deducir que la intensidad de corriente del circuito cumple L didt + Ri = v0.

(b) Si la corriente inicial es i0 = 0, comprobar que i(t) = v0R (1− e−Rt/L) es solucion.

(c) En general, si la corriente inicial es arbitraria i0, comprobar que la solucion es

i(t) =v0

R+ (i0 −

v0

R) e−

RtL .

Ejercicio 14.2Indicar el orden de las ecuaciones diferenciales siguientes.

(a) (sen t)(x′′)3 − x2 = et.(b) x′′′ + xt = cos t.(c) (x′)2 + x2 = 1.

Ejercicio 14.3Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de las ecuaciones diferenciales correspondientes.

(a) x(t) = sen t + cos t es solucion de x′′ + x = 0.(b) x(t) = et es solucion de x′ − x = 0.(c) x(t) = −16t2 + 14t + 30 es solucion de x′′ + 32 = 0.(d) x(t) = et2

∫ t

0e−s2

ds es solucion de x′ = 2tx + 1.(e) x(t) = 2e−t es solucion de x′′ − x = 0.(f) x(t) = et es solucion de x′′ − x = 0.

Ejercicio 14.4Calcular la solucion general de las siguientes ecuaciones y posteriormente hallar la solucion particularque verifique la condicion inicial que se indica.

(a) 2xx′ = t2 + t ( x(0) = 1 ).(b) (t2 + 4)x′ = xt ( x(0) = 2 ).(c) t2x′ = x ( x(1) = 0 ).(d) 3et tanx + (2− et) x′

cos2 x = 0 ( x(1) = π4 ).

(e) cos−1 txx′ = tan t ( x(0) = 1 ).(f) x′

√1− t2 = −t

x ( x(0) = 2 ).(g) etx′ = t+2

x ( x(0) = 1 ).

Ejercicio 14.5Encontrar la solucion general de las siguientes ecuaciones de primer orden.

(a) tx′ − 2x = t2.(b) x′ + 2tx = 2te−t2 .(c) x′ + x

t = 3t + 4.(d) x′ + tx = −t.


Tema 14: Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias 48

Ejercicio 14.6Demostrar que la solucion particular de la ecuacion x′ − 2x = e−t2 que verifica la condicion inicialx(0) = 0 viene dada por

x(t) =∫ t

0

e2(t−τ)e−τ2dτ.

1 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantesEjercicio 14.7Demostrar que, en cada apartado, las funciones son linealmente independientes.

(a) x1(t) = 1, x2(t) = t, x3(t) = t2 y x4(t) = t3.(b) x1(t) = eλt y x2(t) = eµt, donde λ 6= µ.(c) x1(t) = senλt y x2(t) = cos λt, siendo λ 6= 0.(d) x1(t) = et sen t y x2(t) = et cos t.(e) x1(t) = et, x2(t) = tet y x3(t) = e2t.

Ejercicio 14.8Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones lineales homogeneas.

(a) x′′ − 4x = 0.(b) x′′ + 3x′ + x = 0.(c) x′′ = x′ + x.(d) x′′′ + 2x′′ − x′ − 2x = 0.(e) x(4) − 5x′′ + 4x = 0.(f) x′′ + x = 0.(g) x′′ + x′ + x = 0.(h) x′′ + 6x′ + 12x = 0.(i) x′′′ − 2x′′ + 5x′ = 0.(j) x′′′ + 2x′′ + x′ = 0.(k) x′′′ − 6x′′ + 12x′ − 8x = 0.(l) x(5) + 2x′′′ + x′ = 0.(m) x(5) − 2x(4) + 2x′′′ − 4x′′ + x′ − 2x = 0.

Ejercicio 14.9Encontrar la solucion particular de los apartados (a), (b), (c), (f), (g) y (h) del ejercicio anterior queverifican las condiciones iniciales x(0) = 0 y x′(0) = 1.

Ejercicio 14.10Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones lineales no homogeneas.

(a) x′′ + 3x′ = 3.(b) x(4) − 2x′′ + x = t + 2.(c) x(4) − x′′ = t + 2.(d) x′′′ − x′′ + x′ − x = t2 + t.(e) x′′′ − x′′ = 12t2 + 6t.(f) x(4) − x′′ = t + 2.

Ejercicio 14.11Sea f : [0,+∞[→ R una funcion polinomica de grado menor o igual que 2. Probar que la solucionparticular de la ecuacion x′′ + x = f que cumple las condiciones iniciales x(0) = 0 y x′(0) = 0viene dada por

xp(t) =∫ t

0

f(τ) sen(t− τ) dτ.


Curso 2004/2005 49

Tema 15Introduccion a las ecuaciones enderivadas parciales1 Ecuacion de ondasEjercicio 15.1Aplicar el cambio de variable ξ = x − ct y η = x + ct para obtener la solucion de la ecuacion deondas ∂2u

∂t2 = c2 ∂2u∂x2 que verifica las siguientes condiciones iniciales.

(a) u(x, 0) = ex y ∂u∂t (x, 0) = senx.

(b) u(x, 0) = log(1 + x2) y ∂u∂t (x, 0) = 4 + x.

Ejercicio 15.2Hallar la solucion de los siguientes problemas no homogeneos.

(a) ∂2u∂t2 −

∂2u∂x2 = x2, u(x, 0) = 0 y ∂u

∂t (x, 0) = 0.(b) ∂2u

∂t2 −∂2u∂x2 = x2, u(x, 0) = x y ∂u

∂t (x, 0) = 0.

Ejercicio 15.3Resolver los siguientes problemas, considerando primero soluciones con las variables separadas: u(x, t) =X(x)T (t) y utilizando despues el desarrollo en serie de Fourier de una funcion impar y 2L-periodica.

(a) ∂2u∂t2 −

∂2u∂x2 = 0, con condiciones iniciales u(x, 0) = sen

(πx/L

)y ∂u

∂t (x, 0) = 0, y concondiciones de frontera u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0.

(b) ∂2u∂t2 −

∂2u∂x2 = 0, con condiciones iniciales u(x, 0) = x(L−x) y ∂u

∂t (x, 0) = 0, y con condicionesde frontera u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0.

(c) ∂2u∂t2 −

∂2u∂x2 = x, con condiciones iniciales u(x, 0) = 0 y ∂u

∂t (x, 0) = 0, y con condiciones defrontera u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0.

Ejercicio 15.4Aplicar la transformada de Fourier en la variable x para convertir la ecuacion de ondas en unaecuacion diferencial ordinaria y deducir la solucion generica de la ecuacion de ondas.


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FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA´ INGENIERÍA (ITT … · dt +Ri = v(t). Fundamentos Matemáticos de la Ingenier´ıa (ITT Telemática) Tema 1: Nu´meros complejos 2 (b) Si la corriente