fundicion de aluminio.pdf

8/10/2019 fundicion de aluminio.pdf

1/110

Estudio de la conveccin trmica en un proceso de fundicin de Aluminio por el mtodo de los elementos finitos Pg. 1

Resumen

Este proyecto se centra en los procesos de fundicin industrial. Se pretende analizarherramientas que sean tiles para optimizar los sistemas de este tipo de manufactura demetales. Una de las herramientas ms importantes para conseguir un alto rendimiento de losprocesos de fundicin es la simulacin numrica de los mismos. Para obtener estassimulaciones es preciso generar una modelizacin matemtica adecuada que sea capaz deresolver todas las variables y funciones que entran en juego en un proceso de fundicin. Elmodelo matemtico escogido es el mtodo de los elementos finitos del cual se har unaintroduccin. En el proyecto se definirn las ecuaciones y los parmetros necesarios paraque el modelo matemtico pueda ser resuelto, centrndose en la evolucin trmica delmaterial fundido. La evolucin trmica abarcar tanto la solidificacin como el enfriamientode la colada en el molde.

El siguiente paso para la simulacin de procesos de fundicin industriales es la resolucinprctica de las ecuaciones anteriormente mencionadas. Cabe destacar que en el proyecto seusa el programa Vulcan 7.5, como simulador de procesos. Este cdigo est diseado para lasimulacin de procesos de llenado y solidificacin de piezas metlicas. En el presentetrabajo se hace una breve exposicin de la funcionalidad de tal programa y del potencial delas simulaciones.

Mediante el uso del programa de simulacin Vulcan 7.5, se muestra un estudio basado enpiezas de aluminio AlSi7Mg, donde se proponen diferentes problemas de fundicin. Elobjetivo es analizar tales problemas para poder comparar la transmisin de calor entre piezay molde con el proceso de fundicin. Gracias a esta comparacin se ha visto que lainfluencia de los coeficientes de conduccin y conveccin que participan en la transmisin decalor, se ven restringidos por el material del molde y su capacidad de evacuar el calor haciael entorno.

Finalmente, se analizar cual es la mejor opcin para calcular los coeficientes de conveccindurante el cambio de fase de lquido a slido. La evaluacin de estos resultados hace pensarque la mejor forma de representar la variacin de los coeficientes de conveccin esconsiderando una dependencia entre el coeficiente y la funcin de la fraccin lquida, ya queesta es mucho ms representativa del estado de las fases de la pieza, que la otra variable en juego, la temperatura media.


2/110

Pg. 2 Memoria


3/110


Sumario

RESUMEN ___________________________________________________1

SUMARIO ____________________________________________________3

1. INTRODUCCIN __________________________________________7

2. SIMULACIN NUMRICA DE PROCESOS METALRGICOS ______9 2.1. Modelizacin matemtica ................................................................................ 9 2.2. Simulacin de los procesos de fundicin....................................................... 10

3. MODELIZACIN DE LOS PROCESOS DE FUNDICIN __________15 3.1.1. Definicin de la geometra...................................................................................15 3.1.2. Mallado de la geometra......................................................................................15 3.1.3. Definiciones de los parmetros del material y del proceso................................16 3.1.4. Simulacin ...........................................................................................................16 3.1.5. Evaluacin de los resultados...............................................................................16

3.2. Modelizacin de los procesos de fundicin con el programa Vulcan 7.5......17 3.2.1. Partes del programa............................................................................................17

3.2.2. Definicin de la geometra...................................................................................18 3.2.3. Mallado de la geometra......................................................................................20 3.2.4. Definiciones de los parmetros del material y del proceso................................22 3.2.5. Simulacin del proceso .......................................................................................24 3.2.6. Evaluacin de los resultados...............................................................................24

4. DEFINICIN DEL PROBLEMA TRMICO _____________________27 4.1. Introduccin a las tcnicas numricas...........................................................27

4.1.1. Tcnicas de diferencias finitas Standard (SFD) .................................................27 4.1.2. Formulacin de control de volumen....................................................................28 4.1.3. Tcnicas de diferencias finitas generales (GFD)................................................28

4.2. MEF Ecuacin de gobierno.........................................................................29 4.2.1. La ley de Fourier..................................................................................................29 4.2.2. Obtencin de la ecuacin de gobierno ...............................................................32

4.3. Propiedades termofsicas .............................................................................. 33 4.4. Anlisis del problema del cambio de fase .....................................................34

4.4.1. Introduccin al cambio de fase ...........................................................................34 4.4.2. Liberacin del calor latente .................................................................................35


4/110

Pg. 4 Memoria

4.4.2.1. Fraccin lquida............................................................................................ 35

4.4.2.2. Funcin de fraccin lquida ..........................................................................36

4.4.2.3. Funcin de calor latente............................................................................... 36

4.4.2.4. Calor latente en la ecuacin gobernante..................................................... 37 4.4.3. Forma entlpica de la ecuacin gobernante...................................................... 38

4.4.3.1. Representacin de la entalpa con la temperatura .....................................39 4.5. Forma dbil de la ecuacin diferencial .......................................................... 40

4.5.1. Formulacin del dominio y contorno................................................................... 40 4.5.2. Desarrollo de la forma dbil ................................................................................ 43 4.5.3. Integracin en el tiempo...................................................................................... 47

4.6. Condiciones de contorno............................................................................... 49 4.6.1. Variacin de h con ............................................................................................ 52 4.6.2. Variacin de h con la fraccin lquida global ...................................................... 54

5. ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE TRANSMISIN __________57 5.1. Ejemplo propuesto......................................................................................... 57 5.2. Procedimiento de adquisicin de datos......................................................... 59 5.3. Simulacin de los ejemplos ........................................................................... 60

5.3.1. Resultados de la simulacin trmica ..................................................................60 5.3.2. Resultados de la simulacin de solidificacin .................................................... 63

5.3.3. Problema primero: Conduccin variable en un molde de acero........................ 65 5.3.3.1. Grfico temperatura tiempo......................................................................66

5.3.3.2. Grfico fraccin slida tiempo................................................................... 68

5.3.3.3. Grfico h tiempo........................................................................................ 69 5.3.4. Problema segundo: Conduccin variable en molde de arena........................... 71

5.3.4.1. Grfico temperatura tiempo......................................................................71


5.3.4.3. Grfico h tiempo........................................................................................ 74 5.3.5. Problema tercero: Conveccin variable en molde de acero..............................75



5.3.5.3. Grfico h tiempo........................................................................................ 77 5.3.6. Problema cuarto: Conveccin variable en molde de arena...............................78



5/110


5.3.6.2. Grfico fraccin slida tiempo...................................................................79

5.3.6.3. Grfico h tiempo ........................................................................................80

6. ANLISIS DEL CLCULO DE LOS COEFICIENTES. ____________83 6.1. Ejemplo propuesto ......................................................................................... 83

6.1.1. Problema primero: Conduccin fija.....................................................................83 6.1.2. Problema segundo: Conveccin fija ...................................................................85

CONCLUSIONES _____________________________________________87 Conclusiones relativas al estudio de los coeficientes de transmisin de calor....... 87 Conclusiones relativas al clculo de los coeficientes..............................................88

REFERENCIAS_______________________________________________89

Referencias bibliogrficas........................................................................................89 Bibliografa complementaria .................................................................................... 89

A PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ESTUDIADOS ___________93 A.1 AlSi7Mg..........................................................................................................93 A.2 Acero X40CrMoV5.........................................................................................95 A.3 Arena .............................................................................................................. 96

B FUNCIONES DE FORMA ___________________________________99 B.1 Funcin de forma del elemento unidimensional ............................................ 99 B.2 Funciones de forma de elementos tetradricos .......................................... 102

C INTEGRACIN NUMRICA ________________________________107 C.1 Principios de la integracin numrica..........................................................107 C.2 Integracin en tetraedros:............................................................................ 109


6/110

Pg. 6 Memoria


7/110


1. Introduccin

El presente proyecto pretende ser un estudio general de una de las herramientas msusadas hoy da en las simulaciones numricas, el mtodo de los elementos finitos. Lasimulacin numrica ha sido un factor decisivo en los logros cientficos actuales. El presenteproyecto se puede considerar un ejemplo de cmo se acta en el uso de tal herramienta.

El caso que se aborda en el proyecto es un proceso de fundicin de aluminio. Se pretendeusar las simulaciones mediante el mtodo de los elementos finitos para poder estudiaralgunas caractersticas que influyen en el resultado final de tales procesos.

Para ofrecer una clara idea de cual es el funcionamiento de las tcnicas de simulacin, se

abordarn paso a paso los conceptos de ejecucin del procedimiento. As se puede llevar acabo una simulacin de un proceso de fundicin. Adems para generar las simulaciones seha incluido la explicacin de un programa de simulacin de procesos de fundicinmetalrgica.

Con el programa se realizarn diversas simulaciones. Estas servirn para ver como influyenen el proceso final de fundicin los cambios en los flujos de calor dentro de los sistemas defundicin. A partir de los resultados extrados de las simulaciones, se pretende sacarconclusiones que puedan servir de referencia en procesos reales dentro de la industria

metalrgica.Mediante un anlisis similar, tambin se pretende estudiar dos clases de formulaciones queresuelvan las transferencias de los flujos de calor en el sistema. Estas formulaciones son unareferencia para el clculo de estos tipos de problemas. Por lo que se puede considerar comoun patrn para posteriores cdigos de resolucin o mejorar los existentes.

Finalmente decir que este trabajo est muy relacionado con los proyectos que optimizansistemas de fundicin en la industria. El presente proyecto se puede considerar el pasoprevio al diseo de moldes y piezas que permitan mejorar las calidades de los acabados y

los sistemas de produccin.


8/110

Pg. 8 Memoria


9/110


2. Simulacin numrica de procesos metalrgicos

2.1. Modelizacin matemtica

La observacin cientfica de un fenmeno requiere un anlisis cuidadoso de suscaractersticas, de las circunstancias que lo producen, y de los factores que lo afectan. En labsqueda de teoras precisas, capaces de explicar el nmero mximo de resultadosexperimentales mediante principios generalistas, permite, usando elaboracionesmatemticas, entender, y en algunas condiciones, predecir la evolucin de variosfenmenos.

Las correlaciones entre entidades de diferente tipo fsico, son descritas normalmentemediante aproximaciones matemticas complejas, tales como las que permiten llegar aresultados significativos mediante simplificaciones o tcnicas computacionales particulares.

La precisin de un modelo matemtico adoptado para describir un fenmeno fsico siempreest relacionado con la cantidad de simplificaciones introducidas, al igual que su similitudcon la informacin experimental.

El estudio de un proceso metalrgico, como el de fundicin, mediante modelos matemticossigue tres pasos:

- identificar el fenmeno en que el proceso se basa;- representar matemticamente el fenmeno de acuerdo con los parmetros fsicos

que se pueden observar (sistemas de ecuaciones diferenciales);- solucionar las ecuaciones representadas.

Este paso final se puede resolver mediante dos maneras diferentes.

1) Se busca una solucin analtica, a menudo mediante la simplificacin de lasecuaciones diferenciales originales. Como ejemplo, el estudio se puede limitar aalgunos casos particulares, evitando el uso de una o dos coordenadas espaciales odefiniendo a priori la dependencia de algunos parmetros con la temperatura o hastaconsiderndolos como constantes. Cada una de estas simplificaciones (y de las otrasque pueden ser hechas) estn relacionadas, ms o menos explcitamente a algunashiptesis. El significado real de tales hiptesis siempre se tiene que evaluar, para


10/110

Pg. 10 Memoria

entender lo aproximado que est el modelo creciente a la realidad. Tambin sedebe recordar que la solucin de las ecuaciones diferenciales requiere la definicinde las condiciones de comienzo y de frontera; tambin estn relacionadas con

algunas hiptesis y por tanto deben ser evaluadas crticamente.

2) Cuando las soluciones analticas son demasiado complejas o requierensimplificaciones excesivas se deben buscar soluciones numricas. Se deben emplearmtodos numricos (diferencias finitas, elementos finitos, control de volmenes...),que, mediante la discretizacin del problema, permiten su solucin resolviendosistemas de ecuaciones con un alto nmero de incgnitas. Tales sistemas puedenser solucionados slo mediante computadores muy potentes. Con estos mtodostambin se pueden producir algunas simplificaciones (con las mismasconsideraciones que con los modelos analticos), principalmente encarados a reducirlos tiempos de procesado y los costes relacionados.

2.2. Simulacin de los procesos de fundicin.

Des de un punto de vista terico, un proceso de fundicin se puede considerar como la suma

de varios pasos :

- el llenado de una cavidad mediante una aleacin fundida, descrita por las leyes fluidodinmicas (ecuacin de Navier-Stokes);

- la solidificacin y el enfriamiento de la aleacin, segn las leyes de transmisin decalor (ecuacin de Fourier);

- las (posibles) transformaciones de estado slido, relacionadas con termodinmica ycintica, como est descrito en la metalurgia fsica;

- las tensiones y deformaciones en que la pieza se ve sometida debido a los pasosanteriores (ecuacin de la conservacin del momento).

Las caractersticas finales (geomtricas, fsicas, mecnicas, microestructurales) de la piezafundida son el resultado directo de los diferentes pasos del proceso; mediante el control deestos pasos, las caractersticas mencionadas anteriormente pueden ser optimizadas. A sumanera, cada uno de los pasos mencionados est asociado a fenmenos de transporte demasa, energa y momento. Las ecuaciones diferenciales que describen estos fenmenosson perfectamente conocidas y permiten la evaluacin de los campos de temperatura,


11/110


velocidad, presin o desplazamiento como funciones del tiempo (t) y el espacio (x,y,z). Lasolucin de Navier-Stokes (dinmica de fluidos) y Fourier (transferencia de calor) se vuelvems y ms complicada a medida que la complejidad de la geometra crece (de 1D, 2D, 3D) yel nivel de precisin aumenta.

En principio, se puede decir que los pasos principales de un proceso de fundicin puedenser descritos mediante aproximaciones matemticas de complejidad variable. La fiabilidad deeste anlisis fsico-matemtico est relacionada significativamente con la precisin adoptadapara definir las condiciones iniciales y de frontera, y sobre el conocimiento de laspropiedades de los materiales involucrados.

Para poder definir las condiciones de frontera y las condiciones iniciales del proceso, debende tenerse en cuenta parmetros fundamentales como la temperatura de fundicin, el

tamao del fundido, la configuracin del molde (entradas, bebederos, ncleos, etc.) o lafluidez del metal fundido.

En lo que refiere a las propiedades de los materiales, se debe de estimar o saber:

- para la aleacin: las temperaturas de lquidus y slidus, y, como funcin de latemperatura, viscosidad, densidad, conductividad trmica y calor especfico;

- para el molde (y los ncleos): propiedades trmicas y, eventualmente, las

caractersticas de enfriamiento y/o refrigeracin;- los coeficientes de transferencia de calor entre el molde y la aleacin.

Prcticamente, la complejidad geomtrica de las piezas fundidas y el nmero de variablesinvolucradas hacen imposible la descripcin analtica del llenado del molde y de lasolidificacin y enfriamiento de la aleacin. Este problema se supera mediante ladisponibilidad de computadoras muy potentes, que pueden resolver, mediante mtodosnumricos adecuados, sistemas con millones de ecuaciones diferenciales. Estaaproximacin se basa en modelos obtenidos gracias a la representacin discreta.(Volmenes de control, elementos finitos, diferencias finitas y otros...).

El dominio a analizar se divide consecuentemente, de acuerdo con las normas de quedepende el mtodo adoptado, en un nmero muy alto de volmenes (la creacin de la malla)que tienen una geometra muy simplificada (Ej.: cbica o tetradrica). Las condiciones fijadaspor las ecuaciones integrales-diferenciales que controlan el problema (en este caso lasanteriormente nombradas ecuaciones de dinmica de fluidos y de transferencia de calor) seimponen, con referencia a un nmero finito de nmeros relacionados con tal subdivisin.


12/110

Pg. 12 Memoria

La precisin del resultado depende de los algoritmos empleados y de lo fina (tamao delelemento) que sea la malla (por tanto, del nmero de ecuaciones a procesar). Mediante lacomputacin, que tambin puede ser muy pesada, se pueden conseguir resultadosrealmente interesantes.

De hecho es posible de calcular los campos de velocidades, presin y temperaturas delsistema de pieza ms molde, y, en consecuencia, saber, punto por punto y instante ainstante, el comportamiento del llenado, solidificacin y enfriamiento del material fundido.

La precisin y la fiabilidad del resultado del anlisis estn bastante relacionados con laexactitud en definir las ya mencionadas condiciones de contorno (temperatura de molde,temperatura y tamao de la pieza, configuracin del molde, bebederos, viscosidad del lquidofundido, etc.) y con el conocimiento que se tenga de los materiales involucrados en el

proceso.

Por tanto, es obvio que, una vez monitorizado el llenado del molde, la solidificacin y elenfriamiento, hay toda la informacin necesaria para evaluar la calidad metalrgica de lapieza fundida. De hecho, por una parte, el estudio de la dinmica de fluidos del sistemapermite la deteccin de defectos inducidos por un mal llenado del molde; por otra partetambin hay la posibilidad de correlacionar los llamados parmetros de solidificacin, conlas caractersticas microestructurales y el contenido de microporosidades de la pieza fundida.Entre esos parmetros se debe considerar:

- el tiempo de solidificacin, que es til para discriminar puntos calientes relacionadoscon las caractersticas de las estructuras dendrticas;

- la velocidad de enfriamiento, que es un indicador de la velocidad de solidificacin ytamao final de granos.

La posibilidad de visualizar las regiones ms crticas del fundido da una informacin

fundamental para la validacin y el uso del fundido mismo. Este es el factor clave para elxito de los cdigos de simulacin. Significa que los cdigos numricos previamentedescritos se pueden usar en:

- diagnosis, para discriminar y entender la causa de los defectos en los fundido, ypoder sugerir posibles correcciones;

- prediccin, para una evaluacin a priori de las caractersticas y potencial de unproceso de fundicin, dando un soporte decisivo al diseo de los sistemas defundicin, al igual que el proceso mismo, acelerando la etapa de puesta a punto.


13/110


Des de los puntos de vista tecnolgicos y cientficos, la difusin de los cdigoscomputacionales dedicados a la simulacin de los procesos de fundicin son continuos.

En el Metals Handbook, publicado en 1988, un volumen dedicado a la fundicin, se discutenestos tpicos y se identifican ciertos valores como crticos en el desarrollo del proceso desimulacin:

- la bajada del coste de una computadora;- la bajada del coste del software;- la mejora de los rendimientos, la fiabilidad metalrgica y la aproximacin a un uso

fcil del software;- la bajada en los tiempos de trabajo para establecer un modelo y su subsiguiente

simulacin.

La tendencia est claramente dibujada: el uso de cdigos para simular procesos de fundicin jugar un papel cada vez mayor. Por tanto, se vuelve fundamental para las fundiciones usaresta herramienta como motor de mejora y competitividad.


14/110

Pg. 14 Memoria


15/110


3. Modelizacin de los procesos de fundicin

Antes de comenzar a analizar los procesos al detalle, se va a hacer una descripcin generalde cmo es la modelizacin de los procesos de fundicin. De esta manera se har ms fcilentender las ideas bsicas y al mismo tiempo ayudaran a mejorar la comprensin de losconceptos que se mostrarn en los siguientes apartados.

El procedimiento se puede descomponer en los siguientes pasos: definicin geomtrica,mallado geomtrico, definicin de los parmetros del material y del proceso, simulacin osolucin de las ecuaciones de gobierno y finalmente, evaluacin de los resultados.

Seguidamente a este apartado se va a explicar el cdigo del programa que se ha usado para

generar las simulaciones que aborda este texto. Por tanto, se va a seguir la misma pauta enlos pasos de explicacin del cdigo, para as poder dar un texto ms ordenado.

3.1.1. Definicin de la geometra

El primer paso en el proceso de modelizacin es definir la geometra del sistema defundicin. Los programas de simulacin de procesos de fundiciones modernos, tienen lacapacidad de importar dibujos de CAD de otros programas que estn especializados paraello. Como se ver en el siguiente apartado el programa que se usa en este proyecto, ofrecela posibilidad de generar el mismo esta tarea. Es muy importante que durante el modeladode la geometra se incluya todos los elementos del sistema de fundido que puedan tener unainfluencia significativa en el llenado y la solidificacin del material. Como por ejemplo loscanales de refrigeracin, los canales de entrada del fundido...

3.1.2. Mallado de la geometra

Despus de la definicin de la geometra del sistema de fundido, esta debe ser dividida enun nmero discreto de elementos volumtricos segmentados para los subsiguientesclculos. Los nodos de la malla son los puntos de la geometra donde las ecuaciones

resuelven los valores de las variables. Las lneas que conectan los nodos entre si, son lasvas que usan para interpolar las variables principales en funcin de sus valores en losnodos.

Un punto crtico a tener en cuenta es lo fina o basta que puede ser la malla. Estacaracterstica es bsica para conseguir la precisin deseada. Cuando ms fina es la mallams precisin se obtiene. Aunque se debe de tener en cuenta que la mejora de la precisindecrece a medida que la malla es ms fina. Y tambin se debe comentar que el tiempo declculo aumenta a medida que la malla se hace ms fina, ya que existen ms elementos


16/110

Pg. 16 Memoria

para calcular. En general se puede decir que para encontrar la simulacin ptima, hay quehacer un balance entre la precisin buscada y el tiempo de clculo que debe ser sacrificado.

3.1.3. Definiciones de los parmetros del material y del proceso

El siguiente paso de la modelizacin del sistema, es definir los parmetros del material y delproceso, que son necesarios para resolver las ecuaciones gobernantes del proceso dellenado y solidificacin del molde. En primer lugar, se definen las propiedades termofsicasde los diversos materiales que estn relacionados con el sistema de fundicin. Adems, lascondiciones iniciales para las incgnitas de las ecuaciones tambin deben de serespecificadas (Ej.: las temperaturas iniciales).

Tambin se tienen que determinar las condiciones de contorno de las incgnitas, como lo es

el coeficiente de transferencia de calor entre los diferentes materiales del sistema. Toda lainformacin relevante para el proceso debe de tenerse en cuenta, o sea, introducirla dentrode las bases de datos del programa.

Es muy importante que se valoren todos los datos que afectan a la simulacin de lasolidificacin o del llenado del molde. Por ejemplo, todas las veces que los canales deenfriamiento estn activos o inactivos, el momento en que el fundido se extrae del molde, obien, el tipo de recubrimiento que hay en la cavidad del molde. Todo puede afectar albalance trmico del molde o del fundido. De hecho, los resultados de la simulacin son tanbuenos como los son los parmetros introducidos, tanto de los materiales o del proceso. Poresta razn, es muy importante usar los parmetros termofsicos ms precisos posibles yespecificar el proceso con el mximo detalle, para as poder obtener el mejor beneficio de lasimulacin.

3.1.4. Simulacin

En este paso, las ecuaciones gobernantes del proceso de llenado o de solidificacin de lafundicin se solucionan sobre una malla computacional, usando las definiciones del materialy de los parmetros del proceso. Los resultados se guardan en distintos momentos para la

evaluacin del proceso de solidificacin o del llenado.

3.1.5. Evaluacin de los resultados

Aunque este tema es sumamente interesante queda fuera de los propsitos de esteproyecto. Aun as se harn algunos comentarios al respecto. Los primeros resultados que seobtienen de la simulacin de un llenado o de una solidificacin, son los valores de lasvariables primitivas (temperaturas, presiones, velocidades) que se encuentran en los nodosde la malla creada. Combinando los valores de las variables de maneras que tengan un


17/110


sentido fsico, es posible desarrollar las llamadas funciones de criterio que indican donde sepueden esperar problemas en el desarrollo del proceso de fundicin.

En una evolucin de los resultados de una solidificacin (caso que concierne a esteproyecto), interesa investigar el patrn de solidificacin del fundido (Ej.: el tiempo en que lasdiferentes reas tardan en solidificarse) para as poder ver si la contraccin en lasolidificacin puede ser adecuadamente alimentada. Tambin intentar evaluar las reasdonde pueda haber porosidad o evaluar la estabilidad de la cavidad del molde durante elproceso.

Los resultados de la simulacin de los procesos de fundicin dan lugar a la investigacin demuchas reas de las piezas y de su evolucin, para poder mejorar los procesos reales.

3.2. Modelizacin de los procesos de fundicin con elprograma Vulcan 7.5

El programa Vulcan ver: 7.5. un programa desarrollado por la empresa Quantech ATZ con lacolaboracin del CIMNE (centro internacional de mtodos numricos en ingeniera). Elprograma resulta una herramienta muy potente como simulador de procesos de fundicin.Este es capaz de generar simulaciones de llenado y de solidificacin de los procesos defundicin, as como abordar el problema termomecnico. En este proyecto se utilizar la

posibilidad de simular la solidificacin para, posteriormente, hacer ciertas evaluaciones.

3.2.1. Partes del programa

Se puede decir que el programa se divide en tres partes bsicas.- El preprocessor - El solver - El postprocessor

El preprocessor es la parte inicial del programa, est destinada a adquirir o dibujar lageometra de los materiales y definir todas las propiedades termofsicas de estos, al igualque las condiciones de contorno o las condiciones iniciales. Tambin puede generar la mallade la geometra.

El solver , es el cdigo del programa de clculo, este resuelve las ecuaciones de gobiernocon las condiciones y propiedades que ha adquirido del preprocessor . Tambin usa la mallaque le ha indicado el postprocessor .


18/110

Pg. 18 Memoria

El postprocessor es la parte que adquiere los resultados y la malla del solver . Esta partegenera el entorno grfico necesario para poder apreciar los cambios de temperatura, desolidificacin, o llenado del molde para poder ser evaluados. Tambin permite analizar todoslos puntos de la geometra de la malla, para que el ingeniero as pueda realizar los estudiosnecesarios de regiones concretas de la pieza.

En la figura (3.1) se muestra un esquema explicativo de las partes en que se puede dividir elprograma y sus funciones.

3.2.2. Definicin de la geometra Antes de estudiar los diversos campos del programa, se debe hacer una breve descripcindel interfaz del cdigo con el usuario.

La figura (3.2) muestra la pantalla de trabajo del programa, en ella se pueden ver diversasbarras de herramientas. En la barra situada a la izquierda de la pantalla hay las opciones devisualizacin y opciones de dibujo.

PREPROCESO

GEOMETRA,

PROPIEDADESDE LOS

MATERIALES,

CONDICIONESINICIALES Y DE

CONTORNO,

SOLVER POSTPROCESOMALLA Y

RESULTADOS

Fig. (3.1): Esquema de las partes del programa.


19/110


La barra de tareas superior, que se muestra mediante iconos, permite acceder a lasopciones de los archivos, tambin permite acceder al postproceso, al capturador deimgenes, impresin o a opciones de edicin. Por encima de esta hay la barra de tareas quepermite acceder a todas las opciones del programa, tal como se muestra en la figura (4.2). Elprograma permite generar geometras mediante CAD, pero este tambin tiene la opcin deimportar dibujos con las extensiones IGS o DXF. Figura (3.3).

Uno de los atributos que tiene el programa, es que la geometra se construye siguiendo unmodo jerrquico. Esto significa que una entidad de un nivel superior (dimensin) seconstruye con entidades de nivel inferior, entonces dos entidades adyacentes comparten lamisma entidad de nivel inferior.

Fig. (3.2): Pantalla de trabajo de Vulcan 7.5.


20/110

Pg. 20 Memoria

El programa tiene un amplio abanico defunciones que se pueden usar para eldibujo, como por ejemplo el generador decoordenadas o de lneas, los elementosbsicos para poder dibujar en CAD. Figura(3.4).

Tambin permite generar elementos de 3D.Puede generar formas sencillaspredeterminadas como complejos dibujosgeomtricos. Ver figura (3.5).

3.2.3. Mallado de la geometraEl sistema de mallado del programa permite generar mallas de diferentes tamaos, de estamanera se puede variar la finura de la malla y as conseguir la medida ptima para unproceso concreto. En la figura (3.6) se muestra una pieza generada por Vulcan y querepresenta un enganche.

Fig. (3.3): Men de importacin de archivos.

Fig. (3.4): Ventana de coordenadas.

Fig. (3.5): Ejemplo de pieza generadapor el preprocessor .


21/110


En la siguiente imagen se ve como se ha generado la malla. En este caso la malla generadadel elemento es una malla compuesta por elementos tetradricos. Para ser exactos se hangenerado elementos de 15 puntos de grosor. Un nmero de 5174 tetraedros y de 1687nodos.

Otra de las opciones interesantes que ofrece el programa es la posibilidad de que la malla seajuste a la geometra. Cuando las geometras son muy complejas, a veces un tamaoconcreto del elemento no puede caber en todos los rincones de la pieza. El usuario del

programa puede escoger mediante la opcin cordal error un mnimo y un mximo de grosordel elemento. Esta opcin puede adaptar los tamaos a la geometra de la pieza.

Fig. (3.6): Enganchegenerado por Vulcan.

Fig. (3.7): Malla delenganche.


22/110

Pg. 22 Memoria

El usuario tambin puede definir el tamao y la forma de los elementos en entidadesconcretas. Por ejemplo puede escoger un tamao de los elementos en las lneas, perocambiar el tamao en las superficies. Y de la misma manera con los puntos y los volmenes.

3.2.4. Definiciones de los parmetros del material y del proceso

Para que se puedan resolver las ecuaciones siguiendo la geometra de la malla, esnecesario introducir los parmetros de los materiales y del proceso, ya explicadas en

apartados anteriores. El programa dispone de una opcin que en la barra de tareas principalque permite seguir los pasos de la definicin del problema de una forma simple y fcil. En labarra de herramientas principal hay una opcin llamada process. Est opcin abre un menrpido que indica en cada momento el siguiente paso que se debe dar, antes siempre debeestar definida la geometra. El orden que sigue es el que se establecido con anterioridad,procesar la malla, definir los parmetros del proceso y describir los materiales y suscondiciones de contorno. Figura (3.10) El men de los datos del proceso se encuentra en elsubmen de data /problemdata.

Fig. (3.8): Men demallado.

Fig. (3.9): Ventana de los datos generales de la simulacin.


23/110


En el aparece una ventana que permite escoger el tipo de anlisis, la estrategia desolidificacin, etc. Tal como se ve en la figura (3.9).

Una vez seleccionados los parmetros del proceso, se debe repetir el mismo proceso paralas propiedades de los materiales y sus condiciones de contorno.

El programa divide los materiales que entran en el sistema en cuatro grupos. El molde, elfundido, el lquido refrigerante y el ncleo. Normalmente se usa sistemas de molde-fundido,pero para sistemas ms completos se tienen las herramientas para poder abordarlos. Figura(3.11).

Fig. (3.10): Men rpidoque permite hacer todo elproceso.

Fig. (3.11): Tipos de materialesque pueden ser seleccionados yvariar sus propiedades.


24/110

Pg. 24 Memoria

La ventana tiene las opciones para poder cambiar los materiales y definir las propiedades deestos. Al mismo tiempo dispone de dos pestaas donde se pueden cambiar las condicionesde contorno de los materiales como el HTC (propiedad de la que se hablar en apartadosposteriores). Cabe destacar que la ventana del fundido est mucho ms completa, introducepropiedades de fluido y propiedades respecto al cambio de fase. Sin duda, debido a lasimulacin de llenado, ya que se necesitan muchos ms parmetros de los materiales. Eneste apartado tambin se definen condiciones iniciales como la temperatura. Figura (3.11).

3.2.5. Simulacin del proceso

Una vez introducidos y definidos los datos de la malla, proceso y materiales, se guarda elarchivo y se pasa a simularlo. Cuando se resuelven las ecuaciones de un proceso, elprograma permite ver como va la evolucin de los clculos a medida que avanza el tiempo.

Tambin permite parar los clculos en un momento dado, y hasta permite un clculo remotodesde otro terminal.

3.2.6. Evaluacin de los resultados

Para poder realizar una evaluacin de los resultados se debe pasar a la parte delpostproceso. El postproceso pasa a la pantalla los resultados obtenidos por el solver delprograma. Los resultados que pueden ser visualizados se pueden clasificar en cincocategoras:

- Vista de los resultados escalares: muestra valores de mnimos y mximos,visualizaciones del contorno, visualizaciones de las texturas y de las lneas, muestralas iso-superficies. Adems estas posibilidades se pueden configurar a gusto delusuario.

Fig.(3.12): Ventana de propiedades del molde.


25/110


- Vista de resultados vectoriales: deformacin de la malla, visualizacin de vectores,lneas de corriente (trazados de las partculas)

- Diagramas lineales: diagramas escalares de lneas y diagramas vectoriales.

- Animacin de los resultados de las visualizaciones.

Las visualizaciones de los contornos se realizan asignando colores diferentes para cadavalor, de manera que entre un mnimo y un mximos dados exista toda una gama decolores, tal como se ve en la figura (3.13).

Las animaciones permiten ver la evolucin de las variables que estn bajo estudio.

El programa permite seleccionar planos concretos de las piezas, y ver su transformacingradual. Al igual que dentro de los planos seleccionar puntos concretos del mallado y ver sudesarrollo mediante grficos.

Otro complemento que sirve de gran ayuda, es la oportunidad de recrear iso-superficies. Lasiso-superficies se caracterizan porque sealan regiones que comprenden un valor concretode la variable en estudio. Adems el programa incluye leyendas que permiten que las

Fig. (3.13): Expresin de las temperaturasmediante una escala de colores en elcontorno de una pieza.


26/110

Pg. 26 Memoria

visualizaciones de los contornos, de las iso-superficies o de los vectores con colores puedanuna escala de colores y sus valores asignados. Ver la figura (3.13) a la esquina derecha.

Con estas herramientas se pueden analizar puntos, planos o regiones, y as evaluarperfectamente los resultados obtenidos y su relacin con el proceso.


27/110


4. Definicin del problema trmico

4.1. Introduccin a las tcnicas numricas

Como ya se ha comentado, simular un proceso de fundicin es un problema muy complejo.Las ecuaciones que lo rigen, las cuales se estudiarn ms adelante, son ecuacionesdiferenciales que comportan una alta no linealidad. Aproximar una solucin numrica a estasecuaciones conlleva usar mtodos de anlisis complicados. Dentro del grupo de las tcnicasque pueden solucionar el problema, se van a comentar las siguientes:

4.1.1. Tcnicas de diferencias finitas Standard (SFD)

En estas tcnicas, una ecuacin diferencial parcial que rige el problema se transforma en un

conjunto de ecuaciones de diferencias finitas del tipo:t t

nk ji

nk ji

= 1,,,, . Dnde

representa las temperaturas de dentro del campo = (x,y,z) y t incremento de tiempo.Para cada elemento de la malla como la que se ve en la figura (4.0), hay una transformacinde estas ecuaciones.

Fig. (4.0): Malla regular de un cilindro hecho mediante fundicin. A laderecha se representa el simbolismo de la malla.


28/110

Pg. 28 Memoria

4.1.2. Formulacin de control de volumen

Una extensin de la tcnica SFD es la formulacin de control de volumen de la ecuacin dediferencias. Segn el mallado de la figura (), la conduccin trmica entre el punto central

(i,j,k) y el punto vecino (i+1) se puede expresar como: x

y zik jiK

=+ )1(),,( donde

z es la amplitud de un elemento en la direccin perpendicular al papel, la conductividadtrmica del elemento y K la conduccin trmica entre elementos. Operando y haciendo loscambios correspondientes, el mtodo lleva a un sistema de ecuaciones de la forma:

[ ] [ ] { } =

K t

C dnde [ ] se refiere a una matriz y { } a un vector. [C] representa las

capacidades trmicas y [K] las conducciones trmicas.

Estas tcnicas estn muy limitadas debido a que no permite generar estructuras demasiadocomplejas, por ejemplo, en las simulaciones se puede ver las curvas con una forma dezigzag. Debido a que no permite adoptar el contorno preciso. Est tcnica es mejor usarlapara estructuras polidricas.

4.1.3. Tcnicas de diferencias finitas generales (GFD)

Dentro de esta serie de tcnicas se va a resaltar el mtodo de las aproximaciones de Taylor .Este tambin hace uso de una ecuacin diferencial parcial. En este caso para lograr lasaproximaciones de las diferencias finitas se hace uso de aproximaciones de Taylor. Del tipo:

( )322

2

22

2

22

0 22+

+

+

+

+

+= O

y xhk

y

k

x

h y

k x

h

donde h = x-x0, k = y-y0 y =

(h2 + k2)1/2, (x0,y0) = coordenadas del punto central y (x,y) = coordenadas de un punto vecinoarbitrario en el mallado.

Otro mtodo usado dentro de estas tcnicas es el mtodo en base a coordenadas

curvilneas . La idea de esta aproximacin es la de transformar las ecuaciones diferencialesparciales en coordenadas curvilneas. Es un mtodo muy potente para usarlo en geometrasde 2D, pero no sirve en problemas de fundicin en 3D.

Se han mencionado dos tcnicas muy importantes. La principal diferencia de estas tcnicascon la tcnica que se estudia en este proyecto; el mtodo de los elementos finitos (MEF), esque con el MEF se pueden trabajar con mallas ms precisas y con una geometra compleja. Aunque con la tcnica de diferencias finitas generales (GFD) tambin se permite trabajar conmallas complejas, no permite la precisin que admiten los MEF en mallas de 3D. En generalla razn del uso de los MEF, es que, con ellos se pueden tratar todo tipo de problemas


29/110


trmicos incluyendo problemas de conduccin - conveccin, problemas no lineales yproblemas acoplados en mecnica de slidos y fluidos.

4.2. MEF Ecuacin de gobiernoPara empezar a trabajar en el mtodo de los elementos finitos primero se debe formular laecuacin matemtica del proceso que se quiere simular. Esta ecuacin es denominada degobierno o fuerte. Esta formulacin describe el proceso fsico, se representa mediantemodelos matemticos, como las ecuaciones diferenciales, que relacionan cantidades deinters para el entendimiento y/o diseo de tal proceso.

El propsito es simular la solidificacin de fundiciones complejas, las cuales pueden variar su

escala de peso de gramos a toneladas.Las leyes de conservacin de la masa, momento y energa se usan para formular modelosmatemticos del llenado del molde y de la solidificacin de los metales fundidos.

De hecho, como aqu se va estudiar la solidificacin y la evolucin trmica en un molde, elanlisis se va a centrar a la ley de la conservacin de la energa. Mientras que en el llenadosera necesario estudiar las leyes de la conservacin de masa ayudada por la dinmica defluidos y, lgicamente, en el apartado mecnico el desarrollo de la ley de conservacin demomento es bsica.

Para ver como se aplica la ley de la conservacin de la energa y obtener la ecuacingobernante de la solidificacin en el molde, primero es necesario tener en cuenta lossiguientes conceptos.

4.2.1. La ley de Fourier

La ley de Fourier establece que la cantidad de energa en forma de calor Q, que fluye porunidad de tiempo a travs de un elemento de rea A en un pared de espesor b, pordiferencia de temperaturas entre los extremos de la pared 1 y 2 (1 > 2). Figura (4.1).


30/110

Pg. 30 Memoria

Q

)( 21 = Abk

Q

donde k es la conductividad trmica que es una propiedad del material que constituye lapared. El valor de k se deduce de (5.1) por

( )21 =

A

Qbk

y por tanto k se expresa en Joule/ s m C.

La cantidad de calor que atraviesa una unidad de superficie por unidad de tiempo sedenomina flujo de calor. Su expresin es

)( 21 == bk

AQ

q

La forma lineal y discreta de la ecuacin anterior no existe en procesos transitorios y engeneral el flujo de calor vara localmente y en el tiempo. En la prctica se acepta que laecuacin (5.1) se satisface en partes del cuerpo infinitesimales. Las expresionesdiferenciales equivalentes de las ecuaciones (5.1) y (5.3) se escriben por:

dnd

kdAQ =

2

1

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Fig. (4.1): Transmisin decalor a travs de una paredde espesor b.


31/110


dnd

k q =

Donde n es la lnea normal al plano del elemento diferencial de superficie dA a travs delcual fluye el calor. El signo menos en las ecuaciones anteriores indica que el calor fluye enla direccin de la disminucin de la temperatura, es decir, en la direccin negativa del

gradiente de temperaturat

.

En un slido descrito en un sistema de coordenadas cartesianas, se pueden escribir losflujos de calor en las direcciones x,y,z por:

;;;dzd

k qdyd

k qdxd

k q z y x ===

En forma matricial

=

==

dzd

dyd

dxd

ycon

z

y

x

q

q

q

qk q

La descripcin ms general de la conduccin del calor en un material no istropo estableceque el flujo de calor depende de los gradientes de temperatura de cada direccin. Laecuacin (7) se rescribe en estos casos por:

= Dq

Con

=

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

k k k

k k k

k k k

D

La matriz de conductividad D puede expresarse en otro sistema de ejes x,y,z por simpletransformacin tensorial como

D=TTDT

(4.5)

4.6

4.7

(4.8)

(4.9)

4.10


32/110

Pg. 32 Memoria

Dnde

=

z z y z x z

z y y y x y

z x y x x x

A A A

A A A

A A A

T

'''

'''

'''

considerando Axx = cos (xx) el coseno del ngulo formado por los ejes x y x, etc.

Una vez dejado claro estos conceptos se pasar a hacer el balance de energa trmica paraobtener la ecuacin de gobierno de la transmisin trmica en el molde.

4.2.2. Obtencin de la ecuacin de gobierno

Para obtener la ecuacin gobernante, primero se debe hacer un balance trmico en unaregin del elemento. En este caso, el estudio se realiza sobre una superficie, pero elresultado es fcilmente extrapolable a un volumen. Consideremos el dominio bidimensionalde dx de ancho y dy de alto de la figura (4.2).

Q

Se puede considerar que el dominio tiene una fuente energtica propia que se denominaraQ. En caso de que no exista tal fuente se considerara Q=0. El calor acumulado es la

diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de la energa trmica. Tal como se ve eneste anlisis:

dxdyt

cdxdy y

qqdydx

xq

qQdxdydxqdyq y y x

x y x =

+

+++

calor entrante calor saliente = calor acumulado

es la densidad del material en el que se hace el anlisis;

dydx xq

q x x

+

dxq y

dyq x

Fig. (4.2): Equilibrio trmico enun elemento bidimensional.

dxdy y

qq

y y

+

y

x

(4.11)

(4.12)


33/110


c es el calor especfico del material.

Simplificando y sustituyendo en la ecuacin (4.12) con la ecuacin (4.6) se obtiene:

Q y

k y x

k xt

c y x +

+

=

Como es obvio, los procesos de fundicin reales se analizan en mallas de 3 dimensiones locual conlleva a reformular la ecuacin en base a los procesos reales. Segn la nomenclaturamatricial que se ha visto con anterioridad, generalizaremos la ecuacin del balance trmicode la forma:

Q D

t

c T +=

Dnde, en 3D, = [/x, /y, /z]T y D es la matriz constitutiva dada por la ec. (4.9).

Por tanto con esta ecuacin se ha descrito el proceso fsico que sigue el molde o el metal yasolidificado. Se debe entender que esta ecuacin es la que se usa cuando no existe cambiode fase, o sea que no hay transicin entre fase slida a lquida. Es evidente que aqu hayuna variacin de calor con el tiempo, se llamar transmisin de calor transitoria.

Obviamente, en la fundicin hay un cambio de fase de lquido a slido, este estudio se

realizar en el apartado donde se analiza el cambio de fase.

4.3. Propiedades termofsicas

Antes de resolver la ecuacin de gobierno del proceso de solidificacin, deben ser conocidoslos datos termofsicos necesarios. Para calcular el campo de temperaturas en el sistema demolde - pieza, se necesita la informacin sobre las densidades, calor especfico yconductividades trmicas de todos los materiales involucrados en el sistema de fundicin,(colada, molde, ncleos...). Adems tambin se necesita saber el calor latente de fusin delmetal, propiedad que como se ver en el siguiente apartado es de suma importancia. En lasimulacin debe considerarse la dependencia de estas cantidades con la temperatura, yaque pueden variar su valor significativamente.

Obtener los datos termofsicos necesarios es un trabajo arduo y de mucha importancia. Latarea de medir las propiedades de los materiales, especialmente a altas temperaturas (porejemplo en el intervalo lquidus/slidus), es sumamente costosa y cara.

(4.13)

(4.14)


34/110

Pg. 34 Memoria

Afortunadamente, tal como se ha visto en la descripcin del programa, todos los valoresnecesarios para desarrollar los sistemas de ecuaciones estn incluidos en la base de datosdel cdigo.

4.4. Anlisis del problema del cambio de fase

4.4.1. Introduccin al cambio de fase

El cambio de fase es comn en problemas de solidificacin, fundicin, vaporizacin,condensacin, etc. Desde un punto de vista termodinmico, cuando un sistema consta dems de una fase, cada fase puede considerarse como un sistema separado dentro delconjunto. Los parmetros termodinmicos del sistema completo pueden entonces

construirse a partir de las dos fases, lquida y slida

La fundicin y la solidificacin son procesos de cambio de fase que van acompaados deabsorcin o liberacin de energa trmica. Existe una frontera mvil que separa las dos fasescon propiedades mecnicas diferentes y en la que se libera energa trmica. En este caso, lasolidificacin de una pieza fundida y el calor latente de fusin liberado en la interfaz slido-lquido se transfieren a travs del metal solidificado, la interfaz entre el metal y el molde y elpropio molde, encontrando en cada uno de sus recorridos una cierta resistencia trmica.(Caso que se estudiar ms profundamente en apartados posteriores)

Durante la solidificacin de las aleaciones binarias y multicomponentes, los fenmenosfsicos se hacen ms complicados debido a las transformaciones de fase que se producenen un rango concreto de temperaturas. La temperatura ms baja, correspondiente a la faselquida completa, se denomina el lquidus y la temperatura ms alta, correspondiente a lafase slida se denomina el slidus. Estas temperaturas varan de acuerdo con laconcentracin de los diferentes componentes de la aleacin definidas por su diagrama defases. Durante la solidificacin de una aleacin, hay una variacin progresiva de laconcentracin de la parte slida que va en aumento.

Este aumento se debe a que al descender la temperatura se incrementa la parte slida en laintercara lquido slido, que es el frente del proceso. La fase slida puede apartarse oincorporarse de este frente, segn suba o baje la temperatura. El frente es una zona parteslido y parte fluido y se denomina zona pastosa.

Los conceptos necesarios para el anlisis por el MEF, se darn a partir del balance trmicoescrito en funcin de la entalpa. Se ver que con est expresin se simplifica el clculo y sefacilita el desarrollo de las ecuaciones que se estn estudiando.


35/110


4.4.2. Liberacin del calor latente

La ecuacin (5.14) de balance trmico, asociada con las propiedades termofsicas descritasen el apartado anterior y sus condiciones de contorno, slo es vlida en esas regiones delmolde en que no hay un cambio de fase, (molde, ncleo...).

Para que la ecuacin se pueda usar en la modelizacin del enfriamiento del metal lquido, sedebe aadir un trmino que describa la liberacin del calor latente de fusin durante elproceso de solidificacin. En las otras regiones del sistema (Ej. el molde), este nuevo trminono acta y por tanto desaparece.

En este punto es interesante describir ms profundamente el dato que representa laliberacin del calor latente. En la solidificacin de la mayora de aleaciones, a nivel

microscpico, se pueden observar microestructuras complejas donde se distingue la interfazentre lquido y slido (Ej. dendritas). La regin del fundido donde coexisten las faseslquido/slido, la zona pastosa, se caracteriza por los fenmenos fsicos que ocurren endiferentes escalas. (Nucleacin, equilibrio en la interfaz, estabilidad en la interfaz, etc.) Estosfenmenos describen la evolucin de la zona pastosa. Aunque se han logrado muchosprogresos en simular con exactitud estos fenmenos, no es prctico aplicar estos progresosdentro de la simulacin de un proceso de fundicin. Ya que hay un problema de escalas enlos dos tipos de simulaciones. La fundicin es un efecto de escala macroscpica y laevolucin de la zona pastosa es un efecto de escala microscpica.

Es por eso, que para modelizar el estado pastoso se usa otra herramienta. Msconcretamente la fraccin lquida del material de la cual se hablar en el siguiente apartado.

4.4.2.1. Fraccin lquida

El trmino que se refiere a la variacin de calor latente est directamente relacionado con loscambios en la fraccin lquida. Se define la fraccin lquida como la tasa de volumen

solidificado del elemento finito. Como la fraccin lquida representa tener una incgnita nuevaen la ecuacin de la energa, se debe definir una funcin que describa la variacin de lafraccin lquida con el tiempo, antes de que se resuelva la mencionada ecuacin.

Para determinar como vara la fraccin lquida con respecto a la temperatura, se hacenmedidas experimentales de temperatura durante la solidificacin. Esta funcin se puedeconsiderar una propiedad del material. Una ventaja clara de describir la funcin de estamanera, es que se evita una modelizacin complicada de los fenmenos microscpicosllegando, igualmente, a la simulacin de la solidificacin real. Sin embargo, esto significa que


36/110


37/110


f L() = funcin de fraccin lquida

CL() = funcin de calor latente

CL

S L

La funcin de calor latente viene definida por intervalos tal como sigue:

> L 0= LC &

< S 0= LC &

S < < L ( )t

f L

f L f C llS L

=

==

&&

Como se ve, la variacin del calor latente respecto la temperatura es nula cuando las fasesson o totalmente lquidas o totalmente slidas. Mientras que en el estado donde hay unamezcla de fases (estado pastoso), la variacin del calor latente es directamente proporcionala la variacin de la funcin de fraccin lquida, lo que equivale a decir que hay una relacindirecta entre la proporcin de cada fase y el calor latente acumulado.

4.4.2.4. Calor latente en la ecuacin gobernante

A la ecuacin gobernante (4.14) que se ha determinado para la transmisin de calor sincambio de fase, se le debe aadir el trmino del calor latente para poder representar lasolidificacin:

+

+

=

fl

LQ yT

k y x

T k

xt c y x

Como ya se haba mencionado, la fraccin lquida est definida como una propiedad delmaterial, la derivada del trmino que describe la liberacin del calor latente se puede rescribir

Fig. (4.4): Variacin delcalor latente con T.

(4.15)

(4.16)


38/110

Pg. 38 Memoria

como la derivada de una funcin de la temperatura. Por tanto la ecuacin de la energa setransforma a:

t fl

LQ yT

k y xT

k xt c y x

+

+

=

o

Q yT

k y x

T k

xt fl

Lc y x +

+

=

+

Esta ecuacin an se puede simplificar ms su forma si se reformula aplicando el trminoentlpico.

4.4.3. Forma entlpica de la ecuacin gobernante

En las siguientes lneas se va a reformular la ecuacin de gobierno de la solidificacinaadiendo el trmino de la entalpa. Este cambio va a proporcionar una slida base pararealizar un estudio ms exhaustivo del comportamiento del cambio de fase.

Se define entalpa como

=

ref cd H

H es la funcin de entalpa que representa el contenido de calor total, c es el calorespecfico, ref es una temperatura de referencia. A la entalpa se le debe poner el factor deenerga que aparece debido al cambio de fase. As la ecuacin (4.19) se rescribe como:

+=

fl

Lc H

donde f s es la fraccin slida y L es el calor latente. Si se opera en el tiempo la ecuacin(4.20) se presenta como:

t fs

Lt

H t

H

+=

=

Por tanto sustituyendo la ecuacin (4.21) en (4.18) se adquiere la ecuacin del balance deenerga representada con la nueva nomenclatura:

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)


39/110


Q yT

k y x

T k

xt H

y x +

+

=

o lo que sera lo mismo:

Q Dt

H T +=

4.4.3.1. Representacin de la entalpa con la temperatura

Para entender mejor la idea que se va a presentar en este apartado, primero, quizs esmejor dar una breve explicacin del funcionamiento del algoritmo de clculo, la partedenominada solver de la estructura del programa.

Este algoritmo calcula las ecuaciones formuladas mediante mtodos numricos (veranexos). Estos mtodos se basan en iteraciones que, en un instante de tiempo dado,aproximan el resultado a la solucin real. Se denominar paso en el tiempo, el salto temporalentre dos iteraciones seguidas. Lo que representado sera: n n+1. Entre la temperaturan+1 y la temperatura n hay un paso.

Si se presta atencin al paso siguiente [H( ) ]

LS

CL

En el grfico se ve como dentro de un paso en el tiempo queda la zona de transicinpastosa, la cual est delimitada por las temperaturas de lquidus y slidus. Se ha hechocoincidir los dos instantes consecutivos en el tiempo con estas temperaturas, para que nohaya ningn paso dentro de esta zona. Se puede decir que el programa no itera dentro delrango de temperaturas de transicin, y, a priori, no parece que pueda analizar el cambio de

H(n+1)

H(n)

H()

= c H

LC c H += Fig. (4.5):Variacin de laentalpa.

(4.22)

(4.23)


40/110


41/110


Un dominio es una coleccin de puntos en el espacio con la propiedad de que si P es unpunto en el dominio entonces todos los puntos suficientemente prximos a P pertenecen aldominio. Esta definicin implica que el dominio consiste slo en puntos internos. Paradenominar al dominio se usar la letra . Es evidente que el dominio representa toda lamalla.

La frontera del dominio es un conjunto de puntos tales que uno de los espacios vecinos aestos los ocupan puntos que no pertenecen al dominio. Se usar como nomenclatura paralas fronteras. Por tanto la frontera representa el contorno de una malla dada. La frontera deun dominio puede ser dos puntos si se trata de un problema unidimensional, una curva o unarecta si se trata de un problema bidimensional, o una superficie si se trata de un problematridimensional.

P

Frontera del dominio

Dominio

Como condiciones a tener en cuenta se deben destacar las condiciones iniciales. Una de lascuales sera la temperatura inicial a partir de la cual se empieza a simular la solidificacin. Eneste planteamiento ha de indicarse el valor inicial de la temperatura dentro del dominio, yesto sera: [5]

( ) ( )0,,,0,,,

0 z y x z y x = en

Aparte, se pueden asignar tres tipos de condiciones en el contorno del dominio: detemperatura especificada, de flujo de calor especificado (o aislamiento) o de conveccin.

1- ( )t z y x ,,, = en

2- ( )t z y xqq nn ,,,= en q

Fig. (4.7): Definicin dedominio

(4.24)


42/110

Pg. 42 Memoria

3- ( )12 = hqn en q

En la primera condicin se definen los valores de la temperatura en el contorno se llama lacondicin de Dirichlet o esencial. En el caso que se estudia en el presente proyecto, no seconsiderar. Se considera la temperatura inicial y a partir de esta y de la condicin deconveccin (la cual es vista a posteriori en este mismo apartado), la variacin detemperaturas respecto al tiempo se genera automticamente.

La segunda condicin que se muestra se llama condicin de Neumann. Est referida a elflujo de calor que sale en direccin normal al contorno q. Esta condicin se expresa por

( )t z y xqq nn ,,,= qn es la normal al contorno y q es el valor especificado del flujo. El flujoqn se calcula proyectando sobre la normal del contorno n el vector de flujoq. As, utilizando laec. (4.8).

( ) === Dn Dnqnq T T T n

El trminoqn puede deberse a varios efectos. En primer lugar puede conocerse simplementeel valor del flujo de calor normal al contorno por efectos convectivos y difusivos. As el valorsera:

qq n =

Por otro lado, en el caso de la fundicin existe un flujo de calor entre dos los elementos queforman el sistema. Este flujo de calor, tal como se ha explicado en apartados anteriores loaproximamos a la condicin 3. Estos elementos son el molde y la pieza, o el aire del entornoy el molde. Entre el molde y el metal, dependiendo del estado del metal (lquido o slido), hayuna conduccin o una conveccin de la transmisin de calor. Todas estas posibilidades serenen en la expresin del tercer caso:

( )12 . = hq n

Donde 1 y 2 son las temperaturas de los diferentes medios o elementos. Todas lascondiciones de contorno referidas a la transmisin de flujo se vern en su apartadocorrespondiente.

Tambin hay que recordar que puede haber efectos de transmisin de calor por radiacin.Estos flujos vienen dados por la siguiente ecuacin:

41

42 . = rad n hq

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.28)


43/110


Donde hrad es un coeficiente para la radiacin que se asemeja al producto de dos constantescomo son la constante de proporcionalidad de Stefan-Boltzmann con un valor de 566910 -8 W/m2K4 ( ) y la constante de emisividad del slido () ( )10 < .

En este apartado se generalizar la formula de condicin de contorno de uno de loselementos del sistema de fundicin. Esta sera formulada de la siguiente manera:

( ) ( ) 0.. 414212 =+++ qh DnT en

Expresin que resulta conocida como la condicin de contorno de Neumann.

La figura (4.8) muestra las condiciones que se acaban de nombrar:

q n

q

T

n

En la figura, las lneas y caracteres rojos marcan el contorno de Dirichlet y las lneas ycaracteres azules marcan el contorno de Neumann.

4.5.2. Desarrollo de la forma dbil

Todo clculo de los elementos finitos, siendo un mtodo aproximado, busca una expresinaproximada de la solucin, en el caso que incumbe al presenta proyecto, el campo detemperaturas se considera:

( ) ( ) ( ) ( )==n

ie

i t z y x N t z y xt z y x1

)( ,,,,,,,,

Fig. (4.8): Condiciones de

contorno trmicas en unmolde. =

(4.30)

(4.31)


44/110

Pg. 44 Memoria

en la que Ni son funciones de forma expresadas en funcin de variables independientes(x,y,z,t) y dnde los parmetros i son incgnitas. (Ver anexo B).

La forma dbil de la ecuacin diferencial es la ms indicada para encontrar las solucionesque aproximen al mximo al resultado real. Estas aproximaciones convierten las ecuacionesdiferenciales en ecuaciones algebraicas de ms fcil resolucin. De esta manera es ms fcilobtener el resultado de los nodos del dominio .

La forma dbil resuelve las ecuaciones diferenciales a lo largo de todo el dominio y serepresentan de forma integral. Las formas integrales permiten obtener la aproximacinelemento por elemento para ms tarde proceder al ensamblaje mediante mtodosmatriciales.

El mtodo usado es la variante de Galerkin de los residuos ponderados. Este permite darcontinuidad en todo el dominio y al mismo tiempo incluir de manera natural las condicionesde contorno . El proceso es el siguiente:

Sustituyendo la aproximacin (4.31) en la ecuacin de gobierno se obtiene:

=

+ r Q D

t fl

Lc T

Donde r es el residuo de la aproximacin en las ecuaciones de balance de calor sobre eldominio. Obviamente cuando menores sean estos residuos mejor ser la aproximacin de .

Para simplificar se definir el calor especfico efectivo como:

+= fl Lcc

Luego el residuo de la ecuacin del balance trmico se puede reescribir como:

=

r Q Dt

c T

El mtodo de los residuos ponderados, se basa en hacer nulos los residuos r y r sobre de forma ponderada. La expresin integral resultante es:

0=

d r W i i = 1,2,3,N

(4.32)

(4.33)

(4.34)

(4.35)


45/110


donde Wi es una funcin de peso arbitraria, que depende de la posicin y N el nmero totalde nodos en la malla de anlisis. Sustituyendo la expresin (5.34) en (5.35) se tiene:

0

=

d Q Dt cW T i

Las integrales anteriores hay que considerarlas en sentido distribucional, ya que el gradiente

es usualmente discontinuo entre elementos. Operando:

0

=+

Qd W

t cW d DW ii

T i

Mediante el teorema de Green de integracin por partes se tiene que:

= e

T i

T i

T i d DW d DnW d DW

e

)(

Sustituyendo (4.38) en (4.37) y recordando que = + q:

[ ] 0)( 1)(

=++++

+ qqed hq DnW Qd W d DnW

t cW d DW T ii

T ii

e

T i

Escogiendo ahora iW = -Wi y Wi = Ni se llega finalmente a:

( )

+=++

qqe

d hqW d qW Qd W d hWit

cW d DW iniiie

T i 1

)(

donde nq es el flujo normal (saliente) en el contorno donde la temperatura est

especificada. Este flujo se calcula a posteriori una vez obtenidos los valores de en todo eldominio.

La forma integral de Galerkin se obtiene haciendo Wi(e)=Ni(e). Es decir escogiendo lasfunciones de peso igual a las funciones de forma en el interior de cada elemento.

Si sustituimos la aproximacin (4.31) en (4.40) y haciendo uso de los datos que se exponensobre las funciones de forma en el Anexo B.

f KaaC =+&

(4.36)

(4.37)

(4.38)

(4.39)

(4.40)

(4.41)


46/110

Pg. 46 Memoria

Donde na , 21 K= y

=

t t t a n

,

,

21 K& , mientras que K(e) y f (e) son la matriz de

conductividad y el vector de flujos nodales equivalentes respectivamente. Las expresionesC,K y f se obtienen por ensamblaje de la contribucin de cada uno de los elementos. Laexpresin C(e) es:

( ) =)(

)(1

)(11

enn

en

e

e

C

C C

C M

L

con

=)(

)()()(

e

d N N cC e je

ie

ij

La matrizC se denomina matriz de capacidad trmica. Y, en general se escribe

( )e

eC C E =

Para las formas K y f en general puede escribirse:

( )e

eK K E = y ( )e

e f f E = .

Donde es el operador de ensamblaje y K(e) y f (e) la matriz de rigidez y el vector de flujosnodales equivalentes elementales dados por

=

nn

ne

k sim

k k

K M

L 111)(

( ) )()(2

)(1 ,,

en

eee f f f f K=

(4.42)

(4.43)

(4.44)

(4.45)

(4.46)

(4.47)


47/110


con

=)(

)()()(

e

d N D N K e je

iT e

ij

=

d q N d q N Qd N f nie

ie

ie

ie

qe

)()(

)()()(

Se debe destacar que las integrales sobre , solo aparecen en elementos que tengan algn

lado sobre los contornos de Dirichlet o de Neumann, respectivamente.

4.5.3. Integracin en el tiempo

Si se considera un intervalo en el tiempo que se extiende del tiempo t n al tiempo tn+1. Lalongitud del elemento es por tanto t = tn+1 tn. En dicho elemento se conoce el valor de lastemperaturas en t n (an) y se quiere calcular la temperatura en t n+1 (an+1). En el interior delelemento se supone que las temperaturas nodales varan linealmente en funcin de los dosvalores extremos.

Si se selecciona un punto intermedio tn+ dentro del intervalo [tn, tn+1]. Obviamente para = 0coincide con tn y para = 1 con tn+1. Ver figura (4.9).

ttn

na t

tn+1

n+1a

n+

(4.48)

(4.49)

Fig. (4.9): Seleccin de un punto intermedio en el intervalo [tn, tn+1].


48/110

Pg. 48 Memoria

Si se supone ahora que las ecuaciones de la discretizacin espacial (5.41) se satisfacen enel punto tn+. Esto se escribe como:

0=+ +++++ nnnnn f aK aC &

La derivada +na& se calcula por:

t aa

ann

n

=

++

1 &

Sustituyendo (4.51) en (4.50) y operando se obtiene:

0=+ +++++ nnnnnn

f aK t aa

C

Si se escoge como valor de = 1 entonces se entra en el sistema de integracin numricade Euler implcito hacia atrs.[4]

(4.50)

(4.51)

(4.52)


49/110


4.6. Condiciones de contorno

Cuando se han definido las posibles condiciones de contorno en un problema de transmisinde calor, se ha hablado de dos tipos diferentes de condiciones, la condicin de Dirichlet y lacondicin de Neumann.

La condicin de Dirichlet marca la temperatura en una zona concreta de la frontera y es muytil a la hora de definir las condiciones iniciales, como ye se ha visto.

En cambio, la condicin de Neumann marca el flujo de calor en la frontera, y en el procesode simulacin de la fundicin, la transmisin de calor entre los diferentes elementos delsistema es de suma importancia.

Las condiciones de contorno son los flujos de calor que se transmiten entre las diferentespartes del sistema, o sea el flujo de calor que se transmite entre la intercara del el molde y lapieza y el molde y el ambiente. Esto lleva a diferentes situaciones que ocurren durante elproceso.

1 situacin: La transmisin de flujo que hay entre el ambiente y el molde, medianteuna transferencia de calor por conveccin.

qconveccinM P Entorno

2 situacin: La transmisin del flujo de calor entre el molde y la pieza cuando esten fase lquida. Aqu se considera una transmisin de calor por conduccin.

Fig. (4.10):Transmisin porconveccin.


50/110

Pg. 50 Memoria

3 situacin: La transmisin de calor entre el molde y el metal fundido cuando esteest totalmente solidificado.

En la tercera situacin, y tal como se haba comentado en los objetivos, hay unasolidificacin y por tanto una inmediata contraccin de la pieza. Esto da lugar a que en laintercara entre el molde y la pieza se generen espacios que se llenan de aire y que provocanun cambio en el la transmisin del flujo de calor. Como el aire es un gas, la transmisin delcalor es debida a la conveccin y, si hay una diferencia de temperaturas significativa, sepuede considerar la radiacin.

Para hacer un clculo del flujo de calor lo ms exacto posible, se podra modelizar medianteMEF u otro tipo de tcnica, el espacio creado entre el molde y la pieza. Pero este trabajo esdifcil y poco rentable. Tambin es muy difcil hacer una medida experimental y encontrar losvalores correspondientes de estos flujos. Por lo que resulta ms adecuado hacer unaaproximacin.

Para aproximar a los valores reales, se hace un balance de energa entre el molde y la pieza.De este balance se extrae la ecuacin del flujo de calor:

Fig. (4.11):Transmisin porconduccin.

Fig. (4.12):Transmisin porconveccin yradiacin.


51/110


( )cmhq =

El cual tiene la misma forma que el mencionado anteriormente contorno de Neumann, perocon las siguientes peculiaridades.

m es la temperatura del molde;

c es la temperatura de la pieza;

h es un coeficiente de transmisin de calor. Tambin se puede llamar HTC refirindoseal acrnimo en ingls (Heat Transfer Coefficient)

q es el flujo de calor.

Esta aproximacin se puede usar en diferentes etapas del proceso, que son:

- para la transmisin entre el molde y el fundido en estado lquido:q = h0(c - m)

- para la transmisin entre el molde y fundido en estado slido:

q = hcv(c m)

- en el caso de que la diferencia de temperaturas en estado slido sea significativa,tambin intervendr la transmisin de calor por radiacin y esta se representarcomo:

q = hrad(c4-m4)

- tambin se usa para calcular la evacuacin de calor entre el molde y el entorno,usando una frmula anloga:

q = hent.(m-ent.)

Donde: ent. = temperatura del entorno

ent. = coeficiente para la transmisin con el entorno

(4.53)

(4.54)

(4.55)

(4.56)

(4.57)


52/110

Pg. 52 Memoria

h0 = coeficiente para la conduccin hcv = coeficiente para la conveccin una vez solidificado el fundido hrad = coeficiente para la radiacin, el cual se asemeja a el producto de la

emisividad de la pieza con la permisividad del medio, en este caso aire: .

Como es lgico el cambio de lquido a slido y la posterior contraccin conlleva la variacindel coeficiente h. Esta variacin puede ser calculada como funcin de las temperaturas o dela fraccin lquida total de la pieza.

4.6.1. Variacin de h con

El algoritmo de clculo puede resolver los flujos de calor en las fronteras mediante las dosvariaciones anteriormente comentadas, h - y h f l.

En este apartado se explicar el mtodo que se usa para hacer el clculo de h respecto latemperatura. La variacin de h respecto se ha determinado siguiendo una ley del siguientetipo:

ho

h

sol. liq

hcv

Se tiene que recordar que este grfico se usa para el caso en que el flujo de calor se

transmite del fundido al molde, lo que comporta que se destaquen los coeficientes deconduccin hcv y de conveccin h0, que son los dos casos posibles de flujo de calor. Para elcaso de la radiacin y el caso en que el flujo se transmite del molde al entorno, loscoeficientes hrad y hent son dos valores constantes. De hrad ya se ha dicho que su valor es elproducto . Yhent es una constante distinta para cada material.

Para hacer el clculo del flujo transmitido se busca h en el grfico, entrando con unatemperatura media entre el molde y el contorno de la pieza fundida, a, o sea:

Fig. (4.13):Variacin de hcon la a.


53/110


2cm

a

+=

Se puede distinguir segn los tramos del grfico en tres rangos de temperaturas diferentes:

Si a < sol entonces la pieza est en fase slida, ha habido contraccin y la transmisin espor conveccin, por tanto tal como se aprecia en el grfico, el valor del coeficiente es hcv.

Si a > liq luego la transmisin es por conduccin, ya que la pieza todava se encuentra enfase lquida. En este caso el valor del coeficiente es h0.

Si sol < a < liq la temperatura media est dentro del rango de temperaturas que coincidecon el estado pastoso. El grfico indica que el valor del coeficiente debe ser el

correspondiente a la variacin lineal de h con , que hay en ese tramo. Esta variacin vienedefinida por la pendiente de la recta que se denominar z y su valor es:

..

0

solliq

cvhh z

=

Y por tanto, la ley que cumple es: ( ) zh a = .

Una de las desventajas que presenta este modelo, es que para calcular la temperaturamedia a se usa el valor de la temperatura en el contorno del fundido. Esta regin de lapieza, al ser la ms externa es la que tiene ms tendencia a enfriase. Esto pasa porquedesaloja el calor ms rpidamente, ya que est en contacto con el molde, el cual seencuentra a una temperatura mucho ms baja.

El problema reside en que si el contorno est solidificado pero parte de la pieza no, puedehaber contraccin y h no lo contemple. Este razonamiento significa que la temperatura delcontorno es menor que la media de la temperatura de la pieza, como la temperatura delcontorno es la usada para calcular a, a queda falseado y en consecuencia h tambin. Lo

cual comporta que la transmisin del flujo de calor no tenga la precisin deseada y estoderiva a que la simulacin tampoco. Un ejemplo tpico sera cuando a est muy cerca de la liq puede ser que entre dentro de la fase de lquido y se use h0 para el clculo cuando enrealidad, en la pieza ha empezado ha haber contraccin se haya generado un espacio entreel molde y la pieza y deba usarse hcv.

Se comprobar esta teora con mayor atencin en el ejemplo ensayado.

(4.58)

(4.59)


54/110

Pg. 54 Memoria

4.6.2. Variacin de h con la fraccin lquida global

Debido a que la anterior propuesta para el clculo de los coeficientes de conveccin parececrear un error en determinados momentos de la simulacin, se debe buscar una alternativavlida que sea capaz de solucionar el problema generado en el anterior caso.

Hay diversos mtodos para poder hacer un clculo efectivo del coeficiente de conveccin decalor h. Se ha comentado como la dependencia del coeficiente con a, no erasuficientemente vlida.

Otro posible modelo de estudio, es el que trata la variacin del coeficiente de conveccin conel cambio gradual de la distancia entre el molde y la pieza en la contraccin. Para poderconsiderar tal cambio se debe hacer un anlisis termomecnico del proceso de fundicin.

Este anlisis permite medir la deformacin creada por la contraccin, y con ello encontrar elvalor adecuado del coeficiente a partir del inicio de la solidificacin, donde se aplica elcoeficiente de conveccin. En este estudio slo se introduce el mtodo, pero no seprofundizar en el tema.

En el presente proyecto se ha introducido la dependencia de h con la fraccin lquida global.Esta metodologa es muy buena para poder conseguir un valor representativo de toda lapieza. El valor de la fraccin lquida global es la suma de las aportaciones de cada elementode la malla que se usa en el estudio de las ecuaciones. Su relacin es

=

=n

i

ilgloball f f

1

)(

En que i se refiere a un elemento de la malla y n es el nmero de elementos total de lamisma.

El grfico que sigue esta dependencia es prcticamente idntico al anterior, pues estatambin es una funcin acotada por las diferentes fases de la solidificacin. El grfico es:

(4.60)


55/110


ho

hcv

h

f l10

La f l es la contribucin total de todas las fracciones lquidas de los elementos. Por tanto, lafraccin lquida, al contrario del caso de la temperatura es un valor fiable, ya que este datocomprende a toda la pieza, y no slo el contorno como en el caso anterior.

En este grfico tambin se puede distinguir en tres tramos diferentes de f l:

Si f l = 0 entonces el fundido est completamente solidificado y existe contraccin, elcoeficiente que se usa es hcv.

Si f l = 1 hay una fase lquida total por lo que existe una transmisin de calor por conduccin,y el coeficiente escogido es h0.

Si 0 < f l < 1 luego la fraccin lquida est en el tramo de la zona pastosa y h varalinealmente con la fraccin lquida. Lo que se puede afirmar que:

( ) ( ) ( ) cvlcvcvlcvl h f hhh f hh

f h +=+= 00 1

La ecuacin (4.61) se corresponde al comportamiento de la fraccin lquida con latemperatura. La ecuacin es ms til para el estado pastoso del proceso ya que es ahcuando hay una incgnita a resolver mientras que para valores menores de 0 y mayores de

1 en f l los valores de h son constantes.

Como en la dependencia con la fraccin lquida las cantidades que intervienen son muchoms exactas, es fcil reconocer que los datos extrados de los algoritmos sean mucho msfiables al igual que la simulacin.

Cada sistema usa tcnicas y materiales diferentes. Para simular las operaciones de fundicinse debe usar siempre las constantes apropiadas a los materiales y tcnicas, temperaturas delquidus y slidus, fraccin lquida, coeficientes de transmisin de calor, etc.

(4.61)

Fig. (4.14):

Variacin de hcon f l.


56/110

Pg. 56 Memoria

Como nota final se destacar que tanto el mtodo de la dependencia de h con latemperatura media y de la dependencia de h con la fraccin lquida total, no contemplan elcambio en la transmisin de calor por conveccin cuando la distancia entre el molde y lapieza aumenta. Ya que este aumento contina cuando la pieza ya esta solidificada puestoque sigue enfrindose.


57/110


5. Estudio de los coeficientes de transmisin

Hasta aqu se han descrito los coeficientes, su sentido fsico y los casos posibles que sepueden encontrar en el estudio de la fundicin. La siguiente cuestin a estudiar en esteproyecto, son los comportamientos de las simulacio

Documents

fundicion de aluminio.pdf