Funções de Green - UFPA · A função de Green associada pode ser representada pela integral de Fourier onde Funções de Green – Forma integral . A transformada do impulso é

Funções de Green

Prof. Rodrigo M. S. de Oliveira UFPA / PPGEE

Funções de Green

2

Suponha que queremos resolver a equação não-homogênea

no intervalo a ≤ x ≤ b, onde f (x) é uma função conhecida. As condições satisfeitas por y

são as mesmas satisfeitas pelas autofunções yn, relativas aos problemas de Sturm-Liouville

quando considerada a equação

Observar que

Como visto anteriormente, é conveniente trabalhar com autofunções normalizadas. Dessa

forma, podemos definir

de forma que

Como é um conjunto ortonormal, y(x) pode ser expressa em termos de

fn, ou seja,

Funções de Green

teríamos

Substituindo esta equação na equação diferencial não-homogênea, temos

Como

então

Multiplicando ambos os lados por e integrando (para usar ortogonalidade), temos

Funções de Green

Dada a ortogonalidade das funções f, temos, portanto, apenas uma parcela para a soma, ou

seja

a qual pode ser reescrita da seguinte forma

Portanto, a solução y(x) é dada por:

Como a função f(x) é conhecida, podemos calcular y(x) usando a expressão acima. Porém,

podemos introduzir agora uma função conceitualmente importante escrevendo a equação

acima de uma forma um pouco diferente: como a integral e o somatório podem ser

reposicionados, podemos escrever

Funções de Green

que podemos escrever assim:

Define-se então

que é conhecida por função de Green.

Significado da função de Green

Para entendermos o significado da função de Green, vamos substituí-la na equação diferencial

não-homogênea e verificar que, quando , temos

A função , chamada função Delta de Dirac, é definida pela relação

Funções de Green

Realizando a substituição da função de Green na equação diferencial, temos

Fazendo a expansão da função de Dirac, temos

Com:

Então:

Notar que:

entã

o

Funções de Green

A função de Green pode ser entendida da seguinte forma:

- Uma equação linear pode ser usada para representar um sistema físico. A função f(x)

representa a “força” ou a “fonte” aplicada ao sistema (entrada do sistema). A solução y(x)

representa a saída ou resposta do sistema a f(x).

-A função de Green G(x’,x) descreve a resposta do sistema físico à função delta de Dirac,

que representa um impulso aplicado no ponto x’ (magnitude unitária).

- Podemos representar a entrada f(x) pela soma de um conjunto de entradas.

Matematicamente, temos

- O valor de f(x’) é simplesmente a amplitude da função delta em x’. Como G(x’,x) é a

resposta a um delta unitário, se a amplitude da função delta é f(x’) vezes maior, a resposta

do sistema será f(x’) vezes amplificada, dada a linearidade da equação. Então a resposta

será f(x’)G(x’,x). Como o sistema é linear, podemos somar as respostas obtidas em cada

ponto. Assim, temos

Funções de Green

Exemplo: (a) determine a expansão em autofunções da função de Green G(x’,x) para o problema

(b) Encontre também a solução y(x) da equação não-homogênea dada. Utilize a relação

Inicialmente, vamos tratar do problema de autovalores de Sturm-Liouville relativo ao nosso

caso. O problema é dado por

que é um problema regular de Sturm-Liouville, pois

A solução da equação

é

A condição de contorno requer que de forma que

Solução:

Funções de Green

Então os autovalores são

E as autofunções são

As autofunções normalizadas são dadas por:

Portanto, a função de Green é dada por

(b) A solução y(x) é dada por Então, temos

Como

Funções de Green

Temos:

Exemplo: Resolva o problema dado no exemplo anterior usando a função de Green,

sabendo que ela é a resposta do sistema a uma entrada dada pela função Delta de Dirac

unitária.

Solução: como a função de Green é resposta do sistema a uma função Delta de Dirac

unitária, a mesma precisa ser limitada e contínua no intervalo de interesse. Para x ≠ x’,

considerando-se o presente problema, a função de Green satisfaz a equação

Funções de Green

cuja solução é dada por

Aqui, x é a variável independente e A(x’) e B(x’) são constantes arbitrárias, de forma que

estas constantes não necessariamente assumem valores iguais para x < x’ e x > x’ . Então,

podemos escrever

Como em , e como x’ > 0, então, para o primeiro caso, temos

Considerando o caso , de forma que

Então:

Funções de Green

Realizando as devidas substituições, para o caso em que temos portanto

Dessa forma, temos duas constantes a serem determinadas, mesmo após a aplicação das

condições de contorno.

Para determinar b e c, lembramos da condição de continuidade G(x’,x) em x = x’. Então

Então

Funções de Green

Substituindo a função de Green na equação , e integrando em um

pequeno intervalo, temos

A integral do lado direito é unitária por definição. Na medida em que

Esta integral é aproximadamente 2e vezes o valor de G(x’,x) em x = x’. Como G é

limitada, a integral se anula quando .

Para a outra integral, temos

Logo:

Funções de Green

então

ou

Como

Então

e a função de Green é dada por

Como ,

Cálculo de y

Funções de Green

Como

Então

Funções de Green

Notar que

.

Isto pode ser mostrado utilizando a série de Fourier.

Fica o exercício!

Funções de Green – Forma integral

Sabe-se que a equação

é relacionada a valores discretos de autovalores l. Em certos problemas, os autovalores de

um dado problema são separados por um infinitésimo (caso contínuo). No limite, a soma

dada acima se torna uma integral.

Considere a equação de Helmholtz para o espaço aberto,

sujeita às condições de contorno (radiação)

O conjunto ortonormal completo de autofunções é obtido a partir de

.

Como temos um problema de radiação de ondas, usamos a solução de ondas propagantes, ou seja

( x → ∞ ) ( x → – ∞ )

.

Considerando que o sinal de interesse se propaga para na direção +x, temos

em que representa a amplitude da referida onda.

A função de Green associada pode ser representada pela integral de Fourier

onde


.

A transformada do impulso é

Então, o impulso pode ser escrito da seguinte forma


Substituindo as equações

e

em

temos

Dessa forma, temos

e

Então:

Isto é uma integral complexa com singularidade em b = b0 !

Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos

1. Considere que C é um contorno fechado e que é analítica em C e na região interna a C.

Nestas condições, pode-se mostrar que

que é conhecido como teorema de Cauchy.

2. Considere a situação ilustrada pelas figuras abaixo. Temos

z0 é um ponto de singularidade do integrando.


Em C0, temos

Então

Como

Temos

Então

Fazendo

z


Portanto

Integral de Cauchy.

Diferenciação

Exemplo:

Então é fácil ver que


Exemplo: calcule a integral

em torno do círculo

O ponto de singularidade z0 = ½ está contido no círculo. Então

Exemplo: repetir o problema acima para a integral

O ponto de singularidade z0 = 2 não está contido no círculo | z | = 1. Então, é imediato que

Exemplo: calcule a integral

em torno do círculo .

O ponto de singularidade z0 = 2 está contido no círculo. Então, usando a regra da diferenciação

onde:

Logo

Ilustração para os dois últimos exemplos.


Regra da diferenciação:

e


Série Geométrica Elementar

Considere

Multiplicando por z

Subtraindo

Isolando S:

Quando e , então

Para


Série de Laurent

Considere o cálculo da integral

fechada considerando o caminho

estabelecido na Fig. (b). A idéia é

criar uma série válida no anel

indicado na Fig. (a). Assim:

Anel

onde t está na linha C’ e z está na região interna a C’. Deixe agora o “gap” entre C2 e C4

ir a zero. Então as integrais ao longo de C2 e C4 se cancelam, devido às orientações

opostas. Nesta situação, C1 se torna C0 e C3 é idêntico a Ci (invertendo-se a orientação).

Assim,

com C0 e Ci possuindo a mesma orientação (daí o sinal de menos).


Z0 pode ser introduzido na primeira integral se fizermos

onde ( veja a Figura (a) ):

Podemos então expandir em termos da série geométrica elementar. Assim

Para t em C0

2 3 4

Para a segunda integral, onde z está entre C0 e Ci , temos

Como , podemos novamente usar a série elementar. Assim, temos

Dessa forma, temos , onde

Uma forma alternativa da série (mais compacta) é

e

Então, podemos ver como a soma das seguintes séries:

com

onde


Definição de resíduo

Viu-se que

Se integrarmos ambos os lados da equação acima em um contorno circular, temos

Utilizando-se a forma polar dos números complexos, temos

Realizando as seguintes substituições, verifica-se que:

Então , por ser o único termo não nulo, é chamado resíduo de z0.

Exemplo:

Determinar o resíduo de relativo a .

A função já está na forma da série de Laurent. Observe que

com

Dessa forma,

Exemplo:

,

Para

.

, determinar: e

Exemplo:

Neste caso, devemos observar o seguinte. Como

então multiplicando ambos os lados por , temos

Aproximando de , temos que o resíduo de é

.

Então

e

Uso da derivada do denominador:

Se p(z) e q(z) são funções analíticas, e q(z) tem um zero simples em z0, e p(z0) ≠ 0, então:

tem um pólo simples em z = z0. Como q(z) é analítico, pode ser expresso em termos da

série de Taylor em torno de z0. Dessa forma,

Como q(z0) = 0, temos

Além disso, como f(z) tem um pólo simples em z0, seu resíduo em z0 é

Exemplo:

Levando o denominador a zero, temos

Cujas raízes são

Então, temos

Integrais impróprias: fechando o contorno com um semi-círculo no infinito.

Considere a integral imprópria

Sob certas condições, tal integral pode ser calculada com o teorema dos resíduos. A idéia

é fechar o contorno de integração utilizando linhas nas quais a integral é zero (ou um

múltiplo da integral original ao longo do eixo real).

Se f(x) é uma relação entre dois polinômios, sem singularidades no eixo real e

então pode ser mostrado que a integral ao longo do eixo real (de -∞ a +∞) é igual a

integral calculada no caminho, ilustrado na figura abaixo (de –R a R e no contorno CR).

Observe que se fizermos

então

Integrais impróprias: fechando o contorno com um semi-círculo no infinito.

Isto ocorre porque ou seja a função f não tem contribuição

no infinito).

Segue-se que

Obs: u.h.p = upper half plane.

Quando R → ∞, todos os poloz de f(z) estarão contidos no semi-plano superior. (u.h.p).

Então,

. (soma dos resíduos de f(z) no u.h.p.).

(soma dos resíduos de f(z) no l.h.p.).

Obs: l.h.p = lower half plane.

Podemos fechar o caminho usando o semi-plano inferior (l.h.f). Assim:

Exemplo: Calcule a integral

Como

Então podemos calcular a integral dada da seguinte forma:

Como os pólos da função dada são +i e –i, então nota-se que +i é o pólo que está

contido no u.h.p. Dessa forma,

Se fecharmos o caminho pelo l.h.p., temos (usando o pólo –i ):

Exemplo: Mostrar que

Os pontos singulares de são

Apenas os pontos estão no u.h.p. Então

Como

então

Funções de Green – Forma Fechada – Método Geral de Solução

Considere a equação diferencial

que pode ser posta da seguinte forma:

Sabe-se que

e que a função de Green G é solução de

Em um ponto x ≠ x’, sabe-se que d (x,x’) = 0. Assim, tem-se que:

.


Integrando-se a penúltima equação em relação a x em torno de x’, temos

ou seja, integrando-se a primeira parcela e aplicando a definição de d (x,x’), tem-se

Dada a continuidade de q(x), r(x) e G(x,x’), verifica-se que a segunda parcela do lado

esquerdo se anula. Então


Então, observa-se que a derivada de G é descontínua em x = x’ . Ou seja,

em um ponto x ≠ x’, sabe-se que d (x,x’) = 0. Assim, tem-se que:

Como

Considere que y1(x) é solução da equação homogênea acima e que ela satisfaz a condição de

contorno em x = a. Considere que y2(x) é solução da equação acima e satisfaz a condição

de contorno imposta em x = b. As soluções y1(x) e y2(x) são não triviais. Então

e

.


Como a função de Green deve ser contínua em x = x’, temos:

Descontinuidade da derivada em x’

Resolvendo o sistema acima, tem-se:

onde

Então

Notar que y1 e y2

devem ser L.I.

(Wronskiano)

Funções de Green em problemas 2D

Considerar a equação de Poisson para o potencial elétrico V

sujeita às condições de contorno V = 0

(0,0)

(0,b) (a,b)

(a,0)

(V = 0 na borda da caixa)

,

x y

O objetivo aqui é calcular a função de Green G(x, y ; x’,y’) associada ao problema e,

posteriormente o potencial V. Então, neste caso, sabe-se que

onde

Obtida a função G(x, y ; x’,y’), o potencial será dado por

.

Forma fechada para G(x, y ; x’,y’).

Pode ser obtida a partir de funções que satisfazem as condições de contorno ao longo de

x=0 e x=a, ou ao longo de y=0 e y=b.

Considerando os contornos ao longo de x, podemos representar G em série de Fourier de

forma a satisfazer as condições de contorno para x=0 e x=a. Dessa forma,

.

Substituindo G na equação diferencial, temos

Multiplicando ambos os lados por e integrando em relação a x de 0 a a, temos

Notar que


Equação homogênea:

para

para

Para a satisfazer a equação acima e as condições de contorno em y = 0 e em y = b, podemos

fazer a escolha

Então, o Wronskiano W = y1 y’2 – y2 y’1 fica da seguinte forma:


Como:

então


Como:

então

Há carga elétrica uniformemente distribuída ao longo de um fio condutor posicionado

em r = r , f = f . O fio é envolvido por um cilindro condutor de raio a, o qual possui

comprimento infinito e está aterrado (V = 0). Encontre a função de Green e a

distribuição de potencial. Considere que entre o fio e o cilindro há vácuo.

Parte-se da equação de Poisson (devido às cargas).

Devido ao cilindro metálico aterrado, tem-se a seguinte condição de contorno:

Como o fio e o cilindro têm comprimentos infinitos, V independe de z. Logo:

de forma que a função de Green G deve satisfazer à excitação impulsiva, ou seja

Vista superior

Exemplo

Exemplo Para se obter a função de Green em forma de série, o conjunto de autofunções {ym n(r, f)}

pode ser obtido considerando-se o seguinte problema:

com

Aplicando-se o método de separação de variáveis, tem-se que

Notar que:

Realizando as substituições, tem-se

e, dividindo-se a equação acima por fg, encontra-se

Exemplo Multiplicando-se a equação por r 2, chega-se a

Dessa forma, vê-se que se

então

e temos as seguintes soluções gerais para f e g :

Deve ser observado que B = 0, pois y = fg deve ser limitada ∀ r e que m = 0, 1, 2, 3 ....

Temos, portanto, duas possibilidades de solução:

Exemplo Aplicando-se a condição de contorno em r = a, os autovalores lmn podem obtidos.

Então, teríamos:

Portanto,

sendo os zeros da função de Bessel.

# Tabela 9-2 (Balanis) #

Exemplo O conjunto de autofunções deve ser normalizado se obter V. Então

ou

Como

e como

Então...

Exemplo Então temos

ou

onde

Dessa forma, o conjunto completo de autofunções pode ser escrito assim

ou assim

Considerando que

então, encontra-se por substituição direta:

Com

Exemplo

com

Por fim

e

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