Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · cos 2 sin sin2 v x dv v y xdx =− − =∫ = ... ∫sin−1vdv; ∫tan−1xdx;∫sinh−1 vdv; ∫tanh−1 Tabel-13.1 tidak memuat relasi

i

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

oleh

Sudaryatno Sudirham

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung

fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117

3

BAB 13

Integral (2)

(Integral Tak Tentu)

Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan

integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan

pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang

mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan

sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat

perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.

13.1. Integral Fungsi Tetapan: ∫ adx

Kaxadx +=∫ karena adxdax =

Contoh: Kxdxy +== ∫ 22

13.2. Integral Fungsi Mononom: ∫ dxxn

Karena dxxdx nn 1−= dengan syarat n ≠ −1, maka Kn

xdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

Contoh: Kxdxxdxxy +=== ∫∫ 322

3

222

13.3. Integral Fungsi Polinom ∫ + dxxxmn)(

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu

polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.

Karena dxxdxxxxd mnmn +=+ )( maka

1 ,1syarat dengan ,11

)(11

−≠−≠++

++

=+++

∫ mnKm

x

n

xdxxx

mnmn

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫∫

∫∫∫∫++++−

+

dxxxxdxxx

dxxdxxxdxdx

)2464( ; )42(

; )52( ;4 ;2 ; 5

231

0

2

4


13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: ∫ dxv n

Jika v adalah polinom, maka ∫ ++

=+

Kdvn

vdvv

nn

1

1

karena

dvvn

vd n

n

=+

+

1

1

dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk

mencari ∫ dxvn

.

Contoh: Hitunglah ∫ += dxxy2)12(

Misalkan 12 += xv → dxdv 2= →2

dvdx =

Kxxx

Kxxx

Kv

dvv

dxxy

++++=

++++

=+==+= ∫∫

6

12

3

4

6

16128

62)12(

23

23322

Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan

diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.

Kxxx

dxxxdxxy ′+++=++=+= ∫∫ 2

4

3

4)144()12(

2322

Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,

6/1+=′ KK .

Contoh: Hitunglah ∫−

= dx

x

xy

21

3

Misalkan x

dvdxx

dx

dvvx

221 2

−=→−=→=−

22/1

2/1

2/1213

2/12

3

2

3

2

3

1

3 y x

vdvv

x

dv

v

xdx

x

x−−=−=−=

−=

−= ∫∫ −


∫∫ ++ dxxdxx 14 ; )1(2

; ∫∫∫++

+ dx

x

xdx

xdxx

12

; )23(

1 ; 52

22

5

13.5. Integral Fungsi Berpangkat -1: ∫ vdv

Karena v

dvvd =)(ln , maka Kv

v

dv+=∫ ln . Integrasi ini

memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi ∫ dxvn

.

Contoh: Carilah integral ∫ += dx

x

xy

1

2

2

Misalkan x

dvdxx

dx

dvxv

2212 =→=→+=

∫∫ ++=+==+

= KxKvx

dv

v

xdx

x

xy )1ln(ln

2

2

1

2 2

2

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫∫ ∫∫∫ ∫ +−+−−+ 14 ;

1 ;

1 ;

32 ;

4 ;

32 223

2

x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

dx

x

dxx

x

dx

13.6. Integral Fungsi Eksponensial: ∫ dvev

Karena dvede vv = maka Kedvevv +=∫

Soal-Soal:

∫∫∫∫ + x

xxxx

e

dxedxedxxedxe

21 ; ; ; 3/2 2

13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : ∫ dvav

Karena advada vv ln= maka Ka

adva

vv +=∫ ln

Contoh: Carilah ∫= dxyx2

3

Misalkan v = 2x → 2

2dv

dxdx

dv=→=

∫∫ +=== Kdvdxyxv

x

3ln

3

2

1

2

33

22


13.8. Integral Fungsi Trigonometri

Karena vdvvd cossin = maka Kvdxv +=∫ sincos

Karena vdxvd sincos −= maka Kvdxv +−=∫ cossin

Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain

termuat dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah integral tak tentu ∫= xdxy 2sin

Misalkan 2

22dv

dxdx

dvxv =→=→=

2

2cos

2

cos

2

sin2sin

xvdv

vxdxy −=

−=== ∫∫


∫∫∫ + xdxdxxxdx 3cos4 ; )22cos( ; 4sin .

∫∫ xdxxdxxx cossin ; cossin2 2 .

∫∫ axdxxdx22

cos ; sin

∫∫ −dx

x

xxdxx

2cos2

2sin ; sincos2 .

13.9. Integral Fungsi Hiperbolik

Karena vvd cosh)(sinh = maka Kvvdv +=∫ sinhcosh

Karena vdvvd sinh)(cosh = maka Kvvdv +=∫ coshsinh

Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat

dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah ∫ += dxxy )12cosh(

Misalkan 2

212dv

dxdx

dvxv =→=→+=

Kx

Kvdvvdxxy

++=

+==+= ∫∫)12sinh(

2

1

sinh2

1)cosh(

2

1)12cosh(

7

Soal-Soal: Carilah integral berikut

∫∫∫∫∫ xdxdxx

xxdxxdxdx

x

x 2

4

2tanh ;

cosh

sinh ; 2cosh ; tanh ;

sinh

13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi

Integral fungsi-fungsi yang berbentuk ∫− 21 v

dv , ∫ + 21 v

dv,

∫−12

vv

dv dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,

menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.

Contoh: Carilah ∫−

=241 x

dxy

Jika kita membuat pemisalan 241 xv −= maka xdx

dv8−= atau

x

dvdx

8−= . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan

integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk x

dvv

8

2/1

−∫ −

yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat

ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.

Namun bentuk ∫− 241 x

dx ini dapat kita transformasi menjadi bentuk

yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x

yang akan memberikan 2=dx

dv atau

2

dvdx = . Persoalan integral kita

menjadi

∫∫∫−

=−

=−

=222

12

1

1241 v

dv

v

dv

x

dxy

yang menghasilkan KxKvy +=+= −− )2(sin2

1sin

2

1 11

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫∫∫∫∫ −++−+

1 ;

4

;

4

;

1

;

4122222 x

dx

xx

dx

x

dx

x

dx

x

dx


13.9. Relasi Diferensial dan Integral

Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya.

Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9

dan 16, 17 yang sering kita temui.

Tabel-13.1.

1. dxdx

dvdv = 1. Kvdv +=∫

2. kdvkvd =)( 2. ∫∫ = dvkkdv

3. dwdvwvd +=+ )( 3. ∫∫∫ +=+ dwdvdwdv )(

4. dvnvdv nn 1−= 4. Cn

vdvv

nn +

+=

+

∫ 1

1

; n≠1

5. v

dvvd =)(ln 5. Kv

v

dv+=∫ ln

6. dvede vv = 6. Kedvevv +=∫

7. advada vv ln= 7. Ka

adva

vv +=∫ ln

8. vdvvd cos)(sin = 8. Kvvdv +=∫ sincos

9. vdvvd sin)(cos −= 9. Kvvdv +−=∫ cossin

10. vdvvd 2sec)(tan = 10. ∫ += Kvvdv tansec2

11. vdvvd 2csc)(cot −= 11. Kvvdv +−=∫ cotcsc2

12. vdvvvd tansec)(sec = 12. Kvvdv +=∫ sectansec

13. vdvvvd cotcsc)(csc −= 13. Kvvdv +−=∫ csccotcsc

14. vvd cosh)(sinh = 14. Kvvdv +=∫ sinhcosh

15. vdvvd sinh)(cosh = 15. Kvvdv +=∫ coshsinh

16. vdvvd 2hsec)(tanh = 16. Kvvdv +=∫ tanhhsec2

9

17. vdvvd 2hcsc)(coth −= 17. Kvvdv +−=∫ cothhcsc 2

18. vdvvvd tanhhsec)sech( −= 18. Kvvdvv +−=∫ sechtanhhsec

19. vdvvvd cothhcsc)csch( −= 19. Kvvdvv +−=∫ coshcothcsch

20.2

1

1

)(sin

v

dvvd

−=−

20. ∫ +=−

− Kv

v

dv 1

2sin

1

21.2

1

1

)(cos

v

dvvd

−

−=−

21. ∫ ′+−=

−

−Kv

v

dv 1

2cos

1

22. 2

1

1tan

v

dvvd

+=−

22. ∫ +=+

−Kv

v

dv 1

2tan

1

23. 2

1

1cot

v

dvvd

+

−=−

23. ∫ +−=+

−Kv

v

dv 1

2cot

1

24.

1

sec2

1

−=−

vv

dvvd 24. ∫ +=

−

−Kv

vv

dv 1

2sec

1

, v >0

25.

1

csc2

1

−

−=−

vv

dvvd 25. ∫ +−=

−

− Kvvv

dv 1

2csc

1, v >0

26.2

1

1)(sinh

v

dvvd

+=−

26. ∫ +=+

−Kv

v

dv 1

2sinh

1

27.

1

)(cosh2

1

−=−

v

dvvd 27. ∫ +=

−

− Kv

v

dv 1

2cosh

1

28.2

1

1)(tanh

v

dvvd

−=−

28. ∫ +=−

− Kvv

dv 1

2tanh

1; jika |v|<1

29.2

1

1)(coth

v

dvvd

−=−

29. ∫ +=−

−;coth

1

1

2Kv

v

dv jika |v|>1

30. 2

1

1

)h(sec

vv

dvvd

−

−=−

30. ∫ +−=−

−;hsec

1

1

2Kv

vv

dv

31. 2

1

1

)h(csc

vv

dvvd

+

−=−

31. ∫ +−=+

−;hcsc

1

1

2Kv

vv

dv


Catatan Tentang Isi Tabel-13.1.

Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat

melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:

Fungsi mononom dan polinom: ∫vdv

Fungsi polinom berpangkat: ∫∫ v

dvdvvn ;

Fungsi exponensial: ∫∫ dvadvevv

;

Fungsi trigonometri: ∫ vdvcos ; ∫ vdvsin ; ∫ vdv2

sec ; ∫ vdv2

csc ;

∫ vdvtansec ; ∫ vdvcotcsc .

tetapi tidak: ∫ vdvtan ; ∫ vdvcot ; ∫ vdvsec ; ∫ vdvcsc .

Fungsi hiperbolik: ∫ vdvcosh ; ∫ vdvsinh ; ∫ vdv2hsec ;

∫ vdv2hcsc ; ∫ vdvv tanhhsec ; ∫ vdvv cothcsch .

tetapi tidak: ∫ vdvtanh ; ∫ vdvcoth ; ∫ vdvhsec ; ∫ vdvhcsc .

Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri

inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti

∫− 21 v

dv ; ∫ + 21 v

dv; ∫

−12vv

dv; ∫

+ 21 v

dv ;

∫−12v

dv ; ∫ − 21 v

dv; ∫

− 21 vv

dv; ∫

+ 21 vv

dv.

tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti

∫ − vdv1sin ; ∫ − xdx1tan ; ∫ −vdv

1sinh ; ∫ −

vdv1

tanh

Tabel-13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang

berbentuk ∫∫∫ −±+

dsb ; ; ; 2222

22dvavdvva

va

dv

11

BAB 14

Integral (3)

(Integral Tentu)

14.1. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.

Konsep dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang dipandang

sebagai suatu limit.

Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y =

f(x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang

diarsir pada Gb.14.1.a.

Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan

kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian

menjumlahkannya untuk memperoleh Apq.

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas

segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.b, kita akan memperoleh luas

yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas

segmen ini Apqb (jumlah luas segmen bawah).

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas

segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.c, kita akan memperoleh luas

yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas

segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan

terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seperti digambarkan

pada Gb.14.1.d.

Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu

antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku

)()()( 0 xxfxfxf kkk ∆+≤≤ (14.1)

Jika pertidaksamaan (14.1) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil dan bernilai positif, maka

kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0 (14.2)


(a)

(b)

(c)

(d)

Gb.14.1. Menghitung luas bidang di bawah kurva.

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

13

Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (14.2) kita

jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita

buat), kita akan memperoleh

k

n

k

k

n

k

kk

n

k

kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11

0

1

)()()( (14.3)

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling

kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah

jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa

pqanpqb AAA ≤≤ (14.4)

Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita

cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n.

Jika n kita perbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua ∆xk menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah

pqanpqbpq AAAA limlimlim === (14.5)

Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit

yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau

atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,

dituliskan

∫=q

ppq dxxfA )( (14.6)

Integral tertentu (14.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)

] )()()()( pFqFxFdxxfAqp

q

ppq −=== ∫ (14.7)

Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,

penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan

dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:

a. integrasi untuk memperoleh ∫= dxxfxF )()( ;

b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);

c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);

d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).


Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang

bernilai positif dalam rentang qxp ≤≤ , namun pembahasan itu berlaku

pula untuk fungsi yang dalam rentang qxp ≤≤ sempat bernilai negatif.

Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan Apx

dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan

berlaku umum, yaitu

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh )(xfy ==== dan sumbu-x

dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di

atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 14.2.

Gb.14.2. Kurva xxy 123 −−−−====

Kita akan menghitung luas antara xxy 123 −= dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.14.2

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian

yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas

75,33)5425,20(0

64

)12(

0

3

240

3

3

=−−−=

−=−=

−−∫ x

xdxxxAa

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan

75,33)0(5425,20

64

)12(

3

0

243

0

3

−=−−=

−=−= ∫ x

xdxxxAb

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

y = x3−12x

15

Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x

dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x

5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai

Apx, formulasi

( )))()( pFqFdxxfAq

p−== ∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di

bawah sumbu-x.

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.14.3. kita

dapatkan

4321 AAAAApq +−+−=

yang kita peroleh dari

( )))()( pFqFdxxfAq

ppq −== ∫

Gb.14.3. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.

p

q

y

x

A4

A1

A2

A3

y = f(x)


14.2. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva )(11 xfy = dan

)(22 xfy = pada batas antara x = p dan x = q . Kurva yang kita hadapi

sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ . Kita

tetapkan bahwa kurva )(11 xfy = berada di atas )(22 xfy = meskipun

mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x.

Perhatikan Gb.14.4.

Rentang qxp ≤≤ kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya

diperlihatkan pada Gb.14.4. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), dimana npqx /)( −=∆ .

Gb.14.4. Menghitung luas bidang antara dua kurva.

Luas segmen dapat didekati dengan

{ } xxfxfAsegmen ∆−= )()( 21 (14.8)

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh

{ }∑∑∆−=

=

∆−=xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 21

1

(14.9)

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit

{ }∫∑ −==∞→ q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21

1

(14.10)

Kita akan melihat beberapa contoh

Contoh 1: Jika 41 =y dan 22 −=y berapakah luas bidang antara y1

dan y2 dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

{ } ] 30)12(186)2(4(32

3

2=−−==−−= +

−+

−∫ xdxApq

p

q

y

x 0

y1

y2

x x+∆x

∆Apx

17

Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas

yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar 621 =− yy

dan panjang 512 =− xx .

Contoh 2: Jika 2

1 xy = dan 42 =y berpakah luas bidang yang dibatasi

oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada

perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,2

4

21

221

==−==⇒

=→=

qxpx

xyy

Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak

minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian

kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada

di di bawah y2 = 4.

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2

=−

−=

−−−−

−

−==−= ∫−x

xdxxApq

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan

melakukan kesalahan:

03

16

3

168

3

88

3

8

43

)4(*

2

2-

32

2

2

=+

−−

=

+

−−

−

−=−= ∫− x

xdxxApq

Contoh 3: Jika 221 +−= xy dan xy −=2 berapakah luas bidang yang

dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y1

adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang

memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus melalui

titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka bagian kurva y1

yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya berada di atas y2.


Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.

22

811 ;1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

=−

+−−==−=

−

++−==

=++−−=+−→=

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

=

−+

−−−

++−=

++−=++−=

−−∫ x

xxdxxxApq

14.3. Penerapan Integral

Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah

suatu kurva. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan

untuk memudahkan visualisasi. Dalam praktek kita tidak selalu

menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang

berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula

divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat

dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolah-

olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh

dalam kelistrikan.

Contoh 1: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan

200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan

energi diberi simbol w, maka

dt

dwp = yang memberikan ∫= pdtw

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas

bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan

satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8

jam adalah

[kWh]hour Watt kilo 8,0 [Wh]r Watt.hou800

100 1008

0

8

0

8

0

==

=== ∫∫ tdtpdtw

19

Contoh 2: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu

sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan

melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

dt

dqi = sehingga ∫= idtq

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0===== ∫∫ ttdtidtq

14.4. Pendekatan 5umerik

Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkah-

langkah dalam menghitung suatu integral adalah:

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses

perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,

∆x.

2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai

∑∫=

→∆∆=

n

k

kkx

q

pxxfdxxf

10

)(lim)(

dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen ∆xk jika ∆x menuju nol.

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai

terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi

masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan

cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan

kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi

oleh kurva xxy 123 −= dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Lauas


ini telah dihitung dan menghasilkan 5,67=pqA . Kali ini kita melakukan

perhitungan pendekatan secara numerik dengan bantuan komputer.

∫− −=3

3

3)12( dxxxApq

Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-x,

maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x harus dihitung sebagai

positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 0,15 maka rentang 33 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− x

akan terbagi dalam 40 segmen. Perhitungan menghasilkan

4,6739875,67)12(

40

1

3 ≈=−=∑=k

kkpq xxA

Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.

Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang 33 ≤≤− x akan terbagi

dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan

5,6748875,67)12(

120

1

3 ≈=−=∑=k

kkpq xxA

Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.

Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,

maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap

segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum

masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas

setiap segmen menjadi

( ) 2/)()( min xxfxfA kmaksksegmen ∆×+= (14.13)

Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan

komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun

menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.

21

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut

Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan

dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison

Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika

di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,

ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.

5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.

Documents

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · cos 2 sin sin2 v x dv v y xdx =− − =∫ = ... ∫sin−1vdv; ∫tan−1xdx;∫sinh−1 vdv; ∫tanh−1 Tabel-13.1 tidak memuat relasi