Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Unit Kegiatan Belajara Mandiri
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 1 | P a g e
MTKP-3.1/4.1/1/1.1
FUNGSI EKSPONEN
Mata Pelajaran : MATEMATIKA (PEMINATAN)
Semester : 1
Kompetensi Dasar : 3.1 Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitanannya
4.9 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma
Indikator Pencapaian Kompetensi : 3.1.1 Menjelaskan kembali konsep dan prinsip fungsi eksponensial
3.1.2 Menentukan penyelesaian fungsi eksponensial menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitannya
4.1.1 Terampil menyajikan grafik fungsi eksponensial dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan peluruhan
4.1.2 Terampil mengolah data dan menganalisis untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial
Materi Pokok : FUNGSI EKSPONEN
Alokasi Waktu : 6 JP x 2 Pertemuan
Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menjelaskan kembali konsep dan prinsip fungsi eksponensial, menentukan penyelesaian fungsi eksponensial menggunakan masalah kontekstual serta keberkaitannya, terampil menyajikan grafik fungsi eksponensial dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan peluruhan, terampil mengolah data dan menganalisis
I D E N T I T A S 1
Fungsi Eksponensial
2 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C).
Materi Pembelajaran : Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Matematika Peminatan X karangan Sukino halaman 4 - 18
Unit Kegiatan Belajara Mandiri
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 3 | P a g e
PETA KONSEP 2
PROSES BELAJAR 3
Fungsi Eksponensial
4 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
KEGIATAN BELAJAR 01
a. teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.
A URAIAN SINGKAT MATERI
Anak-anak, sebelum Anda belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.
Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKB ini. Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi !
PETUNJUK UMUM PENGGUNAAN UKBM: a. Biasakan berdoa’ sebelum memulai pelarajan sesuai dengan tata-cara yang berlaku dan telah
ditetapkan di madrasah/sekolah masing-masing b. Pahamilah terlebih dahulu materi yang akan diajarkan, baik dengan cara membaca Buku Teks Pelajaran
(BTP) yang dimiliki atau browsing melalui internet c. Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berpikir tinggi melalui tugas-tugas yang
terdapat pada UKBM ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. d. Kerjakan tugas-tugas yang terdapat dalam UKBM ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada
bagian yang telah disediakan. e. Anda dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegitan TUGAS MANDIRI, apabila Anda yakin sudah
paham dan mampu menyelesaikan semua permasalahan-permasalahan yang terdapat dalam kegiatan belajar, Anda boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.
Unit Kegiatan Belajara Mandiri
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 5 | P a g e
Contoh masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi eksponen: Udara di kota-kota besar pada umumnya memiliki kadar karbondioksida (CO2) yang cukup tinggi. Tingginya kadar CO2 dapat mengakibatkan polusi udara. Peningkatan kadar CO2 ini dapat digambarkan sebagai fungsi eksponen.
B LATIHAN TERBIMBING
Agar lebih memahami, ayo berlatih berikut.
Misalkan suatu toko CD menjual 2 buah CD band A pada hari pertama, pada hari kedua
terjual 4 buah CD band yang sama, pada hari ketiga terjual 8 buah CD, dan seterusnya.
Berapa total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-20?
Lengkapilah tabel di bawah ini dimana y menunjukkan total banyaknya CD yang terjual
hingga hari ke-x, yang dinyatakan dengan sebuah fungsi eksponen.
x
Banyaknya hari
y
Total CD terjual
1 .... (=2....) 2 .... (=2....)
3 .... (=2....)
4 .... (=24)
...
20 ....(=........)
...
X ....(=........)
Hal ini berarti: 220 ≈ (210)2, 220 ≈ (103)2, atau 220 ≈ 106
Pada tabel di atas y = 2x menunjukkan pada hari ke-20 (saat x = 20), terjual
y = 220 buah CD
Jika dihitung dengan kalkulator akan diperoleh sekitar 1 juta CD yang terjual.
Perhitungan pendekatan hingga hari ke-20 ini berdasarkan memo di atas.
Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-6 adalah .... ≈ ....
MEMO
210 = 1, 024
≈ 103
Fungsi Eksponensial
6 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-10 adalah .... ≈ .... Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-20 adalah .... ≈ .... Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-x adalah .... ≈ ....
Jika Anda belum jelas, tanyakan ke Guru. Jika sudah jelas mari kita lanjutkan
materinya ke tugas mandiri berikut
C TUGAS MANDIRI
Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka selesaikan
permasalahan fungsi eksponen berikut!
Penyelesaian:
Total jumlah bakteri setelah 4 hari adalah 100.000 × 24
4 = ....
Total jumlah bakteri setelah 8 hari adalah 100.000 × 2…..
4 = ....
Total jumlah bakteri setelah 12 hari adalah 100.000 × 2……
4 = ....
Total jumlah bakteri setelah t hari adalah 𝑃(𝑡) = 𝑃0 × 2𝑡
𝑑
Apabila kalian telah mampu memahami permasalahan di atas, maka kalian bisa
melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.
Gelas air yang mula-mula berisi 100.000 bakteri,
membelah diri dua kali lipat setiap 4 hari.
Hitunglah jumlah bakteri setelah 4, 8, dan 12 hari!
Unit Kegiatan Belajara Mandiri
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 7 | P a g e
KEGIATAN BELAJAR 02
A URAIAN SINGKAT MATERI
Setelah kalian belajar tentang definisi fungsi eksponensial pada contoh kegiatan belajar 1, sekarang perhatikan catatan berikut! Misalkan 𝑎 menyatakan konstanta positif yang lebih dari 1. Fungsi eksponen dengan bilangan pokok 𝑎 ditentukan oleh formula: 𝑦 = 𝑎𝑥 . Dalam berbagai aplikasi sains, fungsi eksponensial berada dalam bentuk: 𝑦 = 𝑛𝑎𝑘𝑥 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛, 𝑎, 𝑑𝑎𝑛 𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎.
B LATIHAN TERBIMBING
Contoh: - Persamaan 𝑦 = 2𝑥 dan 𝑦 = 3𝑥 menyatakan fungsi eksponensial dengan bilangan
pokok 2 dan 3
- Persamaan 𝑦 = (1
2)
𝑥 menyatakan fungsi eksponensial dengan bilangan pokok
1
2
- Persamaan 𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦 = 𝑥3 bukan fungsi eksponensial Untuk memahami analisis dalam melukis grafik fungsi eksponensial, mula-nula tabel fungsi dibuat dengan persamaan 𝑦 = 2𝑥. Dari nilai x dan y diperoleh titik-titik (x, y) yang dilukiskan pada diagram Cartesius berupa titik (bulatan kecil), yang jika dihubungkan akan terjadi kurva 𝑦 = 2𝑥. Lengkapi tabel berikut dan salinlah grafiknya dalam kertas berpetak yang disediakan
x -3 -2 -1 0 1 2 3
𝑦 = 2𝑥
1
8
.......
.......
........
.......
.......
.......
Jika sudah memahami, lanjutkan pada kegiatan ayo berlatih berikut.
C TUGAS MANDIRI
Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah soal berikut di buku kerja kalian!
a. Lukislah sketsa grafik 𝑦 = (1
2)
𝑥, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝑅
b. Lukislah sketsa grafik 𝑦 = −3−𝑥 + 1, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝑅 Penyelesaian: a. Lengkapi tabel berikut:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
8
.......
.......
........
.......
.......
Fungsi Eksponensial
8 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
𝑦 = (1
2)
𝑥
1
8
b. Untuk melukis fungsi 𝑦 = −3−𝑥 + 1 kalian berpedoman pada fungsi 𝑦 = 3𝑥 dengan melakukan proses refleksi (pencerminan) dan translasi (pergeseran). Ikuti langkah-langkah berkut:
- Mulailah dengan melukis 𝑦 = 3𝑥 - Lakukan pencerminan 𝑦 = 3𝑥 terhadap sumbu Y, diperoleh grafik 𝑦 = 3−𝑥 - Lakukan pencerminan 𝑦 = 3𝑥 terhadap sumbu X, diperoleh grafik 𝑦 = −3−𝑥 - Lakukan translasi grafik 𝑦 = −3−𝑥 satu satuan ke atas, diperoleh grafik 𝑦 = −3−𝑥 +
1
Perhatikan hasil lukisan kalian untuk grafik 𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = (1
2)
𝑥
Kedua gambar tersebut menunjukkan grafik 𝑓: 𝑥 → 𝑎𝑥 dalam dua keadaan, yaitu 𝑎 >1 𝑑𝑎𝑛 0 < 𝑎 < 1. Dengan memperhatikan kedua grafik tersebut maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Kedua grafik berpotongan di titik .... 2. Kurva selalu berada di atas sumbu ....
3. Grafik 𝑓(𝑥) = (1
𝑎)
𝑥dapat juga diperoleh dengan mencerminkan grafik 𝑔(𝑥) =
𝑎𝑥 , 𝑎 > 1 terhadap sumbu Y. Dengan kata lain, kedua grafik simetris terhadap sumbu ....
4. Kurva mempunyai asimtot datar pada garis y = .... atau sumbu .... 5. Domain fungsi 𝑦 = 2𝑥 adalah −∞ < 𝑥 < ∞ dengan range 0 < 𝑦 < ∞, dan domain
fungsi 𝑦 = (1
2)
𝑥 adalah −∞ < 𝑥 < ∞ denganm range 0 < 𝑦 < ∞
Unit Kegiatan Belajara Mandiri
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 9 | P a g e
Bagaimana kalian sekarang?
Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1-3, berikut
diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari.
Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.
Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi
No Pertanyaan Ya Tidak 1. Apakah kalian mampu menjelaskan kembali konsep
dan prinsip fungsi eksponensial?
2. Dapatkah kalian menentukan penyelesaian fungsi eksponensial menggunakan masalah kontekstual serta keberkaitannya?
3. Apakah kalian terampil menyajikan grafik fungsi eksponensial dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan peluruhan?
4. Apakah kalian terampil mengolah data dan menganalisis untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial?
Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali
materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1 –
3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan
putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua
pertanyaan, maka lanjutkan berikut.
Dimana posisimu?
Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Fungsi Eksponensial rentang 0 – 100,
tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.
Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Fungsi Eksponensial lanjutkan kegiatan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!
.
Fungsi Eksponensial
10 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Fungsi Eksponensial!
Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Fungsi Eksponensial, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing. 1. Tuliskan sifat-sifat fungsi eksponensial?
2. Carilah nilai pendekatan 240 ke dalam bentuk perpang katan 10
3. Diberikan 𝑓(𝑥) = 8𝑥. Carilah nilai dari 𝑓 (𝑎
3) 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = (
1
√3)
4. Tuliskan deretan bilangan berikut dalam urutan turun
a. (√33
)5
, 1, (√35
)4
, 30,7𝑑𝑎𝑛 (√34
)3
b. √1
3
3, √
1
5
5, √
1
6
6
5. Lukislah grafik fungsi 𝑦 = 3𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = (1
3)
𝑥
6. Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada
waktu 15 menit pertama banyak bakteri ada 400. Tentukan banyak bakteri pada
waktu 30 menit pertama!
Setelah menyelesaikan permasalahan di atas dan mengikuti kegiatan belajar 1 - 3,
bagaimana penyelesaian permasalahan pada stimulus di bagian awal pembelajaran
(sebelum kegiatan belajar 1)? Silahkan kalian berdiskusi dengan teman sebangku atau
teman lain. Kemudian tuliskan penyelesaian matematika tersebut di buku kerja masing-
masing!.
Ini adalah bagian akhir dari UKB materi Fungsi Eksponensial, mintalah tes formatif kepada
Guru kalian sebelum belajar ke UKB berikutnya.
Sukses untuk kalian!!!
MTKP-3.2/4.2/2/........13
PROYEKSI ORTOGONAL
Mata Pelajaran : MATEMATIKA (PEMINATAN)
Semester : 2
Kompetensi Dasar :
3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
Indikator Pencapaian Kompetensi : 3.2.12. Menjelaskan proyeksi vektor ortogonal suatu vektor pada vektor lain.
3.2.13. Menjelaskan proyeksi vektor ortogonal suatu vektor pada vektor lain.
3.2.14. Menentukan vektor hasil proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,
3.2.15. Menentukan panjang vektor hasil proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,
4.2.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,
Materi Pokok : PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN
Alokasi Waktu : 3 JP x 3 Pertemuan
Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menemukan rumus proyeksi skalar, proyeksi vektor ortogonal dan dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi ortogonal, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C)
I D E N T I T A S 1
Proyeksi Ortogonal
2 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
PETA KONSEP 2
PROSES BELAJAR 3
Materi Pembelajaran : Faktual:
Permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi ortogonal
Konseptual:
Proyeksi ortogonal ( Proyeksi skalar dan proyeksi vektor)
Prosedural
a. Langkah-langkah menentukan vektor hasil proyeksi dan panjang proyeksi.
b. Menyelesaikan masalah kontekstual Proyeksi ortogonal
a. teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.
PETUNJUK UMUM PENGGUNAAN UKBM: a. Biasakan berdoa’ sebelum memulai pelarajan sesuai dengan tata-cara yang berlaku dan telah
ditetapkan di madrasah/sekolah masing-masing b. Pahamilah terlebih dahulu materi yang akan diajarkan, baik dengan cara membaca Buku Teks Pelajaran
(BTP) yang dimiliki atau browsing melalui internet c. Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berpikir tinggi melalui tugas-tugas yang
terdapat pada UKBM ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. d. Kerjakan tugas-tugas yang terdapat dalam UKBM ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada
bagian yang telah disediakan. e. Anda dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan TUGAS MANDIRI, apabila Anda yakin
sudah paham dan mampu menyelesaikan semua permasalahan-permasalahan yang terdapat dalam kegiatan belajar, Anda boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes
formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.
Proyeksi Ortogonal
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 3 | P a g e
KEGIATAN BELAJAR 01
A URAIAN SINGKAT MATERI
Tahukah kalian, apakah artinya proyeksi?
B LATIHAN TERBIMBING
Amati gambar di bawah ini, kemudian jawab pertanyaan berikut
Proyeksi titk A pada ruas garis AD adalah
A sendiri. Proyeksi titik B pada ruas garis
AD , ditentukan dengan cara melukis ruas
garis BC yang tegak lurus ruas garis AD
sehingga proyeksi ttik B pada ruas garis
AD adalah C. Proyeksi AB pada ruas
garis AD adalah ruas garis AC
Perhatikan gambar berikut ini
Jika vektor a diproyeksikan pada vektor b ,
maka hasilnya adalah sebuah vektor yang
segaris dengan vektor b .
Vektor c adalah proyeksi ortogonal vektor a
pada vektor b
PROYEKSI ORTOGONAL
PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL
Setelah memahami tentang proyeksi , mari kita pelajari proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .
Proyeksi Ortogonal
4 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
1. Tulislah pendapatmu tentang vektor c .
2. Jelaskan bagaimana cara memproyeksikan vektor a pada vektor b .
3. Seperti tampak pada gambar bahwa vektor a dan vektor b segaris .Apa pendapatmu
tentang vektor satuan dari vektor a dan vektor satuan dari vektor b ?
4. Berdasarkan gambar di atas, jika panjang vektor a = | a | dan panjang vektor c = |c |,
nyatakan cos sebagai perbandingan trigonometri.
5. Tulislah rumus cos , jika adalah sudut antara vektor a dan vektor b
Setelah menjawab semua pertanyaan, sekarang pelajari bagaimana menentukan proyeksi
ortogonal vektor a pada vektor b .
Dengan memperhatikan gambar di atas, dapat peroleh beberapa hal.
1. Vektor c adalah vektor hasil proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b
2. Jika panjang vektor a = | a | dan panjang vektor c = |c | maka cos = | |
| |
c
a
3. Dari UKBM sebelumnya diperoleh bahwa cos =
| || |
a b
a b
4. Dari 1) dan 2) dapat diperoleh : | |
| |
c
a =
| || |
a b
a b
|c | =
.........
| |b
5. Vektor satuan c ditulis c = | |
c
c c = |c | c
6. Vektor satuan b ditulis b = | ..... |
b
7. Vektor c dan b segaris , akibatnya c = b
Selanjutnya vektor c dapat diperoleh dengan cara :
c = | c | c
= | c | b
c = .........
| |b
| ..... |
b
c = 2
.........
| |b b
Jadi proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah c = 2| |
a bb
b
Tulis jawaban kalian pada buku kerja.
Proyeksi Ortogonal
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 5 | P a g e
Tentukan proyeksi ortogonal a = ˆˆ ˆ5 6i j k pada b = ˆˆ ˆ2 2i j k
Altdrnatif Penyelesaian :
Diketahui a = ˆˆ ˆ5 6i j k =
5
6
1
dan b = ˆˆ ˆ2 2i j k =
2
1
2
c = 2| |
a bb
b
=
2
2 2 2
5 2
6 1
1 2
2 1 ( 2)
2
1
2
=
2
5 2 6 1 ( 1) ( 2)
4 1 4
2
1
2
= 18
9
2
1
2
=
4
2
4
= ˆˆ ˆ4 2 4i j k
C TUGAS MANDIRI
1. Diketahui vektor-vektor ˆˆ ˆ3 6a i j k , ˆˆ ˆ4 5b i j k ˆˆ ˆ3 4 12c i j k . Tentukan
proyeksi vektor a b pada c
2. Diketahui titk A(2,-1,3) , B(5, 0, -2) dan C(1, 1, 1), AB mewakili u dan AC mewakili v .
Tentukan proyeksi u pada v .
3. Gaya yang dinyatakan oleh vektor (1, 8, 7)R merupakan kombinasi tiga vektor
yang saling tegak lurus. Salah satu vektor tersebut adalah ˆˆ ˆ2 2a i j k .Tentukan
komponen gaya R pada a
Contoh
Tulis jawaban kalian pada buku kerja.
Proyeksi Ortogonal
6 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
KEGIATAN BELAJAR 02
A URAIAN SINGKAT MATERI
Jika c merupakan vektor proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b , maka panjang c
(ditulis | c |) disebut juga Proyeksi Skalar Ortogonal vektor a pada vektor b .
Proyeksi Skalar Ortogonal ini dapat ditentukan dengan menggeneralisasi pengetahuan yang sudah kalian pelajari pada Kegiatan Belajar sebelumnya..
Dengan latihan terbimbing.... Ayo tunjukkan bahwa :
Proyeksi skalar a pada vektor b = | c | = a b
b
.B LATIHAN TERBIMBING
Misalkan c adalah hasil proyeksi vektor a pada vektor b , maka c terletak pada b
seperti tampak pada gambar di samping.
Jika adalah sudut antara vektor a dan b ,
maka cos| || |
a b
a b
. ..........1)
Pada AOC di titik C,
panjang sisi di samping sudut = | c |
panjang sisi miring = | a |
| |
cos| |
c
a ................. 2)
Ayo tunjukkan bahwa panjang c = | c | = a b
b
PROYEKSI SKALAR ORTOGONAL
Bagaimana menentukan panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b ?
Proyeksi Ortogonal
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 7 | P a g e
1. Tentukan proyeksi skalar ˆˆ ˆ2 2p i j k pada ˆˆ ˆ3 2 6q i j k
Alternatif Penyelesaian
Diketahui : ˆˆ ˆ2 2p i j k =
1
2
2
dan ˆˆ ˆ3 2 6q i j k =
3
2
6
| |q = 2 2 23 ( 2) 6
| |q = ...................
p q =
1
2
2
3
2
6
= ........ + ....... + ......... = ..........
Proyeksi skalar p pada q = p q
q
=
.......
....... = ..............
( Ingat ! karena satuan panjang selalu bernilai positif , maka gunakan nilai
mutlak)
2. Diketahui titk-titik ( 2,3, 4)A , (3,2,5)B , (1, 2,1)C dan (3,2, 4)D , Hitunglah
proyeksi skalar AB pada CD .
Alternatif Penyelesaian
Diketahui : ( 2,3, 4)A , (3,2,5)B , (1, 2,1)C dan (3,2, 4)D
AB =
.... ....
.... ....
.... ....
=
..
...
...
CD =
.... ....
.... ....
.... ....
=
..
...
...
CD = .....................
proyeksi skalar AB pada CD = AB CD
CD
=
.........
.........
Contoh
Proyeksi Ortogonal
8 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
KEGIATAN BELAJAR 03
C TUGAS MANDIRI
1. Tentukan proyeksi skalar (1,1,2)a pada (4, 12,6)b .
2. Titik A dan B pada gambar di bawah ini, masing-masing (1, 1, 7) dan (7, -5, 1). Titik
C membagi AB dengan 5 : 1
Hitunglah panjang vektor proyeksi a pada c
3. Diketahui koordinat titik (3, 2,0)A , (4,0, )B x dan (5, 1, 1)C . Jika panjang proyeksi
ortogonal vektor AB pada AC adalah 1
63
tentukan nilai n
A URAIAN SINGKAT MATERI
Dari Kegiatan Belajar 1 dan 2 kalian sudah mengetahui bagaimana cara
menentukan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain , baik proyeksi
vektor maupun proyeksi skalar. Mari kita latih kemampuan kalian melalui Latihan
Terbimbing dan dilanjutkan Tugas Mandiri
B LATIHAN TERBIMBING
1. Diketahui vektor ˆˆ ˆ2 6 3a i j k dan ˆˆ ˆ2 4b xi j k . Panjang proyeksi vektor
a pada b adalah 4
3 , tentukan nilai x.
Contoh
LATIHAN MANDIRI
Tulis jawaban kalian pada buku kerja.
Proyeksi Ortogonal
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 9 | P a g e
Alternatif Penyelesaian.
Misal proyeksi vektor a pada b adalah c , sehingga c = a b
b
Diketahui : ˆˆ ˆ2 6 3a i j k =
2
6
3
dan ˆˆ ˆ2 4b xi j k = 2
4
x
c = 4
3
a b =
2
6
3
2
4
x
= 2 12 12x = 2x , b = 2 4 16x =
2 20x
c = a b
b
4
3 =
2
2
20
x
x
24 20x
= 6x
(......)2( 20)x = (........)
............................= .........
..............................= 0
.......................................................
.......................................................
.......................................................
1 4x dan 2 4x
2. Diberikan vektor a , b dan c sebagai berikut
1
1
2
a
,
2
2 2b
p
dan
0
2
c q
jika panjang proyeksi vektor b pada a adalah 1 dan vektor b tegak
lurus terhadap c maka tentukan nilai p q .
Proyeksi Ortogonal
10 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
EVALUASI DIRI 4
Alternatif Penyelesaian.
Jadi nilai p q = ...................
C TUGAS MANDIRI
1. Vektor proyeksi ˆˆ ˆ2 3i j k terhadap vektor ˆˆ ˆ3i j pk adalah 1 1 1 ˆˆ ˆ2 2 2
i j pk .
Tentukan nilai p .
2. Tentukan nila p , jika panjang proyeksi
2
1a
p
pada 1
1
p
b
adalah 2
33
3. Diketahui vektor-vektor ˆˆ ˆ2a i j k , ˆ ˆ5b i j dan ˆˆ ˆ4 4 2c i j k .
Tentukan proyeksi 3 2a b pada c
Vektor b tegak lurus terhadap c maka ,
0b c
b c 0
.....
.....
.....
.....
.....
.....
= 0
..............................= 0
..............................= 0
…............................= ................
...............................= ................
1q
Panjang proyeksi vektor b pada a adalah 1,
jadi : b a
a
= 1
b a =
.....
.....
.....
.....
.....
.....
= ......................
2 2 2(.....) (.....) (.....)a
b a
a
= 1
............
............ = 1
........................= ................
........................= ................
........................= ................
2p
Proyeksi Ortogonal
2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 11 | P a g e
4. Perhatikan gambar di bawah.
A REFLEKSI DIRI
Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3 berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKBM ini di Tabel berikut.
Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi
No Pertanyaan Ya Tidak
1. Apakah kalian telah memahami konsep proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .
2. Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .
3. Dapatkah kalian menafsirkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .
4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .
Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali
materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar
1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman
sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab
“YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.
Dimana posisimu?
Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Vektor pada sub bab proyeksi ortogonal
suatu vektor pada vektor lain . dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang
tersedia.
Koordinat titik (1, 2,1)P , (2, 4,3)Q
dan (4,2,1)R . Jika S titik tengah QR
dan ST tegak lurus PQ. Tentukan PT
Tulis jawaban kalian pada buku kerja.
Proyeksi Ortogonal
12 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018
Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Vektor pada sub bab
proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain ., lanjutkan kegaitan berikut untuk
mengevaluasi penguasaan kalian!.
B UJI PEMAHAMAN
1. Ditentukan koordinat titik P(-2, 6, 5), Q(2, 6, 9), dan R(5, 5, 7). Jika A terletak pada PQ
dan perbandingan PA : AQ = 3 : 1. Tentukan Panjang proyeksi AR pada PQ
2. Proyeksi skalar
3
6
2 x
a pada vektor
1
2
2
b adalah 3
5. Tentukan nilai x
3. Bangun ABCD seperti terlihat pada gambar merupakan trapisium dengan AE = FB
4. Tentukan proyeksi ˆˆ ˆ4 3a i j k pada garis yang melalui titik (2,3, 1) dan
( 2, 4,3)
C RENCANA TINDAK LANJUT
Ini adalah bagian akhir dari UKBM materi Vektor pada sub bab Proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain , mintalah tes formatif kepada Guru kalian sebelum belajar ke UKBM berikutnya.
Sukses untuk kalian!!!
Jika ˆˆ ˆ3 3 4AB i j k dan
ˆˆ ˆ2AD i j k tentukan DC .