Embed Size (px)
Citation preview
FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS
DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK
INTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRAL
FUNGSI FAKTORIALFUNGSI FAKTORIAL
Definisi
∫∞
− =0
!ndxex xn
1!0 =Buktikan bahwa :
( ) 110!00
0 0
0 =−−=−===∞−
∞ ∞−−
∫ ∫xxx edxedxex
Terbukti
FUNGSI GammaFUNGSI Gamma
Definisi
( ) 0;0
1 >=Γ ∫∞
−− pdxexp xp
Hubungan fungsi Gamma dengan fungsi Faktorial
( ) ( ) !10 0
11 pdxexdxexp xpxp ===+Γ ∫ ∫∞ ∞
−−+−
( ) !1 pp =+Γ
( ) ( ) ( ) dst2!23,1!12,1!01 ==Γ==Γ==Γ
Nilai Fungsi Gamma ditabulasi Nilai Fungsi Gamma ditabulasi untuk Gamma 1 sampai untuk Gamma 1 sampai dengan Gamma 2dengan Gamma 2
Hubungan Rekursif Fungsi GammaHubungan Rekursif Fungsi Gamma
( ) ∫∞
−=+Γ0
1 dxexp xp
dppxduxu pp 1−==xx evdxedv −− −==
Lakukan integrasi parsial, seperti berikut :
xx evdxedv −− −==
( ) ( )∫∞
−−∞− −−−=+Γ0
1
01 dxpxeexp pxxp
( ) ( )ppdxexpp xp Γ==+Γ ∫∞
−−
0
11
( ) ( )ppp Γ=+Γ 1
Hubungan Rekursif Fungsi GammaHubungan Rekursif Fungsi Gamma
( ) ( )ppp Γ=+Γ 1
( ) ( ) ( ) ( ) 21222123 ==Γ=+Γ=Γ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 61622.312333134 ==Γ=+Γ=Γ=+Γ=Γ
dst
Hubungan Rekursif Fungsi GammaHubungan Rekursif Fungsi Gamma
( ) ( )11 +Γ=Γ pp
p
( ) ( ) ( )6,16,0
116,0
6,0
16,0 Γ=+Γ=Γ
( ) ( ) ( )5,01
15,11
5,1 −Γ=+−Γ=−Γ
Tabel F. Gamma
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )5,15,0
1
5,0
1
5,1
1
5,05,0
1
5,1
1
15,05,0
1
5,1
1
5,05,1
115,1
5,1
15,1
Γ−−
=
Γ−−
=
+−−−
=
−Γ−
=+−Γ−
=−Γ
Tabel F. Gamma
Nilai Nilai ΓΓΓΓΓΓΓΓ(0,5)(0,5)
( ) dtet
dtet tt −∞∞
−−∫∫ ==Γ00
15,0 15,0
Misalkan t = y2, maka dt = 2y dy
( ) ydyey
y2125,0 −
∞
∫=Γ( ) ydyey0
25,0 ∫=Γ
( ) xdxex
x2
0
125,0 −
∞
∫=Γ
( )[ ] ( )∫ ∫∞ ∞
+−=Γ0 0
2 22
45,0 dydxe yx
( )[ ] ∫ ∫=
∞−∞
− =−
==Γ2/
0 00
2
22445,0
2
2π
θ
ππθr
r edrdre
( )[ ] π=Γ 5,0 2
Nilai Nilai ΓΓΓΓΓΓΓΓ(0,5)(0,5)
( )[ ]( ) π
π=Γ
=Γ
5,0
5,0
Contoh soalContoh soal
Hitunglah integral berikut dengan Fungsi Gamma :
∫∞
−
0
2 2
dxex x
∫∞
−2 2
dxex x
Jawab
Misal u = x2, maka du = 2x dx∫−
0
2 dxex x Misal u = x2, maka du = 2x dx
Untuk x = 0 maka u = 0
Untuk x = ∞ maka u = ∞
( ) ( )4
5,02
1
2
15,1
2
1
2
1
2 0
2/1
0
π=Γ=Γ== ∫∫∞
−∞
− dueuu
duue uu
40
2 2 π=∫∞
− dxex x
Soal LatihanSoal Latihan
Hitunglah integral-integral berikut dengan Fungsi Gamma :
( )∫
∫
−∞
∞−
+2
0
3
2.2
.1
2
dyeyy
dtet
y
t
( )
( )∫
∫ +
1
0
3/1
0
ln.3
2.2
dxx
dyeyy
( ) ( )p
ppπ
πsin
1 =−ΓΓ
Formula penting terkait Formula penting terkait Fungsi GammaFungsi Gamma
Untuk p = 0,5
π( ) ( )π
π5,0sin
5,015,0 =−ΓΓ
( ) ( )
( )[ ]( ) π
π
π
=Γ
=Γ
=ΓΓ
5,0
5,0
15,05,0
2
( )z
zzz
ππ
sin!! =−
Contoh soalContoh soal
Bukti
( ) ( ) ( )zzzz −Γ+Γ=− 11!!
( ) ( ) ( )zzzzz −ΓΓ=− 1!!
Buktikan bahwa :
Ingat :
( ) !1 nn =+Γ
dan
( ) ( ) ( )zzzzz −ΓΓ=− 1!! ( ) ( )nnn Γ=+Γ 1
( ) ( ) ( )[ ]zzzzz −ΓΓ=− 1!!dan
( ) ( )n
nnπ
πsin
1 =−ΓΓ( )
=−
zzzz
ππ
sin!!
( )z
zzz
ππ
sin!! =−
Fungsi BetaFungsi Beta
Definisi 1 :
( ) ( ) .0;0;1,1
0
11 >>−= ∫−− qpdxxxqpB qp
( ) ( )pqBqpB ,, =( ) ( )pqBqpB ,, =
Definisi 2 :
( ) ( )∫−−
−+ −=a
qpqp
dyyaya
qpB0
111
1,
Fungsi BetaFungsi Beta
Definisi 3 :
( ) ( ) ( )∫−−=
2/
0
1212 cossin2,π
θθθ dqpB qp
Definisi 4 :
( ) ( )∫∞
+
−
+=
0
1
1,
qp
p
y
dyyqpB
Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gammadan Fungsi Gamma
( ) ∫∞
−−=Γ0
1 dtetp tp
∞ ∞
Fungsi Gamma
Misal t = y2, maka
( ) ∫∞
−−=Γ0
12 2
2 dyeyp yp ( ) ∫∞
−−=Γ0
12 2
2 dxexq xq
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
+−−∞
−=ΓΓ0
12
0
12 22
4 dydxeyxqp yxpq
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
−−−=ΓΓ0
122/
0
12 2
sincos4 θθθπ
rdrderrqp rpq
atau
Jika ΓΓΓΓ(p) dikalikan dengan ΓΓΓΓ(q) dikalikan maka :
Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gammadan Fungsi Gamma
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
−−−−+=ΓΓ0
122/
0
12122 sincos42
θθθπ
ddrerqp pqrqp
( )qp +Γ2
1 ( )qpB ,2
1
( ) ( ) ( ) ( )qpBqpqp ,2
1.
2
14 +Γ=ΓΓ
( ) ( ) ( )( )qp
qpqpB
+ΓΓΓ=,
Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gammadan Fungsi Gamma
( ) ( ) ( )( )
( )( )2
112
1,113
21
==Γ
ΓΓ=ππ
B
contoh
( )22
12
3Γ π
Contoh soal 1Contoh soal 1
dxxx∫2/
0
3 cossinπ
Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta
Solusi dengan def. Fungsi Beta 3 ( ) ( ) ( )∫−−=
2/
0
1212 cossin2,π
θθθ dqpB qp
( ) ( ) ( )∫∫ =2/
0
2/12/32/
0
2/13 cossincossinππ
dxxxdxxx
45
2312 ==− pp 4
32
112 ==− qq
( ) ( ) ( )( ) ......22
1,
2
1cossin 4
34
5
43
45
2/
0
3 =Γ
ΓΓ==∫ Bdxxxπ
Contoh soal 2Contoh soal 2
( )∫∞
+06
2
1 y
dyy
Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta
Solusi dengan def. Fungsi Beta 4 ( ) ( )∫∞
+
−
+=
0
1
1, qp
p
y
dyyqpB
321 ==− pp ( ) 36 ==+ qqp
0
( ) ( ) ( ) ( )( ) 120
4
6
333,3
106
2
=Γ
ΓΓ==+∫
∞
By
dyy
Jadi
Soal LatihanSoal Latihan
( )∫ +
∞
0231
.1y
dyy
Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta yang sesuai
∫
∫ −
2/
0
2
0
2
sin.3
2.2
π
θθd
x
dxx
Aplikasi dalam persoalan FisikaAplikasi dalam persoalan Fisika
Sket grafik 922 =+ yx
Gunakan fungsi Beta untuk menghitung :
a. Luas daerah pada kuadran pertama
b. Titik pusat massa dari daerah ini (anggap rapat massanya seragam)
Jawab
x
y
922 =+ yxa
∫∫ ∫ ∫∫−
===3
0
9
0
2y
dydxdydxdAA
dyyA ∫ −=3
0
29
Aplikasi dalam persoalan FisikaAplikasi dalam persoalan Fisika
dyyA ∫ −=3
0
29 Misalkan : xy =2 dxdyy =2
Batas :
93
00
=→==→=
xy
xy
( )99 1dx Gunakan Fungsi ( )∫∫ −=−= −9
0
2/12/19
0
92
1
29 dxxx
x
dxxA Gunakan Fungsi
Beta kedua
( ) ( )∫−−
−+ −=a
qpqp
dyyaya
qpB0
111
1,
( ) ( )∫−+−− =−
aqpqp qpBadyyay
0
111 ,
( ) ( )2/3,2/192
1 12/32/1 BA −+=
( ) ( ) ( )( )2
2/32/19
2
1
ΓΓΓ=A
( ) 92/19
1 πππ ==A ( )4
9
1
2/19
2
1 πππ ==A
Dengan rumus luas lingkaran :
( )4
93
4
1
4
1 22 πππ === rA Sama
B. Titik pusat massa luasan tersebut dihitung dengan rumus :
∫∫
∫∫ ==
dA
xdA
dM
dMxxpm ρ
ρ
∫∫
∫∫ ==
dA
ydA
dM
dMyypm ρ
ρ
∫∫ dAdMpm ρ
Dst ........
Fungsi Error dan PelengkapnyaFungsi Error dan Pelengkapnya
Definisi Fungsi Error
( ) ∫−=
xt dtexErf
0
22
π
Definisi Pelengkap Fungsi Error
( ) ∫∞
−=x
t dtexErfc22
π
Fungsi ErrorFungsi Error
( )
( ) ( )12
2
0
2
==Γ=∞
=∞ ∫∞
−
ππ
dteErf t Selesaikan dengan Fungsi Gamma
( ) ( ) 12
122
1 ==Γ=∞ππ
πErf
Fungsi Error dan PelengkapnyaFungsi Error dan Pelengkapnya
( ) ( )
+=+ ∫ ∫
∞−−
x
x
tt dtedtexErfcxErf0
222
π
( ) ( ) ∫∞
−=+22dtexErfcxErf t
π( ) ( ) ∫=+
0
dtexErfcxErfπ
( ) ( ) ( ) 1=∞=+ ErfxErfcxErf
( ) ( )xErfcxErf −= 1 ( ) ( )xErfxErfc −= 1
Fungsi ErrorFungsi Error
( ) ∫∞
−+−=4
2 .....12
dtt
txErf
Dari deret pangkat tak hingga :
...!4!3!2
1432
+++++= ttttet ...
!4!3!21
86422
++−+−=− tttte t
( ) ∫
−+−=
0
2 .....!2
12
dtt
txErfπ
( )x
tttxErf
0
53
....!2.53
2
−+−=
π
( )
−+−= ....
!2.53
2 53 xxxxErf
π1<<x
Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error
Definisi pelengkap fungsi error
Kita tuliskan :
dan lakukan integrasi by part sbb :
Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error
Sekarang tuliskan lagi :
−
= −− 22
2
11132
tt edt
d
te
t
kemudian lakukan integral by part lagi sbb :
Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error
Jika proses ini terus dilanjutkan, maka akan didapat ungkapan deret untuk pelengkap fungsi error, sbb :
1>>x
Contoh soalContoh soal
∫−
2
0
2
.1 dxe x
∫−
1022
.2 due u
∫−
5
2.2 due u
π
∫∞
−
1
2/22.3 dte t
π
Formula StirlingFormula Stirling
Formula Stirling adalah formula pendekatan untuk fungsi Faktorial dan Fungsi Gamma, sbb :
Bukti
Substitusi variabel baru y sehingga
Formula StirlingFormula Stirling
persamaan di atas menjadi :
untuk p besar, logaritma dapat diekspansi dalam deret pangkat berikut :
sehingga
Formula StirlingFormula Stirling
π2 0 Untuk p besar
Bandingkan Bandingkan nilai eksaknilai eksak n! dengan formula n! dengan formula
pendekatan Stirlingpendekatan Stirling
n n! eksak n! Formula Stirling
Persen selisih
5 120
20 2,43 X 1018
50 3,04 X 1064
1. Dalam mekanika statistik sering digunakan persamaan :
NNNN −= ln!ln
disini N berorde bilangan Avogadro, N = 1026
Buktikan dari Formula Stirling !
Soal
2. Hitunglah :
( )( )22 !2
!2lim
n
nnnn ∞→
3. Hitunglah : ( )5,55Γ
Integral EliptikIntegral Eliptik
Bentuk Legendre
disebut juga integral eliptik tak lengkap jenis ke satu dan ke dua
k disebut modulus dan φ disebut amplitudo integral eliptik. Integral iniditabulasi untuk nilai θ = arc sin k dan φ antara 0 dan π/2.
k2 dapat dilihat dari bentuk integral, dengan mengetahui k maka θ dapatditentukan, sedangkan φ dapat dilihat pada batas integral, denganmengetahui θ dan φ, maka nilai integral eliptik dapat dilihat pada tabelintegral eliptik F(k,φ) dan E(k,φ).
Integral EliptikIntegral Eliptik
Integral eliptik lengkap
Integral eliptik lengkap jenis pertama dan kedua adalah nilai-nilai K dan E (sebagai fungsi k) untuk φ = π/2
Sama seperti sebelumnya, k2 dapat dilihat dari bentuk integral, denganmengetahui k maka θ dapat ditentukan, dengan mengetahui θ, maka nilaiintegral eliptik lengkap dapat dilihat pada tabel integral eliptik lengkap Kdan E
Contoh soal
∫ −
4/
02sin25,01
.1π
φφd
Bagaimana menghitung integral eliptik untuk φ > π/2 ???
Tinjau fungsi sin2x [f(sin2x)] yang merupakan integran dari integral eliptik
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ +=+=+=4/
0
2/
0
4/
0
4/9
0
2
0
2
0
.......4...................π π ππ π π
Aluas
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ −=−=−=4/
0
2/
0
4/
0
4/7
0
2
0
2
0
.......4...................π π ππ π π
Aluas
catat
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ +=+=+≠4/
0
2/
0
4/
0
4/7
0
2/3
0
2/3
0
.......3...................π π ππ π π
Aluas
Contoh soal
∫ −4/5
0
2sin037,01π
φφ d
Jika batas bawah integral tidak nol, maka :
dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka :dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka :
Karena F(k,φ) dan E(k,φ) merupakan fungsi ganjil
Contoh soal
∫−
−4/11
8/7
2sin64,01π
π
φφ d
Bentuk Jacobi
Jika kita ambil x = sin φ, pada bentuk Legendre, maka akandidapat integral eliptik bentuk Jacobi jenis pertama dan kedua,sbb :
dan
Contoh soal
( )( )∫ −−
8,0
022 16,011 xx
dx
Contoh soal
∫ −4/5
0
2sin037,01.1π
φφ d∫
−
−4/11
8/7
2sin64,01.3π
π
φφ d
∫ −−5,0
02
2
1
100.2 dx
x
x ( )( )∫− −−
5,0
5,022 341
.4xx
dx
