Upload
wanda-triandi
View
311
Download
28
Embed Size (px)
DESCRIPTION
FUngsi
Citation preview
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 1
Fungsi Kompleks
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Elementer
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 2
Definisi Fungsi Analitik Fungsi f(z) disebut analitik pada D
(himpunan buka) bila f ’(z) ada untuk z D (atau f(z) berlaku PCR untuk z D ).
Fungsi f(z) disebut analitik di z = z0 bila f(z) analitik pada lingkungan dari z0 ( Lingkungan dari z0 adalah lingkaran buka yang berpusat di z0 dan berjari-jari r ).
Fungsi f(z) disebut entire bila f(z) analitik untuk z di C ( berlaku PCR untuk z C ).
Bila f(z) gagal analitik di z = z0 (atau f(z) tidak berlaku PCR di z = z0) maka z0 disebut titik singular dari f(z)
• z0
D
Entire Analitik
DiferensiabelKontinu
r
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 3
Contoh # 1
Carilah titik singular dari
2z
1z)z(f).1(
2
1z
1z)z(f).2(
2
2
3z2z
1z)z(f).3(
2
2
Pembuat nol penyebut z = 2, sehingga f(z) diskontinu di z = 2 f(z) tidak diferensiabel di z = 2 f(z) tidak analitik di z = 2. Jadi z = 2 titik singular
Pembuat nol penyebut z = i dan z = -i, sehingga f(z) diskontinu di z = i dan z = -i f(z) tidak diferensiabel f(z) tidak analitik di z = i dan z = -i Jadi z = i dan z = -i titik singular
Pembuat nol penyebut z = 3 dan z = -1, sehingga f(z) diskontinu di z = 3 dan z = -1 f(z) tidak diferensiabel f(z) tidak analitik di z = 3 dan z = -1. Jadi z = 3 dan z = -1 titik singular
)1z)(3z(
)1z)(1z(
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 4
Contoh # 2Periksa apakah f(z) fungsi analitik pada D.
2z1z
)z(f2
(1). D : | z + 1 | < 1
2
D
Titik singular
Di dalam D tidak terdapat titik singular sehingga f(z) analitik pada D
(2). D : | z | < 3
2
D
Titik singular z = 2 terdapat di dalam D sehingga f(z) tidak analitik pada D
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 5
Contoh # 3
f(z) = xy – ixy merupakan fungsi entire ?
U( x,y ) = x y dan V( x,y ) = - x y
yy,xUx yy,xVx
xy,xUy xy,xVy
Tidak berlaku PCR f(z) bukan fungsi entire
Apakah fungsi f(z) = xy – ixy analitik pada suatu titik ?
xy,xVy,xUy yx
yy,xVy,xUx xy
x = 0 dan y = 0 z = 0
berlaku PCR di z = 0 namun tidak analitik di z = 0 sebab tidak dapat dibuat lingkungan di z = 0 sehingga berlaku PCR pada lingkungan tersebut.
z = 0
Ctt : Karena PCR berlaku di z=0maka f(z) mempunyai turunan di z=0
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 6
Soal Latihan
1. Carilah titik singular dari fungsi berikut :
2. Selidiki fungsi berikut entire, analitik pada pada suatu titik atau hanya diferensiabel
4zz
iz)z(f).a
2
3z2z)iz(
9z)z(f).b
2
2
6z5z
1z)z(f).c
2
3
z1z)z(f).a
iyxeezzfb 2)(). 2
526323)(). 22 yxyiyxxzfc
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 7
Fungsi Harmonik
Fungsi H(x,y) disebut fungsi harmonik bila berlaku :
0)y,x(H)y,x(H yyxx
ycosey,xHx
Contoh : Tunjukkan H(x,y) fungsi harmonik
ycosey,xHx
x
ycosey,xHx
xx
ysiney,xHx
y
ycosey,xHx
yy
0ycoseycose)y,x(H)y,x(H xxyyxx
Misal U(x,y) dan V(x,y) harmonik pada D dan berlaku PCR, maka V(x,y) disebut konjugate ( sekawan ) harmonik dari U(x,y) atau sebaliknya
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 8
Sekawan Harmonik
Misal G(x,y) merupakan sekawan harmonik dari H(x,y), maka :
Contoh : Tentukan sekawan harmonik dari H(x,y)
y,xGy,xHdany,xGy,xH xyyx
ycosey,xHy,xGx
xy
dyycosey,xGx xCysine
x
ycosey,xHx
)x('Cysiney,xGx
x
ysine)x('Cysinexx
0x'C C(x) = C
Cysine)y,x(Gx
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 9
Sifat Fungsi Harmonik
Sifat :1. Misal f(z) = U(x,y) + i V(x,y) analitik pada domain D, maka U(x,y)
dan V(x,y) harmonik pada D.2. Fungsi f(z) = U(x,y) + i V(x,y) analitik pada D bila dan hanya bila
V(x,y) sekawan harmonik dari U(x,y)
22ykyx2xy,xU Contoh :
(1). Cari Nilai k agar U(x,y) fungsi harmonik
k22UU0 yyxx K = - 1
22yyx2xy,xU
y2x2y,xU x
Uxx (x,y) = 2
Uy (x,y) = - 2x + 2k y
Uyy (x,y) = 2k
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 10
Sifat Fungsi Harmonik
)x(Cyyx22
(2). Cari fungsi analitik : f(z) = U(x,y) + i V(x,y)
V( x,y ) merupakan sekawan harmonik dari U( x,y ), sehingga berlaku PCR
xy UV
dyUy,xV x dyy2x2
yx UV y2x2)x('Cy2
x2)x('C Cxdxx2)x(C2
Cyyx2xy,xV22
Cyxy2xiyxy2xzf
2222
22yyx2xy,xU
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 11
Sifat Fungsi Harmonik
Contoh : Carilah fungsi analitik f(z) = U(x,y) + i V(x,y) bila :23
xy3x)y,x(V
22x y3x3y,xV xy6y,xVy
xy6y,xVy,xU yx
dxxy6y,xU )y(Cyx32
xy VU
222y3x3)y('Cx3
2y3)y('C Cy)y(C
3
Cyyx3)y,x(U32
2332xy3xiCyyx3)z(f
Misal U(x,y) sekawan harmonik dari V(x,y) sehingga berlaku PCR, Ux = Vy dan Uy = - Vx
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 12
Soal Latihan
1. Apakah fungsi berikut harmonik? Bila ya, carilah sekawan harmoniknya
a) U(x,y) = xy – x2 + y
b) U(x,y) = sin 2x cosh 2y
2. Carilah nilai k agar fungsi berikut harmonika) U(x,y) = k y ( x – 1)
b) U(x,y) = y3 – k x2 y
c) U(x,y) = sin kx sinh 2y
3. Carilah fungsi analitik f(z) = U(x,y) + i V(x,y) bila a) U(x,y) = sin x cosh y
b) V(x,y) = x3 – 3xy2
23 xy3xx2)y,x(U).c
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 13
Fungsi Elementer
ze)z(f
iyxe
iyxee
ysiniycosex
Turunan pertama ada untuk setiap z,
ze)z('f
Fungsi Eksponen
Fungsi Trigonometri
izizee
2
1zcos)z(f
izizee
i2
1zsin)z(f
Fungsi Hiperbolik
zzee
2
1zcosh)z(f
zzee
2
1zsinh)z(f
Fungsi Logaritma
f(z) = ln z dengan z 0
ierz ln z = ln r + i
Turunan pertama ada untuk setiap z kecuali z = 0,
z1
)z('f
Untuk disebut nilai prinsip darilnz
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 14
Contoh
2
(1). Tentukan bagian real danbagian imajiner dari
ze)z(f
)iyx(e
iyxee
ysiniycosex
ycose)z(fRex
ysine)z(fImx
(3). Hitung nilai prinsip dari ln z bila z = -1 – i
z = -1 – 1i r =
4
5
1
1tan 1
iz 4
32lnln
ikz )24
5(2lnln
Nilai prinsip dari ln z :
Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 15
Soal Latihan
1. Tentukan bagian real dan bagian imajiner dari a) f(z) = sinh iz + e-iz
b) f(z) = ln ( z – i )c) f(z) = cosh z – cosh iz
2. Nyatakan berikut ke dalam bentuk U + i Va) sinh ( 3 + 2i) – sinh ( 2 – 3i)b) cosh ( 6 + 8i ) + cosh ( 6 – 8i)c) e-iz + e2iz
3. Selesaikan persamaan berikut a) e-z = 3 – 4ib) ln ( z2 – 1) = ½ ic) sinh z = i