BAHAN AJAR

APPLIED MATH

Disusun Oleh

Asih Widi Harini, S.Si, MT

PRAKATA

Alhamdulillah, saya menyambut baik diterbitkannya Bahan Ajar Applied

Mathematics yang ditulis oleh Asih Widi Harini, S.Si, MT, selaku dosen

pengampu mata kuliah tersebut di Fakultas Ilmu Komputer

Bahan ajar ini hendaknya bisa digunakan sebagai acuan bagi mahasiswa

maupun dosen yang bersangkutan untuk melaksanakan perkuliahan dalam setiap

semesternya sehingga bisa memberikan kemudahan bagi mahasiswa untuk

mengikuti kuliah maupun menelusuri lebih lanjut topik-topik yang diajarkan

dalam buku-buku acuan yang duanjurkan.

Dengan tetap memperhatikan perkembangan-perkembangan yang terjadi

pada dunia keteknikan, bahan ajar memerlukan penyempurnaan sehingga bisa

memberikan manfaat yang optimal bagi para mahasiswa.

Akhir kata, semoga bahan ajar ini bisa lebih meningkatkan hasil proses

belajar mengajar yang dilaksanakan khususnya di Fakultas Ilmu Komputer. Amin.

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………… i

DAFTAR ISI ………………………………………………………………ii

BAB I : PENDAHULUAN

1.1. Sistem Bilangan …………………………………………… 5

1.2. Himpunan …………………………………………………. 6

1.3. Macam-macam Fungsi …………………………………… 6

1.3.1. Fungsi Aljabar ……………………………………... 6

1.3.2. Fungsi Transendental ……………………………… 7

1.3.3. Segitiga Pascal dan Binomium Newton …………… 9

1.3.4. Cara Menyajikan Suatu Persamaan ……………… 10

BAB II : Barisan Bilangan, Limit Fungsi dan Derivatif

2.1. Barisan Bilangan ………………………………………… 14

2.2. Limit Fungsi …………………………………………… .. 15

2.3. Kekontinuan ……………………………………………… 18

2.4. Derivatif …………………………………………………

18

2.4.1. Rumus-rumus Derivatif …………………………… 20

2.4.2. Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai ….. 23

2.4.3. Teorema Turunan Fungsi Invers …………………. 24

2.4.4. Mendeferensialkan Fungsi Implisit …………….. 27

2.4.5. Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu ………………………………….. 29

2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter 29

2.4.7. Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi …… 31

BAB III : TERAPAN DERIVATIF

3.1. Fungsi Naik dan Turun ………………………………..... 33

3.2. Teorema Rumus Taylor ….……………………………. 38

3.3. Bentuk-Bentuk Tak Tettentu …………………………… 40

BAB IV : INTEGRAL

4.1. Dibawa ke Bentuk I : ……………….43

4.2. Rumus Dasar Integral …………………………………… 43

4.3. Bentuk II: ......................………………………………… 43

4.4. Dibawa ke Rumus III: ………….……………………….. 45

4.5. Dibawa ke Rumus IV: ……… …………………………. 45

4.6. Integral Parsial ………………………………………….. 46

4.7. Integral Bentuk Rasional. ………………………………. 47

4.8. Integral Fungsi Trigonometri …………………………… 50

4.9. Integral Fungsi Pecah Rasional dalam Sin dan Cos ……. 51

4.10.Integral dengan Substitusi ……………………………… 52

4.11.Substitusi Aljabar ………………………………………. 55

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………… 56

I. PENDAHULUAN

1.1. Sistem Bilangan

Gambar 1.1. Skema Bilangan

1.2. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai sifat

keterikatan antara anggotanya dan yang berada dalam satu kesatuan.

Ada beberapa operasi antar himpunan, yaitu :

1. Union atau gabungan. A union B atau A gabungan B dapat dinyatakan sebagai

A B= .

2. Interseksi atau irisan. A interseksi B atau A irisan B dapat dinyatakan sebagai

A B= .

3. Pengurangan. A – B =

4. Penambahan. A + B = (A B)-(A B).

5. Perkalian. A x B =

Bil riil

rasional irrasional

bulat pecah

negatif cacahnol

asli

6. Komplemen atau Ac adalah

1.3. Macam-macam fungsi

- Fungsi Aljabar

- Fungsi Transendental

1.4 Segitiga Pascal dan Binomium Newton

Segitiga pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

dstGambar 1.2. Skema Segitiga Pascal

Dengan menggunakan segitiga Pascal, maka perhitungan-perhitungan di

bawah ini akan lebih mudah dipahami.

(a – b)3 = 1.a3 + 3 a2b + 3ab2 + 1.b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)4 = (a + (-b))4

= 1.a4 + 4a3 (-b) + 6a2 (-b)2 + 4a (-b)3 + 1.b4

= a4 – 4a3b + 6a2b2 – 6ab3 + b4

Dst.

Jika ditemukan persamaan berbentuk (a b)1/2, maka pemecahannya tidak

dapat menggunakan segitiga Pascal. Diperlukan rumus yang lebih umum yang

selain dapat dipakai untuk mencari bentuk-bentuk (a b) berpangkat bulat, juga

dapat dipakai untuk menemukan penyelesaian untuk (a b) berpangkat bilangan

pecah. Rumus umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalahan di

atas adalah Rumus Binomium Newton, yang akan dibahas berikut ini.

Rumus Binomium Newton

(a+b)n =

dimana

n! = 1, 2, 3,…n

sehingga

(a+b)n = an+

1.3.4. Cara Menyajikan Suatu Persamaan

Ada beberapa cara penyajian suatu persamaan berdasarkan peubah-

peubahnya.

1. Bentuk Implisit:

Peubah bebas & tak bebas berada dalam satu ruas.

F (x,y) = 0

G (x,y,z) = 0

Contoh : x2 + 2y + 10 = 0

2. Bentuk Explisit:

Peubah bebas & tak bebas dalam ruas yang berbeda.

y= f(x) ; x = f(y) ; z = f(x,y)

Contoh : y = x2 + 2x +8

3. Bentuk Parameter:

Peubah merupakan fungsi dari suatu parameter.

x = g(), ; parameter.

y = g()

z = ()

Misalkan diberikan persamaan : x = 2t + t2 ; y = 5t + 10t2; z = 3t2 + 6t + 5

Contoh:

Sebagai Contoh diberikan suatu persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan

jari-jari 1. Bagaimanakah persamaannya dalam bentuk implisit, eksplisit, dan

bentuk parameter.

Jawab :

x2 +y2 = 1

Bentuk Implisit:

x2 + y2 – 1 = 0

Bentuk explisit:

y2 = 1- x2

y =

Bentuk parameter

x = cos t

t parameter

y = sin t

1.4. Koordinat Kutub / Polar

Sertiap titik dalam koordinat kutub dinyatakan dengan r dan v

r = modulus yaitu jarak dari 0 ke titiknya (OP)

= argumen adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu x positif dengan arah

berlawanan arah jarum jam dengan garis OP.

O adalah titik kutub, sedangkan OX adalah sumbu kutub.

Hubungan koordinat Orthogonal dengan kotub Polar adalah sebagai berikut :

y = r sin , x = r cos dan r = .

Contoh:

1. r = 5 maka r =

5 =

25 = x2 + y2

2. r = 3 cos V maka = 3.

r = 3.

=

x2+ y2 = 3 x

x2 – 3x + y2 = 0

+ y2 =

pusat jari-jari =

3. r = 4 sin V

x2 + y2 = 4y

x2 + y2 – 4y = 0

x2 + (y – 2)2 = 22

lingkaran pusat (0,2) jari-jari 2

BAB II

BARISAN BILANGAN , LIMIT FUNGSI

DAN DERIVATIF

Dalam membicarakan masalah barisan bilangan, maka setiap diberikan

kata barisan, yang dimaksud adalah barisan bilangan.

2.1. Barisan Bilangan

Definisi:

Bila C adalah himpunan tak kosong, barisan bilangan dalam C adalah harga

fungsi f dari A ke C, dimana A adalah bilangan asli.

Cara penyajiannya adalah {C1, C2, …, Cn} atau {Cn}, n A atau f(n) = Cn, nA.

contoh:

1.

2.

3.

Limit suatu barisan bilangan didefinisikan sebagai

artinya pada setiap >0, ada bilangan indeks no = no(), sehingga

untuk n no berlaku |Cn – c| <

Barisan yang berlimit disebut konvergen , sedangkan barisan yang tak berlimit

disebut divergen . Nul sequence adalah suatu barisan yang limitnya nol.

contoh :

Cn =

Misal diambil =

Dicari bilangan indeks no yang bergantung ,

Maka,

|Cn – l| <

– n – 1 < - 800 dan – 800 < n+1

– n< – 799 dan – 801<n

– n> 799 dan n > – 801

jadi yang memenuhi

n > 799 (no = 799)

sehingga n dipenuhi adalah 800

|C800 – 1| <

2.2. Limit fungsi

Definisi:

L disebut limit kiri dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah

kiri atau artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan ()

sedemikian sehingga untuk setiap harga dalam interval berlaku (f(x) –

L<).

L disebut limit kanan dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari

sebelah kanan atau artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan s()

sedemikian sehingga untuk setiap harga x dalam interval berlaku (f(x)

– L<)

Jika

maka dikatakan f(x) mempunyai limit di x = a atau .

Gambar 2.1 Skema Limit

contoh:

f(x) = atau

Nilai f(x) untuk x sama dengan satu tidak terdefinisi, karena nilai f(x) menjadi

pecahan dengan penyebut bernilai nol.

f(x) = x, untuk x > 1

= x2, untuk x < 1

a a+a-

= 0, untuk x = 1

=1

, karena limit kiri sama dengan limit kanan maka dengan definisi di

atas terbukti .

Teorema-teorema tentang limit:

Ada beberapa teorema-teorema penting yang tidak diberikan buktinya di

sini, akan tetapi di bidang teknik penggunaannya sangat penting.

Jika diberikan dan , maka

1. = f g

2. , dimana k adalah suatu konstanta.

3. = f . g

4.

5.

6.

= f g

7.

8.

9.

10.

2.3. Kekontinuan

Definisi:

sebuah fungsi f dinamakan kontinu pada c, jika

jadi syarat f kontinu di c:

1. f(c) ada (f terdefinisi di c)

2. , berarti limit kanan sama dengan limit kiri

3.

Jika salah satu syarat tidak dipenuhi , maka f(x) diskontinu di C

2.4. Derivatif

Skema :

Gambar 2.2. Fungsi y = f(x) untuk

Mempermudah pemahaman derivative

Jika ada 2 titik : P(x,y); Q (x + x, y + y)

P dan Q berada pada fungsi y = f(x).

Garis singgung di P membentuk dengan sumbu x.

Garis singgung di Q membentuk + dengan sumbu x.

P

Q

tan < QPS = dengan x mendekati 0, dan mendekati 0, koefisien arah

garis singgung di P = tan = . Jika Lim ada maka

tan = = derivatif pertama dari y ke x

y = f(x) maka y + y = f(x + x)

atau dy = f’(x) dx

y = f(x) maka y’ =

Contoh:

y =

misal u = 1 – x4

y = u1/3

Definisi

1. Misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang bukan suatu titik. Fungsi f

dikatakan mempunyai turunan pada selang I, jika turunannya (f’) terdefinisi.

2. Derivatif pertama dari y = f(x) ke-x

= y’ = .

2.4.1.Rumus-rumus Derivatif

jika u, v, w fungsi dari x, a, b, c, n = konstan:

1.

2.

3.

4.

=

5.

6.

7.

8.

v 0

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

Contoh :

1. f(x) = x sin x

maka

f’(x) = x cos x + 1. Sin x

= x cos x + sin x

2. f(x) = 2 x3 + 3 x2 tan x, x 0, maka

f’(x) = 6x2 + 3x2. Sec2x + 6x tan x

x 0

3. f(x) =

f’(x) = , x 0

4. f(x) = 2x5 – 3x2 - , maka

f'(x) = 10x4 - 6x + x-2 -6x-3.

5. f(x) = , maka

f'(x) = {(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2.

Catatan :

2.4.2.Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai

Komposisi fungsi:

(f o g)1 (x ) = f’ (g(x)) . g’(x)

Aturan rantai

Contoh:

1. f(x) =

dibentuk f(x) = (g o h) (x)

= g (h(x))

g(x) = g(h(x)) =

h(x) = 2x2 + 3x

maka (g o h)1 (x) = g’ (h(x)) . h’(x)

h’ (x) = 4x + 3 f’ (x) =

g’ (x) =

cara lain

u = 2x2 + 3x f(x) = y = y’ =

u = 2x2 + 3x

f’ (x) =

2. f(x) = sin (tan x), maka

f'(x) = {cos(tan x)}sec2x

3. f(x) = sec , maka

f'(x) = {sec tan }{{(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2}

2.4.3.Teorema Turunan Fungsi Invers

misal y = f(x)

x’(y) =

teorema turunan

fungsi f (x) = xr, r rasional

f(x) = xr f’(x) = rxr-1

contoh :

Diberikan suatu fungsi f(x) = = (x2 – 2x)2/3, maka

f’(x) =

=

g(x) = cos

g’(x) = =

-

Contoh :

1. f(x) =

2. f(x) = 3. f(x) = 4.Jawab :

1) f(x) = =

f’(x) =

=

= =

2) f(x) =

f’(x) =

3) f(x) =

f’(x) =

cari dari x3 + y2 + x2 y3=3

di (1,1)

di (1.1)

jika diminta untuk mencari , maka

5 = – 5 , maka = –1 .

2.4.4.Mendeferensialkan Fungsi ImplisitFungsi implicit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0

atau f(x,y)=c. Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut:Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa

Contoh:1) x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)

2) jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0

tentukan

di titik

x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0

2x + 2y

(2y - 6) =2 – 2x

2 (y-3) =2(1-x)

=

di (3,2)

3) f(x,y)= x + xy2 – x sin y(atau, x + xy2 = x sin y)

cari dan

2.4.5.Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu

Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2, u3, …, un adalah fungsi dari x, maka

= derifatif parsiil pertama dari z ke u

artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan.

Contoh:z = x2+y3+x2y3

2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter

t = parameter

Jika y’= maka

=

=

Contoh:

1) x= 2 – ty=t2 – 6t + 5

maka y’ =

= 2x+2= 2(x+1)

2) 0<t<

sin t dinyatakan dalam yy= 1 – cos t cos t = 1 – y (sin2t + cos2t = 1)sin t =

==

y’=

2.4.7.Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi

Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x

maka dapat dicari dengan 2 cara:

1. z = uv

ln z = ln uv

ln z = v ln uditurunkan ke-x:

2. z = uv

z =

contoh: Diketahui z = xx

Cara pertama:z = xx

ln z = ln xx

ln = x ln x

=xx (ln x +1)

Cara kedua:z = xx

z =

BAB IIIBAB III

TERAPAN DERIVATIFTERAPAN DERIVATIF

3.1. FUNGSI NAIK DAN TURUN3.1. FUNGSI NAIK DAN TURUN

Definisi :

Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan

bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang

terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .

Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan

bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang

terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .

Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.

Skema :

x0-h x1 x0 x2 x0+h

x0-h x1 x0 x2 x0+h

Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun

fs turun

fs naik

Dalil :

Jika y = f (x) naik di x = x0

y = f (x) turun di x = x0

titik stasioner dari fungsi f tercapai

maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum

maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum

Contoh :

Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f

Jawab :

f (x) = 2x4 – 4x2 + 3

f’ (x) = 8x3 – 8x

= 8x (x2 – 1)

f” (x) = 24x2 – 8

Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0

f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0

= 8x (x+1) (x-1) = 0

x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1

f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1

-1 0 1

f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum

f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum

f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum

+-+-

Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu

teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.

Teorema Uji Keturunan Kedua untuk KecekunganTeorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan

Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)

1. Jika Grafik f cekung ke atas pada I

2. Jika Grafik f cekung ke bawah pada I

Definisi Titik Belok (Ekstrim)

f fungsi kontinu pada selang terbuka I . Titik ( , f ( )) dikatakan titik belok

jika dipenuhi 2 syarat berikut :

1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x =

2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di ( , f ( ))

Contoh :

(a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah

(b) Tentukan semua titik ekstrimnya

Jawab :

=

=

; ;

0

(a) f cekung ke atas :

f cekung ke bawah :

(b) Karena f”(x) ada di dan disekitar ada

perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya

Teorema-teorema yang mendukung pembahasan diatas adalah:

1. Teorema Rolle

Misalkan f memenuhi syarat :

a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)

b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

TitikEkstrim

TitikEkstrim

TitikEkstrim

+ + - - + + - -

c) f (a) = f (b)

Maka terdapat suatu Э f’ (c) = 0

(Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0

atau garis singgung mendatar).

Skema :

f’(c) = 0

f (c)

f

f (a) = f (b)

a c bGambar 3.2. Skema Teorema Rolle.

2. Teorema Nilai Rata-rata

Misalkan f memenuhi syarat :

a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)

b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

Maka terdapat suatu sehingga

(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas

garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)).

(b, f (b))

Skema :

f’(c)

f (c)

f (b)

f (a)

a c b

b – aGambar 3.3 Skema Teorema

Nilai Rata-rata.

3.2.Teorema, Rumus Tayor

Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang

memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk :

f(x)=

c terletak antara x dan x0 .

Dapat ditulis :

Dimana :

Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n

Rn(x) =

= suku sisa uraian Taylor

Contoh :

Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0

Jawab :

f(x) = sin x f (0) = 0

f’(x) = cos x f’(0) = 1

f”(x) = -sin x f”(0) = 0

f3(x) = -cos x f3(0) = -1

f4(x) = sin x f4(0) = 0

f5(x) = cos x f5(0) = 1

f(x)=

=

=

Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin.

Contoh :

Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5

Tentukan semua titik ekstrimnya.

Jawab:

f'(x) = 3x2-18x+15

Stasioner jika f'(x) = 0, maka Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15 =0 atau =0 atau x2-6x+5 = 0.

Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1..

f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.

Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titikJadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik

(1,-12).(1,-12).

3.3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu3.3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu

Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:

Aturan dari de l’ Hospital :

1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan

sebanyak n kali disekitar x = a.

Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :

2. Kecuali untuk bentuk , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai

untuk bentuk .

Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka

:

Contoh:

1. =

2.

=

=

=

=

3.

=

=

Contoh:

1. = = =

= = 0

2. =

3.

= =

BAB IVBAB IV

I N T E G R A LI N T E G R A L

Integral adalah anti derivatif atau anti turunan. Rumus-rumus yang berlakuIntegral adalah anti derivatif atau anti turunan. Rumus-rumus yang berlaku

untuk derivatif tentu saja berlaku untuk integral dalam arti kebalikannya.untuk derivatif tentu saja berlaku untuk integral dalam arti kebalikannya.

Persoalan integral tidak hanya menggunakan rumus-rumus dasar yang merupakanPersoalan integral tidak hanya menggunakan rumus-rumus dasar yang merupakan

kebalikan derivatif, akan tetapi perlu teknik-teknik yang cukup rumit yang akankebalikan derivatif, akan tetapi perlu teknik-teknik yang cukup rumit yang akan

dibicarakan berikut ini.dibicarakan berikut ini.

4.1. Dibawa ke Bentuk I :

Contoh :

1.

2.

3.

4.

5.

4.2. Rumus dasar Integral:

Contoh :

4.3. Dibawa ke Bentuk II:

Catatan :

Contoh :

1.

Sesuai bentuk

Maka :

2.

Dengan rumus , maka =

3.

=

4.

=

=

=

5. (menggunakan rumus bentuk III)

4.4.Dibawa ke Bentuk III:

Contoh :

1.

2.

4.5. Dibawa ke Bentuk IV :

=

=

=

=

Contoh :

1.

2.

4.6. Integral Parsial

u dan v merupakan fungsi dari x maka duv = u dv + v du.

u dv = duv – v du

←

Contoh :

1. =

=

=

2.

=

=

=

4.7. Integral Bentuk Rasional.

Bentuk umumnya dapat diberikan sebagai , dimana P(x)

adalah numerator, sedangkan Q(x) adalah denumerator. Jika P(x) > Q(x)

maka P(x) harus dibagi Q(x) terlebih dahulu. Integral dengan bentuk

rasional ini terdiri dari beberapa kasus, yang masing-masing akan dibahas

dibawah ini.

Kasus 1 :

Apabila faktor Q(x) semuanya linier dan berbeda.

Contoh :

=

=

=

=

=

3C =

C =

=

B =

=

=

Jadi =

=

=

Kasus 2 :

Jika semua akar riil dan ada yang sama.

Contoh :

=

x3-1 =

x3-1 =

=

=

=

Kasus 3 :

Jika tidak semua akar riil dan yang tidak riil semuanya berbeda.

Contoh :

=

Jadi :

Maka :

=

=

Kasus 4 :

Jika tidak semua akar riil dan akar yang tidak riil ada yang sama.

Contoh :

=

… dst

4.8.Integral Fungsi Trigonometri

1. =

=

2. =

=

3.

21 zz

1

x21

4.9. Integral Fungsi Pecah Rasional dalam Sin dan Cos

Substitusi : tan

= arc tan z

sin 2x = 2 sin x cos x

x = 2 arc tan z

= 2 tan -1 z

dx =

Sin x =

=

Cos z =

Cos z =

=

Contoh :

=

=

4.10. Integral dengan Substitusi

Kasus 1 :

Apabila memiliki bentuk

a > 0

jika u > 0

jika u < 0

Jadi =

=

= a . cos

Kasus 2 :

Apabila memiliki bentuk

a > 0

jika u > 0

jika u < 0

=

=

=

=

Kasus 3 :

Apabila memiliki bentuk

jika u > a

jika u < -a

u =

=

=

=

Contoh-contoh Kasus

:

1.

Substitusi :

=

=

=

=

=

2.

Substitusi :

=

=

=

=

= dengan inti parsial

=

3.

Substitusi :

=

=

= 3 tan

=

=

=

=

4.11. Substitusi Aljabar

Substitusi dilakukan sedemikian sehingga bisa merubah bentuk irrasional

menjadi rasional.

Contoh :

Substitusi : =

=

=

= 3434 zz

Maka :

= =

= =

= =

=

=

=

DAFTAR PUSTAKA

Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.

Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, New Jersey.

Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc, Canada.