FUNGSI PEMBANGKIT

1 FUNGSI PEMBANGKIT

FUNGSI PEMBANGKIT

1. Deret Kuasa

Definisi 1.1

Deret Kuasa didefinisikan sebagai deret tak terhingga yang berbentuk

∑k=0

∞

akxk

Deret tak terhingga ini selalu konvergen untuk |x| < R, untuk suatu bilangan

positif R. R dalam hal ini disebut radius konvergensi dari deret kuasa di atas.

Teorema 1.1

Jika f mempunyai perluasan deret kuasa di titik c, yaitu jika

f(x) = ∑k=0

∞

ak(x – c)k,|x – c| <R,

maka koefisiennya dapat dinyatakan dalam rumus an=

f ( n ) (c )n !

Dengan mensubstitusikan kembali an pada rumus deret di atas, jika f

mempunyai perluasan deret kuasa di titik c, maka f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk

f ( x )=∑k=0

∞ f ( n ) (c )n !

( x−c )n

f ( x )=f (c )+ f ' (c )1!

( x−c )+ f left (c right )} over {2!} } left (x - c right ) rSup { size 8{2} } + { {f ' (c )3!

( x−c )3+.. .

Deret ini dikenal dengan sebutan deret Taylor dari fungsi f di titik c. Khusus

untuk nilai c = 0, kita memperoleh deret Maclaurin:

Contoh 1.1

Misalnya akan diuraikan fungsi ex menjadi suatu deret Maclaurin.

Pemecahan. Masukkanlah dan diferensialkan, maka kita temukan bahwa

Bila x = 0, kita peroleh dan juga

KELOMPOK V

2 FUNGSI PEMBANGKIT

Deret Maclaurin itu berubah menjadi deret berikut:

Sehingga = untuk |x|`< 1

Contoh 1.2

Diberikan , akan ditunjukkan

Penyelesaian:

Akan diuraikan fungsi menjadi suatu deret Maclaurin.

Deret Maclaurin berubah menjadi deret berikut.

Atau

Dengan cara yang sama maka akan diperoleh pula deret Maclaurin dari fungsi berikut

1(1−x )2

=∑n=1

∞

n xn−1=1+2x+3 x2+4 x3+…untuk|x|<1

KELOMPOK V

3 FUNGSI PEMBANGKIT

(1+x )u=∑k=0

u

(uk ) xk untuk |x | < 1

2. Operasi Pada Deret Kuasa

Jika∑n=0

∞

an xn dan∑n=0

∞

bn xn masing−masingkonvergen ke f ( x ) dan g ( x )

untuk|x|<R ,dengan R>0, maka berlaku untuk|x|<R

(1.2.1) Deret dapat dijumlahkan atau dikurangkan suku demi suku

f ( x ) ± g ( x )=∑n=0

∞

(an ± bn ) xn

(1.2.2) Deret dapat dikalikan

f ( x ) g (x )=[∑n=0

∞

an xn][∑n=0

∞

bn xn]Misalkan

c0=a0 b0=∑k=0

0

ak b0−k ,

c1=a0 b1+a1 b0=∑k=0

1

ak b1−k ,

c2=a0 b2+a1 b1+a2b0=∑k=0

2

ak b2−k ,

c3=a0 b3+a1 b2+a2b1+a3 b0=∑k=0

3

ak b3−k ,

cn=a0 bn+a1bn−1+…+an b0=∑k=0

n

ak bn−k

Sehingga diperoleh

¿c0+c1 x+c2 x2+c3 x3+…

¿∑n=0

∞

cn xn

¿∑n=0

∞

(∑k=0

n

ak bn−k )xn

KELOMPOK V

4 FUNGSI PEMBANGKIT

Ket :cn=∑k=0

n

ak bn−k=a0bn+a1 bn−1+…+an b0

(1.2.3) deret dalam bentuk perkalian

f ( x )g ( x )

=∑n=0

∞

dn xn

dn dapat diperoleh dengan menyamakan koefisien dalam relasi ekuivalen

∑n=0

∞

an xn=[∑n=0

∞

dn xn][∑n=0

∞

bn xn]=∑n=0

∞

(∑k =0

∞

dn bn−k )xn

Dengan proses yang sama pada (1.2.2) sehigga diperoleh

an=∑k=0

∞

dn bn−k

111Equation Chapter 1 Section 1

3. Definisi Fungsi Pembangkit

Misalkan adalah suatu barisan. Fungsi Pembangkit Biasa (FPB)

dari barisan didefenisikan sebagai berikut

Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari didefinisikan sebagai berikut.

Misalnya,

Adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan

;

Atau fungsi pembangkit eksponensial dari barisan

Bila diberikan suatu barisan, maka kita sering diminta untuk menuliskan fungsi

pembangkit dari barisan tersebut dalam bentuk sesederhana mungkin.

KELOMPOK V

5 FUNGSI PEMBANGKIT

Contoh 3.1

1. Tuliskan bentuk sederhana fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut

(a)

(b)

2. Jika , untuk , tentukan FPE barisan

Penyelesaian

1. (a). Fungsi pembangkit dari barisan yang dimaksud adalah

(b). Fungsi pembangkit yang dimaksud adalah

2. Fungsi pembangkit eksponensial barisan adalah

Penjumlahan, pengurangan maupun perkalian dua fungsi pembangkit atau lebih dapat

dilakukan dengan car yang sama seperti halnya menjumlah mengurangkan ataupun

mengalikan dua polinomial atau lebih. Dengan demikian diperoleh pernyataan berikut.

KELOMPOK V

Jika dan , maka

6 FUNGSI PEMBANGKIT

Selanjutnya dari perkalian antara A(x) dan B(x), diperoleh

Dengan demikian diperoleh formula berikut.

Jika , dan adalah barisan-barisan bilangan real sedemikian hingga

, maka kita katakan adalah konvolusi dari dan , yang

ditulis

Contoh 3.2

Cari barisan dengan Fungsi Pembangkit Biasa

Penyelesaian:

Misal

Jelas bahwa adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan

. Selanjutnya dari pembahasan sebelumnya telah diketahui

bahwa adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan

sehingga diperoleh

KELOMPOK V

7 FUNGSI PEMBANGKIT

Dengan demikian , atau

Contoh 3.3

Cari barisan bilangan real yang memenuhi , untuk

semua .

Penyelesaian

Misal adalah FPB barisan (an). dengan mengkuadratkan P(x),

diperoleh.

Dengan demikian

KELOMPOK V

8 FUNGSI PEMBANGKIT

.

Contoh 3.4

Jika adalah fungsi pembangkit eksponensial barisan (an), tentukan nilai

an.

Penyelesaian:

Karena P(x) fungsi pembangkit eksponensial barisan (an) berdasarkan definisi,

, sehingga an adalah koefisien

dengan demikian

4. Menghitung Koefisien pada Fungsi Pembangkit

Kita akan mengembangkan teknik-teknik aljabar untuk menghitung koefisien

fungsi pembangkit. Teknik-teknik tersebut adalah dengan mereduksi fungsi

pembangkit yang diberikan menjadi fungsi pembangkit dengan tipe binomial atau

KELOMPOK V

9 FUNGSI PEMBANGKIT

hasilkali dari fungsi pembangkit dengan tipe binomial. Berikut ini adalah semua

identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan.

G(x) ak

(1+x )n=∑k=0

n

C (n , k ) xk

¿1+C (n , 1 ) x+C (n , 2 ) x2+…+xnC(n,k)

(1+a x )n=∑k =0

n

C (n , k ) ak xk

¿1+C (n , 1 ) ax+C (n , 2 ) a2 x2+…+an xnC(n,k) ak

(1+xr )n=∑

k=0

n

C ( n ,k ) xrk

¿1+C (n , 1 ) xr +C (n , 2 ) x2 r+…+xrnC(n,k/r) if r|k ; 0 otherwise

1−xn+1

1−x=∑

k=0

n

xk=1+x +x2+…+xn

1 if k ≤ n ; 0 otherwise

11−x

=∑k=0

n

xk=1+x+ x2+… 1

11−ax

=∑k=0

n

ak xk=1+ax+a2 x2+…ak

11−xr =∑

k=0

n

xrk=1+xr+x2 r+…1 if r|k ; 0 otherwise

1(1−x )2 =∑

k=0

n

(k+1)xk=1+2 x+3 x2+…k + 1

1(1−x )n

=∑k=0

n

(n+k−1 , k ) xk

¿1+C (n , 1) x+C (n+1 , 2) x2+…C(n+k-1, k) = C(n+k-1, n-1)

1(1−x )n

=∑k=0

n

(n+k−1 , k )(−1)k xk

¿1−C (n ,1 ) x+C (n+1 , 2 ) x2−C (n+1 ,3 ) x3+…(-1)kC(n+k-1, k) = (-1)kC(n+k-1, n-1)

KELOMPOK V

10 FUNGSI PEMBANGKIT

1(1−ax )n

=∑k=0

n

( n+k−1, k )ak xk

¿1+C (n , 1 ) ax+C (n+1 , 2 )a2 x2+…C(n+k-1, k)ak = C(n+k-1, n-1)ak

ex=∑k=0

nxk

k !=1+ x

1 !+ x2

2!+ x3

3 !+…

1/k!

ln (1+x )=∑k =0

∞ (−1)k+1

kxk=x− x2

2+ x3

3− x4

4+…

(-1)k+1/k

Sumber: Rosen (1998: 343)

Contoh 4.1

Misalkan kita akan mencari koefisien x16 pada (x2 + x3 + x4 + …)5

Langkah pertama bentuk tersebut diubah dahulu sebagai berikut:

(x2 + x3 + x4 + …)5 = [x2 (1 + x + x2 + …)]5

= x10(1 + x + x2 + …)5

= x10 ( 1

1−x )

= x10

1

(1−x )5

Karena x16 = x10x6 berarti mencari koefisien x6 pada (x2 + x3 + x4 + …)5 sama dengan

mencari koefisien x6 pada

1

(1−x )5 yaitu

(5+6−16 )=(10

6 )= 210.

Jadi, koefisien x16 pada (x2 + x3 + x4 + …)5 adalah 210.

Contoh 4.2

Banyaknya cara untuk memilih 25 mainan dari 7 tipe mainan dimana tiap tipe

antara 2 dan 6, sama dengan mencari koefisien x25 dari fungsi pembangkit:

(x2 + x3 + x4 + x5 + x6)7.

KELOMPOK V


Fungsi pembangkit tersebut diubah sebagai 'berikut:

(x2 + x3 + x4 + x5 + x6)7 = [ x2 (1 + x + x2 + x3 + x4)]7

= x14 (1 + x + x2 + x3 + x4)7

Sekarang tinggal mencari koefisien x11 pada (1 + x + x2 + x3 + x4)7. Dengan

menggunakan identitas (1) diperoleh

(1 + x + … + x4)7 = ( 1−x5

1−x )7

= (1 – x)-7.(1 – x5)7

Misalkan f(x) = (1 – x)-7 dan g(x) = (1 – x5)7. Dengan menggunakan ekspansi (5) dan

(4), kita peroleh

f(x) = (1 – x)-7 = 1 + (1+7−1

1 ) x +

(2+7−12 )

x2 + … + (r+7−1

r ) xr + …

g(x) = (1 – x5)7 = 1 – (71 )

x5 + (72 )

x10 – … – (-1) (7r )

x5r – … – (77 )

x35

Untuk mencari koefisien x11 pada h(x) = f(x)g(x) kita hanya membutuhkan bentuk a11-i

bi dalam ekspansi (6), yaitu

a11b0 + a6b5 + alb10 = (11+7−111 )+(6+7−1

6 )−(−(71 ))+(1+7−11 )(72 )

Hasil terakhir ini merupakan koefisien x11.

5. Fungsi Pembangkit Untuk Kombinasi

Misalkan m adalah bilangan bulat positif, maka fungsi untuk barisan koefisien

binomial

KELOMPOK V


adalah

Dan menurut rumus binomial Newton, maka bentuk ini adalah sama dengan .

Lebih umum lagi bila ∝ suatu bilangan riil sembarang, maka fungsi pembangkit

untuk barisan koefisien binomial

Adalah

Yang berdasarkan teorema binomial Newton dapat ditulis sebagai

Contoh 5.1

Tentukan banyak cara memilih r objek dari n macam objek dimana pengulangan

diperkenankan.

Penyelesaian :

Misal tr menyatakan banyak cara memilih r objek. Karena ada n macam objek dan tiap

objek dapat dipilih berulang (tanpa batas) maka fungsi pembangkit untuk tr ialah :

P(x) = (1 + x + X2 + …)(1 + x + x2 + …)…( 1 + x + x2 + …)

(sampai n faktor)

= (1 + x + x2 + …)n

Karena, untuk |x|<1, 1

1−x = 1 + x + x2 + . . . . (lihat (1.1.2))

Maka

P ( x )=( 11−x )

n

= (1 – x)-n

= ∑r=0

∞

(−nr ) (−1 )r xr (binomial teorema)

Untuk r > 0 koefisien xr dalam P(x) adalah

KELOMPOK V


(−nr ) (−1 )r=

(−n ) (−n−1 ) …(−n−r+1)r !

(−1)r

¿n (n+1 ) …(n+r−1)

r!

¿(n+r−1 ) (n+r−2 ) … (n+1 ) n

r !

¿(n+r−1 )1r ! (n−1 )!

=(n+r−1r )

Untuk r = 0 koefisien dari xr dalam P(x) ialah

(−n0 )=(−1 )0=(n+0−1

0 )Sehingga, untuk r ≥ 0

(−nr )=(−1 )r=(n+r−1

r )Dengan demikian,

P(x) = ∑r=0

∞

(n+r−1r )xr

Jadi, banyaknya cara memilih r obyek dari n macam obyek dimana pengulangan

diperkenankan, sama dengan koefisien xr dalam P(x) yaitu

tr = (n+r−1r )

Contoh 5.2

Akan dicari fungsi pembangkit dari barisan bilangan , disini

menyatakan jumlah kombiasi-n dari suatu himpunan ganda dengan k > 0 objek yang

berbeda, dan masing-masing objek mempunyai faktor pengulangan yang tak hingga.

Pada pembahasan terdahulu telah dapat dihitung bahwa , jadi fungsi

pembangkit yang dicari adalah

Dengan menggunakan teorema binomial Newton, maka diperoleh bentuk

KELOMPOK V


Sebagai salah satu hal khusus, yaitu barisan bilangan 1,1,1,1,.., untuk mana fungsi

pembangkitnya adalah

Dan fungsi pembangkit dari barisan lain, yaitu 1,2,3,…,n

Pandang suatu contoh yang mirip dengan perhitungan , yaitu cara perhitungan

. Bentuk ini dapat ditulis sebagai

Untuk harga , diperoleh

Hal ini membentuk suatu daftar semua cara untuk mengalikan suatu suku pada faktor

yang kedua dan suku lain pada faktor yang ketiga. Problem menentukan koefisien dari

, pada ekspansi atau pada umumnya, berubah menjadi problema

menghitung jumlah cara yang berbeda untuk membuat faktor yang terdiri dari

sejumlah r dari x dan sejumlah (n – r) dari 1. Jadi koefisien dari xr dalam

adalah dan dalam adalah .

Yang paling penting dalam hal ini adalah mengenumerasi hasil perkalian sejumlah

faktor yang masing-masing merupakan suatu polinomial dalam x. dalam hal ini

perkalian tersebut dilihat sebagai suatu cara untuk membentuk semua hasil perkalian

yang dapat dilakukan dengan mengalikan semua suku dari tiap-tiap faktor polinomial

yang ada. Bila ada sejumlah n faktor polinomial, serta setiap faktor polinomial ke-I

mengandung sejumlah r suku yang berbeda, maka akan dapat dibentuk sejumlah

hasil perkalian yang berbeda. Hal ini mudah dilihat untuk spansi bentuk

KELOMPOK V


, yang megandung n faktor polinomial dan masing-masing polinomial

mengandung 2 suku, maka akan diperoleh 2n bentuk perkalian yang berbeda.

Contoh 5.3

Akan dihitung suatu fungsi pembangkit yang dibentuk oleh

Maka himpunan semua hasil kali yang mungkin diperoleh adalah

Jadi setiap hasil perkalian akan ada 1 atau x pada 3 tempat yang pertama, dan ada 1

atau x atau x2 pada tempat ke 4 dan ke 5. Salah satu hasil perkalian yang mungkin

adalah

Yaitu tempat pertama diisi suku 1, tempat kedua diisi suku x, tempat ketiga diisi suku

1, keempat diisi suku x2 dan tempat kelima diisi suku x.

Karena harga suku 1 dapat ditulis sebagai x0, maka bentuk perkalian yang mungkin

dibuat dalam hal ini dapat juga di tuiskan sebagai

Persoalan untuk menentukan koefisien dari suku xr dari perkalian beberapa faktor

polinomial seperti di atas dapat dinyatakan sebagai jumlah suku dari pangkat. Pada

contoh di atas pada koefisien x4, yang merupakan hasil ekspansi dari

Koefisien ini merupakan jumlah dari semua perkalian yang menghasilkan faktor x4.

Persoalan ini dapat pula dilihat sebagai suatu problema mencari sejumlah bilangan

bulat yang memenuhi suatu persamaan tertentu. Persoalan ini dapat ditulis sebagai

berikut. Carilah semua bilangan bulat yang mungkin diperoleh pada persamaan

KELOMPOK V


Di sini , masing-masing bernilai 0 atau 1, sedangkan e4 dan e5 masing-masing

bernilai 0, 1, atau 2.

Perhatikan bahwa dalam problema yang baru didefinisikan ini harga masing-masing e1

merupakan pangkat atau eksponen dari setiap suku yang ada pada tiap faktor

polinomial. Persoalan ini juga dapat dilihat sebagai sautu problema yang menghitung

banyaknya car untuk mengambil 4 buah bola dari 5 jenis bola yang ada. Dalam hal ini

bola jenis pertama, kedua dan ketiga hanya ada satu, sedangkan bola jenis keempat

dan kelima ada dua buah. Cara pengambilan bola ini boleh berulang, dalam arti setiap

jenis bola boleh tidak diambil, atau diambil sebanyak mungkin, tergantung dari jumlah

bola yang ada untuk tiap jenis bola. Hanya saja kendala yang harus dipenuhi adalah

jumlah keseluruhan bola yang harus diambil adalah 4.

Cara lain untuk melihat problema di atas adalah banyaknya cara untuk

mendistribusikan 4 buah bola yang sama dalam 5 buah kotak yang tersedia, dimana

kotak pertama, kedua, dan ketiga hanya mampu menerima maksimum satu bola,

sedangkan kotak keempat dan kelima dapat menerima maksimum 2 bola.

Dari pembahasan ini, semua dapat disimpulkan bahwa koefisien x4 dari ekspansi

Merupakan jawaban dari problema

1. , dengan

2. Koefisien tersebut juga menyatakan banyaknya cara memilih 4 bola dari 5

jenis bola yang ada.

3. Atau juga banyaknya cara mendistribusikan 4 bola yang sama ke dalam 5

kotak yang berbeda.

Dalam hal ini dikatakan sebagai fungsi pembangkit dengan

koefisien ar yang menyatakan banyaknya jawaban yang mungkin pada ketiga

problema yang telah disebutkan. Pada bagian ini hanya diperhatikan bagimana cara

membentuk suatu fungsi pembangkit yang dapat memberikan jawaban pada suatu

problema pencacahan.

Contoh 5.4

KELOMPOK V


Pandang 4 buah kotak, masing-masing berisi 3 buah bola hijau, 3 buah bola putih, 3

buah bola biru, dan 3 buah bola merah. Akan ditentukan fungsi pembangkit dari ar

yang menyatakan banyaknya cara memilih r buah bola dari kotak tersebut.

Seperti pada pembahasan sebelumnya, maka pada soal ini problema yang diberikan

dapat dirubah ke dalam model berikut.

dengan

Dalam hal ini e1 menyatakan jumlah bola hijau yang diambil, e2 menyatakan jumlah

bola putih yang diambil, e3 menyatakan jumlah bola biru yang diambil dan e4

menyatakan jumlah bola merah yang diambil. Untuk problema ini fungsi pembangkit

dapat dibentuk dengan memperhatikan 4 buah faktor polinomial yang masing-masing

mempnyai tingkat antara 0 sampai dengan 3. Suku-suku dari faktor polinomial yang

akan membentuk fungsi pembangkit adalah

Dengan demikian jumlah perkalian keempat pangkat yang jumlahnya r akan

meruapakn jawaban dari problema yang diberikan. Jadi fungsi pembangkit yang dicari

adalah

Contoh 5.5

Tentukan fungsi pembangkit dari ar yang menyatakan jumlah cara untuk

mendistribusikan r buah bola yang sama ke dalam 5 buah kotak yang diberikan dengan

kendala sebagai berikut. Kotak pertama dan kedua masingmasing hanya dapat diisi

oleh sejumlah genap bola dan maksimum akan berisi 10 bola saja, sedangkan kotak

ketiga, keempat dan kelima masing-masing hanya dpat diisi oleh paling sedikit 3 bola

dan paling banyak 3 bola saja.

Walaupun kendala yang diberikan kelihatannya sedikti rumit, tetapi cara penyelesaian

dari problema ini ternyata mudah sekali. Dengan menggunakan persamaan dengan

jawab bilangan bulat, maka problema di atas dapat ditulis sebagai berikut:

KELOMPOK V


Cari jawab problema berikut dengan adalah bilangan bulat.

Disini e1 dan e2 adalah bilangan genap dan , serta , dari

bentuk problema ini maka akan jelas fungsi pembangkit yang dicari akan berbentuk

Dalam hal ini dua faktor polinomial yang pertama berhubungan dengan dua kotak

yang pertama dengan kendala yang diberikan pada kedua kotak tersebut, sedangkan

tiga faktor polinomial yang terakhir, berhubungan dengan tiga kotak yang terakhir

lengkap dengan kendala yang didefinisikan padanya.

Contoh 5.6

Ada berapa cara mengambil k huruf dari huruf-huruf pembentuk kata SURABAYA

sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling sedikit satu dan setiap vokal terpilih

paling banyak 10?

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa kata SURABAYA terdapat enam huruf yang berbeda : 4 konsonan :

S, R, B, Y dan 2 vokal : U dan A. karena setiap konsonan terpilih paling sedikit satu,

maka setiap konsonan tersebut berasosiasi dengan sebuah faktor (x + x2 + x3 + x4 + x5

+ . . . ) dalam fungsi pembangkit. Selanjutnya, karena setiap vokal dapat dipilih

sebanyak banyaknya 10, maka setiap vokal tersebut berasosiasi dengan sebuah faktor

(x + x2 + . . . + x10). Dengan demikian fungsi pembangkit dari permasalahan di atas

adalah

P(x) = (x + x2 + x3 + x4 + x5 + . . . ) 4 (1 + x + x2 + . . . +x10) 2

= ( 11−x

−1)4( 1−x11

1−x )2

= (x4 – 2 x15 + x26) (1 – x)-6

= (x4 – 2 x15 + x26) ∑r=0

∞

(6+r−1r )xr

=∑r=0

∞

(6+r−1r )xr+4 2∑

r=0

∞

(6+r−1r ) xr+15+∑

r=0

∞

(6+r−1r ) xr+26

KELOMPOK V


Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien xk dalam P(x)

¿ {0 , jika 15 ≤ k≤ 25

( k+1k−4) , jika 15 ≤ k≤ 25

( k+1k−4)−2(k−10

k−15) , jika 15 ≤ k≤ 25

( k+1k−4)−2(k−10

k−15)+(k−21k−26) ,k ≥ 26

Fungsi pembangkit biasa dapat digunakan untuk memecahkan masalah

pendistribusian (penempatan) obyek-obyek yang identik kedalam sel-sel (kotak-kotak)

yang berbeda.

Contoh 5.7

Dengan beberapa cara 60 obyek yang identik dapat ditempatkan di dalam 4 sel (kotak)

yang berbeda sedemikian hingga

(i) Setiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek?

(ii) Setiap sel (kotak) mendapat paling sedikit 10 obyek dan tak lebih dari 20 obyek?

Penyelesaian :

(i) Karena ada 4 kotak dan tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek, maka

fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah :

P(x) = (x + x2 + x3 + . . . )4

= x4 (1 + x + x2 + . . . )4

= x4 ( 11−x )

4

, (untuk |x| < 1, dari (1.2))

= x4 ∑r=0

∞

(4+r−1r ) xr

= ∑r=0

∞

(3+rr ) xr+4

Jadi banyaknya cara menempatkan 60 obyek yang identik ke dalam 4 kotak yang

berbeda sedemikian hingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek =

koefisien x60 dalam P(x)

KELOMPOK V


(56+356 )=(59

56)=32.509

(ii) Karena ada 4 sel berbeda dan setiap sel mendapat paling sedikit 10 obyek dan tak

lebih dari 20 obyek, maka fungsi pembangkit untuk persoalan ini adalah

P(x) = (x10 + x11 + . . . + x20) 4

= x40 (1 + x + . . . + x10) 4

= x40 ( 1−x11

1−x )4

= x40 (1 – x11) 4 (1 – x) -4

= x40 ∑ε=0

4

(−1)5(45) x119 .∑r=0

∞

(r+3r ) xr

Kita tertarik dengan koefisien x60 (P(x)). untuk itu kita cari s dan r sedemikian

hingga

40 + 11s + r = 60

Penyelesaian bulat tidak negatif dari persamaan ini adalah

s = 1 dan r = 9; atau s = 0 dan r = 20

sehingga,

banyaknya cara yang dimaksud = koefisien dari x60 dalam P(x)

= (40)(20+3

20 )+(−1 )(41)(2+3

9 ) = 1771 – 880 = 891

Fungsi pembangkit biasa juga dapat digunakan untuk menentukan banyaknya

penyelesaian (solusi) bulat dari suatu persamaan linear dengan beberapa peubah.

Contoh 5.8

Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan berikut

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100, Xj ≥ 0, i {1, 2, 3, 4, 5}

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa (0, 0, 0, 25, 75) adalah salah satu solusi bulat yang dimaksud.

Begitu pula (0, 5, 20, 5, 70), (2, 3, 7, 28, 60) adalah solusi-solusi bulat dari persamaan

tersebut.

KELOMPOK V


Karena dalam persamaan tersebut terdapat 5 peubah, maka fungsi pembangkit dari

persamaan memuat 5 faktor. Selanjutnya, karena setiap peubah X i ≥ 0, maka setiap

faktor dari kelima faktor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah (1 + x + x2 + x3

+ . . .). sehingga fungsi pembangkit dari permasalahan di atas adalah

P(x) = (1 x + x2 + x3 ......) 5

= ( 11−x )

5

, untuk |x| < 1

= ∑r=0

∞

(5+r−1r ) xr

Banyaknya solusi bulat dimaksud

= koefisien x100 dalam P(x)

= (5+100−1100 )=(104

100)

LATIHAN

1. Tulis fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut dan sederhanakan jika

mungkin

a.

b.

c.

2. Tuliskan Fungsi Pembangkit Eksponensial dari fungsi berikut.

a. (3,3,3,3,…)

b. (0,1,0,1,0,1,…)

c. (3,1,3,1,3,1,…)

d. (an) = ( 3n)

3. P(x) adalah Fungsi Pembangkit Biasa dari barisan . Tentukan jika

a.

KELOMPOK V


b.

c.

4. Carilah nilai , jika P(x) merupakan fungsi pembangkit eksponensial barisan

.

a.

b.

c.

d.

5. Misalkan adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan .

Tentukan .

6. Cari fungsi pembangkit biasa dari P(x) dimana

7. Tentukan fungsi pembangkit dari persamaan di bawah ini dan tuliskan koefisien

fungsi yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut.

a. el + e2 + e3 + e4 = 20, 0 ≤ ei ≤ 5 untuk i = 1, 2, 3, 4.

b. el + e2 + e3 = 20, 0 ≤ ei ≤ 8 untuk i = 1, 2, 3.

8. Bentuk fungsi pembangkit untuk an yaitu banyaknya penyelesaian bilangan bulat

pada persamaan:

a. e1 + e2 + e3 + e4 + e5 = r,0 < e1 ≤4.

b. el + e2 + e3 + e4 = r, 0 ≤ ei.

9. Carilah koefisien x5 dalam fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = (1 – 2x)-8.

b. g(x) = (1 + x + x2 + …)4.

KELOMPOK V


10. Berapa banyak cara untuk mendistribusikan 25 bola identik ke dalam 7 kotak

berbeda, jika kotak pertama dapat diisi paling banyak 10 bola dan bola-bola yang

lain dapat dimasukkan pada setiap 6 kotak lainnya.

11. Tuliskan fungsi pembangkit biasa barisan

12. Carilah jika G(x) Fungsi Pembangkit Biasa .

a.

b.

13. Tentukan banyaknya cara memilih k huruf dari huruf-huruf C,A,N,T,I,K,

sedemikian sehingga

a. Memuat paling sedikit satu C

b. Memuat tepat C dan paling banyak 5A

c. Setiap konsonan terpilih

14. Ada berapa cara mengambil 100 huruf dari huruf-huruf pembentuk kata

KOMBINATORIKA sedemikian sehingga setiap konsonan terpilih paling banyak

20.

15. Dalam sebuah pesta ada 20 orang dan akan dikumpulkan uang sejumlah 15.000

ribu rupiah. Dari 20 orang yang ada, maka 19 orang hanya dapat menyumbangkan

uang 1000 rupiah, atau 5000 rupiah atau tidak menyumbangkan uang sama sekali,

sedangkan seorang lagi dapat menyumbangkan uang sejumlah 1000 rupiah, atau

5000 rupiah atau tidak menyumbangkan sama sekali. Tentukan banyaknya cara

mengumpulkan uang sebanyak 15.000 ribu rupiah?

16. Ada berapa banyak cara mengambil k huruf dari huruf-huruf pembentuk kata

MAKASSAR sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling sedikit satu, dan

setiap vokal terpilih paling banyak Sembilan.

REFERENSI

Budayasa, Ketut. 2008. Matematika Diskrit. Surabaya Unesa University Press.

KELOMPOK V


Buhaerah, 2009. Bahan Kuliah Matematika Diskrit. Dipakai dalam lingkungan sendiri. Parepare: UMPAR.

Rosen, H, Kenneth. 2007. Discrete Mathematics and Its Aplication. Seventh Edition. New York: Mc Graww Hill.

Sutarno, Heri, dkk. 2005. Matematika Diskrit. Malang: Universitas Negeri Malang:

Suvorov,1985. Higher Mathematics. Terjemahan dalam bahasa Indonesia oleh Roni Kartiman. Jakarta: Pradnya Paramita.

.

KELOMPOK V

Documents

FUNGSI PEMBANGKIT