Funkce pro studijní obory - jarjurek.cz · Funkce pro studijní obory 1 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno

Funkce pro studijní obory

Autor: Mgr. Jaromír JUŘEKKopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

1

12.3.2012 21:08:57 Powered by EduBase 2

Variace

Funkce pro studijní obory 1

1. FunkceFunkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno reálné číslo.

Množinu M nazýváme definiční obor - značíme D, případně D(f)

Reálná čísla, která jsou takto přiřazena, nám tvoří další množinu, kterou nazýváme obor hodnot funkce - značíme H, případně H(f).

Funkce může být zadána různými způsoby: tabulkou

x 1 2 3 4 5 6 7 8y 8 12 14 16 20 4 8 24

spojnicovým diagramem

rovnicí

y = 2x + 5

grafem

2. Funkce - procvičovací příklady

Powered by EduBase 212.3.2012 21:08:57 2


AnoOK

1. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 2 6 7 8y 1 3 4 2

1342

AnoOK

2. Určete, zda jde o graf funkce:1346

AnoOK

3. Určete, zda jde o zápis funkce:y = 2x2 + 6

1345

NeOK

4. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 5 4 6 8y * o # $

1344

NeOK

5. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x 2 6 2 8y 1 3 4 2

1341

NeOK

6. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x * o # oy 1 3 3 2

1343



NeOK


AnoOK

8. Určete, zda jde o tabulku představující funkci:x * o # $y 1 3 3 2

1340

NeOK




NeOK


3. Definiční obor funkceUrčování definičního oboru funkce je trochu podobná činnost jako určování podmínek řešitelnosti u lomených výrazů. Musíme tedy vždy určit, pro jaká čísla funkce nenabývá žádné funkční hodnoty - jinými slovy, pro jaké hodnoty nezávisle proměnné neexistuje odpovídající závisle proměnná.

Z uvedeného tedy vyplývá, že pokud má být definiční obor funkce jiný než celá množina reálných čísel, je to zpravidla tehdy, pokud se v rovnici, představující zápis funkce, vyskytuje proměnná ve jmenovateli, pod sudou odmocninou, za logaritmem, apod.

Definiční obor funkce f zapisujeme:D(f) = RD(f) = (-; 0>D(f) = {2; 6; 8}D(f) = R \ {0}Při zápisu tedy používáme označení číselných oborů, intervaly, případně množiny.

4. Definiční obor funkce - ukázkové příklady



!!!V zápisu funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou nikdy nedosáhl záporné hodnoty.

Proto musí platit, že 6x - (x2 + 11) 0

Znamená to tedy, že musíme vyřešit kvadratickou nerovnici. Nejprve si výraz na levé straně rozložíme na součin:

6x - (x2 + 11) = -x2 + 6x - 11 = -(x2 - 6x + 11)

Trojčlen v závorce můžeme rozložit na součin tak, že si vyřešíme pomyslnou kvadratickou rovnici x2 - 6x + 11 = 0 přes vzorec a diskriminant.

D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4.1.11 = -8

Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení, proto neexistuje ani rozklad trojčlenu na součin na levé straně nerovnice. Proto mohou nyní nastat dvě možnosti:1. Buď je zadaná nerovnice splněna pro jakékoliv reálné číslo2. Nebo není zadaná rovnice splněna pro žádné reálné čísloKterá z obou možností nastane, zjistíme snadno tak, že si dosadíme libovolné číslo a posoudíme-je-li v tu chvíli splněna rovnost.Např. pro x = 0 dostaneme -11 0To ale není splněno nikdy, proto definičním oborem není žádné reálné číslo, tedy definičním oborem je prázdná množina.

...

D(f) = { }OK

1. Určete definiční obor D(f) funkce f:1361

!!!V zápisu se sice vyskytuje sudá odmocnina, proto se nabízí uvést jako definiční obor všechna nezáporná čísla. Vzhledem k tomu, že ale pod odmocninou je sudá mocnina, ta vlastně nikdy nedosáhne záporné hodnoty. Proto v tomto případě není omezení žádné a definičním oborem jsou všechna reálná čísla.

...

D(f) = ROK


!!!V zápisu rovnice se vyskytují sudé odmocniny. Musíme tedy dohlédnout, aby výrazy pod nimi byly nezáporné. Řešení tedy bude mít dvě části:1. Čitatel - proto x 02. Jmenovatel - proto 6 - 5x > 0 (rovnost vypadává, protože ve jmenovateli by jinak vyšla nula), odtud x < 6/5

Z obou závěrů uděláme nyní průnik, protože musí být splněny současně:

Závěrem tedy bude uzavřený interval <0; 6/5)

...

D(f) = <0; 6/5)OK




!!!V zápisu rovnice funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou byl nezáporný. Tedy musí platit:(2x - 1) . (x + 3) 0Aby byl součin nezáporný, musí být buď oba činitelé nezáporní nebo naopak oba činitelé nekladní. Řešíme tedy dvě situace:1. (2x - 1) 0 (x + 3) 0 2. (2x - 1) 0 (x + 3) 0 x 0,5 x -3 x 0,5 x -3 x <0,5; +) x (-; -3>Vzhledem k tomu, že stačí, aby nastala alespoň jedna ze situací, je celkovým řešením sjednocení obou intervalů, tedyx (-; -3> <0,5; +)

...

x (-; -3> <0,5; +)OK

4. Určete definiční obor funkce f:1363

5. Definiční obor funkce - procvičovací příklady

x ( -2; 0) (0; 1)OK


D(f) = ROK

2. Určete definiční obor funkce:1359

x (-; -3) (0,5; +)OK


D(f) = ROK


D(f) = (-; 1) (1; 2) (2; +)OK


OK


x { 3} OK




x (-; -3> <2; 5) (5; +)OK


D(f) =(-; 1> <3; +)OK


D(f) = (-; 2,5>OK


6. Vlastnosti funkce1. Funkce rostoucí, klesající a konstantní

Funkce je rostoucí, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá i vyšší funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x2 > x1) D f(x2) > f(x1)Příkladem rostoucí funkce je y = 2x

Rostou-li hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru, rostou i jejich funkční hodnoty. Taková funkce je rostoucí

Funkce je klesající, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá nižší funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x2 > x1) D f(x2) < f(x1)Příkladem klesající funkce je y = -2x + 3

Funkce je konstantní, jestliže pro libovolné dvě hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá vždy stejné funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x2 x1) D f(x2) = f(x1)Příkladem konstantní funkce je y = 6



Pozn.: Graf funkce rostoucí "jde do kopce", graf funkce klesající "jde z kopce", graf funkce konstantní je přímka (nebo její část) rovnoběžná s osou x.

Pozn.: Funkce nerostoucí a funkce neklesající.

2. Funkce sudá a funkce lichá

Funkce je sudá, jestliže pro x D platí, že f(x) = f(-x)Graf funkce sudé je vždy osově souměrný podle osy y.Příklad sudé funkce: y = x2

Funkce je lichá, jestliže pro x D platí, že f(-x) = -f(x)Graf funkce liché je vždy středově souměrný podle počátku.Příklad liché funkce: y = 1/x

3. Funkce periodická

Periodická je taková funkce, která ve svém definičním oboru nabývá pravidelně se opakující hodnoty.



4. Funkce prostáFunkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá prostá, jestliže pro dva libovolné body xi a xj patřící do množiny A, pro něž platí, že xi xj, zároveň platí f(xi) f(xj).

Jsou-li různé nezávisle proměnné z definičního oboru a jsou-li jejich funkční hodnoty různé, jde o funkci prostou.

Příkladem prosté funkce může být exponenciální funkce f: y = ax, kde a > 1.

5. Funkce shora omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá shora omezená (ohraničená), právě tehdy, když existuje takové číslo r R, že pro všechna x A je f(x) r.



Funkce y = -x2 nabývá pro všechny hodnoty definičního oboru záporných funkčních hodnot. Proto je velmi snadné určit číslo, které dané podmínce o omezenosti funkce shora vyhovuje. Jsou to všechna kladná čísla (např. číslo 1).

6. Funkce zdola omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá zdola omezená (ohraničená), právě tehdy, když existuje takové číslo r R, že pro všechna x A je f(x) r.

Funkce y = x2 nabývá pro všechny hodnoty z definičního oboru kladných funkčních hodnot. Proto je velmi snadné určit číslo, které dané podmínce o omezenosti funkce zdola vyhovuje - jsou to všechna záporná čísla (např. číslo -1).

7. Funkce omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá omezená (ohraničená), právě tehdy, když je omezená shora i zdola.



Z oboru hodnot a grafu funkce plyne, že není problém nalézt číslo, které bude splňovat podmínku pro omezenost funkce shora (všechna čísla větší než 1, tedy např. číslo 2) a číslo, které bude splňovat podmínku pro omezenost funkce zdola (všechna čísla menší než 1, tedy např. číslo -2).

8. Inverzní funkce Z definice inverzní funkce plyne, že se inverzní funkce k dané (prosté) funkci dá určit záměnou definičního oboru za obor hodnot, tedy y za x.

9. Minimum funkce Nejmenší hodnotou, neboli absolutním minimem, funkce f na množině A se nazývá taková funkční hodnota f(a), pro kterou platí: f(x) f(a).



Z velikosti funkčních hodnot a z grafu funkce je vidět, že v bodě 0 je funkční hodnota nejmenší a f(0) = 1 je absolutním minimem této funkce. Funkční hodnoty v jiných bodech (např. 1; -1) jsou již vždy větší než absolutní minimum funkce.

10. Maximum funkce Největší hodnotou, neboli absolutním maximem, funkce f na množině A se nazývá taková funkční hodnota f(a), pro kterou platí: f(x) f(a).

Z velikosti funkčních hodnot a z grafu funkce je vidět, že v bodě 0 je funkční hodnota největší a f(0) = 1 je absolutním maximem této funkce. Funkční hodnoty v jiných bodech (např. 1, -0,5) jsou již vždy menší než absolutní maximum funkce.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Průsečíky s osami u funkcí

Průsečíky se souřadnicovými osami určíme tak, že vždy řešíme příslušnou rovnici.

Příklad 1:Je dána funkce y = 2x - 3Určete průsečík X s osou x a průsečík Y s osou y.

Řešení:1. Průsečík s osou x. Jedná se vlastně o bod ležící na ose x, tedy o bod, který má souřadnici y rovnu 0.Proto 2x - 3 = 0 a po vyřešení rovnice dostáváme x = 1,5Bod X[1,5; 0]2. Průsečík s osou y. Jedná se vlastně o bod ležící na ose y, tedy o bod, který má souřadnici x rovnu 0.Proto y = 2.0 - 3 = -3Bod Y[0; -3]

7. Vlastnosti funkce - procvičovací příklady

Funkce není ani sudá, ani lichá.OK

1. Zjistěte, zda je funkce f: y = x2 + x sudá nebo lichá.1479

Funkce je lichá.OK

2. Zjistěte, zda je funkce f sudá nebo lichá:1478



Funkce je rostoucí.OK

3. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf:y = 2x + 1

1469



Funkce je klesající, lichá.OK

4. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, rozhodněte, zda je sudá nebo lichá, načrtněte graf:y = -2x

1470

Funkce je rostoucí; D(f) = H(f) = <0; +)OK

5. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete definiční obor a obor hodnot funkce, načrtněte graf:

1473



Funkce je rostoucí pro x (-; 0> a klesající pro x <0; +)OK

6. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf:f: y = -x2

1475

Funkce není ani lichá, ani sudá.OK

7. Zjistěte, zda je funkce f: y = 2x - 3 sudá nebo lichá.1477

Funkce je rostoucí; D(f) = H(f) = R \ {0}OK

8. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete definiční obor a obor hodnot funkce, načrtněte graf:

1472



Funkce je zároveň nerostoucí i neklesající; je totiž konstantní.OK

9. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf:y = 3

1471

Funkce je rostoucí; průsečík s osou y je Y[0; 4], s osou x není žádný.OK

10. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete její průsečíky s osami a načrtněte graf:f: y = 4 . 10x

1474

Funkce je sudá.OK

11. Zjistěte, zda je funkce f: y = -4x2 sudá nebo lichá.1476

8. Lineární funkceLineární funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Grafem lineární funkce je přímka (nebo její část).



Definičním oborem každé lineární funkce (pokud není omezen intervalem) jsou všechna reálná čísla.Oborem hodnot každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla (pokud se nejedná o funkci konstantní nebo o funkci, jejíž definiční obor je omezený intervalem).

Průsečíky grafu lineární funkce s osami:1. s osou x:- v tomto případě je druhá souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za y = 0 a vypočteme první souřadnici průsečíku s osou x.Příklad 1:Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou x.

Řešení:Hledaný bod X[x; y]Dosadíme za y = 0, proto 0 = 2x - 1Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme x = 0,5

Závěr: Hledaný průsečík je X[0.5; 0].

2. s osou y:- v tomto případě je první souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za x = 0 a vypočteme druhou souřadnici průsečíků s osou y.Příklad 2:Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou y.

Řešení:Hledaný bod Y[x; y]Dosadíme za x = 0, proto y = 2.0 - 1Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme y = -1

Závěr: Hledaný průsečík je Y[0; -1].

Zvláštní případy lineární funkce:1. Je-li v rovnici lineární funkce číslo a = 0, pak y = 0. x + b, neboli y = b

- jedná se o tzv. konstantní funkci- grafem je přímka, která je rovnoběžná s osou x



2. Je-li v rovnici lineární funkce číslo b = 0, pak y = ax + 0, neboli y = ax- jedná se o přímou úměrnost- grafem je přímka (nebo její část), která vždy prochází počátkem souřadného systému

Vlastnosti lineární funkce:

1. Lineární funkce je rostoucí, je-li a > 0.2. Lineární funkce je klesající, je-li a < 0.Číslo a se také někdy nazývá směrnice přímky.

Pozn.: Je-li a = 0, je funkce konstantní, tedy nerostoucí i neklesající.

Určení rovnice lineární funkce ze zadaných bodů

Vzhledem k tomu, že víme, že grafem lineární funkce je přímka, a přímka je vždy jednoznačně určena dvěma body, stačí nám pro zadání lineární funkce její dva body. Jedním z těchto bodů, případně i oběma body, může být klidně některý z průsečíků s osami, případně i počátek souřadného systému.

Příklad 3:Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[2; 3], B[-1; 2]

Řešení:Obecná rovnice je y = ax + b. Dosadíme do ní postupně souřadnice obou bodů:3 = 2a + b2 = -a + b------------------Dostali jsme soustavu rovnic, kterou vyřešíme sčítací nebo dosazovací metodou.Já použiji např. sčítací:První rovnici opíšu, druhou vynásobím dvěma:



3 = 2a + b4 = -2a + 2b------------------Obě rovnice sečtu:7 = 3bb = 7/3Vrátím se k původním rovnicím a tentokráte opět první rovnici opíšu a druhou vynásobím (-1):3 = 2a + b-2 = a - b------------------Opět obě rovnice sečtu:1 = 3aa = 1/3Dosadíme zpět do původní obecné rovnice lineární funkce a dostaneme:

Tím jsme stanovili rovnici lineární funkce, která oběma body prochází.

Grafické řešení soustavy lineárních rovnic

Obě rovnice převedeme do tvaru y = ax + b a sestrojíme grafy obou nově vzniklých funkcí. Souřadnice průsečíku těchto funkcí představují řešení původní soustavy lineárních rovnic.

9. Lineární funkce - procvičovací příklady

K[2; 5], L[-3; -7.5]OK

1. Na obrázku je narýsován graf funkce. Určete souřadnice bodů K, L.1403

Funkce je klesající, lichá, D(f) = H(f) = ROK

2. Určete , zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf.y = -2x

1407



Funkce je rostoucí, neboť směrnice je kladná.OK

3. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf.y = 2x + 1

1406

Přímky jsou rovnoběžné splývající, proto soustava má nekonečně mnoho řešení typu [k; -3k + 9], k R libovolné

OK

4. Řešte graficky soustavu rovnic:3x + y = 96x + 2y = 18

1418

OK

5. Načrtněte graf funkce g2: y = -21410

Funkce je zároveň nerostoucí i neklesající, D(f) = R, H(f) = {3}OK

6. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf.y = 3

1408

OK

7. Načrtněte graf funkce g1: y = 31409



x = 2y = 1

OK

8. Řešte graficky soustavu rovnic:3x - 2y = 4x + 3y = 5

1416

f: y = 7x/3 - 2; D(f) = H(f) = ROK

9. Určete všechny lineární funkce, do nichž patří tyto uspořádané dvojice:[0; -2], [3; 5]

1414

f: y = -16x/5 + 21/5; D(f) = H(f) = ROK

10. Určete všechny lineární funkce, do nichž patří tyto uspořádané dvojice:[1; 1], [3,5; -7]

1415

Jedná se o lineární funkci.OK

11. Na obrázku je narýsován graf funkce. Napište název funkce.3022

Přímky jsou rovnoběžné různé, proto soustava rovnic nemá řešeníOK

12. Řešte graficky soustavu rovnic:x + y = 115 + 3y = -3x

1417

OK

13. Načrtněte graf funkce g: y = 0,2x + 3; x < -5; 3)1413

OK

14. Načrtněte graf funkce f:1412



OK

15. Na obrázku je narýsován graf funkce. Napište rovnici funkce.3023

OK

16. Načrtněte graf funkce g3: y = 2x - 1,51411

10. Kvadratická funkceKvadratická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a číslo a 0.

Grafem kvadratické funkce je parabola (nebo její část).

Definičním oborem kvadratické funkce jsou všechna reálná čísla.



Je-li číslo a > 0, pak má funkce minimum (viz horní obrázek), je-li a < 0, pak má funkce maximum.

Názvy členů funkce:

ax2 ... kvadratický členbx ... lineární členc ... absolutní člen

I. Kvadratická funkce bez lineárního a bez absolutního členu jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2

definičním oborem jsou všechna reálná čísla oborem hodnot je interval <0; +), je-li a > 0 a interval (-; 0> je-li a < 0 souřadnice maxima (resp. minima): M[0; 0] graf tedy protíná obě osy v počátku souřadného systému čím je absolutní hodnota čísla a větší, tím je graf užší, sevřenější.

II. Kvadratická funkce bez lineárního členu jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2 + c definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla oborem hodnot je interval: pro a > 0 ... <c; +)

pro a < 0 ... (- c> souřadnice maxima (resp. minima): M[0; c] graf tedy protíná osu y v bodě, který nazýváme maximum (resp. minimum) je-li c > 0 a zároveň a < 0 nebo c < 0 a zároveň a > 0, pak graf protíná i osu x, a to ve dvou bodech, které

jsou osově souměrné podle osy y. Souřadnice průsečíků s osou x mají v tomto případě souřadnice:



III. Kvadratická funkce se všemi členy jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax2 + bx + c definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla

Příklad 1:

Je dána funkce y = 2x2 + 3x + 4. Určete, zda má funkce maximum nebo minimum, zjistěte jeho souřadnice a určete souřadnice průsečíků s oběma osami.

Řešení:

1. Zda má funkce maximum nebo minimum, to rozhodneme podle čísla a. Vzhledem k tomu, že a = 2, což je větší než nula, má funkce minimum. Jeho souřadnice určíme tzv. doplněním na čtverec. Postup:2. Vytkneme číslo a ... y = 2.(x2 + 1,5x + 2)3. Podíváme se, jaké znaménko je u lineárního členu a podle toho rozhodneme, zda použijeme vzorec (A+B)2 nebo (A-B)2. V tomto případě použijeme ten první.4. Z kvadratického členu u trojčlenu v závorce určíme číslo A. V tomto případě je tedy x.5. Z lineárního členu u trojčlenu v závorce určíme číslo B. V tomto případě je tedy 0,756. Použijeme vzorec a dostaneme y = 2.[(x + 0,75)2 - 0,752 + 2] Pozn. 0,752 odečítáme proto, aby nebyla porušena rovnost, protože jsme to zahrnuli do závorky7. Odstraníme hranatou závorku roznásobením číslem a:

y = 2.(x + 0,75)2 + 2,8758. Určíme souřadnice hledaného minima: M[-0,75; 2,875]. Všimněme si, že první souřadnici určujeme vždy s

opačným znaménkem než má člen v závorce a naopak u druhé souřadnice zůstává znaménko zachováno.9. Určíme průsečíky s osami:a) s osou x V tomto případě y = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme x

2x2 + 3x + 4 = 0Diskriminant D = 32 - 4.2.4 = 9 - 32 = -23Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení a neexistují tedy průsečíky s osou x.

b) s osou y V tomto případě x = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme yy = 2.02 + 3.0 + 4 = 4Hledané souřadnice tedy jsou Y[0; 4]

Pokud máme souřadnice průsečíků a souřadnice extrému (tj. minima nebo maxima), pak můžeme snadno určit průběh grafu a graf tedy načrtnout. Číslo 2 před závorkou nám ještě říká, že graf bude trochu užší.

Ačkoliv to nebylo úkolem, můžeme nyní i určit obor hodnot funkce zadané v předcházejícím příkladu. Je to jednoduché. Funkce má minimum, tedy hodnoty se nedostanou pod druhou souřadnici tohoto bodu. Oborem hodnot je tedy interval <2,875; +)

11. Kvadratická funkce - procvičovací příklady

OK

1. Načrtněte graf funkce f: y = x2 + 4x + 41387



Existuje - viz graf

OK

2. Je dána funkce f: y = x2 - 6x + 11. Rozhodněte, zda existuje aspoň jedno x D(f), pro které platí f(x) = 5.

1392

OK

3. Načrtněte graf funkce f: y = 2x2 + 2x - 3.1399

OK

4. Načrtněte graf funkce f: y = -x2 + 4x - 1.1401



OK

5. Načrtněte graf funkce f: y = -x2 - 31385

OK

6. Načrtněte graf funkce f: y = x2 - 4x1389

OK

7. Načrtněte graf funkce f: y = x2 - x + 21398

OK

8. Načrtněte graf funkce f: y = -x2 + 2x1386



Kvadratická funkce má rovnici y = 0,8x2 - 0,4x.OK

9. Určete všechny kvadratické funkce, jejichž prvky jsou tyto uspořádané dvojice: [0; 0], [-2; 4], [3; 6].

1394

Neexistuje - viz graf

OK

10. Je dána funkce f: y = x2 - 6x + 11. Rozhodněte, zda existuje alespoň jedno x D(f), pro které platí f(x) = 1.

1391

OK

11. Načrtněte graf funkce f: y = 2x2 + 12x + 14.1402

OK

12. Načrtněte graf funkce f: y = x2 + 2x - 1.1400

Kvadratická funkce má rovnici y = 3x2 - 5x + 4.OK

13. Určete všechny kvadratické funkce, jejichž prvky jsou tyto uspořádané dvojice: [-2; 26], [0; 4], [1; 2].

1395



OK

14. Načrtněte graf funkce f: y = -(x + 5)2 - 3.1397

Platí - viz graf

OK

15. Dokažte, že hodnota funkce m: y = x2 - 4x + 5 je v každém bodě x D(m) kladné číslo.1393

OK


OK

17. Načrtněte graf funkce f: y = 2x2 + 21384



OK


OK

19. Načrtněte graf funkce f: y = (x - 3)2 + 5.1396

12. Mocninné funkce

Mocninné funkceMocninná funkce je taková funkce, ve které se vyskytuje obecně člen xn

A. Uvažujme, že n je přirozené číslo:

Nejjednodušším případem je funkce y = xn.

Vlastnosti mocninné funkce y = xn:

1. Pro n - sudé: funkce je zdola omezená definičním oborem jsou všechna reálná čísla



oborem hodnot je interval <0; +) funkce je sudá funkce je rostoucí v intervalu (0; +) funkce je klesající v intervalu (-; 0) graf funkce je souměrný podle osy y grafem je parabola2. Pro n - liché (n 1): funkce není ani zdola, ani shora omezená definičním oborem jsou všechna reálná čísla funkce je v celém definičním oboru rostoucí, oborem hodnot jsou všechna reálná čísla graf funkce je středově souměrný podle počátku grafem je kubická parabolaBude-li mít mocninná funkce rovnici y = xn + c, pak je graf tvarově shodný s grafem funkce y = xn, avšak je posunutý ve směru osy y o hodnotu c.

Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = (x - a)n, pak graf je tvarově shodný s grafem funkce y = xn, avšak je posunutý ve směru osy x o hodnotu a.

Pozn.: Logicky lze odvodit, že graf může být posunut současně ve směru obou os.

B. Nyní uvažujme, že číslo n je záporné celé číslo

Nejjednodušším případem je funkce y = x-n, kde n je přirozené číslo

Vlastnosti mocninné funkce y = x-n, kde n N

1. Pro n - sudé: definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 oborem hodnot jsou všechna kladná reálná čísla v záporné části definičního oboru je funkce rostoucí, v kladné části definičního oboru je funkce klesající graf funkce je souměrný podle osy y2. Pro n - liché: definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 oborem hodnot jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 funkce je v celém definičním oboru klesající graf funkce je souměrný podle počátku

Pozn.: I v tomto případě můžeme funkci různě modifikovat posouváním ve směru osy y, ve směru osy x, případně ve směru obou os.

13. Mocninné funkce - procvičovací příklady

OK

1. Načrtněte graf funkce1466



OK

2. Načrtněte graf funkce y = x-3 - 11464

OK

3. Načrtněte graf funkce y = 3x-2.1463

OK

4. Načrtněte graf funkce1467

OK

5. Načrtněte graf funkce y = (1 - x)31468



OK

6. Načrtněte graf funkce y = (x - 1)-31465



Obsah21. Funkce22. Funkce - procvičovací příklady53. Definiční obor funkce54. Definiční obor funkce - ukázkové příklady75. Definiční obor funkce - procvičovací příklady86. Vlastnosti funkce147. Vlastnosti funkce - procvičovací příklady188. Lineární funkce219. Lineární funkce - procvičovací příklady2410. Kvadratická funkce2611. Kvadratická funkce - procvičovací příklady3112. Mocninné funkce3213. Mocninné funkce - procvičovací příklady


Documents

Funkce pro studijní obory - jarjurek.cz · Funkce pro studijní obory 1 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno