Funkcje rekurencyjne - logic.amu.edu.pllogic.amu.edu.pl/images/1/1d/Frfract.pdf · Równanie macierzowe takiej transformacji (na płaszczyźnie) to: dx0e by0c = da be ... Krzywa Peana

$Page 1: Funkcje rekurencyjne - logic.amu.edu.pllogic.amu.edu.pl/images/1/1d/Frfract.pdf · Równanie macierzowe takiej transformacji (na płaszczyźnie) to: dx0e by0c = da be ... Krzywa Peana$
Fraktale

Jerzy Pogonowski

Zakład Logiki Stosowanej [email protected]

Funkcje rekurencyjne

Jerzy Pogonowski (MEG) Fraktale Funkcje rekurencyjne 1 / 56

Wprowadzenie

Plan na dziś:

Fraktale — intuicyjna charakterystyka.Fraktale — przykłady.

Dlaczego mówimy o fraktalach na tym wykładzie? Powody są co najmniejtrzy:

obiekty fraktalne mogą być generowane przez stosownie określonealgorytmy;fraktale są obiektami powstającymi jako granice pewnych iterowanychoperacji;w algorytmach generujących fraktale istotna jest rekursywność reguł.


Nieskończona złożoność strukturalna

Fraktale

Fraktale to obiekty, które mają cechę samopodobieństwa oraz ułamkowywymiar Hausdorffa-Besicovitcha. Pierwszą własność dość łatwo objaśnić naprzykładach, o drugą proszę się na razie nie martwić.Obiekty fraktalne dostarczają przykładów nieskończonej złożonościstrukturalnej. Im dokładniej przyglądamy się takim obiektom, tym więcejodnajdujemy szczegółów i na żadnym etapie nie widzimy wszystkich tychszczegółów. Nadto, na każdym z tych etapów napotykamy pewien staływzorzec, przynależny wyjściowej całości.Fraktale znane są od dość dawna: np. krzywa Peana (wypełniającakwadrat), dywan Sierpińskiego, zbiór Cantora. Od kilkudziesięciu latmatematyka fraktali znajduje wiele zastosowań w przyrodoznawstwie.Nadto, gdy rozejrzysz się dokładnie dookoła, to okaże się, iż prawiewszystko jest fraktalem (dokładniej: aproksymacją fraktala). Ale nie bójsię, ja czuwam i nie dam Ci zrobić krzywdy.



Paprotka



Jeszcze jedna paprotka


Twierdzenie Hutchinsona

Twierdzenia o punkcie stałym

Przypomnijmy, że:

punktem stałym funkcji f : X → X nazywamy taki element x ∈ X , dlaktórego f (x) = x .f : X → X jest odwzorowaniem zwężającym, gdy istnieje liczbaλ ∈ (0, 1) taka, że dla wszystkich x , y ∈ X zachodzi nierównośćδ(f (x), f (y)) 6 λ · δ(x , y), gdzie X jest przestrzenią metrycznązupełną z metryką δ.

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym głosi, że dowolne przekształceniezwężające przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jedenpunkt stały.Tak więc, gdy położysz na ziemi np. w Poznaniu mapę tego miasta, todokładnie jeden punkt na mapie będzie znajdował się „na swoim miejscu”.Twierdzenia o punktach stałych mają wiele ważnych zastosowań w analiziei topologii.




W 1981 roku Hutchinson udowodnił następujące twierdzenie:

THEOREM 1. Let X = (X , d) be a complete metric space andS = {S1, . . . , SN} be a finite set of contraction maps on X . Then

there exists a unique closed bounded set K such that K =N⋃

i=1SiK .

Furthermore, K is compact and is the closure of the set of fixed pointssi1...ip of finite compositions Si1 ◦ . . . ◦ Sip of members of S.

Korzystając z tego twierdzenia można określać fraktale właśnie jako punktystałe pewnych odwzorowań.


Przekształcenia afiniczne


Algorytm generowania fraktali wykorzystuje układy iterowanychodwzorowań oraz twierdzenia o punkcie stałym.Odwzorowania te to najczęściej zwężające transformacje afiniczne.Transformacja afiniczna to złożenie przesunięć, obrotów oraz skalowania.

Równanie macierzowe takiej transformacji (na płaszczyźnie) to:dx ′eby ′c =

da bebd ec · dxe

byc +dcebf c =

dax + by + cebdx + ey + f c

Współczynniki c i f reprezentują przesunięcie o pewien wektor, a a, b, doraz e reprezentują obrót i skalowanie.W transformacji afinicznej najpierw dokonujemy skalowania, potem obrotu ina końcu translacji.




Równanie macierzowe transformacji afinicznej, w której:

współczynnik skalowania (względem poszczególnych osi) jest określonyparą liczb δ1, δ2;obrót jest wyznaczony przez kąty ϕ1, ϕ2 osi nowego układu do osistarego układu, odpowiednio;przesunięcie jest dane wektorem o współrzędnych t1, t2;

ma zatem postać:

dx ′eby ′c =

dδ1 0eb0 δ2c

· dcos(ϕ1) − sin(ϕ2)ebsin(ϕ1) cos(ϕ2)c

· dxebyc +

dt1ebt2c

=

dδ1 cos(ϕ1)x − δ2 sin(ϕ2)y + t1ebδ1 sin(ϕ1)x + δ2 cos(ϕ2)y + t1c





Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny

Wymiar topologiczny. Można w precyzyjny sposób zdefiniować wymiartak, aby:

jednowymiarowe były: linia prosta, okrąg, odcinek, itd.;dwuwymiarowe były: koło, kwadrat, płaszczyzna euklidesowa, itd.;trójwymiarowe były: kula, sześcian, torus, itd.;zerowymiarowe były: punkt, skończony zbiór punktów, itd.

Jednak pewnym obiektom nie przysługuje wymiar będący liczbą całkowitą.Właśnie fraktale charakteryzują się wymiarem, który może być (dowolną)liczbą rzeczywistą.Idea wyznaczania owego wymiaru fraktalnego jest podobna do tejże dlawymiaru topologicznego; dla naszych celów nie jest potrzebne jejprzedstawianie (zob. Dodatek 1).Dość przystępnie o wymiarze fraktalnym napisano np. w:

Piotr Pierański Fraktale. Od geometrii do sztuki. OśrodekWydawnictw Naukowych, Poznań, 1992.


Generowanie fraktali

O generowaniu fraktali

Jedną z możliwości prostego opisu (generowania) obiektów fraktalnych jestwykorzystanie:

L-systemów (Aristid Lindenmayer, 1968);Grafiki żółwia (Seymour Papert, język Logo).

Przystępny wykład (z którego i my korzystamy) znaleźć można w:

Tomasz Martyn Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji,Wydawnictwo Nakom, Poznań, 1996.

Polecam również np.:

Peitgen, H.O., Jürgens, H., Saupe, D. Granice chaosu. Fraktale.Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 (2), 1997 (1).



Grafika żółwia i generowanie fraktali



Grafika żółwia i generowanie fraktali

Interpretacja symboli:

F oznacza krok żółwia z pozostawieniem śladu;f oznacza krok żółwia bez pozostawiania śladu;+ oznacza obrót żółwia przeciwnie do ruchu wskazówek zegara oustalony kąt;− oznacza obrót żółwia zgodnie z ruchem wskazówek zegara oustalony kąt;współczynnik zmiany długości kroku określa, jak długość kroku żółwiana n + 1 etapie konstrukcji ma się do tejże długości na etapie n;X → Y jest regułą przepisywania: ciąg symboli X zastąp ciągiemsymboli Y .

Współrzędne żółwia to układ: (x , y , α), gdzie x jest odciętą, y rzędną, a αkątem nachylenia względem osi odciętych. Na początku konstrukcjiwspółrzędne żółwia są równe (0, 0, 0).


Samopodobieństwo

Samopodobieństwo

Cechęsamopodobieństwa,definiującą fraktale,łatwo zaobserwować wprocesie konstruowaniaobiektu fraktalnego.Spójrzmy, jak powstajepłatek śniegu Kocha:


Krzywa i płatek śniegu Kocha

Krzywa Kocha



Krzywa Kocha



Płatek śniegu Kocha


Zbiór Cantora

Zbiór Cantora


Zbiór Cantora

Diabelskie schody


Zbiór Cantora

Zbiór Cantora

Zbiór Cantora jest częścią wspólną zbiorów otrzymywanych w kolejnychkrokach konstrukcji; jest zatem generowany przez:

Aksjomat: FReguły:

F → FfFf → fff

Współczynnik zmniejszania długości kroku wynosi 13 .

W rozwinięciu trójkowym elementy zbioru Cantora dane są przez wzór:

x = d0 +∞∑

k=1

dk · 3−k .

Zbiór Cantora ma nieprzeliczalnie wiele elementów. Nie zawiera jednak wsobie żadnego odcinka.


Krzywa Peana

Krzywa Peana


Krzywa Peana

Krzywa Peana

Krzywa Peana jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych, awięc jest funkcją ciągłą.Zbiór jej wartości wypełnia kwadrat (jednostkowy).Nadto, każdy punkt wnętrza kwadratu jest wartością nieskończenie wieluargumentów tej funkcji, czyli jej wykres „przecina się” z sobą w każdymtakim punkcie.Krzywa Peana nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Aksjomat: FReguły:

F → FF + F + F + FF + F + F − F+ → +− → −

Kąt obrotu jest równy 90◦, a współczynnik zmniejszania długości kroku 13 .


Krzywa Hilberta

Krzywa Hilberta


Krzywa Hilberta

Krzywa Hilberta


Krzywa Hilberta

Krzywa Hilberta

Krzywa Hilberta jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych,a więc jest funkcją ciągłą.Zbiór jej wartości wypełnia kwadrat (jednostkowy).Nadto, każdy punkt kwadratu jest wartością dokładnie jednego argumentutej funkcji, czyli jej wykres „nie przecina się” z sobą w żadnym punkcie.Krzywa Hilberta nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Aksjomat: XReguły:

X → +YF − XFX − FY +X → −XF + YFY + FX−F → F+ → +− → −

X = +F − F − F+, Y = −F + F + F−. Kąt obrotu jest równy 90◦, awspółczynnik zmniejszania długości kroku 1

2 .Jerzy Pogonowski (MEG) Fraktale Funkcje rekurencyjne 26 / 56

Trójkąt Sierpińskiego








Trójkąt Sierpińskiego jest granicą (iloczynem mnogościowym) zbiorówotrzymanych w poszczególnych krokach. Ma nieprzeliczalnie wieleelementów. Nie zawiera żadnego koła o niezerowym promieniu.

Aksjomat: XReguły:

X → +Y − X − Y +Y → −X + Y + X−+ → +− → −

X = +F − F − F+, Y = −F + F + F−.Kąt obrotu jest równy 60◦, a współczynnik zmniejszania długości kroku 1

2 .Ćwiczenie. Weź kwadrat zamiast trójkąta. Podaj odpowiednie aksjomaty ireguły („wyrzucamy” środkowy kwadrat z dziewięciu). Otrzymasz dywanSierpińskiego. W trzech wymiarach (wychodzimy od sześcianu) otrzymaszgąbkę Sierpińskiego.


Krzywa smocza

Krzywa smocza


Krzywa smocza

Krzywa smocza

Aksjomat: XReguły:

X → −X + +YY → X −−Y ++ → +− → −

X = −− F + +F , Y = F −−F + +.Kąt obrotu jest równy 45◦, a współczynnik zmniejszania długości kroku 1√

2.

Krzywa smocza wypełnia figurę, której brzeg ma niecałkowity wymiarHausdorffa-Besicovitcha.Ćwiczenie. Wychoduj swojego smoka.


Struktury rozgałęzione

Struktury rozgałęzione

W symbolice L-systemów reprezentować można także strukturyrozgałęzione.Niech symbol „[” oznacza początek rozgałęzienia, a ”]” jego koniec.Interpretacja tych symboli w grafice żółwia polega na zapamiętaniubieżącego stanu żółwia w przypadku wystąpienia symbolu „[” orazprzywróceniu ostatnio zapamiętanego stanu w przypadku wystąpieniasymbolu „]”.Dla przykładu: FF [+F ]F [−F ]F oznacza strukturę składającą się z odcinkao długości czterech kroków żółwia, z dwoma rozgałęzieniami: w lewo (wpołowie odcinka), w prawo (w 3

4 odcinka).Ćwiczenie. Narysuj np. pięć etapów wzrostu roślinki wyznaczonej przez:Aksjomat: F Reguły: F → F [+F ]F [−F ]F

+ → +− → −

Kąt obrotu niech będzie równy 45◦, a współczynnik zmniejszania długościkroku 1

2 .Jerzy Pogonowski (MEG) Fraktale Funkcje rekurencyjne 32 / 56

Koniec

To były tylko bardzo elementarne informacje o fraktalach. Do omówieniaich dalszych, ważnych własności potrzebne jest przygotowaniematematyczne wykraczające poza programy studiów w InstytucieJęzykoznawstwa UAM.To, co najważniejsze do zapamiętania o fraktalach (na potrzeby tegokursu):

są to obiekty, które powstają jako elementy graniczne pewnychiterowanych operacji;lokalna struktura fraktala jest (na każdym poziomie)odzwierciedleniem jego struktury globalnej;fraktale są obiektami o nieskończonej złożoności (czasem mówi się:subtelności) strukturalnej.

Uwaga. Mówimy o powstawaniu lub konstrukcji fraktali jako obiektówmatematycznych. Nie oznacza to oczywiście, że Natura stosuje takie same(jak my) metody konstrukcji.


Dodatek 1: wymiar fraktalny

Wymiary — uproszczone definicje

O wymiarze topologicznym.Liczba N(ε) kwadratów o boku ε potrzebnych do pokrycia odcinka jestproporcjonalna do ε i wynosi N(ε) = Lε−1, gdzie L jest współczynnikiemproporcjonalności. Dla ε → 0 wartość L jest zatem długością mierzonegoodcinka:L = lim

ε→0N(ε)ε.

Liczba N(ε) kwadratów o boku ε potrzebnych do pokrycia kwadratów jestproporcjonalna do ε2. Pole S kwadratu jest równe sumie pól pokrywającychgo kwadratów o boku ε → 0, czyli:S = lim

ε→0N(ε)ε2.

Zauważmy, że dla kwadratu mamy:limε→0

N(ε)ε = ∞.

Wymiar topologiczny (dla figur ograniczonych) charakteryzujemy jakowykładnik potęgi przy ε, dla którego rozważane granice są skończone.




O wymiarze pojemnościowym (na płaszczyźnie).Pewne figury nie mają całkowitego wymiaru topologicznego w powyższymrozumieniu.Proponuje się przypisać im taki wymiar d , dla którego zachodziN(ε)εd = 1.Ponieważ wtedy N(ε) = ε−d , więc:d = − lgε N(ε) = − ln N(ε)

ln ε = ln N(ε)

ln( 1ε)

.

Wymiarem pojemnościowym obiektu geometrycznego X nazywa się liczbę:dim(X ) = lim

ε→0

ln N(ε)

ln( 1ε)

.

Mamy wtedy np.:

dla zbioru Cantora:dim(X ) = lim

n→∞ln 2n

ln 3n = ln 2ln 3 = 0, 6309297535715 . . .

dla trójkąta Sierpińskiego:dim(X ) = lim

n→∞ln 3n

ln 2n = ln 3ln 2 = 1, 584962500721 . . .




O wymiarze fraktalnym (wymiarze Hausdorffa-Besicovitcha).W ogólności, w pokryciach figur używa się kul o dowolnych promieniach.Niech BX oznacza rodzinę wszystkich pokryć obiektu X dowolnymi kulami,a Bε

X rodzinę wszystkich pokryć X kulami o średnicy nie większej niż ε.Dalej, niech:αX (d , ε) = inf{m : b ∈ Bε

X ∧m =∑a∈b

(∆a)d}

gdzie ∆(a) jest średnicą kuli a.Zauważmy, że jeśli zbiór X pokrywamy kulami o jednakowej średnicy (= ε),to αX (d , ε) = N(ε)εd , gdzie N(ε) jest liczbą użytych kul.

Wymiarem Hausdorffa-Besicovitcha Dim(X ) zbioru X nazywamy takąliczbę d0, dla której granica lim

ε→0α(d0, ε) ma skończoną wartość dodatnią.

W ogólności mamy: Dim(X ) 6 dim(X ).Jerzy Pogonowski (MEG) Fraktale Funkcje rekurencyjne 36 / 56

Dodatek 2: obrazki fraktalne








































Documents

Funkcje rekurencyjne - logic.amu.edu.pllogic.amu.edu.pl/images/1/1d/Frfract.pdf · Równanie macierzowe takiej transformacji (na płaszczyźnie) to: dx0e by0c = da be ... Krzywa Peana