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Funktionalanalysis Vorlesungsmitschrieb zur Vorlesung ”Funktionalanalysis” PD Dr. Horst Heck / Universit¨ at Karlsruhe / Wintersemester 2008/09 geT E Xed von Christoph Jahn Stand: 1. M¨ arz 2009

Funktionalanalysis (Heck;2009)

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Vorlesungsskript zu Funktionalanalysis am KIT.

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Page 1: Funktionalanalysis (Heck;2009)

Funktionalanalysis

Vorlesungsmitschrieb zur Vorlesung”Funktionalanalysis”

PD Dr. Horst Heck / Universitat Karlsruhe / Wintersemester 2008/09

geTEXed vonChristoph Jahn

Stand: 1. Marz 2009

Page 2: Funktionalanalysis (Heck;2009)
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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 3

0. Vorwort 50.1. Uber dieses Skriptum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2. Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Banachraume und lineare Operatoren 71.1. Banachraume und metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1. Folgenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Funktionenraume stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.3. Das Lebesgue Integral und die Lp-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3. Kompaktheit und Separabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4. Stetige lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5. Standardkonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.1. Produkte von normierten Vektorraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.2. Direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.3. Quotientenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2. Hauptsatze der Operatorentheorie 392.1. Der Satz von der offenen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Dualitat 473.1. Beispiele von Dualraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3. Reflexivitat und schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4. Adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5. Das Spektrum eines linearen Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4. Hilbertraume 714.1. Grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1. Operatoren auf Hilbertraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. Kompakte Operatoren 855.1. Die Fredholmsche Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6. Unbeschrankte Operatoren 976.1. Abgeschlossene Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2. Das Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.3. Operatoren mit kompakter Resolvene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3.1. Etwas Hilbetraumtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

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Inhaltsverzeichnis

6.4. Der Laplace-Operator im Eindimensionalem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4.1. Sobolev-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4.2. Der Dirichlet-Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A. Satz um Satz 105

B. Vorlesungsverzeichnis 109

Abbildungsverzeichnis 111

Stichwortverzeichnis 113

Literatur 117

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0. Vorwort21. Okt.

0.1. Uber dieses Skriptum

Das ist ein Mitschrieb zu der Vorlesung Funktionalanalysis im Wintersemester 2008/2009 an derUniversitat Karlsruhe, gehalten von PD Dr. Horst Heck. Er ist fur den Inhalt dieses Mitschriebsnicht verantwortlich. Außerdem erhebt dieser Mitschrieb weder Anspruch auf Vollstandigkeitnoch auf Richtigkeit! Die Vorlesung lehnt sich an das Skriptum von Prof. Schnaubelt an.

Herzlichen Dank an Christian Wellenbrock fur das Korrekturlesen.

Die Mengeninklusionszeichen ⊂ und ⊆ sind gleichbedeutend. Wenn es sich um eine echte Un-termenge handelt wird das mit dem Zeichen $ dargestellt.

0.2. Literatur

a) Skript von Roland Schnaubelt (Sch08)

b) Werner: Funktionalanalysis (Wer07)

c) Alt: Lineare Funktionalanalysis (Alt06)

d) Rudin: Functional Analysis (Rud91)

e) Yosida: Functional Analysis (Yos95)

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1. Banachraume und lineare Operatoren

1.1. Banachraume und metrische Raume

Es sei X ein Vektorraum uber K = R,C und X 6= 0.

Definition 1.0Eine Abbildung p : X → R+ = [0,∞) heißt Halbnorm, wenn

a) p(α · x) = |α| · p(x) ∀α ∈ K, x ∈ X (Homogenitat)

b) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ X (Dreiecksungleichung)

Gilt zusatzlich

c) p(x) = 0 =⇒ x = 0 (Definitheit)

so heißt p Norm auf X.

Fur eine Norm schreiben wir auch p(x) =: ‖x‖. Das Paar (X, ‖ · ‖) heißt normierter Vektor-raum.

Bemerkung:

•∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ ≤ ‖x− y‖ (umgekehrte Dreiecksungleichung)

• p(0) = (0 · 0) = 0

Definition 1.1 (Konvergenz)• (xn) ⊂ X konvergiert gegen x ∈ X, falls

∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n ≥ Nε : ‖xn − x‖ ≤ ε

• (xn) ⊂ X heißt Cauchy-Folge, falls

∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n,m ≥ Nε : ‖xn − xm‖ ≤ ε

Ist (X, ‖ · ‖) vollstandig (d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert), so heißt X Banachraum.

Bemerkung:

• Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge

Beweis

‖xn − xm‖ ≤ ‖xn − x‖+ ‖x− xm‖ ≤ ε+ ε = 2ε

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1. Banachraume und lineare Operatoren

• Eindeutigkeit des Grenzwerts

Beweisxn → x und xn → y liefert x = y, denn‖x− y‖ ≤ ‖x− xn‖+ ‖xn − y‖ ≤ 2ε=⇒ x = y (‖x− y‖ = 0).

• konvergente Folgen sind beschrankt, d.h. supn ‖xn‖ <∞.

Beweisfur ε = 1 existiert ein N : ‖xn − x‖ ≤ 1 fur alle n ≥ N=⇒ ‖xn‖ ≤ ‖x‖+ 1, n ≥ NAußerdem ‖xn‖ ≤ max‖x1‖, . . . , ‖xN‖ fur 1 ≤ n ≤ N .

Definition 1.2 (Vektorraume von Funktionen)Es sei X ein Vektorraum und M eine nichtleere Menge.Fur f, g : M → X und α ∈ K definieren wir

(f + g)(t) := f(t) + g(t), (α · f)(t) := α · f(t)

Ist X = K so definieren wir noch

(f · g)(t) := f(t) · g(t) (t ∈M)

Beispiele 1.3(a) X = Rd ist ein Banachraum bzgl.

• ‖x‖p := (∑|xk|p)

1p 1 ≤ p <∞ (p-Norm)

• ‖x‖∞ := max|xk| : k ∈ 1, . . . , d (Maximumsnorm)

(b) C([0, 1]) = f : [0, 1] 7→ K, f stetig ist ein Banachraum bzgl.‖f‖∞ := supt∈[0,1]|f(t)| = maxt∈[0,1] |f(t)| (Supremumsnorm).

BeweisC([0, 1]) ist Vektorraum (klar)‖αf‖∞ = supt∈[0,1] |αf(t)| = |α| supt∈[0,1] |f(t)| = |α|‖f‖∞‖f + g‖∞ = sup |f(t) + g(t)| ≤ sup |f(t)|+ sup |g(t)| = ‖f‖∞ + ‖g‖∞=⇒ ‖ · ‖∞ ist NormVollstandigkeit:(fn) Cauchyfolge, d.h. ∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n,m ≥ Nε :

|fn(t)− fm(t)| ≤ ‖fn − fm‖∞ ≤ ε ∀t ∈ [0, 1]

(fn(t)) ist Cauchyfolge in R.R vollstandig, fn(t)→ f(t)Sei t ∈ [0, 1], ε > 0 und Nε wie oben, n ≥ Nε

|f(t)− fn(t)| = limm→∞ |fm(t)− fn(t)| ≤ lim supm→∞ ‖fm − fn‖∞ ≤ ε=⇒ ‖f − fn‖∞ ≤ ε =⇒ fn → f bzgl. ‖ · ‖∞.Sei nun t, s ∈ [0, 1] und ε > 0, n ≥ Nε

|fn(t)− fn(s)| ≤ ε fur |t− s| < δ = δ(n)=⇒ |f(t)− f(s)| ≤ |f(t)− fn(t)|+ |fn(t)− fn(s)|+ |fn(s)− f(s)|≤ ε+ ε+ ε

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1.1. Banachraume und metrische Raume

(c) Definiere: ‖f‖1 :=∫ 1

0 |f(t)|dt f ∈ C([0, 1])Es gilt ‖f‖1 ≤ ‖f‖∞ und ‖f‖1 ≥ 0Ist f 6= 0, so gilt auch ‖f‖1 > 0klar: ‖αf‖1 = |α|‖f‖1, ‖f + g‖1 ≤ ‖f‖1 + ‖g‖1(C([0, 1]), ‖ · ‖1) ist nicht vollstandig

Betrachte: fn(t) =

1 1

2 ≤ t ≤ 1nt− n

2 + 1 12 −

1n < t < 1

2

0 0 ≤ t ≤ 12 −

1n

n ≤ m‖fn − fm‖1 =

∫ 1212− 1

n

|fn(t)− fm(t)|dt ≤ 1n → 0 (fur n→∞)

(fn) ist Cauchyfolge bzgl. ‖ · ‖1Annahme: fn → f ∈ C([0, 1]), also ‖fn − f‖1 → 0Fur 0 < a < 1

2 −1n gilt:

0 ≤∫ a

0 |f(t)|dt =∫ a

0 |f(t)− fn(t)|dt ≤ ‖f − fn‖1 → 0 (n→∞)=⇒ f(t) = 0 fur 0 ≤ t ≤ a ∀a < 1

2Analog f(t) = 1 fur t ∈ [1

2 , 1].Widerspruch zu f stetig!

Bemerkung:

• C([0, 1]) ist ∞-dimensional (z.B. t 7→ tn sind linear unabhangig)

• endlich-dimensionale normierte Vektorraume sind vollstandig24. Okt.

Definition 1.4 (Metrik)Es sei ∅ 6= M und d : M ×M → R+ mit

a) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (Definitheit)

b) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie)

c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung)

fur alle x, y, z ∈M

• Dann heißt d Metrik auf M .

• (M,d) heißt metrischer Raum.

• (xn) ⊂M heißt konvergent, falls es ein x ∈M gibt mit

∀ε > 0 ∃Nε ∈ N : d(x, xn) ≤ ε ∀n ≥ Nε

• (xn) heißt Cauchy-Folge, falls

∀ε > 0 ∃Nε ∈ N : d(xn, xm) ≤ ε ∀n,m ≥ Nε

• (M,d) heißt vollstandig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert.

Bemerkung:

• Grenzwerte sind eindeutig

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1. Banachraume und lineare Operatoren

• jede konvergente Folge ist auch Cauchy-Folge

• Eine Folge (xn) konvergiert bezuglich d ⇐⇒ (xn) ist irgendwann konstant

Beispiele 1.5 (Metrik)a) X normierter Vektorraum, ∅ 6= M ⊂ X

d(x, y) = ‖x− y‖ ist Metrik auf M

b) Teilraum-Metrik:(M,d), ∅ 6= N ⊂M . Dann ist (N, dN ) mit dN (x, y) = d(x, y) fur x, y ∈ N ein metrischerRaum.

c) X = C(R) = f : R→ K, f stetig und pk(f) = max|t|≤k |f(t)| (pk ist Halbnorm).Dann definiert

d(f, g) =∞∑k=1

2−kpk(f − g)

1 + pk(f − g)

eine vollstandige Metrik auf X (”Frechet-Metrik“).

d) Diskrete Metrik: Es sei M 6= ∅ eine Menge. Dann definiert

d(x, y) =

1, falls x 6= y

0, falls x = y

eine Metrik auf M .

Definition 1.6Es sei (M,d) metrischer Raum.

• O ⊂M heißt offen, wenn

∀x ∈ O ∃r > 0 : B(x, r) := y ∈M : d(x, y) < r ⊂ O

• Weiter ist ∅ offen. N ⊂ M heißt Umgebung von x ∈ M , falls x ∈ N , x ist innererPunkt (d.h. ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ N)

• A ⊂M heißt abgeschlossen in M , wenn M \A =: AC offen ist.

Bemerkung 1.7(M,d) metrischer Raum, x ∈M, r > 0.

a) B(x, r) ist offen in M .

BeweisZu y ∈ B(x, r) setze ρ = r − d(x, y) =⇒ d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) ≤ ρ+ d(x, y) = r

b) B(x, r) := y ∈M : d(x, y) ≤ r ist abgeschlossen (abgeschlossene Kugel).

BeweisFur z /∈ B(x, r), d.h. d(z, x) = R > r gilt: B(z, R−r2 ) ⊆M \ B(x, r), denn

R = d(x, z) ≤ D(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, y) +R− r

2y ∈ B(z,

R− r2

)

=⇒ d(x, y) > r.

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1.1. Banachraume und metrische Raume

c) (X, ‖ · ‖) normierter Vektorraum.Die offene Kugel in X ist konvex.

Satz 1.8Es sei (M,d) ein metrischer Raum.

a) A ⊂M abgeschlossen ⇐⇒ Ist (xn) ⊂ A mit xn → x, dann gilt x ∈ A

b) O ⊂M offen ⇐⇒ Zu x ∈ O existiert keine Folge (xn) ⊂M \O mit xn → x.

Beweisa) ”⇒“ Annahme: Es gilt (xn) ⊂ A, xn → x /∈ A

=⇒ x ∈ M \ A ist offen, also existiert r > 0 mit B(x, r) ⊂ M \ A, d.h. B(x, r)⋂A = ∅,

Widerspruch zu d(x, xn) < r2 fur n > N r

2.

”⇐“ Annahme: A nicht abgeschlossen=⇒ M \ A nicht offen =⇒ Es existiert x ∈ M \ A und rn → 0 und xn /∈ M \ A mitB(x, rn) 3 xn. D.h. xn ∈ A, xn → x ∈M \A also ist Voraussetzung verletzt.

b) Analog zu a) (durch Komplementbildung).

Korollar 1.9Eine abgeschlossene Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes ist vollstandig bezuglichder Teilraummetrik.Insbesondere ist ein abgeschlossener Untervektorraum eines Banachraumes wieder ein Banach-raum

Beispiel:X = C([0, 1]), ‖ · ‖ = ‖ · ‖∞. Y := f ∈ X : f(0) = 0. Y ist Untervektorraum von X.Fur fn ∈ Y mit fn → f gilt auch fn(0)→ f(0) = 0,also f ∈ Y Kor.1.9====⇒ (Y, ‖ · ‖∞) ein Banachraum.

Satz 1.10a) Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind wieder offen.

Endliche Schnitte offener Mengen sind offen.

b) Beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind wieder abgeschlossen.Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

Bemerkung:⋂n∈N(0, 1 + 1

n) = (0, 1] ist nicht offenund

⋃n∈N[0, 1− 1

n ] = [0, 1) ist nicht abgeschlossen.

Definition 1.11(M,d) metrischer Raum, N ⊂M

a) Das Innere N von N ist⋃O ⊆ N : O offen in M =: N

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1. Banachraume und lineare Operatoren

b) Der Abschluss N von N ist

N :=⋂A abgeschlossen in M, A ⊇ N

c) Der Rand ∂N von N ist definiert durch

∂N := N \ N

Bemerkung:

• N offen ⇐⇒ N = N

• N abgeschlossen ⇐⇒ N = N

• ∂N = N ∩ (M \ N) ist stets abgeschlossen

• es gilt N = ∂N ∪ N

Satz 1.12(M,d) metrischer Raum, N ⊂M . Daher gilt:

a) N = x ∈M | ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ N =: N1

x ∈M | es existiert keine Folge (xn) ⊂M \N : xn → x =: N2

N1 = N2

b) N = x ∈M : ∃(xn) ⊆ N mit xn → x =: N3

c) ∂N = x ∈M : ∃(xn) ⊂ N, (yn) ⊆M \N mit xn → x, yn → y

Beweisa) Es gilt: N =

⋃O⊂N,O offenO =

⋃B(y,r)⊂N B(y, r) = N1

Mit Satz 1.8: N offen, d.h. zu x ∈ N existiert keine Folge in M \ N ⊇ M \ N , so dassxn → x =⇒ x ∈ N2, d.h. N ⊂ N2

Zu x ∈M \N1 existiert xn ∈M \N1, xn → x =⇒ x ∈M \N2 =⇒ N2 ⊆ N1 =⇒ a)

b) Nach a) gilt (N!M \N)M \N3 = (M \N) und daher ist N3 abgeschlossen.Es sei A ⊇ N abgeschlossen. Satz 1.8 liefert N3 ⊂ A, also N = N3.

28. Okt.

Beispiel 1.13a) X normierter Vektorraum, x ∈ X, r > 0

• B(x, r) = y ∈ X : ‖x− y‖ ≤ r = B(x, r)

• ∂B(x, r) = y ∈ X : ‖x− y‖ = r

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1.1. Banachraume und metrische Raume

BeweisB(x, r) ⊆ B(x, r) (Bemerkung 1.7b))

Sei y ∈ X mit ‖x− y‖ = r. Setze yn = y − 1n(y − x) ∈ B(x, r)

Offensichtlich gilt yn → y =⇒ y ∈ B(x, r)

B(x, r) ⊆ B(x, r), B(x, r) = B(x, r), also ∂B(x, r) = B \B.

Abbildung 1.1.: ∂B(x, r)

b) In der diskreten Metrik gilt ((M,d))

B(x, 1) = x, B(x, 1) = M

also B(x, 1) = B(x, 1), falls |M | > 1.

Definition 1.14 (Stetigkeit)(M,d), (M ′, d′) metrische Raume und f : M →M ′.

f heißt stetig in x0 ∈M , falls fur alle xnd−→ x0, auch f(xn) d−→ f(x0).

f heißt stetig, falls f stetig in allen Punkten x0 ∈M ist.

Notation: C(M,M ′) = f : M →M ′, f stetig

Beispiel 1.15d : M ×M → R ist stetig.

BeweisEs sei xn → x, yn → y. Dann gilt: d(xn, yn) − d(x, y) ≤ d(xn, x) + d(x, yn) − d(x, y) ≤d(xn, x) + d(x, y) + d(y, yn)− d(x, y) = d(xn, x) + d(y, yn)→ 0 + 0

analog: d(x, y)− d(xn, yn)→ 0

Das liefert die Stetigkeit der Metrik.

Satz 1.16(M,d), (M ′, d′) (M ′′, d′′) metrische Raume; f : M →M ′, g : M ′ →M ′′ Abbildungen.

a) Es sind aquivalent:

(i) f ist stetig in x0 ∈M

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Page 14: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

(ii) ∀ε > 0 ∃δ > 0 : d(x, x0) < δ =⇒ d′(f(x), f(x0)) < ε

(iii) Ist V eine Umgebung von f(x0), dann ist f−1(V ) eine Umgebung von x0

b) Es sind aquivalent

(i) f ist stetig

(ii) O ⊂M ′ offen =⇒ f−1(O) ist offen.

(iii) A ⊂M ′ abgeschlossen =⇒ f−1(A) ist abgeschlossen.

c) f und g stetig =⇒ h = g f ist stetig.

Beweis

a) • (i) =⇒ (iii): Annahme (iii) ist falsch.Dann gibt es eine Umgebung V ⊃ f(x0) und eine Folge xn → x0 mit xn /∈ f−1(V ), also:f(xn) /∈ V . Aber f(xn)→ f(x0), Widerspruch zu V Umgebung von f(x0).

• (iii) =⇒ (ii): Es sei V = B(f(x0), ε), dann existiert δ > 0, so dass B(x0, δ) ⊂ f−1(V ) =⇒x ∈ B(x0, δ) =⇒ f(x) ∈ V .

• (ii) =⇒ (i): xn → x0, ε > 0, dann gilt wegen (ii), dass d(f(xn), f(x0)) < ε fur n > Nδ.

b)

• (i) =⇒ (iii): xn → x xn ∈ f−1(A), A abgeschlossen.

Nach (i) folgt f(xn) → f(x), f(xn) ∈ A also f(x) ∈ A und damit x ∈ f−1(A) =⇒f−1(A) ist abgeschlossen.

• (iii) =⇒ (ii) folgt mit Komplementbildung.

• (ii) =⇒ (i): x0 ∈M, V /∈ f(x0) Umgebung um f(x0).

(ii) liefert x0 ∈ f−1(B(f(x0), r)) ist offen.

Wahle r, so dass B(f(x0), r) ⊂ V

=⇒ f−1(V ) ist Umgebung von x0 =⇒ f stetig in x0

c) Beweis einfach.

Bemerkung: f heißt gleichmaßig stetig, falls in a)(ii) der Parameter δ unabhangig von x0

gewahlt werden kann.

Satz 1.17X normierter Vektorraum.

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1.1. Banachraume und metrische Raume

a) Die Abbildungen

K×X → X, (α, x) 7→ α · xund X ×X → X, (x, y) 7→ x+ y

sind stetig.

b) Ist A ⊂ X abgeschlossen (bzw. offen), dann sind

x+A := x+ y : y ∈ A, x ∈ Xα ·A := α · y : y ∈ A, α ∈ K \ 0

abgeschlossen (bzw. offen).

c) Sind A,B ⊂ X offen, dann ist auch A+B := x+ y : x ∈ A, y ∈ B offen.

Beweis

a) xn → x, yn → y, αn → α.Dann gilt:

‖x+ y − (xn − yn)‖ ≤ ‖x− xn‖+ ‖y − yn‖ → 0 + 0‖αnxn − αx‖ ≤ |αn‖︸︷︷︸

beschr.

‖xn − x‖+ |αn − α| ‖x‖ → 0 + 0

b) Sei x ∈ X fest, setze fx(y) = y − x, dann ist f fur x′ → x stetig.Außerdem gilt x+A = f−1

x (A) also ist x+A abgeschlossen (bzw. offen).Behauptung f in αA geht analog.

c) A+B =⋃x∈A

x+B︸ ︷︷ ︸offen︸ ︷︷ ︸

offen

. b) liefert, dass x+B offen ist.

Korollar 1.18X normierter Vektorraum, Y ⊂ X

a) Y Untervektorraum =⇒ Y Untervektorraum

b) Y konvex =⇒ Y konvex

Beweisa) x, y ∈ Y , α, β ∈ K. Satz 1.12 liefert:

∃xn, yn ∈ Y mit xn → x, yn → ySatz 1.17=====⇒ αxn + βyn → αx+ βy =⇒ Behauptung.

b) analog.

Beispiele 1.19a) Jeder Untervektorraum in Kd ist abgeschlossen bezuglich ‖ · ‖p

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Page 16: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

b) X = C([0, 1]) bezuglich ‖ ·‖∞. Es sei P die Menge der Polynome. P ist Untervektorraum,also P ⊆ X ist Untervektorraum.Weierstraß-Approximations-Satz liefert∀f ∈ X ∃gn ∈ P mit ‖f − gn‖∞ < 1

n , also gn → f in X.=⇒ P = X (d.h. P ist dicht in X).Insbesondere gilt fur P ⊆ Ck([0, 1]) = f ∈ X, f k-mal stetig differenzierbar,dass P ⊆ Ck ⊆ X = P =⇒ Ck = X.

31. Okt.

Bemerkung (zu Bsp. 1.19):X = C([0, 1]), Y = f ∈ X : supp f ⊂ (0, 1),

supp f := t ∈ [0, 1] : f(t) 6= 0 (Trager von f).

f ∈ Y und fn ∈ Y mit fn → f in Xdann f ∈ C0([0, 1]) = f ∈ X : f(0) = f(1) = 0Es gilt Y = C0([0, 1]).

BeweisBeweisidee: zu f ∈ C0([0, 1]) setze fn = ϕn · f ‖f − fn‖∞ = sup0≤t≤ 2

n1− 2

n≤t≤1 |1ϕn(t)| · |f(t)| → 0 (n→∞)

Abbildung 1.2.: ϕn

Definition 1.20Zwei Normen ‖ · ‖1 und ‖ · ‖2 auf einem Vektorraum X heißen aquivalent falls es Konstantenc, C > 0 gibt mit

c‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ C‖x‖1 ∀x ∈ X

Satz 1.21Seien ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 Normen auf X, dann sind aquivalent:

(i) ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 sind aquivalent

(ii) (xn) ⊂ X konvergieren bezuglich ‖ · ‖1 ⇐⇒ (xn) konvergiert bezuglich ‖ · ‖2

(iii) (xn) Nullfolge bezuglich ‖ · ‖1 ⇐⇒ (xn) ist Nullfolge bezuglich ‖ · ‖2

(iv) A ⊂ X offen bezuglich ‖ · ‖1 ⇐⇒ A offen bezuglich ‖ · ‖2

16

Page 17: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.1. Banachraume und metrische Raume

(v) A ⊂ X abgeschlossen bezuglich ‖ · ‖1 ⇐⇒ A abgeschlossen bezuglich ‖ · ‖2

Zusatz: Gilt eine der Aussagen (i)-(v), dann sind die Grenzwerte in (ii) gleich.

Beweis(i) =⇒ (ii) =⇒ (iii), sind leicht, (ii)⇐⇒ (iv) folgt mit Satz 1.8.(iii) =⇒ (i): Annahme (i) ist falsch, d.h.zu n ∈ N gibt es ein xn ∈ X mit

1n‖xn‖1 ≥ ‖xn‖2 oder

1n‖xn‖2 ≥ ‖xn‖1

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit: Es gilt 1nj‖xnj‖1 ≥ ‖xnj‖2

Setze ynj = 1‖xnj‖1xnj =⇒ ‖ynj‖2 ≤ 1

nj→ 0 (j →∞)

Satz 1.22In einem endlich-dimensionalen Vektorraum sind alle Normen aquivalent.

Beweis(fur Kd)

Es sei ‖ · ‖ Norm auf Kd und ek kanonische Basis.

x ∈ Kd, x =∑d

k=1 xk · ek. Es gilt dann:

‖x‖ ≤d∑

k=1

|x| · ‖ek‖CSU≤( d∑k=1

‖ek‖2) 1

2 · ‖x‖2

(Cauchy-Schwarz-Ungleichung, ‖. · ‖2 ist Euklid-Norm.)

Aus dieser Ungleichung folgt auch fur xn → x bezuglich ‖.‖2

|‖xn‖ − ‖x‖| ≤ C‖xn − x‖2 → 0 (n→∞)

=⇒ f(x) := ‖x‖ f : (Kd, ‖.‖2)→ R ist stetig.

Weiter gilt S := x ∈ Kd : ‖x‖2 = 1 ist abgeschlossen und beschrankt, also kompakt. f nimmtdaher sein Minimum auf S an, d.h. ∃x0 ∈ S : c := ‖x0‖ = minx∈S ‖x‖ > 0.

=⇒ ‖ 1‖x‖2

· x‖ ≥ c =⇒ ‖x‖ ≥ c‖x‖2 ∀x ∈ Kd

Beispiel 1.23Fur X = C([0, 1]) folgt aus Beispiel 1.3 und Satz 1.21, dass ‖.‖∞ und ‖.‖1 nicht aquivalentsind.

17

Page 18: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

1.2. Weitere Beispiele

Bezeichnung: Eine Funktion x : N→ K heißt K-wertige Folge.Notation: x(k) =: xk, x = (xk) = (xk)k∈N.

1.2.1. Folgenraume

l∞:= x x Folge mit supk∈N |xk| <∞ (beschrankte Folgen)l∞ ⊇ c := x = (xk) : (xk) ist konvergentc ⊇ c0 := x ∈ l∞ : x ist Nullfolgec0 ⊇ c00 := x = (xk) : xk = 0 fur fast alle k ∈ N (endliche Folge).

Alle diese Mengen sind Vektorraume.Betrachte Norm ‖x‖∞ := supx∈N |xk|Wie in Bsp. 1.3 =⇒ ‖.‖∞ ist Norm auf l∞

Bemerkung:

• l∞ ist ein Banachraum.

• c0, c ⊂ l∞ sind abgeschlossen.

• Fur 1 ≤ p <∞ definiere

lp := x = (xk) ⊂ K :∞∑k=1

|xk|p <∞

• lp ist Vektorraum.

• Fur p = 1 ist einfach zu sehen, dass

‖x‖1 :=∞∑k=1

|xk|

eine Norm auf l1 ist.

• Fur p > 1 ist der Beweis der Dreiecksungleichung etwas schwieriger.

‖x‖p :=( ∞∑k=1

|xk|p) 1

p

Erinnerung: Youngsche Ungleichung zu 1 < p <∞ setze p′ = pp−1 (d.h 1

p + 1p′ = 1)

Fur a, b ≥ 0, p ∈ (1,∞) gilt

a · b = infs>0

(spp· ap +

s−p′

p′· bp′

)speziell gilt a · b ≤ ap

p + bp′

p′ .

18

Page 19: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.2. Weitere Beispiele

Satz 1.24Es sei p ∈ [1,∞) x, y ∈ lp, z ∈ lp′ , dann gelten

a) ‖x · z‖1 ≤ ‖x‖p · ‖z‖p′ (Holder Ungleichung, p = 2 Cauchy-Schwarz Unglei-chung)(fur p = 1 setze p′ =∞).

b) ‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p (Minkowski Ungleichung)

c) lp ist ein Banachraum.

Beweis

a) p = 1 klar. Sei p ∈ (1,∞). Young Ungleichung und Summieren liefert:

|xn|‖x‖p

· |zn|‖z‖p′

≤ 1p· |xn|

p

‖x‖pp+

1p′· |zn|

p′

‖z‖p′

p′

∞∑n=1

|xn| · |zn| = ‖x · z‖1 ≤ ‖x‖p · ‖z‖p′

b) p ∈ (1,∞). Es gilt

‖x+ y‖pp =∞∑k=1

|xk + yk| · |xk + yk|p−1

≤∞∑k=1

|xk| · |xk + yk|p−1 +∞∑k=1

|yk| · |xk + yk|p−1

a)

≤ ‖x‖p( ∞∑k=1

|xk + yk|(p−1)· pp−1

) p−1p + ‖y‖p

( ∞∑k=1

|xk + yk|(p−1)· pp−1

) p−1p

= ‖x+ y‖p−1p · (‖x‖p + ‖y‖p)

4. Nov.

c) Es sei (xn,k) = vn und (vn) eine Cauchy-Folge in lp

=⇒ zu ε > 0 ∃Nε : |xn,k − xm,k| ≤ ‖vn − vm‖p < ε ∀n,m ≥ Nε

Fur k ∈ N ist (xn,k)n∈N Cauchyfolge in K =⇒ ∃xk mit xn,kn→∞−−−→ xk; v := (xk)k∈N

Es gilt∑N

k=1 |xn,k − xm,k|p ≤ ‖vn − vm‖pp < εp, also folgt

∑Nk=1 |xn,k − xk|p ≤ εp

Supremum uber N liefert ‖vn − v‖pp ≤ εp, d.h. vn − v ∈ lp (also auch v) und vnin lp−−−→ v.

Satz 1.25 (Einbettungen)1 < p < q <∞. Dann gilt:

c00 $ l1 $ lp $ lq $ c0

und ‖x‖∞ ≤ ‖x‖q ≤ ‖x‖p ≤ ‖x‖1 (wann immer definiert).Außerdem gilt: c00

lp = lp, c00‖·‖∞ = c0.

19

Page 20: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

Beweisklar c00 $ l1 und lq $ c0 (1 ≤ q∞).

Fur xk = k− 1

p gilt (xk) /∈ lp (harmonische Reihe), aber (xk) ∈ lq fur q > p.Fur x ∈ lq existiert ein m ∈ N mit:

‖x‖∞ = |xm| ≤( ∞∑k=1

|xk|q) 1

q = ‖x‖q

Es sei x ∈ lq \ 0 in 1 ≤ p <∞ und y = 1‖x‖p · x

‖y‖p = 1, |yk| ≤ 1 und da q > p |yk|q ≤ |yk|p.Summieren:

∑|yk|q = ‖y‖qq ≤ ‖y‖pp = 1, also ‖y‖q = ‖x‖q

‖x‖p ≤ 1 =⇒ ‖x‖q ≤ ‖x‖pSei x ∈ lp mit 1 ≤ p <∞, setze vn = (x1, . . . , xn, 0, . . . ) ∈ c00.Dann gilt ‖x− vn‖p = (

∑∞n=1 |xk|p)

1p

n→∞−−−→ 0.

1.2.2. Funktionenraume stetiger Funktionen

• c0(R):= f ∈ C(R) : f(t)→ 0 |t| → ∞

• cb(R):= f ∈ C(R) : ‖f‖∞ <∞

Diese Mengen sind Banachraume bezuglich ‖ · ‖∞.Allgemein: Cb(M,X) = f ∈ C(M,X) : ‖f‖∞ = supx∈M ‖f(x)‖X < ∞, wobei (M,d)metrischer Raum, (X, ‖ · ‖) ist Banachraum.

• Ck([0, 1]):= f : [0, 1]→ K, f k-mal stetig differenzierbar in (0, 1)ist mit ‖f‖Ck := ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞ + ‖f ′′‖∞ + · · ·+ ‖f (k)‖∞ ein Banachraum.

• Raume Holder-stetiger Funktionen

[f ]α := supt,s∈[a,b],t 6=s

|f(t)− f(s)||t− s|α

f : [a, b]→ K, α ∈ (0, 1]

‖f‖α := [f ]α + ‖f‖∞ ‖f‖Lip := ‖f‖1 = [f ]1 + ‖f‖∞

Wir definieren dann:

Cα([a, b]) := f ∈ C([a, b]) : [f ]α <∞Lip([a, b]) := f ∈ C([a, b]) : [f ]1 <∞

Diese Vektorraume sind Banachraume und fur α < β und

C1 $ Lip ( Cβ $ Cα $ C

1.2.3. Das Lebesgue Integral und die Lp-Raume

Problem: Das Riemann Integral verhalt sich ”schlecht“ in Verbindung mit Grenzwerten.

Wann gilt limn→∞

∫fndx =

∫limn→∞

fndx ?

Das Lebesgue Integral lost das Problem des Riemannintegrals.

20

Page 21: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.2. Weitere Beispiele

Abbildung 1.3.: Riemann-Integral

Abbildung 1.4.: Lebesgue-Integral

Problem: Volumen von f−1((a, b)) muss definiert sein, Volumenmaß, Vol((a, b)) = b − a,Translationsinvarianz.

Aber: Auf der Potenzmenge von R (P(R)) gibt es kein translations-invariantes Maß mit

Vol((a, b)) = b− a.

Idee der σ-Algebra.

Definition 1.26Sei T eine beliebige Menge und Σ ⊂ P(T ) mit

a) ∅ ∈ Σ

b) E ∈ Σ =⇒ T \ E ∈ Σ

c) E1, E2 ∈ Σ =⇒ E1 ∪ E2 ∈ Σ

Dann heißt Σ Algebra. Gilt

c)∗ E1, E2, · · · ∈ Σ =⇒⋃∞i=1Ei ∈ Σ

dann heißt Σ σ-Algebra.

Bemerkung: Schnitt von σ-Algebren ist wieder σ-Algebra Gegeben M ⊂ P(T ), dann gibt es eine kleinste σ-Algebra Σ(M) mit M ⊂ Σ(M). (P(T )bedeutet Potenzmenge von T ).

7. Nov.

Es sei Σ die σ-Algebra der Borelmengen Σ = Σ(I)I = [a, b] ⊂ Rd : a, b ∈ Rd (Rechtecke von Rd).

21

Page 22: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

Satz 1.27 (Existenzsatz des Lebesgue-Borel-Maßes)Es gibt genau eine Abbildung (Lebesgue-Borel-Maß) λB: Σ→ [0,∞] mit

a) λB(∅) = 0

b) λB([a, b]) = λB((a, b)) = (b1 − a1) · · · · · (bd − ad)

c) λB ist σ-additiv, d.h. fur Ei ∈ Σ paarweise disjunkt gilt

λB(∞⋃i=1

) =∞∑i=1

λB(Ei)

d) λB ist translationsinvariant, d.h. λB(E) = λ(s+ t : t ∈ E) s ∈ R, E ∈ Σ.

Problem: Nicht alle Teilmengen von λB-Nullmengen in Σ(I) enthalten.Losung: Definiere geeignete Fortsetzung, die sogenannte ”Vervollstandigung“.

Satz 1.28 (und Definition)N sei das System aller Teilmengen von λB-Nullmengen. Dann ist

B = A ∪N : A ∈ B, N ∈ N

eine σ-Algebra undλ(A ∪N) := λB(A)

ist vollstandige Fortsetzung von λB.λ heißt dann Lebesgue-Maß auf Rd.

Bemerkung: N ist Nullmenge, falls

∀ε > 0 ∃Quader (Qk)k∈N mit N ⊂∞⋃n=1

Qk :∞∑k=1

λ(Qk) < ε (Qk := [ak, bk])

So kann man beweisen, dass Hyperebenen Nullmengen sind.

Definition 1.29Eine Funktion f : Rd → R heißt messbar, wenn fur jede Menge A ∈ B(R) auch f−1(A) ∈B(Rd) ist.

Bemerkung:

• Es reicht hier f−1((a, b)) zu prufen.

• Eine Funktion 1E(x) := χE(x) :=

1 x ∈ E0 x /∈ E

heißt einfach, falls folgendes gilt:

(E ⊂ Rd, χE ist messbar ⇐⇒ E ∈ B(Rd))

22

Page 23: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.2. Weitere Beispiele

Linearkombinationen von einfachen Funktionen heißen Treppenfunktion.

(f =n∑i=1

αiχEi , αi ∈ R, Ei ∈ B)

Satz 1.30Es seien f, fn, g : Rd → R

a) Sind f, g messbar, dann sind auch folgende Terme messbar:

f + g, f · g, fg (g(s) 6= 0 ∀s), α · f (α ∈ R), |f |, maxf, g, minf, g.

b) Stetige Funktionen sind messbar.

c) f1, f2, . . . messbar und existiert limn→∞

fn(x) = f(x) ∀x ∈ Rd, so ist f messbar.

d) Ist f messbar, so gibt es eine Folge (ϕn) von Treppenfunktionen mit f(x) =limn→∞

ϕn(x).Ist zusatzlich f ≥ 0 so kann ϕ1 ≤ ϕ2 ≤ . . . punktweise erreicht werden.

e) f messbar und beschrankt, so gibt es eine Folge von gleichmaßig konvergenten Trep-penfunktionen.

Bemerkung: Integral fur Treppenfunktionen:

• f =∑n

i=1 αiχEi ∫fdλ =

∑ni=1 αiλ(Ei) (

∫ist von der Darstellung von f unabhangig)

• f ≥ 0 und messbar, so wahle aufsteigende Folge von Treppenfunktionen (ϕn) und definiere∫fdλ := lim

n→∞

∫ϕndλ (Wert evtl. :=∞)

(Hauptproblem:∫f unabhangig von der Wahl der ϕn)

Definition 1.31

a) Eine messbare Funktion f : Rd → R+ heißt integrierbar, falls∫fdλ <∞.

b) Eine messbare Funktion f : Rd → R heißt integrierbar, falls f+ = maxf, 0 undf− = max−f, 0 integrierbar sind. Wir definieren dann∫

fdλ :=∫f+dλ−

∫f−dλ

(wir schreiben auch∫fdλ =

∫fdx)

Satz 1.32

23

Page 24: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

a) f, g : Rd → R integrierbar =⇒

•∫

(αf + βg)dλ = α∫fdλ+ β

∫gdλ α, β ∈ R

• |∫fdλ| ≤

∫|f |dλ

• g ≤ f =⇒∫gdλ ≤

∫fdλ

b) f : (a, b) ⊂ R→ R stetig und |f | uneigentlich Riemann-integrierbar =⇒ f Lebesgueintegrierbar mit

∫(a,b) fdλ = R−

∫ ba fdx (R−

∫bedeutet Riemann-Integral). Hierbei

ist∫

(a,b) fdλ :=∫λ(a,b) · f dλ, allgemein

∫A fdλ =

∫λAfdλ.

Bemerkung:

• f integrierbar⇐⇒ |f | integrierbar.

• Es sei fur jedes x ∈ Rd eine Aussage A(x) gegeben. Wir sagen A gilt fast uberall, falls eseine Nullmenge N gibt, sodass A(x) fur alle x ∈ Rd \N wahr ist (A(x) ist außerhalb derNullmenge immer wahr). Statt Rd gilt der vorherige Satz auch fur B ∈ B. Ein typischesBsp. ist: f ist fast uberall stetig.

Satz 1.33 (Satz von Beppo Levi (bzw. der monotonen Konvergenz)Es sei A ⊂ Rd messbar und fn : A→ [0,∞] messbar, dann gilt:

fn ≤ fn+1 punktweise ∀n ∈ N =⇒∫A

limn→∞

fndλ = limn→∞

∫Afndλ

(∞ ist zugelassen.)

11. Nov.

Bemerkung: fn f ≥ 0 =⇒ lim∫fndλ =

∫fdλ =

∫lim fndλ

Satz 1.34 (Majorisierten Konvergenz, Lebesgue)Es sei A ⊂ Rd messbar, d.h. A ∈ B, fn, g, f : A→ R messbar mit

|fn(x)| ≤ g(x) fur fast alle x ∈ A

g · χA ist integrierbar (g integrierbar auf A) und fn(x)→ f(x) fast uberall in A.Dann gilt: f ist integrierbar und ∫

Afdλ = lim

n→∞

∫Afndλ

Sprechweise: f : Rd → C, so heißt f integrierbar, falls Re f und Im f integrierbar ist.

24

Page 25: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.2. Weitere Beispiele

Definition 1.35A ⊂ Rd messbar, 1 ≤ p <∞

Lp(A) := f : A→ K messbar, |f |p ist integrierbar

und

‖f‖p :=(∫

A|f |pdx

) 1p

Weiter:

‖f‖∞ := infc : |f(x)| ≤ c fur fast alle x ∈ AL∞(A) := f : A→ K messbar ‖f‖∞ <∞

Satz 1.36Wahle Parameter p ∈ [1,∞), sei A ⊂ Rd messbar, seien f, g ∈ Lp(A), h ∈ Lp′(A) (wahlep′ =∞, falls p = 1). Dann gilt:

a) ‖f · h‖1 ≤ ‖f‖p · ‖h‖p′ (Holder Ungleichung)

b) Lp(A) ist ein Vektorraum und ‖.‖p ist eine Halbnorm. D.h. es gilt die Minkowski-Ungleichung

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p

c) Ist p < ∞ und g, fn ∈ Lp(A) mit |fn| ≤ g ∀n ∈ N fast uberall und fn → f fastuberall, so gilt f ∈ Lp(A) und ‖fn − f‖p

n→∞−−−→ 0.

Beweisa) und b) folgen analog mit den Ideen fur Holder bzw. Minkowski fur lp.c) folgt aus Satz 1.34.

Korollar 1.37Es sei λ(A) <∞ und 1 ≤ p < q ≤ ∞. Dann gilt

Lq(A) $ Lp(A) und ‖f‖p ≤ λ(A)( 1p− 1

q)‖f‖q

Beweisq <∞: Wende Holder mit q

p > 1 und(qp

)′:= q

q−p an:

‖f‖p =(∫

A1 · |f(x)|pdx

) 1p ≤

(∫A

1q

q−pdx) q−p

q· 1p ·(∫

A|f(x)|

qp·pdx) p

q· 1p ≤ λ(A)

1p− 1

q ‖f‖q

Bemerkung:

• Im Fall λ(A) =∞ sind Lp(A) und Lq(A) nicht vergleichbar.

• Die Halbnormen ‖.‖p liefert gleiche Werte, falls f = g fast uberall, d.h. f ∈ Lp und f = gfast uberall =⇒ ‖f‖p = ‖g‖p

Wir definieren:NA := f : A→ K, f = 0 fast uberall

NA ist Untervektorraum von Lp(A).

25

Page 26: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

Definition 1.38Lp(A):= Lp(A)/NA = f +NA : f ∈ Lp(A),

||f +NA||p:= ‖f‖p f ∈ Lp(A).

Bemerkung: Lp(A) ist ein normierter Vektorraum.Achtung: Fur f ∈ Lp(A) macht es zunachst keinen Sinn von der Auswertung an einer Stelle xvon der Funktion f zu sprechen.

Satz 1.39 (Riesz-Fischer)Es sei (fn) eine Cauchyfolge in Lp(A), A messbar (1 ≤ p ≤ ∞).Dann existiert f ∈ Lp(A) mit ‖fn − f‖p

n→∞−−−→ 0 und eine Teilfolge fnkmit fnk

(x)→ f(x)fur fast alle x ∈ A (Lp(A) ist ein Banachraum!).

Korollar 1.40Sei fn → f in Lp(A) und fn → g in Lq(A), dann gilt f = g fast uberall.

Definition 1.41Es sei µ ein Maß auf B(Ω), µ heißt stetig bezuglich λ, falls ∀B ∈ B

λ(B) = 0 =⇒ µ(B) = 0.

Satz 1.42 (Radon-Nikodyn)A ∈ B und µ ein bezuglich λ stetiges Maß (µ eventuell K-wertig). Dann gibt es genau einω ∈ L1(A) mit ”dµ = ωdλ“, d.h. µ(B) =

∫B ωdλ (mit B ∈ B).

Ist µ positiv, so gilt ω ≥ 0.

1.3. Kompaktheit und Separabilitat

Definition 1.43Es sei (M,d) ein metrischer Raum.

• K ⊂ M heißt kompakt, falls jede offene Uberdeckung eine endliche Teiluberdeckungbesitzt.

• K heißt folgenkompakt, falls jede Folge in K, d.h. xn ∈ K, besitzt eine in K konvergenteTeilfolge, in K besitzt, d.h. xnj

j→∞−−−→ x ∈ K.

• K heißt relativ kompakt, falls K kompakt ist.

Satz 1.44K kompakter metrischer Raum und f ∈ C(K), dann ist f gleichmaßig stetig und fallsK = R nimmt f Minimum und Maximum in K an.

26

Page 27: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.3. Kompaktheit und Separabilitat

BeweisSiehe Vorlesung Analysis II.

14. Nov.

Satz 1.45In einem metrischen Raum stimmen die Begriffe ”Kompaktheit“ und ”Folgenkompaktheit“uberein.

BeweisK folgenkompakt =⇒ Kkompakt analog Ana 2.

”⇐“ Annahme: Es existiert Folge (xn) ⊂ K die keine konvergente Teilfolge besitzt.Zu y ∈ K existiert ε(y) > 0, so dass B(y, ε(y)) nur endlich viele der xn enthalt.B(y, ε(y) y ∈ K (Uberdeckung von K)Da K kompakt existiert y1, . . . , ym so dass

m⋃j=1

B(yj , ε(yj))︸ ︷︷ ︸enthalt nur endlich viele der xn

⊃ K

=⇒ Es kann nur endlich viele xn geben; Widerspruch zu (xn) Folge.

Korollar 1.46Eine kompakte Menge ist abgeschlossen und beschrankt (d.h. ∃y ∈ K, r > 0 : K ⊂ B(y, r)).

Beweis• Abgeschlossenheit: xn → x in (M,d), K ⊂M , xn ∈ K.K folgenkompakt, also existiert Teilfolge xnk

→ y ∈ K =⇒ x = y, also x ∈ K.

• Beschranktheit: B(y, 1), y ∈ K ist offene Uberdeckung von K =⇒ ∃y1, . . . , ym mitK ⊂

⋃mj=1B(yj , 1) ⊂ B(y1, R) mit R = 1 + maxd(y1, yk), k = 2, . . . ,m

=⇒ K ist beschrankt.

Beispiel 1.47a) Ist K ⊂ Rd, so ist K kompakt⇐⇒ Kist beschrankt und abgeschlossen

b) ”⇐“ gilt (im Allgemeinen) nicht, falls dimV =∞.Betrachte V = lp 1 ≤ p ≤ ∞Setze en = (0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸

(n−1) Mal

, 1, 0, . . . , 0) ∈ B(0, 1)

B(0, 1) ist beschrankt und abgeschlossen. Es gilt ‖en − em‖p = 21p fur n 6= m

=⇒ (en) enthalt keine konvergente Teilfolge.

Lemma 1.48(X, ‖.‖) normierter Vektorraum. Y 6= X abgeschlossener Untervektorraum von X.Zu δ ∈ (0, 1) gibt es dann ein x ∈ X, ‖x‖ = 1 und ‖x− y‖ ≥ 1− δ ∀y ∈ Y .

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Page 28: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

Beweisx ∈ X \ Y . X \ Y ist offen. Also existiert Kugel B(y, ε) ⊂ X \ Y . Setze d = dist(x, Y ) =infy∈Y ‖x− y‖ > 0.Es gilt d < d

1−δ und es gibt y ∈ Y mit ‖x− y‖ ≤ d1−δ .

Setze x = 1‖x−y‖(x− y) (‖x‖ = 1).

Weiter gilt:

‖x− y‖ =1

‖x− y‖‖x− (y + ‖x− y‖ · y)︸ ︷︷ ︸

∈Y

‖ ≥ d

‖x− y‖≥ 1− δ

d· d

= 1− δ ∀y ∈ Y

Satz 1.49(X, ‖.‖) normierter Vektorraum. Dann ist B(0, 1) kompakt⇐⇒ dimX <∞.

Beweis

”⇐“: siehe Analysis II

”⇒“ Annahme: B(0, 1) kompakt und dimX =∞. Wahle x1 ∈ X, ‖x1‖ = 1, U1 = linx1.U1 ist abgeschlossen, da dimU1 <∞ (einfach zu zeigen).Lemma 1.48 liefert Existenz von x2 ∈ X

‖x2‖ = 1 mit ‖x2 − x1‖ ≥12

(δ =12

)

Setze U2 = linx1, x2 =⇒ ∃x3 mit ‖x3‖ = 1 und ‖x3 − x1‖ ≥ 12 , ‖x3 − x2‖ ≥ 1

2 .Induktion liefert Folge xn ⊂ B(0, 1) mit ‖xn − xm‖ ≥ 1

2 fur n 6= m=⇒ (xn) besitzt keine konvergente Teilfolge. Widerspruch zur Kompaktheit.[linB :=

∑Ni=1 αibi : αi ∈ R, bi ∈ B]

Satz 1.50 (Arzela-Ascoli)Es sei K ⊂ Rd kompakt und F ⊂ C(K,R) sei abgeschlossen, punktweise beschrankt(d.h. |f(x)| ≤ C(x) ∀f ∈ F ) und gleichgradig stetig, d.h. ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x, y ∈K, f ∈ F :

|x− y| < δ =⇒ |f(x)− f(y)| < ε

Dann ist F kompakt.

Definition 1.51Ein metrischer Raum heißt separabel, falls er eine abzahlbare dichte Teilmenge enthalt.

Lemma 1.52X normierter Vektorraum. Y ⊂ X abzahlbar mit linY = X.Dann ist X separabel.

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Page 29: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.4. Stetige lineare Operatoren

BeweisDefiniere linQY = y =

∑ni=1 qiyi : yi ∈ Y, qi ∈ Q (bzw.qi ∈ Q+ iQ).

linQ ist abzahlbar, da Y abzahlbar ist, da Q abzahlbar ist (Cantor-Argument).Zu x ∈ X, ε > 0 existiert y ∈ linY mit ‖x− y‖ < ε.Wahle hierzu z ∈ linQY mit ‖y − z‖ < ε.=⇒ ‖x− z‖ ≤ 2ε

Beispiel 1.53a) lp, 1 ≤ p <∞ und c0 sind separabel, da c00 dicht liegt.

b) C([0, 1]) ist separabel, da die Polynome dicht liegen.

c) l∞ ist nicht separabel.

BeweisΩ = ωj ∈ l∞, j ∈ J, ωkj ∈ 0, 1 (0-1-wertige Folgen). Ω ist uberabzahlbar.Weiter gilt ‖ωj − ωk‖∞ = 1 ωj 6= ωkAnnahme: Es existiert eine abzahlbar dichte Teilmenge vk, k ∈ N ⊂ l∞=⇒ zu ωj ∈ Ω existiert k(j) mit vk(j) ∈ B(ωj , 1

4)Jedes vk(j) liegt in hochstens einer Kugel B(ω, 1

2) mit ω ∈ Ω, also ist N → J, k 7→ jsurjektiv. Widerspruch (N abzahlbar). [Ω uberabzahlbar]

1.4. Stetige lineare Operatoren

(X, ‖.‖X), (Y, ‖.‖Y ), (Z, ‖.‖Z) normierte Vektorraume.Schreibweise: T : X → Y linear, dann schreibt man fur T (x) auch Tx.L(X,Y ):= T : X → Y, T ist linear.Es gilt: L(X,Y ) ist Vektorraum. U ∈ L(Y,Z), T ∈ L(X,Y ) =⇒ U T ∈ L(X,Z).

Satz 1.54X,Y normierter Vektorraum T : X → Y linear. Dann sind aquivalent:

a) T ist Lipschitz-stetig.

b) T ist stetig.

c) T ist stetig in x = 0.

d) T ist beschrankt, d.h. ∃c > 0 : ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ ∀x ∈ X.

18. Nov.

Beweisa) =⇒ b) =⇒ c) trivial.c) =⇒ d): zu ε = 1 ∃δ : ‖y‖ < δ =⇒ ‖Ty‖ ≤ 1betrachte x 6= 0: y := δ

‖x‖ · xB(0, δ) =⇒ ‖Ty‖ = δ‖x‖‖Tx‖ ≤ 1

=⇒ ‖Tx‖ ≤ ‖x‖δ =⇒ d) mit c = 1δ .

d) =⇒ a): Annahme: T nicht Lipschitz-stetig.=⇒ zu n ∈ N existierten xn, xn ∈ X mit ‖T (xn − xn)‖ = ‖Txn − T xn‖ ≥ n‖xn − xn‖=⇒ T ist nicht beschrankt.

29

Page 30: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

Definition 1.55X,Y normierter Vektorraum. Wir definieren

• B(X,Y ):= T : X → Y | T linear und beschrankt

• B(X,X) =:B(X)

• B(X,K) =:X∗ heißt Dualraum von X (X ist K-Vektorraum)

Die Elemente von X∗ heißen Funktionale.Wir setzen:

• ||T ||= infC ≥ 0 : ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ ∀x ∈ X

• ‖.‖ : B(X,Y )→ R heißt Operatornorm.

Bemerkung: Wahlt man in X bzw. Y aquivalente Normen, so andert sich B(X,Y ) nicht,wohl aber ‖T‖.(1 + T )−1 existsiert falls ‖X‖ < 1.

Beispiel 1.56X = c00 = Y, (ak) ⊂ K Folge.

definiere: T ((xk)k∈N) = (akxk)k∈N

Dann ist T linear und T ist stetig⇐⇒ (ak) ∈ l∞.

Es gibt nicht stetige lineare Abbildungen.

Bemerkung 1.57T ∈ B(X,Y ), x ∈ X, S ∈ B(Y,Z). Dann:

a) ‖T‖ (i)= supx 6=0

‖Tx‖‖x‖

(ii)= supx,‖x‖≤1 ‖Tx‖

(iii)= supx,‖x‖=1 ‖Tx‖.

b) ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖

c) ‖ST‖ ≤ ‖S‖ · ‖T‖

d) ‖ Id ‖ = 1

Beweisa) Wegen: ‖Tx‖‖x‖ ≤ ‖T‖+ ε ∀ε > 0 x 6= 0

gilt ‖T‖ ≥ supx∈X‖Tx‖‖x‖ =⇒ ”≥“ in (i), (ii), (iii).

Da ‖Tx‖‖x‖ = ‖ 1‖x‖Tx‖ = ‖T x

‖x‖‖ folgt ‖T‖ ≤ sup‖x‖=1 ‖Tx‖, also ”≤“.

b) Folgt aus ‖Tx‖‖x‖ ≤ ‖T‖

c) Folgt aus b): ‖S Tx︸︷︷︸∈Y

‖ ≤ ‖S‖ · ‖Tx‖ ≤ ‖S‖ · ‖T‖︸ ︷︷ ︸ ·‖x‖.

Satz 1.58X,Y normierter Vektorraum. Dann ist B(X,Y ) ein normierter Vektorraum.Ist Y ein Banachraum, so ist B(X,Y ) ein Banachraum (Insbesondere ist X∗ ein Banach-raum).

30

Page 31: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.4. Stetige lineare Operatoren

BeweisT, S ∈ B(X,Y ), x ∈ X, α ∈ K=⇒ ‖(T + S)x‖ = ‖Tx+ Sx‖ ≤ ‖Tx‖+ ‖Sx‖ ≤ (‖T‖+ ‖S‖)‖x‖und ‖αT‖ = sup‖x‖=1 ‖αTx‖ = |α| · ‖T‖‖T‖ = 0 =⇒ T = 0 B(X,Y ) ist normierter Vektorraum.Sei Y Banachraum, (Tn) Cauchyfolge in B(X,Y ), d.h. ∀ε > 0 ∃Nε ∈ N : ‖Tn − Tm‖ ≤ε ∀n,m ≥ Nε. Fur x ∈ X gilt

‖(Tn − Tm)x‖ ≤ ‖Tn − Tm‖ · ‖x‖ ≤ ε‖x‖ ∀n,m ≥ Nε

=⇒ (Tnx) ist Cauchyfolge in Y ,d.h. ∃y = y(x) ∈ Y mit Tnx→ y. Definiere also Tx := y, T : X → Y .Es gilt:

T (αx+ βy) = limn→∞

Tn(αx+ βy) = limn→∞

(αTnx+ βTny) = αTx+ βTy

=⇒ T linear.(Tn) ist Cauchyfolge, also beschrankt, d.h. ∃c > 0 : ‖Tn‖ ≤ c ∀n=⇒ ‖Tx‖ = limn→∞ ‖Tnx‖ ≤ c‖x‖=⇒ T ∈ B(X,Y )

Tnbzgl. Op.N.−−−−−−−→ T , da ‖(T − Tn)x‖ = limm→∞ ‖(Tm − Tn)x‖ ≤ ε · ‖x‖ ∀n ≥ Nε.

Lemma 1.59X normierter Vektorraum, Y Banachraum und D ⊆ X dichter Untervektorraum. Weitersei T ∈ B(D,Y ).Dann gibt es genau eine lineare, stetige Fortsetzung T von T auf X (d.h. T x = Tx furx ∈ D).Außerdem gilt ‖T‖X→Y = ‖T‖D→Y .

BeweisSei x ∈ X, wahle (xn) ⊂ D mit xn → x in X. Wegen ‖Txn − Txm‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn − xm‖ → 0,also ist (Txn) ⊂ Y Cauchyfolge. Definiere: T x = limn→∞ Txn.T ist wohldefiniert: Fur xn → x folgt T (xn − xn)→ 0, also T xn → T xAußerdem: T linear (Ubung) und es gilt

‖T‖ = supx∈D,‖x‖=1

‖Tx‖ ≤ supx∈X,‖x‖=1

‖T x‖ = ‖T‖ und

‖T x‖ = limn→∞

‖Txn‖ ≤ ‖T‖ · limn→∞

‖xn‖ = ‖T‖ · ‖x‖

=⇒ ‖T‖ = ‖T‖.Insbesondere T ∈ B(X,Y ).Sei S eine Fortsetzung von T . Zu x ∈ X, (xn) ⊂ D=⇒ Sx = limn→∞ Sxn = limn→∞ Txn = limn→∞ T xn = T xalso S = T .

Beispiel 1.60a) (Multiplikationsoperatoren)

X = C([0, 1]), m ∈ C([0, 1])Definiere: Tf := m · f fur f ∈ X. Dann gilt

31

Page 32: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

(i) Tf ∈ X,

(ii) T (αf + βg) = αmf + βmg = αTf + βTg α, β ∈ K, f, g ∈ X.

(iii) ‖Tf‖∞ = supt∈[0,1] |m(t)| · |f(t)| ≤ supt∈[0,1] |m(t)| · supt∈[0,1] |f(x)| = ‖m‖∞ · ‖f‖∞=⇒ T stetig mit ‖T‖ ≤ ‖m‖∞Mit f ≡ 1 folgt ‖Tf‖∞ = ‖m‖∞ =⇒ ‖T‖ = ‖m‖∞.Analog:

• lp ak Folge, Tx = (akxk)k∈N

• Lp

b) (Integraloperatoren)X = C([0, 1]) k ∈ C([0, 1]2) Fur f ∈ X setze

Tf(t) =∫ 1

0k(t, s)f(s)ds t ∈ [0, 1]

Tf ∈ X fur f ∈ X, da k gleichmaßig stetig.‖Tf(tn)− Tf(t)| ≤

∫ 10 |k(tn, s)− k(t, s)| · |f(s)|ds ≤

∫ 10 |k(tn, s)− k(t, s)|︸ ︷︷ ︸

≤ε fur n≥Nε

‖f‖∞ds

21. Nov.

Tf(t) =∫ 1

0 k(t, s)︸ ︷︷ ︸∈C([0,1]2)

f(s)ds. Setze κ := maxt∈[0,1]

∫ 10 |k(t, s)|ds.

Dann gilt: ‖Tf‖∞ ≤ supt∈[0,1]

∫ 10 |k(t, s)| · |f(s)|ds ≤ κ‖f‖∞,

=⇒ T ∈ B(X) ist stetiger linearer Operator.

”Operator“ Synonym fur Abbildung beziehungsweise Funktion.Weiter gilt ‖T‖ = κ. Sei t0 ∈ [0, 1] so dass κ =

∫ 10 |k(t0, s)ds und fn(s) = k(t0,s)

|k(t0,s)|+ 1n

.

Es gilt dann fn ∈ X mit ‖fn‖∞ < 1.Also folgt mit majorisierter Konvergenz

‖T‖ ≥ ‖Tfn‖∞ ≥ |Tf(t0)| =∫ 1

0

|k(t0, s)|2

|k(t0, s)|+ 1n

dsn→∞−−−→ κ

=⇒ ‖T‖ = κ.

c) Differentialoperatoren:

(i) X = C1([0, 1]) mit ‖f‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞Y = C([0, 1]) Df = f ′ D : X → Y D ist linear.‖Df‖ = ‖f ′‖∞ ≤ ‖f‖C1 ‖D‖ ≤ 1Setze fn = 1

n sin((n− 1)t) n ≥ 0=⇒ ‖fn‖∞ = 1

n ‖f ′n‖ = 1− 1n

‖f1‖C1 = 1 und ‖D‖ ≥ ‖Dfn‖ = ‖f ′n‖∞ = 1− 1n

=⇒ ‖D‖ = 1.Wahlt man ‖f‖X = ‖f‖∞, dann gilt ‖fn‖∞ → 0, aber ‖Dfn‖∞ 9 0 auf (X, ‖.‖∞)ist D also nicht stetig.

(ii) X = C2b (Rd), Y = Cb(Rd) mit ‖f‖X = ‖f‖∞ +

∑dk,l=1 ‖∂k∂lf‖∞ +

∑dk=1 ‖∂nf‖∞.

Definiere ∆ =∑∂2kf (Laplace Operator).

∆ ∈ B(X,Y ) mit ‖∆‖ ≤ 1

32

Page 33: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.4. Stetige lineare Operatoren

d) Funktionale:

(i) X = C([0, 1]), f ∈ X, t0 ∈ [0, 1]. Setze ϕ(f) = f(t0), ϕ : X → C. ϕ ist linear undstetig, da |ϕ(f)| = |f(t0)| ≤ ‖f‖∞ =⇒ ‖ϕ‖ ≤ 1.f ≡ 1 : ϕ(f) = 1 also ‖ϕ‖ = 1.

(ii) X = Lp(A), 1 ≤ p ≤ ∞. A ⊂ Rd messbar. g ∈ Lp′(A) (p′ so dass 1p + 1

p′ = 1).Definiere: ϕ(f) =

∫A f · gdλ f ∈ X.

Klar: ϕ ist linear. Weiter gilt: |ϕ(f)| ≤∫A |f | · |g|dλ

Holder≤ ‖f‖p‖g‖p′

=⇒ ‖ϕ‖ ≤ ‖g‖p′ , d.h. ϕ ∈ X∗.Fur 1 ≤ p <∞ gilt sogar ‖ϕ‖ = ‖g‖p′ (spater).

e) (Folgenraume):T ∈ B(X,Y ), X = lp, Y = lq 1 < p, q <∞.Setze: ak,l = (Tel)k k, l ∈ N.A = (akl)k,l∈N. Fur x ∈ X und vn = (x1, . . . , xn, 0, . . . ) ∈ c00 gilt dann:(Tvn)k = (

∑nl=1 xlTel)k =

∑nl=1 ak,lxl = (Avn)k

Da T stetig und vn → x folgt

Tvn → Tx und∞∑l=1

aklxl = lim(Tvn)k = (Tx)k

T ∈ B(X,Y ) lasst sich mit einer unendlichen Matrix darstellen.

Definition 1.61X,Y normierter Vektorraum, T : X → Y linear, Kern und Bild von T sind definiert durch

ker(T ) := x ∈ X : Tx = 0, Im(T ) := y = Tx ∈ Y fur ein x ∈ X

a) Eine injektive und stetige, lineare Abbildung heißt Einbettung (X → Y , falls Einbet-tung existiert).

b) Eine bijektive, stetige, lineare Abbildung T , so dass auch T−1 stetig ist, heißt Isomor-phismus (oder invertierbar) (X ∼= Y , falls es einen Isomorphismus gibt).

c) T heißt Isometrie, falls ‖Tx‖Y = ‖x‖X und Kontraktion, wenn ‖T‖ ≤ 1

Bemerkung: Eine Isometrie T : X → Y ist injektiv und T−1 : Im(T ) → X ist auch isome-trisch. Ist X Banachraum, so ist Im(T ) abgeschlossen in Y .

BeweisEs sei yn = Txn → y, dann gilt

‖xn − xm‖ = ‖T (xn − xm)‖ → 0, d.h. (xn) ist Cauchyfolge,

also xn → x ∈ X. Da T stetig ist folgt Tx = y ∈ Im(T ).

Bemerkungen:

a) X ⊆ Y , X Untervektorraum.Die Identitat ist stetig (und damit die Einbettung) Id : (X, ‖.‖X) → (Y, ‖.‖Y ), falls‖x‖Y = ‖ Idx‖Y ≤ C‖x‖X gilt.‖.‖X heißt dann feiner als ‖.‖Y‖.‖Y heißt dann grober als ‖.‖X

33

Page 34: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

Beispiel 1.62lp → lq 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞C1([0, 1]) → C([0, 1]) (z.B. ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞).

b) Alle d-dimensionalen Vektorraume sind isomorph (Rd, ‖.‖2).

1.5. Standardkonstruktionen

1.5.1. Produkte von normierten Vektorraumen

X,Y normierter Vektorraum. Dann definieren wir

X × Y = (x, y) : x ∈ X, y ∈ Y

X × Y ist Vektorraum und

‖(x, y)‖p =

(‖x‖p + ‖y‖p)

1p p ∈ [1,∞)

max‖x‖, ‖y‖ p =∞

sind Normen auf X×Y . Die Normen sind aquivalent. Sind X und Y Banachraume, so ist auchX × Y ein Banachraum. Die Abbildungen:

PX : X × Y → X × Y, (x, y) 7→ (x, 0) bzw. PY : X × Y → X × Y, (x, y) 7→ (0, y)

sind stetige Projektionen, d.h. PX , PY sind stetig, linear und P 2 = P .

1.5.2. Direkte Summe

Definition 1.63Sind X1, X2 abgeschlossene Untervektorraume eines Banachraums X mit X1 + X2 = X undX1 ∩X2 = 0, so heißt X direkte Summe von X1 und X2. X =X1 ⊕X2.

Lemma 1.64Es sei X Banachraum, P ∈ B(X) eine Projektion. Definiere Q = Id−P . Dann ist QProjektion und

Im(P ) = ker(Q) =: X1

ker(P ) = Im(Q) =: X2

sowie X = X1 ⊕X2. Außerdem gilt ‖P‖ ≥ 1, falls P 6= 0.

25. Nov.

BeweisQ Projektion: Q2 = (Id−P )2 = Id−2P + P 2︸︷︷︸

=P

= Id−P = Q.

Ist Im(P ) 3 y = Px, dann gilt Qy = Px− P 2x = 0 (da P Projektion). D.h. y ∈ ker(Q).

34

Page 35: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.5. Standardkonstruktionen

x ∈ kerQ, also 0 = Qx = x− Px =⇒ x = Px =⇒ x ∈ ImP .

Im(P ) = ker(Q) = X1, Im(Q) = ker(P ) folgt analog (P = 1−Q).

Abgeschlossenheit: X1 = ker(Q) = Q−1(0), X2 = P−1(0).

0 ⊂ X abgeschlossen, P,Q stetig =⇒ X1 und X2 abgeschlossen.

Weiter gilt: x = Px︸︷︷︸∈X1

+ (Id−P )x︸ ︷︷ ︸∈X2

∈ X1 +X2.

Sei x ∈ X1 ∩X2 =⇒ x = Px und 0 = Px (x ∈ ker(P )) =⇒ x = 0 =⇒ X1 ∩X2 = 0.

‖P‖ ≥ 1 folgt mit ‖P‖ = ‖P 2‖ ≤ ‖P‖2 =⇒ ‖P‖ ≥ 1 falls ‖P‖ 6= 0.

Bemerkung: Umkehrung gilt ebenfalls: Die ZerlegungX = X1⊕X2 ist aquivalent zur Existenzeiner stetigen Projektion P : X → X mit Im(P ) = X1.

Beispiel 1.65X = L1(R), Pf = 1R+f, f ∈ X.Dann gilt: ‖Pf‖1 ≤ ‖f‖1 und P 2 = P , also P stetige Projektion.Außerdem: ‖P‖ = 1, Qf = (Id−P )f = 1R−f .Definiere J : Im(P )→ L1(R+), f 7→ f |R+ =⇒ J ist ein Isomorphismus mit J−1g = g auf R+.So lasst sich X mit J−1L1(R+)⊕ J−1L1(R−) = X darstellen.

1.5.3. Quotientenraume

X normierter Vektorraum, Y ⊂ X Untervektorraum. Definiere Quotientenklassen:

X/Y := x = x+ Y, x ∈ X

Die Quotientenabbildung Π: X → X/Y, x 7→ x ist surjektiv und es gilt ker(Π) = Y .

DefinitionDie Quotientennorm ist wie folgt definiert:

||x|| := infy∈Y‖x− y‖X =: d(x, Y ) (Abstand von x zu Y bezgl. ‖.‖X)

x ist reprasentanten-unabhangig, da

x+ Y = x+ Y =⇒ x− x ∈ Yinfy∈Y‖x− y‖ = inf

y∈Y‖x− (x− x)− y︸ ︷︷ ︸

∈Y

‖ = infz∈Y‖x− z‖.

Außerdem:

‖αx‖ α 6=0= inf

y∈Y‖α(x− 1

αy)‖ = |α| · ‖x‖

‖x1 + x2‖ = infy∈Y‖x1 + x2 − y‖ = inf ‖x1 + x2 − y1 − y2‖

≤ infy1,y2,y1+y2=y

(‖x1 − y1‖+ ‖x2 − y2‖) = infy1‖x1 − y1‖+ inf

y2‖x2 − y2‖

=⇒ Dreiecksungleichung.

35

Page 36: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1. Banachraume und lineare Operatoren

Ist Y zusatzlich abgeschlossen, so ist ‖.‖X/Y sogar eine Norm: ‖x‖ = 0 =⇒ ∃yn ∈ Y mit‖x− yn‖ → 0 fur n→∞, da Y abgeschlossen ist folgt x ∈ Y also x = 0.Gilt Y 6= X, so ist die Abbildung Π stetig, mit ‖Π‖ = 1 gilt dann:

‖Πx‖X/Y = ‖x‖ = infy∈Y‖x− y‖

y=0≤ ‖x‖X .

Fur ‖Π‖ ≥ 1 liefert das Lemma von Riesz x ∈ X

mit ‖x− y‖ ≥ (1− δ) ∀x ∈ Yalso ‖Π‖ ≥ ‖Πx‖ ≥ (1− δ) (δ ∈ (0, 1) beliebig)

Satz 1.66Es sei X Banachraum, Y ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum. Dann ist X/Y ein Ba-nachraum. Weiter ist Π : X → X/Y surjektiv mit ‖Π‖ = 1.

Beweis(Bleibt nur Vollstandigkeit)(xn) Cauchyfolge. Dann gibt es eine Teilfolge mit

‖xm − xnk‖ ≤ 2−k ∀m ≥ nk

Dazu gibt es ynk∈ Y mit ‖xnk+1

− xnk− ynk

‖ ≤ 2 · 2−k.Setze: zk := xnk+1

− xnk− ynk

und vN := xn1 +∑N

k=1 zk.(vN ) ist Cauchyfolge in F , da ‖vN − vM‖ ≤

∑Nk=M+1 2 · 2−k < ε ∀N,M ≥ Nε.

X Banachraum: limn→∞ vN = x

Weiter gilt: vN = xnN+1 −N∑k=1

ynk︸ ︷︷ ︸∈Y

=⇒ vN = xnN+1 und xnN+1 − x = Π(vN − x︸ ︷︷ ︸→0

) =⇒ xnN+1 → x.

Es bleibt zu zeigen, dass xn → x (n→∞) gilt.Zu ε > 0 wahle kε, so dass 2−kε ≤ ε und ‖xnk

− x‖ < ε ∀k > kε gilt.Dann gilt:‖xm − x‖ ≤ ‖xm − xnk

‖︸ ︷︷ ︸≤2−kε≤ε

+ ‖xnk− x‖︸ ︷︷ ︸

< 2ε m ≥ Nε.

Satz 1.67X,Z normierte Vektorraume T ∈ B(X,Z). Setze Y = ker(T ). Definiere T : X/Y → Z, x 7→Tx.Dann ist T linear injektiv und stetig und es gilt ‖T‖ = ‖T‖.

BeweisT ist wohldefiniert, denn x = u =⇒ x− u ∈ ker(T ), also Tx = Tu.T ist linear.T ist stetig:

‖T x‖ = ‖Tx‖ = ‖Tx+ Ty‖ ≤ ‖T‖ · ‖x+ y‖ ∀y ∈ Y

36

Page 37: Funktionalanalysis (Heck;2009)

1.5. Standardkonstruktionen

also ‖T x‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖.Injektivitat: 0 = T x = Tx =⇒ x ∈ ker(T ), d.h. x = 0.

37

Page 38: Funktionalanalysis (Heck;2009)
Page 39: Funktionalanalysis (Heck;2009)

2. Hauptsatze der Operatorentheorie

28. Nov.

Satz 2.1 (Baire)Seien (M,d) ein vollstandiger metrischer Raum und On ⊂M eine Folge offener und dichterTeilmengen.Dann ist

O =∞⋂n=1

On dicht in M.

BeweisSei x0 ∈M, δ > 0, B0 = (x0, δ). Zu zeigen: B0 ∩O 6= ∅.O1 ist offen und dicht, also existiert x1 ∈ O1∩B0 und δ1 ∈ (0, 1

2δ) mit B1 = B(x1, δ1) ⊂ O1∩B0.Sukzessive erhalt man so fur n ∈ N xn und δn mit xn ∈ On ∩ Bn−1, δn ∈ (0, 1

2δn−1) undBn = B(xn, δn). Dann gilt:

Bn ⊆ On ∩Bn−1 ⊂ On ∩ (On−1 ∩Bn−2) ⊂ · · · ⊂ O1 ∩ · · · ∩On ∩B0. (2.1)

Wegen δm < 2−mδ ist xn ∈ Bm ⊂ B(xn, 2−mδ) fur n ≥ m, also ist (xn) eine Cauchyfolge.Wegen der Vollstandigkeit existiert x ∈M mit

x = limn→∞

xn ∈ Bm ∀m ∈ N

Wegen (2.1) folgt auch x ∈ O ∩B0.

Definition 2.2a) Eine Teilmenge M eines metrischen Raums heißt nirgends dicht, falls M keine inneren

Punkte enthalt (M0 = ∅).

b) M heißt von 1. Kategorie (oder mager), wenn es eine Folge Mn nirgends dichter Mengengibt mit

⋃Mn = M .

c) Eine Menge ist von 2. Kategorie (oder fett), wenn sie nicht von 1. Kategorie ist.

Korollar 2.3 (Baire’sche Kategoriensatz)In einem vollstandigen metrischen Raum ist das Komplement einer Menge 1. Kategorie dicht.

BeweisM von 1. Kategorie, M =

⋃n∈NMn, dann gilt:

MC =(⋃n∈N

Mn

)C =⋂n∈N

MCn ⊃

⋂n∈N

(Mn)C

Es ist einfach zu sehen, dass MnC dicht im metrischen Raum sind.

39

Page 40: Funktionalanalysis (Heck;2009)

2. Hauptsatze der Operatorentheorie

Korollar 2.4Ein vollstandiger metrischer Raum ist von 2. Kategorie in sich.

Satz 2.5 (Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit)Es sei X ein Banachraum und Y ein normierter Vektorraum. Weiter sei T ⊆ B(X,Y ).Ist T punktweise beschrankt (d.h. ∀x ∈ X ∃Cx : ‖Tx‖ ≤ Cx‖x‖ ∀T ∈ T ), dann ist Tgleichmaßig beschrankt (d.h. ∃C : ‖T‖ ≤ C ∀T ∈ T ).

BeweisSetze An = x ∈ X : ‖Tx‖ ≤ n ∀T ∈ T . Wegen der punktweisen Beschranktheit gilt⋃n∈NAn = X. Weiter folgt

An =⋂T∈T

‖T (.)‖−1([0, n])︸ ︷︷ ︸abgeschlossen

und da T stetig ist folgt, dass An abgeschlossen ist. Nach Korollar 2.4 muss mindestens eineder Mengen An einen inneren Punkt y enthalten. D.h. ∃ε > 0 mit B(y, ε) ⊂ AN fur ein N ∈ N.Man uberlegt sich leicht, dass wegen der Linearitat der Operatoren T , die Menge AN konvexund symmetrisch ist (symmetrisch heißt: x ∈ AN =⇒ −x ∈ AN ).Fur ‖z‖ < ε gilt:

z =12· ((z + y) + (z − y)) ∈ 1

2(AN +AN ) ⊂ AN

Sei nun x ∈ X mit ‖x‖ = 1 =⇒ z = εx ∈ AN . Also

N ≥ ‖Tz‖ = ε · ‖Tx‖ =⇒ ‖T‖ ≤ N

ε∀T ∈ T .

Beispiel 2.6X = c00, ‖.‖c00 = ‖.‖∞, Y = K. Setze Tnx = n · xn. Dann ist Tn ∈ B(X,Y ) und |Tnx| ≤mx‖x‖ = cx ∀n ∈ N (mx = m falls x = (x1, . . . , xm, 0, . . . ). Allerdings ‖Tn‖ = n → ∞. Daszeigt, dass die Vollstandigkeit im Satz 2.5 notwendig ist.

Korollar 2.7 (Banach-Steinhaus)Seien X,Y Banachraume, D ⊂ X ein dichter Untervektorraum und Tn ∈ B(X,Y ) n ∈ N.Dann sind aquivalent:

a) Es gibt ein T ∈ B(X,Y ) mit

limn→∞

Tnx = Tx ∀x ∈ X

(man sagt auch: Tn konvergiert stark gegen T ).

b) Tnx konvergiert fur alle x ∈ X.

c) Tnx konvergiert fur alle x ∈ D und ‖Tn‖ < C (gleichmaßig beschrankt).

Beweis• a) =⇒ b) trivial.

• b) =⇒ c): konvergente Folgen sind beschrankt, also existiert fur x ∈ X ein cx mit ‖Tnx‖ ≤cx. Satz 2.5 liefert supn∈N ‖Tn‖ <∞.

40

Page 41: Funktionalanalysis (Heck;2009)

• c) =⇒ a): Setze T0x = limn→∞ Tnx fur x ∈ D. Klar: T0 ist linear. Nach c) gilt

‖T0x‖ < C‖x‖ fur jedes x ∈ D

T0 besitzt daher eine eindeutig definierte Fortsetzung auf X, etwa T ∈ B(X,Y ): Tnx →Tx fur alle x ∈ X, denn zu ε > 0, x ∈ X gibt es ein y ∈ D mit ‖x− y‖ < ε und es gilt

limn→∞

sup ‖Tnx− Tx‖ ≤ limn→∞

(‖T (x− y)‖︸ ︷︷ ︸≤Cε

+ ‖Ty − Tny‖︸ ︷︷ ︸→0

+ ‖Tny − Tnx‖︸ ︷︷ ︸≤Cε

)

≤ 2Cε

Beispiel 2.8Setze Tnx = (x1, 2x2, 3x3, . . . , nxn, 0, . . . ) fur x ∈ c0. Es gilt Tn ∈ B(c0), aber:

‖Tn‖ ≥ ‖Tnen‖ = n→∞ (Tnen divergiert).

Fur x = (x1, . . . , xn, 0, . . . ) ∈ c00 gilt Tnx→ (x1, . . . ,mxm, 0, . . . ). c00 = c0. Im Korollar 2.7 istdie Normschranke in c) notwendig.

Beispiel 2.9 (Links-Translation-Gruppe)Sei X = Lp(R) mit 1 ≤ p <∞. Definiere (T (t)f)(s) := f(s+ t) fur s, t ∈ R.Dann ist T (t) : X → X linear und

‖T (t)f‖p = (∫

R|f(s+ t)|pds)

1p = ‖f‖p,

d.h. T (t) ∈ B(X) und T (t) ist Isometrie. Außerdem gilt

T (0) = Id (2.2)

und(T (t)T (s)f)(r) = (T (s)f)(r + t) = f(r + t+ s) = (T (t+ s)f)(r)

alsoT (t)T (s) = T (t+ s). (2.3)

Dann gilt fur f ∈ Cc(R)

‖T (t)f − T (t0)f‖∞ = sups∈R|f(s+ t)− f(s+ t0)| → 0 (t→ t0)

da f gleichmaßig stetig. Außerdem gibt es eine kompakte Menge K mit supp(T (t)f−T (t0)f) ⊆K fur |t− t0| < 1. Also gilt

T (t)f → T (t0)f im Lp(R). (2.4)

Gelten (2.2), (2.3) und (2.4), so heißt (T (t))t≥0 ”stark stetige Operatorgruppe“. T (t) istnicht stetig bezuglich ‖.‖B(X). Betrachte f(s) = 1[0,t](s), dann gilt

(T (t)f)(s) = 1[0,t](s+ t) =

1, −t ≤ s ≤ 00, sonst

= 1[−t,0](s).

Ist g = t− 1

p f , so gilt

‖g‖p = 1 und ‖T (t)− Id ‖p ≥ ‖T (t)g − g‖pp = t−1

∫ t

−t1ds = 2 ∀t.

T (t) 9 T (0) = Id bezuglich ‖.‖.2. Dez.

41

Page 42: Funktionalanalysis (Heck;2009)

2. Hauptsatze der Operatorentheorie

2.1. Der Satz von der offenen Abbildung

Beispiel 2.10X = c00, Tx = (x1,

12x2,

13x3, . . . ). Dann ist:

• T ∈ B(X),

• T ist bijektiv,

• aber T−1 ist nicht stetig (T−1x = (x1, 2x2, 3x3, . . . )).

Lemma 2.11X,Y, Z normierte Vektorraume, T ∈ B(X,Y ), S ∈ B(Y,Z). Sind T und S invertierbar, soist ST invertierbar mit

(ST )−1 = T−1S−1

BeweisEs gilt (ST )(T−1S−1) = IdZ und (T−1S−1)(ST ) = IdX , T−1S−1 ist stetig, da T−1 und S−1

stetig sind.

Satz 2.12 (Neumann Reihe)X Banachraum und Y normierter Vektorraum. T, S ∈ B(X,Y ). T sei invertierbar und‖S‖ < 1

‖T−1‖ .Dann ist T + S invertierbar und

(S + T )−1 =∞∑n=0

(−T−1S)nT−1 =: R Neumann Reihe

Weiter gilt ‖(S + T )−1‖ ≤ ‖T−1‖1−‖T−1S‖ .

BeweisEs gilt ‖T−1S‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖S‖ < 1, daher konvergiert die Neumann Reihe R absolut R ∈B(Y,X) und

‖R‖ ≤∞∑n=0

‖T−1S‖︸ ︷︷ ︸<1

n · ‖T−1‖ ≤ ‖T−1‖ 11− ‖T−1S‖

Außerdem gilt

R = T−1∞∑n=0

(−ST−1)n,

also

R(S + T ) = limN→∞

N∑n=0

(−T−1S)n(T−1S + Id)Telesk.

∑= lim

N→∞(Id + (−T−1S)NT−1S︸ ︷︷ ︸

→0

) = Id,

42

Page 43: Funktionalanalysis (Heck;2009)

2.1. Der Satz von der offenen Abbildung

und

(S + T )R = (ST−1 + Id)∞∑n=0

(−ST−1)nanalog

= Id .

Damit (S + T ) bijektiv und (S + T )−1 = R ∈ B(Y,X).

Korollar 2.13Die Menge der invertierbaren Operatoren ist offen in B(X,Y ).

Definition 2.14Seien M, M ′ metrische Raume. f : M →M ′ heißt offen, falls f(O) offen in M ′ fur jede offeneMenge O ⊂M .

Satz 2.15 (Satz von der offenen Abbildung)X,Y seien Banachraume und sei T ∈ B(X,Y ) surjektiv.Dann ist T offen.

BeweisZunachst: B(0, ε) ⊂ TB(0, 1). T ist surjektiv, also existiert zu y ∈ Y ein x ∈ X mit Tx = y,insbesondere: fur r > 0

y ∈ TB(0, ‖x‖) ⊂ TB(0, n0r), wobei n0 ∈ N so dass ‖x‖r ≤ n0

Also gilt

Y =∞⋃n=1

TB(0, nr) =∞⋃n=1

nTB(0, r)

Da Y vollstandig ist, gilt nach dem Satz von Baire, dass fur jedes r > 0 ein N existiert, so dassN · TB(0, r) innere Punkte hat.Es gibt also ein y = y(r) und ε > 0 mit

B(y, ε) ⊆ TB(0, r2),

T linear, also:

B(0, ε) = y −B(y, ε) ⊆ TB(0, r2)− TB(0, r2) = TB(0, r2) + TB(0, r2) ⊆ TB(0, r)

Es sei ε1 = ε(1) (r = 1). Weiter sei y ∈ B(0, ε1) und ε > 0, so dass ‖y‖ < ε < ε1. Betrachtey = ε1

ε y ∈ B(0, ε1). Dann gilt y ∈ TB(0, 1), d.h. ∃y0 = Tx0 ∈ TB(0, 1) mit

‖y − y0‖ ≤ αε1 mit α ∈ (0, 1), so dass εε1· 1

1−α < 1.

Betrachte nun: y−y0α ∈ B(0, ε1).

Es gibt dann ein y1 = Tx1 ∈ TB(0, 1) mit ‖y−y0α − y1‖ < αε1, d.h. ‖y − (y0 + αy1)‖ < α2ε1.Erhalte nun fur y−(y0+xy1)

α ein y2 = Tx2 ∈ TB(0, 1) mit ‖y − (y0 + αy1 + α2y2)‖ < α3ε1.Rekursiv erhalten wir eine Folge (xn) ⊂ B(0, 1) mit ‖y − T (

∑ni=0 α

ixi)‖ < αn+1ε1.Da α < 1 konvergiert

∑∞i=0 α

ixi absolut, also existiert x =∑∞

i=0 αixi. Dann gilt Tx = y.

Setze nun x = εε1x, dann Tx = y und

‖x‖ =ε

ε1‖x‖ ≤ ε

ε1

∞∑i=0

αi ‖xi‖︸︷︷︸<1

ε1

∞∑i=0

αi =ε

ε1· 1

1− α< 1,

43

Page 44: Funktionalanalysis (Heck;2009)

2. Hauptsatze der Operatorentheorie

also y ∈ TB(0, 1) (d.h B(0, ε1) ⊂ TB(0, 1)).

Sei O ⊂ X offen, x ∈ O mit y = Tx. Dann gibt es ein r > 0 mit B(x, r) ⊂ O. Dann folgt

B(y, ε · r) = y + r ·B(0, ε) ⊆ Tx+ rTB(0, 1) = TB(x, r) ⊆ T (O).

Korollar 2.16 (Satz von der stetigen Inversen)X,Y Banachraume und T ∈ B(X,Y ).Ist T bijektiv, so ist die Inverse T−1 stetig.

BeweisFolgt sofort aus der Offenheit von T .

Korollar 2.17Sind (X, ‖.‖1) und (X, ‖.‖2) Banachraume und gibt es ein c > 0 mit

‖x‖1 ≤ c‖x‖2 ∀x ∈ X,

so sind die beiden Normen ‖.‖1 und ‖.‖2 aquivalent.

BeweisBetrachte die Identitat:

Id : (X, ‖.‖2)→ (X, ‖.‖1), x 7→ x

Dann ist Id stetig (‖x‖1 = ‖ Idx‖1 ≤ c‖x‖2) und offensichtlich bijektiv, also ist Id−1 :(X, ‖.‖1)→ (X, ‖.‖2) stetig, d.h. ‖ Id−1 x‖2 = ‖x‖2 ≤ c‖x‖1, also sind ‖.‖1 und ‖.‖2 aquivalent.

Korollar 2.18X,Y Banachraume, T ∈ B(X,Y ) injektiv. Dann sind aquivalent:

a) T−1 : Im(T )→ X ist stetig

b) ∃c > 0 : ‖Tx‖ ≥ c‖x‖ ∀x ∈ X.

c) Im(T ) ist abgeschlossen.

Beweisa) =⇒ b): Es gilt: ‖x‖ = ‖T−1Tx‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖Tx‖ =⇒ b) mit c = ‖T−1‖−1.b) =⇒ c): Sei yn = Txn → y. Nach Voraussetzung folgt

‖xn − xm‖ ≤ c−1 ‖yn − ym‖︸ ︷︷ ︸→0

=⇒ (xn) ist Cauchyfolge, also existiert x = limn→∞ xn.T ist stetig, also Tx = y.c) =⇒ a): Im(t) ist ein Banachraum (mit der Norm von Y ). Also folgt a) mit dem Satzvon der stetigen Inversen.

5. Dez.

Fur den nachsten wichtigen Satz benotigen wir die folgende Definition

Fur eine lineare Abbildung T : X → Y ist der Graph von T definiert als

gr(T ) := (x, Tx) : x ∈ X ⊆ X × Y

44

Page 45: Funktionalanalysis (Heck;2009)

2.1. Der Satz von der offenen Abbildung

Satz 2.19 (Satz um abgeschlossenen Graphen)Es seien x, y Banachraume und T : X → Y linear. Ist der Graph von T abgeschlossen, soist T stetig.

BeweisWir definieren in X die Norm ‖x‖T := ‖x‖X + ‖Tx‖Y (Normaxiome noch nachprufen).

1) (X, ‖.‖T ) ist eine Banachraum.Ist (xn) eine Cauchyfolge bzgl. ‖.‖T , so sind (xn) und (Txn) ebenfalls Cauchyfolgen in Xbzw. in Y .(‖x‖ ≤ ‖x‖T , ‖Tx‖ ≤ ‖x‖T ) also es existieren x, y mit xn → x, Txn → y. Wegen derAbgeschlossenheit von gr(T ) folgt y ∈ Im(T ), Tx = y (da (xn, Txn)→ (x, y) in X × Y ),also ‖xn − x‖T = ‖xn − x‖+ ‖T (xn − x)‖ = ‖xn − x‖+ ‖Txn − y‖ → 0 (n→∞).

2) Da ‖x‖ ≤ ‖x‖T sind die Normen aquivalent. T ist stetig bzgl. ‖.‖T , da ‖Tx‖ ≤ ‖x‖T , alsoist T stetig bzgl. ‖.‖.

45

Page 46: Funktionalanalysis (Heck;2009)
Page 47: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

Notation: Die ”Dualitatspaarung“

X ×X∗ → C : (x, x∗) 7→ 〈x, x∗〉 := x∗(x)

ist linear und stetig in x und x∗. X∗:= B(X,C).

3.1. Beispiele von Dualraumen

Es seien 1 ≤ p <∞ sowie p′ ∈ (1,∞] mit 1p + 1

p′ = 1. Fur y ∈ lp′ definiere

φp(y) : lp → C, (φp(y))(x) =∞∑n=1

xnyn (x ∈ lp)

und fur y ∈ l1

(φ0(y))(x) =∞∑n=1

xnyn (x ∈ c0).

Die Holder-Ungleichung zeigt, dass die Reihe absolut konvergent ist. Es gilt namlich

|(φp(y))(x)| ≤ ‖x‖p‖y‖p′ , bzw |(φ0(y))(x)| ≤ ‖x‖∞‖y‖1.

φp(y) bzw. φ0(y) sind linear, also φp(y) ∈ (lp)∗ bzw. φ0(y) ∈ (c0)∗. Außerdem ist ‖φp(y)‖(lp)∗ ≤‖y‖p′ und ‖φ0(y)‖(c0)∗ ≤ ‖y‖1.

φp : lp′ → (lp)∗ und φ0 : l1 → (c0)∗

sind linear und kontraktiv.

Satz 3.1Die Abbildung φp : lp

′ → (lp)∗ und φ0 : l1 → (c0)∗, sind isometrische Isomorphismen, d.h.c∗0∼= l1, (l1)∗ ∼= l∞, (lp)∗ ∼= lp

′.

BeweisWir fuhren den Beweis fur φp, 1 < p <∞, und zeigen ‖φp(y)‖(lp)∗ ≥ ‖y‖lp′ und die Surjektivitatvon φp.Sei x∗ ∈ (lp)∗ und setze yk := x∗(ek) (k ∈ N), y := (yk), desweiteren definiere

zk :=

0, yk = 0|yk|p

yk, yk 6= 0

,

47

Page 48: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

weiter seien z := (zk), vm = (z1, . . . , zm, 0, 0, . . . ). Dann gilt

‖vm‖pp =m∑k=1

|zk|p =m∑k=1

|yk|p(p′−1) =

m∑k=1

|yk|p′,

und

m∑k=1

|yk|p′

=m∑k=1

zkyk =m∑k=1

x∗(zkek) = x∗(vm) ≤ ‖x∗‖‖vm‖p = ‖x∗‖( m∑k=1

|yk|p′) 1

p

=⇒(∑m

k=1 |yk|p′)1− 1

p ≤ ‖x∗‖, mit m→∞ und 1− 1p = 1

p′ folgt ‖y‖p′ ≤ ‖x∗‖. Also ist y ∈ lp′

und es gilt(φp(y))(ek) = yk = x∗(ek)

und damit(φp(y))(x) = x∗(x) ∀x ∈ c00.

Da c00 = lp, folgt φp(y) = x∗ und damit insgesamt die Behauptung.

Betrachten wir nun analog Lp-Raume. Fur g ∈ Lp′(A) und f ∈ Lp(A) betrachte

φp(g) : Lp(A)→ C, (φp(g))(f) =∫Af · gdx.

Wegen der Holder-Ungleichung fur Integrale folgt, dass φp : Lp′(A) → (Lp(A))∗ linear und

stetig, φp(g) ∈ (Lp(A))∗ und ‖φp(g)‖(Lp)∗ ≤ ‖g‖p′ ist. Um zu sehen, dass φp ein isometrischerIsomorphismus ist, mussen wir wieder ‖φp(g)‖ ≥ ‖g‖p′ einsehen.

Satz 3.2Fur eine messbare Menge A und 1 ≤ p < ∞ ist φp ein isometrischer Isomorphismus vonLp′(A) nach (Lp(A))∗.

BeweisEs sei wieder p > 1 und λ(A) <∞ (restliche Falle siehe z.B. Werner).Es sei ϕ ∈ (Lp(A))∗, wegen λ(A) <∞ gilt 1B ∈ Lp(A) fur alle messbaren B ⊆ A. Wir definierenϕ(1B) =: ν(B). Dann ist ν ein C-wertiges Maß. Außerdem gilt:

λ(B) = 0 =⇒ 1B = 0 fast uberall

und daher 1B = 0 in Lp(A), d.h. ϕ(1B) = 0, also ν(B) = 0. ν ist also stetig bezuglich desLebesgue-Maßes. Nach dem Satz von Radon-Nikodym existiert ein g ∈ L1(A) mit

ϕ(1B) = ν(B) =∫Bgdx =

∫A

1Bgdx.

Linearitat von ϕ liefert, das

ϕ(f) =∫Af · gdx fur einfache Funktionen f.

48

Page 49: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.2. Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

Wir zeigen nun g ∈ Lp′(A). Setze

h(x) :=

0, g(x) = 0|g(x)|p′

g(x) , g(x) 6= 0

Dann gilt |h|p = |g|(p′−1)p = |g|p′ = g · h. Setze nun Bn := |g| ≤ n, dann ist

1Bng, 1Bnh ∈ L∞(A) ⊆ Lp(A) ∩ Lp′(A),

da λ(A) <∞. Sei hj eine Folge von Treppenfunktionen mit

hj → 1Bnh in Lp fur j →∞.

Es gilt dann∫Bn

|g|p′dx =∫A

12Bnghdx

maj. Kvgz= lim

j→∞

∫Ag1Bn︸ ︷︷ ︸∈Lp′

hjdx = limj→∞

ϕ(1Bnhj)ϕstetig

= ϕ(12Bnh)

≤ ‖ϕ‖‖1Bnh‖Lp = ‖ϕ‖(∫

Bn

|h|pdx) 1

p = ‖ϕ‖(∫

Bn

|g|p′dx) 1

p.

Also ist (∫Bn

|g|p′dx) 1

p′ ≤ ‖ϕ‖.

Mit n→∞ folgt nun g ∈ Lp′(A) mit ‖g‖p′ ≤ ‖ϕ‖ und ϕ = φp(g).

9. Dez.

3.2. Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

Definition 3.3Sei X ein Vektorraum und p : X → R. p heißt sublinear, falls

a) p(λx) = λp(x) ∀λ ≥ 0, x ∈ X

b) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ X.

Sublinear sind zum Beispiel (Halb-)Normen, Linearformen, p(x) = lim supxn, x ∈ l∞.

Satz 3.4 (Ordnungstheoretische Version von Hahn-Banach)Es sei X ein R-Vektorraum und Y ⊂ X ein Untervektorraum. Weiter sei p : X → Rsublinear und ϕ0 : Y → R linear mit ϕ0(x) ≤ p(x) fur x ∈ Y .Dann gibt es eine lineare Fortsetzung ϕ von ϕ0 mit ϕ(x) ≤ p(x) ∀x ∈ X (d.h. ϕ ist linearund ϕ(x) = ϕ0(x) ∀x ∈ Y ).

BeweisEs sei

M = (Z,ψ) : Z ⊂ X Untervektorraum mit Y ⊂ Z und ψ eine Fortsetzung vonϕ0 mit ψ(x) ≤ p(x) x ∈ Z.

49

Page 50: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

M 6= ∅, denn (Y, ϕ0) ∈M

Wir legen folgende Ordnung fest:

(Z,ψ) ≤ (Z ′, ψ′), wenn Z ⊆ Z ′ und ψ′|Z = ψ

Dies liefert eine Halbordnung auf M . Sei K eine Kette in M , K = (Zj , ψj) : j ∈ J.Dann ist

⋃Zj =: U und f(x) := ψj(x) x ∈ Zj . (U, f) ist eine obere Schranke fur K. U ist

Untervektorraum und f |Y = ϕ0 und f(x) ≤ p(x) x ∈ U . Nach dem Lemma von Zorn besitztM mindestens ein maximales Element (V, ϕ) in M .

Wir zeigen nun V = X. Annahme V 6= X. Dann existiert x0 ∈ X \ V . Wir betrachtenV ⊕ linx0 =: V . Zu x ∈ V gibt es eindeutig bestimmtes v ∈ V und t ∈ R, so dass x = v+ tx0.Seien v, w ∈ V , dann gilt:

ϕ(v) + ϕ(w) = ϕ(v + w) ≤ p(v + w) ≤ p(v + x0) + p(w − x0),

alsoϕ(w)− p(w − x0) ≤ p(v + v0)− ϕ(v) ∀v, w ∈ V,

d.h. [a, b] 6= ∅, a := supw∈V ϕ(w) − p(w − x0), b := infv∈V p(v + x0) − ϕ(v). Wahle α ∈ [a, b]und setze ϕ(x) := ϕ(v) + αt x ∈ V . ϕ ist linear und fur y ∈ Y ⊂ V gilt

ϕ(y) = ϕ(y) = ϕ0(y).

Sei nun x = v + tx0 ∈ V .

• Ist t = 0, so gilt:ϕ(x) = ϕ(x) ≤ p(x).

• Ist t > 0, so folgt:

ϕ(x) = ϕ(v) + αt ≤ ϕ(v) + tb ≤ ϕ(v) + t · (p(1t v + x0)− ϕ(1

t v))= ϕ(v) + p(v + tx0)− ϕ(v) = p(x)

• und fur t < 0 folgt:

ϕ(x) ≤ ϕ(v) + ta ≤ ϕ(v) + t(ϕ(−1t v)− p(−1

t v − x0)) = p(v + tx0) = p(x).

Insgesamt folgt ϕ ≤ p|V , d.h (V, ϕ) ≤ (V , ϕ) Widerspruch zur Maximalitat von (V, ϕ), daV 6= V .

Bemerkung: Jeder C-Vektorraum kann als R-Vektorraum aufgefasst werden. Das nachsteLemma verdeutlicht den Zusammenhang zwischen reell-linearen Abbildungen und C-linearenAbbildungen.

Lemma 3.5Sei X ein normierter C-Vektorraum

a) Sei x∗ ∈ X∗, dann definiert ξ∗(x) = Rex∗(x) eine R-lineare Abbildung ξ∗ : X → Rmit ‖ξ∗‖ = ‖x∗‖.

b) Sei ξ∗ : X → R stetig und linear uber R. Dann definiert x∗(x) = ξ∗(x) − iξ∗(ix) einElement x∗ ∈ X∗ mit ‖ξ∗‖ = ‖x∗‖ und Rex∗ = ξ∗ fur alle x ∈ X.

50

Page 51: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.2. Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

BeweisLinearitat von ξ∗ in a) und x∗ in b) ist einfach. Klar ist auch, dass in b) ξ∗ = Rex∗ und‖ξ∗‖ ≤ ‖x∗‖ gilt. Sei nun ‖x‖ = 1, dann gibt es ein α ∈ C mit |α| = 1 und α|x∗(x)| = x∗(x).Also:

0 ≤ |x∗(x)| = x∗( 1αx) = ξ∗( 1

αx) ≤ ‖ξ∗‖ · ‖ 1αx‖ ≤ ‖ξ

∗‖.

Supremum uber x liefert ‖x∗‖ ≤ ‖ξ∗‖.

Satz 3.6 (Hahn-Banach)Es sei X ein normierter Vektorraum, Y ⊂ X Untervektorraum.Dann gibt es zu y∗ ∈ Y ∗ ein x∗ ∈ X∗ mit

a) 〈y, x∗〉 = 〈y, y∗〉 ∀y ∈ Y (Fortsetzung) und

b) ‖x∗‖ = ‖y∗‖.

Beweis• 1. Fall: K = R. Setze p(x) = ‖y∗‖ · ‖x‖. p ist sublinear mit y∗(y) ≤ p(y) fur y ∈ Y . Nach

Satz 3.4 gibt es eine Fortsetzung x∗ von y∗ mit x∗(x) ≤ p(x) ∀x ∈ X. Außerdem gilt:|x∗(x)| ≤ p(x) = ‖y∗‖ · ‖x‖ und daher ‖x∗‖ ≤ ‖y∗‖. ”≥“ folgt, da x∗ Fortsetzung von y∗

ist.

• 2. Fall: K = C. Betrachte X als R-Vektorraum XR. Lemma 3.5 a) und 1. Fall liefern eineFortsetzung η∗ = Re y∗, nenne diese ξ∗ ∈ (XR)∗. Es gilt ‖ξ∗‖ = ‖η∗‖ = ‖y∗‖. Lemma 3.5b) liefert schließlich ein x∗ ∈ X∗ mit ‖x∗‖ = ‖ξ∗‖ = ‖y∗‖.

x∗(y) = ξ∗(y)− iξ∗(iy) = Re y∗(y)− iRe y∗(iy) = y∗(y).

Korollar 3.7Es sei X ein normierter Vektorraum und x, x1, x2 ∈ X, dann gelten:

a) Ist x 6= 0, dann gibt es ein x∗ ∈ X∗ mit 〈x, x∗〉 = ‖x‖ und ‖x∗‖ = 1.

b) Ist x1 6= x2, so gibt es ein x∗ ∈ X∗ mit x∗(x1) 6= x∗(x2) (X∗ ist punktetrennend)

c) ‖x‖ = max‖x∗‖≤1 |〈x, x∗〉| (X∗ ist normierend)

Beweisa) Setze Y = linx, y∗(tx) = t‖x‖ fur t ∈ K. Dann ist y∗ ∈ Y ∗ mit ‖y∗‖ = 1. Hahn-Banach

liefert ein x∗ ∈ X∗ mit ‖x∗‖ = 1 und x∗(x) = y∗(x) = ‖x‖.

b) Wahle x = x1 − x2 und verwende a)

c) Folgt aus a), da fur ‖x∗‖ ≤ 1 auch ‖〈x, x∗〉| ≤ ‖x‖. 12. Dez.

Beispiel:Zu f ∈ Lp(A) \ 0 definiere

g := ‖f‖1−pp · f · |f |p−2 (speziell p = 2, g = f · 1‖f‖2 ,

∫f · g = ‖f‖2).

Dann ist:g ∈ Lp′(A), 1

p + 1p′ = 1 mit ‖g‖p′ = 1.

51

Page 52: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

Außerdem gilt

〈f, g〉 =∫f · g = ‖f‖1−pp

∫|f |p = ‖f‖p.

Korollar 3.8X normierter Vektorraum. Y ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum, x /∈ Y . Dann existiertx∗ ∈ X∗ mit x∗(y) = 0 ∀y ∈ Y und x∗(x) = d(x, Y ) = infy∈Y ‖x− y‖ > 0 und ‖x∗‖ = 1.

Beweis

Z = Y ⊕ linx und z∗(y + tx) = td(x, Y ) t ∈ K.

Dann ist z∗ : Z → K linear.

z∗(y) = 0 ∀y ∈ Y und z∗(x) = d(x, Y ).

Außerdem:‖z∗‖ = sup

‖y+tx‖≤1|t| inf

y∈Y‖x− y‖ = sup

‖y+tx‖≤1infy∈Y‖tx+ y − y‖ ≤ 1

Weiter gilt fur yn ∈ Y mit ‖x− yn‖ → d(x, y), dass:

‖z∗‖ ≥ |〈 1‖x− yn‖

(x− yn), z∗〉 =d(x, Y )‖x− yn‖

→ 1 (n→∞)

Wahle x∗ als Hahn-Banach Fortsetzung von z∗.

Korollar 3.9X normierter Vektorraum. Y ⊂ X Untervektorraum. Dann ist Y dicht genau dann, wenn gilt:

Ist x∗ ∈ X∗ mit 〈y, x∗〉 = 0 ∀y ∈ Y, so ist x∗ = 0.

Beweis• ”⇒“: Klar wegen der eindeutigen Fortsetzung von stetigen, linearen Abbildungen.

• ”⇐“: Y 6= X. Dann gibt es nach Korollar 3.8 ein x∗ ∈ X∗ \ 0 mit x∗|Y = 0.

Satz 3.10Ein normierter Vektorraum ist separabel, falls sein Dualraum separabel ist.

BeweisDa X∗ separabel ist auch ∂BX∗(0, 1) separabel (Ist x∗n, n ∈ N ⊂ X∗ dicht, so ist x∗n

‖x∗n‖, n ∈ N

dicht in ∂B(0, 1)).

Sei also x∗n ⊂ ∂BX∗(0, 1) dicht. Wahle yn ∈ X mit ‖yn‖ = 1 und |〈yn, x∗n〉| ≥ 12 . Setze

Y := linyn, n ∈ N.

Annahme: Y 6= X, dann gibt es nach Korollar 3.9 ein x∗ ∈ X∗ mit ‖x∗‖ = 1 und 〈y, x∗〉 =0 ∀y ∈ Y . Nach Voraussetzung gibt es ein j ∈ N mit ‖x∗ − x∗j‖ ≤ 1

4 . Damit folgt

12 ≤ |〈yj , x

∗j 〉| = |〈yj , x∗j − x∗〉| ≤ 1

4

52

Page 53: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.2. Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

Bemerkung: c0 ist separabel, da l1 = c∗0 separabel, aber l∞ = (l1)∗ nicht separabel.

Korollar 3.11X normierter Vektorraum. M ⊂ X.

M ist beschrankt ⇐⇒ x∗(M) ist beschrankt ∀x∗ ∈ X∗

Beweis• ”⇒“: ist klar.

• ”⇐“: Setze OperatorTx(x∗) := 〈x, x∗〉 x∗ ∈ X∗, x ∈M.

Es gilt |Tx(x∗)| ≤ c(x∗), also Tx ∈ B(X∗,K) nach Voraussetzung . X∗ ist ein Banach-raum, also folgt mit dem Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit: ∃c

c ≥ ‖Tx‖ = sup‖x∗‖≤1

|〈x, x∗〉| Kor. 3.7= ‖x‖ ∀x ∈M.

Beispiel 3.12 (Operatoren mit endlichen Rang)X,Y normierte Vektorraume mit dimX ≥ n und x1, . . . , xn ∈ X linear unabhangig undy1, . . . , yn ∈ Y . Fur k ∈ 1, . . . , n definiere Teilraum Zk = linx1, . . . , xk−1, xk+1, . . . xn. NachKorollar 3.8 existieren Funktionale x∗k ∈ X∗ mit x∗k|Zk

= 0 und x∗k(xk) = 1, d.h. 〈xj , x∗k〉 = δjkfur j, k ∈ 1, . . . , n. Setze Operator

Tx :=n∑k=1

〈x, x∗k〉 · yk ∈ liny1, . . . , yn.

Dann gilt: T : X → Y linear und ‖T‖ ≤∑n

k=1 ‖x∗k‖‖yk‖, also T ∈ B(X,Y ) (T ist beschrankteAbbildung von X nach Y ). Weiter gilt: Txj = yj , so dass Im(T ) = liny1, . . . , yn (das Bildvon T die lineare Hulle von y1 bis yn ist).

Korollar 3.13a) Y ⊆ X Untervektorraum mit dimY <∞. Dann gibt es einen abgeschlossenen Untervek-

torraum Z ⊆ X, mit X = Y ⊕ Z (Y ist also komplementiert).

b) U ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum mit dimX/U <∞. Dann existiert abgeschlos-sener Unterraum V ⊆ X, der gleiche Dimension hat wie der Quotientenraum X/U(dimV = dimX/U) und V bildet mit U als direkte Summe den Raum X (X = U ⊕ V ).

Beweisa) y1, . . . , yn Basis von Y . Definiere T wie in Bsp. 3.12 mit xk = yk. Dann gilt: T ∈

B(X), Im(T ) = Y und T 2 = T , T ist also Projektion. Lemma 1.64 liefert die Behauptung.

b) Sei Q die kanonische Abbildung

Q : X → X/U, x 7→ x+ U.

Sei b1, . . . , bn eine Basis vom Quotientenraum X/U . Wahle xk ∈ X mit Qxk = bk undsetze V = linx1, . . . , xn.

x1, . . . , xn ist linear unabhangig, da

ausn∑k=1

αkxk = 0 folgt, dassn∑k=1

αkbk = Q(0) = 0.

53

Page 54: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

Es gilt also dimV = n = dimX/U . V ist abgeschlossen.

Ist x ∈ U ∩ V , dann gilt x =∑n

j=1 βjxj (da x ∈ V ) und Qx = 0(da x ∈ U). Also gilt0 =

∑nj=1 βjbj , also βj = 0 ∀j, also U ∩ V = 0.

Sei x ∈ X, dann existiert αk ∈ R mit Qx =∑n

k=1 αkbk. Setze v =∑n

k=1 αkxk, dann gilt:Q(x− v) = 0, also x− v ∈ U und x = x− v + v ∈ U + V .

Satz (Geometrische Version von Hahn-Banach): X normierter Vektorraum, A,B ⊂X mit A ∩ B = ∅ und A,B 6= ∅. Wir sagen Funktional x∗ trennt die Mengen A und B,wenn

Re〈a, x∗〉 < Re〈b, x∗〉 a ∈ A, b ∈ B.

Wir sagen x∗ trennt die Mengen A und B strikt, falls

sA := supa∈A

Re〈a, x∗〉 < iB := infb∈B

Re〈b, x∗〉.

Geometrische Deutung: x∗ definiert die Hyperebene x : x∗(x) = 0 = ker(x∗). Es giltdimX/ ker(x∗) = 1. H = x0 + ker(x∗) definiert eine abgeschlossene affine Hyperebene.

Definition 3.14Sei A ⊂ X. Das Minkowski-Funktional ist die Abbildung

pA : X → [0,∞], pA(x) = infλ > 0 : 1λx ∈ A.

Definiere inf ∅ =∞. A heißt absorbierend, wenn pA(x) <∞ ∀x ∈ X.

Beispiel: pB(0,1)(x) = ‖x‖.16. Dez.

Bemerkung: A,B konvex, so sind auch α ·A und A+B konvex (α ∈ K).

Beweisα ·A konvex ist klar.Seien ai ∈ A, bi ∈ B i = 1, 2, t ∈ [0, 1], dann gilt:

t(a1 + b1) + (1− t)(a2 + b2) = (ta1 + (1− t)a2) + (tb1 + (1− t)b2) ∈ A+B

Lemma 3.15X normierter Vektorraum. A ⊂ X konvex mit 0 ∈ A (d.h. es existiert δ > 0 mit B(0, δ) ⊂A). Dann gelten folgende Aussagen:

a) A ist absorbierend, insbesondere pA(x) ≤ 1δ‖x‖

b) pA ist sublinear.

c) Ist A offen, dann ist A = p−1A ([0, 1)).

(pA . . . ”Minkowski Funktional“)

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Page 55: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.2. Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

Beweisa) Es gilt x

‖x‖x ∈ A fur x ∈ X \ 0, also pA(x) ≤ 1δ‖x‖.

b) t > 0, x, y ∈ X, ε > 0, dann gilt:

i) pA(tx) = infλ > 0 : tλx ∈ A = t infµ > 0 : 1

µx ∈ A = tpA(x)und p(0x) = 0p(x) = 0.

ii) Sei 0 < λ ≤ pA(x) + ε und 0 < µ ≤ pA(y) + ε, d.h. 1λx ∈ A,

1µy ∈ A. Da A konvex

ist folgt1

λ+ µ(x+ y) =

λ

λ+ µ· 1λx︸︷︷︸∈A

λ+ µ· 1µy︸︷︷︸∈A

∈ A,

also pA(x+ y) ≤ λ+ µ ≤ pA(x) + pA(y) + 2ε; mit ε→ 0 folgt die Behauptung.

c) A offen:

i) x ∈ X mit pA(x) < 1. Dann existiert λ ∈ (0, 1) mit 1λx ∈ A, da A konvex ist und

0 ∈ A, gilt x = λ1λx︸︷︷︸∈A

+(1− λ) 0︸︷︷︸∈A

∈ A.

ii) x ∈ X, pA(x) ≥ 1 =⇒ 1λx ∈ X \ A fur λ < 1. Da X \ A abgeschlossen, folgt

x ∈ X \A.

Satz 3.16 (Trennungsversion von Hahn-Banach)X normierter Vektorraum A,B ⊂ X konvex und nicht leer. Weiter gelte A ∩B = ∅. Danngilt:

a) A,B offen =⇒ ∃x∗ ∈ X∗, das A und B trennt.

b) A abgeschlossen und B kompakt =⇒ es existiert ein Funktional x∗ ∈ X∗, das A undB strikt trennt.

BeweisNur Fall K = R.

a) Sei x0 ∈ A − B und C = A − B − x0 =⋃b∈B A − b − x0. C ist offen und es gilt 0 ∈ C

und y0 := −x0 /∈ C (y0 ist antipotal zu x0) (da 0 /∈ A−B, wegen A∩B = ∅). Außerdemist C konvex. Lemma 3.15 zeigt, dass C absorbierend, pC sublinear ist und pC(y0) ≥ 1.Setze: y∗(ty0) = t · pC(y0) t ∈ R. Dann ist y∗ : liny0 → R linear mit

y∗(y) ≤ pC(y) y = t · y0

Nach Satz 3.4 gibt es eine lineare Fortsetzung x∗ von y∗ mit x∗(x) ≤ pC(x) ∀x ∈ X.Weiter gilt:

x∗(y0) = y∗(y0) = pC(y0) ≥ 1

Sei x ∈ X, dann gilt mit Lemma 3.15a)

|x∗(x)| = maxx∗(x),−x∗(x) ≤ maxpC(x), pC(−x) ≤ 1δ‖x‖,

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Page 56: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

d.h. x∗ ∈ X∗.

Sei a ∈ A, b ∈ B. Setze x = a− b− x0 ∈ C. Da y0 = −x0 folgt (Lemma 3.15 c))

1 > pC(x) ≥ 〈x, x∗〉 = 〈a, x∗〉 − 〈b, x∗〉−〈x0, x∗〉︸ ︷︷ ︸

=〈y0,x∗〉

.

Da 〈y0, x∗〉 ≥ 1 folgt 〈a, x∗〉 < 〈b, x∗〉 =⇒ Behauptung.

b) Da B kompakt existiert ε > 0 mit ‖a − b‖ ≥ 3ε fur alle a ∈ A und b ∈ B (Sonstexistieren (an) ⊂ A und (bn) ⊂ B mit ‖an − bn‖ → 0. Kompaktheit liefert bnk

→ b, alsob ∈ B ∩A = B ∩A ).

Also sind Aε = A+B(0, ε) =⋃a∈A a+B(0, ε) und Bε = B +B(0, ε) offen, disjunkt und

konvex. Teil a) liefert nun x∗ ∈ X∗ und 〈a+ x, x∗〉 < 〈b+ y, x∗〉 mit a ∈ A, b ∈ B, x, y ∈B(0, ε).

Fur y = 0 und x = ±εz, wobei z ∈ B(0, 1) folgt

ε · |〈z, x∗〉| < 〈b− a, x∗〉 fur a ∈ A, b ∈ B.

Supremum uber z ∈ B(0, 1) liefert 0 < ε‖x∗‖ ≤ 〈b− a, x∗〉 und damit die Behauptung.

Definition 3.17X normierter Vektorraum. A ⊂ X, B ⊂ X∗ nicht leer. Die Annihilatoren (oder Polare) sindgegeben durch:

A⊥ := x∗ ∈ X∗ : 〈a, x∗〉 = 0 ∀a ∈ A⊥B := x ∈ X : 〈x, b∗〉 = 0 ∀b∗ ∈ B

Bemerkung 3.18a) A⊥ und ⊥B sind abgeschlossene Untervektorraume. Es gilt

(linA)⊥ = A⊥ und ⊥(linB) =⊥ B

b)

A⊥ = 0 ⇐⇒ linA = X nach Korollar 3.10A⊥ = X∗ ⇐⇒ A = 0 (Korollar 3.7c))

c) ⊥B = 0 ⇐ linB = X∗ (Korollar 3.8 und Widerspruch).Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

d) Beispiel: X = l1, B = en, n ∈ N ⊆ l∞ ∼= X∗. Dann ist linB︸ ︷︷ ︸=c00

= c0,⊥B = 0.

Satz 3.19X normierter Vektorraum. A ⊂ X Dann ist linA =⊥ (A⊥).

56

Page 57: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.3. Reflexivitat und schwache Konvergenz

BeweisA ⊂⊥ (A⊥) ist klar; und nach 3.18a) gilt: linA ⊂⊥ (A⊥).

Annahme: ∃x0 ∈⊥ (A⊥) \ linA.Satz 3.16 b) liefert ein x∗ ∈ X∗ mit

supx∈linA

Re〈x, x∗〉 < Re〈x0, x∗〉 (3.1)

Ist r = Re〈x, x∗〉 fur ein x ∈ linA, so gilt fur t ∈ R

Re〈tx, x∗〉 = t · r →∞

t→∞, falls r > 0t→ −∞, falls r < 0

zu (3.1). Also Re〈x, x∗〉 = 0 ∀x ∈ linA. Ersetze t durch i · t, dann folgt:

Im〈x, x∗〉 = 0 ∀x ∈ linA

Also x∗ ∈ A⊥ und damit 〈x0, x∗〉 = 0. Wieder ergibt sich Widerspruch zu (3.1).

Satz 3.20X normierter Vektorraum. Y ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum. Dann sind

T : X∗/Y ⊥ → Y ∗ T (x∗ + y⊥) = x∗|YS : (X/Y )∗ → Y ⊥ Sϕ = ϕ π mit π : X → X/Y, x 7→ x+ y.

isometrische Isomorphismen.

19. Dez.

3.3. Reflexivitat und schwache Konvergenz

Definition 3.21X normierter Vektorraum. Der Bidual ist X∗∗= (X∗)∗. Fur x ∈ X definiert man iX(x): X∗ →K durch 〈x∗, iX(x)〉 = 〈x, x∗〉 fur x∗ ∈ X∗ (Kanonische Einbettung X → X∗∗)

Bemerkung: iX(x) ist lineare und |iX(x)| ≤ ‖x‖‖x∗‖, d.h. es gilt iX(x) ∈ X∗∗.

Weiter ist iX linear in x und

‖x‖ = sup‖x∗‖≤1

|〈x, x∗〉| = ‖iX(x)‖

Damit

Satz 3.22X normierter Vektorraum. Dann ist iX eine Isometrie von X nach X∗∗.

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Page 58: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

Definition 3.23X heißt reflexiv, falls iX surjektiv ist.

Achtung: X reflexiv impliziert X ∼= X∗∗. Die Umkehrung ist allerdings falsch, da maneventuell iX nicht als Isomorphismus nehmen muss (Beispiel von James 1950).

Bemerkung: X reflexiv und A ⊂ X, so ist A⊥ =⊥ (iX(A)).

Beispiel 3.24a) Fur 1 < p <∞ sind Lp(A) und lp reflexiv (es gilt (Lp(A))∗∗ ∼= (Lp

′(A))∗ ∼= Lp(A)).

BeweisBeweis der Reflexivitat: Sei ψp : Lp

′(A)→ (Lp(A))∗ Isomorphismus mit 〈f, ψp(g)〉 =

∫f ·g

fur f ∈ Lp ist iX(f) gegeben durch

〈ψp(g), iX(f)〉 = 〈f, ψp(g)〉 =∫f · g

Sei ϕ ∈ X∗∗ = (Lp(A))∗∗. Dann ist ϕ ψp ∈ (Lp′(A))∗. Da (p′)′ = p gibt es ein f ∈ Lp(A)

mit ψp′(f) = ϕ ψp, also gilt fur g ∈ Lp′(A):

ϕ(ψp(g)) = (ψp′(f))(g) =∫g · f = (iX(f))(ψp(g)),

d.h. ϕ = iX(f).

b) c0 ist nicht reflexiv. Es gibt (c0)∗∗ ∼= l∞, aber c0 l∞, da c0 separabel, l∞ aber nicht.

Satz 3.25X normierter Vektorraum. Dann gilt:

a) X reflexiv, Y ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum =⇒ Y reflexiv.

b) X Banachraum: X reflexiv⇐⇒ X∗ reflexiv.

c) X reflexiv: X separabel⇐⇒ X∗ separabel.

Beweisa) Y ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum. y∗∗ ∈ Y ∗∗. Ist x∗ ∈ X∗, so ist x∗|Y ∈ Y ∗

mit ‖x∗|Y ‖ ≤ ‖x∗‖. Fur x∗ ∈ X∗ definiere x∗∗(x∗) = 〈x∗|Y , y

∗∗〉. Dann gilt |x∗∗(x∗)| ≤‖x∗‖‖y∗∗‖, d.h. x∗∗ ∈ X∗∗. X reflexiv, also existiert y ∈ X, so dass gilt:

〈x∗|Y , y∗∗〉 = 〈y, x∗〉 (3.2)

Annahme: y /∈ Y . Y ist abgeschlossen, also existiert nach Korollar 3.9. x∗ ∈ X∗ mitx∗|Y = 0 und 〈y, x∗〉 6= 0 zu 3.2, also y ∈ Y .

Es sei y∗ ∈ Y ∗ und x∗ ∈ X eine Hahn-Banach-Fortsetzung von y∗. Dann gilt:

〈y, y∗〉 = 〈y, x∗〉 = 〈y∗, y∗∗〉,

also iY (y) = y∗∗.

58

Page 59: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.3. Reflexivitat und schwache Konvergenz

b) Es sei X reflexiv: Nehme x∗∗∗ ∈ X∗∗∗ zu x ∈ X setze x∗(x) = 〈iX(x), x∗∗∗〉. Dannx∗ ∈ X∗. Mit x∗∗ = iX(x) folgt

〈x∗, x∗∗〉 = 〈x, x∗〉 = 〈x∗∗, x∗∗∗〉

Da X reflexiv, gilt dies fur alle x∗∗ ∈ X∗∗, also ist X∗ reflexiv.

Sei nun X nicht reflexiv. Nach Korollar 3.9 existiert x∗∗∗ ∈ X∗∗∗ \0 mit 〈iX(x), x∗∗∗〉 =0 ∀x ∈ X. X∗ kann damit nicht reflexiv sein, da sonst x∗∗∗ = iX∗(x∗) fur ein x∗ ∈ X∗,also

0 = 〈iX(x), iX∗(x∗)〉 = 〈x∗, iX(x)〉 = 〈x, x∗〉 ∀x ∈ X,d.h. x∗ = 0, Widerspruch zu x∗∗∗ 6= 0.

c) ”⇐“: Folgt mit Satz 3.10.

”⇒“: Ist X separabel, so auch X∗∗ ∼= X. Mit Satz 3.10 folgt wieder: X∗ ist separabel.

Definition 3.26X normierter Vektorraum.

a) (xn) ⊂ X konvergiert schwach gegen x ∈ X, falls

〈xn, x∗〉(n→∞)−−−−−→ 〈x, x∗〉 ∀x∗ ∈ X∗

(Symbol: xn x oder xnσ−→ x, dann σ − limn→∞ xn = x).

b) (x∗n) ⊂ X∗ konvergiert schwach∗ gegen x∗ ∈ X∗, falls

〈x, x∗n〉 → 〈x, x∗〉

(Symbol: x∗n∗−→ x∗ bzw. x∗n

σ∗−→ x∗).

Bemerkung 3.27a) xn

X−→ x =⇒ xnσ−→ x. x∗n

x∗−→ x∗ =⇒ x∗nσ∗−→ x∗.

b) Seien en ∈ l2 kanonische Einheitsvektoren. Sei x ∈ l2, d.h. ψ2(x) ∈ (l2)∗. Dann gilt:

〈en, ψ2(x)〉 =∞∑k=1

(en)kxk =: xnn→∞−−−→ 0,

d.h. enσ−→ 0 und en

σ∗−→ 0. Jedoch ist ‖en‖ = 1, d.h. (en) konvergiert nicht bezuglich ‖.‖2(schon gar nicht gegen 0).

Fur f(x) = ‖x‖2 gilt f(en) 9 f(0), obwohl F stetig ist. D.h. ”bezuglich der schwachenKonvergenz gibt es weniger stetige Funktionen“).

c) Ist X reflexiv, so ist σ − lim = σ∗ − lim in X∗.

d) Die schwach∗-Konvergenz ist schwacher als die schwache Konvergenz in X∗ (da X → X∗∗)(x∗n

σ−→ x∗ ⇐⇒ 〈x∗n, x∗∗〉 → 〈x∗, x∗∗〉 ∀x∗∗ ∈ X∗∗). Aber: Fur en ∈ l1 ∼= c∗0 gilt fur x ∈ c0

〈x, en〉xn → 0,

d.h. enσ∗−→ 0.

Sei y ∈ l∞ ∼= (l1)∗, y /∈ C, dann konvergiert 〈en, y〉 = yn nicht, d.h. en ist nicht schwach-konvergent.

59

Page 60: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

e) Schwache bzw. schwach∗ Grenzwerte sind eindeutig.

Beweisxn

σ−→ x, xnσ−→ y.

Ist x 6= y, so existiert nach Korollar 3.8 x∗ ∈ X∗ mit 〈x, x∗〉 6= 〈y, x∗〉, Widerspruch zurEindeutigkeit des Grenzwerts in K.

23. Dez.

f) (Erinnerung: (c0)∗ ∼= l1, (l1)∗ = l∞)

i) xn = (1, . . . , 1︸ ︷︷ ︸n-mal

, 0, . . . ) ∈ l∞, y ∈ l1.

Dann: 〈y, xn〉 =∑n

k=1 yk →∑∞

k=1 yk = 〈y, 1︸︷︷︸=(1,... )

〉, d.h. xnσ∗−→ 1 ∈ l∞.

ii) Im c0 ist 〈y, xn〉 ebenfalls eine Cauchyfolge fur y ∈ l1. Jedoch konvergiert xn nichtgegen ein x ∈ c0, denn sonst ware nach i) und e) x = 1 /∈ c0. Also: c0 ist nicht σ-folgenvollstandig (Bemerkung: Reflexive Raume sind σ-folgenvollstandig (ohne Be-weis)).

Satz 3.28X normierter Vektorraum, xn, x ∈ X, x∗n, x

∗ ∈ X∗ und D∗ ⊆ X∗ mit limD∗ = X∗ undD ⊆ X mit limD = X.

Dann gelten:

a) xnσ−→ x ⇐⇒ supn∈N ‖xn‖X <∞ und 〈xn, y∗〉

n→∞−−−→ 〈x, y∗〉 ∀y∗ ∈ D∗

b) X Banachraum. Dann gilt:

x∗nσ∗−→ x∗ ⇐⇒ sup

n∈N‖x∗n‖X∗ <∞ und 〈y, x∗n〉 → 〈y, x∗〉 ∀y ∈ D.

BeweisRichtungen ”⇒“ sind klar.

”⇐“ folgen aus dem Satz von Banach-Steinhaus (Korollar 2.7).

Beispiel 3.29X = lp, (vn) ⊆ X beschrankt, x ∈ X. Mit Satz 3.28 a) folgt mit D∗ = en, n ∈ N ⊆ lp. Danngilt:

vnσ−→ x ⇐⇒ 〈vn, ek〉 = vn,k → 〈x, ek〉 = xk

(schwache Konvergenz in lp stimmt mit der komponentenweisen Konvergenz uberein).

Bemerkung 3.30dimX = ∞ und X∗ separabel. Sei x∗j : j ∈ N dicht in X∗ in BX∗(0, 1) = B∗. Definierepj(x) := |〈x, x∗j 〉| (Halbnorm auf X) und d(x, y) :=

∑∞j=1 2−jpj(x − y) (< ∞). d ist eine

Metrik auf X. Mit Satz 3.28 gilt:

xnσ−→ x ⇐⇒ pj(xn − x)→ 0 ⇐⇒ d(xn, x)→ 0 fur n→∞.

d erzeugt also die schwache Konvergenz.

60

Page 61: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.3. Reflexivitat und schwache Konvergenz

Satz 3.31 (Mazur)X normierter Vektorraum. K ⊂ X abgeschlossen und konvex.

xn ∈ K und xnσ−→ x (n→∞), dann ist x ∈ K.

BeweisIst x /∈ K, so gabe es ein x∗ ∈ X∗ mit supn Re〈xn, x∗〉 < Re〈x, x∗〉. Das ist steht im Widerspruchzu xn → σx.

Satz 3.32 (Banach-Alaoglou)X separabler normierter Vektorraum. (x∗n) beschrankte Folge in X∗.

Dann besitzt (x∗n) eine σ∗-konvergente Teilfolge.

Bemerkung: Dieser Satz ist falsch fur nicht-separable Raume. Die Begriffe kompakt undfolgenkompakt stimmen nicht mehr uberein.

Beweis (von 3.32)Sei xk : k ∈ N dicht in X und ‖x∗n‖ ≤ c, dann ist (〈x1, x

∗n〉) in K beschrankt, also existiert

eine konvergente Teilfolge (〈x1, x∗ν1(j)〉)j∈N. Auch (〈x2, x

∗ν1(j)〉) ist beschrankt in K Teilfolge

ν2(j) von ν1(j) mit (〈x2, x∗ν2(j)〉) ist konvergent.

Iterativ erhalten wir: νk ⊂ νk−1 Teilfolge, so dass 〈xk, x∗νk(j)〉 konvergiert (j → ∞). Definiere

”Diagonalfolge“ y∗m = x∗νm(m). Dann konvergiert 〈xk, y∗m〉 fur m→∞ ∀k ∈ N.

Sei x ∈ X, ε > 0. Dann gibt es l ∈ N mit ‖x− xl‖ < ε. Also:

|〈x, y∗n〉 − 〈x, y∗m〉| ≤ |〈x− xl, y∗n〉|+ |〈xl, y∗n − y∗m〉|+ |〈xl − x, y∗m〉|≤ 2cε+ |〈xl, y∗n − y∗m〉|

n,m→∞−−−−−→ 0 (nach Konstruktion).

Also existiert limm→∞

〈x, y∗m〉 =: ϕ(x) fur x ∈ X. ϕ : X → K ist linear und es gilt:

|ϕ(x)| ≤ ‖x‖ supm∈N‖y∗m‖ ≤ c‖x‖,

also ϕ ∈ X∗ und y∗mσ∗−→ ϕ.

Satz 3.33X reflexiver Banachraum.

Dann hat jede beschrankte Folge in X eine σ-konvergente Teilfolge.

61

Page 62: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

Beweisxn beschrankte Folge. Y = limxn : n ∈ N. Nach Satz 3.25 ist Y reflexiv und nach Definitionseparabel. Satz 3.25 liefert somit auch, dass Y ∗ separabel ist. Damit liefert Satz 3.32 eine σ∗-konvergente Teilfolge (iY (xnk

))k von (iY (xn)) in Y ∗∗. D.h. es existiert x ∈ Y mit 〈xnk, y∗〉 =

〈y∗, iY (xnk)〉 → 〈y∗, iY (xn)〉 = 〈x, y∗〉. Fur x∗ ∈ X∗ gilt: x∗|Y ∈ Y

∗ und somit

〈xnk, x∗〉 = 〈xnk

, x∗|Y 〉 → 〈x, x∗|Y 〉 = 〈x, x∗〉 fur xnk

σ−→ x.

Beispiel 3.34a) en ∈ l1, n ∈ N und (enk

) Teilfolge. Sei y ∈ l∞ = (l1)∗ so gewahlt, das (ynk) nicht

konvergent ist. Dann ist auch 〈enk, y〉 = ynk

divergent. Also hat en keine σ-konvergenteTeilfolge. D.h. Satz 3.32 ist im Allgemeinen falsch fur die schwache Konvergenz.

b) X = l∞ (nicht separabel!), ϕn(x) = xn. Dann ist ϕn ∈ (l∞)∗ und ‖ϕn‖ = 1. Sei nkTeilfolge von n. Wahle:

xj :=

(−1)k, falls j = nk

0, sonst,

insbesondere ist xj ∈ l∞. Ferner gilt: 〈x, ϕnk〉 = (−1)k divergent, also hat (ϕn) keine

σ∗-konvergente Teilfolge.9. Jan.

3.4. Adjungierte Operatoren

X,Y normierte Vektorraume. T ∈ B(X,Y ). Sei y∗ ∈ Y ∗, definiere

ϕy∗ : X → K durch ϕy∗(x) := 〈Tx, y∗〉.

ϕy∗ ist linear in x und|ϕy∗(x)| ≤ ‖Tx‖ · ‖y∗‖ ≤ ‖T‖‖y∗‖.

Falls ‖x‖ ≤ 1 =⇒ ϕy∗(x) ∈ X∗.

Setze T ∗y∗:= ϕy∗ . Es gilt dann

〈Tx, y∗〉 = 〈x, T ∗y∗〉 ∀x ∈ X, y∗ ∈ Y ∗.

Die Abbildung T ∗ : Y ∗ → X∗ heißt Adjungierte von T .

3.35 gibt es nicht.

Satz 3.36X,Y, Z normierte Vektorraume, S, T ∈ B(X,Y ), R ∈ B(Y, Z), α, β ∈ K.

a) T ∗ ∈ B(Y ∗, X∗), ‖T ∗‖ = ‖T‖.

b) (αT + βS)∗ = αT ∗ + βS∗, (RT )∗ = T ∗R∗.

c) Ist T invertierbar, so ist T ∗ invertierbar und (T ∗)−1 = (T−1)∗.

62

Page 63: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.4. Adjungierte Operatoren

Beweisa) Linearitat von T ∗ und ‖T ∗‖ ≤ ‖T‖ sind klar. Weiter gilt

‖T‖ = sup‖x‖≤1,‖y∗‖≤1

|〈Tx, y∗〉| = sup‖x‖≤1,‖y∗‖≤1

|〈x, T ∗y∗〉| ≤ ‖T ∗‖.

b)

〈(αT + βS)x, y∗〉 = α〈Tx, y∗〉+ β〈Sx, y∗〉 = α〈x, T ∗y∗〉+ β〈x, S∗y∗〉= 〈x, (αT ∗ + βS∗)y∗〉.

〈RTx, y∗〉 = 〈Tx,R∗y∗〉 = 〈x, T ∗R∗y∗〉.

c) Es gilt IdX = T−1T und IdX∗ = (IdX)∗. Nach b) folgt IdX∗ = T ∗(T−1)∗, also folgtIdY ∗ = (T−1)∗T ∗ analog.

Insgesamt folgt, dass (T−1)∗ die Inverse von T ∗ ist und (T−1)∗ ∈ B(X∗, Y ∗).

Beispiel 3.37X = lp, 1 ≤ p <∞, T ∈ B(X), akl = (Tel)k. Sei y ∈ X∗. Dann gilt

(T ∗y)j = 〈ej , T ∗y〉 = 〈Tej , y〉 =∞∑k=1

akj yk,

wobei y = (yk) = ψ−1p (y) ∈ lp′ .

Das heißt: Ist T durch die unendliche Matrix (akl) gegeben, so ist T ∗ durch die Transponiertedefiniert.

Satz 3.38X,Y normierte Vektorraume. Dann gilt

a) T ∈ B(X,Y ) =⇒ T ∗∗ iX = iY T .

b) X,Y reflexiv =⇒ T = i−1Y T ∗∗ iX .

c) Zu S ∈ B(Y ∗, X∗) gibt es ein T ∈ B(X,Y ) mit T ∗ = S ⇐⇒ S∗(iX(X)) ⊂ iY (Y ).

Beweisa) x ∈ X, y∗ ∈ Y ∗. Dann gilt

〈y∗, (T ∗∗ iX)(x)〉 = 〈T ∗y∗, iX(x)〉 = 〈x, T ∗y∗〉 = 〈Tx, y∗〉 = 〈y∗, iY (Tx)〉

b) Folgt aus a).

c) Ist S = T ∗, so gilt S∗ = T ∗∗ und die Behauptung folgt aus a).

Es gelte S∗ iX(X) ⊂ iY (Y ). Sei i−1Y : iY (Y )→ Y die stetige Inverse von iY . Dann gilt

T := i−1Y S∗iX ∈ B(X,Y )

und〈Tx, y∗〉 = 〈y∗, iY (Tx)〉 = 〈y∗, S∗iX(x)〉 = 〈Sy∗, iX(x)〉 = 〈x, Sy∗〉,

also T ∗ = S.

63

Page 64: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

Beispiel 3.39a) x ∈ l1. Setze Sx := (

∑∞k=1 xk, 0, . . . ), also

S =

1 1 . . .0 0 . . ....

...

S ∈ B(l1)

S∗ ∈ B(l∞) gegeben durch S∗ =

1 0 . . .1 0 · · ·...

...

. Es gilt S∗y = (y1, y1, . . . ) /∈ c0, falls y ∈ c0

mit y1 6= 0.

Nach Satz 3.38 kann S keine Adjungierte eines Operators in B(c0) sein.

b) Sei ϕ ∈ (l∞)∗ eine Hahn-Banach Fortsetzung von l(x) = limn→ xn fur x ∈ c. SetzeSx = ϕ(x) · 1 fur x ∈ l∞. Dann ist S ∈ B(l∞) und Sek = 0, d.h. S kann nicht durch eineMatrix dargestellt werden. S ist damit auch keine Adjungierte eines Operators in B(l1).

Satz 3.40X,Y normierte Vektorraume, T ∈ B(X,Y ). Dann gelten:

a) Im(T )⊥ = ker(T ∗).

b) Im(T ) = ⊥ ker(T ∗). Im(T ) dicht⇐⇒ T ∗ injektiv.

c) ker(T ) = ⊥ Im(T ∗).

d) Im(T ∗) ⊆ ker(T )⊥.

e) Ist X reflexiv, so gilt Im(T ∗) = ker(T )⊥.

Beweisa) y∗ ∈ Y ∗ :

y∗ ∈ Im(T )⊥ ⇐⇒ 〈Tx, y∗〉 = 0 = 〈x, T ∗y∗〉 ∀x ∈ X⇐⇒ y∗ ∈ ker(T ∗)

b) Es gilt Im(T ) 3.19= ⊥(Im(T )⊥) = ⊥(kerT ∗).

2. Behauptung folgt mit Bemerkung 3.18 und a)-Teil.

c) x ∈ X, dann gilt mit Korollar 3.7 c) (BX∗(0, 1) ist normierend)

x ∈ ker(T ) ⇐⇒ 〈Tx, y∗〉 = 0 = 〈x, T ∗y∗〉 ∀y∗ ∈ Y ∗

⇐⇒ x ∈ ⊥ Im(T ∗)

d),e) Satz 3.19 liefert

Im(T ∗) = ⊥(Im(T ∗)⊥)a)= ⊥ ker(T ∗∗) ⊆ (kerT )⊥

Es gilt ”=“ falls X reflexiv ist (Satz 3.28 b).

64

Page 65: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.4. Adjungierte Operatoren

Beispiel: (fur ”6=“ in d))X = c0, T = Id−L, wobei L ∼= Links-Shift (Lx = (x2, x3, x4, . . . )). Es gilt ker(Id−L) = 0und T ∗ = Id−R (R∼= Rechts-Shift, Rx = (0, x1, x2, . . . )) auf l1 ∼= X∗. Weiter gilt

Im(T ∗) 6= X∗,

sonst wurde Im(T ∗) = ⊥(kerT ∗∗) = l1. Aber: T ∗∗ = Id−L in l∞ und ker(Id−L) = x ∈ l∞ :xi = xj ∀i, j ∈ N. Daher ⊥(ker(Id−L)) = x ∈ l1 :

∑xi = 0 6= l1.

Korollar 3.41X,Y Banachraume, T ∈ B(X,Y ) habe abgeschlossenes Bild. Dann gilt

Tx = y (3.3)

hat genau dann eine Losung, wenn

〈y, y∗〉 = 0 ∀y∗ ∈ ker(T ∗)

Jede Losung kann in der Form x = x0 + z dargestellt werden mit Tx0 = y und z ∈ kerT .Insbesondere ist (3.3) ∀y ∈ Y losbar, falls T ∗ injektiv ist.

BeweisSatz 3.40 b).

Korollar 3.42X,Y Banachraume, T ∈ B(X,Y ).

T ist invertierbar ⇐⇒

a) T ∗ injektiv und

b) ∃c > 0 : ‖Tx‖ ≥ c‖x‖ ∀x ∈ X.

Beweisb) ist aquivalent zur Injektivitat von T und der Abgeschlossenheit von Im(T ). Dann ist a)aquivalent zur Dichtheit von Im(T ), also Im(T ) = Im(T ) = Y .

Satz 3.43X,Y Banachraume.

T ∈ B(X,Y ) invertierbar⇐⇒ T ∗ ∈ B(Y ∗, X∗) invertierbar.

Es gilt dann (T−1)∗ = (T ∗)−1.

BeweisWegen Satz 3.40 b) genugt ”⇐“ zu zeigen.

Annahme: T ∗ invertierbar. Dann ist T ∗ insbesondere injektiv. Satz 3.36 liefert Existenz von(T ∗∗)−1. Sei x ∈ X, dann gilt

‖x‖ = ‖iX(x)‖X∗∗ = ‖(T ∗∗)−1T ∗∗(iX(x))‖ ≤ ‖(T ∗∗)−1‖‖T ∗∗(iX(x))‖ 3.39a)= c‖Tx‖

Behauptung folgt mit Korollar 3.42. 13. Jan.

65

Page 66: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

3.5. Das Spektrum eines linearen Operators

X Banachraum. K = C, T ∈ B(X).

• Resolventenmenge ρ(T ) ist gegeben durch

ρ(T ) := λ ∈ C : λ− T ist invertierbar

• Resolvente: R(λ, T ):= (λ− T )−1 ∈ B(X) fur λ ∈ ρ(T ),

R(·, T ) : ρ(T )→ B(X).

• Spektrum: σ(T ):= C \ ρ(T ).

Bemerkung: Der Satz uber die stetige Inverse liefert

ρ(T ) = λ ∈ C : λ− T bjiektiv.

Unterteilung des Spektrums (nicht einheitlich in der Literatur):

• σp(T ):= λ ∈ C : λ− T ist nicht bijektiv (Punktspektrum, Eigenwerte).

• σap(T ):= λ ∈ C : ∃xn ∈ X : ‖xn‖ = 1 und (λ−T )xn → 0 (n→∞) (approximativesPunktspektrum).

• σr(T ):= λ ∈ C : Im(λ− t) nicht dicht in X (Residualspektrum).

3.44 gibt es nicht.

Bemerkung 3.45a) Satz 3.43 und 3.40 b) liefern

σ(T ) = σ(T ∗) und σr(T ) = σp(T ∗).

b) Es gilt:C \ σap(T ) = λ ∈ C : ∃c > 0 : ‖(λ− T )x‖ ≥ c‖x‖ ∀x ∈ X,

also liefert Korollar 2.18

σap(T ) = λ ∈ C : Im(λ− T ) nicht abgeschlossen ∪ σp(T ).

Also: σ(T ) = σap(T ) ∪ σr(T ).

Beispiel 3.46Betrachte die Shift-Operation L und R auf X ∈ c0, lp, 1 ≤ p ≤ ∞. Zur Erinnerung:L(X) = (x2, x3, x4, . . . ), R(X) = (0, x1, x2, . . . ).

Dann gilt: σ(R) = σ(L) = B(0, 1), denn

a) |λ| > 1: Es gilt λ−L = λ(Id− 1λL) und da ‖ 1

λL‖ < 1 (wegen ‖L‖ = 1) folgt, dass (Id− 1λL)

invertierbar ist, d.h. λ ∈ ρ(T ).

66

Page 67: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.5. Das Spektrum eines linearen Operators

b) Fur λ = 0 ist e1 Eigenvektor, da Le1 = 0. =⇒ λ = 0 ∈ σp(L).

Fur λ 6= 0 gilt

Lx = λx ⇐⇒ x2 = λx1, x3 = λx2 = λ2x1, . . . ⇐⇒ xn = λn−1x1 ∀n ∈ N,

also x 6= 0, falls x1 6= 0 und x ∈ X, falls

|λ| ≤ 1 fur X = l∞ und |λ| < 1 fur X ∈ c0, lp, 1 ≤ p <∞,

also σp(L) =

B(0, 1), falls X = l∞

B(0, 1), sonst.

c) Fur |λ| = 1 und p ∈ [1,∞) setze xn = n− 1

p (λ, λ2, . . . , λn, 0, . . . ).

Dann gilt: ‖xn‖p = 1 und

‖(λ− L)xn‖ = n− 1

p ‖(λ2, λ3, . . . , λn, λn+1, 0, . . . )− (λ2, λ3, . . . , λn, 0, . . . )‖|λ|=1= n

− 1p → 0 (n→∞),

also ∂B(0, 1) ⊂ σop(L).

Insgesamt folgt die Behauptung mit L∗ = R fur R auf l∞, L auf l1 und R∗ = L fur R aufc0 oder lp und L auf X∗.

Satz 3.47T ∈ B(X), X Banachraum. Es gilt dann:

a) ρ(T ) ist offen.

b) Die Resolvente ist analytisch in λ ∈ ρ(T ), d.h. sie lasst sich lokal als Potenzreihe mitKoeffizienten in B(X) darstellen.

c) σ(T ) ist kompakt (genauer: es gilt λ ∈ σ(T ) =⇒ |λ| ≤ ‖T‖).

d) σ(T ) 6= ∅ (Beachte: K = C).

Beweisa)+b) Sei λ0 ∈ ρ(T ) und |λ− λ0| < ‖(λ0 − T )−1‖−1. Satz 2.12 (Neumann Reihe) liefert

(λ− T )−1 = (λ− λ0 + λ0 − T )−1 =∞∑n=0

(λ− λ0)n(λ0 − T )−(n+1)(−1)n,

also ist λ ∈ ρ(T ) und (λ− T )−1 kann als Potenzreihe um λ0 geschrieben werden.

c) Teil a) liefert die Abgeschlossenheit von σ(T ). Neumann-Reihe liefert fur |λ| > ‖T‖, dass(λ− T )−1 existiert, denn

(λ− T )−1 = λ−1(Id− 1λT )−1 = λ−1

∞∑n=0

λ−nTn, (3.4)

also σ(T ) ⊂ B(0, ‖T‖) =⇒ c).

67

Page 68: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3. Dualitat

d) Wir nehmen an, es gilt σ(T ) = ∅, also ρ(T ) = C. Sei l ∈ B(X)∗ beliebig. Dann gilt(Neumann-Reihe):

l(Rλ) = l((λ− T )−1) =∞∑n=0

(−1)nl(Rn+1λ0

)(λ− λ0)n,

d.h. λ 7→ l(Rλ) ist analytische Funktion in C.

Diese Funktion ist wegen

|l(Rλ)|(3.4)

≤ ‖l‖|λ|−1∞∑n=0

‖ 1λT‖

n ≤ ‖l‖ · 12‖T‖ · 2 = ‖l‖

‖T‖ fur |λ| > 2‖T‖

beschrankt auf B(0, 2‖T‖)C . Auf |λ| ≤ 2‖T‖ ist sie beschrank, weil sie stetig ist.

Nach dem Satz von Lionville ist λ 7→ l(Rλ) konstant.

Fur λ0 = 0 mussen daher alle Koeffizienten der Potenzreihe bis auf den Nullten verschwin-den (sonst ware die Funktion nicht konstant). Insbesondere gilt l(T−2) = l(R2

0) = 0 furjedes l ∈ B(X)∗.

Satz von Hahn-Banach liefert T−2 = 0 .

Lemma 3.48(an) ⊂ R mit 0 ≤ an+m ≤ anam ∀n,m ∈ N. Dann gilt

limn→∞

n√an = inf n

√an =: a

BeweisSei ε > 0. Wahle N ∈ N mit N

√aN < a+ ε und b = b(ε) = maxa1, . . . , aN.

Fur n ∈ N mit n = kN + r (1 ≤ r ≤ N) folgt:

n√an = (akN+r)

1n ≤ (akNar)

1n ≤ (a+ ε)

kNn · b

1n = (a+ ε) (a+ ε)−

rN · b

1n︸ ︷︷ ︸

→1 fur n→∞

≤ a+ 2ε.

Definition 3.49Fur T ∈ B(X) heißt

r(T ) := inf ‖Tn‖1n = lim

n→∞‖Tn‖

1n

Spektralradius von T .

Satz 3.50T ∈ B(X), K = C. Dann gilt:

a) |λ| ≤ r(T ) ∀λ ∈ σ(T ).

b) Es gilt |λ| = r(T ) fur ein λ ∈ σ(T ) (also r(T ) = max|λ| : λ ∈ σ(T )).

68

Page 69: Funktionalanalysis (Heck;2009)

3.5. Das Spektrum eines linearen Operators

Beweisa) Wir zeigen: λ−1

∑∞n=0( 1

λT )n fur |λ| > r(T ) konvergiert.

Es gilt:

lim sup ‖( 1λT )n‖

1n = lim

‖Tn‖1n

|λ|=r(T )|λ|

< 1

=⇒ (λ− T )−1 existiert.

b) r0 := sup|λ| : λ ∈ σ(T ).

Mit a) folgt r0 ≤ r(T ). Sei |µ| > r0.

Zu l ∈ B(X)∗ betrachte die in λ : |λ| > r0 analytische Funktion fl(λ) := l((λ− T )−1).a) liefert

fl(λ) =∞∑n=0

l(Tn)λ−(n+1)

Diese Potenzreihe konvergiert im großten Kreis, in dem fl analytisch ist, also auch in µ.

Weiter gilt: limn→∞ l( Tn

µn+1 ) = 0 (∑

ist konvergent). Da l beliebig war, ist Tn

µn+1 eineschwachkonvergente Nullfolge, also ist sie beschrankt. Damit folgt

‖Tn‖1n ≤ K

1n |µ|

n+1n → |µ|,

also r(T ) ≤ |µ|.

69

Page 70: Funktionalanalysis (Heck;2009)
Page 71: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4. Hilbertraume16. Jan.

4.1. Grundlegende Eigenschaften

Definition 4.1X K-Vektorraum. Eine Abbildung (·|·) : X ×X → K heißt Skalarprodukt, falls:

a) (x1 + x2|y) = (x1|y) + (x2|y) x1, x2, y ∈ X

b) (λx1|y) = λ(x1|y) x1, y ∈ X, λ ∈ K

c) (x|y) = (y|x) x, y ∈ X

d) (x|x) ≥ 0 und (x|x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ∀x ∈ X.

Bemerkung 4.2i) (x|αy1 + βy2) = α(x|y1) + β(x|y2) und (0|x) = 0 ∀x ∈ X.

ii) Die Abbildung ‖.‖ : X → R, ‖x‖ :=√

(x|x) definiert eine Norm auf X.

zu i): Eine Abbildung mit a)-c) aus 4.1 heißt Sesquilinearform, und positiv definit, falls d)gilt.

Satz 4.3 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)X Vektorraum mit Skalarprodukt (·|·), dann gilt:

|(x|y)|2 ≤ (x|x) · (y|y) = ‖x‖2 · ‖y‖2 fur x, y ∈ X.

Beweis

”=“ gilt genau dann, wenn x und y linear abhangig sind.

Sei λ ∈ K.

0 ≤ (x+ λy|x+ λy) = (x|x) + (λy|x) + (x|λy) + (λy|λy)= (x|x) + λ(x|y) + λ(x|y) + |λ|2(y|y)

Setze λ = − (x|y)(y|y) fur y 6= 0 (fur y = 0 folgt Behauptung).

Also: 0 ≤ (x|x)− |(x|y)|2(y|y) −

|(x|y)|2(y|y) + |(x|y)|2

(y|y)

=⇒ Behauptung: |(x|y)|2 ≤ (x|x) · (y|y), wobei ”=“ genau dann, wenn x = αy.

Bemerkung 4.4Satz 4.3 zeigt, dass (·|·) : X ×X → K eine stetige Abbildung ist.

71

Page 72: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4. Hilbertraume

Definition 4.5Ein normierter Raum (X, ‖ · ‖) ist ein Prahilbertraum, falls es ein Skalarprodukt gibt mit‖x‖ =

√(x|x). Ein vollstandiger Prahilbertraum heißt Hilbertraum.

Beispiel 4.6Hilbertraume sind:

a) X = Kd mit (x|y) =∑d

k=1 xkyk.

Dann: ‖x‖ =√∑d

k=1 |xk|2

Beachte: (Kd, ‖ · ‖1) ist kein Hilbertraum.

b) l2 mit (x|y) =∑∞

k=1 xkyk (existiert wegen Holder)

‖x‖ =√∑∞

k=1 |xk|2.

c) L2(A), A ⊂ Rd messbar mit

(f |g) =∫A f · g, ‖f‖ = (

∫A |f |

2)12

d) Nicht separabler Hilbertraum: Sei S uberabzahlbare Indexmenge und

l2(S) = f : S → K : f(sj) 6= 0 fur hochstens abzahlbar viele sj ∈ S und∑s∈S |f(s)|2 =

∑∞j=1 |f(sj)|2 <∞.

Skalarprodukt ist dann(f |g) =

∑s∈S

f(s)g(s).

Satz 4.7 (Parallelogrammgleichung)Ein normierter Raum X ist ein Prahilbertraum genau dann, wenn

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x, y ∈ X.

Beweis

”⇒“: Es gilt

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + 2 Re(x|y) + ‖y‖2 + ‖x‖2 − 2 Re(x|y) + ‖y‖2

”⇐“: Idee: Setze (x|y) = 14(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2) falls K = R.

(x|y) = 14(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x+ iy‖2 − i‖x− iy‖2) (falls K = C).

Definition 4.8X Prahilbertraum. Dann heißen x, y ∈ X orthogonal, wenn (x|y) = 0 gilt

A,B ⊂ X heißen orthogonal, wenn a⊥b, d.h. (a|b) = 0 fur alle a ∈ A, b ∈ B.

A ⊂ X. Dann definiere

72

Page 73: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4.1. Grundlegende Eigenschaften

A⊥:= x ∈ X : x⊥a ∀a ∈ A das orthogonale Komplement von A.

S ⊂ X heißt Orthonormalsystem (ONS), wenn ‖s‖ = 1 ∀s ∈ S, und (s1|s2) = 0 furs1, s2 ∈ S und s1 6= s2.

Bemerkung 4.9X Prahilbertraum. A,B ⊂ X, x, y ∈ X.

a) x⊥x ⇐⇒ x = 0, x⊥y ⇐⇒ y⊥x.

b) x⊥y =⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 (Pythagoras).

c) X⊥ = 0, 0⊥ = X, A ∩A⊥ = 0, A ⊂ (A⊥)⊥.

d) A⊥ ist abgeschlossener Untervektorraum, denn:

Untervektorraum wegen Linearitat von (·|·).

Ist xn⊥a und xn → x, dann (x|a) = limn→∞(xn|a) = 0.

Satz 4.10 (Projektionssatz)X Hilbertraum, K ⊂ X abgeschlossen und konvex. Dann gibt es zu x ∈ X genau einyx = PK(x) ∈ K mit ‖x− PK(x)‖ = infy∈K ‖x− y‖ = d(x,K).

Ist x ∈ K, so gilt:PK(x) = x, also P 2

K = PK und Im(PK) = K.

BeweisLetzte Behauptung ist klar.

Ist x 6= 0, so betrachte x = 0 und K = K − x.

Sei also ohne Beschrankung der Allgemeinheit x = 0 und 0 /∈ K.

Dann gibt es yn ∈ K mit ‖yn‖ → K = infy∈K ‖y‖

Es gilt K > 0, da K abgeschlossen.

Parallelogrammgleichung liefert, da 12(yn + ym) ∈ K:

0 ≤ ‖12(yn − ym)‖2 = 1

2‖yn‖2 + 1

2‖ym‖2 − ‖1

2(yn + ym)‖2

≤ 12‖yn‖2 +

12‖ym‖2 −K2 → 0 fur n,m→∞

=⇒ (yn) ist Cauchy-Folge, also existiert y∗ = lim yn ∈ K und ‖y∗‖ = K.

Annahme: Es gibt y0 6= y∗, y0 ∈ K mit ‖y0‖ = K.

Dann gilt:

‖12(y0 + y∗)‖2 < ‖1

2(y0 + y∗)‖2 + ‖12(y0 − y∗)‖2 = 1

2‖y0‖2 + 12‖y∗‖

2

= K2, Widerspruch!

Zur Minimalitat von ‖y0‖, da 12(y0 + y∗) ∈ K.

73

Page 74: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4. Hilbertraume

Korollar 4.11x ∈ X, X Hilbertraum, K ⊂ X abgeschlossen und konvex.

Es gilt y = PK(x) genau dann, wenn y ∈ K mit Re(x− y|z − y) ≤ 0 fur alle z ∈ K.

Beweis

”⇐“ Es gilt:

‖x− z‖2 = ‖x− y + y − z‖2 = ‖x− y‖2 + 2 Re(x− y|y − z)︸ ︷︷ ︸≥0

+‖y − z‖2 ≥ ‖x− y‖2

=⇒ y = PK(x).

”⇒“ Sei zt := (1− t)y + tz fur y = PK(x), z ∈ K, 0 < t < 1.

Es gilt zt ∈ K. Also gilt:

‖x− y‖2 ≤ ‖x− zt‖2 = ‖x− y‖2 + 2 Re(x− y|t(y − z)) + ‖t(y − z)‖2,

also Re(x− y|z − y) ≤ t2‖y − z‖

2.

Mit t→ 0 folgt die Behauptung.

20. Jan.

Definition 4.12Eine Projektion P ∈ B(X) (X Hilbertraum) heißt orthogonal, falls Im(P )⊥ ker(P ) gilt.

Satz 4.13X Hilbertraum. Y ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum. Dann ist P = PY aus Satz 4.10linear und es gelten:

• ‖P‖ = 1,

• Im(P ) = Y ,

• ker(P ) = Y ⊥,

• X = Y ⊕ Y ⊥.

Beweisx ∈ X.

y = P (x) ⇐⇒ y ∈ Y,Re(x− y|z − y) ≤ 0 ∀z ∈ Y⇐⇒ y ∈ Y, Re(x− y|z′) ≤ 0 z′ ∈ Y (Y Untervektorraum)

(−z′,±iz)⇐⇒ y ∈ Y, (x− y|z′) = 0 ∀z′ ∈ Y⇐⇒ y ∈ Y, x− y︸ ︷︷ ︸

=(Id−P )x

∈ Y ⊥, d.h. Im(Id−P ) = Y ⊥

αj ∈ K, xj ∈ X, j = 1, 2. Y ⊥ ist Untervektorraum von X, also gilt:

(α1x1 + α2x2)− (α1P (x1) + α2P (x2)) = α1(x1 − P (x1) + α2(x2 − P (x2)) ∈ Y ⊥.

74

Page 75: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4.2. Orthonormalbasen

Damit folgt P (α1x1 + α2x2) = α1P (x1) + α2P (x2) (P linear!).

Satz 4.10 liefert P 2 = P und ImP = Y .

Satz von Pythagoras liefert:

‖x‖2 = ‖Px+ (Id−P )x‖2 = ‖Px‖2 + ‖(Id−P )x‖2 ≥ ‖Px‖2, d.h. ‖P‖ = 1

Lemma 1.64 liefert den Rest.

Wir definieren: zu y ∈ X, X Hilbertraum

φ(y) : X → K durch φ(y)(x) := (x|y) x ∈ X

Klar ist, dass φ(y) linear ist. Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt die Stetigkeit von φ(y),d.h. φ(y) ∈ X∗ mit ‖φ(y)‖X∗ ≤ ‖y‖X .

Satz 4.14 (Frechet-Riesz)X Hilbertraum. Dann definiert obiges φ : X → X∗ ein isometrischen Isomorphismus mit

φ(αy + βz) = αφ(y) + βφ(z) fur α, β ∈ K, y, z ∈ X.

Fur jedes x∗ ∈ X∗ gibt es also genau ein y = φ−1(x∗) ∈ X mit 〈x, x∗〉 = (x|y) ∀x ∈X und ‖x∗‖ = ‖y‖.

Beweis

”konjugiert linear“ ist klar.

Ist x = 1‖y‖y fur y ∈ X \ 0, so gilt

‖φ(y)‖ ≥ ‖φ(y)(x)‖ =1‖y‖

(y|y) = ‖y‖, d.h. ‖φ(y)‖ = ‖y‖.

Sei x∗ ∈ X∗\0. Dann gilt: Im(x∗) = K und U = ker(x∗) ist abgeschlossener Untervektorraummit U 6= X.

Nach Satz 4.13 gilt X = U⊕U⊥ mit dimU⊥ = 1 (x∗|U⊥ ist bijektiv). Sei y ∈ U⊥ mit 〈y, x∗〉 = 1.

Zu x ∈ X gibt es eindeutig bestimmtes u ∈ U und α ∈ K, so dass x = u+ αy. Damit gilt

〈x, x∗〉 = 〈u, x∗〉+ α〈y, x∗〉 = α

und φ(y)(x) = (u|y) + α(y|y) = α‖y‖2.

Das heißt x∗ = φ( y‖y‖2 ), also ist φ surjektiv.

4.2. Orthonormalbasen

Definition 4.15X Hilbertraum. S Orthonormalsystem.

75

Page 76: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4. Hilbertraume

S heißt Orthonormalbasis (ONB), wenn es maximal ist, d.h.

S ⊂ S′ und S′ Orthonormalsystem =⇒ S = S′.

Beispiel 4.16a) X = l2 : S = en, n ∈ N ist ONS, sogar ONB.

b) X = L2([0, 2π]): S = fn mit fn(t) = 1√2πeint, n ∈ N ist ONS.

Satz 4.17X Hilbertraum, x, y ∈ X, B = bn, n ∈ N Orthonormalsystem. Dann:

a)∑∞

n=1 |(x|bn)|2 ≤ ‖x‖2 (Bessel-Ungleichung)

b)∑∞

n=1 |(x|bn)(bn|y)| <∞

BeweisSei N ∈ N. xN = x−

∑Nk=1(x|bk)bk.

Dann gilt xN⊥bn fur n ∈ 1, . . . , N.

Pythagoras:

‖x‖ = ‖xN‖2 +N∑k=1

‖(x|bk)bk‖2 ≥N∑k=1

|(x|bk)|2

N →∞ liefert a)

b) folgt mit a) und Holder in l2.

Lemma 4.18S ⊂ X Orthonormalsystem und x ∈ X.

Dann ist Sx := b ∈ S : (x|b) 6= 0 ein hochstens abzahlbares Orthonormalsystem.

BeweisSatz 4.17 a) liefert, dass fur k ∈ N Sx,k := b ∈ S : |(x|b)| > 1

k endlich ist.

Also ist Sx =⋃k∈N Sx,k abzahlbar.

Bezeichnung: J Indexmenge. Wir sagen,

dass∑j∈J

xj unbedingt gegen x ∈ X konvergiert,

falls

(i) j ∈ J : xj 6= 0 =: J0 hochstens abzahlbar ist und

(ii) fur jede Abzahlung von J0 = j1, j2, . . . gilt∑∞

k=1 xjk = x.

76

Page 77: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4.2. Orthonormalbasen

Satz 4.19S Orthonormalsystem in X (Hilbertraum), x ∈ X. Dann gelten:

a)∑

b∈S |(x|b)|2 ≤ ‖x‖2.

b) Px =∑

b∈S(x|b)b konvergiert unbedingt.

c) P ist Orthogonalprojektion auf linS und es gilt X = linS ⊕ S⊥.

d) Es gibt eine Orthonormalbasis B ⊇ S.

BeweisSei Sx = b1, b2, . . . .

a) folgt mit Lemma 4.18 und Bessel.

b) Pythagoras und Bessel:

‖N∑

k=M

(x|bk)bk‖2 =N∑

k=M

|(x|bk)|2 ‖bk‖2︸ ︷︷ ︸=1

=N∑

k=M

|(x|bk)|2 → 0, fur N,M →∞,

d.h. y =∑∞

k=1(x|bk)bk existiert und

‖y‖2 =∞∑k=1

|(x|bk)|2 ≤ ‖x‖2.

Sei bϕ(n) : n ∈ N eine Umordnung von Sx.

Dann existiert yφ =∑∞

k=1(x|bϕ(k))bϕ(k). Fur z ∈ X folgt mit Satz 4.17 b)

(y|z) =∞∑n=1

(x|bn)(bn|z) =∞∑n=1

(x|bϕ(n))(bϕ(n)|z) = (yϕ|z) ∀z ∈ X,

also yϕ = y. 23. Jan.

c) Aus der unbedingten Konvergenz von b) folgt, dass P linear und stetig ist. Weiter gilt

P 2x =∑b′∈S

∑b∈S

(x|b)(b|b′)b′ S ONS= Px

Außerdem folgt Im(P ) ⊂ linS und S ⊂ Im(P ).

Im(P ) ist abgeschlossener Untervektorraum =⇒ Im(P ) = linS.

Ferner ist S⊥ ⊂ ker(P ).

Sei b0 ∈ S und x ∈ X, dann gilt

(x− Px|b0) = (x|b0)− (x|b0)(b0|b0) = 0,

also ker(P ) = Im(Id−P ) ⊂ S⊥

=⇒ ker(P ) = S⊥ = linS⊥

77

Page 78: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4. Hilbertraume

d) Betrachte § = S′ ⊂ X : S′ ONS mit S ⊂ S′ mit ”c“ als Ordnung. Eine Kette §0 in §hat

⋃S′∈§0 S

′ ∈ § als obere Schranke.

Lemma von Zorn liefert maximale Elemente. Jedes solche maximale Element ist ONB.

Satz 4.20X Hilbertraum, S Orthonormalsystem, dann sind aquivalent:

a) S ist Orthonormalbasis.

b) S⊥ = 0.

c) X = linS.

d) x =∑

b∈S(x|b)b ∀x ∈ X (unbedingt konvergent).

e) (x|y) =∑

b∈S(x|b)(b|y) ∀x, y ∈ X.

f) ‖x‖2 =∑

b∈S |(x|b)|2 ∀x ∈ X (Passeval-Gleichung).

Beweisa)⇒b): Annahme: ∃y ∈ S⊥ mit y 6= 0. Dann ist S ∪ 1

‖y‖y ein ONS mit S ⊆ S ∪ 1‖y‖y,

Widerspruch!

b⇒c)⇒d) folgen mit Satz 4.19.

(Px =∑

(x|b)b ist Orthogonal Projektion auf linS.

d)⇒e): Sei Sx ∪ Sy = bn : n ∈ N. Dann folgt

(x|y) =( ∞∑n=1

(x|bn)bn∣∣∣ ∞∑m=1

(y|bm)bm)

=∞∑n=1

∞∑m=1

((x|bn)bn

∣∣(y|bm)bm)

=∞∑

n,m=1

(x|bn)(bm|y)δnm =∞∑n=1

(x|bn)(bn|y).

e)⇒f): Setze x = y.

f)⇒a): Annahme S ist keine ONB. Dann gibt es eine Orthonormalbasis B ) S, also existiertx ∈ X mit ‖x‖ = 1 und x⊥S. Nach f) ware dann

‖x‖2 =∑b∈S|(x|b)|2 = 0, Widerspruch!

Korollar 4.21X Hilbertraum. dimX =∞. Dann sind aquivalent:

a) X ist separabel.

b) alle Orthonormalbasen von X sind abzahlbar.

78

Page 79: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4.2. Orthonormalbasen

c) Es gibt eine abzahlbare Orthonormalbasis.

Beweisa)⇒b) Ist x⊥y und ‖x‖ = ‖y‖ = 1, so folgt ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 = 2.

Also kann es keine uberabzahlbare Orthonormalbasis geben.

b)⇒c) klar, es existiert mindestens eine Orthonromalbasis.

c)⇒a) Folgt mit Satz 4.20 und X = linS. S abzahlbar =⇒ X separabel (Lemma 1.52).

4.2.1. Operatoren auf Hilbertraumen

X,Y Hilbertraume, T ∈ B(X,Y ).

DefinitionDefiniere Hilbertraum-Adjungierte analog zur Adjungierten, jedoch uber das Skalarprodukt.

Zu y ∈ Y definiere ϕy(x) = (Tx|y). ϕy ist linear und wegen Cauchy-Schwarz Ungleichung stetig,d.h. ϕx ∈ X∗ und es existiert (Satz von Riesz) genau ein z =: T ′y mit

(Tx|y) = ϕy(x) = (x|z) = (x|T ′y).

T ′ : Y → X heißt Hilbertraum-Adjungierte.

Satz 4.22X,Y, Z Hilbertraume. T, S ∈ B(X,Y ), R ∈ B(Y, Z), α ∈ K, dann gelten:

a) T ′ ∈ B(Y,X) mit ‖T ′‖ = ‖T‖, T ′′ = T .

b) (T + S)′ = T ′ + S′, (αT )′ = αT ′

(RT )′ = T ′R′.

c) ker(T ) = Im(T ′)⊥ und ker(T ′) = Im(T )⊥, d.h. T injektiv⇐⇒ Im(T ′) dicht in X.

Beweisb) folgt analog zum Banachraum Fall.

a) Nach Cauchy-Schwarz folgt

|(x|T ′y)| = |(Tx|y)| ≤ ‖Tx‖‖y‖ ≤ ‖T‖‖x‖‖y‖,

also T ′ ∈ B(Y,X) mit ‖T ′‖ ≤ ‖T‖.

Also existiert T ′′ ∈ B(X,Y ) und

(Tx|y) = (x|T ′y) = (T ′y|x) = (y|T ′′x) = (T ′′x|y),

d.h. Tx = T ′′x ∀x ∈ X.

Da ‖T‖ = ‖(T ′)′‖ ≤ ‖T ′‖ =⇒ ‖T ′‖ = ‖T‖.

79

Page 80: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4. Hilbertraume

c) Es gilt

Tx = 0 ⇐⇒ 0 = (Tx|y) = (x|T ′y) ∀y ∈ X⇐⇒ x ∈ Im(T ′)⊥,

also ker(T ) = Im(T ′)⊥.

Gesamte Behauptung folgt mit ker(T ′) = Im(T ′′)⊥ = Im(T )⊥.

Definition 4.23X,Y Hilbertraume, T ∈ B(X,Y ).

a) T heißt unitar, falls T ′T = IdX und TT ′ = IdY (d.h. T−1 = T ′).

b) X = Y , so heißt T selbstadjungiert, falls (Tx|y) = (x|Ty) ∀x, y ∈ X (d.h. T = T ′).

c) Wieder X = Y , so heißt T normal, falls T ′T = TT ′ gilt.

Bemerkung:

• X = Y : T unitar oder selbstadjungiert =⇒ T ist normal.

• T ′T und TT ′ sind selbstadjungiert.

Beispiel 4.24X = Kd, A d× d-Matrix. Dann ist A : x 7→ Ax selbstadjungiert

⇐⇒ A = (aij) mit aij = aji.

(Analoges gilt fur Operatoren auf l2.)

Satz 4.25X,Y Hilbertraume, T ∈ B(X,Y ). Aquivalent sind:

a) T ist Isometrie.

b) (T ′Tx|z)X = (Tx|Tz)Y = (x|z)X ∀x, z ∈ X.

Insbesondere: T unitar ⇐⇒ T bijektiv und isometrisch. ⇐⇒ T bijektiv und erhaltSkalarprodukt (d.h. (x|z) = (Tx|Tz)).

Beweisb)⇒a) folgt mit x = z.

a)⇒b) Sei α ∈ K, x, z ∈ X.

Es gilt:

(T (x+ αz)|T (x+ αz)) = ‖Tx‖2 + 2 Re(Tx|αTz) + |α|2‖Tz‖2

= ‖x‖2 + 2 Reα(Tx|Tz) + |α|2‖z‖2,

außerdem

‖T (x+ αz)‖2 = ‖(x+ αz)‖2 = (x+ αz|x+ αz) = ‖x‖2 + 2 Reα(x|z) + |α|2 + ‖z‖2.

80

Page 81: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4.2. Orthonormalbasen

=⇒ Reα(Tx|Tz) = Reα(x|z).

Setze α = 1 bzw. α = i und erhalte Behauptung.

Satz 4.26K = C (!), X Hilbertraum, T ∈ B(X). Aquivalent sind:

a) T selbstadjungiert.

b) (Tx|x) ∈ R ∀x ∈ X.

Beweisa)⇒b) (Tx|x) = (x|Tx) = (Tx|x).

b)⇒a) Sei α ∈ K, x, y ∈ X, dann:

a := (T (x+ αy)|x+ αy) = (Tx|x) + α(Tx|y) + α(Ty|x) + |α|2(Ty|y).

Nach b) gilt a = a. Andererseits:

a = (Tx|x) + α(y|Tx) + α(x|Ty) + |α|2(Ty|y).

D.h. α(Tx|y) + α(Ty|x) = α(y|Tx) + α(x|Ty)

α = 1: (Tx|y) + (Ty|x) = (y|Tx) + (x|Ty).

α = −i: (Tx|y)− (Ty|x) = −(y|Tx) + (x|Ty).

=⇒ (Tx|y) = (x|Ty).

Bemerkung: X = R2 ist b) =⇒ a) falsch.

Setze T =(

0 1−1 0

). Dann ist T 6= T ′ und (Tx|x) = 0 ∀x ∈ R2.

27. Jan.

Satz 4.27X Hilbertraum, T ∈ B(X) selbstadjungiert. Dann gilt:

‖T‖ = sup‖x‖≤1

|(Tx|x)| = M.

Insebesdonere: T selbstadjungiert und (Tx|x) = 0 ∀x ∈ X =⇒ T = 0.

Beweis

”≥“: ist klar.

”≤“: x, y ∈ X mit ‖x‖ ≤ 1 und ‖y‖ ≤ 1.

81

Page 82: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4. Hilbertraume

Da T ′ = T folgt:

(T (x+ y)|x+ y)− (T (x− y)|x− y) = 2(Tx|y) + 2(Ty|x)= 2(Tx|y) + 2(Tx|y) = 4 Re(Tx|y)

Es gilt |(Tz|z)| ≤M‖z‖2 ∀z ∈ X.

Parallelogrammgleichung liefert:

4 Re(Tx|y) ≤M‖x+ y‖2 +M‖x− y‖2 = 2M(‖x‖2 + ‖y‖2) ≤ 4M.

Ist (Tx|y) 6= 0, so setze statt x x = |(Tx|y)|(Tx|y) x ein.

Dann folgt |(Tx|y)| ≤M .

Dies gilt auch falls (Tx|y) = 0.

Supremum uber ‖x‖ ≤ 1 und dann uber ‖y‖ ≤ 1 liefert ‖Tx‖ ≤M , d.h. ‖T‖ ≤M .

Satz 4.28X Hilbertraum. T ∈ B(X) normal.

Dann gilt: r(T ) = ‖T‖.

BeweisBehauptung: ‖SS′‖ = ‖S′S‖ = ‖S‖2 fur S ∈ B(X) (Ubung).

Fur normales T folgt damit:

‖T 2‖2 = ‖(T 2)(T 2)′‖ T normal= ‖(TT ′)2‖ = ‖TT ′‖2 = (‖T‖2)2.

Mit T sind auch Tn, n ∈ N, normal. Also

‖T‖2k= ‖T 2k‖ und

r(t) = limn→∞

‖Tn‖1n = lim

k→∞‖T 2k‖

1

2k = limk→∞

‖T‖ = ‖T‖.

Lemma 4.29X Hilbertraum. T ∈ B(X) normal. Dann gilt

‖Tx‖ = ‖T ′x‖ ∀x ∈ X.

Damit folgt ker(T ) = ker(T ′) = 2(T )⊥.

Beweis0 = ((TT ′ − T ′T )x|x) = ‖T ′x‖2 − ‖Tx‖2.

82

Page 83: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4.2. Orthonormalbasen

Satz 4.30X Hilbertraum. P ∈ B(X) Projektion mit P 6= 0. Dann sind aquivalent:

a) P ist Orthogonalprojektion.

b) ‖P‖ = 1.

c) P = P ′ (P selbstadjungiert).

d) P ist normal.

e) (Px|x) ≥ 0 ∀x ∈ X.

Beweis• a) =⇒ c): x, y ∈ X =⇒ (Px|y) = (Px|Py + (Id−P )y) = (Px|Py), analog gilt (x|Py) =

(Px|Py).

=⇒ P ′ = P , also ist P selbstadjungiert.

• c) =⇒ d) klar.

• d) =⇒ a) mit Lemma 4.29.

• c) =⇒ e): (Px|x) = (PPx|x) = (Px|Px) = ‖Px‖2 ≥ 0.

• e) =⇒ a): x ∈ ker(P ), y ∈ Im(P ), λ ∈ R, dann gilt

0 ≤ (P (x+ λy)|x+ λy) = (λy|x+ λy) = λ2‖y‖2 + λ(y|x).

=⇒ Fur λ > 0: (y|x) ≥ −λ‖y‖2Fur λ < 0: (y|x) ≤ −λ‖y‖2 =⇒ (y|x) = 0.

• a) =⇒ b): Satz 4.13.

• b) =⇒ a): α ∈ K, x ∈ ker(P ), y ∈ Im(P ).

=⇒ ‖αy‖2 = ‖P (x+ αy)‖2‖P‖=1

≤ ‖x+ αy‖2 = ‖x‖2 + 2 Reα(x|y) + ‖αy‖2.

Mit α = (x|y)|(x|y)| folgt:

−2|(x|y)| ≤ ‖x‖2 ∀y ∈ Im(P ).

=⇒ (x|y) = 0.

83

Page 84: Funktionalanalysis (Heck;2009)
Page 85: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5. Kompakte Operatoren

Definition 5.1X,Y Banachraume. T : X → Y linear.

Ein Operator T heißt kompakt, falls TBX(0, 1) kompakt ist.

Bezeichnung: K(X,Y ):= T : X → Y : T kompakt (⊂ B(X,Y )).

Bemerkung 5.2a) T kompakt ⇐⇒ TB(0, r) = rTB(0, 1) kompakt ⇐⇒ zu jeder beschrankten Folge

(xn) ⊂ X, gibt es eine Teilfolge xnk, so dass Txnk

konvergent ist.

b) T kompakt =⇒ TBX(0, 1) beschrankt, also T ∈ B(X,Y ).

Satz 5.3X,Y, Z Banachraume.

a) K(X,Y ) ist abgeschlossener Untervektorraum von B(X,Y ).

b) T ∈ B(X,Y ), S ∈ B(Y,Z). Dann ist ST kompakt, falls T oder S kompakt ist.

Beweisa) Sei T, S ∈ K(X,Y ), α ∈ K.

Dann ist αT kompakt.

Sei xn beschrankte Folge in X. Es existiert Teilfolge (xnk) von xn, so dass Txnk

konver-giert. Dann existiert eine Teilfolge xnkl

von xnkso dass Sxnkl

konvergiert.

Damit konvergieren auch (T + S)xnkl.

Also ist K Untervektorraum.

Sei (Tn) Folge in K(X,Y ) mit Tn → T in B(X,Y ). Sei (xk) beschrankte Folge in X. Dannexistiert Teilfolge xν1(j) von (xk) so dass T1xν1(j) konvergiert.

Es existiert Teilfolge (xν2(j) von xν1(j) so dass T2xν2(j) konvergiert.

Erhalte somit fur Tn eine Teilfolge xνn(j) von xνn−1(j) so dass Tnxνn(j) konvergiert.

Setze um = xνm(m) (”Diagonalfolge“). Dann konvergiert Tnum fur m→∞.

Zu ε > 0 wahle n ∈ N so dass ‖Tn − T‖ < ε. Dann gilt:

‖Tuk−Tum‖ ≤ ‖(T−Tn)un‖+‖Tn(uk−um)‖+‖Tnum−Tum‖ ≤ 2ε·(supn∈N‖xn‖)︸ ︷︷ ︸

=:c

+ ‖Tn(uk − um)‖︸ ︷︷ ︸<ε, da Tnum kvgt.

.

85

Page 86: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5. Kompakte Operatoren

=⇒ Tum ist konvergent, also ist T kompakt.

b) (xn) beschrankt.

a) Ist S kompakt, dann hat STxn eine konvergente Teilfolge, da Txn beschrankt ist.

b) Ist T kompakt und ist Txnkkonvergente Teilfolge, so ist auch STxnk

konvergent, daS statig ist.

Beispiele 5.4a) IdX ist kompakt ⇐⇒ dimX <∞

b) T ∈ B(X,Y ) ist kompakt, falls dimTX < ∞, da TB(0, 1) dann in einem endlich-dimensionalen Teilraum ist.

c) Sogenannte ”starke Konvergenz“ in 5.3 reicht nicht fur die Aussage.

Starke Konvergenz: Tn ∈ B(X,Y ) konvergiert stark gegen T ∈ B(X,Y ), fallsTnx→ Tx fur alle x ∈ X.

Setze X = lp, 1 ≤ p <∞, Pnx(x1, . . . , xn, 0, . . . ).

Nach b) ist Pn kompakt.

Es gilt‖Pnx− Idx‖p = ‖(0, . . . , 0,−xn+1, . . . )‖p → 0 ∀x ∈ lp,

d.h. Pnstark−−−→ Id, aber Idlp nicht kompakt.30. Jan.

d) X = Y = C([0, 1]) k ∈ C([0, 1]2).

Tf(t) =∫ 1

0 k(t, s)f(s)ds

Es gilt T ∈ B(X).

T ist kompakt, denn sei fn ∈ C([0, 1]) mit ‖fn‖∞ ≤ C, dann gilt:

‖Tfn‖∞ ≤ ‖k‖∞ · C.

Fur t, s ∈ [0, 1] gilt

|Tfn(t)− Tfn(s)| ≤∫ 1

0|k(t, π)− k(s, π)| · |fn(π)|dπ

≤ C supπ∈[0,1]

|k(t, π)− k(s, π)| → 0 fur s→ t.

also ist Tfn gleichgradig stetig.

Mit Arzela-Ascoli (1.50) gibt es also eine in X konvergente Teilfolge Tfnk.

=⇒ T ist kompakt.

Definiert man T f(t) =∫ t

0 k(t, s)f(s)ds so folgt analog, dass T kompakt ist.

e) X = c0 oderX = lp p ∈ [1,∞) furm ∈ l∞ definiere T ∈ B(X) durch Tx = (mnxn).

Behauptung: T ∈ K(X) ⇐⇒ m ∈ c0.

86

Page 87: Funktionalanalysis (Heck;2009)

Beweis

”⇐“: Sei Pnx = (x1, . . . , xn, 0, . . . ).

‖T − PnT‖ = sup‖x‖≤1

‖Tx− PnTx‖ = sup ‖(0, . . . , 0,mn+1xn+1, . . . )‖

≤ sup‖x‖≤1

supk≥n+1

|mk| · ‖x‖ ≤ supk≥n+1

|mk| → 0

Satz 5.3 und Beispiel b) folgt die Behauptung, da T Grenzwert von Operatoren mitendlichdimensionalem Bild ist.

”⇒“: Annahme: ∃nj →∞ mit |mnj | ≥ δ > 0.

Setze vj = mnjenj =⇒ ‖vj‖ ≤ ‖m‖∞ und

‖Tvj − Tvi‖ = ‖|mnj |2enj − |mni |2eni‖ ≥ δ2, Widerspruch!

(Tvj) hat keine konvergente Teilfolge.

Satz 5.5 (Schander)X,Y Banachraume, T ∈ B(X,Y ).

T kompakt⇐⇒ T ∗ kompakt.

Beweis

”⇒“: Sei y∗n ∈ Y ∗ mit ‖y∗n‖ ≤ C. K := TBX(0, 1) ist kompakter metrischer Raum.

Setze fn = y∗n|K ∈ C(K). fn ist beschrankt und gleichgradig stetig, denn ‖fn‖∞ ≤ ‖y∗n‖ ≤ Cund

|fn(s)− fn(t)| ≤ |〈s− t, y∗n〉| ≤ C‖s− t‖Y .

Also besitzt (fn) nach Arzela-Ascoli (1.50) eine konvergente Teilfolge (fnj ). Damit folgt

‖T ∗y∗nj− T ∗y∗ni

‖ = sup‖x‖≤1

|〈x, T ∗(y∗nj− y∗ni

)〉| = sup‖x‖≤1

|fnj (Tx)− fni(Tx)|

≤ ‖fnj − fni‖C(K)j→∞−−−→ 0 =⇒ (T ∗y∗nj

) konvergent.

”⇐“: T ∗ kompakt ”⇒“

==⇒ T ∗∗ kompakt.

Weiter gilt iY T = T ∗∗iX .

=⇒ iY T ist kompakt.

Sei xn beschrankt in X

=⇒ iY (Txn) hat konvergente Teilfolge (nj). iY ist Isometrie und daher konvergiert auch Txnj

(‖iY (Txnj − Txni)‖ = ‖Txnj − Txni‖).

87

Page 88: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5. Kompakte Operatoren

5.1. Die Fredholmsche Alternative

Fur dimX <∞ gilt:

Tx = 0 hat x = 0 als einzige Losung, dann hat Tx = y ∀y ∈ X die Losung x = T−1y.

Verallgemeinerung fur dimX =∞ : T = Id−K (K kompakt).

Satz 5.6 (Fredholm Alternative)X Banachraum. K ∈ K(X) und T = Id−K. Dann gilt:

a) Im(T ) ist abgeschlossen.

b) dim ker(T ) <∞, codim Im(T ) <∞.

(codim Im(T ):= dim X/ Im(T ))

c) dim ker(T ) = codim Im(T ) = dim ker(T ∗) = codim Im(T ∗).

Insbesondere: T bijektiv ⇐⇒ T surjektiv ⇐⇒ T injektiv ⇐⇒ T ∗ bijektiv ⇐⇒ T ∗

surjektiv⇐⇒ T ∗ injektiv.

Beweisa) N = ker(T ) ist abgeschlossen, also ein Banachraum. Weiter gilt N = x : x = kx,

d.h. K|N = IdN . Da K kompakt, ist K|N kompakt und daher IdN kompakt. Also istdimN <∞.

Endlichdimensionale Teilraume sind komplementar, d.h. es exisieren abgeschlossene Teil-raume mit X = N ⊕R.

Sei T := T|R ∈ B(R, Im(T )).

Wir zeigen die Vollstandigkeit von Im(T ).

Sei T x = 0. Dann ist x ∈ ker(T ) und x ∈ R, also x = 0, d.h. T surjektiv.

Sei y ∈ Im(T ) mit Tx = y (∃x ∈ X).

Es gilt x = u︸︷︷︸∈N

+ v︸︷︷︸∈R

∈ N ⊕R und T v = T (x− u) = Tx = y =⇒ T bijektiv.

Annahme: T−1 ist nicht stetig.

Dann existiert yn = T xn ∈ Im(T ) so dass ‖yn‖ → 0 also ‖T−1yn‖ ≥ δ > 0 ∀n.

Setze xn = un + xn ∈ N ⊕R, dann

T−1yn = T−1T xn = T−1Txn = xn,

also ‖xn‖ ≥ δ.

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit sei ‖xn‖ beschrankt (sonst ersetze xnldurch xnl

‖xnl‖

und unldurch unl

‖xnl‖ und ynl

durch ynl‖xnl

‖ = T ( unl‖xnl

‖ + xnl‖xnl

‖)→ 0).

88

Page 89: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5.1. Die Fredholmsche Alternative

Da K kompakt ist existiert eine Teilfolge mit Kxnk

X−→ y. Da xnk− Kxnk

= Txnk=

ynk→ 0 und Kxnk

→ y folgt xnk→ y.

Dies bedeutet ‖y‖ ≥ δ und y ∈ R, da R abgeschlossen.

Außerdem gilt y = ky, d.h. y ∈ N

=⇒ y = 0, Widerspruch!

Also ist T−1 stetig.

Ist nun (yn) ⊂ Im(T ) mit yn → y, dann konvergiert T−1yn → T−1y =: x ∈ R. Es gibtalso

T T−1y = y = lim T T−1yn = limT T−1yn = Tx ∈ Im(T ).

b) Satz 5.5 liefert die Kompaktheit von K∗, d.h. es gibt dim ker(T ∗) < ∞. Mit Satz 3.20und Satz 3.40 folgt

ker(T ∗) = Im(T )⊥ ∼= (X/ Im(T ))∗︸ ︷︷ ︸dim =“= <∞

,

also ist X/ Im(T ) endlich-dimensional.

Weiter gilt dim ker(T ∗) = dim(X/ Im(T ))∗ L.A.= dimX/ Im(T ) = codim Im(T ).

c) Behauptung A: Es gibt Untervektorraume N und R von X, so dass dim N < ∞, Rabgeschlossen und X = N ⊕ R mit TN ⊂ N , TR ⊂ R und T|R : R → R ist einIsomorphismus. 3. Feb.

Setze T = T/N ∈ B(N).

Dann gilt:

i) dim(N/ Im(T )) = dim ker(T ) (Lineare Algebra)

ii) Behauptung A liefert fur x = x1 + x2 ∈ N ⊕ R.

Tx = 0 ⇐⇒ Tx2︸︷︷︸∈R

= −Tx1︸ ︷︷ ︸∈N

∈ N ∩ R = 0

⇐⇒ Tx2 = 0 = Tx1

⇐⇒ x2 = 0 (T/R isomorph)Tx1 = 0

⇐⇒ x ∈ N und T x = 0

=⇒ ker(T ) = ker(T ).

iii) Definiere φ : N/ Im()→ X/ Im(T ) durch φ(x+ Im(T )) := x+ Im(T ).

Da Im(T ) ⊆ Im(T ) ist φ wohldefiniert.

Außerdem ist φ linear.

Gilt φ(x + Im(T )) = 0 fur ein x ∈ N , so folgt x = Ty fur ein y ∈ X, zerlegey = y1 ⊕ y2 ∈ N ⊕ R.

89

Page 90: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5. Kompakte Operatoren

Dann: Ty2︸︷︷︸∈R

= x − Ty1 ∈ N und Ty2 ∈ R. Behauptung A =⇒ Ty2 = 0 und damit

auch y2 = 0.

Damit ist x ∈ Im(T ), also φ injektiv.

φ ist auch surjektiv, denn: Sei x ∈ X mit x = x1 + x2 ∈ N ⊕ R = N ⊕ TR. Damitgilt x1 + Im(T ) = x + Im(T ), also φ(x1 + Im(T )) = x + Im(T ). Es folgt damitdimX/ Im(T ) = dim N/ Im(T ) (<∞).

Insgesamt: codim Im(T ) = dim ker(T ).

Da K∗ ebenfalls kompakt ist (Schander) gilt codim Im(T ∗) = dim ker(T ∗) mit (*)folgt c)

Beweis von Behauptung A: Wir setzen Nk = ker(T k) und Rk = Im(T k) k ∈ N0.

Es gilt: 0 = N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ . . . und X = R0 ⊇ R1 ⊇ R2 ⊇ . . . .

Klar ist: TNk ⊆ Nk−1 ⊆ Nk und TRk = Rk+1 ⊆ Rk.

Weiter gilt: T k = (Id−K)k = Id−k∑j=1

(kj

)(−1)j+1Kj

︸ ︷︷ ︸kompakt

.

Das heißt nach a) und b) ist Rk abgeschlossen und dimNk <∞, codimRk <∞ ∀k ∈ N.

• 1. Schritt: Es gibt ein minimales n ∈ N mit Nn = Nn+j ∀j ∈ N.

Annahme: Nj ( Nj+1 ∀j ∈ N. D.h. es gibt ein xj ∈ Nj mit ‖xj‖ = 1 undd(xj , Nj−1) ≥ 1

2 .

Sei l > k ≥ 0. Dann gilt:

‖Kxl −Kxk‖ = ‖xl − (Txl + xk − Txk)︸ ︷︷ ︸∈Nl−1

‖ ≥ 12 .

=⇒ (Kxl) hat keine konvergente Teilfolge, Widerspruch zur Kompaktheit von K.

Das heißt: Nn = Nn+1 fur ein n ∈ N.

Sei x ∈ Nn+2, dann gilt Tx ∈ Nn+1 = Nn, also x ∈ Nn+1Induktion=====⇒ Nn+j = Nn.

• 2. Schritt: Es gibt ein minimales m ∈ N mit Rm = Rm+j ∀j ∈ N.

Beweis analog zum 1. Schritt.

• 3. Schritt Nn ∩Rn = 0, Nm +Rm = X.

Beweisx ∈ Nn ∩Rn. Dann gilt x = Tny fur ein y ∈ X und Tnx = 0, d.h. Tn Tny︸︷︷︸

=x

= 0, also

y ∈ N2n = Nn. Schritt 1 =⇒ x = Tny = 0.

Sei x ∈ X nach Schritt 2 gilt fur Tmx ∈ Rm auch Tmx ∈ R2m, d.h. Tmx = T 2my

90

Page 91: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5.1. Die Fredholmsche Alternative

fur ein y ∈ X. Dies ergibt:

x = (x− Tmy) + Tmy ∈ Nm +Rm

• 4. Schritt: n = m.

Annahme: n > m. Schritte 1+2 liefern, dass Rn = Rm gilt. Außerdem existiertx ∈ Nn \Nm. Nach Schritt 3 gibt es y ∈ Nm ⊆ Nn und z ∈ Rm = Rn mit x = y+ z,also z = x− y ∈ Nn und nach Schritt 3 folgt z = 0, d.h. x ∈ Nm, Widerspruch.

=⇒ n ≤ m.

Analog zeigt man ”n ≥ m“.

Setze nun N = Nn, R = Rn.

Schritte 3+4 =⇒ N ⊕ R = X und TN ⊆ N , TR = R.

Ist Tx = 0 fur ein x ∈ R, so gilt x = Tny fur ein y ∈ X. Dies ergibt y ∈ Nn+1 = Nn =⇒x = 0 also ist T injektiv.

Der Satz uber die stetige Inverse liefert die Invertierbarkeit.

Satz 5.7 (Spektrum kompakter Operatoren)X komplexer Banachraum mit dimX =∞, K ∈ K(X).

a) σ(K) = 0 ∪ λj : j ∈ J

λj 6= 0 und J hochstens abzahlbar (J =

∅1, . . . , nN

)

b) Ist λ ∈ σ(K)\0, so ist λ Eigenwert und es gilt dim ker(λ−K) = codim Im(λ−K) <∞.

c) 0 ist einziger moglicher Haufungspunkt von σ(K).

Beweisa) Annahme: 0 ∈ ρ(K), d.h. K−1 existiert =⇒ K−1K︸ ︷︷ ︸

kompakt

= IdX︸︷︷︸nicht kompakt

, Widerspruch!

Ist λ 6= 0, so gilt (λ−K) = λ(1− 1λK).

Satz 5.6 liefert, dass entweder λ ∈ ρ(K) oder λ ∈ σp(K) mit

dim ker(λ−K) = codim Im(λ−K) <∞.

Der Rest folgt aus∀k ∈ N ist λ ∈ σ(K) : |λ ≥ 1

n endlich.

91

Page 92: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5. Kompakte Operatoren

Annahme: Dies ist falsch.

Dann gibt es l ∈ N und λn ∈ C\B(0, 1l ) und xn ∈ X \0 mit Kxn = λnxn und λn 6= λm

fur n 6= m.

Lineare Algebra =⇒ xn, n ∈ N linear unabhangig.

Setze Xn := limx1, . . . , xn =⇒ X1 ( X2 ( . . . und KXn ⊆ Xn.

Lemma von Riesz ∃yn =∑n

j=1 αj,nxj ∈ Xn, ‖yn‖ = 1 und d(yn, Xn−1) ≥ 12 ∀n ∈ N.

Außerdem gilt: λnyn −Kyn =n∑j=1

αj,n(λn − λj)xj︸ ︷︷ ︸∈Xn−1

.

Fur n > m folgt

‖Kyn −Kym‖ = |λn|‖yn − 1λn

(λnyn −Kyn +Kym)‖︸ ︷︷ ︸∈Xn−1

≥ |λn|2 ≥

12l > 0

=⇒ (Kyn) keine konvergente Teilfolge, Widerspruch!

Beispiel 5.8k ∈ C([0, 1]2), X = C([0, 1]).

Dann ist K ∈ B(X) mit

Kf(t) =∫ t

0k(t, s)f(s)ds.

Es gilt sogar K ∈ K(X).

Weiter folgt:

|Knf(t)| ≤ tn‖k‖n∞n!

‖f‖∞ (Induktion).

Annahme: Es existiert λ ∈ σ(K) \ 0.

Satz 5.7 =⇒ ∃f ∈ X \ 0 mit Kf = λf .

=⇒ K2f = λ2f bzw. f = λ−nKnf .

Abschatzung liefert: ‖f‖∞ ≤ |λ|−n‖k‖n∞n! ‖f‖∞

n→∞−−−→ 0.

=⇒ f = 0, Widerspruch.

D.h. σ(K) = 0 und λf −Kf = g hat fur λ 6= 0 und g ∈ X eine eindeutig bestimmte Losung.6. Feb.

Beispiel 5.9Das Dirichlet-Problem

∆u(x) =∑3

i=1 ∂2i u(x) = 0 x ∈ Ω ⊂ R3

u(x) = ϕ(x) x ∈ ∂Ω(5.1)

92

Page 93: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5.1. Die Fredholmsche Alternative

Hierbei sei: Ω ∈ R3 offen, beschrankt und zusammenhangend. ϕ ∈ C(∂Ω)

Gesucht: u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω).

∂Ω ∈ C2 bedeutet: Zu jedem z ∈ ∂Ω gibt es eine offene Menge V ⊆ Rd und h ∈ C2(Rd−1,R)so dass (nach evtl Drehung und Spiegelung)

Ω ∩ V = x ∈ V : xd < h(x1, . . . , xd−1)︸ ︷︷ ︸=h(x′)

Dann: ∂Ω ∩ V = x ∈ V : xd = h(x′).

Die außere Normale an Ω ist gegeben durch

n(x) :=1√

1 + |∇h(x′)|2(−∇h(x′), 1) (lokal)

Fur Ω mit C2-Rand gilt:

Es gibt offene V1, . . . , Vm ⊆ Rd und U1, . . . , Um ⊆ Rd−1

und Parametrisierungen ψj ∈ C2b (Uj ,Rd) mit ∂Ω ⊆ V1 ∪ · · · ∪ Vm,

ψj : Uj → Vj ∩ ∂Ω bijektiv mit Lipschitz-stetiger Inversen und randDψj(x′) = d− 1.

Außerdem existieren αj ∈ C(∂Ω) mit suppαj ⊆ Vj , 0 ≤ αj ≤ 1 und∑m

j=1 αj(x) = 1 ∀x ∈ ∂Ω.

Fur f ∈ C(∂Ω), dann definieren wir∫∂Ω

fdσ :=m∑j=1

∫Uj

αj(ψj(x))f(ψj(x′))√

det(Dψj(x′))TDψj(x′)dx′

Behauptung 1: (5.1) hat hochstens eine Losung.

BeweisSeien u, v ∈ C2(Ω) ∩ (CΩ) zwei Losungen von (5.1). Dann ist w = u − v eine Losung von∆w = 0 in Ω, w = 0 auf ∂Ω. Gauß liefert:

0 =∫

Ω∆w · wdx =

∫Ω

div(w · ∇w)dx−∫

Ω∇w · ∇wdx

=∫∂Ωw · ∇w · ndσ −

∫Ω|∇w|2dx

= −∫

Ω|∇w|2dx

=⇒ ‖∇w‖22 = 0 =⇒ ∇w = 0 (da stetig)

Also w =konstant= 0, da w = 0 auf ∂Ω =⇒ u = v.

Behauptung 2: (5.1) hat eine Losung.

93

Page 94: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5. Kompakte Operatoren

BeweisSetze: γ(x) := 1

4π|x| x ∈ R3 \ 0 (Newton Potential). (Allgemein: γd(x) = 1Cd·|x|d−2 fur

d ≥ 3)

Definiere

k(x, y) :=∂

∂n(y)γ(x− y) = −(∇γ)(x− y) · n(y)

=1

4π|x− y|3· (x− y) · n(y) y ∈ ∂Ω, x ∈ Ω.

Rechnung:∆xk(x, y) = 0 ∀x 6= y

Suche f ∈ C(∂Ω), so dass

F (x) =∫

Ωk(x, y)f(y)dσ(y)

eine Losung fur (5.1) liefert.

Es gilt dann:∆F (x) = 0 ∀x ∈ R3 \ ∂Ω.

Brauchen also noch limx→y F (x) = ϕ(y) y ∈ ∂Ω.

Dann ist

u(x) =

F (x), falls x ∈ Ωϕ(x), falls x ∈ ∂Ω

eine Losung von (5.1).

Sei ψ eine Parametrisierung von ∂Ω. Die Tangentialebene ist aufgespannt von vk = ∂∂xk

ψ k =1, 2.

Sei y = ψ(t) und x = ψ(s), t, s ∈ R2.

=⇒ x = y +Dψ(t)(t− s) + r(|s− t|) mit r(|u|) ≤ C|u|2 ≤ C|x− y|2 und Dψ(t)(s− t)⊥n(y).

Damit: |k(x, y)| ≤ c|x−y| x, y ∈ ∂Ω.

SetzeTf(x) :=

∫∂Ωk(x, y)f(y)dσ(y) x ∈ ∂Ω, f ∈ C(∂Ω) = X.

Behauptung: Integral existiert.

x ∈ ∂Ω, ρ > 0 =⇒ ∃δ ≤ c · ρ → 0 fur ρ → 0 und U ⊆ B(0, δ) und eine Parametrisierungψ : U → ∂Ω ∩B(x, ρ) mit∫

∂Ω∩B(x,ρ)

1|x− y|

dσ(y) ≤ C1

∫B(0,δ)

1|z|dz1, dz2 ≤ C2

∫ δ

0

1rrdr = C3 · ρ.

Also existiert∫∂Ω k(x, y)f(y)dσ(y).

94

Page 95: Funktionalanalysis (Heck;2009)

5.1. Die Fredholmsche Alternative

Behauptung 3: T ∈ K(X).

BeweisSei fn ∈ X beschrankte Folge. y → x in ∂Ω und r ∈ (0, 1] mit y ∈ B(x, r).

Fur z /∈ B(x, 2r) gilt:

|k(y, z)− k(x, z) =∣∣∣∫ 1

0∇k(x+ t(y − x), z) · (y − x)dt

∣∣∣ ≤ C · r−3|x− y|

Insgesamt folgt

|Tfn(y)− Tfn(x)| ≤∫∂Ω\B(x,2r)

|k(y, z)− k(x, z)||fn(z)|dz

+∫∂Ω∩B(x,2r)

(|k(y, z)|+ |k(x, z)|)|fn(z)|dz

≤ Cr−3|x− y|+ Cr

Wahle: r so dass Cr ≤ ε2 . Dann wahle y ∈ B(x, η), η ≤ r mit Cr−3η ≤ ε

2 .

Also gilt |Tfn(y)− Tfn(x)| ≤ ε fur |y − x| ≤ η.

Arzela-Ascoli (1.50) liefert T ∈ K(X).

Weiter gilt:

Tf(x) =12f(x) + lim

y→x,y∈ΩF (y)

Tf(x) = −12f(x) + lim

y→x,y /∈ΩF (y)

fur x ∈ ∂Ω und f ∈ X.

D.h. limx→y F (x) = ϕ(y) ⇐⇒ ϕ = Tf − 12f .

Annahme: f ∈ X lost 0 = Tf − 12f .

u =

F (x), falls x ∈ Ωϕ(x), falls x ∈ ∂Ω

lost dann (5.1) mit ϕ = 0. Also gilt auch F (x) = 0.

Ahnlich folgt F (x) = 0 x ∈ R3 \ Ω.

Damit gilt f(y) = −f(y) ∀y ∈ ∂Ω. Also f(y) = 0 fur y ∈ ∂Ω.

T kompakt und ker(12 − T ) = 0 liefert, dass ϕ = Tf − 1

2f losbar fur jedes ϕ ∈ X ist.

D.h. (5.1) hat fur ϕ ∈ C(∂Ω) eine eindeutig bestimmte Losung u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω).

95

Page 96: Funktionalanalysis (Heck;2009)
Page 97: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6. Unbeschrankte Operatoren

10. Feb.

6.1. Abgeschlossene Operatoren

Definition 6.1Ein Operator ist eine lineare Abbildung A : D(A)︸ ︷︷ ︸

⊂X

→ X.

D(A) heißt Definitionsbereich von A.

A heißt abgeschlossen, falls fur jede Folge (xn) ⊂ D(A) mit limn→∞

xn = x und limr→∞

Axn = y

auch x ∈ D(A) und Ax = y.

Bemerkung 6.2a) Ein Operator A ist abgeschlossen⇐⇒ Der Graph von A ist abgeschlossen.

G(A) := (x,Ax) : x ∈ D(A) ⊆ X ×X.

b) Ist D(A) ⊆ X abgeschlossen, so ist A beschrankt genau dann, wenn A abgeschlossen ist(Satz von abgeschlossenen Graphen).

c) Auf D(A) ist durch||x||A := ‖x‖X + ‖Ax‖X

eine Norm definiert.

Sie heißt Graphennorm von A.

Beispiel 6.3X = C([0, 1])

a) Definiere A durch D(A) := C1([0, 1]), Af := f ′.

Graphennorm: ‖f‖A := ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞ = ‖f‖C1 .

Da C1 vollstandig ist, ist A abgeschlossen.

b) Definiere A0 durch D(A0) := C∞([0, 1]), A0f = f ′.

Dann ist A0 nicht abgeschlossen.

Definition 6.4Seien A,B Operatoren auf X.

a) B heißt Erweiterung (bzw. Fortsetzung) von A, falls D(A) ⊂ D(B) und Ax =Bx x ∈ D(A) (Symbol: A ⊂ B).

b) A und B sind gleich, falls A ⊂ B und B ⊂ A gilt.

97

Page 98: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6. Unbeschrankte Operatoren

Satz und Definition 6.5Ein Operator heißt abschließbar, falls es einen abgeschlossenen Operator B gibt mitA ⊂ B.

Ist A abschließbar, so gibt es eine kleinste abgeschlossene Erweiterung A, d.h A istabgeschlossen und A ⊂ B fur alle abgeschlossenen Erweiterungen von A.

BeweisUbung.

Lemma 6.6 (Abschließbarkeit)a) A : D(A) → X ist abschließbar ⇐⇒ fur xn ∈ D(A) mit xn → 0 und Axn → y gilt

y = 0.

b) A ist abschließbar⇐⇒ Es gibt einen abgeschlossenen Operator B mit σ(A) = σ(B).

In diesem Fall gilt B = A.

Beispiel 6.7a) A0 aus Beispiel 6.3 ist abschließbar und A0 = A.

b) X = C([0, 1]), D(A) = C1([0, 1]), Af := f ′(0) · 1.

Dann ist A nicht abschließbar.

Denn: Wahle fn(x) =

x, x ∈ (0, 1

n

−x+ 2n , x ∈ [ 1

n ,2n)

0, sonst

. Die Funktion ist zwar nicht aus C1, wenn

man aber die Ecken entsprechend abrundet, ist sie es.

Dann gilt ‖fn‖∞ → 0, aber f ′n(0) = 1, also Afn = 1 6→ 0.

6.2. Das Spektrum

X komplexer Banachraum.

Wir definieren

ρ(A) := λ ∈ C : λ Id−A : D(A)→ X hat eine beschrankte Inverse (λ Id−A)−1 ∈ B(X)σ(A) := C \ ρ(A)

Lemma 6.8X Banachraum. A : D(A)→ X Operator. λ0 ∈ ρ(A).

98

Page 99: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6.2. Das Spektrum

Fur λ ∈ C mit |λ− λ0| < ‖R(λ0, A)‖−1 gilt λ ∈ ρ(A) mit

R(λ,A) =∞∑n=0

(λ0 − λ)nR(λ0, A)n+1,

d.h. R(·, A) ist holomorph in ρ(A).

BeweisNeumann-Reihe.

Insbesondere folgt dist(λ, σ(A)) ≥ ‖R(λ,A)‖−1 λ ∈ ρ(A).

Korollar 6.9Es sei (λn) ⊆ ρ(A) mit λ = lim

n→∞λn. Gilt sup

n∈N‖R(λn, A)‖ <∞, so gilt λ ∈ ρ(A).

Beispiel 6.10(σ(A) = ∅)

X = C([0, 1]), D(A) = f ∈ C1([0, 1]), f(1) = 0, Af = f ′.

Dann ist σ(A) = ∅.

BeweisFur λ ∈ C und u(x) =“R(λ,A)f(x)“=

∫ 1x e

λ(x−y)f(y)dy gilt u′(x) = λu(x)− f(x) (da u(1) =0).

Also gilt Au(x) = λu(x)− f(x), d.h. f = (λ−A)u.

Außerdem: ‖u‖∞ ≤ e2‖f‖∞.

Satz 6.11 (Spektralabbildungsatz fur die Resolvente)Es sei λ0 ∈ ρ(A). Dann gilt:

a) σ(R(λ0, A)) \ 0 = (λ0 − λ)−1 : λ ∈ σ(A).

b) σp(R(λ0, A)) \ 0 = (λ0 − λ)−1 : λ ∈ σp(A).

Beweisa) Ist µ ∈ ρ(A), µ 6= λ0, dann gilt( 1

λ0 − µ−R(λ0, A)

)−1= (λ0 − µ)(λ0 −A)R(µ,A) (6.1)

• ”⊂“: ν ∈ σ(R(λ0, A)) ν 6= 0.

Annahme: ν /∈ (λ0 − λ)−1 : λ ∈ σ(A)

d.h. λ0 − 1ν ∈ ρ(A) ((λ = λ0 − 1

ν ).

Wegen (6.1) folgt ν ∈ ρ(R(λ0, A)), Widerspruch!

99

Page 100: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6. Unbeschrankte Operatoren

• ”⊇“: Sei µ = (λ0 − λ)−1 mit λ 6= λ0.

Ist µ ∈ ρ(R(λ0, A)), so gilt λ ∈ ρ(A) (Mit λ = M und (6.1) : R(λ,A) = (λ0 −λ)−1(λ0 −A)−1( 1

λ0−λ −R(λ0, A))−1 = µR(λ0, A)(µ−R(λ0, A))−1).

6.3. Operatoren mit kompakter Resolvene

Definition 6.12Ein Operator A : D(A) → X hat kompakte Resolvente, falls ρ(A) 6= ∅ und R(λ;A) kompaktist fur alle λ ∈ ρ(A) (fur ein λ ∈ ρ(A)).

Satz 6.11 und Satz 5.7 liefern:

Satz 6.13A Operator mit kompakter Resolvente. Dann gilt:

a) σ(A) = σp(A).

b) σ(A) endlich oder ∃λn ∈ C mit limn→∞

|λn| =∞ und σ(A) = λn.

c) dim ker(λ−A) <∞.

13. Feb.

6.3.1. Etwas Hilbetraumtheorie

Definition 6.14Sei H Hilbertraum, A : D(A)→ H heißt dissipativ, falls Re(Ax|x) ≤ 0 (x ∈ D(A)).

A heißt m-dissipativ, falls zusatzlich Id−A surjektiv ist.

Satz 6.15Es sei A dissipativ mit λ−A surjektiv fur ein λ ∈ C, Reλ > 0.

Dann ist µ ∈ ρ(A) fur jedes µ mit Reµ > 0 und es ist

‖R(µ,A)‖ ≤ 1Reµ

.

BeweisSei µ ∈ C+ = z ∈ C : Re z > 0, x ∈ D(A) und µx−Ax =: y. Dann gilt

Reµ‖x‖2 = Re(µx|x) = Re(y +Ax|x) = Re(y|x) + Re(Ax|x)dissip.≤ Re(x|y)

c.s.≤ ‖x‖‖y‖.

100

Page 101: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6.4. Der Laplace-Operator im Eindimensionalem

=⇒ (Reu)‖x‖ ≤ ‖y‖.

Fur µC+ ∩ ρ(A) =: M gilt also

‖R(µ,A)‖ ≤ 1Reµ

(6.2)

ρ(A) ist offen, also ist M relativ offen in C+. Wegen (6.2) und Korollar 6.9 ist M auch abge-schlossen in C+.

Es gilt: M 6= ∅, M abgeschlossen und offen in C+, C+ zusammenhangend

=⇒ M = C+.

6.4. Der Laplace-Operator im Eindimensionalem

[Af = f ′′ auf L2]

6.4.1. Sobolev-Raume

Bemerkung: C1C(a, b) = f ∈ C1[a, b] : ∃ε > 0 : f = 0 auf [a, a+ ε] ∪ [b− ε, b]

Dann gilt: C1C(a, b) ⊆ L2(a, b) dicht.

Ist f ∈ C1[a, b], so gilt fur ϕ ∈ C1C(a, b).

−∫ b

afϕ′dx =

∫ b

af ′ϕdx (6.3)

Definition 6.16Eine Funktion f ∈ L2(a, b) heißt schwach differenzierbar, falls es ein f ′ ∈ L2(a, b) so gibt,dass (6.3) fur alle ϕ ∈ C1

C(a, b) gilt.

Wir definieren:

H1(a, b) := f ∈ L2(a, b) : f ist schwach differenzierbarH2(a, b) := f ∈ H1(a, b) : f ′ ∈ H1(a, b)

Bemerkung 6.17a) (f |g)H1 := (f |g)L2 + (f ′|g′)L2 definiert ein Skalarprodukt auf H1. H1 ist damit ein Hil-

bertraum.

b) Ist w ∈ H1(a, b) mit w′ = 0, so ist w konstant.

Satz 6.18a) g ∈ L2, c ∈ C, dann ist

f(x) = c+∫ x

ag(y)dy ∈ H1(a, b)

mit f ′ = g.

101

Page 102: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6. Unbeschrankte Operatoren

b) Ist f ∈ H1(a, b), so gilt

f(x) = c+∫ x

af ′(y)dy

fur ein c ∈ C.

Beweisa) Sei ϕ ∈ C1

C(a, b). Fubini liefert

−∫ b

af(x)ϕ′(x)dx = −

∫ b

a

∫ x

ag(y)dyϕ′(x)dx− c

∫ b

aϕ′(x)dx

= −∫ b

a

∫ b

yϕ′(x)dxg(y)dy =

∫ b

aϕ(y)g(y)dy

=⇒ f ′ = g.

b) Sei f ∈ H1(a, b). Dann ist

w(x) = f(x)−∫ x

af ′(y)dy ∈ H1(a, b)

und w′ = f ′ − f ′ = 0.

Bem 6.17=====⇒ w konstant.

Satz 6.19Die Einbettung H1(a, b) → C[a, b] ist kompakt.

BeweisFur f ∈ BH1 = f ∈ H1(a, b) : ‖f‖H1 ≤ 1 gilt:

|f(x)− f(y)| = |∫ y

xf ′(t)dt|

C.S.≤ |x− y|

12 ‖f‖L2 ≤ |x− y|

12 .

B ist also gleichgradig stetig.

Satz 6.18 liefert die Beschranktheit von B in C([a, b]). Arzela-Ascoli (1.50) liefert nun dieBehauptung.

Bemerkung: Die Aussage gilt nur fur dim Ω = 1.

Lemma 6.20Fur f, g ∈ H1(a, b) gilt

a) f · g ∈ H1(a, b) mit (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ (Produktregel).

b)∫ ba f · g

′ = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ ba f′g (Partielle Integration).

BeweisUbung

102

Page 103: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6.4. Der Laplace-Operator im Eindimensionalem

6.4.2. Der Dirichlet-Laplace-Operator

Wir definierenH1

0 (a, b) := f ∈ H1(a, b) : f(a) = f(b) = 0.

H10 (a, b) ⊆ H1(a, b) und abgschlossen.

Satz 6.21 (Dirichlet-Laplace)Definiere A auf L2(a, b) durch

D(A) = H2(a, b) ∩H10 (a, b)

Af = f ′′ im schwachen Sinne

Dann ist A m-dissipativ, symmetrisch und hat kompakte Resolvente.

Beweisa) A dissipativ und symmetrisch:

Es seien f, g ∈ D(A), dann gilt

(Af |g)L2 =∫ b

af ′′gdx = f ′g|ba −

∫ b

af ′g′dx

= −∫ b

af ′g′dx =

∫ b

afg′′dx = (f |Ag)L2

(da g(b) = g(a) = f(b) = f(a) = 0).

=⇒ Symmetrie.

Da (Af |f) = −‖f ′‖2L2 ≤ 0, folgt die Dissipativitat.

b) Surjektivitat von Id−A:

Es sei g ∈ L2(a, b). Dann definiere

φg(f) =∫ b

afgdx eine stetige Linearform

auf H10 (a, b) (φ ∈ H1

0∗).

Der Satz von Frechet-Riesz (4.14) liefert ein G ∈ H10 so, dass∫ b

afgdx = φg(f) = (f |G)H1

0=∫ b

afGdx+

∫ b

af ′ · G′dx

Ersetze f durch f , dann gilt∫f gdx =

∫f Gdx+

∫f ′G′dx ⇐⇒

∫f · gdx =

∫f ·Gdx+

∫f ′ ·G′dx

103

Page 104: Funktionalanalysis (Heck;2009)

6. Unbeschrankte Operatoren

also−∫f ′ ·G′dx =

∫f(G− g)dx (f ∈ C1

C(a, b))

d.h. G− g = G′′, also folgt G ∈ H2(a, b) und G′′ = G− g bzw. G ∈ D(A), G−AG = g.

c) Kompaktheit der Resolvente:

Definiert man auf D(A) die Norm

‖f‖D(A) := ‖f‖L2 + ‖f ′‖L2 + ‖f ′′‖L2 ,

so ist D(A) ein Banachraum und es gilt D(A) → H1 ist stetig.

Weiter gilt C[a, b] → L2(a, b) stetig, also folgt H1(a, b) → L2(a, b) kompakt (da IdH1→L2

= IdC→L2︸ ︷︷ ︸stetig

IdH1→C︸ ︷︷ ︸kompakt

)

Damit giltIdH1→L2︸ ︷︷ ︸kompakt

IdD(A)→H1︸ ︷︷ ︸stetig

(λ−A)−1 ist kompakt

D.h. (λ−A)−1 : L2 → L2 kompakt.

d) Zusatz:

ρ(A) ⊇ C+ (nach Satz 6.15)σp(A) = σ(A) diskret mit lim

n→∞|λn| → ∞ (nach Satz 6.13).

104

Page 105: Funktionalanalysis (Heck;2009)

A. Satz um Satz

1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.25. Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.27. Existenzsatz des Lebesgue-Borel-Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.28. und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.33. Satz von Beppo Levi (bzw. der monotonen Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.34. Majorisierten Konvergenz, Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.39. Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.42. Radon-Nikodyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.50. Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.54. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.66. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

105

Page 106: Funktionalanalysis (Heck;2009)

A. Satz um Satz

1.67. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1. Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5. Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.12. Neumann Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.15. Satz von der offenen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.19. Satz um abgeschlossenen Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4. Ordnungstheoretische Version von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6. Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.16. Trennungsversion von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.31. Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.32. Banach-Alaoglou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

106

Page 107: Funktionalanalysis (Heck;2009)

4.3. Cauchy-Schwarz-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.7. Parallelogrammgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.10. Projektionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.14. Frechet-Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5. Schander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6. Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.7. Spektrum kompakter Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.11. Spektralabbildungsatz fur die Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.21. Dirichlet-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

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B. Vorlesungsverzeichnis

1. Vorlesung am 21. Oktober 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Vorlesung am 24. Oktober 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. Vorlesung am 28. Oktober 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Vorlesung am 31. Oktober 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165. Vorlesung am 4. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196. Vorlesung am 7. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217. Vorlesung am 11. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248. Vorlesung am 14. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279. Vorlesung am 18. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910. Vorlesung am 21. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211. Vorlesung am 25. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412. Vorlesung am 28. November 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913. Vorlesung am 2. Dezember 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114. Vorlesung am 5. Dezember 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4415. Vorlesung am 9. Dezember 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916. Vorlesung am 12. Dezember 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5117. Vorlesung am 16. Dezember 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5418. Vorlesung am 19. Dezember 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719. Vorlesung am 23. Dezember 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6020. Vorlesung am 9. Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6221. Vorlesung am 13. Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6522. Vorlesung am 16. Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7123. Vorlesung am 20. Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7424. Vorlesung am 23. Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7725. Vorlesung am 27. Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8126. Vorlesung am 30. Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627. Vorlesung am 3. Februar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8928. Vorlesung am 6. Februar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9229. Vorlesung am 10. Februar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9730. Vorlesung am 13. Februar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

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Abbildungsverzeichnis

1.1. ∂B(x, r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. ϕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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Stichwortverzeichnis

(X,||·||), 7A ⊂ B, 97AC , 10A⊥, 56, 72B(X), 30B(X,Y ), 30B(x, r), 10Cα([a, b]), 20Ck([0, 1]), 20G(A), 97H1(a, b), 101H2(a, b), 101H1

0 (a, b), 103L(X,Y ), 29Lp(A), 26R, 42R(λ, T ), 66T ∗y∗, 62Tx, 29X/Y , 35X → Y , 33X ∼= Y , 33X∗, 30, 47X∗ ist normierend, 51X∗ ist punktetrennend, 51X∗∗, 57X1 ⊕X2, 34[f ]α, 20Π, 35hAx, x∗B, 47∫

(a,b), 24∫∂Ω fdσ, 93∫fdλ, 23

K-wertige Folge, 18λB, 22B(x, r), 10N , 12N , 11K(X,Y ), 85Lp(A), 25

NA, 25Im(T ), 33Lip([a, b]), 20codim Im(T ), 88linB, 28supp f , 16∂N , 12∂Ω ∈ C2, 93φ(y), 75ker(T ), 33ρ(A), 98ρ(T ), 66σ-Algebra, 21σ(T ), 66σp(T ), 66σr(T ), 66σap(T ), 66ϕy∗(x), 62⊥B, 56a⊥b, 72c, 18c0, 18c0(R), 20cb(R), 20c00, 18d(x, Y ), 35iX(x), 57k(x, y), 94l∞, 18lp, 18m-dissipativ, 100n(x), 93pA, 54r(T ), 68xn x, 59xn

σ−→ x, 59x∗n

∗−→ x∗, 59

x∗nσ∗−→ x∗, 59

aquivalent, 16außere Normale an Ω, 93

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Stichwortverzeichnis

||f ||α, 20||f ||Ck , 20||f ||Lip, 20||x||, 7||x||1, 18||x||∞, 18||f ||1, 9||f ||∞, 8||x||p, 8||x||∞, 8||T ||, 30||x||, 35||f +NA||p, 26||x||A, 971. Kategorie, 392. Kategorie, 39

abgeschlossen, 97abgeschlossen in, 10abgeschlossene Kugel, 10abschließbar, 98Abschluss, 12absorbierend, 54Adjungierte, 62Algebra, 21Annihilatoren, 56approximatives Punktspektrum, 66

Banachraum, 7beschrankt, 29Bessel-Ungleichung, 76Bidual, 57Bild, 33Borelmengen, 21

Cantor-Argument, 29Cauchy-Folge, 7, 9Cauchy-Schwarz Ungleichung, 19

Definitheit, 7, 9Definitionsbereich, 97Diagonalfolge, 61dicht in, 16direkte Summe, 34Dirichlet-Problem, 92Diskrete Metrik, 10dissipativ, 100Dreiecksungleichung, 7, 9Dualitatspaarung, 47Dualraum, 30

Eigenwerte, 66Einbettung, 33einfach, 22Erweiterung, 97

fast uberall, 24feiner als, 33fett, 39folgenkompakt, 26Fortsetzung, 31, 97Frechet-Metrik, 10Funktionale, 30

gleich, 97gleichgradig stetig, 28gleichmaßig beschrankt, 40gleichmaßig stetig, 14grober als, 33Graph, 44, 97Graphennorm, 97

Holder Ungleichung, 19Holder-stetiger Funktionen, 20Halbnorm, 7Hilbertraum, 72Hilbertraum-Adjungierte, 79Homogenitat, 7

Innere, 11innerer Punkt, 10Integraloperatoren, 32integrierbar, 23, 24invertierbar, 33Isometrie, 33Isomorphismus, 33

Kern, 33kleinste abgeschlossene Erweiterung, 98kompakt, 26, 85komplementiert, 53Kontraktion, 33konvergent, 9konvergiert gegen, 7konvergiert schwach gegen, 59konvergiert schwach∗ gegen, 59konvergiert stark, 40, 86

Laplace Operator, 32Lebesgue-Borel-Maß, 22Lebesgue-Maß auf Rd, 22

mager, 39

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Stichwortverzeichnis

maximal, 76Maximumsnorm, 8messbar, 22, 24Metrik auf, 9metrischer Raum, 9Minkowski Ungleichung, 19Minkowski-Funktional, 54Multiplikationsoperatoren, 31

Neumann Reihe, 42Newton Potential, 94nirgends dicht, 39Norm, 7normal, 80normierter Vektorraum, 7

offen, 10, 43ONB, 76ONS, 73Operator, 32, 97Operatornorm, 30orthogonal, 72, 74orthogonale Komplement, 73Orthonormalbasis, 76Orthonormalsystem, 73

p-Norm, 8Partielle Integration, 102Passeval-Gleichung, 78Polare, 56positiv definit, 71Prahilbertraum, 72Produktregel, 102Projektion, 34Punktspektrum, 66punktweise beschrankt, 28, 40Pythagoras, 73

Quotientenabbildung, 35Quotientenklassen, 35Quotientennorm, 35

Rand, 12reflexiv, 58relativ kompakt, 26Residualspektrum, 66Resolvente, 66Resolventenmenge, 66

Satz von abgeschlossenen Graphen, 97schwach differenzierbar, 101

selbstadjungiert, 80separabel, 28Sesquilinearform, 71Skalarprodukt, 71Spektralradius, 68Spektrum, 66stark stetige Operatorgruppe, 41Starke Konvergenz, 86stetig, 13stetig bezuglich λ, 26stetig in, 13sublinear, 49Supremumsnorm, 8Symmetrie, 9symmetrisch, 40

Teilraum-Metrik, 10Trager von f , 16translationsinvariant, 22trennt, 54Treppenfunktion, 23

Umgebung von, 10umgekehrte Dreiecksungleichung, 7unbedingt gegen x ∈ X konvergiert, 76unitar, 80

Vervollstandigung, 22vollstandig, 7, 9

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Page 117: Funktionalanalysis (Heck;2009)

Literaturverzeichnis

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Rud91 Rudin, Walter: Functional Analysis. 2nd edition. New York [u.a.] : McGraw-Hill,1991. – ISBN 978–0–07–054236–5

Sch08 Schnaubelt, Roland: Skriptum zur Vorlesung Funktionalanalysis (WS 2006/2007).http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/mi1weis/~schnaubelt/media/faskript.pdf. Version: Marz 2008, Abruf: 28.2.2009

Wer07 Werner, Dirk: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Berlin [u.a.] : Springer,2007. – ISBN 978–3–540–72533–6

Yos95 Yoshida, Kosaku: Functional Analysis. Reprint of the 6th edition 1980. Berlin ;Heidelberg [u.a.] : Springer, 1995. – ISBN 978–3–540–58654–8

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