Funktionale Abhängigkeiten verstehen

Gestaltung eines Längsschnittsvon der 1. bis zur 8. Klasse

Franz Embacher

franz.embacher@univie.ac.at

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Fakultät für Physikder Universität Wien

Vortrag auf der Lehrerfortbildungstagung der ÖMGFakultät für Mathematik der Universität Wien, 13. April 2007

Inhalt

• Werkzeuge und Medien, Lernkultur, Lernpfade und langfristige Planung

• Funktionale Abhängigkeiten im Mathematikstoff• Kompetenzen• Darstellungsformen und Prototypen• Die Rolle des Werkzeugs• Fächerübergreifende Bezüge• Nachhaltigkeit und Evaluation• Ausblick

Werkzeuge, Medien und Lernkultur

• mathe onlinehttp://www.mathe-online.at/

• ACDCAhttp://www.acdca.ac.at/

• GeoGebrahttp://www.geogebra.org/

• Medienvielfalt im Mathematikunterrichthttp://www.austromath.at/medienvielfalt/

Gemeinsames Projekt:

Verschiedene Ansätze:

Lernpfade

• http://www.mathe-online.at/lernpfade/• Ursprüngliches Konzept:

Lernpfad = Abfolge von Hinweisen auf und Anmerkungen zu digitalen Ressourcen

• Lernpfad-Tool, in didaktischer und technischer Hinsicht offen, steht allen NutzerInnen zur Verfügung

• Organisierung von Lernprozessen• Derzeit etwa 50 Lernpfade zu den

verschiedensten Themen, erprobt in einigen Projekten

Lernpfade in mathe online:

Lernpfade

Medienvielfalts-Lernpfade:

• http://www.austromath.at/medienvielfalt/ • schülerInnenzentrierte Lernformen,

methodisch-didaktische Vorschläge• Derzeit 14 Lernpfade (online und auf CD)• Umfangreiche Praxistests und Evaluationen

Wiki-basierte-Lernpfade („Pentagramm-Gruppe“, BRD):

• http://www.zum.de/wiki/index.php/Pentagramm-Projekt• Ressourcen unter http://www.mathematik-digital.de/

Lernpfade

• "Projektartige" Unterrichtsphase von einigen Stunden (maximal Wochen)

• Vertrautheit mit eingesetzten Werkzeugen und den angewandten Methoden

• Einzelne Themen, Techniken und Ressourcen können in Lernpfade eingebettet werden.

• Langfristige Verfügbarkeit der Inhalte• Langfristige Verfügbarkeit SchülerInnen-Dokumentation

Basis für langfristige Unterrichtsplanung:

Lernpfade

• Von Zeit zu Zeit stattfindende Lernpfad-Phasen werdenzu einem langfristigen Bestandteil des Unterrichts.

• Anschlusspunkte, die an früher Gelerntes anschließen bzw. zu einer späteren Zeit wieder aufgenommen werden können (z.B. durch eine geeignete Planung der schriftlichen Fixierung des Gelernten, etwa in Form von Ausarbeitungen, Reflexionen und Formelsammlungen)

Möglichkeiten:

Lernpfade

• Weil (Mathematik-)Lernen ein langfristiger Prozess ist.• Digitale Medien und Neue Lernkultur sind weder

notwendig noch hinreichend für das Gelingen, bieten aber eine Reihe neuer Möglichkeiten.

• Fachdidaktische Prinzipien ausschöpfen!

Warum?

Tools

• Lernplattformen• Content-Management-Systeme• ePortfolios• Individuelle oder schulspezifische Lösungen

Unterstützung durch zusätzliche Tools:

Mathematikstoff

• Mathematische Ideen, Themenstellungen und Methoden werden des Öfteren wiederaufgenommen, aber jedes mal mit einem Lernziel auf einer höheren Stufe verbunden.

Spiralprinzip:

Beispiel: Unterstufenlehrplan

• Zahlen und Maße• Variable• Figuren und Körper• Modelle und Statistik

Unterstufe

Zahlenund Maße

VariableFigurenund Körper

Modelle,Statistik

Rechenoperationen

Formeln,Abhängigkeiten

Umfangs-,Flächen- undVolumsformeln

Maßstab

Grafische Darstellung von Datenmengen

DirekteProportionalitäten

Tabellen

Rechenoperationenmit Brüchen

Formeln, Gleichungen,Abhängigkeiten

Flächen- undVolumsformeln

Direkte und indirekteProportionalitäten

Grafische Darstellung von Datenmengen Tabellen

Rechenoperationenmit rationalen Zahlen

Formeln, Gleichungen,Abhängigkeiten

Vergrößern undverkleinern, ähnliche Figuren

Formelmäßige undgrafische Darstellung vonAbhängigkeiten

Lineare Wachstums- undAbnahmeprozesse

Rechenoperationenmit reellen Zahlen,Wurzelziehen

Formeln, Gleichungen,Abhängigkeiten

Längen, Flächen,Oberflächen,Volumina

IntuitiverFunktionsbegriff

Wachstums- undAbnahmeprozesse

Untersuchen u. darstellen v.Datenmengen u. Abhängigk.

4. Klasse

3. Klasse

2. Klasse

1. Klasse

Themen/Lernziele

Mathematikstoff

• Arbeiten mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen (5. Klasse)

• Anwenden von Funktionen zur Beschreibung kontinuierlicher Prozesse, Vergleichen von Modellen, Erkennen der Grenzen von Modellbildungen (6. Klasse)

• Kennenlernen von Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs (6. Klasse)

• umfassendes Wiederholen, Vertiefen und Vernetzen von Stoffgebieten (8. Klasse)

Oberstufenlehrplan:

Kompetenzen

• Allgemeine kognitive Leistungsfähigkeit• Reproduzieren, Anwenden• Modellieren, Argumentieren, Interpretieren, Argumentieren• Zusammenhänge herstellen, Vertiefen (z.B. das Öffnen

von Black-Boxes), Verallgemeinern, Exaktifizieren• Sprachkompetenz• Umgang mit Texten (lesen, schreiben)• Werkzeugkompetenz

Spiralprinzip auch anwendbar auf

sowie auf Lern- und Sozialformen.

Darstellungsformen und Prototypen

• Tabelle• Wortformel• Graph• Zuordnungsdiagramm• Formel (Term, „Funktionsgleichung“)• (Computer-)Programm• Rekursives Modell• DynaGraph

Prototypen des Funktionsbegriffs:

Darstellungsformen und Prototypen

Der Zahlenstrahl

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/zahlenstrahl/zahlenstrahl.html

Zahlen und die Zahlengerade

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/zahlen/zahlen.html

Rechenoperationen mit ganzen Zahlen

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/rechenoperationenG/rechenoperationenG.html

Rechenoperationen

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/rechenoperationen/rechenoperationen.html

Potenzen

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/potenzen/potenzen.html

Der Mittelwert am Zahlenstrahl

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/mittelwertZstr/mittelwertZstr.html

Was ist der Mittelwert?

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/mittelwert/mittelwert.html

Zum DynaGraph-Prototyp:

Darstellungsformen und Prototypen

Lineare Gleichung

http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/lineareGleichung/lineareGleichung.html

Funktionale Abhängigkeiten verstehen (DynaGraph)

http://www.mathe-online.at/galerie/fun1/fun1.html#FunktAbh

Ableitungen messen

http://www.mathe-online.at/galerie/diff1/diff1.html#ablMess

Partielle Ableitungen messen

http://www.mathe-online.at/galerie/partdiff/partdiff.html#partAblMess

Lineare Abbildung

http://www.mathe-online.at/galerie/linalg/linalg.html#lineareAbbildung

Zum DynaGraph-Prototyp:

Themen von der 1. bis zur 8. Klasse:

„Konstanz der Darstellungsform“ (neben anderen)unterstützt die Begriffsbildung und die Problemlösekompetenz.

Die Rolle des Werkzeugs

• Computeralgebra• Spezialisierte Werkzeuge

„Konstanz des Werkzeugs“

Beispiel: Abhängigkeit von einem Parameter

• Excel-Plotterhttp://www.mathe-online.at/ (Link auf der Welcome Page)

• Einsatz ab der 4. Klasse

Fächerübergreifende Bezüge

• Die harmonische Schwingunghttp://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/

• Beschreibung von Bewegungenhttp://www.mathe-online.at/lernpfade/Bewegungen/

Beispiele (Bezüge zum Physikunterricht):

Stehen permanent zur Verfügung, erleichtern Planung

und Koordinierung.

Nachhaltigkeit und Evaluation

• Langfristige Überprüfung des Lernertrags(„Evaluation“, nicht „Test“!) einige Monate danach

• Vorschlag: Mit Lernpfaden Vorlagen für einespätere Evaluation mitliefern?

• Interaktive Tests, z.B.http://www.mathe-online.at/tests.html

Ausblick

• Fortsetzung des Projekts

Medienvielfalt im Mathematikunterricht ?

• Systematische Erarbeitung von Vorschlägen für planerische „Längsschnitte“ durch den Mathematikunterricht

• Rückmeldesystem

Danke...

... für Ihre Aufmerksamkeit!

Diese Präsentation (und das zugehörige Paper)finden Sie am WWW unter

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/MatheDidaktik/OeMG13.4.2007/