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MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES
FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA ............... 2
MÓDULO ..................................................................................... 6
PROPRIEDADES DO MÓDULO .................................................. 6
FUNÇÃO MODULAR ................................................................... 9
GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR ............................................ 9
EQUAÇÕES MODULARES ....................................................... 27
INEQUAÇÕES MODULARES .................................................... 32
RESPOSTAS ............................................................................. 37
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 44
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA
Já vimos, em apostilas anteriores, como tratar com funções definidas por mais de uma expressão e agora vamos usar aqueles conceitos. Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma delas está associada à um subdomínio D1, D2, D3, ... Dn e a união destes n subconjuntos forma o domínio D da função original, ou seja, cada domínio Di é um subconjunto de D. Vamos ver alguns exemplos de funções definidas por mais de uma sentença e seus respectivos gráficos.
Ex.1: Seja a função
2xse3
2x0se1x
0xse1
xf
O seu gráfico é dado por:
Ex. 2: Veja o gráfico de
1xse1x
1xsexxf
2
Ex. 3: Seja a função
1xse1x
1x2se1x
2xse1x
xf 2
o gráfico é:
MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES
01) Construa o gráfico de cada uma das funções abaixo:
a)
0xsex
0xse1xxf
b)
2xse2
2x2sex
2xse2
xf
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c)
1xsex1
1xsex2xxf
2
d)
1xse12x
1xse1xxf
2
2
MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES
02) Dada
2xse1
2
x
2xse2xx
xf
2
a) Construa seu gráfico.
b) Encontre os valores de x que admitem 4 como imagem.
03) Quais valores de x tem imagem 7 na função
0xse2x
0xse1x2
5x
xf2
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
04) Construa o gráfico de
0xsex
0xsexxf
___________________________
MÓDULO
Sendo x um número real,
definimos MÓDULO ou VALOR ABSOLUTO que se representa por |x| através da expressão:
0xsex
0xsexx
Da expressão acima, podemos
tirar duas conclusões:
1. Se x é zero ou um número positivo, então o módulo de x é o próprio x.
2. Se x é um número negativo, então o módulo de x é o oposto aditivo de x.
É interessante associar a idéia de valor absoluto a distância, assim, o módulo de um número x é a distância do afixo de x até a origem do sistema. Este conceito voltará a ser usado quando você estiver estudando Números Complexos no 3º ano.
2
1
2
100
355333
131333
PROPRIEDADES DO MÓDULO
Da definição de módulo, decorrem algumas propriedades que veremos a seguir:
I x,0x
II 0x0x
III y,x,xyyx
IV x,xx 22
V y,x,yxyx
VI y,x,yxyx
VII axa0aeax
VIII axouax0aeax
05) Aplicando o conceito de módulo, calcule:
a) 4
b) 18
c) 49
MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES
d) 125
e) 27
f) 35
06) Para que valores reais de x é válida cada uma das igualdades a seguir?
a) 3x3x
b) 22 x11x
c) 1x1x 22
07) O módulo de um número real x também pode ser definido desta forma:
2xx . Assim, calcule:
a) 23
b) 213
c) 25x
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
08) Considere, na reta real, os pontos A(a) e B(b).
O conceito de módulo pode ser usado para o cálculo da distância AB entre os pontos A e B, a partir de suas coordenadas. Assim, por definição,
abbaAB
Desta forma, calcule a distância AB quando: a) a = -3 e b = 4 b) a = -5 e b = -8
c) a = 3 e b = 5
09) Uma partícula desloca-se sobre uma reta real. Inicialmente ela se encontra no ponto A(-5), em seguida vai até B(7) e depois até C(-2). a) Qual a distância total percorrida pela partícula. b) Qual seu deslocamento final. 10) Verifique se cada uma das afirmativas a seguir é VERDADEIRA ou FALSA.
a) xxx
b) x0x
c) y,x,yxyx
d) xxx 22
e) axax
f) 0x|x
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 192 – Exercícios 1 a 4 ______________________
A B a b
MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES
FUNÇÃO MODULAR
A função que associa a cada número real o seu valor absoluto é chamada FUNÇÃO MODULAR e representamos;
xxf
Utilizando o conceito de módulo de número real apresentado na página 6 desta apostila, a função modular também pode ser definida da seguinte forma:
GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR
Na questão 04 (Pág. 06) desta apostila, você construiu o gráfico da
função xxf porém apresentada sob
a forma de duas sentenças. Observe lá o que você fez.
O gráfico da função modular é a reunião de duas semirretas de origem em (0, 0) que são as bissetrizes do 1º e 2 º quadrantes.
D = e Im = +
Vamos, a partir de agora, desenvolver algumas técnicas para construção de gráficos de função modular. Em cada exemplo a seguir vamos aprender um tipo de gráfico e, a seguir, construiremos um semelhante.
Vamos construir o gráfico de x2xf .
Resolução: Quando nos deparamos com uma função elementar como esta, em princípio, construímos o gráfico de 𝑔(𝑥) = 2𝑥.
A seguir devemos fazer 𝑓(𝑥) = | 𝑔(𝑥) |, ou seja devemos “rebater” a parte do gráfico que se encontra abaixo do eixo horizontal, desta forma:
x
y
0xsex
0xsexxf
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Então, o gráfico de 𝑓(𝑥) = | 2𝑥 | é
D = e Im = +
Agora é sua vez:
11) Construa, nas malhas quadriculadas de cada item, o gráfico que se pede. Em todas as malhas, está tracejado o gráfico da função f(x)=|x|. Aproveite para comparar o gráfico que vc construiu com este.
a) 𝑓(𝑥) = |𝑥
2|
D = e Im = .
b) 𝑓(𝑥) = |3𝑥|
D = e Im = .
MATEMÁTICA I 11 RELAÇÕES
c) 𝑓(𝑥) = −|𝑥|
D = e Im = .
Construir o gráfico da função
𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2|. Resolução: Assim como fizemos antes, vamos construir o gráfico de g(x) = x + 2
Agora, vamos “rebater” o que estiver abaixo do eixo das abscissas.
Este é o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e podemos observar o domínio e a imagem da função olhando para o gráfico:
D = ℝ e Im = ℝ+ Vamos aproveitar este gráfico para fazer outra observação. Na figura
abaixo está o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e, tracejado em verde, o gráfico da função
𝑓(𝑥) = |𝑥|.
Comparando os dois gráficos, podemos dizer que o gráfico de f foi obtido a partir do deslocamento do gráfico de g em duas unidades para a esquerda.
A seguir, você pode observar uma
família de gráficos do tipo 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 𝑎|. Note cada gráfico é deslocado, em
relação do gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥| em a unidades.
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Tente associar esta ideia com o
que você viu quando estudou os deslocamentos laterais do gráfico da função quadrática.
12) Construa o gráfico de 1xxf
D = e Im = .
Construir o gráfico da função
x2xxf 2 .
Resolução: Da mesma forma que já fizemos, construiremos o gráfico de g(x) = x2 + 2x e “rebateremos” o que está abaixo do eixo x pois f(x) não admite valor negativo.
D = ℝ e Im = ℝ+
Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 13 a 19.
MATEMÁTICA I 13 RELAÇÕES
13) 1x2xf
D = e Im =
14) 3x2xf
D = e Im =
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
15) x32xf
D = e Im =
16) x4xxf 2
D = e Im =
MATEMÁTICA I 15 RELAÇÕES
17) 4xxf 2
D = e Im =
18) x3xxf 2
D = e Im =
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
19) 2x3xxf 2
D = e Im =
Construir o gráfico da função
definida em todo o capo dos reais dada por f(x) = | x + 1| - 2 Resolução:
Em princípio, vamos construir o gráfico de g(x) = | x + 1 | como vimos nos exemplos anteriores.
Agora devemos “deslocar” o gráfico duas unidades para baixo pois f(x) = g(x) - 2
Podemos ver que o DOMÍNIO desta função são todos os números reais. Observando o gráfico, qual é a IMAGEM desta função?
MATEMÁTICA I 17 RELAÇÕES
Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 20 a 24.
20) 3xxf
D = e Im =
21) 31x2xf
D = e Im =
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
22) 34xxf 2
D = e Im =
23) 33x4xxf 2
D = e Im =
MATEMÁTICA I 19 RELAÇÕES
24) 41xxf 2
D = e Im =
Agora vamos começar a tratar com funções que apresentam incógnitas dentro e fora do módulo e outras com soma de módulos.
Ex1.: Construir o gráfico da função
1x2xxf .
Resolução: Vamos dividir a função em duas partes. A
primeira é o que está no módulo: 2x e
a segunda parte será 1x .
De 2x , temos:
2xse2x
2xse2x2x
De 1x temos que, independente do valor de x, seu valor será 1x . Vamos agora dispor estas situações num quadro. O que vai separar uma coluna de outra será o -2 que é o valor que faz mudar a expressão na primeira parte da função.
2
2x 2x
1x 1x
3 1x2
Note que a terceira linha é a soma das duas anteriores. A função que dividimos em duas partes era formada pela soma dessas. Assim, a função que trabalharemos agora será:
2xse3
2xse1x2xf
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Vamos agora construir o gráfico desta função definida por partes.
_____________________________
Ex1.: Construir o gráfico da função
1x1x2xf .
Resolução: Assim como fizemos antes, vamos dividir a função em duas partes e, a seguir, formaremos o quadro. Veja.
2
1xse1x2
2
1xse1x2
1x2
1xse1x
1xse1x1x
2
1
1
1x2 1x2 1x2
1x 1x 1x
x3 2x x3
Assim, a função de que devemos construir o gráfico será:
1xsex2
1x2
1se2x
2
1xsex3
xf
Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 25 a 32.
MATEMÁTICA I 21 RELAÇÕES
25) xxxf
D = e Im =
26) xxxf
D = e Im =
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
27) 2x3xxf
D = e Im =
281) 3x1xxf
D = e Im =
MATEMÁTICA I 23 RELAÇÕES
29) 2x1x2xf
D = e Im =
30) 3x22x3xf
D = e Im =
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
31) 3x4xxf 2
D = e Im =
32) 4x1xxf
D = e Im =
MATEMÁTICA I 25 RELAÇÕES
Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 33 a 37.
33) 1x1xxf
D = e Im =
34) 1x1xxf
D = e Im =
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
35) 53x2x2xf
D = e Im =
36) 2x4xxf 2
D = e Im =
MATEMÁTICA I 27 RELAÇÕES
37) 2
3x1x2xf
D = e Im =
No link abaixo, você tem acesso a uma vídeo-aula de cerca de 30 minutos que abrange tudo que vimos até aqui sobre função modular.
EQUAÇÕES MODULARES
Para resolver equações modulares, devemos lembrar de duas propriedades de módulo: P1:
kxoukxkx
P2:
yxouyxyx
Utilizando estas duas propriedades e a condição de
que 0x , vamos resolver algumas
equações modulares.
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.1: Resolver 71x2
Resolução:
4x71x2
ou
3x71x2
71x2
3;4S
Ex.2: Resolver 3x21x3
Resolução:
5
2x3x21x3
ou
4x3x21x3
3x21x3
5
2;4S
Ex.2: Resolver 8x21x
Resolução: Em princípio devemos lembrar que
4082 xx Deste forma só serão convenientes aquelas soluções maiores ou iguais a 4
3x8x21x
ou
7x8x21x
8x21x
Como previmos anteriormente, a solução x = 3 não convém, neste caso,
7S
___________________________
Faça agora os exercícios
referentes a este assunto.
MATEMÁTICA I 29 RELAÇÕES
38) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais.
a) 32x
b) 21x3
c) 05x4
d)\ 13x2
e) 31x3x2
f) 4
5
4
1x
2
5x2
g) 25x4x2
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
39) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais.
a) 1x2x3
b) 03x21x4
c) 1x45xx2
d) 1xx2x2x 22
MATEMÁTICA I 31 RELAÇÕES
40) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais.
a) 1x22x
b) 3x22x3
c) 1x5x2
d) 3x2x3x15x2 22
e) 2x32x3
f) 4x3x34
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Existem outras situações envolvendo equações modulares que não trataremos aqui mas você pode ver nas vídeo-aulas acessíveis pelos links abaixo:
Equações Modulares Parte 3
Equações Modulares Parte 4
Equações Modulares Parte 5
INEQUAÇÕES MODULARES
A idéia de módulo está ligada ao conceito de distância, como foi dito no início desta apostila. Assim, temos que:
axouaxax
axaax
MATEMÁTICA I 33 RELAÇÕES
Utilizando estas propriedades, podemos resolver as equações que envolvem módulo.
Ex.1: Resolver a inequação 73x2 .
Resolução:
Aplicando a primeira propriedade acima, encontramos
73x27
Resolvendo o sistema de
inequações temos:
2x5
Logo:
2x5|xS
Ex.2: Resolver a inequação 21x3
21x3
ou
21x3
21x3
Resolvendo as equações acima,
temos:
1xou3
1x
Assim:
1xou3
1x|xS
41) Resolva, no campo dos números reais, cada uma das cinco inequações a seguir:
a) 42x3
b) 13x2
c) 3x34
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
d) 04x3
e) 31x2
42) Resolver em ℝ as quatro inequações a seguir.
a) 15x5x2
b) 24xx2
c) 6x5x2
MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES
d) 64x3x2
43) Resolver em ℝ a inequação
01x7x2 .
(Esta questão está resolvida na seção RESPOSTAS)
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
44) Resolver em ℝ a inequação
07x31x .
45) Resolver em a inequação
0x341x2 .
MATEMÁTICA I 37 RELAÇÕES
RESPOSTAS 01) a)
b)
c)
d)
02) Resolução
a)
b) Para encontrar os pontos de
imagem 4, devemos resolver as equações:
412
x2
42xx)1( 2
De (1), temos x1 = -3 e x2 = 2 Mas -3 não convém De (2) temos x = -6. Assim 2 e -6 tem imagem 4.
03) 4 04)
05) a) 4 d) 12 - 5 b) 18 e) 27
c) 9 - 4 f) 53
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
06) a) 3x c) x b) 1x1
07) a) 3 c)
5xse5x
5xse5x
b)
13
08) a) 7 c) 13
b) 3
09) a) 21 c) 3
10) Verdadeiras: a, b, d, f Falsa: c, e
11) a)
D = e Im = +
b)
D = e Im = + c)
D = e Im = -
12)
D = e Im = +
13)
D = e Im = +
MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES
14)
D = e Im = +
15)
D = e Im = +
16)
D = e Im = +
17)
D = e Im = +
18)
D = e Im = +
19)
D = e Im = +
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
20)
D = e Im = [-3; )
21)
D = e Im = [3; )
22)
D = e Im = [-3; )
23)
D = e Im = [-3; )
24)
D = e Im = [-3; )
25)
D = e Im = +
26)
D = e Im = +
MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES
27)
D = e Im = [-1; )
28)
D = e Im = [4; )
29)
D = e Im = [2
3 ; )
30)
D = e Im = [3
13; )
31)
D = e Im = [-1; )
32)
D = e Im = +
33)
D = e Im = [2; )
34)
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
D = e Im = [-2; 2]
35)
D = e Im = [-1; )
36)
D = e Im = +
37)
D = e Im = [2; )
38) a) 5,1S
b)
3
1,1S
c)
4
5S
d) S
e) 4,2,1,1S
f)
3,2,
2
1,
2
1S
g) 3,1S
39)
a)
4
1,
2
3S
b)
3
1,2S
c) 4,1,1,6S
d)
1,
3
1,
2
3S
40)
a)
3
1S
b) S
c) 4,2S
d) 6,13S
e)
;
3
2S
f)
;
3
4S
41)
a)
2x3
2|xS
b) 2x1|xS
MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES
c)
3x3
1|xS
d)
3
4S
e) 2xou1x|xS
42) a)
4x3ou2x1|xS
b)
3xou2x1ou2x|xS
c)
6xou3x2ou1x|xS
d)
5x2ou1x2|xS
43) (Resolução)
Sabendo que
1xse1x
1xse1x1x ,
devemos considerar duas situações: 1ª situação: 1x
2x01x7x2
01x7x2
Assim, a solução desta primeira parte é
2x|x
2x|x1x|xS1
2ª situação: 1x
8x01x7x2
01x7x2
Logo, temos como S2,
8x|x1x|xS2
Portanto, a solução da inequação proposta será:
21 SSS
Ou seja:
2x|xS
44) 3x|xS
45) 5x|xS
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
MACHADO, Antônio dos Santos;
Matemática, Temas e Metas. São Paulo,
Atual, 1988.
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.
RUBIÓ, Angel Pandés;
Matemática e suas tecnologias; Volume
1. São Paulo, IBEP, 2005.
PAIVA, Manoel; Matemática;
Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995.
Links dos vídeos sugeridos Pág. 27: vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/funcao-modular/ Pág. 28 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p1/ Pág. 32 parte 3 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p3/ parte 4 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p4/ parte 5 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p5/